Post on 14-Aug-2015
description
7/18/2011
1
Assalamu’alaikum…….
Ria Mahardika
109016100072
Program Studi Biologi
Determinan Matriks
Determinan Matriks
Pengertian determinan matriks
Notasi determinan matriks
Kasus matriks
Sifat-sifat determinan
Kesimpulan
PENGERTIAN
DETERMINAN MATRIKS
• Determinan : aturan pemetaan yang
memetakan matriks ke suatu nilai bilangan
riil.
• Dengan setiap matriks A berordo nxn kita
dapat mengasosiasikan suatu nilai skalar,
dimana nilai det (A) akan menunjukkan
apakah matriks yang bersangkutan singular
atau tidak singular.
• Matriks det (A)=0 adalah matriks singular
Notasi determinan
• det (A)
• ׀A׀
•
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛
Kasus matriks
Kasus 1
Matriks ordo 1x1
Kasus 2
Matriks ordo 2x2
Kasus 3
Matriks ordo 3x3 atau berordo >2
7/18/2011
2
Kasus 1
Matriks Ordo 1x1
• det (A)=a atau jika ׀𝑎11 ׀ = 𝑎11
• A adalah taksingular jika dan hanya jika det
(A) ≠ 0
Contoh Kasus 1
Matriks Ordo 1x1
1. det (27) = 27
2. det (-7) = ?
3. det (t-3) = ?
1. -7
2. t-3
Latihan Soal
• Matriks ordo 1x1
1. det S= (24) = ?
2. det S= (-C) = ?
Kasus 2
Matriks Ordo 2x2 • Cara menyelesaikan determinan:
1. Mengalikan elemen matriks antar diagonal, yaitu diagonal yang ditarik dari 𝑎11 yang terletak di sebelah kiri ke sebelah kanan (𝑎22) kemudian mengurangnya dengan diagonal lawannya.
2. Misal A= 𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
maka det (A)= [+(𝑎11. 𝑎22)-(𝑎12.𝑎21)]
• Maka A taksingular jika dan hanya jika det (A)≠0
+ -
Contoh Kasus 2
Matriks Ordo 2x2
1. 5 34 6
= [+(5.6)-(3.4)] =18
2. 20 510 4
= [+(20.4)-(5.10)] =30
• Matriks ordo 2x2
1. R=2 1
−6 3
2. Tentukan nilai x jika 𝑥 −6𝑥 −3𝑥
=0
7/18/2011
3
Kasus 3
Matriks Ordo 3x3 Atau Berordo >2
Metode Scharrus
Metode Minor Kofaktor
Kasus 3
Matriks Ordo 3x3 atau Berordo >2 Metode Scharrus
• Cara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3
• Cara Scharrus:
1. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga
2. Kalikan unsur-unsur pada keenam diagonal. Yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dar hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.
det (A)=
𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 𝑖
𝑎 𝑏𝑑 𝑒𝑔
Maka det (A)= aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi
- - - + + +
1 2
3
Contoh Kasus 3
Matriks ordo 3x3 atau berordo >2
Metode Scharrus
det (A)= 5 8 24 4 21 2 4
5 84 47 2
Maka
det (A)= 5.4.4+8.2.7+2.4.2-2.4.1-5.2.2.-8.4.4
= 80+112+16-8-20-128
= 52
- - +
1
2
3
- + +
Metode
Minor Kofaktor
7/18/2011
4
Kasus 3
Matriks ordo 3x3 atau berordo >2 • Minor
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij , yaitu matriks bagian dari
A yang diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-
i dan elemen-elemen pada kolom j.
Contoh:
R=3 2 41 7 57 2 3
maka M11=7 52 3
, M12=1 57 3
, M13=1 77 2
.
Sehingga M11, M12, M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1
dari matriks R.
• Kofaktor
Kofaktor suatu baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan
kij=(-1)i+j . ׀Mij (1-)=׀i+j det (Mij)
Penentuan tanda dari determinan matriks persegi berordo 3x3:
+ − +− + −+ − +
Untuk mencari det (A)
dengan metode ekspansi
kofaktor cukup mengambil
satu ekspansi saja misal
ekspansi baris ke-1
Untuk matriks berordo 2x2
det (A)= 𝑎11 A11+ 𝑎12 A12 (n=2)
Untuk matriks berordo 3x3
det (A)= 𝑎11 A11+ 𝑎12 A12 + 𝑎13 A13 (n=3)
Contoh Kasus 3
Matriks ordo 3x3 atau berordo >2 Metode minor kofaktor
• Menentukan determinan dengan ekspansi kofaktor
misal
Q=3 2 41 7 57 2 3
untuk mendapatkan det (Q) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu
determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 di atas, yaitu:
M11=7 52 3
, M12=1 57 3
, M13=1 77 2
Det (Q) =k11.q11+ k12.q12+ k13.q13
q13.[׀M13׀ .1+3(1-) ]+q12.[׀M12׀ .1+2(1-)] +q11.[׀M11׀ .1+1(1-)]=
=11.3-(-32).2+(-47).4
=33+64-188=-91
kij=(-1)i+j . ׀Mij (1-)=׀i+j det (Mij)
• Matriks berordo 3x3
Metode Scharrus dan metode minor kofaktor
misal Q =3 2 41 7 57 2 3
7/18/2011
5
Sifat-sifat determinan
1. Jika suatu matriks ditransposekan, maka
determinan tidak berubah. Contoh:
det (A)= 1 23 4
= 4-6 = -2
det (A)= 1 32 4
= 4-6 = -2
2. Jika suatu baris atau kolom matriks A ditukar sehingga diperoleh matriks B, maka det (B)=-det(A).
Contoh:
det (A)= 2 5 43 1 25 4 6
= -16
det (B)= 5 4 63 1 22 5 4
= -(-16) = 16
3. Jika suatu baris atau kolom matriks A dikali dengan skalar k, sehingga diperoleh matriks B, maka det (B)=k (det (A)).
Contoh:
det (A)= 2 5 43 1 25 4 6
= -16
det (B)= 4 10 83 1 25 4 6
= 2(-16) = -32
A=2 1
−1 1 3=׀ A׀ ,
B=2 1
−2 2 maka ׀B ׀=
2 1−2 2
= 22 1
−1 1 6=׀ A׀ 2 =
4. Jika matriks B berasal matriks A dengan
perkalian sebuah baris dengan konstanta tidak
nol (k) lalu dijumlah pada baris lain maka det
(B)= det (A). contoh:
A=1 32 −6
= -12
B=1 30 −12
= -12
OBD yang dilakukan -2B1+B2
5. Jika terdapat baris atau kolom dari matriks A
yang semuanya nol, maka det (A)=0
Contoh:
det (A)= 2 5 40 0 05 4 6
= 0
7/18/2011
6
6. Jika terdapat baris atau kolom kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det (B)=0. Contoh:
det (A)= 2 5 43 1 25 4 6
= -16
det (B)= 2 5 46 2 45 4 6
= 0
7. Jika matriks A adalah matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka det (A) adalah perkalian dari diagonal utamanya.
Contoh:
det (A)= 2 5 40 1 20 0 6
= 12
det (A)= 2 0 03 1 05 4 6
= 12
8. Jika matriks A dan B berordo sama. Maka det
(AB)= det(A).det(B).
Contoh:
5 34 6
20 510 4
= 18.30 = 540
1. Tentukan determinan berikut dengan sifat
determinan ke-4
A=2 1 01 2 10 1 2
Kesimpulan
• Determinan adalah suatu pemetaan yang menghasilkan besaran skalar dan sebagai acuan nilai apakah suatu matriks berupa matrik singular (=0) atau tak singular (≠ 0)
• Notasi matriks yaitu det (A), ׀A׀, 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛
• Kasus matriks terbagi menjadi 3 yaitu matriks ordo 1x1, 2x2, dan >2
• Determinan memiliki sifat-sifat yang dapat diterapkan dalam memudahkan persoalan determinan.
7/18/2011
7
DAFTAR PUSTAKA
Leon, Steven J. 2001. ALJABAR LINEAR DAN
APLIKASINYA. Jakarta: Erlangga
Lipson, marc et al. 2004. ALJABAR LINEAR
Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga
Susila, I nyoman. Seri buku schaum teori dan
soal-soal matriks (versi si/metrik).
myblog4famouser.com
Latihan Soal Tentukan determinannya!
• Matriks ordo 1x1
1. det S= (24) = ?
2. det S= (-C) = ?
• Matriks ordo 2x2
1. R=2 1
−6 3
2. Tentukan nilai x jika 𝑥 −6𝑥 −3𝑥
=0
3. Tentukan determinan berikut dengan sifat determinan ke-4
A=2 1 01 2 10 1 2
• Matriks berordo 3x3
Metode Scharrus dan metode minor kofaktor
misal Q =3 2 41 7 57 2 3
Wassalam,…
Terima kasih