Post on 02-Mar-2019
1
BAHAN AJAR
ANALISIS REAL 1
DOSEN PENGAMPU
RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd.
NIDN. 0212088701
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2015
2
KATA PENGANTAR
حيمهللابسم ا حمن الر الر
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan
bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang
begitu melimpah.
Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad
SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam.
Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Sistem Bilangan Real,
Limit Barisan dan Limit Fungsi. Semoga bahan ajar ini dapat
memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam
pembelajaran Analisis Real 1 bagi mahasiswa Pendidikan Matematika
Metro, September 2015
Penyusun
3
BAB I SISTEM BILANGAN REAL
DEFINISI
Operasi biner pada himpunan A adalah fungsi dari A x A ke A.
Terdapat 2 operasi biner utama dalam sistem bilangan real. Yaitu
penjumlahan (+) dan perkalian (.)
Teorema 1.1
Sifat Aljabar dari
Pada himpunan bilangan real R terdapat dua operasi biner
penjumlahan (+) dan perkalian (.).
Dua operasi biner tersebut mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
(A1) (a+b) + c = a + (b+c),
(sifat assosiatif dari penjumlahan)
(A2)
(eksistensi elemen nol)
(A3) ( )
(Eksistensi elemen negatif)
(A4)
(Sifat komutatif dari penjumlahan)
(M1) ( ) ( )
(Sifat asosiatif dari perkalian)
(M2)
(Eksistensi elemen satuan)
(M3)
(Eksistensi invers)
(M4)
(Sifat komutatif dari perkalian)
4
(D) ( ) ( ) ( )
(Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
Kesembilan teorema diatas dikenal dengan Aksioma Lapangan (Field)
Teorema 1.2
(a) Jika maka
BUKTI:
z + a = a, dengan menambahkan –a pada kedua ruas, diperoleh:
(z+a) + (-a) = a + (-a)
Pada ruas kanan:
(z+a) + (-a) = z + (a+(-a)) = z + 0 = z
Pada ruas kiri:
(a) + (-a) = 0
Jadi dapat disimpulkan bahwa z = 0
(b) Jika
BUKTI:
Diketahui
Terdapat
= 1
Kedua ruas dikalikan dengan
, sehingga diperoleh: ( )
Ruas kanan:
( )
(
)
Ruas kiri:
= 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
5
Teorema 1.3
(a) Jika
Bukti:
, dengan menambahkan pada kedua ruas diperoleh:
( ) ( ) ( )
Pada ruas kiri:
( ) ( ) ( )
Pada ruas kanan:
( )
Jadi dapat disimpulkan bahwa
(b) Jika
Bukti:
Diketahui ,
Berdasarkan sifat M4,
Jika kedua ruas dikalikan
, maka diperoleh:
( )
Ruas kanan :
( ) (
)
Ruas kiri :
( )
Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
6
Teorema 1.4
Misalkan diberikan sebarang , maka:
(a) Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal
( )
Bukti:
Misalkan ( ) , maka
(( ) ) ( ( ))
Mengakibatkan bahwa ( ) merupakan penyelesaian
dari persamaan .
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian tersebut tunggal.
Misalkan adalah penyelesaian lain dari persamaan tersebut,
maka dan jika pada kedua ruas ditambahkan –a,
Maka diperoleh:
( ) ( ) ( )
Ruas kiri:
( ) ( ) ( )
Jadi dapat disimpulkan bahwa = ( )
Teorema 1.5
Jika , maka :
(a) (c) ( )
(b) ( ) (d) ( )( )
Bukti:
(a)
Dari sifat M2, selanjutnya dengan menambahkan pada
diperoleh:
( )
Dari teorema , maka dapat dilihat bahwa
7
Maka
(b) ( )
Bukti:
Dengan menerapkan sifat M3 dan M4, diperoleh:
( ) ( ) ( )
Dari teorema , sehingga disimpulkan:
( )
( )
(c) ( )
Bukti:
Dengan menerapkan sifat A4
Dan menggunakan teorema :
Sehingga disimpulkan bahwa:
( )
(d) ( ) ( )
Bukti:
Dengan menggunakan teorema: ( )
Kemudian subtitusi , maka diperoleh:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Teorema 1.6
Misalkan
8
(a) Jika
⁄ .
Bukti:
, maka
ada. Andaikan
= 0 dan kedua ruas dikalikan
dengan , maka diperoleh:
(
)
1 = 0
Kontradiksi, sehingga pengandaian
= 0 salah.
Haruslah
0
Selanjutnya karena (
) maka berdasarkan teorema:
Maka
Maka dapat disimpulkan bahwa
⁄
9
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL
Teorema 2.1 Sifat-Sifat Urutan dari
Terdapat himpunan bagian tak kosong P dari yang disebut himpunan
bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) Jika
(b) Jika
(c) Jika , maka tepat saru dari di bawah ini akan dipenuhi:
P
sifat (c) disebut Sifat Trichotomy.
Definisi 2.2
(i) Jika bilangan real positif dan ditulis > 0.
(ii) Jika * + bilangan non negatif dan ditulis 0.
(iii) Jika bilangan real negatif dan ditulis < 0.
(iv) Jika * + bilangan non positif dan ditulis 0.
Definisi 2.3
Misalkan
(a) Jika , maka ditulis atau
(b) Jika * +, maka ditulis atau
Selanjutnya notasi mempunyai arti dan .
Dengan cara yang sama, jika
Teorema 2.4
Misalkan
(a) Jika , maka ditulis
(b) Dipenuhi tepat satu dari:
10
(c) Jika
Bukti:
(a) Jika , maka ditulis
Jika berarti , sheingga
dengan aksioma: Jika , diperoleh:
( ) ( ) . Jadi
(b) Dipenuhi tepat satu dari:
Dengan sifat Trichotomy, dipenuhi tepat satu dari:
( ) P
(c) Jika
Andaikan , maka 0, sehingga dari (b) diperoleh
atau P. Dengan kata lain, . Hal ini kontradiksi
dengan hipotesis . Maka pengandaian salah. haruslah
Teorema 2.5
(a) Jika
(b) 1
(c) Jika , maka
Bukti:
(a) Dengan sifat Trichotomy, jika maka atau
Jika , maka dengan aksioma diperoleh =
Dengan cara yang sama, jika , maka ( )( ) ,
Maka ( )( ) =(-1) .(-1) = (-1).(-1). =
Sehingga disimpulkan: jika
11
(b) 1
Karena
(c) Jika , maka
Dibuktikan dengan induksi matematika :
(i) untuk n = 1, benar 1 > 0
(ii) untuk n = k, maka k > 0. Akan dibuktikan untuk n = k + 1
karena dan , maka
sehingga dengan aksioma: , maka terbukti bahwa
k + 1 > 0
dari (i) dan (ii) terbukti bahwa:
Teorema 2.6
Misalkan
(a) Jika , maka
(b) Jika dan , maka
(c) Jika dan maka
Jika dan maka
(d) Jika maka
Jika maka
Bukti:
(a) Jika , maka
Jika , berarti , sehingga (a + c) – (b + c) = .
Jadi (a + c) > (b + c)
(b) Jika dan , maka
dan berarti dan , sehingga dengan sifat:
Jika maka , diperoleh:
12
(a + c) – (b + d) = (a – b) + (c – d)
Jadi
(c) Jika dan maka
Jika dan maka
Jika dan , berarti dan , sehingga dengan sifat:
Jika maka , diperoleh:
( ) .
jadi
Jika , berarti , sehingga
( ) ( ) . Jadi
Contoh:
1. Jika
Bukti !
(i)
Andaikan dan maka = =
Sehingga .
Kontradiksi dengan . maka haruslah
(ii)
, maka = = 0 . 0 = 0
, maka = = 0 . 0 = 0
Sehingga
Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa:
Jika
2. Jika
Bukti:
13
Dan telah diketahui bahwa:
Maka disimpulkan bahwa :
Teorema 2.7
Jika a, b a < b, maka
( )
Bukti:
Karena a < b, maka dengan teorema: jika a > b, maka a + c > b + c
Sehingga diperoleh :
2a = a + a < a + b dan a + b < b + b = 2b
Jadi 2a < a + b < 2b
Dengan teorema: 1 > 0, diperoleh : 2 > 0,dan
> 0 sehingga dapat
disimpulkan:
a =
(2a) <
(a + b) <
(2b) = b
Jadi a <
(a + b) < b
Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat diambil kesimpulan
bahwa diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga
bilangan real.
Teorema 2.8
Teorema ini sebagai akibat dari teorema 2.2.7, yaitu:
Jika b dan b > 0, maka
( )
Bukti:
Subtitusikan a = 0 pada teorema :
( )
14
Maka diperoleh
( )
Teorema 2.9
Jika dan
Bukti:
Andaikan a > 0, maka dari teorema
a.
Jika dipilih =
, maka 0 < < a.
Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa
, .
Jadi haruslah a = 0.
Teorema 2.10
Jika dan
Bukti:
Andaikan b < a. Misalkan
(a – b), maka > 0.
Sehingga diperoleh b < a -
Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa .
Jadi haruslah
Teorema 2.11
Jika ab > 0, maka dipenuhi salah satu:
(a) a > 0 dan b > 0
(b) a < 0 dan b < 0
Bukti:
Karena ab > 0, maka dan b .
Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a > 0 atau a < 0.
Jika a > 0, maka berdasarkan teorema
, sehingga:
15
b = 1b = (
)a.b= (
)( )
Dengan cara yang sama, jika a < 0, maka
sehingga b = (
)( )
Contoh:
1. Buktikan bahwa 0 < a < b, maka √
( )
BUKTI:
Diketahui bahwa 0 < a < b
(√ √ )
√ √
√ √
√
( )
2. Buktikan bahwa (
( ))
( )
BUKTI:
( ) =
( ) 2 ( )
( )
( )
(
( ))
( )
16
NILAI MUTLAK
DEFINISI
Untuk a harga mutlak dari a, dinotasikan dengan | | didefinisikan
sebagai :
a; a
| | =
-a; a < 0
Sebagai contoh, | | = 3 dan | |= 2.
Dari definisi ini disimpulkan bahwa | | , a .
Teorema 3.1
(i) | | jika dan hanya jika a = 0
(ii) | | | | a
(iii) | | | || | a, b
(iv) jika c 0, maka | | jika dan hanya jika –c a c
(v) -| | a | | a
BUKTI:
(i) Dari definisi, jika a = 0 maka | | Sebaliknya, jika a 0, maka –a
0, sehingga | | 0. jadi, jika | | , maka a = 0.
(ii) Jika a = 0, maka | | 0 = | |. Jika a > 0, maka –a < 0
sehingga | |= a = -(-a) = | |. Jika a < 0 maka –a > 0 sehingga | |= -a
= | |.
(iii) Jika salah satu dari a, b bernilai nol, maka baik | | maupun | || |
sama-sama bernilai nol. Jika a > 0 dan b > 0, maka | |= ab = | || |. Jika
a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 sehingga | |= -ab = a(-b) = | || |.
17
Untuk dua kasus yang lain dapat dikerjakan dengan cara yang sama.
(iv) Jika | | | | maka diperoleh a c dan –a c. Hasil ini memberikan
a c dan –c a sehingga -c a .
Sebaliknya, jika -c a c, maka a c dan –a c, yang berarti | | c.
(v) Subtitusikan c = | | ke dalam (iv)
Teorema 3.2
Ketaksamaan Segitiga:
Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku : | | | | | |
Bukti:
Dari teorema: -| | a | | dan -| | b | |. Jika dijumlahkan:
-(| |+| |) a + b | | | |
Dengan teorema: | | jika dan hanya jika –c a c
maka disimpulkan bahwa: | | | | | |
Teorema 3.3
Teorema ini muncul sebagai akibat dari adanya teorema 2, yaitu:
Jika a dan b sebarang bilangan real, maka:
(i) || | | || | |
| | | | | |
Contoh:
Fungsi f didefinisikan dengan f(x) = ( )
( ) untuk 1
Tentukan konstanta M sehingga | ( )| M, 1 .
Jawab:
Perhatikan terpisah pembilang dan penyebut dari:
| ( )| = | |
| |
18
Dengan ketaksamaan segittiga diperoleh:
| | | | + 4 | | + 4.3 + 1 = 22
Karena | | 3, 1 . dipihak lain:
| | 3 | | 3.1 - 1 = 2
Karena | | 1 .
Jadi
| |
, untuk x . Sehingga untuk 1 berlaku:
| ( )| | |
| | = 22 .
= 11. Jadi dipilih M = 11
DEFINISI
Misalkan a dan Persekitaran a didefinisikan sebagai
himpunan (a) = { | | }.
Untuk a pernyataan bahwa (a) ekuivalen dengan pernyataan:
- < x – a < < x < a +
Teorema 3.4
Misalkan a Jika x anggota dari persekitaran (a), maka x
= a.
Bukti:
Jika x memenuhi | | , maka menurut teorema:
jika a dan 0 maka a = 0
Sehingga diperoleh:
| | yaitu x = a.
Contoh:
1. Misalkan a Tunjukkan bahwa | | √
Jawab:
Dari definisi (i) | | a, a
19
= ( )
= √
(ii) | | -a, a
| | ( )
= √
Dari (i) dan (ii) maka | | √
2. Misalkan a Tunjukkan bahwa | |
Jawab:
Telah ditunjukkan bahwa | | √
Pilih a = , maka diperoleh:
| | √
| | √( ) = ( )
=
Jadi | |
20
SIFAT KELENGKAPAN DAN ARCHIMIDES
DEFINISI
Misalkan S himpunan bagian dari .
a) Bilangan dikatakan batas atas dari himpunan S jika berlaku
untuk setiap .
b) Bilangan dikatakan batas bawah dari himpunan S jika
berlaku untuk setiap .
DEFINISI
Misalkan S himpunan bagian dari .
a) Jika S terbatas di atas, maka batas atas u adalah supremum
(batas atas terkecil) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih kecil
dari u yang merupakan batas atas dari S.
b) Jika S terbatas di bawah, maka batas bawah v adalah infimum
(batas bawah terbesar) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih
besar dari v yang merupakan batas bawah dari S.
Teorema 4.1
Bilangan u adalah supremum dari himpunan tak kosong , jika dan
hanya jika memenuhi :
a) untuk setiap .
b) Jika , maka terdapat sehingga .
Bukti :
a) Dari definisi u merupakan batas atas dari himpunan S jika :
untuk setiap
Diketahui u merupakan supremum (batas atas terkecil) dari
himpunan S , maka dari definisi batas atas berlaku
untuk setiap
21
u adalah supremum dari himpunan S berarti tak ada bilangan
yang lebih kecil u yang merupakan batas atas dari S.
, berarti karena u adalah sup S.
, berarti terdapat sehingga .
Jadi , jika maka terdapat sehingga .
Teorema 4.2
a) Batas atas u dari himpunan tak kosong , merupakan
supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat
sehingga .
b) Batas bawah l dari himpunan tak kosong , merupakan
infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat
sehingga .
Bukti:
a) Misalkan u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas.
Jika dan kita ambil , untuk setiap terdapat
sehingga .
Jadi v bukan batas atas dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih
kecil dari u , maka . Sebaliknya, misalnya dan
.
Karena , maka bukan batas atas dari S . Akibatnya
beberapa haruslah lebih besar daripada , yaitu .
b) Misalkan l adalah batas bawah dari S yang memenuhi kondisi di
atas. Jika dan kita ambil , untuk setiap terdapat
sehingga .
Jadi v bukan batas bawah dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih
besar dari l , maka . Sebaliknya, misalnya dan .
Karena , maka bukan batas bawah dari S .
22
Akibatnya beberapa haruslah lebih kecil daripada , yaitu
.
Teorema 4.3
(Sifat supremum dari R)
Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas atas
pasti mempunyai supremum di dalam R.
Bukti :
Misalkan S himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah.
Himpunan * + terbatas di atas, dan dari sifat supremum
diperoleh bahwa ada. Akibatnya .
Teorema 4.4
(Sifat infimum dari R)
Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas bawah
pasti mempunyai infimum di dalam R.
Bukti :
Sifat analog dari infimum juga dapat dideduksi dari sifat supremum di
atas.
Teorema 4.5
(Sifat Archimides)
Jika maka x
Bukti :
Andaikan x tidak benar, yaitu x .
Oleh karena itu, x adalah batas atas dari N
sehingga dengan sifat supremum maka himpunan tak kosong N
mempunyai supremum u didalam R.
karena u – 1 < u, maka dengan teorema:
23
batas atas u dari himpunan tak kosong , merupakan supremum
dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga
.
maka terdapat N sehingga u – 1 < m.
Tetapi akibatnya u < m + 1.
Karena m + 1 N , maka kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah
adalah batas atas dari N.
Contoh:
1. Jika dan { }
Buktikan bahwa :
Jawab :
Akan dibuktikan bahwa :
i) Misalkan , maka
Sehingga au batas bawah dari aS , akibatnya :
ii) Misalkan v , maka
Sehingga
batas bawah dari S , akibatnya :
Dari i dan ii, maka terbukti bahwa
24
Latihan 1
1. Teorema 1.4 bagian b !
2. Teorema 1.6 bagian b !
3. Teorema 1.6 bagian c !
4. Teorema 2.2.6 bagian d !
5. Buktikan: jika , maka √
6. Jika a dan b |
| =
| |
| | !
7. Jika dan { }
Buktikan bahwa :
8. Misalkan S = {
; n N}.
Buktikan bahwa: inf S = 0 !