Modul ke:

Fakultas

Program Studi

LOGIKA MATEMATIKA

Dosen:

Drs. Sumardi Hs., M.Sc.

01FASILKOM

Teknik Informatika

Himpunan – 1

Template Modul

Tentang

Abstrak Kompetensi Modul ini membahas pengertian himpunan, notasi-notasi, rumus-rumus, dan contoh-contoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada himpunan bilangan riil.

Mahasiswa dapat memahami pengertian himpunan, notasi-notasi, rumus-rumus, dan contoh-contoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada himpunan bilangan riil agar dapat menerapkan pada soal-soal yang diberikan.

HHHIIIMMMPPPUUUNNNAAANNN 01.1. PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan dengan jelas dan anggota-

anggotanya dapat dibedakan satu sama lain.

Contoh : 1. Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5.

A = {2,3,4} = {x | x = bilangan bulat, 1 < x < 5}

2. Himpunan hewan piaraan.

B = {kucing, anjing,…}

= {x | x = hewan piaraan}

3. Himpunan mahasiswa rajin belajar.

C = {Amir, Tuti, Hasan,…}

= {x | x = mahasiswa rajin belajar}

4. Himpunan titik-titik pada fungsi y = x-1 dengan x = bilangan bulat positif.

D = {(1,0),(2,1),(3,2),…}

= {(x,y) | y = x – 1, x = bil bulat positif}

Notasi : 1. = elemen/anggota.

aB = a elemen/anggota B

aC = a bukan elemen/anggota C.

2. Ø atau { } = Himpunan kosong

= Himpunan yang tidak mempunyai anggota.

3. S = Himpunan semesta (pembicaraan)

= Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan

4. atau atau = Himpunan bagian

A B atau B A

A B dibaca “A himpunan bagian dari B”

B A dibaca “B memuat A”

Contoh : A = {1,2} ; B = {0,1,2,3}

5. = Union/gabungan.

C D = C union D

Contoh : C = {a,b} ; D = {b,c,d}

C D = {a,b} {b,c,d}

= {a,b,c,d}

6. = Interseksi/irisan

dengan contoh di atas

C D = {b}

Diagram Venn

A B A B

A atau A A – B = A ∩ Bc

= {x | x E A} = {x | x Ẹ A dan x E B}

Misal : S = {1,2,3,4,5} Misal : A = {a,b,c,d,e}A = {3,5} B = {c,d,e,f,g}A = {1,2,4} A – B = {a,b,c}AA = S B – A = {f,g}

RUMUS-RUMUS

B – A = B A

1. (AC)C = A2. Ø = S Sc = Ø 3. A – B = A BC A + B = (A B) – (A B)4. A Ø = A A Ø = Ø5. A S = S A S = A 6. A A =A A A =A7. A AC = S A AC = Ø

8. Asosiatif :(A B) C = A (B C)(A B) C = A (B C)

9. KomutatifA B = B AA B = B A

10. Distributif :A (B C) = (A B) )∩(A C)A (B C) = (A B) (A C)

11. Demorgan (A B) = AC BC

(A B) = AC BC

A – (B C) = (A – B) ∩(A – C)A – (B∩C) = (A – B) (A – C)

12. Banyak anggota himpunan (n)n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) - n(A B) –

n(A B) + n(A B C)

Bilangan Kompleks

Bilangan Riil Bilangan Imaginer

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

Bilangan Pecah

Bilangan Bulat

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Cacah

Bilangan Nol

Bilangan Asli

1 dan Bilangan Prima

Bilangan Komposit

Bilangan Pecah Negatif

Bilangan Pecah Positif

Contoh :

Penerapan pada himpunan :

1. S = {x | x = bilangan asli}, A = {x | x bilangan prima}maka AC = {x | x = bilangan komposit atau x = 1}

2. A = {x | x = bilangan cacah}B = {x | x = bilangan komposit}maka A – B = {x | x {0,1}atau x = bilangan prima}

3. A = (x | x = bilangan riil}B = {x | x = bilangan bulat}maka A – B = {x | x = bilangan irasional atau x = Bilangan pecah}

HAL-HAL YANG PERLU DIKETAHUI !!

1. Bilangan Asli = 1,2,3,4,5,6,…

2. Bilangan Cacah = 0,1,2,3,4,5,…

3. Bilangan Prima = 2,3,5,7,11,13,…

4. Bilangan Komposit = 4,6,8,9,10,12,…(hasil perkalian mulai 4)

5. Bilangan Irasional = bilangan akar murni (,√2, √3, √5, √7 ,…), π, ..

6. Himpunan Lepas (saling asing) A & B, maka A B = Ø

77

7. Himpunan ekivalen C dan D, maka elemen-elemen yang seletak, ekivalen.

8. Himpunan Kuasa (2S).Adalah himpunan yang elemennya berupa himpunan-himpunan bagian dari S.Contoh : S = { a, b }

Maka 2S = { Ø, {a}, {b}, {a,b} }Jumlah anggota himpunan tersebut = 2² = 4

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN

Diketahui : S = {x | x bilangan riil}A = {x | -1 < x ≤ 0}B = {x | 0 < x ≤1}

Ditanyakan : Cari A B, A B, AC BC !Jawab :

Maka A B = {x | -1 < x ≤1}A B = {0}A B C = ( A B)C = {x | x ≤ -1 atau x > 1}

2. Buktikan : a). A – (B C) = (A – B) (A – C)b). A – (B C) = (A – B) (A – C)

Bukti ;a). A – (B C) = A (B C)C

= A (BC CC)= (A BC) (A CC)= (A – B) (A – C)

b). A – (b C) = A (B C)C

= A (BC CC) = (A BC) (A CC)= (A – B) (A – C)

3. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,2,3,4}B = {2,4,6,8} ; C = {3,4,5,6}

Ditanyakan ;

a). A B, A C, B Cb). A B, A C, B Cc). AC, BC, CC

d). A – B, B – A, C – A, B – Ce). (A B) – C

Jawab :a). A B = {2,4}

A C = {3,4}B C = {4,6}

b). A B = {1,2,3,4,6,8}A C = {1,2,3,4,5,6}B C = {5,6,7,8,9}

c). AC = {5,6,7,8,9}BC = {1,3,5,7,8,9}CC = {1,2,7,8,9

d). A – B = {1,3} B – A = {6,8}C – A = {5,6}B - C = {2,8}

e). (A B) – C = {2,4} – {3,4,5,6}= {2}

4. Sesuai soal nomor 3, buktikan :a). A (B C) = (A B) (A C)b). (A B) B (A B)c). (A B) B (A B)

Jawab :a). A (B C) = {1,2,3,4} {2,3,4,5,6,8}

= {2,3,4}(A B) (A C) = {2,4} {3,4}

= {2,3,4} Terbukti

b). (A B) A (A B){2,4} {1,2,3,4} {1,2,3,4,6,8}Terbukti bahwa setiap x (A B) maka x A dan setiap x A maka x (A B). Terbukti

c). (A B) B (A B){2,4} {2,4,6,8} {1,2,3,4,6,8}Terbukti bahwa setiap x (A B), maka x B dan setiap x B maka x (A B). Terbukti

5. Jika himpunan K = {x | x positif dan x² + 5x + 6 = 0}Maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah ?

Jawab : x² + 5x + 6 = 0(x + 3 (x + 2) = 0 - (x1 = -3)

- (x2 =-2)K = { } = Ø n (K) = 0

Jadi banyaknya himpunan bagian dari K = 2º = 1

SOAL - SOAL

1. Diketahui : S = {x | x bilangan riil}, A = {x | -3 < x ≤ 1}, B = {x | -1 < x ≤4}Ditanyakan : Cari A B, A B, A – B, B – AC, A BC !

2. Diketahui : S = {x | x bilangan riil}, A = {x | -5 ≤ x< 2}, B = {x | -2 < x ≤6}

Ditanyakan : Cari (A B) - ( A B), (A-B) (B-A), AC BC !

3. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,3,5,7}B = {2,3,4,5} ; C = {3,6,8,9}

Ditanyakan : a). A B, A C, B C d). A – B, B – A, C – A, B – Cb). A B, A C, B C e). (A B) – Cc). AC, BC, CC

4. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {2,4,6,8}B = {2,3,4,5} ; C = {3,6,8,9}

Ditanyakan : a). (AB) – C b). (AC BC) -CC

c). (A – B) (C – A) d). (C – A) (B – C)

5. Bila N = himpunan bilangan asli, tentukan elemen-elemen himpunan-himpunan:

a). A = { x | x N, -2 < x + 2 < 15 }b). B = { x | x N, x = bilangan genap, 0 < x - 2 < 15 }c). C = { x | x N, x = bilangan ganjil, -1 < x + 3 < 15 }d). D = { x | x N, x = bilangan prima, 0 < x + 2 < 15 }

6. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukan elemen-elemen himpunan-himpunan:

a). A = { x | x R, | x + 2| < 5 }b). B = { x | x R, 3 log x < 5}c). C = { x | x R, V(x+2) < 5 }d). D = { x | x R, x3 – 2 x2 + 3x + 6 = 0 }

7. Bila N = Himpunan bilangan asli, M = Himpunan bilangan genap, M N,K = Himpunan bilangan ganjil, K N,L = Himpunan bilangan kelipatan 3, L N,P = Himpunan bilangan kelipatan 5, P N,

Tentukan elemen-elemen himpunan-himpunen berikut ini:a). A = { x | x N, x L, 1 < x < 50 }b). B = { x | x N, x P, 1 < x < 100 }c). C = { x | x M, x L, 1 < x < 50 }d). D = { x | x K, x L, 1 < x < 50 }e). E = { x | x M, x P, 1 < x < 100 }f). F = { x | x K, x P, 1 < x < 100 }

8. Himpunan N, M, K, L, P sama seperti no. 7, tentukan:g). G = { x | x N, x L P, 1 < x < 100 }h). H = { x | x N, x L P, 1 < x < 100 }i). I = { x | x M, x L P, 1 < x < 100 }j). J = { x | x K, x L P, 1 < x < 100 }

Terima KasihMochamad Heriyanto Permana, S.Sn.