REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

ANTONIO JOSE DE SUCRE “UNEXPO”.

VICE RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS”

CATEDRA: LAB DE DINAMICA DE MAQUINAS

PRACTICA N°4

VIBRACION EN MEDIOS CONTINUOS

INTEGRANTES:

HARINZON RENTERIA

EXP: 2008203036

FREYNEL SUAREZ

EXP: 2008203016

CARACAS, DICIEMBRE DE 2014

INTRODUCCIÓN

Es preciso hacer un estudio de vibraciones siempre que se quiera ser riguroso en el

diseño, instalación, transporte, mantenimiento, de cualquier equipo o piezas en

específico, aunque muy silenciosas y en algunos casos desapercibidas las vibraciones

siempre están presentes, y muchas veces son la causa de innumerables daños a

equipos, estructuras, o piezas, es por ello que entenderlas y saber cómo actúan y se

comportan ante diferentes situaciones es un tópico de alto interés para cualquier

estudiante de ingeniería, sin tener que mencionar que para los ingenieros también lo

es.

A continuación se muestra el análisis de vibraciones en medios continuos, este

informe parte de una barra cilíndrica en voladizo a la cual se le hace un estudio de

vibraciones tanto teórica como prácticamente con la finalidad además de comparar

los métodos y establecer las causas de error, de conocer el comportamiento de esta, y

poder tener una idea amplia de sus aplicaciones.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos, partiendo de

la vibración de una viga empotrada-libre (voladizo) sometida a vibración.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Tomar mediciones de diámetro longitud frecuencia con los instrumentos

específicos para cada uno de estos.

2. Construir tanto la gráfica teórica como la experimenta y compararlas.

3. Calcular los errores y exponer las posibles causas de ellos.

MARCO TEORICO

La mecánica de medios continuos (MMC) es una rama de la física (específicamente

de la mecánica) que propone un modelo unificado para sólidos deformables, sólidos

rígidos y fluidos. Físicamente los fluidos se clasifican en líquidos y gases. El

término medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemático, como

cualquier porción de material cuyo comportamiento se puede describir

adecuadamente por ese modelo.

Aunque la mecánica de medios continuos es un modelo que permite investigar las

propiedades de sólidos deformables y fluidos con gran precisión, hay que recordar

que a escalas muy pequeñas la materia está hecha de átomos. Y esa naturaleza

atómica de la materia da lugar a cierto tipo de microestructura heterogénea que viola

alguno de los principios de la mecánica de medios continuos. Sin embargo, pese a

esta dificultad, la mecánica de medios continuos es una aproximación válida en la

mayoría de situaciones macroscópicas en las que la microestructura asociada a la

naturaleza atómica de la materia puede ser ignorada

Medios Continuos

Los sistemas mecánicos tales como cables, varillas, placas, etc, que tienen sus masas

y fuerzas elásticas distribuidas, en lugar de tener masas concentradas separadas por

resortes son susceptibles a tener las llamadas vibraciones en medios continuos.

Estos sistemas están compuestos por un número tan grande de partículas que vibran

de forma acoplada, que sería irracional intentar determinar el comportamiento de una

sola de las partículas del sistema; al nivel microscópico es visible la irregularidad de

la estructura de los materiales; irregularidad que desaparece muchas veces a niveles

macroscópicos donde el promedio del sistema de partícula predomina sobre los casos

individuales

Una ecuación diferencial parcial involucra dos o más variables y muchas funciones

diferentes pueden ser solución; por ello para determinar su solución no se puede

proceder como una ecuación diferencial de una sola variable y existirán varios tipos

de condiciones, iniciales si dependen del tiempo o condiciones de fronteras si

dependen de la posición; condiciones que permitirán determinar las distintas

frecuencias normales de vibración y los modos de vibración correspondientes.

Además para el análisis de estas ecuaciones diferenciales se supone que todos los

materiales son homogéneos e isotrópicos y que obedecen a la Ley de Hooke.

Vibración Longitudinal en Barras.

Las vibraciones longitudinales en una barra se producen cuando una fuerza externa

actúa sobre la barra de forma que cambia su longitud y volumen, sin alterar su forma.

Si consideramos que no hay rozamiento, la variación de longitud en cada diferencial

de volumen de la barra se propagará según la ecuación de ondas.

El estudio de estas vibraciones nos permite entender mejor la propagación de ondas

acústicas en medios confinados, de lo que constituirían un ejemplo. Además, tienen

aplicaciones prácticas como son la utilización de la frecuencia fundamental de barras

circulares de diferentes longitudes para construir normas de frecuencia de tonos

definidos, o el uso de la frecuencia de vibración longitudinal de un cristal

piezoeléctrico para controlar la frecuencia de una corriente eléctrica o para excitar un

transductor electroacústico. También tiene aplicaciones en el análisis de la respuesta

de estructuras formadas por barras, o que se puedan modelar como barras con cargas

másicas en los extremos, a fuerzas externas

La ecuación general del movimiento de vibración longitudinal en barras viene dada

por la ecuación diferencial parcial de onda, dada como:

dónde:

u, desplazamiento de una sección transversal cualquiera

x, coordenada a lo largo del eje longitudinal “x”

t, cualquier instante de tiempo “t”

Y siendo además:

E, módulo de elasticidad del material del cual está hecha la barra

ρ, peso específico de la barra

La solución general para la ecuación diferencial parcial dada es:

( ) [ ( ) ( )] [ (

) (

)]

Donde Ai, Bi, Ci y Di son constantes que deben determinarse de las condiciones

iniciales y de contorno, y además, π son las frecuencias naturales del sistema.

Modos de Vibración.

Un modo de vibración es un patrón o forma característica en el que vibrará un sistema

mecánico. La mayoría de los sistemas tienen muchos modos de vibración y es la tarea

del análisis modal determinar la forma de esos modos. La vibración de una estructura

es siempre una combinación o una mezcla de todos los modos de vibración. Pero no

todos están excitados al mismo grado.

El analisis modal es una tecnica utilizada para determinar las caracteristicas

vibratorias de una estructura con comportamiento elastico y lineal, nos suministra las

frecuencias y formas naturales con las que vibra una estructura. Es el tipo de analisis

dinamico mas importante y debe hacerse siempre antes de cualquier otro analisis,

pues las caracteristicas vibratorias de una estructura determina como responde ante

las cargas dinamicas. (fundamental para evitar la resonancia).

Teóricamente se puede hallar la frecuencia natural para una viga en un medio

continuo por la ecuación siguiente:

Donde E es el módulo de Young, I es la inercia de la viga, g la gravedad, w es

el peso de la viga, l la longitud de la viga y B una constante que depende de las

condiciones de borde, y que tiene distintos valores para cada modo de vibración, los

cuales se muestran a continuación:

4lw

gIEBWn

Tabla N°1 Valores de B según las condiciones de borde.

Configuración de la

carga

B1

Modo 1

B2

Modo 2

B3

Modo 3

Simplemente

Apoyada 9,87 39,5 88,9

Voladizo 3,52 22,0 61,7

Libre 22,4 61,7 121,0

Empotrada libre 22,4 61,7 121,0

Empotrada

Articulada 15,4 50,0 104,0

Articulada Libre 0 15,4 50,0

ANÁLISIS DIMENSIONAL

ECUACION N°1 Volumen de la barra

ECUACION N°2 Peso por unidad de

longitud

ECUACION N°3 Momento de inercia de

la barra

ECUACION N°4 Frecuencia natural

teorica

√

√

PROCEDIMIENTO

1. Se introdujo al estudiante al banco de pruebas de medios continuos.

2. Se colocó la barra a ensayar en la mordaza por uno de sus extremos.

3. Se midió el diámetro “d” de la barra de acero a utilizar

4. Se midió la longitud existente entre la mordaza y el final de la barra.

5. Haciéndole un desplazamiento inicial y con el uso del estroboscopio se midió

la frecuencia natural (practica)

6. La longitud de la barra de acero se acortó 4cm y se repitió el paso 5. Luego se

volvió a repetir este paso 3 veces para completar un total de 4 ejecuciones.

7. Se construyó la gráfica teórica vs Fnt y sobre esta la curva experimental

vs Fnp

8. Se calcularon los errores absolutos y porcentuales en cada caso

CÁLCULOS Y RESULTADOS

El valor de la longitud inicial de la barra (L) es de 58cm y el diametro de la barra (d)

es de 0,7cm

Para hallar el volumen de la barra se procedera a calcular el volumen con la ecuacion

N°1

( )

Para calcular el peso por unidad de longitud, se utilizara la ecuacion N°2.

Sabiendo que el módulo de Young para el acero es

resta hallar el

momento de inercia de una barra circular el cual se hará con la ecuación N° 3

( )

Y para calcular la frecuencia teórica se utiliza la ecuación N°4

Por ser viga en voladizo y como se calculara el primer modo de vibración:

√

Para las demás frecuencias se hizo el mismo calculo solo que variando la longitud.

A continuación se muestra en la tabla los valores de frecuencia tanto practica como

teórica obtenidos según la longitud.

Tabla N°2 frecuencia natural practica (Fnp), frecuencia natural teórica (Fnt) y

longitud al cuadrado

Longitud al cuadrado practica teorica

0,3364 740 688,7870596

0,2916 860 794,6089398

0,25 1040 926,8318673

0,2116 1200 1095,028199

Grafico N°1 longitud al cuadrado versus frecuencia natural practica (Fnp), y

frecuencia natural teórica (Fnt)

Calculo de errores:

Tabla N°3

practica teorica Error absoluto Error relativo (Er) (Er)x100

740 688,7870596 51,2129404 0,074352356 7%

860 794,6089398 65,3910602 0,082293386 8%

1040 926,8318673 113,1681327 0,122102117 12%

1200 1095,028199 104,971801 0,09586219 10%

688,787

794,609

926,832

1.095,028

740

860

1040

1200 0,2

0,22

0,24

0,26

0,28

0,3

0,32

0,34

0,36

600 700 800 900 1000 1100 1200

Lon

gitu

d a

l cu

adra

do

Frcuencia natural

L^2 vs Fnt y Fnp

Teorica

Practica

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Una vez culminada la sección de cálculos y resultados se dice que:

Tabla N°4 Resumen de módulo de elasticidad momento de inercia y peso por unidad

de longitud.

E (módulo de elasticidad) I (momento de inercia) W (peso por unidad de longitud)

Analisis de la tabla N°4.

El valor del módulo de elasticidad no presenta margen de error ya que es

extraído de una tabla, se asume este como certero y preciso.

El momento de inercia es un valor que se obtiene a partir de las dimensiones,

Se asume la fórmula para calcular el mismo como verdadera ya que fue

consultada en distintas bibliografías, ahora haciendo mención a los errores en

los datos introducidos a la formula, se dice que pueden haber errores debido al

uso del vernier en la medición del diámetro, este es un instrumento de

medición que a pesar de que posee una precisión de ±0,05mm puede dar

márgenes de error debido al paralaje, además de esto, en este cálculo la barra

poseía una pequeña porción en donde el diámetro era distinto lo cual puede

afectar el valor del momento de inercia, sin embargo se asumió como

despreciable, el equipo de trabajo que realizo el presente informe considera

que sería posible bajar en un pequeño porcentaje el margen de error si se

tomase en cuenta esta parte de la barra donde el diámetro es menor.

El valor del peso por unidad de longitud está afectado además de por el error

del vernier y el diámetro anteriormente expuesto, presenta errores producto

del uso de la cinta métrica, debido a que posee poca precisión. El factor que

resta en la formula se refiere a la densidad del material y este es extraido de

una tabla y consultado en varias fuentes, por lo cual este no presenta errores

importantes.

Análisis de la tabla N° 3

El valor de la frecuencia natural practica fue tomado gracias al uso del

estroboscopio, una vez que se veía la barra como si estuviera estática (justo en

el momento en el cual los flashes por minuto eran igual a la vibración de la

barra) se detenía el experimento y se tomaba el valor del estroboscopio, los

valores obtenidos fueron bastante consistentes sin embargo es preciso

mencionar que la excitación de la barra en ningún momento fue la misma, el

valor que se obtenía en el estroboscopio posee cierto margen de error ya que

se lograba ver la barra estática a distintos flashes por minutos (todos bastante

cercanos por supuesto) por lo cual no hay un valor exacto de estos sino uno

aproximado.

El valor de la frecuencia natural teórica arrastra todos los errores mencionados

en el análisis de la tabla N°4 sin embargo como se pudo apreciar en la misma

tabla los porcentajes de error se pueden considerar ligeramente altos, pero

bastante cercanos a los de la práctica y por ende los de la práctica a estos.

Los errores obtenidos pudiesen disminuirse en algunos puntos porcentuales

haciendo al menos 5 mediciones para cada ítem, es decir 5 mediciones de

diámetro, de longitud, de ciclos etc, y así sacar un promedio de cada uno de

ellos, consiguiendo tener valores experimentales mas precisos.

CONCLUSION

Una vez elaborados todos los requerimientos de la práctica se dice que las mediciones

del diámetro longitud y frecuencia con cada uno de los instrumentos correspondientes

se hicieron de forma satisfactoria, además de que con ellos y la aplicación de las

formulas expresadas en la sección de análisis dimensional se logró realizar el grafico

N°1 utilizando la herramienta de gráficos de Excel, permitiendo así apreciar la gráfica

de forma detallada y poder establecer una comparación entre la gráfica teórica y la

experimental, además de visualizar más allá del valor porcentual la consecuencia de

los errores cometidos durante la ejecución de esta práctica.

Por último se logró estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos,

partiendo de la vibración de una viga empotrada-libre (voladizo) sometida a

vibración, calcular los errores y exponer sus posibles causas completando de esta

forma tanto los objetivos específicos como el objetivo general de la presente practica.

BIBLIOGRAFÍA

http://fisica3udobolivar.files.wordpress.com/2008/05/tema_07-vibraciones_en-

sistemas-continuos.pdf

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/vibracion_barra/vibracion_barra.htm

http://azimadli.com/vibman-spanish/mododevibracin1.htm

http://www.engineeringtoolbox.com/area-moment-inertia-d_1328.html