Distribusi Probabilitas DiskritBINOMIAL

Andre Erlangga (672009 )Hendra Setia Budi (672009326)Jack Zakharia (672009283)Vinsensius William (672009038)Mariska Regina (672009002)

Percobaan Bernoulli (1)

Satu atau serangkaian eksperimen dinamakan eksperimen Binomial bila dan hanya bila eksperimen yang bersangkutan terdiri dari percobaan-percobaan Bernoulli

(percobaan-percobaan Binomial ).

Percobaan Bernoulli (2)Suatu percobaan dinamakan percobaan

Bernoulli (Bernoulli trial) bila dan hanya bila memiliki ciri-ciri sebagai berikut :◦Tiap percobaan dirumuskan dengan ruang

sampel { S, G }. Dengan kata lain, tiap percobaan hanya memiliki 2 hasil : sukses (S) dan gagal (G)

◦Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p

◦Setiap percobaan harus bersifat independen◦ Jumlah percobaan yang merupakan

komponen eksperimen binomial harus tertentu

Distribusi BinomialSebuah variabel random, X,

menyatakan jumlah sukses dari n percobaan Bernoulli dengan p adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan , dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n (jumlah sukses) dan p (probabilitas sukses).

Sedangkan q (probabilitas gagal).Selanjutnya, variabel random X disebut

variabel random binomial.

Fungsi Probabilitas BinomialBila sebuah eksperimen terdiri

dari n percobaan Bernoulli dengan probabilitas p bagi sukses dan q bagi gagal pada tiap-tiap percobaan, maka fungsi probabilitas variabel random x dapat dinyatakan sebagai berikut :

dimana x adalah 0,1,2,3,…., n

P ( S=x ) = C n,x px qn-x

Contoh: (1)Suatu kotak berisi 10 buah bola

pingpong, 3 diantaranya berwarna merah (selainnya berwarna bukan merah). Terhadap bola pingpong yang terdapat dalam kotak tadi, dilakukan percobaan sbb :◦Diambil sebuah bola pingpong dari kotak

tersebut dan dilihat warnanya, kemudian bola pingpong tadi dikembalikan ke kotak semula. Pengambilan ini dilakukan sebanyak 4 kali.

◦Dari ke 4 pengambilan bola tersebut, berapa besar probabilitas 3 bola merah yang terambil ?

Penyelesaian: (1)Percobaan ini memenuhi kriteria

Distribusi Binomial (termasuk percobaan Bernoulli) karena memiliki ciri-ciri diantaranya : probabilitas sukses (terambilnya bola merah) pada tiap-tiap percobaan (pengambilan bola) adalah sama (p=3/10).

Penyelesaian: (2)Probabilitas 3 bola merah terambil

dapat dicari dengan menggunakan rumus fungsi Probabilitas Binomial :

P ( S = x ) = C n,x px qn-x

n = 4 p=3/10 x = 3 q=1-p=7/10

Penyelesaian: (3)Sehingga di peroleh :

P(S=3) = C 4,3 (3/10)3 (7/10) 4-3

= . (3/10)3 (7/10) 1

= . (27/1000)

(7/10)

= 756/10000 = 0,0756

4!

3!(4-3)!4 . 3!

3! . 1

Secara Umum : Jumlah Sukses x Probabilitas P(x)

1.00

)!(!

! n

)!3(!3

! 3

)!2(!2

! 2

)!1(!1

! 1

)!0(!0

! 0

)(

)3(3

)2(2

)1(1

)0(0

nnn

n

n

n

n

qpnnn

n

qpn

n

qpn

n

qpn

n

qpn

n

Contoh : (2)Sebuah sistem produksi

menghasilkan produk dari dua mesin A dan B dengan kecepatan yang sama. Diambil 5 produk dari lantai produksi dan nyatakan X sebagai jumlah produk yang dihasilkan dari mesin A?

Penyelesaian: (1)n = 5 ; x = 2 ; p = ½ (dari

pilihan A-B)q = 1-p = ½

P(S=2) = C 5,2 . (1/2) 2 (1/2) 5-2

= . (1/2) 2 (1/2) 3

= . (1/2) 2 +3

= 10 . (1/32)

= 10 / 32 = 0.3125

5!

2! (5-2)!

5 . 4 . 3!2! 3!

n=5

p

x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 .951 .774 .590 .328 .168 .078 .031 .010 .002 .000 .000 .000 .000

1 .999 .977 .919 .737 .528 .337 .187 .087 .031 .007 .000 .000 .000

2 1.000 .999 .991 .942 .837 .683 .500 .317 .163 .058 .009 .001 .000

3 1.000 1.000 1.000 .993 .969 .913 .813 .663 .472 .263 .081 .023 .001

4 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .990 .969 .922 .832 .672 .410 .226 .049

Distribusi probabilitas kumulatif binomial dan distribusi probabilitas variabel random binomial A, jumlah produk yang dihasilkan oleh mesin A (p=0.5) dalam 5 produk yang diambil.

a F(h) P(h)

0 0.031 0.031

1 0.187 0.156

2 0.500 0.313

3 0.813 0.313

4 0.969 0.156

5 1.000 0.0311.000

Penentuan nilai probabilitas dari probabilitas kumulatif

313.

500.813.

)2()3()3(

:Contoh

1)-F(x - F(x) = P(X)

)()()(

FFP

iPxXPxFxiall

The End