AKAR DANAKAR DANAKAR DAN AKAR DAN VEKTOR KARAKTERISTIKVEKTOR KARAKTERISTIK

••Titik / garis InvarianTitik / garis Invarian••eigeneigen value value dandan eigeneigen vectorvector

Prof.Dr. Budi MurtiyasaMuhammadiyah University of Surakarta

Transformasi Pencerminan Thd Sb X

* Q’(-5,4)

* P(3,2)S=S’

* S=S*

* P’(3,-2)R(-3,0)=R’

* Q( 5 4)* Q(-5,-4)R tdk berubah, disebut titik tetap/titik invarian., p/

Semua titik pd sb X menjadi titik invarian

Transformasi Pencerminan Thd Sb Y

* S = S’

* P(3,2)P’(-3,2)*

* R(0,-1)= R’

Q(-4,-3) * * Q’(4,-3)

R tdk berubah, disebut titik tetap/titik invarian., p/Semua titik pd sb Y menjadi titik invarian

Perhatikan bahwa padaPerhatikan bahwa pada suatu transformasi, ,

dimungkinkan ada titik atau garis yang tidak berubah oleh transformasiyang tidak berubah oleh transformasi.

Titik atau garis yang tidak berubah pada suatu transformasi disebuttitik invarian atau garis invariantitik invarian atau garis invarian.

Akar dan Vektor KarakteristikAkar dan Vektor Karakteristik• Andaikan X, Y ∈ Rn dan Anxn adalah matriks

transformasitransformasi.Secara umum berlaku hubungan Y=AX,artinya oleh matrik A, vektor X dipetakanmenjadi vektor baru Y.

⎟⎞

⎜⎛− 01

d kt X ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛4

Misal A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

, dan vektor X = ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝5

maka AX = ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛− 01

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛4

= ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−4

= Ymaka AX ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 10 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝5

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 5

Y

Dalam kasus khusus dimungkinkan vektor Xdi k k k X j ( k li )dipetakan ke vektor X juga (atau kelipatannya),jadi : AX = λX, dengan λ adalah skalar anggotaj g ggfield F. Dalam kasus seperti ini X dinamakanvektor invarian (vektor tetap / vektorvektor invarian (vektor tetap / vektorkarakteristik).

⎟⎞

⎜⎛− 01

d kt X ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 0

Misal A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

, dan vektor X = ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−7

maka AX = ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛− 01

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 0

= ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 0

= Xmaka AX ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 10 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝−7

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−7

X

BagaimanakahBagaimanakah mendapatkan p

vektor invarian X, sehingga :

λAX = λX

•• AX = AX = λλXX (1)(1)AX AX -- λλX = 0X = 0AXAX λλIX 0IX 0AX AX -- λλIX = 0IX = 0(A (A -- λλI)X = 0I)X = 0 (2)(2)(( )) ( )( )

•• sistemsistem (2) (2) akanakan mempunyaimempunyai penyelesaianpenyelesaianX yang nontrivial (X yang nontrivial (tidaktidak nolnol)) jikajika ::X yang nontrivial (X yang nontrivial (tidaktidak nolnol) ) jikajika ::|A |A -- λλI| = 0I| = 0 (3)(3)

•• ekspansiekspansi persamaanpersamaan (3) (3) akanakan diperolehdiperolehpolinomialpolinomial dalamdalam λλ atauatau P(P(λλ) yang) yangpolinomialpolinomial dalamdalam λλ, , atauatau P(P(λλ) yang ) yang disebutdisebut polinompolinom karakteristikkarakteristik; jadi polinom ; jadi polinom karakteristik P(karakteristik P(λλ) |A) |A λλI|I|karakteristik P(karakteristik P(λλ) = |A ) = |A -- λλI|I|

•• KarenaKarena A A dandan I I diketahuidiketahui, , daridari persamaanpersamaan(3) (3) dengandengan P(P(λλ) = 0, ) = 0, akanakan diperolehdiperoleh nilainilai--( )( ) gg (( ) ,) , ppnilainilai λλ yang yang disebutdisebut dengandengan akarakarkarakteristikkarakteristik ((nilainilai eigeneigen))karakteristikkarakteristik ((nilainilai eigeneigen).).

•• Selanjutnya jika Selanjutnya jika λλ diperoleh, disubtitusikan diperoleh, disubtitusikan kembali ke persamaan (2) akan ditemukan kembali ke persamaan (2) akan ditemukan vektor invarian vektor invarian (vektor karakteristik) (vektor karakteristik) X.X.( )( )

C t hC t hContoh Contoh ⎞⎛ 21

•• Andai matriks transformasi Andai matriks transformasi BB = . = . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−4321

Carilah akar dan vektor karakteristik dariCarilah akar dan vektor karakteristik dari

⎠⎝ 43

Carilah akar dan vektor karakteristik dari Carilah akar dan vektor karakteristik dari transformasi tersebut !transformasi tersebut !

Solusi :⎞⎛− 21 ⎞⎛ 01 ⎟

⎞⎜⎛ −− λ 21

B – λI = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−4321

– λ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−λ

λ43

21

⎠⎝ ⎠⎝

|B λI|λ−− 21

{( 1 λ)(4 λ)} (2)(3)|B – λI|=λ−43

= {(-1 – λ)(4 – λ)} – (2)(3)

|B – λI|=(-2 – λ)(5 – λ)

P(λ) = |B – λI|= 0

(-2 – λ)(5 – λ) = 0

λ λ1λ = -2 dan 2λ = 5

Selanjutnya mencari vektor invarian,

Untuk λ = -2, maka :

(B λI) X X⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −− λ 21

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 21

⎟⎞

⎜⎛ 1x(B – λI) X = X = =0⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ −λ43 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ 63 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ 2

1

x

H n= 2⎟⎞

⎜⎛ 21

⎟⎞

⎜⎛ 21

~n= 2r = 1; banyak var bebas =1⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛63 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

Persamaan baru :2 0

Var bebas : x2x1 + 2x2 = 0 2Misal x2 = 1 x1 = -2

Vektornya adalah X1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−12

Untuk λ = 5 maka :

y 1 ⎟⎠

⎜⎝ 1

Untuk λ = 5, maka :

(B λI) X X⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −− λ 21

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛− 26

⎟⎞

⎜⎛ 1x(B – λI) X = X = =0⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ −λ43 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ −13 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ 2

1

x

H n= 2⎟⎞

⎜⎛− 26

⎟⎞

⎜⎛− 26

~n= 2r = 1; banyak var bebas =1⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−13 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

Persamaan baru :6x + 2x 0 V kt d l h X ⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

31

-6x1 + 2x2 = 0 Vektornya adalah X2 = ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝1

3

C t hC t hContoh Contoh ⎞⎛ 122

•• Andai matriks transformasi A = . Andai matriks transformasi A = . ⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

131122

Carilah akar dan vektor karakteristik dariCarilah akar dan vektor karakteristik dari

⎟⎠

⎜⎝ 221

Carilah akar dan vektor karakteristik dari Carilah akar dan vektor karakteristik dari transformasi tersebut !transformasi tersebut !

Solusi :⎟⎞

⎜⎛ 122 ⎟

⎞⎜⎛ 001

⎟⎞

⎜⎛ −λ 122

A – λI = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

221131 – λ

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ 100010 =

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ −−

λλ

221131

⎠⎝ 221 ⎠⎝ 100 ⎠⎝ λ221

λ− 122|A – λI|=

λλ−

221131 = (5 – λ)(1 – λ)(1 – λ)λ−221

P(λ) |A λI| 0P(λ) = |A – λI|= 0

P(λ) = (5 – λ)(1 – λ)(1 – λ) = 0

λ λ= 12,1λ dan 3λ = 5

Selanjutnya mencari vektor invarian,

Untuk λ = 1, maka :

(A λI) X ⎟⎞

⎜⎛ −λ 122

X ⎟⎞

⎜⎛ 121

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1x

=0(A – λI) X = ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ −−

λλ

221131 X =

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ 121121

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 3

2

xx =0

⎠⎝ ⎠⎝

⎟⎞

⎜⎛ 121 H ⎟

⎞⎜⎛ 121

n= 3⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ 121121 ~

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ 000000 n= 3

r = 1; banyak var bebas =2⎠⎝ ⎠⎝

Persamaan baru :x + 2x + x 0 Variabel bebasnya :x1 + 2x2 + x3 = 0 Variabel bebasnya :

x2 dan x3

Misalkan: ⎟⎞

⎜⎛−2

Persamaan baru : x1 + 2x2 + x3 = 0Misalkan:x2 = 1 dan x3 = 0 maka x1 = -2

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛1X1 =⎟⎠

⎜⎝ 0

⎟⎞

⎜⎛−1

x2 = 0 dan x3 = 1 maka x1 = -1 X2 =⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛01

⎟⎠

⎜⎝1

Untuk λ = 5, maka :

(A λI) X ⎟⎞

⎜⎛ −λ 122

X ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−

121123

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1

xx

=0(A – λI) X = ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ −−

λλ

221131 X =

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ −−

321121

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 3

2

xx =0

⎠⎝

H⎟⎞

⎜⎛− 123

⎟⎞

⎜⎛ − 121 H ⎟

⎞⎜⎛ − 121 H ⎟

⎞⎜⎛ − 121

~⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ −−

321121

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ −−

321123 ~

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ −−

440440 ~

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

−000440

n= 3 ; r = 2; b k b b 1

Persamaan baru :2 + 0

⎠⎝ ⎠⎝ 321 ⎠⎝ ⎠⎝

banyak var bebas = 1 x1 – 2x2 + x3 = 0- 4x2 + 4x3 = 0

Persamaan baru : x1 – 2x2 + x3 = 0- 4x2 + 4x3 = 04x2 + 4x3 = 0

Variabel bebas x3; Misalkan: x3 = 1 maka x2 = 1 dan x1 = 1Misalkan: x3 1 maka x2 1 dan x1 1

⎟⎞

⎜⎛1

Vektornya X3 = ⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛11

⎟⎠

⎜⎝1

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

A =A = ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

222101

A = A = ⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 212222

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

AA ⎟⎞

⎜⎛ 211

A = A = ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝− 311220

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

121011

A =A =⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ −− 112121A = A =

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

100010

A =A =⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ − 331100A = A =

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−−

048012

A =A =⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝− 1412048A = A =

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

121112

A =A =⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 100121A = A =

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

A =A = ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

022022

A = A = ⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 100022

•• Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −−−

4311293

A =A =⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 100431A = A =

SifatSifat--sifat :sifat :

1) jika λ1, λ2,…, λk, adalah akar) j 1, 2, , k,karakteristik yang berbeda, danmasing masing berhubungan dngmasing-masing berhubungan dngvektor invarian X1, X2, …, Xk; makavektor-vektor invarian tersebut bebaslinearlinear.

22)) Akar karakteristik dari A dan AT adalahsamasama.