Akar-akar Kuadrat

download Akar-akar Kuadrat

of 36

Transcript of Akar-akar Kuadrat

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    1/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Akar-akar Persamaan Non-Linear

    Muhtadin, ST. MT.

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    2/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Metode Tertutup

    Biseksi Regula Falsi

    Metode Terbuka

    Newton Method

    Agenda

    2

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    3/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Solusi untuk Persamaan Non Linear

    Akar-akar dari persamaan (y = f(x)) nilai dari x yang menjadikan f(x) = 0.

    Aljabar umum untuk persamaan sederhana, misalkan:

    f(x) = 2x 3 = 0 x = 1.5

    f(x) = x2 4x 5 = 0 x1 = 5 and x2 = -1

    Persamaan Non Linear lebih sulit dikerjakan. h(x) = h0(sin(2x/)cos(2tv/) + e

    -x

    f(x) = 9.34 21.97x + 16.3x3 3.7x5 = 0

    3

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    4/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Cara Menemukan Akar

    Menemukan akar dari persamaan kuadrat.

    02 cbxax

    a

    acbbx

    2

    42

    General solution

    2.1

    21

    sin

    xe

    x

    x

    Untuk fungsi yang kompleks

    Menggunakan Metode Numerik

    4

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    5/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Graphical Method

    F(x) = x2 - 3

    X 0 1 2 3

    F(X) -3 -2 1 6-2 < 0 1 > 0

    => Terdapat sedikitnya satu akar diantara 1 dan 2.

    Plot fungsi pada grafik [a, b].

    5

    Jika sebuah fungsi f(x) kontinyu dan f(a)f(b) < 0, maka persamaan f(x)

    mempunyai paling sedikit satu akar real pada interval (a,b).

    Theorema:

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    6/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Graphical Method (contd)

    Plot grafik fungsi dengan menggunakan penggaris dan

    pensil.

    Subplot the graph

    6

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    7/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Root Approximation: The Methods

    Metode Tertutup (bracketing methods)

    Pendekatan akar pada interval [a, b].

    Menjamin menemukan minimal 1 (satu) akar.

    Bisection dan regula falsi

    Metode Terbuka Menebak terlebih dahulu akar yang dimaksud.

    Secara iterative, mendekati akar sebenarnya, menggunakan nilai yanglama.

    Terkadang bersifat difergen maupu konvergen.

    Newton method

    7

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    8/36

    Closed Methods

    Pada sebuah interval, bisa terdapar satu atau lebih akar, atau mungkin tidak

    ada akar. f(a)f(b) < 0 root = odd

    f(a)f(b) > 0 root = zero or even

    a

    b a

    b

    a ab b

    8

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    9/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Bisection Method

    Pastikan f(ai) f(bi) < 0 for i = 0,1,2,3,...

    f(x)

    b0

    a0

    m1

    f(m1)>0

    b1

    a1

    m2

    =

    =

    9

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    10/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Example (Bisection Method)

    Tentukan akar dari persamaanf(x) = -11 -22x + 17x2 -2.5x3

    Dengan menggunakan metode biseksi, dengan nilai errora, hingga

    mendapatkan 3 digit yang sama, dengan nilai awalxi= 0 danxu = 4

    10

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    11/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    0

    th

    iteration: f(x) = -11 -22x + 17x2

    -2.5x3

    xl = 0; xu = 4;

    xr = (0 + 4) / 2 = 2

    f(xl) = -11; f(xr) = -7;

    f(xl) f(xr) = 77

    i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) Ea ea0 0 4 2 -11 -7 77

    11

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    12/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

    xl

    xu

    xr

    12

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    13/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    1st iteration:

    xl = 2; (f(xl) f(xr) > 0) xu = 4;xr = (2 + 4) / 2 = 3

    f(xl) = -7; f(xr) = 8.5;

    f(xl) f(xr) = -59.5

    Ea = xrnew xr

    old = 3 2 = 1

    ea = (xrnew xr

    old) / xrnew

    = (3 2) / 3 = 0.3333333

    i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) Ea ea0 0 4 2 -11 -7 771 2 4 3 -7 8.5 -59.5 1 0.3333333

    13

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    14/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

    xl

    xu

    xr

    14

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    15/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) Ea ea0 0 4 2 -11 -7 771 2 4 3 -7 8.5 -59.5 1 0.33333332 2 3 2.5 -7 1.1875 -8.3125 -0.5 -0.23 2 2.5 2.25 -7 -2.91406 20.39844 -0.25 -0.11111114 2.25 2.5 2.375 -2.91406 -0.85059 2.478661 0.125 0.05263165 2.375 2.5 2.4375 -0.85059 0.173462 -0.14754 0.0625 0.0256416 2.375 2.4375 2.40625 -0.85059 -0.33754 0.287106 -0.03125 -0.0129877 2.40625 2.4375 2.421875 -0.33754 -0.08175 0.027595 0.015625 0.00645168 2.421875 2.4375 2.429688 -0.08175 0.045928 -0.00375 0.007813 0.00321549 2.421875 2.429688 2.42578 -0.08175 -0.0179 0.001463 -0.0039 -0.001610310 2.4257813 2.429688

    Lanjutkan iterasi hingga dihasilkan nilai pembulatan xl dan xumenghasilkan 3 digit yang sama

    Jawaban : x = 2.43

    15

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    16/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Comments on Bisection Methods

    Two-point method, Bracketing Method.

    Nilai yang dihitung hanya berdasarkan tanda dari nilai fungsi. Pasti konvergen.

    Tingkat konvergen rendah.

    Setiap step menghasilkan peningkatan akurasi satu binary digit.

    (one decimal digit / 3.3 steps)

    16

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    17/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Hitung persamaan f(x) = -4 -2x - x2 + x3

    Dengan nilai awal xi=2 dan xu=3 hingga mendapatkan xi dan xu

    mempunyai nilai 3 digit yang sama

    17

    Tugas

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    18/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Regula Falsi

    18

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    19/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Regula Falsi Method (False-position Method)

    f(x)

    xuxr

    xl

    S

    )()(

    )()(

    lu

    luulr

    xfxf

    xfxxfxx

    )()(

    )(

    lu

    l

    lu

    l

    xfxf

    xfy

    xx

    xx

    rxxydengan ,0

    19

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    20/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Algorithm of False-position method

    Pilihlah inisialisasi awal f(xr) f(xl) < 0 dan

    Ulangi sehingga

    )()(

    )()(

    lu

    luul

    r xfxf

    xfxxfx

    x

    Jika f(xr) = 0, maka x = xr adalah akar persamaan, STOP

    Jika f(xl) f(xr) < 0, gantikan xu dengan xr.

    Jika f(xr) f(xu) > 0, gantikan xl dengan xr.

    Kembali ke perulangan

    )( rxf

    20

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    21/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    0th iteration:f(x) = -11 -22x + 17x2 -2.5x3

    xl = 0; xu = 4;

    xr = = 1.833333

    f(xl) = -11; f(xr) = -9.59954;

    f(xl)f(xr) = 105.5949

    i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f(xr) Ea ea0 0 4 1.833333 -11 13 -9.59954 105.5949

    )()(

    )()(

    lu

    luul

    xfxf

    xfxxfx

    False-position Example

    21

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    22/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

    xl

    xu

    xr

    22

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    23/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    1st iteration:

    xl = 1.833333; (f(xl) f(xr) > 0) xu = 4;xr = = 2.753662

    f(xl) = -9.59954; f(xr) = 5.12439;

    f(xl)f(xr) = -49.1918

    Ea = xrnew xr

    old = 2.753662 1.833333 = 0.920328

    ea = (xrnew xr

    old) / xrnew

    = (2.753662 1.833333) / 2.753662 = 0.3342199

    i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f(xr) Ea ea0 0 4 1.833333 -11 13 -9.59954 105.59491 1.8333333 4 2.753662 -9.59954 13 5.12439 -49.1918 0.920328 0.3342199

    )()(

    )()(

    lu

    luul

    xfxf

    xfxxfx

    23

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    24/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

    xl

    xu

    xr

    24

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    25/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f(xr) Ea ea0 0 4 1.833333 -11 13 -9.59954 105.59491 1.8333333 4 2.753662 -9.59954 13 5.12439 -49.1918 0.920328 0.33421992 1.8333333 2.753662 2.433359 -9.59954 5.12439 0.105874 -1.01635 -0.3203 -0.13163013 1.8333333 2.433359 2.426813 -9.59954 0.105874 -0.00103 0.009928 -0.00655 -0.00269724 2.426813 2.433359 2.42688 -0.00103 0.105874 5E-07 -5.2E-10 6.3E-05 2.609E-055 2.426813 2.426876

    Lanjutkan iterasi hingga xl dan xu memiliki pembulatan 3

    angka yang sama

    Jawab: x = 2.43

    25

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    26/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Comment to False-position

    Merupakan two-point method, Bracketing Method.

    Pada umumnya, lebih cepat menuju konvergen dibandingkan dengan

    biseksi

    26

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    27/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Metode Newton-Raphson

    27

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    28/36

    Newton-Raphson Method

    )(xf

    )f(x-= xx

    i

    iii

    1

    f(x)

    f(xi)

    f(xi-1)

    xi+2 xi+1 xiX

    iixfx

    ,

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    29/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Derivation

    f(x)

    f(xi)

    xi+1 xi

    X

    B

    C A

    )('

    )(1

    i

    i

    iixf

    xfxx

    1

    )()('

    ii

    ii

    xx

    xfxf

    AC

    ABtan(

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    30/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Diperlukan SATU HARGA AWAL (dapat berupa tebakan), dan tebakan

    harga awal tersebut tidak menyebabkan harga fungsi menjadi tak

    berhingga.

    Persamaan y = f (x) mempunyai turunan yang dapat disebut sebagai y

    = f(x) dan harus kontinyu di daerah domain jawab.

    Turunan fungsi tersebut tidak berharga nol, y 0 , pada harga xk (pada

    iterasi ke-k) yang diinginkan

    30

    Prasyarat Metode Newton-Raphson

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    31/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Bilamana SALAH SATU dari syarat berikut ini terpenuhi :

    Selisih harga xk(pada iterasi terbaru) dengan xk-1 (pada iterasi

    sebelumnya) lebih kecil atau sama dengan harga , atau dapat

    dituliskan sebagai:

    , atau

    Harga fungsi f(xk) (dengan menggunakan harga x pada iterasi terbaru)

    sudah sangat kecil dan menuju nol atau dapat dikatakan juga lebih

    kecil atau sama dengan harga , yang dapat dituliskan sebagai:

    31

    Kriteria Penghentian

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    32/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Tentukan Nilai Awal

    Hitung nilai f(x)

    Hitung nilai estimasi akar untuk iterasi selanjutnya,

    Hitung absolut error :

    Ulangi hingga memenuhi syarat kriteria penghentian iterasi

    32

    Algoritma Newton-Raphson

    )f'(x

    )f(x-= xx

    i

    iii 1

    010x1

    1 x

    - xx=

    i

    iia

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    33/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 33

    Tabel Newton-Raphson

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    34/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    Hitunglah :f(x) =x6x1

    Menggunakan :

    Regula Falsi

    Newton-Raphson

    34

    Tugas

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    35/36

    Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin

    www.cse.cuhk.edu.hk/~csc2800/tuto/tutorial_03.ppt, By Albert

    35

    Reference

  • 8/2/2019 Akar-akar Kuadrat

    36/36

    Metode Numerik & Komputasi By Muhtadin

    TERIMA KASIH

    36