variabel random dan distribusi peluang

26
DISTRIBUSI PELUANG Ketika melakukan percobaan (eksperimen) dengan melantunkan sebuah mata uang, kita akan dapatkan P(G) = P(A) = 1/2. Kalau dihitung banyaknya G, maka kita dapat mengatakan banyaknya G = 1 dan G = 0. Jika banyaknya G kita beri simbol X, maka untuk : G berlaku X=1, dan H berlaku X=0 P(X=1) = 1/2 dan P(X=0) = 1/2

Transcript of variabel random dan distribusi peluang

Page 1: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI PELUANG

Ketika melakukan percobaan (eksperimen) dengan melantunkan sebuah mata uang, kita akan dapatkan P(G) = P(A) = 1/2.

Kalau dihitung banyaknya G, maka kita dapat mengatakan banyaknya G = 1 dan G = 0.

Jika banyaknya G kita beri simbol X, maka untuk :G berlaku X=1, danH berlaku X=0

P(X=1) = 1/2 dan P(X=0) = 1/2

Page 2: variabel random dan distribusi peluang

Jika percobaan dengan menggunakan 2 mata uang, maka peristiwa yang terjadi adalah :

T = {GG, GH, HG, HH} dengan probabilitas masing-masing adalah :

P(GG) = P(GH) = P(HG) = P(HH) = 1/4

Lanjutan . . .

Jika X menyatakan banyaknya G, maka nilai X di atas adalah X=0,1,2, sehingga :

P(X=0) = 1/4 P(X=1) = 2/4 P(X=2) = 1/4

x P(X=x)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

jumlah 1

Page 3: variabel random dan distribusi peluang

Simbol X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya memiliki nilai 0, 1, 2. . .

Variabel ini disebut VARIABEL ACAK DISKRET

Lanjutan . . .

Dalam tabel contoh, jumlah peluang selalu sama dengan 1. Apabila semua ini terjadi, maka dikatakan bahwa DISTRIBUSI PELUANG VARIABEL ACAK X TELAH TERBENTUK.

x P(X=x)0 1/41 1/22 1/4

jumlah 1

Page 4: variabel random dan distribusi peluang

Variabel acak diskret X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai X = x1, x2, x3,...., xn terdapat peluang p(xi) = P(X=xi) sehingga :

∑p(xi) = 1

Lanjutan . . .

p(x) disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada nilai X=x

Page 5: variabel random dan distribusi peluang

Nilai Rata-Rata

Nilai rata-rata pada distribusi probabilitas adalah sama pada penghitungan nilai rata-rata yang telah dibahasa pada bagian sebelumnya.

Nilai rata-rata pada distribusi probabilitas = nilai harapan (expexted value) yang dilambangkan dengan E(x) = nilai rata-rata untuk variabel acak X

µ = E(x) = ∑ xi .p(x

i)

Page 6: variabel random dan distribusi peluang

Contoh :Ada tiga orang nasabah yang akan menabung di bank. Terdapat 2 bank yang terdapat di Jln. Pajajaran Timur, yaitu BCA dan BNI. Ketiga orang tersebut bebas memilih bank tempat untuk menabung, bisa di BCA semua, BNI semua atau di BCA dan BNI.

Pertanyaan :1. Berikan ruang sampel pilihan nasabah tersebut.2. Jika X = Pilihan tampat menabung di BNI berikan tabel distribusi

frekuensinya3. Berapakah expexted value pada kasus pilihan tiga nasabah tersebut.

Page 7: variabel random dan distribusi peluang

Contoh :Pengamatan yang menunjukkan banyaknya kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sbb :

Pertanyaan :1. Berapakah Peluang dalam satu menit paling sedikit tiga kendaraan

melalui tikungan.2. Berapakah rata-rata tiap menit terdapat kendaraan melalui tikungan

tsb ?3. Berapakah perkiraan kendaraan yang melewati tikungan tiap 100

menit ?

Jml Kendaraan

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Peluang 0.01 0.05 0.10 0.28 0.22 0.18 0.08 0.05 0.03

Page 8: variabel random dan distribusi peluang

Contoh :Untuk keperluan analisis saham telah dicatat distribusi probabilitas untuk harga saham yaitu probabilitas harga naik 0.16; harga tetap 0.64 ; dan harga turun 0.20.

Pertanyaan :1. Berapakah nilai rata-rata apabila pada hari Sabtu, 15 Desember 2012

harga saham Indosat sempat naik ke Rp. 7800 dan sempat turun ke Rp. 7650 dari harga sebelumnya Rp. 7700 ?

Page 9: variabel random dan distribusi peluang

Contoh :Sebuah kotak berisi 8 telor dimana 3 diantaranya busuk. Seseorang membeli 4 buah telor dari kotak tersebut secara acak.

Pertanyaan :1. Buatlah tabel distribusi peluangnya bahwa pembeli tersebut

mendapatkan telur yang busuk.

Page 10: variabel random dan distribusi peluang

VARIAN DAN DEVIASI STANDAR

Varian dan deviasi standar merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya.Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung.Ini juga menunjukkan adanya kehomogenan yang lebih tinggi dan perbedaan antar data tidak terlalu tinggi.

varians = σ2 = Σ(xi – µ)2.p(xi)

Page 11: variabel random dan distribusi peluang

Contoh :Hitunglah standar deviasi untuk distribusi probabilitas pilihan nasabah dan saham Indosat pada contoh sebelumnya.

Page 12: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET

Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi Probabilitas Poisson

Page 13: variabel random dan distribusi peluang

Ciri-ciri Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;

(b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.

• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.

• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.

DISTRIBUSI BINOMIAL

Page 14: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Sebagai misal, dilakukan pengambilan 3 bahan secara acak dari hasil pengolahan pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sebagai sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan nilai bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedalapan hasil yang mungkin (C = cacat, T = Tak cacat) da nilai X adalah :

Hasil x

TTT 0

TCT 1

TTC 1

CTT 1

TCC 2

CTC 2

CCT 2

CCC 3

Jika diasumsikan bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan cacat, maka :

P(TCT) = P(T) . P(C) . P(T) 3/4 . 1/4 . 3/4= 9/64

x 0 1 2 3

P =(X=x) 27/64 27/64 9/24 1/64

Page 15: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Banyaknya usaha X yang sukses dalam n usaha Bernouli disebut peubah acak binomial.

Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan dinyatakan dengan : b(x;n,p).karena nilainya tergantung kepada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam usaha (p).

Jadi untuk distribusi peluang X, bila X menyatakan banyaknya cacat, maka dalam contoh di atas dapat dinyatakan :P(X=2) = b(2;3,1/4) = 9/64

x 0 1 2 3

P(X=x) 27/64 27/64 9/24 1/64

Page 16: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Suatu usaha Bernouli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah :

b(x ;n , p) = (nx) px qn−x , x=0,1,2,3. ..n

Page 17: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL : CONTOH

PT. Moena Indihe Farm (MIF) mengirim buah semangka ke GIANT supermarket, dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% semangka yang dikirim harus lolos seleksi. PT. MIF setiap hari mengirim semangka 15 buah dengan berat antara 5 – 6 kg.

1. Berapa probabilitas 15 buah diterima ?2. Berapa probabilitas 13 buah diterima ?3. Berapa probabilitas 10 buah diterima ?

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (1)n = 15 ; x = 15 ; p = 0.9 ; q = 0.1

Page 18: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL : CONTOH

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (2)n = 15 ; x = 13 ( 13 diterima atau 2 ditolak) ; p = 0.9 ; q = 0.1

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (3)n = 15 ; x = 10 ; p = 0.9 ; q = 0.1

Page 19: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL : CONTOH

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (1)n = 4 ; x = 2 ; p = 0.75 ; q = 0.25

Page 20: variabel random dan distribusi peluang

BINOMIAL : RATAAN dan VARIANS

Distribusi Binomial

mempunyai rataan dan variansi : µ = n.p dan σ2 = n.p.q

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Biasanya soal yang dihadapi diharuskan kita menghitung P(X < r) atau P(a ≤ X ≤ b).Untuk kasus semacam ini Anda dapat menggunakan tabel BINOMIAL.

Page 21: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Sepasang suami-istri merencanakan memiliki 3 anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki, hitunglah :1. Probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki2. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki,3. Hitunglah rata-rata dan simpangan baku

Jawab : (1)Probabilitas kelahiran anak laki-laki dan perempuan sama = 0.5.n = 3 ; x = 2; p = 0.5. P(X=2) ?

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Page 22: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Jawab : (2)Probabilitas kelahiran anak laki-laki dan perempuan sama = 0.5.n = 3 ; p = 0.5 ; x ≤ 2 .... x = 0, x = 1 dan x = 2

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Dapat juga menggunakan tabel distribusi binomial, yakni :

P (X ⩽ 2) ∑0

2

b(x ;3,0.5) = b(0 ;3,0.5) + b(1 ;3,0.5) + b(2 ;3,0.5)

Page 23: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Jawab : (3)Rataan dan varians kelahiran anak laki-laki :µ = n.p dan σ2 = n.p.q

Page 24: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0.4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang:

a. Sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh,b. dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, danc. tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawab (a)Misalkan X jumlah pasisen yang sembuh, n = 15 dan p = 0.4

P (X ⩽ 10) = 1−P (X <10) = ∑0

9

b(x ;15,0.4)

Page 25: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0.4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang:

a. Sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh,b. dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, danc. tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawab (b)Misalkan X jumlah pasisen yang sembuh, n = 15 dan p = 0.4

P (3 ⩽ X ⩽ 8) = ∑3

8

b(x ;15,0.4)

P (3 ⩽ X ⩽ 8) = ∑0

8

b(x ;15,0.4) − ∑0

2

b( x ;15,0.4)

Page 26: variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI BINOMIAL

Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0.4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang:

a. Sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh,b. dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, danc. tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawab (c)Misalkan X jumlah pasisen yang sembuh, n = 15 dan p = 0.4

P (X=5) = ∑0

5

b( x ;15,0.4) −∑0

4

b(x ;15,0.4)