Post on 06-Feb-2018
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 1/21
Matriks dan Sistem Persamaan Linier
Konsep Dasar Matriks
Matriks. Matrik dalam matematika adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam
baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan
sebagai suatu kesatuan. (Istilah matriks kita jumpai pula dalam bahasan tentang material).
Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatu kurung siku (ataupun dengan kurung biasa)
seperti contoh berikut.
123
421
302
;
4
2 ; [ ]423 ;
203
142 (1)
Dalam contoh matriks ini, banyaknya baris matriks yang pertama sama dengan
banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriks bujur sangkar. Yang kedua terdiri
dari dua baris dan satu kolom, disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri
dari satu baris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yang keempat adalah
matriks persegi panjang dengan dua baris dan tiga kolom.
Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga suatu matrik akan
terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemen matriks ini dapat berupa bilangan riil
maupun kompleks, akan tetapi dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat
matriks dengan elemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secara
umum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam matriks. Jika b (b
= 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalah nomer kolom, maka b dan k digunakan
sebagai subscript-ganda elemen matriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama
matriks adalah huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan sebagai
notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut.
A =
123
421
302
; B =
203
142 ; a =
4
2 ; b = [ ]423 (2)
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A (3)
Posisi elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama matriks. Banyaknya baris dan
kolom merupakan ukuran matrik. Dalam contoh (1), berturut-turut kita mempunyai matriks
dengan ukuran 3×3, 2×1, 1×3, dan 2×3. Matriks dengan m = n disebut matriks bujur sangkar,
dan kita katakan matriks ini berordo n. Matriks A pada contoh (2) adalah matriks bujur
sangkar berordo 3.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 2/21
Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan
sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatu matriks. Sebagai contoh, matriks
B =
203
142
mempunyai dua anak matriks 1× 3 , yaitu [ ]142 , [ ]203 ;
tiga anak matriks 2× 1, yaitu
3
2 ,
0
4 ,
2
1;
enam anak matriks 1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
enam anak matriks 1×2 yaitu [ ]42 , [ ]12 , [ ]14 , [ ]03 , [ ]23 , [ ]20 ;
tiga anak matriks 2×2 yaitu
03
42 ,
23
12 ,
20
14.
Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapat memandang matriks sebagai
tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks
A=
123
421
302
dapat kita pandang sebagai matriks
=
3
2
1
a
a
a
A
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris [ ]3021 =a , [ ]4212 =a , [ ]1233 =a .
Dengan cara pandang ini matriks A mirip bentuknya dengan vektor kolom.
Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA = dengan anak-anak
matriks
=3
1
2
1a ,
=2
2
0
2a ,
=1
4
3
3a yang berupa vektor-vektor kolom. Dengan cara ini
matriks A terlihat seperti vektor baris.
Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi Matriks
Kesamaan Matriks. Dua matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika berukuran
sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan kesamaan ini A
= B.
Jika A =
03
42 maka haruslah B =
03
42.
Penjumlahan. Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang
berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua matriks tersebut sama).
Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah
matriks C berukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen
matriks A dan B yang posisinya sama.
Jika A=
03
42 dan B=
22
31, maka C= A + B =
25
73
Penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 3/21
a. ABBA +=+
b. ( ) ( )CBACBA ++=++ (4)
Matriks Nol. Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n
dengan semua elemennya bernilai nol.
Matriks Negatif. Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n
yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1).
Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatif adalah
a). A0A =+
b). 0AAAA =−=−+ )( (5)
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar. Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan
matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a
kali. Kita menuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA = Aa.
=
=
646
462
244
2
323
231
122
323
231
122
2
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
a. ( ) BABA aaa +=+
b. ( ) AAA baba +=+ (6)
c. [ ] ( )AA abba =
Perkalian Matriks dengan Matriks. Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB
(dalam urutan perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriks A
sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran
p×q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa
matriks yang berukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k merupakan
hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari
matriks B (matriks A dipandang sebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor
baris dan matriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi
jika [ ]baA = dan [ ]kbB = maka [ ] [ ]kbbkc baABC •===
Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kita sebut
menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihat bahwa menggandaawalkan A ke
B tidak selalu sama dengan menggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA.
• Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris [ ]32=a dan
vektor kolom
=
3
4b . Banyaknya kolom a adalah 2, sama dengan banyaknya baris
b, maka perkalian internal bac •= dapat kita lakukan, yaitu
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 4/21
[ ] [ ] [ ]1733423
4 32 =×+×=
=•= bac .
Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan banyaknya baris a,
maka. kita dapat melakukan perkalian
[ ]
=
××××
=
=•=
96
128
3323
342432
3
4abD
Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya operasi demikian ini dapat
dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matriks tidak komutatif.
• Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan
=
43
12A dan
=
3
2b .
Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka perkalian Ab dapat
dilakukan. Matriks A kita pandang sebagai
=
2
1
a
aA , yaitu matrik dengan anak
matriks berupa vektor baris [ ]121 =a dan [ ]432 =a . Perkalian AbC = adalah
=
×+××+×
=
••
=
==
18
7
3423
3122
2
1
2
1
ba
bab
a
aAbc
Jika urutan perkalian dibalik bAD = , perkalian tak dapat dilakukan karena b
terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
• Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan
=
43
12A dan
=
35
24B .
Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B; oleh karena itu kita dapat
melakukan perkalian ABC = . Matriks A kita pandang sebagai
=
2
1
a
aA , yaitu
matrik dengan anak matriks berupa vektor baris [ ]121 =a dan [ ]432 =a . Matriks
B kita pandang sebagai [ ]21 bbB = , yaitu matriks dengan dua anak matriks
berupa vektor kolom
=
5
41b dan
=
3
22b . Perkalian ABC = adalah
[ ]
=
×+××+××+××+×
=
••••
=
==
1832
713
34235443
31225142
2212
211121
2
1
baba
bababb
a
aABC
• Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan
=
231
342A dan
=32
34
21
B . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan banyaknya baris B.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 5/21
Kita dapat melakukan perkalian
=
×+×+××+×+××+×+××+×+×
=
==
1717
2525
323321224311
333422234412
32
34
21
231
342ABC
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada perhitungan di atas adalah sebagai
=
2
1
a
aA , [ ]21 bbB = , sehingga [ ]
••••
=
==
2212
211121
2
1 baba
bababb
a
aABC .
Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak
matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari
anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian
dari baris ke kolom.
Sifat Perkalian Matriks. Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut.
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==
( ) ( )CABBCA =
( ) BCACCBA +=+ (7)
( ) CBCABAC +=+
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada
umumnya AB ≠ BA
c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
Matriks-Matriks Khusus
Melihat pada nilai-nilai elemen dari matriks, terdapat beberapa bentuk matriks
khusus.
• Matriks Segitiga. Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga
bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang
elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah
matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan
contoh berikut.
Matriks segitiga bawah :
−=343
011
002
1T
Matriks segitiga atas :
−=
300
310
122
2T
• Matriks Diagonal. Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di
atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh :
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 6/21
=000
010
002
D
• Matriks Satuan. Matriks satuan, disebut juga matriks identitas, adalah
matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Matriks ini dilambangkan
dengan I.
=100
010
001
I
Suatu matrik jika dikalikan dengan matriks satuan akan kembali pada matriks asalnya.
AIAAI == (8)
Putaran Matriks
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks
AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti
pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT.
Jika [ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A maka [ ]pq
mnnn
m
m
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
TA (9)
Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
• Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akan menjadi
vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
[ ]
=⇒=3
4
2
342 Taa ; [ ]345
3
4
5T =⇒
= bb
• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor baris sama
dengan jumlah putaran masing-masing vektor.
Jika [ ] [ ]231dan 342 == ba maka [ ]573=+ ba
( ) TTT
2
3
1
3
4
2
5
7
3
baba +=
+
=
=+ .
Secara umum : ( ) TTT baba +=+ (10)
• Putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Putaran hasil kali vektor
baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan
hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 7/21
Jika [ ]
==2
3
1
dan 342 ba maka [ ]233412 ×+×+×=ab
⇒ [ ] [ ] TTT
3
4
2
231233412 abab =
=×+×+×=
Jika [ ]231dan
3
4
2
=
= ba maka
×××××××××
=233313
243414
223212
ab
⇒ ( ) [ ] TTT 342
2
3
1
232422
333432
131412
abab =
=
×××××××××
=
Secara umum : ( ) TTT abab = (11)
• Putaran matriks persegi panjang.
Jika
=
231
342A maka
=23
34
12TA
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dsri vektor baris
=
ma
a
A L
1
maka
putarannya adalah [ ]TT1
TmaaA L= . Di sini terlihat jelas bagaimana baris-baris di
A menjadi kolom-kolom di AT. Sebaliknya, jika matriks A dinyatakan dengan vektor
kolom [ ]maaaA L21= maka putarannya akan berbentuk matriks dengan
anak-anak matriks berupa vektor baris.
• Putaran jumlah matriks. Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah
putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor
baris.
( ) TTT BABA +=+ (12)
Jika [ ]maaA L1= dan [ ]mbbB L1= maka [ ]mm babaBA ++=+ L11 .
Dengan demikian ( )( )
( )TT
T
T1
T
T1
TT
T1
T1
T
T11
T BA
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
BA +=
+
=
+
+=
+
+=+
mmmmmm
LLLL .
• Putaran hasil kali matriks. Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil
kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada
putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
( ) TTT ABAB = (13)
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 8/21
Jika
=
ma
a
A L
1
dan [ ]nbbB L1= maka
••
••=
nmnm
n
baba
baba
AB
L
LLL
L 111
. Dengan
demikian maka [ ] TT1
1111T ABaa
b
b
baba
baba
AB =
=
••
••= m
nnmnm
n
LL
L
LLL
L
• Matriks simetris. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal
kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya
sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila AA =T .
Jika BB −=T dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam
putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak berubah nilai, maka matriks
simetris miring dapat terjadi jika elemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu
set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum sistem persamaan
linier ini adalah
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
=++
=++=++
L
L
L
11
22121
11111
. . . . . . . . . . . (14)
Sistem (14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1
….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan
bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-
bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh b bernilai
nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen.
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1, …xn
yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi
trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul
tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah sebagai berikut.
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi
tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
Memperhatikan sistem persamaan (14) kita dapat melakukan operasi-operasi yang kita
sebut operasi baris sebagai berikut.
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor
bukan nol yang sama tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan
tersebut.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 9/21
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang
lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu
keseluruhan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan
sistem persamaan.
Sistem persamaan (14) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan
pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
LL
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
(15)
atau secara singkat bAx = (16)
dengan
=
=
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
LL
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
; ; bxA (17)
Dari (17) kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan,
yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
=
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
|
|
|
|
~
21
222221
111211
L
LLLLL
L
L
A (18)
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier (14) secara lengkap. Operasi-
operasi baris pada sistem persamaan (14) kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan
(18) menjadi sebagai berikut.
a). Setiap elemen dari baris yang sama (18) dapat dikalikan dengan faktor bukan nol
yang sama.
b). Satu baris dari (18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks gandengan baru
ini kita sebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Operasi baris
dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan
yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang
lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan
yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks
gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan
asalnya.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 10/21
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem
persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu
sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lihat melalui contoh berikut ini.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut.
0234
8253
024
8
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
(19)
Sistem persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai
=
−−−−
−−−
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
dengan matriks gandeng
−−−−
−−−
0|2341
8|2531
0|0241
8|0011
Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah
mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan
menghilangkan suku pertama baris-baris berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan
menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan
menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
1 baris
1 baris
baris1
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
+−+
−−−
−−
Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru
saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan
dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3,
dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah
2 baris
2 baris 2/3
pivot
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
−+
−−−
−−
⇒ 3
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
×
−−
−−
Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan menghilangkan
suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11
kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3 baris 11
pivot
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
+×
−−
−
(20)
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 11/21
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:
1616
16611
823
8
==−
=−=−
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xx
yang dengan substitusi mundur akan memberikan: 12 ; 4 ; 2 ; 1 ==== ABCD xxxx .
Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihan
Sistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukan eliminasi Gauss
di atas kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem
tertentu terjadi jika banyaknya unsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya
persamaan dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknya
persamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, maka sistem itu menjadi
kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan
tetapi banyak solusi. Jika banyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang tak
diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang tertentu selalu
mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa
memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi. Berikut ini akan kita lihat contoh
sistem yang memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi
• Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lihat persamaan berikut.
823
024
8
−=+−=−+−
=−
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
(21)
Matriks gandeng dari sistem ini adalah
−−−−
−
8|230
0|241
8|011
Eliminasi Gauss dari matriks gandeng ini kita lakukan seperti pada contoh di atas, yang
akan menghasilkan
−−−
−
8|230
8|230
8|011
⇒
−−
0|000
8|230
8|011
(22)
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
00
823
8
==−
=−
CB
BA
xx
xx
(23)
Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan 3/)28( cb xx += yang kemudian memberikan
3/)28(8 ca xx ++= . Karena xc tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi.
Kita hanya akan memperoleh nilai xa dan xb jika kita menentukan nilai xc lebih dulu.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 12/21
• Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistem persamaan berikut.
1023
024
8
−=+−=−+−
=−
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
(24)
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
−−−−
−
10|230
0|241
8|011
⇒
−−−
−
10|230
8|230
8|011
⇒
−−
−
2|000
8|230
8|011
(25)
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
20
823
8
−==−
=−
CB
BA
xx
xx
(26)
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu
kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir (26). Hal Ini menunjukkan bahwa
sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk Eselon
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti matriks pada (20), (22) dan
(25) disebut bentuk eselon. Dari (25) misalnya, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks
gandengannya adalah
−−
000
230
011
dan
−−
−
2|000
8|230
8|011
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
′′
′
+
m
r
rrnrr
n
n
b
b
bkk
bcc
baaa
|0
|
|0
|
|
|0
|
1
2222
111211
M
L
M
LLL
LLL
(27)
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 13/21
m
r
rnrnrrr
nn
nn
b
b
bxkxk
bxaxc
bxaxaxa
′=
′=′=++
′=++=+++
+
0
0
1
22222
11212111
M
L
M
LLLL
LLLL
(28)
dengan 0 , 0 ,0 2211 ≠≠≠ rrkaa , dan r ≤ n. Kita perhatikan (28) ini.
a). Jika nr = dan mr bb ′′+ ,,1 K sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan
ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika nr < dan mr bb ′′+ ,,1 K sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan
ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika nr = ataupun nr < dan mr bb ′′+ ,,1 K tidak sama dengan nol atau mempunyai
nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika mr bb ′′+ ,,1 K sama dengan nol atau
tidak ada. Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi
jika nr = ; jika nr < akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriks
gandengan pada (27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam
matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor
Misalkan maaa , , 21 L adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita
tinjau suatu persamaan vektor
02211 =+++ mmccc aaa L (29)
Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c1 … cm) bernilai nol, maka
vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat
dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada
satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari
vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini
dapat dimengerti karena dalam persamaan (29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektor-
vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (29) (atau setidak-tidaknya
sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
vektor yang lain; misalnya vektor a1 dapat dinyatakan sebagai
01
21
21 =−−−= m
m
c
c
c
caaa L (30)
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Kita ambil contoh dua vektor baris
[ ]21321 =a dan [ ]26242 =a
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 14/21
[ ] [ ] 026242132 212211 =+=+ cccc aa hanya akan terjadi jika 021 == cc
Ambil vektor ketiga [ ]42643 =a . Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat
menyatakan a3 sebagai [ ] [ ]4264213222 13 === aa . Vektor a1, a2 dan a3 juga
tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
[ ] [ ] [ ]42642624 02132 202 213 =+=+= aaa
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
Kita lihat vektor lain yaitu [ ]55764 =a . Vektor a4 , a1 dan a2 tidak bebas linier karena
kita dapat menyatakan a4 sebagai
[ ] [ ] [ ]55762624 5.02132 25.02 214 =+=+= aaa
Rank matriks. Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank
matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank
matriks A disingkat rank A. Rank matriks B = 0 adalah nol.
Bagaimanakah menentukan rank suatu matriks? Kita mengetahui bahwa operasi baris
menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa
rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris
tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris,
yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung
vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Kita ambil contoh matriks pada (20), (22) dan (25).
• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (20), yaitu dari sistem
persamaan yang memberikan solusi tunggal, adalah
−−
−
16000
61100
0230
0011
dan
−−
−
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4.
Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu
4.
• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (22), yaitu dari sistem
persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
−−
000
230
011
dan
−−
0|000
8|230
8|011
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2.
Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (25), yaitu dari sistem
persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 15/21
−−
000
230
011
dan
−−
−
2|000
8|230
8|011
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank
matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak
samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Kita melihat
bahwa
(a) agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus
sama dengan rank matriks gandengannya;
(b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien
harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
(c) jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka
akan diperoleh banyak solusi.
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari sistem seperti
(14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem
persamaan homogen berbentuk
0
. . . . . . . . . . .
0
0
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
L
L
(31)
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
=
0|
|
0|
0|
~
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLLL
L
L
A ( 32)
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
′
′′′′′
=′
0|000
|
0|0
0|
~ 222
11211
mn
n
n
a
aa
aaa
LLLLL
L
L
A (33)
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r
= n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 16/21
0
0
0
2222
1212111
=′
=′++′=′++′+′
nmn
nn
nn
xa
xaxa
xaxaxa
M
L
L
(34)
Dari (34) terlihat bahwa 0=nx dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x
bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan
bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika nr < . Kita akan melihat beberapa
contoh.
• Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivial
0234
0253
024
0
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
(35)
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
−−−−
−−−
0|2341
0|2531
0|0241
0|0011
⇒ eliminasi Gauss ⇒
−−
−
0|16000
0|61100
0|0230
0|0011
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem
persamaan liniernya menjadi
016
0611
023
0
==−
=−=−
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xx
⇒ yang akhirnya memberikan 0==== ABCD xxxx (36)
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr = .
• Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivial
06134
0253
024
0
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
(37)
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah
−−−−
−−−
0|61341
0|2531
0|0241
0|0011
⇒eliminasi Gauss ⇒
−−
−
0|0000
0|61100
0|0230
0|0011
dan sistem persamaan menjadi
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 17/21
00
0611
023
0
==−
=−=−
DC
CB
BA
xx
xx
xx
(38)
Jika kita mengambil nilai 1=Dx maka akan diperoleh 33
12 ;
33
12 ;
11
6 === ABC xxx . Solusi
ini membentuk vektor solusi
=
1
11/6
33/12
3312
1
/
x yang jika digandaawalkan dengan matriks
koefisiennya akan menghasilkan vektor nol b = 0.
=
−−
−
=
0
0
0
0
1
6/11
12/33
12/33
0000
61100
0230
0011
1Ax (39)
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya 33=Dx akan diperoleh vektor solusi
yang lain, yaitu 12 33
33
18
12
12
xx =
= , yang jika digandaawalkan dengan matriks koefisiennya
juga menghasilkan vektor nol.. Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi
sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai
sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
1xx cc = (40)
dengan c adalah skalar sembarang.
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor
solusi, misalnya x1 dan x2.
111213 3433
33
18
12
12
1
11/6
33/12
33/12
xxxxxx =+=
+
=+= (41)
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan
hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan
menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
∑= cj xx (42)
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen
membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu
vektor solusi dengan skalar (40) dan penjumlahan vektor-vektor solusi (42). Kita katakan
bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor. Dalam
sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk
adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 18/21
skalar dengan vektor x1 walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana
terlihat pada (41).
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan
berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank
matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak
diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kita akan melihat kasus
yang lain.
• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihat sistem berikut.
04107
0254
0254
0
=+−+−=−+−
=+−+−=−
DCBA
DCBA
DCBA
BA
xxxx
xxxx
xxxx
xx
(43)
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
−−−−
−−−
0|41071
0|2541
0|2541
0|0011
⇒ eliminasi Gauss ⇒
−−
0|0000
0|0000
0|2530
0|0011
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan
menjadi
00
00
0253
0
==
=+−=−
DCB
BA
xxx
xx
(44)
Jika kita memberi nilai 0dan 1 == DC xx , kita akan mendapatkan 5/3 ; 3/5 == AB xx .
Vektor
=
0
1
3/5
3/5
1x adalah salah satu vektor solusi; jika kita gandaawalkan matriks koe fisien
dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor 0b =
=
+−+−
=
−−
=
0
0
0
0
0
0
0550
3/53/5
0
1
3/5
3/5
0000
0000
2530
0011
1Ax
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan 0xA =11k , 0xA =12k , dan
0)( 111211211 ==+=+ xAxAxAxA ckkkk . Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi,
maka )( , , 12111211 xxxx kkkk + adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita
tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai 0dan 1 == DC xx .
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 19/21
Jika 1dan 0 == DC xx akan kita peroleh 3/2−=Bx dan 3/2−=Ax yang membentuk
vektor solusi
−−
=
1
0
3/2
3/2
2x . Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-
vektor solusi yang lain seperti )( , , 22212221 xxxx llll + .
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
21 xxx lk += (45)
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwa solusi sistem
persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan
membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).
Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan
Pengertian tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan
pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan
untuk matriks bujur sangkar n × n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika
digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A
dituliskan sebagai A−1
sehingga definisi ini memberikan relasi
11 −− == AAIAA (45)
Jika A berukuran n × n maka A−1
juga berukuran n × n dan demikian pula matriks
identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki
kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut
matriks singular.
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain
kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A
mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal
ini hanya mungkin terjadi jika P = Q.
QQIAPQQAPPAQIPP ====== )()( (46)
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu
sistem persamaan linier tak homogen, yaitu
bAx = (47)
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan (47), akan kita
peroleh
bAxIxbAAxA 111 −−− ==→= (48)
Persamaan (48) menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem
persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi
persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak
singular dan bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 20/21
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A pada (47)
adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama
dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada (48) dapat kita peroleh jika rank A−1
sama
dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A sama dengan n dan
akan singular jika rank A lebih kecil dari n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan.
Metoda ini didasari oleh persamaan (47). Jika X adalah kebalikan matriks A maka
IAX =
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan [ ]IAA =~ dan kita lakukan eliminasi Gauss
pada A~
sehingga matriks gandengan ini berubah menjadi [ ]HU dengan U berbentuk
matriks segitiga atas. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [ ]HU dengan
mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.
Langkah akhir ini akan menghasilkan [ ]XI . Perhatikan contoh berikut.
Kita akan mencari kebalikan dari matriks
−−=
142
223
221
A
Kita bentuk matriks gandengan [ ]IA
[ ]
−−=
100|142
010|223
001|221
IA
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
1 baris 2
1 baris3
pivot
102|580
013|480
001|221
×+×−
−−− ⇒
2 baris
pivot
111|100
013|480
001|221
+
−−−−
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
)8/1(
111|100
08/18/3|2/110
001|221
−×
−− ⇒ baris35.0
3 baris2
111|100
2/18/58/7|010
223|021
×−×−
−−−−−
2 baris2
111|100
2/18/58/7|010
18/68/10|001 ×−
−−−
−−
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu :
−−−
−−=−
111
2/18/58/7
18/68/101A
Hasil ini dapat kita teliti balik dengan menggandaawalkannya dengan matriks A
Darpublic www.darpublic.com
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier” 21/21
=
++−+−−−+−−−−++−
−−−++−=
−−
−−−
−−=−
100
010
001
122422231
2/18/108/1428/108/1418/158/7
18/128/2048/128/2028/188/10
142
223
221
111
2/18/58/7
18/68/101AA
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan
matriksnya
=
−−
0
0
8
142
223
221
3
2
1
x
x
x
vektor solusinya adalah
−=
−−−
−−=
−−=
−
8
7
10
0
0
8
111
2/18/58/7
18/68/10
0
0
8
142
223
221
1
3
2
1
x
x
x
Kebalikan matriks diagonal. Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita
peroleh.
=
−
nnnn a
a
a
a
/100
00
00/1
00
00
00 111
11
LL (49)
Kebalikan dari kebalikan matriks. Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu
sendiri.
( ) AA =−− 11 (50)
Kebalikan dari perkalian matriks. Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah
perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
( ) 111 −−− = ABAB (51)
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
( )( ) 1−= ABABI
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 111111
11
111111
−−−−−−
−−
−−−−−−
===
=
===
ABABIABBBAB
ABBA
ABIBABBAAABABAIA