FACOLTA' DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E
NATURALI
CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN TECNOLOGIE
FISICHE E DELL'INFORMAZIONE
A.A. 2011/2012
Aspetti �sici dell'accordatura di un
pianoforte
Laureanda:
Elena D'Alò
Matricola:
699551
Relatore:
Prof. Silvano Petrarca
Relatore:
Prof. Paolo Camiz
Ora tu pensa: un pianoforte. I tasti iniziano. I tasti �niscono. Tu sai che sono 88, su
questo nessuno può fregarti. Non sono in�niti loro. Tu, sei in�nito, e dentro quei
tasti, in�nita è la musica che puoi fare. Loro sono 88. Tu sei in�nito.
Novecento - A. Baricco
A mamma, papà,
Edoardo e nonna.
Grazie al Professor Paolo Camiz e al magico incontro tra Fisica e Musica.
Grazie a chi mi è stato vicino, a chi mi ha ascoltata, a chi ha studiato con me e chi è
capitato per caso in questo percorso. Grazie a Marta e Anna Lisa.
Grazie al M◦ Mauro Buccitti e al corso di Accordatura e Manutenzione del Pianoforte.
2
Indice
Introduzione 3
1 Corda vibrante 5
1.1 Equazione d'onda per una corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Energia di una corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Corda pizzicata e percossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Corda pizzicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Corda percossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Le vibrazioni di una corda rigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Aspetti �sici dei suoni prodotti da un pianoforte 15
2.1 Sovrapposizione di suoni di diversa frequenza: i battimenti . . . . . . . . 15
2.2 Spettro armonico e timbro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Il martelletto sulla corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Tempo di contatto martelletto-corda . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Punto di contatto martelletto-corda . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 L'inarmonicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Accordatura 28
3.1 Corde doppie e triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Soluzione all'inarmonicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Ottava �allargata�: motivo �sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Ottava �allargata�: motivo psicoacustico . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Temperamento equabile e la sua accordatura . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
3.3.1 Cenni ai vari temperamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Temperamento equabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3 Accordatura di un pianoforte in scala temperata . . . . . . . . . . 35
Conclusioni 35
Bibliogra�a 39
2
Introduzione
Figura 1: Interno di un pianoforte a coda Steinway, modello A.
Il pianoforte è uno strumento musicale della famiglia dei cordofoni: composto di 88
tasti �ssi, ha un'estenzione di 7 ottave complete più una terza, la nota più grave (primo
tasto) è il La0 di frequenza 27,5 Hz, e la più acuta (ultimo tasto) è il Do8 di frequenza
4096 Hz1. È composto di 243 corde d'acciaio, con lunghezze da un massimo di 2 m a
un minimo di 5 cm. Le prime 8 sono singole (una corda per ogni tasto) e sono ricoperte
da 1 o 2 avvolgimenti di rame, poi ci sono 5 coppie di corde con avvolgimento, 7 set
di tre corde per tasto (avvolte anche loro) e 68 corde triple in acciaio per il resto della
tastiera. Si tratta di uno strumento a corde percosse, in quanto ogni tasto premuto fa
1la notazione usata è quella americana.
3
muovere un martelletto di feltro che colpisce la corda. La corda si mette in vibrazione
e trasmette la sua energia alla tavola armonica tramite il ponticello.
È uno strumento ad accordatura �ssa, e per la sua accordatura e manutenzione è
necessario un esperto del mestiere. Gli aspetti �sici in questo ambito sono molteplici, dal
semplice gioco di leve per azionare il moto del martelletto, all'assorbimento e conseguente
irradiazione del suono da parte della tavola armonica. Questa deve avere una super�cie
ampia e resistente, ma allo stesso tempo in grado di trasmettere le vibrazioni per tutte
le frequenze dello strumento.
Figura 2: Diagramma sempli�cato di un pianoforte. Quando il tasto viene abbassato, lo
smorzatore sale e il martelletto colpisce la corda. Le vibrazioni della corda sono trasmesse alla
tavola armonica attraverso il ponticello. (Rossing)
Questo lavoro si limiterà a trattare la corda dal suo moto per arrivare alla percezione
del suono prodotto dalla percussione di essa, so�ermandosi sui punti necessari a capire
la �sica con cui ha che fare un tecnico accordatore per rendere le 88 note udibili al
meglio nella loro musicalità.
La frequenza dei suoni viene misurata in hertz (1 Hz = 1/s), mentre la distanza in
cent. Il cent è un'unità di misura ricavata dividendo l'intervallo di ottava in 1200 parti
uguali. Nel sistema temperato (come si vedrà in seguito) un semitono equivale a 100
cent.
4
Capitolo 1
Corda vibrante
1.1 Equazione d'onda per una corda
I primi studi sulle corde vibranti hanno radici nell'Antica Grecia: Pitagora osservò come
la divisione di una corda tesa divisa in due segmenti desse un suono piacevole quando
tra i due segmenti c'era un rapporto di lunghezza razionale (2:1, 3:1, 3:2, 4:3). Questi
sono esempi di modi normali di una corda �ssata ai suoi estremi. Un più attento esame
del moto della corda rivela che i modi normali dipendono dalla massa della corda, la sua
lunghezza, la tensione applicata e dalle condizioni agli estremi.
Figura 1.1: Segmento di una corda con tensione T .
Consideriamo una corda uniforme (�gura 1.1) con densità lineare µ (Kg/m) tesa da
5
una tensione T (Newton) e i suoi movimenti su un piano. Dato lo spostamento del
segmento ds, c'è una forza dF che lo fa tornare alla sua posizione di equilibrio, uguale
alla di�erenza tra le componenti y di T agli estremi del segmento:
dFy = (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x.
Applicando l'espansione in serie di Taylor al I ordine f(x+dx) = f(x)+ ∂f(x)∂x
dx a T sin θ
si ha:
dFy = [(T sin θ)x +∂(T sin θ)
∂xdx]− (T sin θ)x =
∂(T sin θ)
∂xdx. (1.1)
Per piccoli spostamenti y, sinθ può essere sostituito da tan θ, che è anche ∂y/∂x:
dFy =∂(T∂y/∂x)
∂xdx = T
∂2y
∂x2dx. (1.2)
La massa del segmento ds è µds, così la seconda legge di Newton diventa
T∂2y
∂x2dx = µds
∂2y
∂t2. (1.3)
Essendo dy piccolo ds ∼= dx. Si de�nisce c2 = T/µ (velocità di propagazione delle
perturbazioni) per ottenere∂2y
∂t2=T
µ
∂2y
∂x2= c2
∂2y
∂x2, (1.4)
conosciuta come equazione delle onde trasversali in una corda vibrante.
La soluzione dell'eq. 1.4 può essere scritta in forma di d'Alembert:
y = f1(ct− x) + f2(ct+ x). (1.5)
La funzione f1(ct− x) rappresenta un'onda viaggiante verso destra con velocità c (onda
progressiva); di conseguenza la funzione f2(ct + x) indica la direzione dell'onda verso
sinistra, con la stessa velocità (onda regressiva). Le due funzioni f1 e f2 sono arbitrarie,
possono infatti essere scelte in modo che la loro somma soddis� le condizioni iniziali di
spazio y(x, 0)e velocità ∂y/∂t = y(x, 0).
Le derivate rispetto allo spazio x e il tempo t dell'eq.1.5 saranno:
∂y/∂x = −f ′1 + f ′2,
∂y/∂t = c(f ′1 + f ′2), (1.6)
dove f ′1e f′2 sono le derivate delle due funzioni rispetto ai loro argomenti.
6
Nella corda si propagano semplici movimenti armonici, per questo si considerano f1
e f2 nell'eq.1.5 in termini di seno e coseno
y(x, t) = A sinω
c(ct− x) +B cos
ω
c(ct− x) + C sin
ω
c(ct+ x) +D cos
ω
c(ct+ x) =
= A sin(ωt− kx) +B cos(ωt− kx) +
+C sin(ωt+ kx) +D cos(ωt+ kx), (1.7)
con k = ω/c = 2π/λ numero d'onda.
1.2 Onde stazionarie
Si consideri una corda di lunghezza L a estremi �ssati in x = 0 e x = L. Dalla prima
condizione y(0, t) = 0, nell'eq.1.7 si ha A = −C e B = −D, quindi
y = A[sin(ωt− kx)− sin(ωt+ kx)] +B[cos(ωt− kx)− cos(ωt+ kx)]. (1.8)
Usando le formule di somma e di�erenza sin(x±y) = sinx cos y±cosx sin y e cos(x±y) =
cosx cos y ∓ sinx sin y, si ottiene
y = 2A sin kx cosωt− 2B sin kx sinωt =
= 2[A cosωt−B sinωt] sin kx. (1.9)
Esistono posizioni x in cui sin kx = 0, cioè non c'è oscillazione (nodi), e altre in cui
| sin kx = 1|, ovvero l'ampiezza di oscillazione è massima (ventri). Le rispettive posizioni
sono:
kx = nπ nodi
kx = (2n+ 1)π
2ventri
La seconda condizione y(L, t) = 0 richiede che sin kL = 0 o che ωL/c = nπ, e questo
stringe ω a valori ωn = nπc/L. Scritto in termini della lunghezza d'onda λ = 2π/k si ha
λn = 2L/n. (1.10)
Quindi la corda ha modi di vibrazione normali:
yn(x, t) = (An cosωnt+Bn sinωnt) sinωnx
c. (1.11)
7
Questi modi sono armonici, perchè ogni ωn è n volte multiplo di ω1 = c/2L.
La soluzione generale di una corda vibrante a estremi �ssati può essere scritta come
combinazione lineare dei modi normali:
y(x, t)n =∑n
(An cosωnt+Bn sinωnt) sin knx, (1.12)
e l'ampiezza dell' n−esimomodo è Cn =√A2n +B2
n. In ogni punto y(x, t) =∑n yn(x, t).
Quindi
y(x, t) =∑n
Cn cos(ωnt+ φn) sin knx,
dove Cnè l'ampiezza dell'n − esimo modo e φn la sua fase. Esplicitando ωn come nω
e kn = nπ/L, si arriva a una combinazione lineare di modi normali con coe�cienti
determinati dalla con�gurazione iniziale f(x) e dalla velocità iniziale v(x) in ogni punto
della corda:
y(x, t) =∑n
Cn cos(nωt+ φn) sinnπx
L, (1.13)
I modi normali di una corda vibrante sono detti parziali o armonici della corda:
quello di minima frequenza è l'armonico fondamentale, i successivi sono gli armonici
superiori o ipertoni.
Con la condizione iniziale a t = 0 si ricava:
f(x) = y(x, 0) =∑n
Cn cosφn sinnπx
L(1.14)
v(x) =∂y(x, 0)
∂t=
∑n
Cn(−nω sinφn) sinnπx
L, (1.15)
e i coe�cienti dello sviluppo di Fourier di f(x) e v(x) saranno
fn = Cn cosφn, vn = −Cnnω sinφn, (1.16)
C2n = f 2
n + (vn/nω)2, tanφn = −vn/nωfn. (1.17)
1.3 Energia di una corda vibrante
Quando una corda vibra in uno dei suoi modi normali, l'energia cinetica e il potenziale
raggiungono il loro valore massimo alternativamente, che equivale all'energia totale del
8
Figura 1.2: Triangolo che ha per base la corda di lunghezza L, altezza unitaria ah, con a punto
di eccitazione.
sistema. L'energia di un modo può essere calcolata considerando solo una delle due.
L'energia cinetica massima di un segmento vibrante nel suo n− esimo modo è
dEn =ω2nµ
2(A2
n +B2n) sin2 nπx
Ldx.
Integrando sull'intera lunghezza si ha
En =ω2nµL
4(A2
n +B2n) =
ω2nµL
4C2n. (1.18)
Il potenziale e l'energia cinetica di ogni modo hanno media temporale En/2. L'energia
totale della corda può essere trovata come
E =∑n
En.
1.4 Corda pizzicata e percossa
1.4.1 Corda pizzicata
Si può considerare la con�gurazione iniziale di una corda pizzicata, al momento dell'ec-
citazione nel punto a, come triangolare (�gura 1.2). L'operazione di derivazione e la
trasformata di Fourier commutano, e la funzione g′(x) è costante. Quindi per calcolare
i coe�cienti si farà la trasformata di Fourier della derivata seconda del triangolo della
9
�gura 1.2 (si è posto h=1).
g(x) =
1ax se 0 < x < a
L−xL−a se a < x < L
g′(x) =
1a
se 0 < x < a
− 1L−a se a < x < L
g′′(x) = −(1
a+
1
L− a)δ(x− a) (1.19)
Le condizioni iniziali applicate all'equazione 1.16 sono:
vn = 0 → sinφn = 0 ⇒ φn = 0 → Cn = fn.
Si sostituisce φn = 0 alla derivata seconda dell'equazione 1.14 e si ottiene:
y′′(x, 0) = −∑n
Cn(n2ω2 cosφn) sinnπx
L= −
∑n
Cnn2ω2 sin
nπx
L, (1.20)
e si pone Sn = −Cnn2ω2. Data l'equazione
y′′(x) =∑n
Sn sinπnx
L, (1.21)
la sua trasformata di Fourier è:
Sn =∫ L
0y′′(x) sin
πnx
Ldx. (1.22)
Sostituendo y′′(x) = g′′(x), si ha
Sn =∫ L
0−(
1
a+
1
L− a)δ(x− a) sin
nπx
Ldx = − L
a(L− a)sin
nπa
L(1.23)
Si trova così Cn:
− L
a(L− a)sin
nπa
L= −Cnn2ω2 quindi Cn =
1
n2ω2
L
a(L− a)sin
nπa
L(1.24)
C'è dipendenza da n in due momenti: 1/n2, dipendente dal meccanismo di eccitazione, e
sin nπaL, dipendente dal punto di eccitazione. Se L/a è razionale, gli armonici che hanno
un nodo in quel punto si annullano.
10
1.4.2 Corda percossa
In una corda percossa le approssimazioni sono analoghe a quelle per la corda pizzicata,
cambiano le condizioni iniziali: lo spostamento iniziale nullo x = 0, velocità speci�ca
iniziale v(a, 0) = v0 = vδ(x− a) e fase φn = −π/2. Il coe�ciente Cn varrà:
Cn =v0nω
sinnπa
L, (1.25)
la dipendenza dal meccanismo di eccitazione farà in modo che gli armonici decadano
come 1/n, quindi il suono sarà più duro rispetto ad una corda pizzicata, per la maggiore
presenza di armonici superiori. In generale, l'ampiezza armonica nello spettro delle
vibrazioni di una corda percossa decresce meno rapidamente con la frequenza rispetto
alle corde pizzicate.
Si pone che la velocità iniziale sia data dal forte colpo del martelletto che percuote
la corda al tempo t = 0. In quel punto la posizione è costante, ma la velocità cambia.
Si suppone quindi che la corda sia percossa da un martelletto di massa M stretto e duro
avente velocità V . Dopo un istante di tempo t, una porzione della corda lunga 2ct e
avente massa 2µct inizia a muoversi. Data la tensione T , nel punto di contatto la corda
e il martelletto insieme soddisfano l'equazione
M∂2y
∂t2= T4(
∂y
∂x) (1.26)
mentre nel resto della corda continua ad essere soddisfatta l'equazione 1.4. La discon-
tinuità nell'inclinazione della corda 4( ∂y∂x
) è quindi responsabile della forza che spinge
indietro il martelletto. La deformazione della corda genera una forza che respinge il
martelletto, richiama la corda in posizione iniziale e si propaga. L'eq. 1.26 è soddisfatta
nel punto di contatto dalla velocità
v(t) = V e−t/τ , (1.27)
con τ = Mc/2T che de�nisce il tempo di decelerazione. Lo spostamento corrispondente
sarà
y(t) = V τ(1− e−t/τ ). (1.28)
Nel punto di contatto avremo uno spostamento pari a circa VMc/2T e velocità
approssimabile a zero. Se la corda fosse molto lunga, lo spostamento e la velocità nelle
11
Figura 1.3: Spostamento e velocità di una corda lunga negli istanti successivi dopo la
percussione di un martelletto duro avente velocità V (Fletcher, Rossing)
altre parti della corda si trovano sostituendo t − [(x− x0) /c] a t, come mostrato in
Figura 1.3.
1.5 Le vibrazioni di una corda rigida
La rigidità della corda gioca un ruolo fondamentale nell'accordatura delle corde del
pianoforte, come vedremo approfonditamente nei capitoli successivi.
Le onde in una corda ideale viaggiano senza dispersione, ovvero la velocità delle onde
è indipendente dalla frequenza. La causa di dispersione nella corda reale è la rigidità,
in più i meccanismi di dispersione nelle corde sono dipendenti dalla frequenza.
Figura 1.4: Gra�ci di ω in funzione di k per (a) una corda ideale e (b) una corda rigida
(Fletcher & Rossing)
In una corda ideale, ω e k sono legate dall'espressione ω = ck, così la velocità
dell'onda è uguale alla pendenza della retta ottenuta gra�cando ω in funzione di k,
come si vede nella �gura 1.4(a).
12
Nella corda reale, la forza di ripristino è parzialmente dovuta alla tensione applicata,
e parzialmente causata dalla rigidità della corda. L'equazione 1.4 del moto di una
corda �essibile può essere modi�cata aggiungendo un termine appropriato di rigidità di
�essione:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2− ESG2 ∂
4y
∂x4, (1.29)
con µ è la densità lineare, T la tensione, E il modulo di Young, S l'area della sezione
trasversale e G il raggio di girazione1. L'equazione di quarto ordine 1.29 ha quattro
soluzioni esponenziali dipendenti dalla frequenza. Possono essere scritte come combina-
zione lineare di due soluzioni indipendenti oscillanti (seno o coseno) più altre due non
oscillanti (seno iperpolico o coseno iperbolico). Questa equazione può essere semplice-
mente risolta trattando il caso di una corda a estremi entrambi incernierati2, che dà solo
funzioni circolari, con soluzioni del tipo sin nπxL.
Per trovare la dipendenza di ω da k per una corda rigida a estremi incernierati, si
risolve l'equazione 1.29:
y(x, t) = T (t)X(x) con T (t) = eiωt e X(x) = ekx
dove k può assumere valori reali o immaginari. Per k ∈ =, si arriva a:
−µω2 = Tk2 − ESG2k4 (1.30)
Si trova così la frequenza dei modi normali ωn, con kn = nπL
numero d'onda:
ω2n =
T
µk2n +
ESG2
µk4n =
=T
µ
n2π2
L2+ESG2
µ
n4π4
L4=
=T
µ
n2π2
L2[1 +
ESG2
T
n2π2
L2]. (1.31)
Quindi
ωn =
√T
µ
nπ
L
√1 +
ESG2
T
n2π2
L2'
' nω0[1 +ESG2
2T
n2π2
L2]. (1.32)
1Raggio di girazione G = 1S
∫µz2dz
2Oltre a entrambi gli estremi incernierati, in cui si ha X = Xxx = 0, le altre condizioni sono: estremi
incastrati (con X = Xx = 0), liberi (dove Xxx = Xxxx = 0) e le combinazioni delle tre. Il caso degli
estremi incernierati è il più semplice, perché l'unico risolvibile senza funzioni iperboliche.
13
Figura 1.5: Dipendenza di ωn da n, avendo considerato ω0 = 1 e ESG2
2Tπ2
L2 = 0, 0004.
Per l'ultimo termine dell'equazione 1.32 è stata fatta un'approssimazione al I ordine,
suppondendo che il coe�ciente di n2 sia molto piccolo. Il gra�co di ω in funzione di
k è rappresentato nella �gura 1.4(b), mentre quello di ω rispetto a n, nella �gura 1.5.
Il termine ω0 è la frequenza fondamentale della stessa corda senza rigidità, e appare
la dipendenza da n2, che allarga gli intervalli dei modi più alti. L'equzione 1.32 sarà
ripresa nel paragrafo 2.4 quando si tratterà l'irmonicità.
14
Capitolo 2
Aspetti �sici dei suoni prodotti da un
pianoforte
Le corde di un pianoforte hanno un ruolo centrale: convertono parte dell'energia cinetica
del martelletto in energia vibrazionale, che viene conservata nei modi normali di vibra-
zione, e trasferita alla tavola armonica (tramite ponticello) in modo da determinare la
qualità del suono dello strumento.
In questa sezione verranno analizzati gli aspetti �sici principali che si incontrano
durante l'accordatura di un pianoforte, trattando quindi i principi che governano la
produzione di un suono o più suoni di un pianoforte e cosa viene percepito.
2.1 Sovrapposizione di suoni di diversa frequenza: i
battimenti
Il fenomeno dei battimenti si veri�ca quando la di�erenza di frequenza tra due suoni è
molto piccola. Il risultato è la variazione di ampiezza dell'onda risultante, ad intervalli
temporali de�niti dalla di�erenza tra le due frequenze originarie, causata dai momenti
di interferenza costruttiva e distruttiva.
Prendiamo ad esempio due onde monocromatiche di frequenza f1 e f2, nel punto x
al tempo t, di uguale ampiezza y0:
y1(x, t) = y0 sin(k1x+ ω1t)
15
Figura 2.1: Sovrapposizione di onde di frequenze poco diverse tra loro, (a), crea il fenomeno
dei battimenti (b) (Frova)
y2(x, t) = y0 sin(k2x+ ω2t)
con k = 2π/λ numero d'onda e pulsazione ω = 2πf , rappresentate nella 2.1(a). La �gura
2.1(b) invece mostra la somma delle due onde, con ampiezza complessiva y = y1 + y2.
Quest'ampiezza sarà massima nei momenti in cui le due onde sono in fase, e nulla quando
sono in controfase. L'equazione dell'onda risultante è:
y = 2y0 cos[∆k
2x+
∆ω
2t] sin(kx+ ωt) (2.1)
Essendo piccola la di�erenza tra ω1e ω2, e tra k1e k2, si possono usare i valori medi
ω = (ω1 + ω2)/2 e k = (k1 + k2)/2 ; inoltre ∆ω = ω1 − ω2 e ∆k = k1 − k2.
L'equazione (2.1) è il prodotto di un'onda viaggiante di frequenza f e lunghezza
d'onda λ (onda portante) per un'onda modulante (inviluppo) che modula l'ampiezza
2y0 con una frequenza ∆f minore di f .
La percezione uditiva di questo fenomeno è di un suono di frequenza f con intensità
modulata rapidamente. Per di�erenze di frequenza pari a un tono (∆f ' 30 Hz a centro
tastiera), i battimenti non sono più udibili. L'accordatura assoluta di due strumenti si
ha eliminando i battimenti che si formano suonando la stessa nota contemporaneamente.
Si vedrà in seguito come questi non verranno azzerati completamente, perché la quantità
di battimenti è fondamentale nella scala della gradevolezza di due (o più) suoni prodotti
contemporaneamente, e importante per la durata del suono (paragrafo 3.1).
16
2.2 Spettro armonico e timbro
Figura 2.2: Contenuti spettrali schematizzati (in dB), dei sette Do del pianoforte.
Osservazione di un piccolo intervallo nella fase di decadimento del suono (Frova)
Lo spettro delle note prodotte da un pianoforte è ricco di armonici. Questa quantità
è determinata sia dal modo in cui il martelletto percuote la corda (sarà descritto nel
paragrafo successivo) che dalla frequenza della nota: aumentando l'altezza il numero di
armonici di ampiezza non trascurabile diminuisce, come si vede nella �gura 2.2. Nei toni
bassi ci sono armonici �no a 3000 Hz, mentre per le ottave acute arrivano oltre i 10000
Hz. Essendo la nota più alta a 4186 Hz (Do8), solo una o due parziali saranno udibili.
Gli armonici delle corde acute decrescono più rapidamente perché essendo corte c'è una
deformazione maggiore della corda e la curvatura è maggiore; la lunghezza d'onda è
corta e vibrando si disperde molta energia. La stessa cosa vale per i modi superiori delle
corde medie. Se non ci fosse rigidità, la curvatura sarebbe irrilevante sulla dissipazione
di energia all'interno della corda. L'accoppiamento tra corda e aria avviene attraverso la
tavola armonica: essendo nei toni bassi la lunghezza d'onda paragonabile alle dimensioni
della tavola, c'è più di�coltà di accoppiamento. Questo porta all'abbondante presenza
di armoniche nelle note di bassa frequenza del pianoforte. Come si vede dalla �gura
2.2, nel Do1 e nel Do3, gli armonici successivi sono più intensi del tono fondamentale,
ma si crea il fenomeno del �missing fundamental�: l'orecchio percepisce lo stesso il tono
fondamentale attraverso il contributo non lineare degli altri armonici.
Il timbro del pianoforte non è caratterizzato solo da quanti e quali armonici sono
17
sollecitati, ma gioca un ruolo fondamentale il transiente d'attacco: è particolarmente
rapido, ricco di armonici e anche il minimo rumore del martelletto dà il suo contributo.
Se ascoltassimo sotto inversione temporale la registrazione di un brano per pianoforte,
sarebbe di�cile riconoscerne il timbro e rendersi conto che si tratta proprio di quello
strumento.
Figura 2.3: Curve dell'attacco e della coda per le parziali 1,2,3,4,5,10,15,20 e 25 di Do1 di un
gran coda (Fletcher & Rossing)
Curva di attacco e decadimento di 9 armoniche di Do1 (32,7 Hz) sono mostrati nella
�gura 2.3. E' evidente come lo spettro di questo tono cambi nel tempo, anche se non si
sentono particolari di�erenze del suono prodotto.
2.3 Il martelletto sulla corda
Nell'attivazione istantanea dei modi tramite il colpo del martelletto sulla corda, è im-
portante considerare il fattore β = a/L (in cui L è la lunghezza totale della corda e a il
punto in cui viene percossa la corda), e come già detto, la massa del martelletto e quella
della corda.
Quando la corda è molto lunga (o il martelletto molto leggero), il martelletto colpisce
la corda e si ferma. Con una corda di lunghezza �nita, gli impulsi ri�essi tornano da
entrambi gli estremi della corda, e interagiscono con il martelletto in movimento in
modo abbastanza complicato: c'è quindi un' interferenza tra impulsi e martelletto che
allontana il martelletto dalla corda, mentre la corda vibra nei suoi modi normali.
18
La �gura(2.4)(a) mostra come per un martelletto molto leggero, di massa M molto
minore della massa della corda Mc, lo spettro ha uno zero nei punti in cui gli armonici
sono multipli di 1/β (dove la corda è percossa in una frazione β della sua lunghezza),
e non decresce con la frequenza. Se invece la massa del martelletto è piccola ma non
trascurabile rispetto alla massa della corda, lo spettro decresce come 1/n rispetto a un
modo dato da nm = 0.73Mc/M , come mostrato in Figura(2.4)(b).
Figura 2.4: Spettro di una corda percossa nella frazione β della sua lunghezza: (a) massa
martelletto M � massa corda Mc;(b) M = 0.4βMc(Hall).
Il suono dello strumento varia anche con la forma e la durezza del martelletto. Se
la parte di contatto tra martelletto e corda è troppo estesa c'è uno smorzamento delle
frequenze acute, quindi se si vuole un suono più brillante è bene avere un martelletto
più appuntito1. Anche con un martelletto solo si può avere variazione di suono se viene
suonato forte o piano. Nel primo caso il feltro viene schiacciato diventando tempora-
neamente duro: saranno così prevalenti le armoniche acute. Nel secondo caso il suono
risulterà più dolce, in quanto saranno generate più facilmente le armoniche basse.
Askenfelt e Jansson hanno studiato l'e�etto della massa del martelletto dall'eccita-
zione della corda Do4 con tre martelletti: un martelletto pesante dei bassi, uno leggero
degli acuti, e l'originale. Hanno ottenuto un tempo di contatto più lungo del normale
per il martelletto dei bassi, e un tempo più breve per quello più leggero, come si aspetta-
vano. Sebbene le forme delle vibrazioni della corda non sembrino molto diverse per i tre
1Uno dei comptiti più importanti del tecnico accordatore è il lavoro dell'intonazione. Con questa
operazione si interviene sulla rigidità del martelletto, renendolo elastico a seconda delle necessità dello
strumento e del pianista.
19
martelletti, il suono prodotto è molto di�erente. Quello leggero, per esempio, produce
un suono simile a quello di un clavicembalo.
Nel caso di massa del martelletto inferiore a quella della corda, il martelletto vie-
ne immediatamente respinto. Si creerà una libera oscillazione nel punto di contatto,
evitando quindi l'attivazione di modi che presentano un nodo in quel punto.
Se si prende invece un martelletto più pesante, il tempo di contatto con la corda sarà
più lungo: il martelletto resterà a contatto con la corda durante l'arrivo dei due impulsi
ri�essi. In questo modo è più di�cile fare previsioni teoriche sull'attivazione dei modi.
2.3.1 Tempo di contatto martelletto-corda
Figura 2.5: Spostamento della corda in funzione del tempo per una nota bassa (Do2), una del
registro medio (Do4), e una acuta (Do7). Il periodo è indicato con T e il tempo di contatto
martelletto-corda con tc (Askenfelt & Jansson).
Askenefelt e Jansson hanno misurato il tempo di contatto martelletto-corda per
diverse note su un pianoforte a coda, e la velocità della corda, che si può ricavare
integrando lo spostamento. I risultati sono mostrati nella �gura 2.5. Lo spostamento
della forma d'onda cambia a seconda della frequenza. Per Do2 ci sono due impulsi
20
seguiti da un lungo periodo di approssimazione allo zero. Per Do4 questo periodo è più
corto, mentre per Do7, non ce n'è proprio.
Si vede quindi la di�erenza tra una funzione periodica con dei picchi distribuiti nel
tempo e di una funzione formata da oscillazioni. Facendo la trasformata di Fourier delle
funzioni della �gura 2.5, Do2 risulterà infatti molto più ricco di armonici rispetto al
Do7, in accordo con la �gura 2.2. Il tempo di contatto riferito al periodo fa in modo che
la deformazione della corda (e quindi il suo spettro armonico) sia concentrata in una
regione piccola della corda stessa (Do2), oppure conivolge tutta la corda (Do7).
Avendo ripercussioni sullo spettro armonico, si trova quindi che anche il tempo di
contatto del martelletto ha il suo ruolo nella determinazione del timbro. Si potrebbero
allora creare martelletti di grandezze tali da rendere minimo il tempo di contatto anche
negli acuti. Ma trovare stratagemmi del genere risulterà inutile, in quanto gli armonici
acuti di note alte avrebbero frequenze oltre i 18000 Hz, e sarebbero comunque non udibili
dall'orecchio umano.
Figura 2.6: Tempo di contatto martelletto-corda come percentuale di mezzo periodo per
diverse note di un pianoforte a coda (Askenfelt & Jansson).
Il tempo di contatto martelletto-corda tc varia da 1 ms per Do7 a 4 ms per Do2:
per la nota più bassa è solo il 20% del periodo della nota stessa, che è troppo corto per
più e�cienti eccitazioni di questa nota. Allo stesso modo il tempo di contatto per Do7,
che è quasi uguale al suo periodo, è troppo lungo per un'e�ciente eccitazione. Do4,
con tc = T/2, sarà e�cientemente eccitato. La �gura 2.6 dà il tempo di contatto come
percentuale del periodo per ogni Do di un pianoforte a coda. Inoltre colpendo la corda
con grande forza aumenta la velocità della corda e diminuisce il tempo di contatto.
21
2.3.2 Punto di contatto martelletto-corda
Il punto di eccitazione della corda ha un ruolo fondamentale per quanto riguarda il tipo
di suono dello strumento. Il punto ottimale di percussione della corda di un pianoforte
è tra 1/7 e 1/9 della lunghezza L della corda: il settimo (per un Do è Si[) e il nono
armonico (per Do è Re) verranno così inibiti, in quanto considerati non consonanti
con gli altri gradi. La scelta di avere β tra 1/7 e 1/9 per il punto di percussione è
un compromesso per le diverse esigenze delle varie parti della tastiera. La corda verrà
colpita in modo tale che β = 1/8, smorzando, nel caso di Do, un altro Do e tenendo
piccole le ampiezze del settimo e del nono armonico. Si è visto che il tempo di contatto
Figura 2.7: Primi n = 7 modi di vibrazione di una corda di lunghezza 1/8L, 7/8L.
del martelletto al momento della percussione è non nullo, e �nché il martelletto è in
contatto si generano due fondamentali: una sulla parte più lunga della corda e una sulla
parte corta. Si veda il caso di una corda di Do3 (f0=262 Hz) colpita ad 1/8 di L. I modi
che si formano sono rappresentati nella �gura 2.7, aventi le frequenze della tabella 2.8.
Figura 2.8: Frequenze degli n modi di vibrazione di una corda di lunghezza 1/8L, 7/8L e L,
se a L la frequenza f0 è 262 Hz.
22
La parte di corda più corta presenta frequenze multiple di f0, che in base alle curve
isofoniche (�gura 2.9) sono le più facili da percepire. Nei restanti 7/8 la frequenza è
leggermente più alta di quella del Do3, corrisponde infatti a un Re3 molto crescente.
Questa dissonanza durerà per il tempo di contatto del martelletto (poco più di 2 ms).
Al momento del distacco del martelletto la corda inizia a vibrare con i modi della sua
lunghezza intera L, con ampiezze e fasi determinate dalla con�gurazione di posizione
e velocità al momento del distacco (quindi dai modi precedenti). Il distacco però non
avviene istantaneamente a causa dell'elasticità del martelletto (fatto di feltro), quindi
questa è solo un'approssimazione.
Figura 2.9: Curve isofoniche di Fletcher e Munson. Indicano l'intensità sonora per cui tutte
le frequenze sono udibili allo stesso modo.(Fletcher & Munson)
Potrebbe mettersi in vibrazione anche la parte di corda tra la caviglia e il capotasto:
a meno che questa non vibri con gli stessi modi della corda vibrante (ovvero quando
le due lunghezze hanno rapporto intero, come nel caso appena visto), viene inibita con
delle strisce di feltro2, lo si può vedere nella �gura 2.13, a �ne capitolo.
2in alcuni pianoforti, negli acuti la parte di corda tra caviglia e capotasto è lunga come la parte di
corda vibrante: lasciandola libera si ha un'ampli�cazione del volume.
23
2.4 L'inarmonicità
Ipotizziamo la velocità del suono sulla corda indipendente dalla frequenza. Si è de�nita
nel paragrafo 1 la velocità dell'onda c2 = T/µ (con densità lineare µ(Kg/m) e tensione
T (Newton)) che combinata con l'equazione (1.10) dà il risultato
fn =c
λn=nc
2L=
n
2L
√T
µ(2.2)
Questa è solo un'approssimazione: in realtà la velocità del suono cambia con la
frequenza, perchè più è corto il passo dell'onda e maggiore sarà la deformazione della
corda. Si crea quindi un fenomeno di dispersione della velocità del suono che porta gli
ipertoni delle note del pianoforte a non essere multipli esatti del tono fondamentale:
inarmonicità degli ipertoni.
Considerando il rapporto di lunghezza tra due corde a distanza di un'ottava uguale
a 2, tra il Do1 (il più grave) e il Do8 (il più acuto), il rapporto sarà 27. In uno Steinway
a coda modello A, il Do8 è lungo 5 cm, e moltiplicando per 27, il Do1 dovrebbe essere
lungo 6,4 m!3 Quindi il rapporto tra la lunghezza delle corde a distanza di ottava è molto
minore di 2, e non è costante. Inoltre il diametro aumenta leggermente diminuendo la
frequenza, e la tensione aumenta. Per minimizzare i battimenti tra le corde acute e
gli armonici delle corde basse, gli intervalli di ottava saranno allargate di un rapporto
maggiore di 2:1, come si vedrà approfonditamente nel paragrafo 3.2.
Il problema dell'accoppiamento corda-ponticello-tavola armonica crea una forte dissi-
pazione d'energia, che porta alla necessità di avere un'elevata densità di energia acustica
già nella corda. Si richiede che la corda possa sostenere grandi tensioni, quindi avere un
grande diametro, ma la rigidità piccola. Inoltre la tensione deve essere più omogenea
possibile tra le corde, altrimenti il telaio rischia di deformarsi (per questo motivo ora
sono costruiti in ghisa, mentre prima erano in legno).
La soluzione per i bassi si trova utilizzando una corda interna (coro) di diametro non
maggiore di 1 mm, aumentandone la massa aggiungendo un'avvolgimento con uno o
due �li di rame, in modo da minimizzare la rigidità della corda, e quindi l'inarmonicità.
Lo spessore del �lo di rame può variare dal doppio (corda più grave), a un quarto del
diametro della corda interna (ultima corda avvolta). Per gli acuti avere tre corde per la
3La lunghezza del Do1 dello Steinway a coda modello A è invece di 1,4m.
24
stessa nota fa guadagnare in potenza e diminuisce l'inarmonicità. Mentre per gli acuti
l'inarmonicità ha lo stesso e�etto nei tipi diversi di piano, per i bassi è molto più evidente
nei pianoforti verticali rispetto a quelli a coda, perchè essendo le corde più corte, sono
anche più spesse.
Si riprende l'equazione 1.32:
ωn = nω0[1 +ESG2
2T
n2π2
L2] =
= nω0[1 + n2B]. (2.3)
dove B è la costante inarmonica, ed è data da
B =ESG2
2T
π2
L2=π3r4E
8L2T(2.4)
con S=sezione, r=raggio, E=modulo di Young, L=lunghezza e T=tensione. Per una
corda a sezione circolare, il raggio di girazione G = r/2.
Figura 2.10: Dipendenza dell'inarmonicità dal quadrato del numero di modo per cinque corde
di un gran coda. Tutte le rette partono da 1, sono state traslate per poterle distinguere.
(Fletcher & Rossing)
Le inarmonicità di cinque corde di un gran coda sono mostrate in �gura 2.10, dove
si vede la dipendenza dell'inarmonicità da n2 in tutti i casi.
La �gura 2.11 mostra come l'inarmonicità e la tensione variano con la nota (rap-
presentata dal numero di tasto) usando una scala di alta tensione o bassa tensione. La
25
Figura 2.11: Variazione di tensione e inarmonicità in funzione del numero di nota N. (Fletcher
& Rossing)
tensione diminuisce andando dalla singola corda per nota a due corde per nota (bicordo)
�no a tre corde per nota (tricordo).
L'e�etto dell'inarmonicità (come si vedrà nel capitolo successivo) ha grandi riper-
cussioni sull'accordatura in temperamento equabile, il tipo di accordatura normalmente
usato.
Figura 2.12: Corda con singolo avvolgimento (a) e con doppio avvolgimento (b). (Fletcher &
Rossing)
Riferendoci alla �gura 2.12 il �sico Sanderson ci dà le formule della costante inar-
26
monica per il primo e per il secondo avvolgimento:
singolo avvolgimento B = Bcoro +Bestremo1 +Bestremo2 (2.5)
dove
Bestremo = 0, 287(D2
2 − d2
D22 + 0, 12d2
)(4 sin4πL1
Ls− sin
16πL1
Ls)
doppio avvolgimento B = Bcoro +Bestremo1 +Bestremo2 +Bpasso1 +Bpasso2
dove Bestremo è lo stesso per il singolo avvolgimento, e
Bpasso = 0, 287(D2
2 −D21
D22 + 0, 12d2
)(4 sin4π(L1 + L2)
Ls− sin
16π(L1 + L2)
Ls−
−4 sin4πL1
Ls+ sin
16πL1
Ls). (2.6)
Si possono così scegliere i diametri delle corde delle singole note del pianoforte.
Figura 2.13: Corde delle prime 18 note di un pianoforte a coda Steinway modello A. Le prime
8 sono singole, le altre 10 doppie, tutte con singolo avvolgimento.
27
Capitolo 3
Accordatura
3.1 Corde doppie e triple
Nelle corde viene immagazzinata la maggior parte dell'energia vibrazionale del piano-
forte. Il decadimento del suono è principalmente determinato da quanto rapidamente
l'energia viene rilasciata dalle corde alla tavola armonica, tramite l'accoppiamento tra
corda, ponticello e tavola armonica. L'impedenza meccanica della tavola armonica, che
varia con la posizione e le frequenze, è sempre maggiore dell'impedenza delle corde,
di solito il rapporto è 200:1. Quindi l'energia di vibrazione viene trasferita piuttosto
lentamente dalle corde alla tavola armonica.
Un modo per incrementare l'accoppiamento tra corde e tavola armonica è di au-
mentare il diametro (e quindi la massa) delle corde, ma si favorirebbe l'inarmonicità
(paragrafo 2.4). Tale soluzione si può applicare alle corde dei bassi, invece nel registro
medio e alto, la soluzione è di avere corde multiple per ogni nota.
Quando il martello colpisce un tricordo (set di tre corde all'unisono), mette in vibra-
zione le tre corde con la stessa fase. In questo modo si esercitano tutte forze verticali
con la stessa fase anche sul ponticello, l'energia è trasferita con un'ampiezza tripla, e
l'assorbimento di energia è massimo; il tempo di trasferimento dell'energia alla tavola
armonica sarebbe breve e il decadimento del suono rapido.
Un accordatore deve bilanciare sia il suono iniziale che la sua coda accordando gli
unisoni. L'accordatura viene fatta con piccole di�erenze in frequenza: il martelletto per-
cuote le corde, che inizieranno a vibrare in fase, e gradualmente le vibrazioni andranno
28
Figura 3.1: Passaggio dalle note con bicordi (l'ultima è la 24a, La2), alle note con tricordi, in
un pianoforte a coda Steinway modello A.
fuori fase. La coda del suono si sviluppa così molto lentamente, in quanto il tempo che
impiegheranno gli unisoni a perdere la coerenza di fase sarà più lungo. La risultante sul
ponticello diminuirà, e l'impedenza di trasferimento alla tavola sarà maggiore.
Il passaggio dalla vibrazione in fase alla vibrazione controfase degli unisoni porterà
ad avere due tempi di decadimento: uno iniziale più rapido, e uno secondario più lungo.
Durante il passaggio tra i due decadimenti c'è un lieve cambiamento timbrico. Dalla
�gura 3.2 si vede il cambiamento di pendenza dei due smorzamenti: il primo diminuirà
di circa 18 dB al secondo, il secondo sarà molto lento (circa 3 dB al secondo). (Le
oscillazioni nella �gura sono causate sia dai lievi battimenti creati dalle di�erenze di
fase, sia dalle rotazioni del piano di vibrazione delle corde.)
Un'altra causa del dislivello è il cambiamento della direzione di vibrazione da per-
pendicolare a parallelo rispetto alla tavola armonica. Quando il martelletto percuote la
corda, questa inizia a vibrare perpendicolarmente alla tavola armonica, ma a causa delle
spirali avvolgenti e l'estremo incastrato al ponticello, la polarizzazione cambia nel corso
del tempo e le vibrazioni saranno parallele alla tavola armonica.
Ciò dimostra l'importanza del transiente d'attacco per la determinazione del timbro
29
Figura 3.2: Curva di decaimento per il Do4 centrale di un pianoforte gran coda. Il doppio
tempo di decadimento non si veri�ca nella parte alta della tastiera. (Frova)
del pianoforte (come detto nel paragrafo 2.2). Per questo il tecnico regolerà l'accordatura
nei primissimi secondi successivi alla percussione delle corde. Il risultato della regola-
zione si ripercuote anche sulla coda del suono, meno caratterizzante, ma importante
anch'essa per la voce dello strumento.
3.2 Soluzione all'inarmonicità
L'e�etto di inarmonicità è uguale in quasi tutti i pianoforti per le note acute, mentre nel
registro grave è diverso a seconda del tipo di pianoforte. Inoltre si sa che se il rapporto
di frequenza tra due ottave è maggiore di 2 suona meglio.
Ci sono due ragioni per cui si preferisce l'ottava �allargata�, una �sica e una psicolo-
gica.
3.2.1 Ottava �allargata�: motivo �sico
Il motivo �sico è legato all'inarmonicità degli ipertoni (paragrafo 2.4): l'accordatura
dell'ottava si ottiene cercando di annullare i battimenti tra il primo ipertono di un Do
e la stessa nota un'ottava sopra, e i relativi armonici. Dall'equazione 2.3 si vede che
fn > nf 01 , e si possono confrontare due Do:
• Do3: f0=131 Hz, coef. di inarmonicità BDo3= 0.0002, modi m;
30
• Do4: 2f0=262 Hz, coef. di inarmonicità BDo4= 0.0005, modi n;
fDo3m = mf0(1 +m2BDo3),
fDo4n = n2f0(1 + n2BDo4). (3.1)
Figura 3.3: Tabella con le frequenze dei primi dieci armonici di Do3 (m) e dei primi cinque
armonici di Do4 (n).
I risultati del'equazione 3.1 sono mostrati in tabella 3.3. Gli armonici di Do4 sono
leggermente calanti rispetto ai corrispettivi di Do3, quindi si allargherà leggermente.
Sostituendo per Do4 la frequenza 2f0 con fDo32 (uguagliando cioè la frequenza fonda-
mentale di Do4, alla frequenza del primo armonico di Do3), ci sarà ugualmente, anche se
minore, di�erenza in frequenza tra fDo34 e fDo42 (che viene 525,47 Hz). Allargando l'ot-
tava si raggiunge un buon equilibrio, ma i battimenti non saranno mai completamente
eliminati.
3.2.2 Ottava �allargata�: motivo psicoacustico
La ragione psicoacustica è dimostrata da esperimenti che hanno mostrato come due ot-
tave (suonate sia contemporaneamente che una dopo l'altra) risultano migliori quando
il rapporto tra le frequenze è maggiore di 2 di circa 10 cents (0,6%). Facendo senti-
re una melodia suonata nel registro alto con accompagnamento di diverse ottave più
basso, molti ascoltatori hanno trovato la melodia più intonata quando l'intonazione era
allargata di addirittura un semitono (bassi in Do, melodia in Do] ).
Entra in gioco il concetto di relatività acustica: c'è molta di�erenza tra la percezione
dei suoni e la loro reale frequenza. Basandosi su esperimenti che provano che tra perce-
zione psico�siologica e attributo �sico non c'è corrispondenza lineare, è stato creato un
gra�co dell'altezza soggettiva in funzione della sua reale frequenza. L'unità di misura
è il mel. Dalla �gura 3.4 si vede che tra i 20 e 50 Hz e nelle note acute c'è maggiore
compressione.
31
Figura 3.4: Altezza del suono soggettivamente percepita (in mel) in funzione della sua reale
frequenza. Nel riquadro il gra�co da 20 a 200 Hz è ampliato di 4volte. (Frova)
I diversi tipi di inarmonicità, soprattutto nelle corde basse dei pianoforti verticali,
sono un bel compito per l'accordatore. Di solito le fondamentali delle note gravi sono
deboli e non contribuiscono molto all'altezza della nota. Le note più acute, d'altra
parte, durano così poco che i battimenti tra le parziali non sono un valido metro per
l'accordatura. L'accordatore quindi deve basarsi sul suo giudizio per l'altezza del suono
e gli intervalli.
3.3 Temperamento equabile e la sua accordatura
3.3.1 Cenni ai vari temperamenti
Nel paragrafo 1 si è accennato al monocordo pitagorico. La scala pitagorica si basa sulla
consonanza che hanno i rapporti razionali della divisione in due segmenti di una corda
�ssata ai due estremi, soprattutto quello del'intervallo di ottava (2:1), e quello di quinta
(3:2), trascurando la consonanza dell'intervallo di terza. Con l'intervallo di quinta, è
possibile arrivare alle note della scala cromatica costruendo quello che si chiama circolo
delle quinte, ottenuto moltiplicando la frequenza di una nota per 3/2.
Nella scala pitagorica il tono intero ha valore 9/8 (204 cent), ma presenta due diversi
semitoni, uno diatonico (90 cent) e uno cromatico (114 cent). Il rapporto tra i due
32
Figura 3.5: Circolo delle quinte. Il circolo esterno sale per quinte perfette, �no ad ottenere
tutti i 12 semitoni cromatici; nel circolo interno le quinte perfette scendono. (Frova)
semitoni è 1,0678/1,0532=1,0136, corrispondente a 23,5 cent (spesso arrotondato a 24
cent), ed è chiamato comma pitagorico. Ma il circolo delle quinte non si chiude, infatti
12 quinte eccedono 7 ottave di 24 cent, proprio il comma pitagorico.
La scala naturale (o scala Zarliniana)1 si fonda sull'accordo Do−Mi−Sol, composto
da una terza maggiore (rapporto 5/4) e una terza minore (rapporto 6/5). Ci sono due
di�erenti semitoni: quello diatonico (71 cent) e quello cromatico (112 cent); anche per
l'intervallo di tono ci sono due distanze diverse: il tono grande, tra ilDo e il Re (rapporto
9/8, 204 cent) e il tono piccolo, tra il Re e il Mi (rapporto 10/9, 182 cent).
Il temperamento mesotonico (XV secolo), detto anche temperamento a tono medio,
distribuisce il comma sintonico2 distribuendolo tra i vari intervalli della scala. Viene
così elimintata la di�erenza tra il tono grande e il tono piccolo della scala naturale,
diventando entrambi di 193 cent. La terza maggiore resterà di 386 cent, molto più
consonante della terza maggiore pitagorica. I cinque toni hanno la stessa distanza, come
i due semitoni, ma due semitoni sommati eccedono un tono: questo crea dei problemi
nei cambiamenti di tonalità. L'intervallo di quinta vale 696,5 cent, quindi il circolo delle
quinte non si chiuderà per 41 cent. Questo comma porta a degli intervalli ululanti a
causa delle dissonanze, che vengono chiamati intervalli del lupo.
1dal nome di Giose�o Zarlino (1517-1590), compositore e tecnico musicale italiano.2Di�erenza di cent tra la terza maggiore nella scala naturale (386 cent) e nella scala pitagorica (408
cent), corrispondente a 22 cent.
33
Il temperamento Salinas (Francisco Salinas, 1513-1590) presenta quinte uguali, ma
calanti di 7 cent rispetto alla giusta intonazione, quindi intervalli di quarta crescenti e
terza maggiori calanti di 7 cent anche loro. I 7 cent corrispondono a 1/3 del comma
sintonico, per questo viene chiamato anche temperamento a 1/3 di comma.
Il temperamento Werckmeister III (�ne 1600) è (come vedremo anche per il tem-
peramento equabile) un temperamento circolare, ovvero il circolo delle quinte viene
perfettamente chiuso. Le quinte sono perfette tranne quattro, che includono il comma
pitagorico diviso in 6 cent ciascuna. Le terze risulteranno di conseguenza allungate, ma
di valori diversi: 4, 10, 16 o 22 cent. Se l'eccedenza è di 22 cent, si ha lo stesso intervallo
di terza maggiore della scala pitagorica (408 cent).
3.3.2 Temperamento equabile
Il temperamento equabile era in uso già ai tempi di J. S. Bach, ma fu pubblicato solo nel
1691, da Andreas Werckmeister (lo stesso che ha inventato altri temperamenti, come
visto prima) nel testo Musikalische Temperatur. In questo temperamento, l' ottava (di
1200 cent) viene divisa in 12 intervalli uguali. Tutti i semitoni saranno larghi 100 cent
e i toni 200 cent. Ciò permette di spostarsi da una tonalità all'altra senza problemi.
Il rapporto di ottava sarà uguale a 2. I cent per intervallo si calcolano facendo la
proporzione:
Numero di cent/1200 = logR/log2 (3.2)
dove R è il rapporto delle frequenze. Questo rapporto per il semitono temperato, si
calcola considerando un Do uguale a 1, e il Do′ successivo uguale a 2. Do′ deve anche
valere R12, quindi si ha
R =12√
2 = 1, 05946 (3.3)
. Le frequenze in Hz si ottengono facendo
fj = f2j/12 (3.4)
con f la frequenza nota, j il semitono da voler considerare, e fj la sua frequenza3.
Rispetto alla scala naturale, l'intervallo di quarta e di quinta sono uguali, mentre l'in-
tervallo di terza maggiore sarà crescente di 14 cent, e quello di terza minore calante di
3per esempio: se Do3 = 130, 8 Hz, e vogliamo sapere quanto varrà il La3 (il 9◦ semitono), l'equazione
34
16 cent. Nel temperamento equabile, il circolo delle quinte si chiude, infatti 12 quinte
corrispondono esattamente a 7 ottave.
3.3.3 Accordatura di un pianoforte in scala temperata
Si �ssa una frequenza di riferimento, di solito il La3 fondamentale a 440 Hz, eliminando
i battimenti tra la fondamentale di questa nota e il diapason. Si inizia a lavorare
dallo scompartimento centrale ed esistono diverse modalità di accordatura, per esempio,
l'accordatura Steinway inizia da La3 e arriva a Mi4, procedendo per intervalli di quarta
ascendente e quinta discendente, facendo i relativi controlli con gli intervalli di terza e
sesta.
Come si è visto nel paragrafo 3.1, per assicurarsi un mantenimento del suono e la
gradevolezza dell'intervallo, i battimenti non dovranno essere completamente annullati,
e gli intervalli della stessa specie (per esempio tutti gli intervalli di quarta) devono
suonare allo stesso modo, e avere gli stessi battimenti.
Una volta accordato lo scompartimento centrale, si continua andando prima verso
le note gravi. Si controllano le ottave con lo scomparto centrale, e poi si scende con
intervalli di decima, dicassettesima e ventiquattresima, facendo dove possibile tutti i
controlli. Lo stesso si fa per gli acuti, salendo con gli stessi intervalli, ponendo le dovute
attenzioni alle correzioni dell'inarmonicità.
Queste correzioni porteranno alla curva di Railsback, che mostra la deviazione rispet-
to al temperamento equabile riportata in �gura 3.6. Sulla linea dello zero orizzontale
c'è la perfetta armonicità, per i bassi c'è una deviazione di quasi -40 cent, mentre per
gli alti arriva �no a 30 cent.
sarà:
f9 = 131 Hz 29/12 = 220Hz (3.5)
.
35
Figura 3.6: Curva di Railsback: compensazione teorica della disarmonicità della cordiera di
un pianoforte da concerto mediante la fusione degli armonici parziali coincidenti. (Fletcher &
Rossing)
36
Conclusioni
La trattazione della corda rigida fa capire le di�coltà che ci sono quando si ha a che fare
con gli strumenti musicali a corde. Si è visto infatti quanto la conseguente inarmonicità
ha un'importanza fondamentale nella preparazione di un pianoforte. Sono stati costruiti
strumenti elettronici di uso comune per poter accordare che in genere vanno bene per una
chitarra o un violino. Per strumenti con frequenze estese come il pianoforte (o l'organo)
o con frequenze basse come il contrabbasso, già non sono più della giusta sensibilità.
Esistono accordatori elettronici in grado di compensare l'inarmonicità, altri in cui la
compensazione può essere programmata personalmente. I risultati ottenuti lavorando
con l'abilità umana però, sono sempre migliori, soprattutto dovendo far fronte alle varie
situazioni in cui l'accordatura deve essere fatta (tipo di pianoforte, luogo in cui deve
suonare, il repertorio, etc.).
La regolazione del timbro invece è a�data totalmente al tecnico accordatore. La
grandezza del martelletto e il punto di contatto vengono stabiliti in fabbrica, ma quan-
do per esempio lo strumento deve essere preparato per un concerto, o rimesso a posto,
l'intervento umano è fondamentale. Tramite la regolazione della meccanica (struttura
di leve che permette al martelletto di muoversi abbasando il tasto) si gestice la velocità
e la potenza del colpo del martelletto. Un'altra operazione importante è quella dell'in-
tonazione: l' apposito strumento dotato di tre aghi (intonatore) consente di modi�care
l'elasticità del martelletto. Si può così cambiare il modo di percussione della corda a
seconda delle esigenze timbriche. È stato esaminato il modo di variare il timbro anche
tramite l'operazione di accordatura: regolando gli unisoni con leggeri battimenti si ha il
suono caratteristico del pianoforte nel transiente d'attacco, e la possibilità di rallentare
la caduta del suono nella sua coda.
In questa dissertazione sono stati trattati gli aspetti �sici che spiegano il perchè e il
37
come vengano usate determinate tecniche per permettere ad un pianoforte di suonare
al meglio. Il tecnico accordatore però non è uno scienziato! Il suo lavoro è basato
sulla sensibilità, cercando compromessi tra esigenze del momento, regolazioni standard,
gusto personale, e ovviamente esperienza. La �sica aiuta tanto nella comprensione e nel
miglioramento delle tecniche, ma il ruolo umano resta sempre basilare.
38
Bibliogra�a
[Askenfelt,Jansson] A. Askenfelt, E. Jansson Piano Touch, Hammer Action and String
Motion, Royal Swedish Academy of Music, Stockholm 1985.
[Camiz] P. Camiz, Acustica Musicale, Dispense, 1999.
[Fletcher,Munson] N. H. Fletcher W. A. Munson, Loudness, De�nition, Measurement
and Calculation, Journal of the Acustical Society of America, 1956.
[Fletcher,Rossing] N. H. Fletcher, T. D. Rossing The Physics of Musical Instruments,
Springer-Verlag, 1991.
[Frova] A. Frova Fisica nella Musica, Zanichelli, 1999.
[Hall] D. E. Hall, Piano String Excitation in the Case of Small Hammer
Mass, J.Acoust. Soc. Am., 1986.
[Rossing] T. D. Rossing, The Science of Sound, Addison-Wesley, 1990.
[Sanderson] A. Sanderson, Piano Technoloy Topics: 5 Piano Scaling Formulas,
Inventronics, Chelmsford, Massachussetts, 1983.
39
Top Related