DETERMINANHanan Atqiya 21060113083004Petra Aprilia 21060113083014Damai Sekar 21060113083025

DETERMINAN• Untuk setiap matriks persegi A

dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan.

• Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|

MENENTUKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS BERORDO 2 X 2

• Jika A = ,

maka det(A) =a.d – b.c• Contoh : Tentukan nilai determinan dari

matriks A =

Jawab : det (A) = 5 . 3 - (-4). 2 = 23

dc

ba

32

45

MENENTUKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS BERORDO 3 X 3

DENGAN ATURAN SARRUS • Jika B =

Digunakan aturan Sarrus:

a b c a b

|A| = d e f d e

g h i g h (-) (-) (-) (+) (+) (+)

= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i

ihg

fed

cba

• Contoh:

9

1524

5.34.6

45

36.1

A

A

107

69176

)5640()160016(

)1.1.58.4.28.4.0()8.4.51.4.08.1.2(

8

1

0

1

4

2

881

414

502

881

414

502

.2

A

A

Contoh : Tentukan nilai determinan

dari matriks

B =

987

654

321

Jawaban

• B =

=

= (1.5.9)+(2.6.7)+(3.-4.-8)-(2.-4.9)-(1.6.-8)-(3.5.7)= 45 + 84 + 96 – (-72) – (-48) – 105=240

987

654

321

8

5

2

7

4

1

987

654

321

MENCARI DETERMINAN MATRIKS DENGAN TRANSFORMASI BARIS ELEMENTER

MENENTUKAN DETERMINAN MATRIKS DGN TBE :

Langkah :1. Dengan menggunakan TBE, ubah matriks tsb

M.Sgtg Atas / Bawah2. Nilai determinan = perkalian antar elemen2

pada diagonal utamanya

Contoh TBE

751

432

321

A

430

432

321

133 bbb

430

210

321

2 122 bbb

430

210

321

2 122 bbb

200

210

321

3 233 bbb

2)2).(1.(1)det( A

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1.Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi,

2225

41

2224

51

A

AT

AT juga bisa ditulis sebagai A’

2. Matriks persegi yang memiliki baris / kolom

0 maka determinan matriks sama dengan 0

0

)]5.5.0()0.1.2()8.0.2[(

)]8.1.0()5.0.2()8.0.1[(

085

051

022

B

3. DETERMINAN DARI SUATU MATRIKS PERSEGI A YANG SALAH SATU BARIS (KOLOM) DIKALIKAN DENGAN SKALAR K, MAKA DETERMINANNYA BERUBAH MENJADI K A

|A| = 43

12

|A| = 5

Jika baris kedua dikalikan dengan 7 2821

12

= 35 = 7 |A|

Akibat sifat ini :2821

12

= 743

12

= 7 (5) = 35

Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyaifaktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.

211

121

1269

= 3211

121

423

2121

183

142

= 4

231

123

112

4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.

32

57 = 31

Baris pertama ditukar baris kedua

57

32

= – 31

3123

75

Kolom pertama, ditukar kolom kedua

5. DETERMINAN DARI SUATU MATRIKS PERSEGI YANG MEMPUNYAI DUA BARIS (KOLOM) YANG SAMA ADALAH SAMA DENGAN 0 (NOL).

27

27

= 0303

232

111

= 0

6. DETERMINAN DARI SUATU MATRIKS PERSEGI YANG SALAH SATU BARISNYA (KOLOMNYA) MERUPAKAN KELIPATAN DARI BARIS (KOLOM) YANG LAIN ADALAH SAMA DENGAN 0 (NOL).

|B| =

Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0

1121

3161

2241

1121

7. DETERMINAN DARI MATRIKS PERSEGI A = (AIJ) BERDIMENSI N YANG BARIS KE -I (KOLOM KE-J) TERDIRI DARI ELEMEN-ELEMEN YANG DAPAT DIURAIKAN MENJADI DUA SUKU BINOMIUM, MAKA DETERMINANNYA SAMA DENGAN DETERMINAN A YANG BARIS KE-I (KOLOM KE-J) DIGANTI DENGAN SUKU BINOMIUM YANG PERTAMA DITAMBAH DETERMINAN A YANG BARIS KE-I (KOLOM KE-J) DIGANTI DENGAN SUKU YANG KEDUA.

69

1435 69

58

=69

45+ 39)6(

69

13

645

535

=

65

55+ 3)2(5

64

53

8. DETERMINAN SUATU MATRIKS PERSEGI TIDAK BERUBAH NILAINYA JIKA SALAH SATU BARIS (KOLOM) DITAMBAH DENGAN KELIPATAN BARIS (KOLOM) YANG LAIN.

41

32

= 11

Jika k2 + 3k1 11

92

1.341

2.332

= 11Jika b1 – b2 41

13

41

43)1(2

= 11

Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan

9. DETERMINAN DARI MATRIKS SEGITIGA ADALAH SAMA DENGAN PRODUK (HASIL KALI) ELEMEN-ELEMEN DIAGONALNYA.

500

310

273

= (3)(-1)(5) = - 15

1300

0411

0020

0003

= (-3)(-2)(4)(1) = 24

Matriks segitiga, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.

8. DETERMINAN SUATU MATRIKS PERSEGI TIDAK BERUBAH NILAINYA JIKA SALAH SATU BARIS (KOLOM) DITAMBAH DENGAN KELIPATAN BARIS (KOLOM) YANG LAIN.

41

32

= 11

Jika k2 + 3k111

92

1.341

2.332

= 11

Jika b1 – b2

41

13

41

43)1(2

= 11

Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan

9. DETERMINAN DARI MATRIKS SEGITIGA ADALAH SAMA DENGAN PRODUK (HASIL KALI) ELEMEN-ELEMEN DIAGONAL UTAMANYA.

500

310

273

= (3)(-1)(5) = - 15

1300

0411

0020

0003

= (-3)(-2)(4)(1) = 24

UJI KECEPATAN

Gunakan sifat determinan untuk menghitung :

53

21

b2 + 3b1

10

21

k1 – 2 k2

300

210

221

100

420

133

-1 -1

-3 -6