REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
ANTONIO JOSE DE SUCRE “UNEXPO”.
VICE RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS”
CATEDRA: LAB DE DINAMICA DE MAQUINAS
PRACTICA N°4
VIBRACION EN MEDIOS CONTINUOS
INTEGRANTES:
HARINZON RENTERIA
EXP: 2008203036
FREYNEL SUAREZ
EXP: 2008203016
CARACAS, DICIEMBRE DE 2014
INTRODUCCIÓN
Es preciso hacer un estudio de vibraciones siempre que se quiera ser riguroso en el
diseño, instalación, transporte, mantenimiento, de cualquier equipo o piezas en
específico, aunque muy silenciosas y en algunos casos desapercibidas las vibraciones
siempre están presentes, y muchas veces son la causa de innumerables daños a
equipos, estructuras, o piezas, es por ello que entenderlas y saber cómo actúan y se
comportan ante diferentes situaciones es un tópico de alto interés para cualquier
estudiante de ingeniería, sin tener que mencionar que para los ingenieros también lo
es.
A continuación se muestra el análisis de vibraciones en medios continuos, este
informe parte de una barra cilíndrica en voladizo a la cual se le hace un estudio de
vibraciones tanto teórica como prácticamente con la finalidad además de comparar
los métodos y establecer las causas de error, de conocer el comportamiento de esta, y
poder tener una idea amplia de sus aplicaciones.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos, partiendo de
la vibración de una viga empotrada-libre (voladizo) sometida a vibración.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Tomar mediciones de diámetro longitud frecuencia con los instrumentos
específicos para cada uno de estos.
2. Construir tanto la gráfica teórica como la experimenta y compararlas.
3. Calcular los errores y exponer las posibles causas de ellos.
MARCO TEORICO
La mecánica de medios continuos (MMC) es una rama de la física (específicamente
de la mecánica) que propone un modelo unificado para sólidos deformables, sólidos
rígidos y fluidos. Físicamente los fluidos se clasifican en líquidos y gases. El
término medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemático, como
cualquier porción de material cuyo comportamiento se puede describir
adecuadamente por ese modelo.
Aunque la mecánica de medios continuos es un modelo que permite investigar las
propiedades de sólidos deformables y fluidos con gran precisión, hay que recordar
que a escalas muy pequeñas la materia está hecha de átomos. Y esa naturaleza
atómica de la materia da lugar a cierto tipo de microestructura heterogénea que viola
alguno de los principios de la mecánica de medios continuos. Sin embargo, pese a
esta dificultad, la mecánica de medios continuos es una aproximación válida en la
mayoría de situaciones macroscópicas en las que la microestructura asociada a la
naturaleza atómica de la materia puede ser ignorada
Medios Continuos
Los sistemas mecánicos tales como cables, varillas, placas, etc, que tienen sus masas
y fuerzas elásticas distribuidas, en lugar de tener masas concentradas separadas por
resortes son susceptibles a tener las llamadas vibraciones en medios continuos.
Estos sistemas están compuestos por un número tan grande de partículas que vibran
de forma acoplada, que sería irracional intentar determinar el comportamiento de una
sola de las partículas del sistema; al nivel microscópico es visible la irregularidad de
la estructura de los materiales; irregularidad que desaparece muchas veces a niveles
macroscópicos donde el promedio del sistema de partícula predomina sobre los casos
individuales
Una ecuación diferencial parcial involucra dos o más variables y muchas funciones
diferentes pueden ser solución; por ello para determinar su solución no se puede
proceder como una ecuación diferencial de una sola variable y existirán varios tipos
de condiciones, iniciales si dependen del tiempo o condiciones de fronteras si
dependen de la posición; condiciones que permitirán determinar las distintas
frecuencias normales de vibración y los modos de vibración correspondientes.
Además para el análisis de estas ecuaciones diferenciales se supone que todos los
materiales son homogéneos e isotrópicos y que obedecen a la Ley de Hooke.
Vibración Longitudinal en Barras.
Las vibraciones longitudinales en una barra se producen cuando una fuerza externa
actúa sobre la barra de forma que cambia su longitud y volumen, sin alterar su forma.
Si consideramos que no hay rozamiento, la variación de longitud en cada diferencial
de volumen de la barra se propagará según la ecuación de ondas.
El estudio de estas vibraciones nos permite entender mejor la propagación de ondas
acústicas en medios confinados, de lo que constituirían un ejemplo. Además, tienen
aplicaciones prácticas como son la utilización de la frecuencia fundamental de barras
circulares de diferentes longitudes para construir normas de frecuencia de tonos
definidos, o el uso de la frecuencia de vibración longitudinal de un cristal
piezoeléctrico para controlar la frecuencia de una corriente eléctrica o para excitar un
transductor electroacústico. También tiene aplicaciones en el análisis de la respuesta
de estructuras formadas por barras, o que se puedan modelar como barras con cargas
másicas en los extremos, a fuerzas externas
La ecuación general del movimiento de vibración longitudinal en barras viene dada
por la ecuación diferencial parcial de onda, dada como:
dónde:
u, desplazamiento de una sección transversal cualquiera
x, coordenada a lo largo del eje longitudinal “x”
t, cualquier instante de tiempo “t”
Y siendo además:
E, módulo de elasticidad del material del cual está hecha la barra
ρ, peso específico de la barra
La solución general para la ecuación diferencial parcial dada es:
( ) [ ( ) ( )] [ (
) (
)]
Donde Ai, Bi, Ci y Di son constantes que deben determinarse de las condiciones
iniciales y de contorno, y además, π son las frecuencias naturales del sistema.
Modos de Vibración.
Un modo de vibración es un patrón o forma característica en el que vibrará un sistema
mecánico. La mayoría de los sistemas tienen muchos modos de vibración y es la tarea
del análisis modal determinar la forma de esos modos. La vibración de una estructura
es siempre una combinación o una mezcla de todos los modos de vibración. Pero no
todos están excitados al mismo grado.
El analisis modal es una tecnica utilizada para determinar las caracteristicas
vibratorias de una estructura con comportamiento elastico y lineal, nos suministra las
frecuencias y formas naturales con las que vibra una estructura. Es el tipo de analisis
dinamico mas importante y debe hacerse siempre antes de cualquier otro analisis,
pues las caracteristicas vibratorias de una estructura determina como responde ante
las cargas dinamicas. (fundamental para evitar la resonancia).
Teóricamente se puede hallar la frecuencia natural para una viga en un medio
continuo por la ecuación siguiente:
Donde E es el módulo de Young, I es la inercia de la viga, g la gravedad, w es
el peso de la viga, l la longitud de la viga y B una constante que depende de las
condiciones de borde, y que tiene distintos valores para cada modo de vibración, los
cuales se muestran a continuación:
4lw
gIEBWn
Tabla N°1 Valores de B según las condiciones de borde.
Configuración de la
carga
B1
Modo 1
B2
Modo 2
B3
Modo 3
Simplemente
Apoyada 9,87 39,5 88,9
Voladizo 3,52 22,0 61,7
Libre 22,4 61,7 121,0
Empotrada libre 22,4 61,7 121,0
Empotrada
Articulada 15,4 50,0 104,0
Articulada Libre 0 15,4 50,0
ANÁLISIS DIMENSIONAL
ECUACION N°1 Volumen de la barra
ECUACION N°2 Peso por unidad de
longitud
ECUACION N°3 Momento de inercia de
la barra
ECUACION N°4 Frecuencia natural
teorica
√
√
PROCEDIMIENTO
1. Se introdujo al estudiante al banco de pruebas de medios continuos.
2. Se colocó la barra a ensayar en la mordaza por uno de sus extremos.
3. Se midió el diámetro “d” de la barra de acero a utilizar
4. Se midió la longitud existente entre la mordaza y el final de la barra.
5. Haciéndole un desplazamiento inicial y con el uso del estroboscopio se midió
la frecuencia natural (practica)
6. La longitud de la barra de acero se acortó 4cm y se repitió el paso 5. Luego se
volvió a repetir este paso 3 veces para completar un total de 4 ejecuciones.
7. Se construyó la gráfica teórica vs Fnt y sobre esta la curva experimental
vs Fnp
8. Se calcularon los errores absolutos y porcentuales en cada caso
CÁLCULOS Y RESULTADOS
El valor de la longitud inicial de la barra (L) es de 58cm y el diametro de la barra (d)
es de 0,7cm
Para hallar el volumen de la barra se procedera a calcular el volumen con la ecuacion
N°1
( )
Para calcular el peso por unidad de longitud, se utilizara la ecuacion N°2.
Sabiendo que el módulo de Young para el acero es
resta hallar el
momento de inercia de una barra circular el cual se hará con la ecuación N° 3
( )
Y para calcular la frecuencia teórica se utiliza la ecuación N°4
Por ser viga en voladizo y como se calculara el primer modo de vibración:
√
Para las demás frecuencias se hizo el mismo calculo solo que variando la longitud.
A continuación se muestra en la tabla los valores de frecuencia tanto practica como
teórica obtenidos según la longitud.
Tabla N°2 frecuencia natural practica (Fnp), frecuencia natural teórica (Fnt) y
longitud al cuadrado
Longitud al cuadrado practica teorica
0,3364 740 688,7870596
0,2916 860 794,6089398
0,25 1040 926,8318673
0,2116 1200 1095,028199
Grafico N°1 longitud al cuadrado versus frecuencia natural practica (Fnp), y
frecuencia natural teórica (Fnt)
Calculo de errores:
Tabla N°3
practica teorica Error absoluto Error relativo (Er) (Er)x100
740 688,7870596 51,2129404 0,074352356 7%
860 794,6089398 65,3910602 0,082293386 8%
1040 926,8318673 113,1681327 0,122102117 12%
1200 1095,028199 104,971801 0,09586219 10%
688,787
794,609
926,832
1.095,028
740
860
1040
1200 0,2
0,22
0,24
0,26
0,28
0,3
0,32
0,34
0,36
600 700 800 900 1000 1100 1200
Lon
gitu
d a
l cu
adra
do
Frcuencia natural
L^2 vs Fnt y Fnp
Teorica
Practica
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Una vez culminada la sección de cálculos y resultados se dice que:
Tabla N°4 Resumen de módulo de elasticidad momento de inercia y peso por unidad
de longitud.
E (módulo de elasticidad) I (momento de inercia) W (peso por unidad de longitud)
Analisis de la tabla N°4.
El valor del módulo de elasticidad no presenta margen de error ya que es
extraído de una tabla, se asume este como certero y preciso.
El momento de inercia es un valor que se obtiene a partir de las dimensiones,
Se asume la fórmula para calcular el mismo como verdadera ya que fue
consultada en distintas bibliografías, ahora haciendo mención a los errores en
los datos introducidos a la formula, se dice que pueden haber errores debido al
uso del vernier en la medición del diámetro, este es un instrumento de
medición que a pesar de que posee una precisión de ±0,05mm puede dar
márgenes de error debido al paralaje, además de esto, en este cálculo la barra
poseía una pequeña porción en donde el diámetro era distinto lo cual puede
afectar el valor del momento de inercia, sin embargo se asumió como
despreciable, el equipo de trabajo que realizo el presente informe considera
que sería posible bajar en un pequeño porcentaje el margen de error si se
tomase en cuenta esta parte de la barra donde el diámetro es menor.
El valor del peso por unidad de longitud está afectado además de por el error
del vernier y el diámetro anteriormente expuesto, presenta errores producto
del uso de la cinta métrica, debido a que posee poca precisión. El factor que
resta en la formula se refiere a la densidad del material y este es extraido de
una tabla y consultado en varias fuentes, por lo cual este no presenta errores
importantes.
Análisis de la tabla N° 3
El valor de la frecuencia natural practica fue tomado gracias al uso del
estroboscopio, una vez que se veía la barra como si estuviera estática (justo en
el momento en el cual los flashes por minuto eran igual a la vibración de la
barra) se detenía el experimento y se tomaba el valor del estroboscopio, los
valores obtenidos fueron bastante consistentes sin embargo es preciso
mencionar que la excitación de la barra en ningún momento fue la misma, el
valor que se obtenía en el estroboscopio posee cierto margen de error ya que
se lograba ver la barra estática a distintos flashes por minutos (todos bastante
cercanos por supuesto) por lo cual no hay un valor exacto de estos sino uno
aproximado.
El valor de la frecuencia natural teórica arrastra todos los errores mencionados
en el análisis de la tabla N°4 sin embargo como se pudo apreciar en la misma
tabla los porcentajes de error se pueden considerar ligeramente altos, pero
bastante cercanos a los de la práctica y por ende los de la práctica a estos.
Los errores obtenidos pudiesen disminuirse en algunos puntos porcentuales
haciendo al menos 5 mediciones para cada ítem, es decir 5 mediciones de
diámetro, de longitud, de ciclos etc, y así sacar un promedio de cada uno de
ellos, consiguiendo tener valores experimentales mas precisos.
CONCLUSION
Una vez elaborados todos los requerimientos de la práctica se dice que las mediciones
del diámetro longitud y frecuencia con cada uno de los instrumentos correspondientes
se hicieron de forma satisfactoria, además de que con ellos y la aplicación de las
formulas expresadas en la sección de análisis dimensional se logró realizar el grafico
N°1 utilizando la herramienta de gráficos de Excel, permitiendo así apreciar la gráfica
de forma detallada y poder establecer una comparación entre la gráfica teórica y la
experimental, además de visualizar más allá del valor porcentual la consecuencia de
los errores cometidos durante la ejecución de esta práctica.
Por último se logró estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos,
partiendo de la vibración de una viga empotrada-libre (voladizo) sometida a
vibración, calcular los errores y exponer sus posibles causas completando de esta
forma tanto los objetivos específicos como el objetivo general de la presente practica.
BIBLIOGRAFÍA
http://fisica3udobolivar.files.wordpress.com/2008/05/tema_07-vibraciones_en-
sistemas-continuos.pdf
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/vibracion_barra/vibracion_barra.htm
http://azimadli.com/vibman-spanish/mododevibracin1.htm
http://www.engineeringtoolbox.com/area-moment-inertia-d_1328.html
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