Post on 20-Jan-2016
description
• Besaran Fisis• Gerak 1D & 2DA
• Hukum GerakNewton
• Aplikasi HukumNewton
B
• Kerja & Energi• Kekekalan
EnergiC
• Momentum• Gerak RotasiD
• Gravitasi• Gerak PeriodikE
• MekanikaFluida
• Gelombang & Bunyi
F
Torka Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi Momentum Sudut Kekekalan Momentum Sudut Giroskop dan Presisi Menggelinding
Subtopik
• Besaran Fisis• Gerak 1D & 2DA
• Hukum GerakNewton
• Aplikasi HukumNewton
B
• Kerja & Energi• Kekekalan
EnergiC
• Momentum• Gerak RotasiD
• Gravitasi• Gerak PeriodikE
• MekanikaFluida
• Gelombang & Bunyi
F
Mendefinisikan arti torka yang dihasilkan sebuahgaya.
Menganalisa hubungan torka total dengan gerakrotasi benda
Menganalisa gerak benda menggelinding. Menyelesaikan masalah kerja dan daya pada gerak
rotasi. Mendefinisikan arti momentum sudut partikel /
benda tegar. Menganalisis gerak dengan momentum sudut
berubah terhadap waktu. Menjelaskan gerak presesi giroskop
Tujuan Instruksional Khusus
Suatu gaya bekerja pada benda hingga
benda tersebut bergerak melingkar.
Percepatan linear /tangensial benda
(pada arah ) adalah
aθ = αr
Hk. Newton 2 pada arah
Fθ = maθ = mαr Mengalikan persamaan di
atas dengan r memberikan
rFθ = mr2α
4
Dinamika Rotasi : Apa yang MembuatBenda Bergerak Melingkar?
θ̂
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
θ̂r
aθ
α
F
m
r̂θ^
Fθ
rFθ = mr2α= Ι α, Ingat: Ι =mr2
Definisi torka: τ = rFθ.
τ sama dengan gaya tangensial Fθdikali dengan lengan r.
Konvensi arah torka:
+ z jika membuat sistem
berputar CCW.
- z jika membuat sistem
berputar CW.
5
Dinamika Rotasi : Torka (Momen Gaya)
ατ θ I== rF
Counter clockwise (CCW) Clockwise (CCW)
r
aθ
α
F
m
r̂θ^
Fθ
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Gaya-gaya bekerja pada banyak partikel,total torka adalah
Partikel terhubung secara rigid (Hanya ada satu αuntuk semua partikel)
6
Torka Sistem Partikel
r1
r2r3
r4
m4
m1
m2
m3
ωF4
F1
F3
F2
ii
iii
ii rmFri
ατ
θ ∑∑Ι
= 2,
ατ I=∑i
i
ατ I=NET
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Bentuk ini analog dengan FNET = ma
Torka analog dengan gaya:
Ukuran puntiran (twist) yang dilakukan gaya. Momen inersia Ι analog dengan.
Ι lebih besar, dibutuhkan torka lebih besar untukmenaikkan percepatan angular.
Satuan Torka kg m2/s2 = (kg m/s2) m = Nm
7
Dinamika Rotasi : Apa yang MembuatBerputar?
ατ I=NET Hukum Newton II untuk rotasi•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ingat! Definisi torque:
rp = jarak terdekat darititik tumpu rotasi keperpanjangan gariskerja gaya
Notasi Vektor
8
Torka
Fr
Fr
Frτ
φφ
θ
sin sin
==
=
Frp=τ
r
φ
rp
F
φFθ
Fr φ
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Jika φ = 0o, maka τ = 0
Dan jika φ = 90o, maka τ = maximum
9
Torka
Fsinr φτ =
r
F
r
F
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Manakah torka terbesar pada kasus berikut ketikagaya diberikan untuk memutar benda? Pada keduakasus besar dan arah gaya yang diberikan sama.
(a) kasus 1
(b) Kasus 2
(c) sama
10
Torka
L
L
F F
sumbu
kasus 1 kasus 2
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Torka = F x (jarak terdekat)
Gaya yang diberikan sama.
Jarak terdekat sama
Torka sama!
11
Solusi
L
L
F F
Kasus 1 Kasus 2
L
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Balok Yang Mana Mendarat Duluan?
Dua sistem yang diperlihatkan dibawah ini berbeda hanya pada letakmassa yang dapat bergerak, jauh dengan sumbu rotasi (kiri) atau dekatdengan sumbu rotasi (kanan). Jika balok yang tergantung dilepas secarabersamaan dari keadaan diam, apakah yang akan teramati (a) balok dikiri tiba duluan, (b) balok di kanan tiba duluan, atau (c) kedua balok tibabersamaan.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Alasan dan PembahasanBalok mengerjakan total torka eksternal yang sama besar pada masing-masing sistem. Tetapi, moment inersia sistem di kanan kurang darimoment inersia sistem di kiri karena massa yang dapat bergerak lebihdekat ke sumbu rotasi. Karena percepatan angular berbanding terbalikdengan moment inersia (α=τnet/I), sistem di kanan mempunyaipercepatan angular lebih besar, dan memenangkan lomba.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Jawaban(b) Balok di kanan tiba duluan.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Gaya F melakukan kerja pada suatu benda. Benda tersebut bergerak melingkar pada sumbu tetap. Untuk suatu perpindahan angular dθ yang sangatkecil, kerja yang dilakukan adalah
dW = F.dr = FR dθ cos(β)
= FR dθ cos(90-φ)= FR dθ sin(φ)= FR sin(φ) dθ
dW = τ dθ
Setelah proses integrasi diperoleh W = τθ Analog dengan W = F •∆r W akan negatif jika τ dan θ berlainan tanda
15
Kerja
R
F
dr = R dθdθ
axis
φ
β
•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar
A
•Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi B
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ingat! Teorema Kerja – Energi Kinetik: ∆K = WNET
Teorema ini berlaku umum, sehingga dapat jugadiaplikasikan pada gerak melingkar.
Jadi, untuk suatu benda yang berputar pada sumbutetap berlaku
16
Kerja & Energi Kinetik :
( ) NETif WK =−=∆ 22I21 ωω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Seutas benang ringan dililitkan 10 kali mengelilingisebuah cakram bermassa M = 40 g dan berjejari R = 10 cm. Cakram berotasi pada sumbu tetap yang melalui pusat massanya. Benang ditarik dengangaya F = 10 N hingga seluruh benang terlepas. (Asumsikan benang tidak selip dan cakram padamulanya tidak berputar).
Berapakah kecepatan cakram
berputar setelah seluruh
benang terlepas?
17
Contoh: Cakram & Benang
F
RM
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Kerja yang dilakukan W = τ θ Torque τ = RF (ketika φ = 90o)
Perpindahan angular θ adalah2π rad/revolusi x 10 revolusi
Maka W = (0,1 m)(10 N)(20π rad) = 62,8 J
18
Cakram & Benang…
τ θ
F
RM
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ingatlah Ι untuk sebuah cakram yang diputar padasumbunya
19
Cakram & Benang…
2NET I
21K J 62,8 W W ω=∆===
2
21I MR=
WMRK =
=∆ 22
21
21 ω
( )( )( )22 1,004,0
8,6244kg
JMR
W==ω ω = 792,5 rad/s
RM
ω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Benang dililitkan mengelilingi dua buah cakram pejaldan ditarik dengan gaya identis sejauh jarak yang sama. Cakram 1 mempunyai jari-jari lebih besar tetapimomen inersia yang sama dengan momen inersiacakram 2. Kedua cakram, yang awalnya diam, berputar bebas pada sumbu yang melalui pusatmassanya masing-masing. Cakram manakah yang
mempunyai kecepatanangular terbesar setelah
ditarik?(a) Cakram 1 (b) Cakram 2(c) Sama
20
Kerja & Energi
FF
ω1ω2
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Kerja kedua cakram sama!
W = Fd Perubahan energi kinetik kedunya juga sama karena
W = ∆K
Diketahui
Maka jika I1 = I2
21
Solusi
2I21 ω=∆K
d
FF
ω1ω2
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
22
Tabel Perbandingan Gerak
23
Melepas Bola di Ontang Anting•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Si dufan sedang duduk di bangku terluar “ontanganting” yang berputar dengan ω konstan. Dufanmemegang bola di tangannya. Bola tersebutkemudian dilepaskan. Kemanakah arah bola?
Rotasi
(c)
ω
(b)(a)
(d)
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sesaat sebelum dilepaskan, kecepatan bola mempunyai arah tangensial terhadap lingkaran putaran bola.
Solusi
ω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Setelah dilepaskan, bola akan mempertahankanarahnya kalau tidak ada gaya luar yang bekerja danmengubah arah geraknya.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Telah dilihat sebelumnya
Bagaimana versi untuk rotasi ?
Analogi gaya F pada rotasi adalah torka
Analogi momentum p pada rotasi adalah suatumomentum angular
Momentum Angular : Definisi
dtd
EXTpF =
0=EXTFMomentum kekal jika
•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar
A
•Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi B
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
i
j
Suatu distribusi benda titik berputar pada bidang x-ymengelilingi sumbu z, seperti pada gambar. Total momentum angular terhadap origin adalah jumlahmomentum angular setiap benda titik:
Momentum Angular Benda Pejalpada Sumbu Tetap:
kvrmmi
iiii
iiiii
iˆ∑∑∑ =×=×= vrprL
r1
r3
r2
m2
m1
m3
ωv2
v1
v3
L pada arah z.
Menggunakan vi = ω ri , diperoleh
ωIL =
(ketika ri dan vi
tegak lurus)
Analog dengan p = mv
krmi
iiˆL 2∑= ω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Secara umum, untuk suatu benda yang berputar pada sumbu (z) dapat dituliskanLZ = I ω
Arah LZ didapatkan dengan aturan tangankanan (sama dengan ω).
Subscript Z diabaikan untukpenyerdehanaan,dan dituliskan L = I ω
Momentum Angular Benda Pejal pada SumbuTetap:
ωI=ZL
ω
z
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Momentum Angular?
Apakah sebuah objek yang bergerak dalam lintasan lurus mempunyaimomentum angular tidak nol (a) selalu, (b) kadang-kadang, atau (c) takpernah?
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Alasan dan PembahasanJawabannya adalah kadang-kadang, karena momentum angular
tergantung pada sumbu rotasi yang dipilih. Jika sumbu rotasi bukan digaris yang di ditarik melalui vektor momentum, seperti pada sketsa dikiri, lengan gaya tidak nol, dan karena itu L=r_|_p juga tidak nol. Jikasumbu rotasi di lintasan gerak, seperti pada sketsa kanan, lengan gayanol; sehingga momentum linier menjari (radial) dari sumbu rotasi dan Lsama dengan nol.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Jawaban(b) Sebuah objek yang bergerak dalam lintasan lurus punya atau tidakmempunyai momentum angular, tergantung pada letak sumbu rotasi.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut /An gularC
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
dengan dan
Jika torka eksternal yang berkerja nol maka
Kekekalan Momentum Angular
τEXTddt
= LτEXT EXT= ×r FL r p= ×
τEXTddt
= =L 0
•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar
A
•Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi B
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
konstan=L
Contoh Aktif
Pertunjukan Bintang: Hitunglah Laju Angular
Sebuah bintang dengan jejari R = 2,3 x 108 m berputar dengan lajuangular ω = 2,4 x 10-6 rad/s. Jika bintang ini runtuh hingga mempunyaijejari 20,0 km, tentukanlah laju angular akhir bintang ini? (Perlakukanbintang sebagai bola serba sama, dan asumsikan bahwa saat bintangtersebut runtuh, tak ada massa yang hilang.)
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitungan sepertiyang diindikasikan pada setiap langkah.)
1. Terapkan kekekalan momentum:
2. Tulislah ekspresi momentum inersiaawal dan akhir:
3. Selesaikan agar diperoleh lajuangular akhir:
4. Substitusikan semua nilai numerik:
ffii II ωω =
252
ii MRI =
( ) ( ) ifiifif RRII ωωω 22==
rad/s320=fω
dan 252
ff MRI =
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
Insightlaju angular akhir ini berkorelasi dengan periode sekitar 20 ms,umumnya (tipikal) periode pulsar. Karena 320 rad/s adalah sekitar 3000rpm, sebuah pulsar, massanya sekitar massa bintang, berputar secepatmesin dalam mobil balap.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
Giliran AndaPada radius berapakah periode rotasi bintang akan sama dengan 15 ms?
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
Momentum Angular Kekal: Hitunglah laju Angular
Seorang anak bermassa 34,0 kg berlari dengan laju 2,80 m/s sejajardengan sisi luar sebuah merry-go-round yang diam. Merry-go-round inimempunyai moment inersia 512 kg.m2 dan jejari 2,31 m. Ketika sanganak telah melompat ke merry-go-round, seluruh sistem mulaiberputar. Berapakah laju angular sistem?
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitungan sepertiyang diindikasikan pada setiap langkah.)
1. Tulislah momentum angular awal sang anak:
2. Tulislah momentum angular akhir sistem:
3. Buatlah dan dapatkan lajuangular:
4. Substitusikan nilai numerik:
rmvLi =
( )ω2mrILf +=
fi LL = ( )2mrIrmv +=ω
rad/s317,0=ω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
InsightJika momen inersia merry-go-round nol, , laju angular menjadi
. Hal ini berarti laju linear anak tadi, , tak berubah.Tetapi, jika laju linear anak berkurang. Pada kasus ini, laju linearanak setelah tumbukan hanya .
0=Irv=ω ωrv =
0>Im/s733,0== ωrv
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Contoh Aktif
Giliran AndaBerapakah laju awal anak tadi, jika setelah mendarat di merry-go-roundia membutuhkan waktu 22,5 s untuk menempuh satu putaran penuh?
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Suatu cakram bermassa M dan berjejari R berputarmengelilingi sumbu z dengan kecepatan angular ωi. Cakram kedua yang identis, awalnya tidak berputar, dijatuhkan pada cakram pertama. Karena gesekanantara kedua cakram, akhirnya kedua cakrambergerak dengan kecepatan angular ωf.
Contoh: Dua cakram
ωi
z
ωf
z
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Karena tidak ada gaya luar yang bekerja pada keduacakram maka
momentum angular konstan.
Awalnya, total momentum angular adalah momentum angular cakram yang di bawah:
Contoh: Dua cakram
ii MRL ωω 211 2
1I ==
2
1
ωi
z
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Karena tidak ada gaya luar yang bekerja pada keduacakram maka
momentum angular konstan.
Akhirnya, total momentum angular kedua cakram yang berputar adalah:
Contoh: Dua cakram
ff MRL ωωω 22211 II =+= 2
1
ωf
z
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Karena Li = Lf
Contoh: Dua cakram
Li Lf
fi MRMR ωω 22
21
=
if ωω21
=Tumbukan tidak elastis ketikaE tidak kekal (gesekan).
ωi
z
ωf
z
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Seorang siswa duduk di bangku yang berputarsambil memegang beban pada kedua tangannyayang terentang. Total momen inersia sistem adalahIi, dan berputar dengan laju angular ωi. Siswa tadimenarik tangannya mendekat ke badan sehinggamomen inersia berkurang menjadi If. Laju angular akhir ωf?
Contoh: Bangku berputar
ωi
Ii
ωf
If
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sekali lagi, tidak ada torka luar yang bekerja padasistem siswa dan bangku, maka momentum angular kekal.
Awal : Li = Iiωi
Akhir : Lf = If ωf
Contoh: Bangku berputar…
f
i
i
f
II
=ωω
ωi
Ii
ωf
If
LiLf
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Siswa duduk di bangku yang dapat berputar bebas dan berputar dengan kecepatan angular ω1 konstan. Dia menarik tangannya ke dalam, dan berpengaruh pada kekekalan momentum angular sehingga kecepatan angular naik menjadi ω2. Bagaimana dengan energi kinetik: (a) naik (b) turun (c) tetap sama
Momentum Angular
ω1 ω2
I2I1
L L
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
L kekal:
Solusi
IL
IK22
1 22 == ω (gunakan L = Iω)
K2 > K1 K naik !
ω1 ω2
I2I1
L L
I2 < I1
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ketika siswa harus menarik tangan menuju badan-nya, dia harus melakukan kerja positif!
Teorema kerja/energi kinetik menyatakan bahwa hal tersebut akan meningkatkan energi kinetik sistem!
Solusi
ω1
I1
ω2
I2
L L
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Membandingkan Energi Kinetik
Seorang skater menarik lengannya ke dalam hingga mengurangimomen inersianya dengan faktor 2, dan melipat-duakan lajuangularnya. Apakah energi kinetik akhir skater ini (a) sama dengan, (b)lebih dari, atau (c) kurang dari energi kinetik mula-mula?
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Alasan dan PembahasanMarilah kita hitung dan bandingkan energi kinetik awal dan akhir skaterini. Energi kinetik awal adalah
Setelah menarik lengannya ke dalam, skater mengurangi momentinersianya menjadi setengah nilai awal dan melipat-duakan laju angular.Dengan demikian, energi kinetik akhirnya adalah
Demikianlah, kenyataan bahwa K tergantung pada kuadrat ωmenyebabkan peningkatan energi kinetik. Sumber dari tambahan energiini adalah kerja yang dilakukan oleh otot di lengan skater saat diamenarik lengannya kearah badan.
.21 2
iii IK ω=
( )( ) ( ) .222221
21 2
2122
iiiiifff KIIIK ==== ωωω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Conceptual Checkpoint
Jawaban(b) Energi kinetik skater bertambah.
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut/Angular
D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Giroskop•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Gerak Giroskop
Frekuensi rotasi roda
Moment inersia roda terhadapsumbu rotasi
Perubahan momentum angular
Kecepatan angular presisi
Sepatu Roda•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Roda dapat menggelinding
Terkadang roda meluncur
Roda berputar dengan kecepatan tertentu
Pusat massa roda bergerak dengan kecepatantertentu
56
Pengamatan Sepatu Roda•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar
A
•Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi B
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Silinder dengan I tertentu menggelinding turun disuatu bidang miring:
57
Gerak Menggelinding
h
v = 0
ω = 0 K = 0
R∆K = - ∆U = Mgh
22
21I
21
MvK += ω
v = ωR
M
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Jika tidak selip/tergelincir:
58
Menggelinding...
v 2v
Lantai sebagai acuan
v
Pusat massa sebagai acuan
v
dengan v = ωR
ω
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
59
Menggelinding...
22
21
I21
MvK += ω
( ) 2222 121
21
21
MvcMvcMRK +=+= ω
Gunakan v = ωR dan I = cMR2 .
Sehingga: ( ) MghMvc =+ 2121
11
2+
=c
ghv
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Secara umum, variabel rotasi adalah vektor (mempunyai arah)
Jika bidang rotasi berada pada bidang x-y, aturannya adalah
Berputar CCW mempunyai arah sumbu + z
Berputar CW mempunyaiarah sumbu - z
60
Arah Gerak
x
y
z
x
y
z
•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar
A
•Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi B
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Counter clockwise (CCW)
Clockwise (CCW)
Untuk mencari arah vektor rotasi, lengkungan jari-jari menunjukkan arah benda berputar, dan ibu jarimenunjukkan arah vektor rotasi!
Umumnya sumbu z digunakan menunjukan arahrotasi. θ = θz
ω = ωz
α = αz
61
Arah Rotasi: Aturan Tangan Kanan
x
y
zx
y
z
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sebuah piringan berputar dengan kecepatan angular awal ω0 sebesar 500 rad/s. Pada t = 0 piringan mulaimelambat dengan perlambatan 0.5 rad/s2. Berapalamakah waktu yang diperlukan hingga piringanberhenti?
62
Contoh•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sebuah piringan berputar dengan kecepatan angular awal ω0 sebesar 500 rad/s. Pada t = 0 piringan mulaimelambat dengan perlambatan 0,5 rad/s2. Berapalamakah waktu yang diperlukan hingga piringanberhenti?
Didapatkan α = - 0,5 rad/s2
Gunakan dengan kondisi ω = 0
Sehingga
63
Contoh
tαωω += 0
αω0−=t
min7,161000/5,0/500
2 === ssradsradt
ω
α
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sebuah bola menggelinding di lantai, bola tersebutnaik pada bidang miring seperti pada gambar. Kemana arah vektor percepatan angular ketika bola naik ke bidang miring?
(a) Menurun bidang miring
(b) Masuk bidang gambar
(c) Keluar bidang gambar
64
Rotasi
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ketika bola berada di bidang miring, bola berputarsearah jarum jam tetapi percepatan linear a selalumengarah ke bawah (gravitasi)
Karena itu, dengan aturan tangan kanan, diperolehα keluar bidang gambar!
65
Rotasi…
vα
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Seutas benang dililitkan mengelilingi suatu cakrambermass M dan berjejari R. Cakram awalnya diam dipermukaan datar licin (lihat gambar). Benang ditarikdengan gaya F dan tidak selip di cakram.
Berapakah panjang benang (L) yang telah dilepaskan setelah cakram bergerak sejauh D?
66
Rotasi pada Sumbu Bergerak
FR
M
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Pusat massa bergerak sesuai dengan F = Ma
Perpindahan pusat massa
Cakram akan berputar mengelilingi pusat massa sesuai dengan τ = Iα
67
Rotasi pada Sumbu Bergerak...
MFa =
22
221 t
MFatD ==
MRF
MR
RF 2
21I 2
===τα
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sehinga perpindahan angular
68
Rotasi pada Sumbu Bergerak...
aα
2
21
I MR=
22
21 t
MRF
==θ αt
FR
M
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sehingga diketahui perpindahan pusat massa dan sudut rotasi sebagai fungsi waktu
Bagi (2) dengan (1):
69
Rotasi pada Sumbu Bergerak...
2
2t
MF
D = 2tMRF
=θ(1) (2)
RD2
=θ
DR 2=θ
Panjang benang ditarik L = Rθ: DL 2=
FD
θ
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sebuah benda bermass M, jari-jari R, dan momen inertia I menggelinding tanpa selip menuruni bidang miring dengan kemiringan θ terhadap horizontal. Berapakah percepatanya?
Gerak pusat massa dan gerak rotasi benda diselesaikan secara terpisah...
70
Menggelinding
θ
R
I
M
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Gaya gesek Statis f menyebabkan bendamenggelinding, belum diketahui, harus diselesaikan.
Pertama perhatikan diagram benda bebas dangunakan
FNET = MaCM :Pada arah x Mg sin θ - f = Ma
Sekarang perhatikan rotasi terhadap pusat massadan gunakan τ = Iα bahwa
τ = Rf dan A = αR
71
Menggelinding...
RaIRf = 2R
aIf =
M
θ
f
Mg
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ada dua persamaan:
Kombinasikan untuk mengeliminasi f:
Untu bola:
72
Menggelinding...
2RaIf =
+
θ=
IMR sinMRg 2
2
a
θ=
+
θ= sin
MRMR
sinMRg22
2
ga75
52
mafMg =-θsin
a
θ
R
I
M
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Dua silinder pejal seragam dari alumunium dibuatdengan bantuan mesin. Satu silinder mempunyaijejari dua kali jejari yang lain.
Jika keduanya diletakkan di puncak bidang miring yang sama dan dilepaskan, manakah yang bergerak lebih cepat saat berada di dasar bidangmiring?
(a) yang besar
(b) yang kecil
(c) sama
73
Rotasi
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Perhatikan salah satu. Misalkan mempunyai jari-jariR, bermassa M dan bergerak dari ketinggian H
Kekekalan Energi
74
Rotasi…
H
- ∆U = ∆K 22
21
I21
MVMgH += ω
2
21
I MR=RV
=ωtetapi dan
22
22
21
21
21
MVR
VMRMgH +
=
222
43
21
41
MVMVMVMgH =+=
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
75
Rotasi…
2
43
MVMgH =Sehingga: 2
43
VgH =
gHV34
=
Maka, (c) tidak tergantung ukuran,
Selama bentuknya sama !!
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sebuah bola bowling bermassa M dan jari-jari Rdilempar dengan kecepatan awal v0. Awalnya tidakberputar. Setelah meluncur dengan gesekan kinetiksepanjang lintasan sejauh D bola menggelinding danmempunyai kecepatan baru sebesar vf. Koeficiengesek kinetik antara bola dan lintasan sebesar µ. Berapakan kecepatan akhir, vf, bola?
76
Meluncur ke Menggelinding
vf= ωRω
f = µMg
v0
D
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ketika meluncur, gaya gesek akan mempercepatbola pada arah sumbu x: F = -µMg = Masehingga a = -µg
laju bola v = v0 - µgt (1)
Gesekan memberikan torque pada pusat massabola.Menggunakan τ = Iα dan ingat I = 2/5MR2 untuk bola pejal berotasi pada sumbu melalui pusat massa:
77
Meluncur ke Menggelinding...
αµτ 2
52
MRMgR ==Rg
25µα =
tRg
t2
50
µαωω =+= (2)
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Menggunakan (2) dapat diselesaikan t sebagai fungsi ω:
Masukkan ke (1) dan menggunakan vf = ωR (kondisi untuk menggelinding tanpa meluncur):
78
Meluncur ke Menggelinding...
gR
tµω
52
=
075
vv f = Tidak tergantung pada µ, M, g!!
x
vf= ωRω
f = µMg
v0
D
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Sepasang massa digantungkan melalui sebuah katrol besar berbentuk cakram.
Carilah percepatan kotak Untuk massa tergantung F = ma
-m1g + T1 = -m1a
-m2g + T2 = m2a
Untu katrol
79
Mesin Atwoods dengan KatrolBermassa
Ra
I I== ατ
MRaRa
21
IRT - RT 21 ==
2
21
I MR=(Karena untuk cakram)
m2m1
R
M
y
x
m2g
aT1
m1g
a
T2
α
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF
Ada tiga persamaan dengan tiga variabel yang tidakdiketahui (T1, T2, a). Selesaikan untuk a.
-m1g + T1 = -m1a (1)
-m2g + T2 = m2a (2)
(3)
80
Mesin Atwoods dengan KatrolBermassa
gMmm
mma
++
−=
221
21
Ma21
T - T 21 =
m2m1
R
M
y
x
m2g
aT1
m1g
a
T2
α
•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar
A
•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB
•Momentum Sudut C
•Kekekalan Momentum Sudut D
•Giroskop dan Presisi E
•MenggelindingF