Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Plannar dan Graf Dual

7/25/2019 Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Plannar dan Graf Dual

http://slidepdf.com/reader/full/representasi-graf-graf-isomorfik-graf-plannar-dan-graf-dual 1/44

Representasi Graf,

Graf Isomork,Graf Planar dan

Graf BidangOleh Kelompok II



MATERIRepresentasi Graf

Graf Isomork

Graf Planar dan Graf

Bidang

Graf Dal



RepresentasiGraf

Terdapat beberapa macam representasi graf. Namun di sini hanya diberikan

tiga macam representasi yang sering digunakan, yaitu matriks ketetanggaan,

matriks bersisian dan senarai ketetanggaan.

!" Matriks Ketetanggaan #Ad$a%en%&Matri'(

( )

Matriks ketetanggan menyatakan ketetanggaan simpul-simpul di dalam

graf. adalah matriks dwimatra yang berukuran . Misalkan

, adalah graf dengan simpul, 1. Bila matriks tersebut

dinama

G n n

G V E n n×

= ≥

ij ij

ij

kan A !a ", maka a 1 jika simpul dan bertetangga,

sebaliknya a # jika simpul dan tidak bertetangga.

i j

i j



1

$

%

&

1

%$

&

'1

& $

%

Matriks ketetanggaannyasimetri


Matriksketetanggaannya tidak

Matriks ketetanggaan dinamakan juga matriks n(l-satu karena pada matriks

tersebut hanya berisi dari n(l dan satu. )elain angka # dan 1 elemen matriks

juga dapat dinyatakan dengan nilai *menyataka false n #+ dan *menyatakan 1+.true

1 # 1 1 #

& 1 # 1 1

$ 1 1 # 1

% # 1 1 #

1 # 1 1 # #

& 1 # 1 # #

$ 1 1 # 1 #

% # # 1 # #

' # # # # #

1 & $ % '

1 & $ % 1 # 1 # #

& 1 # 1 1

$ 1 # # #

% # 1 1 #

1 & $ %



1

&

$

%

e%

e

e

e&

e1

e'

e$

e


1 # 1 & #

& 1 # 1 1

$ & 1 1 &

% # 1 & #

1 & $ %

/euntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah elemen matriksnyadapat diakses langsung melalui indeks. )elain itu, kita juga dapat menentukan

dengan langsung apakah simpul dan simpuli j bertetangga.

&

0umlah elemen matriks

ketetanggan untuk graf

dengan n simpul adalah .n

1

1

erajat tiap simpul dapat dihitung dari matriks ketetanggan.

2ntuk graf tak-berarah, * +

)edangkan untuk graf berarah, * + jumlah nilai pada k(l(m

n

i ij

j

n

j ij

i

i

d v a

d v j a

=

=

=

=

∑

∑

1 * + jumlah nilai pada baris

n

i ij jd v i a=

=

∑



)ontoh

1

$

%

&

1

%$

&

'

Berdasarkan gambar disamping,

tentukan derajat simpul & dan derajat simpul % 3

0awab 4

erajat simpul & 1 # 1 1 $

erajat simpul % # 1 1 # &

+ + + =

+ + + =

Berdasarkan gambar disamping,

tentukan derajat simpul % dan derajat simpul ' 3

0awab 4

erajat simpul % # # 1 # # 1

erajat simpul ' # # # # # #

+ + + + =

+ + + + =



)ontoh

a

b

cd

e

1# 1&

5

1%

1' 11

1

& $

%

Berdasarkan gambar disamping, tentukan

derajat simpul & 3

0awab 4

erajat-masuk simpul & 1 # # 1 &

erajat-keluar simpul & 1 # 1 1 $

+ + + =

+ + + =

1& 1#1& 5 11

5 1%

11 1% 1'

1# 1'

ab

c

d

e

∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

a b c d e

i bawah ini merupakan gambar graf berb(b(t.

Tanda menyatakan bahwa

tidak ada sisi dari simpul

ke simpul atau dari simpul

ke simpul itu sendiri,

sehingga dapat diberi

nilai tak hingga.

ij

i

j

i i

a

∞



*" Matriks Bersisian #In%iden%& Matri'(

Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi.

Matriks bersisian 6 adalah matriks dwimatra yang berukuran .n m×

Baris menunjukkan label simpul, sedangkan k(l(m menunjukkan label sisi.

Bila matriks tersebut dinamakan , maka 1 jika simpul bersesuaian

dengan sisi , sebaliknya # jika simpul

ij ij

ij

A a a i

j a i =

tidak bersisian dengan sisi .

Matriks bersisian dapat digunakan untuk mempresentasikan graf yang mengandung

sisi ganda atau sisi gelang.

j



&

e%

1

$

%

e

e&

e1

e'

e$

i bawah ini diperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang

direpresentasikannya. Maka jumlah elemen matriks bersisian

tersebut adalah % - &% elemen.× =

1 1 1 # 1 # #

& 1 1 1 # # #

$ # # 1 1 1 #

% # # # # 1 1

1 & $ % ' -e e e e e e



+" enarai Ketetanggaan #Ad$a%en%&list(

1

$

%

&

1

%$

&

'

1

& $

%

/elemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah sisi relatifsedikit atau bersifat jarang * +, yaitu banyak mengandung banyak elemen

n(l, sedangkan elemen yang bukan n(l sedikit.

sparse

itinjau dari implementasinya

di dalam k(mputer, kebutuhan ruang mem(ri untuk matriks jarang b(r(s

karena k(mputer menyimpan elemen # yang tidak perlu.

)enarai ketetanggaan4

14 &, $

&4 1, $, %

$4 1, &, %

%4 &, $


14 &, $

&4 1, $

$4 1, &, %

%4 $

'4 -


14 &

&4 1, $, %

$4 1

%4 &, $



Graf Isomork#Isomorphi%

Graph(

1 &ua buah graf, dan dikatakan is(m(rfik jika terdapat k(resp(ndensi

satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya

sedemikian sehingga jika sisi bersisian dengan simpul

G G

e u 1

&

&

dan di ,

maka sisi 7 yang berk(resp(n di juga harus bersisian dengan simpul

7 dan 7 di .

v G

e G

u v G

ua buah graf yang is(m(rfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan

simpul dan sisinya saja yang berbeda. 8ni benar karena sebuah graf dapat

digambarkan dalam banyaknya cara.



$

&1

%

d c

ba

v w

x y

1 & 1

&

9ada gambar diatas, is(m(rfik dengan . )impul 1, &, $, dan % di

berk(resp(nden dengan simpul a, b, c, dan d di .

)isi *1,&+, *&,$+, *$,1+, *$,%+, *1,%+ dan *&,%+ berk(resp(nden dengan sisi *

G G G

G

a

1 &

1 & $ $

, +,

* , +, * , +, * , +, * , +, * , +. )emua simpul di dan berderajat $. maupun tidak is(m(rfik dengan , karena simpul-simpul di

dua buah berderajat dua dan dua buah lagi berderajat tig

b

b c c d a d a c b d G GG G G G

1 &

a, sedangkan

simpul-simpul di dan semua berderajat tiga.G G

1G

&G

$G



:(nt(h lain graf yang is(m(rfik.

ari definisi is(m(rfik kita menyimpulkan dua buah is(m(rfik memenuhiketiga syarat berikut4

1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.

&. Mempunyai jumlah sisi yang sama.

$. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu.



u

x

v

w

y

*a+ *b+

Namun ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin keis(m(rfikan.

:(nt(hnya sebagai berikut.

ua buah graf di atas memenuhi ketiga syarat yang telah disebutkan

sebelumnya. 9adahal keduanya tidak is(m(rfik. i * + terdapat dua

simpul anting-anting *berderajat 1+ yang bertetangga dengan simpul

a

, sedangkan di * + hanya terdapat satu buah simpul anting-anting

yang bertetangga dengan . 8tulah sebabnya kedua graf di atas tidak

is(m(rfik.

x b

y



)ontoh

d

c

e

g

h f b

a

s

r

t

v

w u q

p

Apakah pasangan graf di bawah ini is(m(rfik;

. /arena tidak ada k(resp(densi satu-satu antara simpul pada

kedua graf. Tinjau misalnya simpul , simpul bertetangga degan dua buah

simpul berderajat & * dan + dan sebuah simpul be

Tidak isomorfik

d d

a c rderajat $ * +. 6raf

disebelah kanannya tidak mempunyai simpul yang berk(resp(nden dengan

*jika dianggap sebagai simpul yang berk(resp(nden dengan , maka ini

jelas tidak benar, sebab bertetangg

h

d

s d

s a dengan sebuah simpul berderajat & * +

dan dua buah simpul berderajat $ * dan +.

r

p w



)ontoh

s r

t

a

u

q p

f e

d

b

c

Apakah pasangan graf di bawah ini is(m(rfik;

, . /arena terdapat k(resp(nden satu-satu antara simpul pada

graf sebelah kiri dengan simpul-simpul pada graf sebelah kanan, yaitu4

berk(resp(nden dengan <

berk(resp(n

Iya isomorfik

a u

b den dengan <





q

c r

d s

e p

f t



b c

a

d

ev

w

x y

)AMA

/edua graf tersebut is(m(rfik

2ntuk memperlihatkan bahwa dua buah graf is(m(rfik, kita dapat menunjukkan

bahwa matriks ketetanggan kedua graf itu sama.

# 1 1 1 #

1 # 1 # #

1 1 # 1 #

1 # 1 # 1

# # # 1 #

a

b

c

d

e

Matriks ketetanggaannya

# 1 1 1 #

1 # 1 # #

1 1 # 1 #

1 # 1 # 1

# # # 1 #

w

x

y

v

a b c d e

Matriks ketetanggaannya

w x y v



)ontoh

Apakah graf sederhana yang disajikan (leh pasangan matriks ketetanggaan

di bawah ini is(m(rfik; 0elaskan jawaban, lalu gambarkan grafnya3

# 1 # 1

1 # # 1

# # # 1

1 1 1 #

# 1 1 1

1 # # 1

1 # # 1

1 1 1 #

1

&

0awab4

/eduanya tidak is(m(rfik karena jumlah sisi pada graf pertama dan graf kedua

tidak sama. 6raf pertama * + mempunyai % buah sisi, sedangkan graf kedua

* + mempunyai ' buah sisi.

G

G

1* +G

&* +G



Graf Planar danBidang

6raf yang 7dapat digambar7 tanpa terjadinya perp(t(ngan antar dua sisi

disebut graf planar. 0ika tidak disebut graf tak-planar.

6raf planar yang 7digambarkan7 tanpa ada perp(t(ngan antar sisi

disebut graf bidang.

6raf bidang pasti merupakan graf planar, tapi graf planar

belum tentu graf bidang.



)ontoh

%6raf / adalah 6raf 9lanar

6raf / bukan 6raf 9lanar



)ontoh

E

! " ! # ! $ ! " ! $ ! #

G% E G%

1 & $Terdapat tiga buah rumah , , dan , masing-masing dihubungkan

tiga buah utilitas -air* +, gas* +, dan listrik* +- dengan alat pengantar

*pipa, kabel, dsb+. Mungkinkah membangun utilitas sehingga

! ! !

% G E

tidak ada

pengantar yang saling berp(t(gan;*sebab kalau berp(t(ngan dikhawatirkan

timbul masalah yang serius, misalnya bila kabel listrik berp(t(ngan dengan

pipa gas dapat terjadi ledakan+

$,$6raf / bukan 6raf 9lanar



)ontoh

6ambarkan graf planar di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berp(t(ngan *menjadi graf bidang+.

0awab4

)usun kembali sebuah simpul untuk mendapatkan sebuah s(lusi.



RmsEler

)isi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah

* atau +.

0umlah wilayah pada bidang datar termasuk wilayah luar.

0umlah wilayah pada graf planar sederhana dapat dihitung d

region face

engan rumus,

&

atau

&

yang dalam hal ini,

jumlah simpul

jumlah sisi

n e f

f e n

n

e

− + =

= − +



)ontoh

&"

&' &$ &#

&(

&)

Tentukan jumlah wilayah pada graf planar berikut3

0awab4

& 11 &

0adi, jumlah wilayahnya

f e n= − + = − + =



)ontoh

Misalkan graf sederhana planar dan terhubung memiliki &% buah simpul,

masing-masing simpul berderajat %. =epresentasi planar dari graf tersebut

membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak

wilayah yang terbentuk;

0awab4

iketahui &%, maka jumlah derajat seluruh simpul adalah &% % 5.

Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat & jumlah sisi, sehingga

jumlah derajat 50umlah sisi * + %.& &

ari ru

n

e

×

×

mus >uler, - &, sehingga

& -

& - &% %

&

n e f

f jumlah wilayah n e

buah

+ =

= = +

= +

=



KetidaksamaanEler

)etiap daerah pada graf planar dibatasi (leh tiga atau lebih sisi. 0adi,

t(tal banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan $ . Tetapi, karena

suatu sisi barada pada batas paling banyak dua wilayah, mak

f

a t(tal

banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan & . 0adi,

&& $ atau

$dari rumus >uler, - &

&sehingga4 &

$

& 1

- & - - &$ $

1- & $ *ketidaksamaan >uler+

$

e

ee f f

f e n

ee n

e

e n e n

e n e n

≥ ≥

= +

≥ − +

− ≥ + ⇒ ≥ +

≤ ⇒ ≤ −

)uatu graf dikatakan planar jika memenuhi ketidaksamaan >uler.

0ika tidak memenuhi maka graf dikatakan tidak planar.



* (

)ontoh

%9ada graf / berikut, %, . Tentukan apakan graf tersebutmemenuhi ketidaksamaan >uler;

n e= =

%

0awab4

$ - $*%+ -

karena , maka graf / dikatakan memenuhi

ketidaksamaan >uler $ - . Maka graf tersebut merupakan graf plannar

n

e

e n

= =

=

≤



)ontoh

* '

'9ada graf / berikut, ', 1#. Tentukan apakah graf di bawah ini

memenuhi /etidaksamaan >uler;

n e= =

'

'

0awab4$ - $*'+ - 5

/arena 1# 5, maka graf / dikatakan

tidak memenuhi /etidaksamaan >uler $ - .

Artinya graf / tidak planar.

n

e

e n

= =

= >

≤



9erlu diketahui bahwa /etidaksamaan >uler

merupakan < 7bukan7 .

Artinya jika suatu graf memenuhi /etidaksamaan >uler,

maka belum tentu graf tersebut planar.

syarat perlu syarat cukup



* $+$

)ontoh

$,$9ada graf bipartit / berikut, , 5. Tentukan apakah graf tersebutmemenuhi /etidaksamaan >uler;

n e= =

$,$

0awab4

$ - $*+ - 1&

idapat 5 1&. ?alaupun memenuhi ketidaksamaan >uler,

kita telah mengetahui bahwa graf / bukan graf planar.

n

e

= =

= <



$,$2ntuk menunjukkan bahwa / bukan graf planar menurut

ketidaksamaan >uler, kita perlu membuat asumsi baru bahwa setiap wilayah

pada graf bidang dibatasi (leh paling sedikit empat buah sisi *% +,

sehi

f

ngga berlaku ketidaksamaan4

& % atau&

dari rumus >uler, - &

sehingga4 - &&

- - & - - && &

- & & - %

&

ee f f

f e n

e

e n

e ee n n

en e n

≥ ≥

= +

≥ +

≥ + ⇒ ≥ +

≤ ⇒ =

$,$

$,$

dengan demikian, graf tidak memenuhi ketidaksamaan & - %, karena

5<

5 &*+ - % * +

hal ini berarti bahwa bukan graf planar.

* e n

e n

salah

*

≤

= =

≤ =



TeoremaKrato-ski

)ifat graf /urat(wski4

1. /edua jenis graf /urat(wski adalah graf teratur.

&. /edua graf kurat(wski adalah graf tidak planar.

$. 9enghapusan sisi atau simpul dari graf kurat(wski menyebabkan menjadi

graf planar.%. 6raf kurat(wski pertama adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul

minimum, sedangkan graf kurat(wski keda adalah graf tidak planar

dengan jumlah sisi minimum. /eduanya adalah graf tidak planar paling

sederhana.

'

Menurut /urat(wski terdapat & jenis graf tidak planar, yaitu4

1. 6raf lengkap yang mempunyai ' buah simpul */ +, adalah

graf tidak planar.

&. 6raf terhubung teratur dengan buah simpul dan 5 buah $,$sisi*/ +

adalah graf tidak planar.



f e d

ca b

G

a b c

d e f

G"

' $,$

1

6raf adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf

yang is(m(rfik dengan atau atau h(m(erfik dengan

satu dari keduanya.

9erhatikan graf berikut. 6raf mengandung yang is(m(r

G

* *

G G

$,$

fik

dengan graf , jadi tidak planar. * G



d a

e f

a

b c

g d

b c

f

G"

G

a b c

d e f * $+$

e

1 $,$6raf tidak planar karena upagrafnya is(m(rfik dengan .G G *



v

x

y

* 'G"G

.omeomork

1 &ua graf 6 dan 6 dikatakan @(me(m(rfik jika salah satu dari kedua graf

tersebut dapat diper(leh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan atau

membuang secara berulang-ulang simpul yang 7berderajat &7.

& 1

$ &

/etiga graf diatas adalah @(me(m(rfik satu sama lain.

6raf 6 didapat dengan menghilangkan simpul pada 6 .

)edangkan 6 didapat dari 6 dengan menambahkan simpul dan .

v

x y



)ontoh

%

&

1

' $

1#

5

%

&

1

' $

5

%

&

1

' $

%&

'$1

9erlihatkan dengan te(rema /urat(wski bahwa graf 9etersen di bawah

ini tidak 9lanar3

Buatlah sebuah upagrafnya

dengan membuang simpul-

simpul berderajat &.

&

1

/ita akan per(leh

yang h(me(m(rfik

dengan .

G

G

* + 6raf 9etersenG1

* + 2pagraf dariG G

& 1* + @(me(m(rfik denganG G

$,$ &* +h(me(m(rfik dengan * G



Terapan Graf

Planar9erhatikanlah bahwa te(rema /urat(wski lebih mudah digunakan untuk

menentukan bahwa sebuah graf tidak planar. 2ntuk membuktikan bahwa

suatu graf planar relatif lebih sulit.

Terapan graf planar , yaitu pers(alan utilitas dalam merancang jaringan pipa

air, pipa gas, dan kabel listrik bawah tanah agar ketiganya tidak saling

bersilangan. Terapan graf planar lainnya adalah pada perancangan

integrated circuit *8:+ pada sebuah papan. /awat-kawat yang menghubungkan

simpul-simpul 8: harus dirancang sedemikian rupa agar tidak bersilangan,

sebab persilangan dua buah kawat yang beraliran listrik dapat menimbulkan

interferensi arus, yang mengakibatkan terganggunya fungsi 8: tersebut.



GrafDal

Misalkan kita mempunyai sebuah graf planar yang direpresentasikan

sebagai graf bidang. /ita dapat membuat suatu graf bidang B yang secara

ge(metri merupakan dual dari graf tersebut dengan cara4

1.

G

G

9ada setiap wilayah atau muka * + di , buatlah sebuah simpul B

yang merupakan simpul untuk B .

&. 2ntuk setiap sisi di , tariklah sisi B yang mem(t(ng sisi tersebut.

6raf yang ter

face f G v

G

e G e e

bentuk dengan cara penggambaran demikian disebut graf dual

* + dari graf .dual geometri G



v",

v#,

v$,

e,

)ebuah graf memiliki dual hanya jika graf tersebut merupakan graf plannar.

9embentukan graf dual 6B dari graf 6.



e-

e) e'

e(

e#

e$e"

e-

e) e'

e#

e$

e"

e(

9erhatikan dua representasi bidang yang berbeda dari graf

yang sama di bawah ini.

Telah nyata bahwa kedua graf di atas adalah is(m(rfik.

Calu apakah graf dualnya juga akan is(m(rfik;

6raf dualnya akan dipaparkan pada slide selanjutnya.



9erhatikan graf pertama di bawah ini.

i atas merupakan graf dualnya.



ari kedua graf dual tersebut dapat kita gambar sebagai berikut.

ari kedua graf dual di atas,

telah terlihat bahwa ternyata keduanya tidak is(m(rfik.



Demikian presentasidari kami

emoga Bermanfaat

TERIMA KAI.

Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Plannar dan Graf Dual

Documents

Transcript of Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Plannar dan Graf Dual