Post on 24-Nov-2015
Pendahuluan
Aljabar Linear dan Matriks 1
Pendahuluan
Kartika Firdausy - UAD
2
Tujuan
Melatih mahasiswa untuk berpikir secara logis dan sistematis yang akan sangat dibutuhkan untuk dapat membuat program-program komputer.
Menguasai teknik dasar aljabar linear dan mampu menggunakannya untuk menyelesaikan SPL, dapat menentukan basis dan dimensi suatu ruang vektor, dapat mencari nilai dan vektor eigen serta dapat mentransformasikan secara linear
Pendahuluan
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Materi (1)1. Sistem Persamaan Linear Operasi Baris Elementer Eliminasi Gauss SPL Homogen Penerapan SPL
2. Matriks Operasi Matriks Jenis Matriks Aturan-aturan Ilmu Hitung Matriks SPL dan Matriks Invers
4
Materi (2)3. Determinan, Kofaktor, dan Aturan Cramer Perhitungan Determinan dengan Reduksi Baris Sifat-sifat Determinan Kofaktor dan Aturan Cramer dalam Penyelesaian
SPL4. Vektor Norma dan Ilmu Hitung Vektor Hasil Kali Titik Hasil Kali Silang
5. Ruang n-Euclidis Operasi Ruang n-Euclidis
Pendahuluan
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Materi (3)6. Ruang Vektor
Ruang vektor umum Sub Ruang Kebebasan Linear Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Kolom Matriks Rank
7. Basis Ortonormal Proses Gram-Schmidt
8. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonaliasi Diagonalisasi Ortogonal; Matriks Simetrik
6
Ilustrasi Matriks
These windows in Philadelphia represent a beautiful block matrix. (Photo courtesy Gail Corbett) http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/
Pendahuluan
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Application
Matrices in Engineering Graphs and Networks Markov Matrices, Population, and Economics Linear Programming Fourier Series: Linear Algebra for Functions Linear Algebra for Statistics and Probability Computer Graphics
8
Contoh (1)
Akan dibuat 2 macam produk A dan B. Produk A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan produk B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah produk yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
Pendahuluan
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Contoh (2) rotates a pixel by about the origin (0, 0)
scales an image in x and y directions by Sx and Sy.
10
Referensi Diktat Aljabar Linear dan Matriks,
Dewi Soyusiawaty, Teknik Informatika UAD Howard Anton, Elementary Linear Algebra, Wiley. Schaum Outlines Series, Linear Algebra. Jacob, Bill, Linear Algebra, Addison Wesley. Stahler, Wendy, Beginning Math and Physics for Game
Programmers, New Riders. Steven J.Leon, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga,
Jakarta,2001 Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, Gilbert Strang,
http://math.mit.edu/linearalgebra/ Gilbert Strang, MIT OpenCourseWare, 18.06 Linear Algebra
Spring 2005 http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/
Steve Johnson, 18.06 Linear Algebra, Spring 2009 http://web.mit.edu/18.06/www/
Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 1
Matriks
Kartika Firdausy - UAD
2
Definisi Sebuah matriks adalah serangkaian
elemen dalam bentuk persegi panjang. Elemen ke-(i,j) aij dari matriks A berada
dibaris ke-i dan kolom ke-j dari rangkaian tersebut.
Order (dimensi/ukuran) dari sebuah matriks dikatakan sebesar (m x n) jika matriks tersebut memiliki m baris dan n kolom.
Misalnya:a11 a12 a1na21 a22 ... a2n: : :: : :am1 am1 ... amn
Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Operasi1. Penjumlahan dimensi sama2. Pengurangan dimensi sama3. Perkalian matriks dengan skalar4. Perkalian matriks dengan matriks
jumlah banyaknya kolom matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
Misal: A memiliki dimensi ( m x r ), maka B harus memiliki dimensi ( r x n ), m dan n adalah ukuran sembarang.
4
Perkalian matriks dengan matriksJika matriks A berukuran mxp dan B matriks
pxn maka hasil perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dengan
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + .+ aipbpj
Hukum Perkalian Matriks : Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B B*A
Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
TransposeJika matriks A=aij berukuran m x n maka transpose A adalah matriks AT = n x m yang di dapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.
Contoh: A =
maka AT =
-2 4 7 5 1 3 0 1
6
Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT
(AT) = Ak(AT) = (kA)T
(AB)T = BT AT
Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Jenis Matriks Matriks Bujursangkar, adalah
matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, .anndisebut diagonal utama dari matriks bujursangkar tersebut.
Matriks Nol, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
A*0=0, begitu juga 0*A=0.
8
Jenis Matriks Matriks Diagonal, adalah matriks
bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya nol.
Matriks Identitas/Satuan, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A
1 0 00 1 00 0 1
3 0 00 1 00 0 5
Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Jenis Matriks Matriks Skalar, matriks diagonal
dengan semua elemen diagonal utamanya sama dengan k
Matriks segitiga atas / segitiga bawah, matriks bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utamanya sama dengan nol atau sebaliknya
3 0 00 3 00 0 3
1 3 2 10 1 2 30 0 4 00 0 0 1
1 0 0 04 2 0 01 2 3 01 3 2 1
10
Transformasi Elementer1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran
kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Hij(A) untuk transformasi baris
Kij(A) untuk transformasi kolom2. Mengalikan baris ke-i dengan skalar h0, ditulis Hi (h) (A)
mengalikan kolom ke-j dengan skalar k0, ditulis Kj (k) (A)3. Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis
Kij(k)(A) menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).
Determinan
Aljabar Linear dan Matriks 1
Determinan
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det(A) disebut sebagai determinan A. Det(A) sering pula dinotasikan dengan |A|
Determinan
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Jika matriks A berukuran 2x2, determinan matriks A didefinisikan sebagai:
det a11 a12a21 a22= a11 a12 = a11a22 a12a21
a21 a22
3 42 1
Contoh
B =
4
Jika matriks A berukuran 3x3, determinan matriks A didefinisikan sebagai:
det(A) = a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13a21 a32- a31a22 a13 - a32a23 a11 - a33a21 a12
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
A = det (A) =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
a11 a12 a21 a22a31 a32
Ilustrasi Metode Sarrus
Determinan
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Contoh:
Hitung det(C)
1 2 34 1 53 2 4
C =
6
Beberapa sifat determinan Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom
= 0, maka harga determinan = 0. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris
diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain |A|=|A|T .
Nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan.
Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya(atau kolomnya), maka |B| = - |A|.
Jika dua baris (atau kolomnya) dari A adalah identik, maka |A| = 0.
Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikandengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.
Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar maka : |AB| = |A| |B|
Determinan
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
MinorJika ada sebuah determinan dengan orde ke-n
maka yang dimaksud dengan MINOR unsur aijadalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Maka MINOR elemen a32 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2
D =
M32 =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14a21 a23 a24a41 a43 a44
8
KofaktorKofaktor suatu unsur determinan aij adalah
cij = (-1)i+j Mij
Misal: kofaktor elemen a32 = c32 = (-1)3+2 M32
Matriks kofaktor:
c11 c12 c1nc21 c22 ... c2n: : :: : :cn1 cn2 ... cnn
Determinan
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Teorema LAPLACEDeterminan dari suatu matriks sama dengan jumlah
perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
Ekspansi Barisn
|A| = aijcij = ai1ci1+ai2ci2+..+ aincinj=1
Ekspansi Kolomn
|A| = aijcij = a1jc1j+a2jc2j+..+ anjcnjj=1
10
Contoh:
Hitung determinan matriks A dengan minor dan kofaktor
Misal minor dan kofaktor dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1
1 2 32 3 41 5 7
Determinan
Aljabar Linear dan Matriks 6
11
Matriks Adjoin
transpose dari matriks kofaktor adj(A)
12
Invers Matriks
A-1 = invers matriks Aadj(A) = matriks adjoin dari matriks Adet(A) = determinan matriks A
adj(A) A-1 = det(A)
Aturan Cramer
Aljabar Linear dan Matriks 1
Aturan Cramer
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Aturan CramerApabila [A] [X] = [B] maka nilai x dapat dicari dengan
| Ak | adalah harga determinan elemen matriks bujursangkar [A] dengan kolom ke-k diganti dengan elemen [B]
| A | adalah harga determinan matriks bujursangkar [A]
xk =| Ak |
| A |
Aturan Cramer
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Misal diketahui persamaan:a11x1+ a12x2 + a13x3 =b1a21x1+ a22x2 + a23x3 =b2a31x1+ a32x2 + a33x3 =b3
b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33
a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
| A1 |= | A2 |=
| A3 | =
x1 = | A | | A | | A |
| A1 | | A2 | | A3 |x2 = x3 =
Invers Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 1
Invers Matriks
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Jika diketahui 2 besaran a dan x sedemikian sehingga ax = 1, maka dikatakan x adalah kebalikandari a dan nilai x = 1/a = a-1
Matriks satuan (identitas) I beroperasisebagai besaran 1 dalam aljabar biasa
Jika [A] dan [I] keduanya matriksbujursangkar dan ordenya sama maka
[I] [A] = [A] [I] = [A]
Invers Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Jika terdapat suatu matriks bujursangkar [X] yang berorde sama sehingga
[A] [X] = [I] maka dikatakan bahwa [X] kebalikan atau invers matriks dari [A] dan dituliskan
[X] = [A]-1
4
Contoh:Cari invers matriks A
misal
2 14 3 A =
x1 x2x3 x4X =
maka [A] [X] = [I] 2 14 3
1 00 1
x1 x2x3 x4
=
Invers Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks Non Singular,yaitu matriks yang determinannya 0
Berlaku sifat :1. (A-1) -1 = A2. (AB) -1 = B-1 A-1
6
Matriks Adjoin untuk Mencari Invers
A-1 = invers matriks Aadj(A) = matriks adjoin dari matriks Adet(A) = determinan matriks A
adj(A) A-1 = det(A)
Invers Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Teorema 15Jika A adalah matriks nxn, maka inversnya dapat dicari dengan cara mereduksi A menjadi matriks identitas (I) dengan menggunakan operasi-operasi baris dan menerapkan operasi-operasi ini secara serempak pada I untuk menghasilkan A-1.
8
Transformasi Elementer untuk mencari Invers
[ A | I ] ~ [ I | X ]
[ A-1 ] = [ X ]
setelah melalui transformasi elementer
Invers Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Hitung A-1 jika diketahui
menggunakan Transformasi Elementer
1 2 32 5 3 1 0 8
A =
Dibentuk matriks
[ A | I ] ~ [ I | X ]x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33
1 2 32 5 31 0 8
~1 0 00 1 00 0 1
1 0 00 1 00 0 1
10
SPL dan Matriks InversTeorema 16Jika A matriks nxn yang memiliki invers, maka untuk setiap matriks B yang berukuran nx1, sistem persamaan AX = B memiliki tepat satu penyelesaian yaitu X = A-1 B
Invers Matriks
Aljabar Linear dan Matriks 6
11
Contoh:
X = A-1 B
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut :
x1 + 2x2 + 3x3 =52x1 + 5x2 + 3x3 =3x1 + 8x3 = 17Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3
x1x2x3
1 2 32 5 31 0 8
A = X = B =53
17
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 1
Sistem Persamaan
Linier (1)
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Garis lurus pada bidang x1 dan x2 dapat dinyatakansebagai persamaan a1x1 + a2x2 + b = 0 persamaan linier karena pangkat-pangkat dari x1 dan x2
paling besar adalah 1
persamaan x12 + x2 5 = 0 bukan persamaan linier
x1
x2
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3
a1x1+a2x2+a3x3+b=0
Persamaan linier dalam ruang dimensi n dapat dinyatakan dalam bentuka1x1+ a2x2.+anxn+b=bn
4
Contoh 1Persamaan x1+x2=1
penyelesaian persamaan garis adalahtitik x1=1 dan x2=0titik x1=0 dan x2=1
(0,1)
(1,0)
x1
x2
x1 + x2 = 1
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Contoh 2
x1=0 dan x2=1 adalah satu-satunya penyelesaian
(0,1)
(1,0)(-1,0)
x1 + x2 = 1 -x1 + x2 = 1
6
Sistem persamaan linier dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu:
1. Mempunyai penyelesaian tunggal2. Mempunyai banyak penyelesaian3. Tidak mempunyai penyelesaian
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Sistem Persamaan Linear (SPL)
a11x1+ a12x2.+a1nxn =b1a21x1+ a22x2.+a2nxn =b2
:
::::
am1x1+ am2x2.+amnxn =bm
aij dan bi masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan linier tersebut
8
Persamaan-persamaan linier tersebut dapatdiungkapkan dalam bentuk matriks
[A] adalah matriks berorde (m,n)[x] adalah matriks berorde (n,1)[b] adalah matriks berorde (m,1)
a11 a12 a1na21 a22 ... a2n: : :: : :am1 am1 ... amn
x1x2::xn
b1b2::bm
=
[A] [x] [b]
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
AUGMENTED MATRIX
a11 a12 a1n b1a21 a22 ... a2n b2: : :: : :am1 am1 ... amn bn
10
Operasi Baris Elementer (OBE)
1. Kalikan persamaan dengan konstanta 0
2. Pertukarkan kedua persamaan3. Tambahkan kelipatan satu
persamaan ke persamaan lainnya
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 6
11
Contoh
2x + y = 84x 3y = 6
12
Eliminasi GaussJika diketahui [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai OBE berkali-kali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1.
Metode penyelesaian SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss:
1. Membentuk matriks lengkap SPL2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon
dengan sejumlah OBE3. Mendapat jawaban SPL
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 7
13
Contoh
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 am3
a11x1+ a12x2 + a13x3 =b1a21x1+ a22x2 + a23x3 =b2a31x1+ a32x2 + a33x3 =b3
x1x2x3
b1b2b3
=
Matriks awal
Matriks lengkap SPL
a11 a12 a13 b1a21 a22 a23 b2a31 a32 am3 b3
14
Matriks lengkap dikenai OBE membentuk matriks eselon
Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nyasehingga diperoleh x3= b3x2+ a23x3 =b2 x2= b2- a23x3x1+ a12x2+ a13x3 =b1 x1= b1-a12x2- a13x3
1 a12 a13 b1
0 1 a23 b2
0 0 1 b3
Sistem Persamaan Linear (1)
Aljabar Linear dan Matriks 8
15
Contoh
Selesaikan sistem persamaan linier berikut :
x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 02x1 + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = -15x3 + 10x4 + 15x6 = 52x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
16
Contoh
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut :
x1+x2+x3=6x1+2x2-x3=22x1+x2+2x3=10Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3
Perkalian Silang 2 Vektor di R3
Aljabar Linear dan Matriks 1
Perkalian silang dua vektor di R3
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Perkalian silang antara dua vektor di R3
Diketahui u = ( u1,u2,u3 ) dan v = ( v1,v2,v3 )Perkalian silang antara u dan v didefinisikan sebagai :
u2 u3v2 v3
u1 u3v1 v3
u1 u2v1 v2
k i -
u x v =
u x v = (u2v3 u3v2)i + (u1v3 u3v1)j + (u1v2 u2v1)k
Hasil kali silang dari dua buah vektor akan menghasilkan suatu vektor tegak lurus terhadap u dan v
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
= j +
Perkalian Silang 2 Vektor di R3
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Panjang Vektor Hasil Perkalian Silang
Kuadrat dari norm u x v adalah:
|u x v|2= ( u2.v3 u3.v2 )2 + (u1.v3 u3.v1)2 + ( u1.v2 u2.v1)2= (u12 + u22 + u32 ) ( v12 + v22 + v32 ) (u1v1 + u2v2 + u3v3 )2= |u|2 |v|2 (u . v)2
identitas Lagrange
4
Dari identitas Lagrange|u x v|2 = |u|2 |v|2 (u . v)2
= |u|2 |v|2 ( |u| . |v| cos )2
( sudut yang dibentuk oleh u dan v )
= |u|2 |v|2 (1 cos )2
|u x v|2 = |u|2 |v|2 sin 2
atau|u x v| = |u|. |v|. sin
Perkalian Silang 2 Vektor di R3
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Perhatikan vektor u dan v berikut
|u x v| = |u|. |v|. sin merupakan luas segi empat yang dibentuk u dan vLuas segi empat = panjang alas x tinggi
= |v| x |u| sin = |u| |v| sin
Hasil kali silang dua vektor u dan v akan menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus terhadap u dan v serta memiliki panjang sama dengan luas dari segi empat yang dibentuk oleh vektor u dan v .
6
Contoh
Diketahui a = ( 1,2,1 ) dan b = ( 2,2,3 )Hitung luas segi empat yang dibentuk oleh a dan b
Perkalian Silang 2 Vektor di R3
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan titik titik sudut adalah :A (2,1,2 ) , B ( 0,1,0 ) dan C ( 1,2,1 )Hitung luas segitiga ABC
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor
1. Jika vektor vektor u , v V , maka vektor u + v V2. u + v = v + u3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w4. Ada 0 V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u V , 0 :
vektor nol5. Untuk setiap u V terdapat u V sehingga u + ( u ) = 06. Untuk sembarang skalar k , jika u V maka ku V7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar9. k( l u ) = ( kl ) u10. 1 u = u
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Contoh ruang vektor :1. V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: Rn .
2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standarBentuk umum polinom orde npn(x) = a0 + a1x + + anxnqn(x) = b0 + b1x + + bnxn
Operasi standar pada polinom orde npn(x) + qn(x) = a0+ b0 + (a1 + b1)x + + (an + bn)xnk pn = ka0 + ka1x + + kanxnNotasi: Pn
3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: Mmn
4
Subruang vektorDiketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V. U dikatakan subruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut :
1. Jika u ,v U maka u + v U2. Jika u U , untuk skalar k berlaku ku U
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Kombinasi linier
Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor vektor v 1, v 2,,v n bila v bisa dinyatakan sebagai :
v = k1 v 1 + k2 v 2++ kn v n , k1,k2,,kn adalah skalar
6
ContohDiketahui a = ( 1,2 ) , b = ( 2,3 ) dan c = ( 1,3 )Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
ContohTunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2)merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)
Jawab:Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga:
v = xu1 + yu2 + zu3(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) +
(2 z,-1z,2z,1z)
8
(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)
Diperoleh persamaan:
=+=
=+=++
2342
932322
zyxz
zyxzyx
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Penyelesaian:
x =1, y = 3 dan z = -2
Jadi v = u1 + 3u2 2u3
Jika sistem persamaan di atas tidakmemiliki penyelesaian maka v tidakdapat dinyatakan sebagai kombinasilinier dari u1, u2, dan u3
10
Diketahui V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,, s n } s 1, s 2 ,, s n V
S dikatakan membangun/merentang V bila untuk setiap v V, v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu :v = k1 s1 + k2 s2++ knsn
k1,k2,,kn adalah skalar
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 6
11
Contoh
Apakah u = ( 1,2,3 ) , v = ( 2,4,6 ) dan w = ( 3,4,7 ) membangun R3
12
Kebebasan LinierVektor vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan0 = k1 s 1 +k2 s 2++ kn snhanya memiliki penyelesaian k1= k2 == kn = 0
jika ada penyelesaian lain untuk nilai k1,k2,,kn selain 0 maka dikatakan vektor vektor di S bergantung linier (linearly dependent)
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 7
13
Contoh
Diketahui u = ( 1,2 ) , v = ( 2,2 ) , w = ( 1,3 )a. Apakah u , v dan w membangun R2 ?b. Apakah u , v dan w bebas linier ?
14
Basis dan Dimensi
Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,, s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat , yaitu :
1. S bebas linier2. S membangun V
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 8
15
Contoh basis standar :1. S = { e1, e2,, en } , dengan e1, e2,, en Rn
e1 = ( 1,0,,0) ,e2 = ( 0,1,0,,0 ),,en = ( 0,0,,1 )merupakan basis standar dari Rn
2. S = { 1, x, x2,xn } merupakan basis standar untuk Pn( polinom orde n )
1 00 0
3. S = 0 10 0
0 01 0
0 00 1
merupakan basis standar untuk M22
, , ,{ }
16
ContohMisal v1=(1,2,1), v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4).Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3) adalah basis untuk R3
Syarat:1. S bebas linier2. S membangun V
Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linierb = k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3
Sistem memiliki pemecahan untuk semua pilihan b= (b1 ,b2 ,b3 )k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 = 0
Pembuktian bebas linier pembuktian sistem homogenS bebas linier dan membangun R3 matriks koefisien dapat dibalik, karena det A = .
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 9
17
Basis ruang baris dan basis ruang kolom
Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m.
a11 a12 a1na21 a22 ... a2n: : :am1 am1 ... amn
Jika A =
Maka A tersusun atas vektor vektor baris r i dengan r i = (ai1,ai2,,ain ) atau bisa juga dikatakan A tersusun atas vektor vektor kolom c j = (c1j,c2j,,cmj }
dengan i = 1,2,,m dan j =1,2,,n
Subruang Rn yang dibangun oleh vektor vektor baris disebut ruang baris dari A
Subruang Rm yang dibangun oleh vektor vektor kolom disebut ruang kolom dari A
18
Contoh
Vektor baris A adalahVektor kolom A adalah
2 1 03 1 -4 A =
Ruang Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 10
19
Menentukan basis ruang kolom / baris
Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada At
Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi.
Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) = rank matriks
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 1
Vektor
2
VektorKuantitas fisis yang memiliki besar dan arah
Luas
Panjang
Massa
Suhu
Skalar
Gaya
Kecepatan
Percepatan
Perubahan Letak
Vektor
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Jenis Vektor
Vektor Aljabar
Vektor Fisik
Vektor Geometri
a
b
v = (a, b)
v
v
(a, b)
4
Penyajian vektor geometriSegmen garis terarah (anak panah) di ruang-2 atau ruang-3
A
B
y
z
xB
AVektor AB
c = AB
AB
Vektor ekivalen punya panjang dan arah yang samaMisal: v = w
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
A(2, 3)
B(7,4)
Q(7, 3)
P(5, 1)
Penyajian vektor aljabar
komponen dari v.
y
xv
v = (5, 1)
5 dan 1 adalah komponen dari v
v = (v1, v2) v1v2
=
v1
v2
6
Menentukan komponen vektor
Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secaraaljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b
y
x
A(a, b)
B(c, d)
P(c-a, d-b)
v v = (c-a, d-b)
z
x
yd-a
e-b
f-c
Komponen vektor: d-a, e-b, f-c
A(a, b, c)
B(d, e, f)
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Dua vektor sama jika dan hanya jika panjangdan arahnya sama, tidak tergantungposisinya pada sistem koordinat.
Kesamaan dua vektor geometri
8
Kesamaan dua vektor aljabar Dua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-
komponen yang bersesuaian sama.
a1a2
b1b2
a1a2a3
b1b2b3
=
=
Jika dan hanya jika a1 = b1dan a2 = b2
Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Menjumlahkan dua vektor geometri:
a
y y
b
a+b
Jumlahan Vektor
10
Menjumlahkan dua vektor aljabarMisalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2)
y
b
B(b1, b2)
b = (b1, b2)x
y
aA(a1, a2)
a = (a1, a2)x
y
a+b
a+b = (a1+b1, a2+b2)x
C(a1+b1, a2+b2)
Jumlahan Vektor
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 6
11
Contoh1.
u v
Manakah vektor yang merupakan u+v ?
Jawab: a
a b c d
u
v
a
12
2.a b
Manakah vektor yang merupakan a+b ?
d e fg
Jawab: e
Contoh
ab
e
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 7
13
3. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Vektor yang merupakan hasil dari u+v adalaha = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)
4. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Vektor yang merupakan hasil dari u v adalaha = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)
Jawab: b
Jawab: a
Contoh
14
5.a
b
tentukan vektor c sedemikian hingga b = a + c
Contoh
h ij
k
a
b
Jawab: h
h?
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 8
15
y
x
z
Vektor nolVektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar vektor nol adalahvektor yang semua komponennya nol:
0 = (0, 0) pada bidang0 =(0, 0, 0) pada ruang
0 vektor nol
y
x
0 vektor nol
16
Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1
b
y
xj=(0, 1)i=(1, 0)
ac
Vektor satuan
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 9
17
Perkalian vektor dengan skalar
b searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a
a
b
a -a 2a -1/2a 1/3a
Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a
Jika k
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 10
19
Hubungan tiga vektor pada bidang
c = ka + lb
cba
ka lb
clbka
cba
Diberikan a, b, c
cba
20
Basis standar bidang R2
Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}
Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secaratunggal sebagai kombinasi linier v = v1i + v2j
y
xj=(0, 1)
i=(1, 0)
y
v=(v1, v2)v = (v1 v2)
v1i
v2j
v = v1i + v2j
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 11
21
Basis standar R3
Basis standard bidang R3 adalah: {i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)}
Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secaratunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck
y
z
x
P(a, b, c)
kij
y
z
x
P(ai, bj, ck)
22
Sifat-sifat Aritmetika Vektor1. Jumlahan vektor bersifat tertutup, yaitu: jumlahan
dua vektor selalu menghasilkan tepat satu vektor2. Jumlahan dua vektor bersifar komutatif.
y
xa+b
= b+a
a = (a1, a2), b = (b1, b2)
a+b = (a1+b1, a2+b2)
b+a = (b1+a1, b2+a2)
a1+b1 = b1+a1 dan a2+b2 = b2+a2( sifat komutatif penjumlahan skalar)
y
a
b
x
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 12
23
Sifat Assosiatif Penjumlahan
3. Penjumlahan vektor bersifat assosiatif
a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2) a+(b+c) = (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2))
(a+b)+c = ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2)
(sifat assosiatif penjumlahan skalar)
y
xa+
(b+c)
= (a+
b)+c
y
a
bcx
24
Vektor nol: elemen identitas4. vektor nol merupakan elemen identitas terhadap
jumlahan.
y
b
x0
y
x
b+0
b = (b1, b2), 0 = (0,0)
b+0 = (b1+0, b2+0)b+0 = (b1, b2)
( sifat identitas penjumlahan skalar)
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 13
25
Negatif vektor5. Penjumlahan vektor dengan negatifnya menghasilkan
vektor nol.
b = (b1, b2), -b = (-b1,-b2)
b+(-b) = (b1+(-b1), b2+(-b2))
b+(-b) = (0, 0) = 0
y
b
x
-b
y
x
0
26
xx
y
x
yy
Sifat-sifat Aritmetika Vektor6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat
dilakukan dengan mengalikan skalarnya terlebih dahulu
u 3u
6u
u = (v1,v2)
v = 3u = 3(v1,v2) = (3v1,3v2)
w = 2v = 2(3v1,3v2) = (6v1,6v2)
x = (3x2)u = 6(v1,v2) = (6v1,6v2) = w
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 14
27
Sifat aritmetika7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan
mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudiandijumlahkan.
y
xuvu+v
y
x
2(u+v)
u = (u1,u2), v = (v1,v2)
u+v = (u1+v1,u2+v2)
y
x2u
2v2u+2v
2(u+v) = (2(u1+v1),2(u2+v2)) 2u+2v = 2(u1,u2)+2(v1,v2)= 2(u1+v1,u2+v2)= (2(u1+v1),2(u2+v2))
28
x x
x
yy
y
Sifat Aritmetika8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama
dengan jumlahan dua vektor setelah dikalikan denganmasing-masing skalar.
u3u
2u
u
u = (u1, u2)
3u = (3u1, 3u2)
(2+1)u = 2u + u
= 2(u1, u2)+(u1, u2)
= (3u1, 3u2)
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 15
29
y
x
y
xy
x
9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol.10.Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut
Sifat Aritmetika
u0(u)
u = (u1, u2)
0u = 0(u1, u2)
= (0, 0)
1u = 1(u1, u2)
= (u1, u2)
1u
30
y
z
x
y
x
Norm (panjang) vektor
v
norm/panjang vektor v adalah ||v|| =
v
norm/panjang vektor v adalah ||v|| =
2 21 2v v+
2 2 21 2 3v v v+ +
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 16
31
y
z
x
Norm vektor sebagai jarak dua titik
P(a1, b1, c1)
Q(a2, b2, c2)
panjang vektor v adalah jarak antara titik P ke Q
v
32
x
yHasil kali titik (dot product)
aA
B
b
C
jika titik pangkalnya berimpitmaka sudut antar dua vektordapat ditentukan.
Definisi 1: Jika adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan
a.b
Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2
Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali titik dapat didefinisikan juga dengan rumus lain
a, b tidak nol, dengan 0.
||a|| ||b|| cos .
0 jika a = 0 atau b = 0
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 17
33
Hasil kali titik di R3 z
x
v
b
a
A
B
C
Definisi 1:hasil kali titik (dot product)Jika adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan
0 jika a = 0 atau b = 0
a.b = ||a|| ||b|| cos .
untuk a, b vektor tak nol dengan 0 .
Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R3, maka a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
34
Soal latihan1. Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilnya vektor lain2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b sama dengan k
satuan, a dan b membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b.a. 2k2 c. 2k2 e. 22kb. 22k2 d. 62k
3.Maka a.b adalaha. 0 c. (5, 6) e. (6, 5)b. 30 d. 1
4. Hitunglah u.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0)a. 0 c. (35, 0) e. (10, 25)b. 250 d. (250, 0)
5. Diketahui ||a|| = 5, ||b|| = 6, dan sudut antara keduanya 120. Hitunga.ba. 0 c. (5, 6) e. -15b. 153 d. 15
(5, 0)
(0, 6)
a
b
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 18
35
Sudut dan hasil kali titik dua vektor
a.b = ||a|| ||b|| cos dengan 0. Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik
Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkancos bisa positif, negatif atau nol tergantung padanilai
x
y
cos >0
cos =0
cos 0 jika sudutnya lancip
36
Contoh:
Jika dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ..
Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya .
a.b= ?
Jawab:35 cos
||a||=5
||b||=7
||a||=8
||b||=8
||b||=7
||a||=5
a.b=?
Jawab: 64x0=0
a.b=?
Jawab: -35cos(-)
0
hasil kali panjangnya
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 19
37
Norm dan hasil kali titik
xA
v
Bv = (v1, v2)
||v|| = (v.v)1/2 =
Misal, diberikan 2 vektor v, cosinus sudut antara v dengan v adalah 1. Maka v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = ( v.v)1/2
Di R3: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (v.v)1/2 =
2 21 2v v+
2 2 21 2 3v v v+ +
38
Hasil kali titik dan perkalian matriks Berdasarkan definisi, jika a, b vektor-vektor
di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2. Jika a dan b, dipandang sebagai vektor-vektor baris makaa.b = abT
a = (a1,a2) dan b = (b1,b2)
a.b = a1b1 + a2b2 = = abT
Jika a, b vektor-vektor di R3
Maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = = abT[ ]1
1 2 3 2
3
ba a a b
b
[ ] 11 22
ba a
b
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 20
39
Sifat-sifat hasil kali titik
Diberikan u = (5,3), dan v = (4,6) Tentukan u.v dan v.u.
Perkalian titik memenuhi sifat simetri, yaitu u.v = v.u
40
Latihan:
Diberikan u = (5, 3), v = (4, 6), dan skalar k = 4. Hitunglah (ku).v dan k(u.v)
Perkalian titik memenuhi sifat(ku).v = k(u.v)
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 21
41
Latihan:
Diberikan u = (5,3), v = (4,6), dan w = (4,7). Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.wApakah u.(v+w) = u.v + u.w?
Perkalian titik memenuhi sifat yaituu.(v+w) = u.v + u.w
42
Sifat-sifat hasil kali titik
Diberikan v = (4, 6, 1) dan u = (0, 0, 0) Tentukan v.v dan u.u
Diberikan v = (a, b, c) vektor pada ruang Tentukan v.v? kapan v.v = 0?
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 22
43
4 sifat penting hasil kali titik
Perkalian titik memenuhi sifat: u.v = v.u (ku).v = k(u.v) u.(v+w) = u.v + u.w v.v = ||v||||v||, dan 0 untuk v = 0
44
Hasil kali silangu = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3)
u x v = (u2v3 u3v2)i + (u3v1 u1v3)j + (u1v2 u2v1)k
= u2 u3v2 v3
u1 u3v1 v3
u1 u2v1 u2, ,
Prosedur menentukan u x v
u1 u2 u3v1 v2 v3
Komponen pertama (i): u2 u3 v2 v3
det u2 u3v2 v3
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 23
45
Hasil kali silang
Komponen ketiga (k):
Komponen kedua (j): u1 u3v1 v3
u1 u2
v1 v2
Contoh: hitung v x w dengan v = (1,4,-4) dan w = (0,3,2)
v x w =
= (20, -2, 3) = 20i -2j +3k
4 -4
3 2
1 -4
0 2
1 4
0 3, ,
detu1 u3v1 v3
det u1 u2v1 v2
46
Hasil kali silangProsedur menentukan uxv
u1 u2 u3v1 v2 v3
Komponen pertama (i): u2 u3 v2 v3
Komponen ketiga (k):
Komponen kedua (j):u1 u3v1 v3
u1 u2
v1 v2
u2 u3v2 v3
u1 u3v1 v3
u1 u2v1 v2
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 24
47
Prosedur menentukan v x uProsedur menentukan vxu
v1 v2 v3u1 u2 u3
Komponen pertama (i): v2 v3 u2 u3
Komponen ketiga (k):
Komponen kedua (j):v1 v3u1 u3
v1 v2
u1 u2
48
ProsedurJika dua baris A ditukat tempat maka nilai
determinannya dikalikan -1, jadi u2 u3 v2 v3
= - v2 v3 u2 u3u1 u3v1 v3
u1 u2
v1 v2
= -
= -
v1 v3u1 u3
v1 v2
u1 u2
Terlihat bahwa u x v = - (v x u)
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 25
49
Hasil kali silang vektor satuan standard
x
y
z
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 0, 0)
i
ijk
j
k
jxk = i
ixj = (0x0-1x0)i (1x0 0x0)j +(1x1 0x0)k = k
jxi= -k
kxj = -i
kxk = ?
kxi = ?
ixk = ?
50
Bentuk determinan hasil kali silang
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
A =
u x v = det(A)
= i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
i j
u1 u2v1 v2
+ + +
- --
u x v = (u2v3 u3v2)i + (u3v1 u1v3)j + (u1v2 u2v1)k
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 26
51
Sifat-sifat hasil kali silang uxv = -v x u Jika u // v maka uxv = -v x u= 0,
akibatnya u x u = 0 (ku) x v = u x (kv) = k(u x v) u x (v+w) = u x v + u x w u.(v x w) = (u x v).w (hasil kali triple skalar)
x
y(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 0, 0)i
j
i x j
x
y(0, 1, 0)
(0, 0, -1)
(1, 0, 0)i
j
j x i
52
Contoh 1
Diketahui vektor:
p = 2i + 4j + 3kq = i + 5j 2k
Tentukan pxq
Vektor
Aljabar Linear dan Matriks 27
53
Contoh 2Diketahui vektor a = ( 1, 3 ) dan b = ( 3k, 1 )Tentukan nilai k jika a dan b saling tegak lurus
JawabAgar a dan b saling tegak lurus, maka
a . b = 0a . b = 3k + 3 = 0 k = 1
54
Contoh 3Diketahui u = ( 2, 1,1 ) dan v = ( 1,1,2 )Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh u dan v !
Jawab
u . v = 2 1 + 2 = 3||u|| = 22 + (1)2 +12 = 6||v|| = 12 +12 + 22 = 6u . v = ||u|| . ||u|| . cos cos = u.v / (||u|| . ||u|| )= 3/6 = 1/2 = 60oJadi sudut yang dibentuk antara u dan v adalah 60o
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 1
Basis Ortonormal
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Hasil kali dalamHasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V,misal pasangan u dan v, dinotasikan < u ,v > dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma, yaitu :
1. Simetris : < u ,v > = < v ,u >2. Aditivitas : < u+ v , w > = < u , w > + < v ,w >3. Homogenitas : < k u ,v > = k< u ,v > , k skalar4. Positivitas : < u ,u > 0 dan ( < u ,u > = 0 u = 0 )
Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut Ruang hasil kali dalam (RHD)
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Pembuktian SimetrisMisala = ( a1,a2,a3 ) b = ( b1,b2,b3 )c = ( c1,c2,c3 ) maka a , b , c R3
< a ,b > = ( a . b )= (a1b1 + a2b2 + a3b3 )= (b1a1 + b2a2 + b3a3 )= < b , a >
4
Basis ortonormalDiketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2,, v n adalah vektor vektor dalam V
Beberapa definisi penting:a. H = { v 1, v 2,, v n } disebut himpunan ortogonal
bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu < v i, v j > = 0 untuk i j dan i,j = 1,2,,n.
b. G = { v 1, v 2,, v n } disebut himpunan ortonormal bila
- G himpunan ortogonal- Norm dari vi = 1 , i = 1,2,,n atau < v i, v i > = 1
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Metode GramSchmidtmengubah suatu himpunan vektor yang bebaslinier menjadi himpunan yang ortonormal
Syarat:Himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah himpunan yang bebas linier
Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dariruang vektor V maka metode GrammSchimdt akan menghasilkan basis ortonormaluntuk V.
6
Proyeksi ortogonalvektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektorDiketahui H = { v 1, v 2,, v n } adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim n dan S = { w 1, w 2,, w n } merupakan himpunan yang ortonormal
Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w 1, w 2,, w n makauntuk setiap vektor z 1 dalam W , dapat dituliskan z 1 = k1 w 1 + k2 w 2 ++ kn w n dengan k1, k2, ,kn skalar.
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Jika u adalah sembarang vektor dalam V , dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z 1 dan z 2 , jadi dapat dituliskan u = z 1 + z 2 . Karena z 1 dalam W , maka sebenarnya z 1 merupakanproyeksi ortogonal u terhadap W , sedangkan z 2 merupakan komponen vektor uyang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z 1 , maka harus ditentukan nilaik1, k2, ,kn sedemikian hingga nilai k1 merupakan panjang proyeksi u terhadap w 1 , k2 merupakan panjang proyeksi u terhadap w 2 dan seterusnya sehingga kn merupakan panjang proyeksi u terhadap w n
Proyeksi orthogonal u terhadap w i adalahproy Wi ( u ) = < u ,w i > , dikarenakan w 1, w 2,, w n merupakan vektor vektor yang ortonormal .
8
Proyeksi ortogonal u terhadap W
proyw ( u ) = z 1= < u ,w 1 > w 1 + < u ,w 2 > w 2 ++ < u ,w n > wn
{ w 1, w 2,, w n } merupakan himpunan ortonormal
Komponen u yang tegak lurus terhadap W
z 2 = u (< u , w 1 > w 1 + < u , w 2 > w 2 ++ < u , w n > w n )
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 5
9
Misal diketahui K = { v 1, v 2, , v n } adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = { w 1, w 2, ,w n } yang ortonormal dengan menggunakan metode GramSchmidt
10
Metode GramSchmidt
proses normalisasi yang paling sederhana karena hanya melibatkan satu vektor saja. Pembagian dengan |v| bertujuan agar w i memiliki panjang = 1 akan diperoleh w 1 ortonormal
1. w1 =v1
|v1|
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 6
11
diperoleh dua vektor w 1 dan w 2 yang ortonormal
2. w2 =v2 -< v2,w1> w1| v2 -< v2,w1> w1 |
v3 -< v3,w1> w1 -< v3,w2> w2| v3 -< v3,w1> w1 -< v3,w2> w2 |
3. w3 =
n. wn =vn -< vn,w1> w1 -< vn,w2> w2 -< vn,wn-1> wn-1
| vn -< vn,w1> w1 -< vn,w2> w2 -< vn,wn-1> wn-1 |
12
Secara umum
dengan W merupakan ruang yang dibangun oleh w1 .wi-1
vi proy W (vi )| vi proyW (vi ) |
wi =
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 7
13
ContohDiketahui H = { a , b , c } dengan a = ( 1,1,1 ) , b = ( 1,2,1 ) , c = (1,1,0 )a. Apakah H basis R3 ?b. Jika ya, transformasikan H menjadi basis
orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides
14
Contoh
Diketahui dan a , b ,c R3 dengan a = ( 2,1,1 ) , b = ( 2,5,1 ) , c = ( 1,0,2 ) .Jika R3 merupakan RHD Euclides, transformasikan a , b , c ke basis ortonormal
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 8
15
Perubahan Basis
suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis
jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor vektor di A dan B.
16
Jika V ruang vektor, S : { s 1, s 2,, s n } merupakan basis V maka untuk sembarangx V, dapat dituliskan :
x = k1 s 1 + k2 s 2+kn s ndengan k1, k2, , kn skalar.k1, k2, , kn juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S.
Basis Ortonormal
Aljabar Linear dan Matriks 9
17
disebut matriks x relatif terhadap basis S[x]S =k1k2: kn
[x]S = :
Jika S merupakan basis ortonormal , maka
18
Diketahui A = { v , w } dan B = { x , y } berturut turut merupakan basis R2 ,
dengan v = ( 2, 2 ) , w = ( 3, 1 ) , x = ( 1 , 3 ) dan y = ( 1 , 1 )
Tentukan:Matriks transisi dari basis A ke basis B
Ruang-n Euclidis
Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruangn Euclidis
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Definisi 1
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka n-pasangan terurut adalah (a1,a2,..,an)dimana ai , i = 1,..,n adalah bilangan riil.Himpunan semua n-pasangan terurut ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan n
Ruang-n Euclidis
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Teorema 1Dua vektor u = (u1,u2,...,un) dan v = (v1,v2,..,vn) pada n
Dua vektor dinyatakan sama bila u1= v1, u2 = v2,...,un = vn Jumlahan u + v = (u1 + v1, u2 + v2 , , un + vn) Jika terdapat k , k 0 maka perkalian skalar
ku = (k u1, k u2,,k un) Vektor Nol : 0 = (0,0,,0) Invers aditif (negatif) : -u = (-u1,-u2,..., -un) Pengurangan : u v = (u1 - v1, u2 - v2 , , un - vn)
4
Teorema 2Jika U, V, W n , k,l maka :(a) Jika u,v V, maka u + v V(b) u+v = v+u(c) u+(v+w) = (u+v)+w(d) Jika 0 V sehingga 0 + u = u+ 0, u V(e) u V , - u V (negatif u).
sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0(f) Jika k,l , u V, maka k u V(g) k (u + v) = k u + k v(h) (k+l) u = k u + l u(i) k(l u) =(kl) u(j) 1 u = u
Ruang-n Euclidis
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Definisi 2Jika U, V n maka yang disebut
sebagai Euclidean Inner product adalah
U.V = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn
u1:un
v1:vn
U = V = Maka U.V = U.V T
Jika
6
Definisi 3Norm Euclidis (panjang euclidis) vektor u = (u1,u2,...,un) pada n adalah:||u|| = (u.v) = u12 + u22 + + un2
Jarak Euclidis di antara titik u = (u1,u2,...,un) dan titik v = (v1,v2,...,vn) pada n adalah:
d(u,v)=||u-v|| = (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + + (un-vn)2
Ruang-n Euclidis
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Contoh 1Diketahui a = ( 1,1,2,3 ) dan b = ( 2,2,1,1 )Tentukan jarak antara a dan b !
Jawaba b = (1, 1,1,2 )d ( a , b ) = (1)2 + (1)2 +12 + 22
= 7
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Aljabar Linear dan Matriks 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf
2
Nilai eigen suatu matriksDiketahui A matriks berukuran n x n, x vektor taknol berukuran n x 1 , x Rn
Karena A berukuran n x n , maka A x akan berupa vektor yang berukuran n x 1 juga. Bila terdapat skalar ,
Riil sedemikian hingga
Ax = x
(Ax menghasilkan vektor yang besarnya kali x )
Semua nilai yang memenuhi persamaan tersebut sehingga ada nilai x yang nyata ( bukan
vektor 0 saja ) disebut nilai eigen ( karakteristik ).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Aljabar Linear dan Matriks 2
3
Untuk menentukan nilai , dari persamaan A x = x sebelumnya dirubah dahulu menjadi persamaan
(A I ) x = 0 = ( I A ) x
det (A I )
yaitu det (A I ) = det ( I A ) = 0.
Persamaan det (A I ) = det ( I A ) = 0
disebut persamaan karakteristik.
4
Dari nilai eigen yang telah diperoleh tersebut dapat ditentukan ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen yang diperoleh ke dalam persamaan
(A I ) x = 0
Ruang solusi yang diperoleh dengan carademikian ini disebut juga dengan ruang eigen
Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu tersebut dapat dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang saling bebas linear.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Aljabar Linear dan Matriks 3
5
Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah nilai eigen = , maka akan memiliki nilai eigen k
Jika banyaknya nilai eigen dari Ak sebanyak n juga maka basis ruang eigennya tatap sama,
tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n (terjadi jika ada nilai eigen yang saling berlawanan tanda ), maka salah satu nilai eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang berbeda .
6
Diagonalisasi
penentuan matriks diagonal D danmatriks pendiagonal P yang berkaitan dengan basis ruang eigen
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Aljabar Linear dan Matriks 4
7
Jika A matriks bujursangkar berukuran n,dan terdapat matriks diagonal D sedemikian hingga
D = P1AP
sehingga dikatakan matriks A dapat didiagonalisasi. P merupakan matriks n x n yang kolom kolomnya merupakan vektor vektor kolom dari basis ruang eigen A. P disebut matriks yang mendiagonalisasi A , sedangkan D merupakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya merupakan semua nilai eigen dari A.
8
Diagonalisasi ortogonal matriks ortogonal
Matriks bujur sangkar P disebutmatriks ortogonal bila berlaku
Pt = P1
Matriks A dapat didiagonalisasi secaraortogonal jika terdapat P ortogonal sehingga
P1 A P = D dengan D adalah matriks diagonal