ALJABAR MATRIKSpertemuan 4

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Vektor

Definisi Vektor

Vektor adalah suatu potongan garis yang mempunyai arah.

Kita dapat menggambarkan suatu vektor dengan memberi tanda panah pada titik ujungnya.

Sedangkan untuk menuliskannya kita dapat memakai salah satu notasi.

,..., ABA

BA

Vektor

Operasi-Operasi Pada Vektor.

a. Penjumlahan Vektor.

Misalkan kita hendak menjumlahkan vektor a dan b, kita mengenal dua metode, yaitu :

a. Metode Jajaran Genjanga + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk

oleh a dan b ,setelah titik awal di tempatkan berimpit

b. Metode Segitiga.a + b diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu

vektor pada ujung vektor yang lainnya

Vektor

Operasi-Operasi Pada Vektor.

b. Perkalian skalar.

Jika λ suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor maka perkalian skalar λa

menghasilkan suatu vektor yang panjangnya │λ│kali panjang a. dan arahnya sama dengan a.

Susunan koordinat ruang n (Rn)

a. Ruang Berdimensi Satu

Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu garis lurus yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi satu.

b. Ruang Berdimensi Dua (R2)

Setiap pasangan bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat didalam ruang berdimensi dua.

Susunan koordinat ruang n (Rn)

c. Ruang Berdimensi Tiga

Setiap tripel bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi tiga (R3), dengan membentuk suatu susunan koordinat, yaitu mengambil tiga garis lurus (tidak sebidang) yang berpotongan dititik awal 0. Masing-masing garis disebut sumbu koordinat.

Contoh : gambar titik A (2,3,1) R3∈

Vektor didalam ruang n (Rn)

Untuk Rn berlaku :

a. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, a3, …,an).

adalah OA=( a1, a2, a3, …,an).

b. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, p3, …,pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, q3, …,qn). adalah PQ =( q1-p1,q2-p2,q3-p3,…qn-pn).

c. Panjang vektor a = (a1, a2, a3, …,an).

adalah

dan panjang PQ adalah

223

22

21 ... naaaaa

2222

211 )(...)()( nn pqpqpqpq

Vektor didalam ruang n (Rn)

d. Vektor-vektor satuan dari susunan koordinat adalah

e1=(1,0,...,1), e2 = (0, 1, …,0,) … , en = (0, 0, …,1).

e. Penjumlahan vektor a=( a1, a2,…,an) b=( b1, b2,…,bn).

a + b = ((a1+b1), (a2+b2), (a3+b3), …, (an+bn)).

f. Perkalian vektor a = (a1, a2, a3, …,an) dengan skalar λ berlaku λa = λ(a1, a2, a3, …,an) atau λa = λa1, λa2, λa3,…, λan.

Contoh :

a = (2, -1, 3, 1) dan b = (3, 4, -2, 5) є R4.

a + b = (2+3, -1+4, 3+(-2), 1+5).

a + b = (5, 3, 1, 6).

3a–2b=(3.2,3(-1),3.3,3.1) – (2.3, 2.4,2(-2),2.5) = (0,-11,13,-7)

Latihan

1. Jika a = [1,0,2]T , b = [-1,2,0]T , hitunglah (a – b)/2

2. Tentukan panjang vektor a dari soal no 1

3. Tentukan panjang vektor b dari soal no 1

4. Tentukan jarak ab dari soal no 1

Dalil pada operasi vektor

Beberapa dalil pada operasi vektor

Untuk setiap vektor a=( a1, a2,…,an), b=( b1, b2,…,bn), c = (c1, c2,…,cn) є Rn dan λβ

adalah skalar berlaku.

1. a + b = b + a (Komutatif).

2. (a + b) + a = a + (b + c) (Assosiatif).

3. λ (a + b) = λa + λb (Distributif).

4. a + 0 = a.

5. a + (-a) = 0.

6. (λβ)a = λ(βa) = βλa.

7. (λ + β) a = λa + βa.

Dot produk

Definisi: Dot matriks dari a dan b, ditulis a.b adalah suatu skalar

Misal vektor a dan b ≠ 0. Proyeksi a dan b adalah potongan garis A’B’ = AC

Dimana (a.b) = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 + … + an.bn.

ba

ba

baba

).(cos

cos.

b

baAC

b

baAC

aAC

).(

cos

cos

Dot produk

Contoh :

Diketahui vektor a = (2, 1, 3, -1) dan b = (1, 2, 1, 1) є Rn.

Tentukanlah :

a. │a│,│b│,│ab│

b. Besar sudut antara a dan b.

c. Proyeksi a pada b.

Jawab :

104411.

71141

151914

ba

b

a

105105

6

715

1322cos

).(cos

cos.

ba

ba

baba7

7

6).(

b

baAC

Latihan

Contoh :

Diketahui vektor a = (1, 2, 0, -1) dan b = (1, 0, 1, 1) є Rn.

Tentukanlah :

a. │a│,│b│,│ab│

b. Besar sudut antara a dan b.

c. Proyeksi a pada b.

Persamaan garis lurus pada bidang rata

Suatu garis lurus akan tertentu jika diketahui 2 titik pada garis tersebut. Pandang R3.

Misal titik A(a1, a2, a3, ) dan B(a1, a2, a3) terletak pada garis lurus gs

Maka OA = (a1, a2, a3), OB = (b1, b2, b3) dan AB = (b1-a1, b2-a2, b3-a3).

Untuk setiap titik sebarang x(x1, x2, x3). Pada gs berlaku Ax =λAB (-∞<λ <∞).

OX = OA + λAB

(x1, x2, x3,) = (a1, a2, a3) + λ (b1-a1, b2-a2, b3-a3)

Secara Umum Untuk Ruang n (Rn).

1. Persamaan Vektoris Garis Lurus.

A = (a1, a2,…,an)

B = (b1, b2,…,bn).

(x1,x2,…,xn) = (a1,a2,…,an) + λ(b1-a1,b2-a2,..,bn-an).

2. Persamaan Parameter.

x1 = a1 + λ(b1-a1).

x2 = a2 + λ(b2-a2).

x3 = a3 + λ(b3-a3).

… … …

xn = an+ λ(bn-an).

3. Persamaan Linier

nn

nn

ab

ax

ab

ax

ab

ax

ab

ax

...33

33

22

22

11

11

Secara Umum Untuk Ruang n (Rn).

Contoh :

Persamaan garis melalui titik a=(2,1,3,-1) dan b=(3,4,-1, 2)єR4.

Tentukanlah :

a. Persamaan vektor garis lurus.

b. Persamaan parameter.

c. Persamaan linier.

Jawaban :

a. (x1, x2, x3,…,xn ) = (2, 1, 3, -1) + λ(1, 3, -4, 3)

b. x1 = 2 + λ

x2 = 1 + 3λ

x3 = 3 - 4λ

x4 = -1 + 3λ

c.

3

1

4

3

3

12 432

1

xxx

x

Review

1. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi det A = det B

2. Cari nilai p yang memenuhi D = 30 3. selesaikan SPL dengan eliminasi gauss

3x + y – 2z = 7

5x – 2y – 3z = 4

2x + 2y + 3z = 3

3000

5200

3120

1231

2000

2100

7110

21

B

p

qp

A

2101

0212

001

000

pp

p