STATISTIK DAN PROBABILITAS pertemuan 3 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
ALJABAR MATRIKS pertemuan 4 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
description
Transcript of ALJABAR MATRIKS pertemuan 4 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
ALJABAR MATRIKSpertemuan 4
Oleh :L1153
Halim Agung,S.Kom
Vektor
Definisi Vektor
Vektor adalah suatu potongan garis yang mempunyai arah.
Kita dapat menggambarkan suatu vektor dengan memberi tanda panah pada titik ujungnya.
Sedangkan untuk menuliskannya kita dapat memakai salah satu notasi.
,..., ABA
BA
Vektor
Operasi-Operasi Pada Vektor.
a. Penjumlahan Vektor.
Misalkan kita hendak menjumlahkan vektor a dan b, kita mengenal dua metode, yaitu :
a. Metode Jajaran Genjanga + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk
oleh a dan b ,setelah titik awal di tempatkan berimpit
b. Metode Segitiga.a + b diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu
vektor pada ujung vektor yang lainnya
Vektor
Operasi-Operasi Pada Vektor.
b. Perkalian skalar.
Jika λ suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor maka perkalian skalar λa
menghasilkan suatu vektor yang panjangnya │λ│kali panjang a. dan arahnya sama dengan a.
Susunan koordinat ruang n (Rn)
a. Ruang Berdimensi Satu
Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu garis lurus yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi satu.
b. Ruang Berdimensi Dua (R2)
Setiap pasangan bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat didalam ruang berdimensi dua.
Susunan koordinat ruang n (Rn)
c. Ruang Berdimensi Tiga
Setiap tripel bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi tiga (R3), dengan membentuk suatu susunan koordinat, yaitu mengambil tiga garis lurus (tidak sebidang) yang berpotongan dititik awal 0. Masing-masing garis disebut sumbu koordinat.
Contoh : gambar titik A (2,3,1) R3∈
Vektor didalam ruang n (Rn)
Untuk Rn berlaku :
a. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, a3, …,an).
adalah OA=( a1, a2, a3, …,an).
b. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, p3, …,pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, q3, …,qn). adalah PQ =( q1-p1,q2-p2,q3-p3,…qn-pn).
c. Panjang vektor a = (a1, a2, a3, …,an).
adalah
dan panjang PQ adalah
223
22
21 ... naaaaa
2222
211 )(...)()( nn pqpqpqpq
Vektor didalam ruang n (Rn)
d. Vektor-vektor satuan dari susunan koordinat adalah
e1=(1,0,...,1), e2 = (0, 1, …,0,) … , en = (0, 0, …,1).
e. Penjumlahan vektor a=( a1, a2,…,an) b=( b1, b2,…,bn).
a + b = ((a1+b1), (a2+b2), (a3+b3), …, (an+bn)).
f. Perkalian vektor a = (a1, a2, a3, …,an) dengan skalar λ berlaku λa = λ(a1, a2, a3, …,an) atau λa = λa1, λa2, λa3,…, λan.
Contoh :
a = (2, -1, 3, 1) dan b = (3, 4, -2, 5) є R4.
a + b = (2+3, -1+4, 3+(-2), 1+5).
a + b = (5, 3, 1, 6).
3a–2b=(3.2,3(-1),3.3,3.1) – (2.3, 2.4,2(-2),2.5) = (0,-11,13,-7)
Latihan
1. Jika a = [1,0,2]T , b = [-1,2,0]T , hitunglah (a – b)/2
2. Tentukan panjang vektor a dari soal no 1
3. Tentukan panjang vektor b dari soal no 1
4. Tentukan jarak ab dari soal no 1
Dalil pada operasi vektor
Beberapa dalil pada operasi vektor
Untuk setiap vektor a=( a1, a2,…,an), b=( b1, b2,…,bn), c = (c1, c2,…,cn) є Rn dan λβ
adalah skalar berlaku.
1. a + b = b + a (Komutatif).
2. (a + b) + a = a + (b + c) (Assosiatif).
3. λ (a + b) = λa + λb (Distributif).
4. a + 0 = a.
5. a + (-a) = 0.
6. (λβ)a = λ(βa) = βλa.
7. (λ + β) a = λa + βa.
Dot produk
Definisi: Dot matriks dari a dan b, ditulis a.b adalah suatu skalar
Misal vektor a dan b ≠ 0. Proyeksi a dan b adalah potongan garis A’B’ = AC
Dimana (a.b) = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 + … + an.bn.
ba
ba
baba
).(cos
cos.
b
baAC
b
baAC
aAC
).(
cos
cos
Dot produk
Contoh :
Diketahui vektor a = (2, 1, 3, -1) dan b = (1, 2, 1, 1) є Rn.
Tentukanlah :
a. │a│,│b│,│ab│
b. Besar sudut antara a dan b.
c. Proyeksi a pada b.
Jawab :
104411.
71141
151914
ba
b
a
105105
6
715
1322cos
).(cos
cos.
ba
ba
baba7
7
6).(
b
baAC
Latihan
Contoh :
Diketahui vektor a = (1, 2, 0, -1) dan b = (1, 0, 1, 1) є Rn.
Tentukanlah :
a. │a│,│b│,│ab│
b. Besar sudut antara a dan b.
c. Proyeksi a pada b.
Persamaan garis lurus pada bidang rata
Suatu garis lurus akan tertentu jika diketahui 2 titik pada garis tersebut. Pandang R3.
Misal titik A(a1, a2, a3, ) dan B(a1, a2, a3) terletak pada garis lurus gs
Maka OA = (a1, a2, a3), OB = (b1, b2, b3) dan AB = (b1-a1, b2-a2, b3-a3).
Untuk setiap titik sebarang x(x1, x2, x3). Pada gs berlaku Ax =λAB (-∞<λ <∞).
OX = OA + λAB
(x1, x2, x3,) = (a1, a2, a3) + λ (b1-a1, b2-a2, b3-a3)
Secara Umum Untuk Ruang n (Rn).
1. Persamaan Vektoris Garis Lurus.
A = (a1, a2,…,an)
B = (b1, b2,…,bn).
(x1,x2,…,xn) = (a1,a2,…,an) + λ(b1-a1,b2-a2,..,bn-an).
2. Persamaan Parameter.
x1 = a1 + λ(b1-a1).
x2 = a2 + λ(b2-a2).
x3 = a3 + λ(b3-a3).
… … …
xn = an+ λ(bn-an).
3. Persamaan Linier
nn
nn
ab
ax
ab
ax
ab
ax
ab
ax
...33
33
22
22
11
11
Secara Umum Untuk Ruang n (Rn).
Contoh :
Persamaan garis melalui titik a=(2,1,3,-1) dan b=(3,4,-1, 2)єR4.
Tentukanlah :
a. Persamaan vektor garis lurus.
b. Persamaan parameter.
c. Persamaan linier.
Jawaban :
a. (x1, x2, x3,…,xn ) = (2, 1, 3, -1) + λ(1, 3, -4, 3)
b. x1 = 2 + λ
x2 = 1 + 3λ
x3 = 3 - 4λ
x4 = -1 + 3λ
c.
3
1
4
3
3
12 432
1
xxx
x
Review
1. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi det A = det B
2. Cari nilai p yang memenuhi D = 30 3. selesaikan SPL dengan eliminasi gauss
3x + y – 2z = 7
5x – 2y – 3z = 4
2x + 2y + 3z = 3
3000
5200
3120
1231
2000
2100
7110
21
B
p
qp
A
2101
0212
001
000
pp
p