METODE NUMERIK

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Pendahuluan

Akar-akar suatu persamaan dari suatu fungsi x sebenarnya adalah harga x yang membuat f(x) = 0.

Sebelum kemajuan komputer, menyelesaikan suatu akar persamaan menggunakan metode analitis dan grafik. Analitis f(x) = x2 - 4x x2 - 4x = 0

x(x-4) = 0

x1 = 0 atau x2 = 4

Jumlah Akar

Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang sama, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan genap.

Jumlah Akar

Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang berbeda, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan ganjil.

Jumlah Akar

Meskipun generalisasi ini biasanya benar, tetapi ada kasus tertentu dimana suatu fungsi mempunyai akar kembar atau fungsi tersebut diskontinu.

Pendahuluan

Berapa akar dari suatu f(x) = e-x-x ? Dengan analitis sulit tetapi masih bisa diselesaikan dengan metode grafik, dengan cara:

x f(x)

0 1

0,2 0,6187

0,3 0,4408

1 -0,632

Metode Pendekatan Mencari Akar Persamaan

Metode Tertutup (Metode Akolade) Metode Grafik (selang bisa ditentukan lebih kecil

dari manual) Metode Bisection (Metode bagi dua) Metode Regulafalsi (Interpolasi Linier)

Metode Terbuka Metode Secant Metode Newton Raphson

Metode Tertutup (Akolade)

Metode ini sering disebut metode terkurung/tertutup karena membutuhkan dua tebakan awal untuk menentukan akar suatu f(x).

Dua tebakan harus mengapit akarnya, berarti harus ditentukan sebelum akar dan setelah akar Dalam metode akolade, grafik fungsi harus

digambar secara kasar.

Metode Grafik

Metode paling sederhana untuk memperoleh tafsiran akar suatu f(x) dengan membuat grafik dari fungsi tersebut dan kemudian mengamati berapa nilai x yang menyebabkan f(x) berharga 0.

Jika selang dari tiap perubahan nilai x ditentukan semakin kecil, maka akan menghasilkan nilai yang semakin teliti.

Metode Grafik (Ex.)

Ingin dicari suatu akar dari f(x) = ex - 2 - x2

Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,5

x f(x)

0,5 0,60128

1 0,28172

1,5 0,23169

Metode Grafik (Ex.)

Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,25

x f(x)

0,5 0,60128

0,75 0,4455

1 0,28172

1,25 0,07216

1,5 0,23169

Metode Grafik (Ex.)

Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,2x f(x)

0,5 0,60128

0,7 0,47625

0,9 0,3504

1,1 0,20583

1,3 0,02070

1,5 0,23169

Dengan selang x = 0,25, akarnya adalah x = 1,25.

Dengan selang x = 0,2, akarnya adalah x = 1,3. Dengan selang ini lebih teliti karena menghasilkan f(x) yang nilainya lebih dekat dengan 0.

Metode Bisection (Bagi Dua)

Syarat: f(x) real/nyata dan kontinu dalam interval xi s/d xu, dimana f(xi) dan f(xu) berbeda tanda sehingga f(xi).f(xu) < 0

Metode ini digunakan untuk menentukan salah satu akar dari f(x).

Dasar dari metode bagi 2 adalah metode carian inkremental.

Metode Carian Inkremental

Proses dimulai dengan menentukan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda. kemudian penempatan perubahan tanda dari akar ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah subinterval (pada metode bagi 2, pencarian subintervalnya dengan cara membagi dua). Setiap subinterval dicari untuk menempatkan perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dengan subinterval yang semakin lama semakin kecil hingga dicapai suatu proses konvergensi

Algoritma Metode Bisection

1. Pilih harga xi yaitu harga x yang terendah dan xu yaitu harga x yang tertinggi, agar fungsi berubah tanda sepanjang interval tersebut sehingga f(xi).f(xu) < 0

2. Taksiran pertama akar sebut dengan xr ditentukan oleh:

2ui

r

xxx

Algoritma Metode Bisection

3. Evaluasi harga xr untuk menentukan subinterval mana yang akan memuat harga akar dengan cara sebagai berikut

Jika f(xi).f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xu baru = xr.

Jika f(xi).f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xi baru = xr.

Jika f(xi).f(xr) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = xr.

Algoritma Metode Bisection

4. Buat taksiran akar baru = xr baru dari

5. Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya |a| |s| yang ditentukan. Jika ya hentikan komputasi, jika tidak kembali lagi ke evaluasi.

2ui

r

xxx

Metode Bisection (Ex.)

f(x) = ex – 2 – x2, cari akarnya dengan metode bisection dimana xi = 0.5; xu = 1.5; s = 1%

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 1:

1. xi = 0,5; xu = 1,5; f(xi) = 0,60128; f(xu) = 0,23169

2.

3. f(xr) = 0,28172

f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,28172) > 0

maka xi baru = 1

4.

5.

12

5,15,02

uir

xxx

25,125,11

2

ui

r

xxx

%20%10025,1

125,1

a

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 2:

3. f(xr) = f(1,25) = 0,07216

f(xi).f(xr) = (0,28172).(0,07216) > 0

maka xi baru = 1,25

4.

5.

375,12

5,125,12

uir

xxx

%1,9%100375,1

25,1375,1

a

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 3:

3. f(xr) = f(1,375) = 0,06445

f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,06445) < 0

maka xu baru = 1,375

4.

5.

3125,12

375,125,12

uir

xxx

%76,4%1003125,1

375,13125,1

a

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 4:

3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072

f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,0072) > 0

maka xi baru = 1,3125

4.

5.

34375,12

375,13125,12

uir

xxx

%3,2%10034375,1

3125,134375,1

a

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 5:

3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072

f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,0277) > 0

maka xi baru = 1,34375

4.

5.

328125,12

34375,13125,12

uir

xxx

%176,1%100328125,1

34375,1328125,1

a

Metode Bisection (Ex.)

Langkah 6:

3. f(xr) = f(1,328125) = 0,010

f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,010) < 0

maka xu baru = 1,328125

4.

5.

3203,121,3281253125,1

2

ui

r

xxx

%59,0%1003203,1

328125,13203,1

a

Metode Bisection (Ex.)

Iterasi xr |a| %

1 1 2 1,25 20

3 1,375 9,1

4 1,3125 4,76

5 1,34375 2,3

6 1,328125 1,176

7 1,3203 0,59

Jika s = 1 %, maka akarnya adalah x = 1,3203

Metode Bisection

Kelemahan: Membagi interval dengan subinterval dengan

membagi 2 tanpa ada perhitungan mengenai f(x i) dan f(xu) yang mana sebenarnya yang lebih mendekati akarnya

Metode Regulafalsi

Yang membedakan antara metode Regulafalsi dan Bisection dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xr.

Penentuan pergantian besarnya subinterval tetap dipengaruhi oleh f(xi).f(xr).

ui

uiuur xfxf

xxxfxx

Metode Regulafalsi (Ex.)

Tentukan salah satu akar dari metode Regulafalsi dalam suatu fungsi f(x) = ex – 2 – x2, dimana xi = 0,5; xu = 1,5; s = 1% !

Metode Regulafalsi (Ex.) Langkah 1

1. xi = 0,5; xu = 1,5;

f(xi) = f(0,5) = 0,60128; f(xu) = f(1,5) = 0,23169 2.

3. f(xr) = f(1,2219) = 0,0994

f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,09941) > 0

maka xi baru = 1,2219; f(xi) = 0,099414.

5.

2219,1

23169,060128,05,15,023169,0

5,1

rx

3054,1

23169,009941,05,12219,123169,0

5,1

rx

%397,6%1003054,1

2219,13054,1

a

Metode Regulafalsi (Ex.)

Langkah 2:

3. f(xr) = f(1,3054) = 0,014905

f(xi).f(xr) = (0,09941).(0,014905) > 0

maka xi baru = 1,3054; f(xi) = 0,014905

4.

5.

31716,1

23169,0014905,05,13054,123169,0

5,1

rx

%8928,0%10031716,1

3054,131716,1

a

Metode Regulafalsi (Ex.)

Iterasi xr a %

1 1,2219 2 1,3054 6,397

3 1,31716 0,8928

Dari hasil ini ternyata metode Regulafalsi lebih cepat konvergen, daripada Bisection, tetapi belum tentu teliti. Hal ini dibuktikan dengan a dari kedua metode. Untuk xr = 1,3203; a = 0,59 pada metode Bisection, sedangkan pada metode Regulafalsi xr = 1,31716; a = 0,8928 (a Bisection < a Regulafalsi)

Metode Terbuka

Hanya membutuhkan sebuah harga tunggal dari x untuk harga awalnya atau 2 harga x tetapi tidak perlu harus mengurung akar. Metode ini berbeda dengan metode tertutup yang memerlukan 2 harga awal dan harus dalam posisi mengapit atau mengurung akar

Metode Newton-Raphson

1. Tentukan harga awal xi.

2. Garis singgung terhadap f(xi) akan diekstrapolasikan ke bawah pada sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+1, sehingga xi+1 dirumuskan:

i

iii xf

xfxx

1

Kelemahan Newton -Raphson

Harus menentukan turunan dari f(x) Karena kita menentukan titik awal hanya 1,

maka sering didapatkan/ditemukan akar yang divergen. Hal ini disebabkan karena Dalam menentukan xi yang sembarang ternyata

dekat dengan titik belok sehingga f(xi) dekat dengan 0, akibatnya

menjadi tidak terhingga/tak tentu sehingga xi+1 semakin menjauhi akar yang sebenarnya

i

iii xf

xfxx

1

Kelemahan Newton -Raphson

Kalau xi dekat dengan titik ekstrim/puncak maka turunannya dekat dengan 0, akibatnya xi+1 akan semakin menjauhi akar sebenarnya

Kadangkadang fungsi tersebut tidak punya akar tetapi ada penentuan harga awal, sehingga sampai kapanpun tidak akan pernah ditemukan akarnya.

Saran

Disarankan sebelum menentukan titik awal dilakukan sketsa grafik terlebih dahulu. Konvergen kesalahan semakin lama semakin

kecil Divergen kesalahan semakin lama semakin

besar

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 pada titik awal 1,5; s = 1 %

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Langkah 11. xi = 1.5 ; f(xi) = 0,23169

f’(xi) = ex – 2x f’(1.5) = 1.4817

2.

3. %64,11%1003436,1

5,13436,1

3436,14817,123169,0

5,11

a

ix

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Langkah 21. xi = 1.3436 ; f(xi) = 0,027556

f’(xi) = ex – 2x f’(1.3436) = 1.145617

2.

3. %8228,1%100319547,1

3436,1319547,1

319547,1145617,1027556,0

3436,11

a

ix

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Langkah 31. xi = 1.319547 ; f(xi) = 0.0085217

f’(xi) = ex – 2x f’(1.319547) = 1.102632

2.

3. %036,0%100319074,1

319547,1319074,1

319074,1102632,10085217,0

319547,11

a

ix

Metode Newton-Raphson (Ex.)

Iterasi xi+1 a %

1 1.3436 11.64

2 1.319547 1.8228

3 1,319074 0,036

Jadi akar dari f(x) = ex – 2 – x2 adalah x = 1,319074

Metode Secant

Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant.

Metode Secant

Metode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung/ mengapit akar

Yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Raphson dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xi+1.

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

1

11

Metode Secant (Ex.)

Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 dengan tebakan awal 1.4 dan 1.5; s = 1 %

Metode Secant (Ex.)

Langkah 11. xi-1 = 1,5 f(xi-1) = 0,2317

xi = 1.5 ; f(xi) = 0,2317

2.

f(xi+1) = 0,0125

3.

3303,1

2317,00952,05,14,12317,0

5,11

ix

%24,5%1003303,1

4,13303,1

a

Metode Secant (Ex.)

Langkah 11. xi-1 = 1.4 f(xi-1) = 0,0952

xi = 1,3303 f(xi) = 0,0125

2.

3.

3206,1

0125,02317,03303,15,10125,0

3303,11

ix

%7,0%1003206,1

3303,13206,1

a

Metode Secant (Ex.)

Iterasi xi+1 a %

1 1.3303 5.24

2 1.3206 0.7

Jika dibandingkan dengan Newton Raphson dengan akar = 1,3191 dan a = 0,03%, maka metode Secant lebih cepat, tapi tingkat kesalahannya lebih besar