BAB III Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop dan
22
12 BAB III Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop () dan () Pada bab ini akan dijelaskan mengenai determinan matriks ketetanggan dari graf lollipop () dan () . 3.1 Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop () Secara umum, matriks ketetanggaan dari graf lollipop dengan dan dapat dituliskan sebagai ( () ). Matriks ( () ) merupakan matriks berukuran dengan yang dapat dinyatakan sebagai berikut. ( () ) [ ] Matriks ketetanggaan ( () ) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi matriks seperti berikut. ( () ) [ () () ()() ] , untuk dengan adalah matriks yang berukuran yang semua entrinya bernilai 1, [ ]. adalah matriks identitas yang berukuran , [ ]. Sehingga [ ] dan () .
Transcript of BAB III Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop dan
12
BAB III
Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop ( ) dan ( )
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai determinan matriks ketetanggan dari graf
lollipop ( ) dan ( ).
3.1 Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop ( )
Secara umum, matriks ketetanggaan dari graf lollipop dengan dan
dapat dituliskan sebagai ( ( )). Matriks ( ( )) merupakan
matriks berukuran dengan yang dapat dinyatakan sebagai
berikut.
( ( ))
[ ]
Matriks ketetanggaan ( ( )) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi
matriks seperti berikut.
( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )
]
, untuk
dengan
adalah matriks yang berukuran yang semua entrinya bernilai 1,
[
].
adalah matriks identitas yang berukuran , [
].
Sehingga [
] dan ( ) .
13
( ) ( )merupakan matriks tridiagonal,
( ) ( )
[
]
Matriks ( ) merupakan matriks yang semua entrinya bernilai 0
kecuali pada baris ketiga kolom pertama bernilai 1,
( ) [
]
Matriks ( ) merupakan matriks yang semua entrinya bernilai 0
kecuali pada baris pertama kolom ketiga bernilai 1,
( ) [
]
Invers dari matriks dapat ditentukan dengan menggunakan metode
Eliminasi Gauss-Jordan sebagai berikut:
[
]
( )
[
]
[
]
( ) [
]
( ) [
]
[
]
14
( ) [
]
( )
[
]
Sehingga diperoleh ( )
[
]
.
Untuk mendapatkan matriks ( )( ) ( ) diperlukan
beberapa tahapan seperti berikut:
1. [
]
[
]
[
]
Hasil kali pada akan memindahkan baris ketiga pada ke
baris pertama pada matriks .
2. ( ) [
] [
]
[
]
Pada matriks akan muncul nilai 0 kecuali pada baris ke-3 kolom
ke-1 yang bernilai 1. Hal ini akan menyebabkan, perkalian antara
( ) dan diperoleh nilai
pada baris ke-1 kolom ke-1.
Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh matriks sebagai berikut.
[ ]
[
]
15
[
]
Lema 3.1 Misalkan ( ( )) menyatakan matriks ketetanggaan dari graf lolipop
( )dengan ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )
]
,untuk
( )
{
Bukti:
Matriks dapat ditentukan dengan melakukan ekspansi kofaktor
sebagai berikut.
1. Kasus I, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama, diperoleh
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
( ) ( )
.
Dengan demikian, ( )
jika .
2. Kasus II, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama, diperoleh
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( )
Dengan demikian, ( )
jika .
3. Kasus III, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua, diperoleh
( )
|
|
|
|
|
|
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( ) ) (( ) ) .
Dengan demikian, ( ) jika .
4. Kasus 4, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua, diperoleh
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( ) ( )) (( ) )
Dengan demikian, ( ) jika .
Berdasarkan keempat kasus tersebut diperoleh teorema mengenai
( ( ( ))) seperti berikut.
18
Teorema 3.1.1
( ( ( ))) {
Bukti:
Misalkan [
]. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa ( ) .
Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh ( )
{
Karena ( ( )) dinyatakan sebagai ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )
]
,
untuk maka,
( ( )) 0
1 ( ) ( )
1. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
2. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
3. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
19
4. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
Contoh 3.1.1 Pada contoh ini akan ditunjukkan bahwa nilai determinan matriks
ketetanggaan graf lolipop ( ) sesuai dengan hasil yang dikemukakan pada
Teorema 3.1.1.
Gambar 3.1.1 Graf Lolipop ( ).
Matriks ketetanggaan dari graf lolipop ( ) adalah
( ( )) [
]
dengan ( ( )) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi matriks ( ( ))
0
1
[
]
( ) [ ]
( ) , -
( ) ( ) , -
20
Diperoleh,
( ) [
] 2 dan =
[
]
.
Akibatnya,
( ) , - , -
[
]
[ ] [
]
Dengan demikian, ( )
sehingga ( ( )) ( ) ( ) (
) .
Contoh 3.1.2 Pada contoh ini akan ditunjukkan bahwa nilai determinan matriks
ketetanggaan graf lolipop ( ) sesuai dengan hasil yang dikemukakan pada
Teorema 3.1.1.
Gambar 3.1.2 Graf Lolipop ( ).
Matriks ketetanggaan dari graf lolipop ( ) adalah
( ( ))
[
]
21
dengan ( ( )) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi matriks ( ( ))
0
1.
[
]
( ) [
]
( ) 0
1
( ) ( ) 0
1
Diperoleh,
( ) [
] 2 dan =
[
]
.
Akibatnya,
( ) 0
1 0
1
[
]
[
] [
]
Dengan demikian, ( )
sehingga ( ( )) ( ) ( ) ( )
22
3.2 Determinan Matriks Ketetanggaan dari Graf Lolipop ( )
Secara umum, matriks ketetanggaan dari graf lolipop dengan dan
dapat dituliskan sebagai ( ( )). Matriks ( ( )) merupakan
matriks berukuran dengan yang dapat dinyatakan sebagai
berikut.
( ( )) =
[ ]
Matriks ketetanggaan ( ( )) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi
matriks seperti berikut..
( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )
]
,untuk
dengan
adalah matriks yang berukuran yang semua entrinya bernilai 1,
[
].
adalah matriks identitas yang berukuran , [
]
Sehingga [
] dan ( ) .
( ) ( ) merupakan matriks tridiagonal,
23
( ) ( )
[
]
( ) merupakan matriks yang semua entrinya bernilai 0 kecuali pada
baris ketiga kolom pertama bernilai 1,
( ) [
]
( ) merupakan matriks yang semua entrinya bernilai 0 kecuali pada
baris pertama kolom ketiga bernilai 1,
( )
[
]
Invers dari matriks dapat ditentukan dengan menggunakan metode
Eliminasi Gauss-Jordan sebagai berikut:
[
]
( )
[
]
[
]
( ) [
]
( ) [
]
24
( ) [
]
( ) [
]
( )
[
]
(( ) )
[
]
(
)
[
]
.
/
[
]
( )
[
]
( )
[
]
25
( )
[
]
( )
[
]
Sehingga, diperoleh ( )
[
]
Untuk mendapatkan matriks ( )( ) ( ) diperlukan
beberapa tahapan seperti berikut.
1.
[
]
[
]
[
]
Hasil kali pada akan memindahkan baris 3 pada ke baris ke-
1 pada matriks C.
2. ( )
[
]
[
]
[
]
26
Pada matriks akan muncul nilai 0 kecuali pada baris ke-3 kolom ke-
1 yang bernilai 1. Hal ini akan menyebabkan, perkalian antara
( ) dan diperoleh nilai
pada baris ke-1 kolom ke-1.
Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh matriks sebagai
berikut.
[ ]
[
]
[
]
Lema 3.2 Misalkan ( ( )) menyatakan matriks ketetanggaan dari graf lolipop
( ) dengan ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )
]
,untuk .
( )
{
Bukti:
Determinan matriks dapat ditentukan dengan melakukan ekspansi
kofaktor sebagai berikut.
1. Kasus I, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama, diperoleh
27
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( )
.
Dengan demikian, ( )
jika .
2. Kasus II, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama, diperoleh
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( )
.
Dengan demikian, ( )
jika
28
3. Kasus III, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua, diperoleh
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( ) ) (( ) )
Dengan demikian, ( ) jika .
4. Kasus 4, jika
Dengan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua, diperoleh
( )
[
]
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( ) ( )) (( ) )
Dengan demikian, ( ) jika
Berdasarkan keempat kasus tersebut diperoleh teorema mengenai
( ( ( ))) seperti berikut.
Teorema 3.2.1
( ( )) {
Bukti:
Misalkan [
]. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa ( )
.
Berdasarkan Lema 3.2, diperoleh ( )
{
Karena ( ( )) dinyatakan sebagai ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )
]
untuk maka,
( ( )) 0
1 ( ) ( ) .
1. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
30
2. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
3. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
4. Jika
( ( ( )) ( ) ( )
Contoh 3.2.1 Pada contoh ini akan ditunjukkan bahwa nilai determinan matriks
ketetanggaan graf lolipop ( ) sesuai dengan hasil yang dikemukakan pada
Teorema 3.2.1.
Gambar 3.2.1 Graf lolipop ( ).
Matriks ketetanggaan dari graf lolipop ( ) adalah
31
( ( ))
[
]
dengan ( ( )) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi matriks ( ( ))
0
1
[
]
( ) [
]
( ) , -
( ) ( ) , -
Diperoleh,
( ) [
] dan
[
]
Akibatnya,
( ) , - , -
[
]
[
] 0
1
Dengan demikian, ( )
32
sehingga ( ) ( ) .
/
Contoh 3.2.2 Pada contoh ini akan ditunjukkan bahwa nilai determinan matriks
ketetanggaan graf lolipop ( ) sesuai dengan hasil yang dikemukakan pada
Teorema 3.2.1.
Gambar 3.2.2 Graf lolipop ( ).
Matriks ketetanggaan dari graf lolipop ( ) adalah
( ( ))
[
]
dengan ( ( )) dapat dinyatakan dalam bentuk partisi matriks ( ( ))
0
1
[
]
( ) [
]
( ) 0
1
( ) ( ) 0
1
Diperoleh,
33
( ) [
] dan
[
]
.
Akibatnya,
( ) 0
1 (0
1
[
]
[
]
[
].
Dengan demikian, ( )
sehingga ( ) ( ) ( )
