02 Akar Akar Persamaan2

47
METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN

description

metode numerik

Transcript of 02 Akar Akar Persamaan2

Page 1: 02 Akar Akar Persamaan2

METODE NUMERIK

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Page 2: 02 Akar Akar Persamaan2

Pendahuluan

Akar-akar suatu persamaan dari suatu fungsi x sebenarnya adalah harga x yang membuat f(x) = 0.

Sebelum kemajuan komputer, menyelesaikan suatu akar persamaan menggunakan metode analitis dan grafik. Analitis f(x) = x2 - 4x x2 - 4x = 0

x(x-4) = 0

x1 = 0 atau x2 = 4

Page 3: 02 Akar Akar Persamaan2

Jumlah Akar

Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang sama, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan genap.

Page 4: 02 Akar Akar Persamaan2

Jumlah Akar

Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang berbeda, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan ganjil.

Page 5: 02 Akar Akar Persamaan2

Jumlah Akar

Meskipun generalisasi ini biasanya benar, tetapi ada kasus tertentu dimana suatu fungsi mempunyai akar kembar atau fungsi tersebut diskontinu.

Page 6: 02 Akar Akar Persamaan2

Pendahuluan

Berapa akar dari suatu f(x) = e-x-x ? Dengan analitis sulit tetapi masih bisa diselesaikan dengan metode grafik, dengan cara:

x f(x)

0 1

0,2 0,6187

0,3 0,4408

1 -0,632

Page 7: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Pendekatan Mencari Akar Persamaan

Metode Tertutup (Metode Akolade) Metode Grafik (selang bisa ditentukan lebih kecil

dari manual) Metode Bisection (Metode bagi dua) Metode Regulafalsi (Interpolasi Linier)

Metode Terbuka Metode Secant Metode Newton Raphson

Page 8: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Tertutup (Akolade)

Metode ini sering disebut metode terkurung/tertutup karena membutuhkan dua tebakan awal untuk menentukan akar suatu f(x).

Dua tebakan harus mengapit akarnya, berarti harus ditentukan sebelum akar dan setelah akar Dalam metode akolade, grafik fungsi harus

digambar secara kasar.

Page 9: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Grafik

Metode paling sederhana untuk memperoleh tafsiran akar suatu f(x) dengan membuat grafik dari fungsi tersebut dan kemudian mengamati berapa nilai x yang menyebabkan f(x) berharga 0.

Jika selang dari tiap perubahan nilai x ditentukan semakin kecil, maka akan menghasilkan nilai yang semakin teliti.

Page 10: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Grafik (Ex.)

Ingin dicari suatu akar dari f(x) = ex - 2 - x2

Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,5

x f(x)

0,5 0,60128

1 0,28172

1,5 0,23169

Page 11: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Grafik (Ex.)

Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,25

x f(x)

0,5 0,60128

0,75 0,4455

1 0,28172

1,25 0,07216

1,5 0,23169

Page 12: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Grafik (Ex.)

Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,2x f(x)

0,5 0,60128

0,7 0,47625

0,9 0,3504

1,1 0,20583

1,3 0,02070

1,5 0,23169

Dengan selang x = 0,25, akarnya adalah x = 1,25.

Dengan selang x = 0,2, akarnya adalah x = 1,3. Dengan selang ini lebih teliti karena menghasilkan f(x) yang nilainya lebih dekat dengan 0.

Page 13: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Bagi Dua)

Syarat: f(x) real/nyata dan kontinu dalam interval xi s/d xu, dimana f(xi) dan f(xu) berbeda tanda sehingga f(xi).f(xu) < 0

Metode ini digunakan untuk menentukan salah satu akar dari f(x).

Dasar dari metode bagi 2 adalah metode carian inkremental.

Page 14: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Carian Inkremental

Proses dimulai dengan menentukan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda. kemudian penempatan perubahan tanda dari akar ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah subinterval (pada metode bagi 2, pencarian subintervalnya dengan cara membagi dua). Setiap subinterval dicari untuk menempatkan perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dengan subinterval yang semakin lama semakin kecil hingga dicapai suatu proses konvergensi

Page 15: 02 Akar Akar Persamaan2

Algoritma Metode Bisection

1. Pilih harga xi yaitu harga x yang terendah dan xu yaitu harga x yang tertinggi, agar fungsi berubah tanda sepanjang interval tersebut sehingga f(xi).f(xu) < 0

2. Taksiran pertama akar sebut dengan xr ditentukan oleh:

2ui

r

xxx

Page 16: 02 Akar Akar Persamaan2

Algoritma Metode Bisection

3. Evaluasi harga xr untuk menentukan subinterval mana yang akan memuat harga akar dengan cara sebagai berikut

Jika f(xi).f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xu baru = xr.

Jika f(xi).f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xi baru = xr.

Jika f(xi).f(xr) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = xr.

Page 17: 02 Akar Akar Persamaan2

Algoritma Metode Bisection

4. Buat taksiran akar baru = xr baru dari

5. Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya |a| |s| yang ditentukan. Jika ya hentikan komputasi, jika tidak kembali lagi ke evaluasi.

2ui

r

xxx

Page 18: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

f(x) = ex – 2 – x2, cari akarnya dengan metode bisection dimana xi = 0.5; xu = 1.5; s = 1%

Page 19: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 1:

1. xi = 0,5; xu = 1,5; f(xi) = 0,60128; f(xu) = 0,23169

2.

3. f(xr) = 0,28172

f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,28172) > 0

maka xi baru = 1

4.

5.

12

5,15,02

uir

xxx

25,125,11

2

ui

r

xxx

%20%10025,1

125,1

a

Page 20: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 2:

3. f(xr) = f(1,25) = 0,07216

f(xi).f(xr) = (0,28172).(0,07216) > 0

maka xi baru = 1,25

4.

5.

375,12

5,125,12

uir

xxx

%1,9%100375,1

25,1375,1

a

Page 21: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 3:

3. f(xr) = f(1,375) = 0,06445

f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,06445) < 0

maka xu baru = 1,375

4.

5.

3125,12

375,125,12

uir

xxx

%76,4%1003125,1

375,13125,1

a

Page 22: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 4:

3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072

f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,0072) > 0

maka xi baru = 1,3125

4.

5.

34375,12

375,13125,12

uir

xxx

%3,2%10034375,1

3125,134375,1

a

Page 23: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 5:

3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072

f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,0277) > 0

maka xi baru = 1,34375

4.

5.

328125,12

34375,13125,12

uir

xxx

%176,1%100328125,1

34375,1328125,1

a

Page 24: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 6:

3. f(xr) = f(1,328125) = 0,010

f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,010) < 0

maka xu baru = 1,328125

4.

5.

3203,121,3281253125,1

2

ui

r

xxx

%59,0%1003203,1

328125,13203,1

a

Page 25: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection (Ex.)

Iterasi xr |a| %

1 1 2 1,25 20

3 1,375 9,1

4 1,3125 4,76

5 1,34375 2,3

6 1,328125 1,176

7 1,3203 0,59

Jika s = 1 %, maka akarnya adalah x = 1,3203

Page 26: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Bisection

Kelemahan: Membagi interval dengan subinterval dengan

membagi 2 tanpa ada perhitungan mengenai f(x i) dan f(xu) yang mana sebenarnya yang lebih mendekati akarnya

Page 27: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Regulafalsi

Yang membedakan antara metode Regulafalsi dan Bisection dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xr.

Penentuan pergantian besarnya subinterval tetap dipengaruhi oleh f(xi).f(xr).

ui

uiuur xfxf

xxxfxx

Page 28: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Regulafalsi (Ex.)

Tentukan salah satu akar dari metode Regulafalsi dalam suatu fungsi f(x) = ex – 2 – x2, dimana xi = 0,5; xu = 1,5; s = 1% !

Page 29: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Regulafalsi (Ex.) Langkah 1

1. xi = 0,5; xu = 1,5;

f(xi) = f(0,5) = 0,60128; f(xu) = f(1,5) = 0,23169 2.

3. f(xr) = f(1,2219) = 0,0994

f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,09941) > 0

maka xi baru = 1,2219; f(xi) = 0,099414.

5.

2219,1

23169,060128,05,15,023169,0

5,1

rx

3054,1

23169,009941,05,12219,123169,0

5,1

rx

%397,6%1003054,1

2219,13054,1

a

Page 30: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Regulafalsi (Ex.)

Langkah 2:

3. f(xr) = f(1,3054) = 0,014905

f(xi).f(xr) = (0,09941).(0,014905) > 0

maka xi baru = 1,3054; f(xi) = 0,014905

4.

5.

31716,1

23169,0014905,05,13054,123169,0

5,1

rx

%8928,0%10031716,1

3054,131716,1

a

Page 31: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Regulafalsi (Ex.)

Iterasi xr a %

1 1,2219 2 1,3054 6,397

3 1,31716 0,8928

Dari hasil ini ternyata metode Regulafalsi lebih cepat konvergen, daripada Bisection, tetapi belum tentu teliti. Hal ini dibuktikan dengan a dari kedua metode. Untuk xr = 1,3203; a = 0,59 pada metode Bisection, sedangkan pada metode Regulafalsi xr = 1,31716; a = 0,8928 (a Bisection < a Regulafalsi)

Page 32: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Terbuka

Hanya membutuhkan sebuah harga tunggal dari x untuk harga awalnya atau 2 harga x tetapi tidak perlu harus mengurung akar. Metode ini berbeda dengan metode tertutup yang memerlukan 2 harga awal dan harus dalam posisi mengapit atau mengurung akar

Page 33: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Newton-Raphson

1. Tentukan harga awal xi.

2. Garis singgung terhadap f(xi) akan diekstrapolasikan ke bawah pada sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+1, sehingga xi+1 dirumuskan:

i

iii xf

xfxx

1

Page 34: 02 Akar Akar Persamaan2

Kelemahan Newton -Raphson

Harus menentukan turunan dari f(x) Karena kita menentukan titik awal hanya 1,

maka sering didapatkan/ditemukan akar yang divergen. Hal ini disebabkan karena Dalam menentukan xi yang sembarang ternyata

dekat dengan titik belok sehingga f(xi) dekat dengan 0, akibatnya

menjadi tidak terhingga/tak tentu sehingga xi+1 semakin menjauhi akar yang sebenarnya

i

iii xf

xfxx

1

Page 35: 02 Akar Akar Persamaan2

Kelemahan Newton -Raphson

Kalau xi dekat dengan titik ekstrim/puncak maka turunannya dekat dengan 0, akibatnya xi+1 akan semakin menjauhi akar sebenarnya

Kadangkadang fungsi tersebut tidak punya akar tetapi ada penentuan harga awal, sehingga sampai kapanpun tidak akan pernah ditemukan akarnya.

Page 36: 02 Akar Akar Persamaan2

Saran

Disarankan sebelum menentukan titik awal dilakukan sketsa grafik terlebih dahulu. Konvergen kesalahan semakin lama semakin

kecil Divergen kesalahan semakin lama semakin

besar

Page 37: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 pada titik awal 1,5; s = 1 %

Page 38: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Langkah 11. xi = 1.5 ; f(xi) = 0,23169

f’(xi) = ex – 2x f’(1.5) = 1.4817

2.

3. %64,11%1003436,1

5,13436,1

3436,14817,123169,0

5,11

a

ix

Page 39: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Langkah 21. xi = 1.3436 ; f(xi) = 0,027556

f’(xi) = ex – 2x f’(1.3436) = 1.145617

2.

3. %8228,1%100319547,1

3436,1319547,1

319547,1145617,1027556,0

3436,11

a

ix

Page 40: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Langkah 31. xi = 1.319547 ; f(xi) = 0.0085217

f’(xi) = ex – 2x f’(1.319547) = 1.102632

2.

3. %036,0%100319074,1

319547,1319074,1

319074,1102632,10085217,0

319547,11

a

ix

Page 41: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Iterasi xi+1 a %

1 1.3436 11.64

2 1.319547 1.8228

3 1,319074 0,036

Jadi akar dari f(x) = ex – 2 – x2 adalah x = 1,319074

Page 42: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Secant

Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant.

Page 43: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Secant

Metode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung/ mengapit akar

Yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Raphson dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xi+1.

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

1

11

Page 44: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Secant (Ex.)

Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 dengan tebakan awal 1.4 dan 1.5; s = 1 %

Page 45: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Secant (Ex.)

Langkah 11. xi-1 = 1,5 f(xi-1) = 0,2317

xi = 1.5 ; f(xi) = 0,2317

2.

f(xi+1) = 0,0125

3.

3303,1

2317,00952,05,14,12317,0

5,11

ix

%24,5%1003303,1

4,13303,1

a

Page 46: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Secant (Ex.)

Langkah 11. xi-1 = 1.4 f(xi-1) = 0,0952

xi = 1,3303 f(xi) = 0,0125

2.

3.

3206,1

0125,02317,03303,15,10125,0

3303,11

ix

%7,0%1003206,1

3303,13206,1

a

Page 47: 02 Akar Akar Persamaan2

Metode Secant (Ex.)

Iterasi xi+1 a %

1 1.3303 5.24

2 1.3206 0.7

Jika dibandingkan dengan Newton Raphson dengan akar = 1,3191 dan a = 0,03%, maka metode Secant lebih cepat, tapi tingkat kesalahannya lebih besar