7/18/2011

1

Assalamu’alaikum…….

Ria Mahardika

109016100072

Program Studi Biologi

Determinan Matriks

Determinan Matriks

Pengertian determinan matriks

Notasi determinan matriks

Kasus matriks

Sifat-sifat determinan

Kesimpulan

PENGERTIAN

DETERMINAN MATRIKS

• Determinan : aturan pemetaan yang

memetakan matriks ke suatu nilai bilangan

riil.

• Dengan setiap matriks A berordo nxn kita

dapat mengasosiasikan suatu nilai skalar,

dimana nilai det (A) akan menunjukkan

apakah matriks yang bersangkutan singular

atau tidak singular.

• Matriks det (A)=0 adalah matriks singular

Notasi determinan

• det (A)

• ׀A׀

•

𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛

Kasus matriks

Kasus 1

Matriks ordo 1x1

Kasus 2

Matriks ordo 2x2

Kasus 3

Matriks ordo 3x3 atau berordo >2

7/18/2011

2

Kasus 1

Matriks Ordo 1x1

• det (A)=a atau jika ׀𝑎11 ׀ = 𝑎11

• A adalah taksingular jika dan hanya jika det

(A) ≠ 0

Contoh Kasus 1

Matriks Ordo 1x1

1. det (27) = 27

2. det (-7) = ?

3. det (t-3) = ?

1. -7

2. t-3

Latihan Soal

• Matriks ordo 1x1

1. det S= (24) = ?

2. det S= (-C) = ?

Kasus 2

Matriks Ordo 2x2 • Cara menyelesaikan determinan:

1. Mengalikan elemen matriks antar diagonal, yaitu diagonal yang ditarik dari 𝑎11 yang terletak di sebelah kiri ke sebelah kanan (𝑎22) kemudian mengurangnya dengan diagonal lawannya.

2. Misal A= 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

maka det (A)= [+(𝑎11. 𝑎22)-(𝑎12.𝑎21)]

• Maka A taksingular jika dan hanya jika det (A)≠0

+ -

Contoh Kasus 2

Matriks Ordo 2x2

1. 5 34 6

= [+(5.6)-(3.4)] =18

2. 20 510 4

= [+(20.4)-(5.10)] =30

• Matriks ordo 2x2

1. R=2 1

−6 3

2. Tentukan nilai x jika 𝑥 −6𝑥 −3𝑥

=0

7/18/2011

3

Kasus 3

Matriks Ordo 3x3 Atau Berordo >2

Metode Scharrus

Metode Minor Kofaktor

Kasus 3

Matriks Ordo 3x3 atau Berordo >2 Metode Scharrus

• Cara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3

• Cara Scharrus:

1. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga

2. Kalikan unsur-unsur pada keenam diagonal. Yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dar hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.

det (A)=

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 𝑕 𝑖

𝑎 𝑏𝑑 𝑒𝑔 𝑕

Maka det (A)= aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi

- - - + + +

1 2

3

Contoh Kasus 3

Matriks ordo 3x3 atau berordo >2

Metode Scharrus

det (A)= 5 8 24 4 21 2 4

5 84 47 2

Maka

det (A)= 5.4.4+8.2.7+2.4.2-2.4.1-5.2.2.-8.4.4

= 80+112+16-8-20-128

= 52

- - +

1

2

3

- + +

Metode

Minor Kofaktor

7/18/2011

4

Kasus 3

Matriks ordo 3x3 atau berordo >2 • Minor

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij , yaitu matriks bagian dari

A yang diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-

i dan elemen-elemen pada kolom j.

Contoh:

R=3 2 41 7 57 2 3

maka M11=7 52 3

, M12=1 57 3

, M13=1 77 2

.

Sehingga M11, M12, M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1

dari matriks R.

• Kofaktor

Kofaktor suatu baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan

kij=(-1)i+j . ׀Mij (1-)=׀i+j det (Mij)

Penentuan tanda dari determinan matriks persegi berordo 3x3:

+ − +− + −+ − +

Untuk mencari det (A)

dengan metode ekspansi

kofaktor cukup mengambil

satu ekspansi saja misal

ekspansi baris ke-1

Untuk matriks berordo 2x2

det (A)= 𝑎11 A11+ 𝑎12 A12 (n=2)

Untuk matriks berordo 3x3

det (A)= 𝑎11 A11+ 𝑎12 A12 + 𝑎13 A13 (n=3)

Contoh Kasus 3

Matriks ordo 3x3 atau berordo >2 Metode minor kofaktor

• Menentukan determinan dengan ekspansi kofaktor

misal

Q=3 2 41 7 57 2 3

untuk mendapatkan det (Q) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu

determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 di atas, yaitu:

M11=7 52 3

, M12=1 57 3

, M13=1 77 2

Det (Q) =k11.q11+ k12.q12+ k13.q13

q13.[׀M13׀ .1+3(1-) ]+q12.[׀M12׀ .1+2(1-)] +q11.[׀M11׀ .1+1(1-)]=

=11.3-(-32).2+(-47).4

=33+64-188=-91

kij=(-1)i+j . ׀Mij (1-)=׀i+j det (Mij)

• Matriks berordo 3x3

Metode Scharrus dan metode minor kofaktor

misal Q =3 2 41 7 57 2 3

7/18/2011

5

Sifat-sifat determinan

1. Jika suatu matriks ditransposekan, maka

determinan tidak berubah. Contoh:

det (A)= 1 23 4

= 4-6 = -2

det (A)= 1 32 4

= 4-6 = -2

2. Jika suatu baris atau kolom matriks A ditukar sehingga diperoleh matriks B, maka det (B)=-det(A).

Contoh:

det (A)= 2 5 43 1 25 4 6

= -16

det (B)= 5 4 63 1 22 5 4

= -(-16) = 16

3. Jika suatu baris atau kolom matriks A dikali dengan skalar k, sehingga diperoleh matriks B, maka det (B)=k (det (A)).

Contoh:

det (A)= 2 5 43 1 25 4 6

= -16

det (B)= 4 10 83 1 25 4 6

= 2(-16) = -32

A=2 1

−1 1 3=׀ A׀ ,

B=2 1

−2 2 maka ׀B ׀=

2 1−2 2

= 22 1

−1 1 6=׀ A׀ 2 =

4. Jika matriks B berasal matriks A dengan

perkalian sebuah baris dengan konstanta tidak

nol (k) lalu dijumlah pada baris lain maka det

(B)= det (A). contoh:

A=1 32 −6

= -12

B=1 30 −12

= -12

OBD yang dilakukan -2B1+B2

5. Jika terdapat baris atau kolom dari matriks A

yang semuanya nol, maka det (A)=0

Contoh:

det (A)= 2 5 40 0 05 4 6

= 0

7/18/2011

6

6. Jika terdapat baris atau kolom kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det (B)=0. Contoh:

det (A)= 2 5 43 1 25 4 6

= -16

det (B)= 2 5 46 2 45 4 6

= 0

7. Jika matriks A adalah matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka det (A) adalah perkalian dari diagonal utamanya.

Contoh:

det (A)= 2 5 40 1 20 0 6

= 12

det (A)= 2 0 03 1 05 4 6

= 12

8. Jika matriks A dan B berordo sama. Maka det

(AB)= det(A).det(B).

Contoh:

5 34 6

20 510 4

= 18.30 = 540

1. Tentukan determinan berikut dengan sifat

determinan ke-4

A=2 1 01 2 10 1 2

Kesimpulan

• Determinan adalah suatu pemetaan yang menghasilkan besaran skalar dan sebagai acuan nilai apakah suatu matriks berupa matrik singular (=0) atau tak singular (≠ 0)

• Notasi matriks yaitu det (A), ׀A׀, 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛

• Kasus matriks terbagi menjadi 3 yaitu matriks ordo 1x1, 2x2, dan >2

• Determinan memiliki sifat-sifat yang dapat diterapkan dalam memudahkan persoalan determinan.

7/18/2011

7

DAFTAR PUSTAKA

Leon, Steven J. 2001. ALJABAR LINEAR DAN

APLIKASINYA. Jakarta: Erlangga

Lipson, marc et al. 2004. ALJABAR LINEAR

Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga

Susila, I nyoman. Seri buku schaum teori dan

soal-soal matriks (versi si/metrik).

myblog4famouser.com

Latihan Soal Tentukan determinannya!

• Matriks ordo 1x1

1. det S= (24) = ?

2. det S= (-C) = ?

• Matriks ordo 2x2

1. R=2 1

−6 3

2. Tentukan nilai x jika 𝑥 −6𝑥 −3𝑥

=0

3. Tentukan determinan berikut dengan sifat determinan ke-4

A=2 1 01 2 10 1 2

• Matriks berordo 3x3

Metode Scharrus dan metode minor kofaktor

misal Q =3 2 41 7 57 2 3

Wassalam,…

Terima kasih