TUGAS 3

KL3200 GELOMBANG ACAK

PROGRAM STUDI TEKNIK KELAUTAN

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2016

Nama : Layli Rahmania Yuwono

NIM : 15513054

Dosen : Andojo Wurjanto, Ph.D

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 2

Nomor 1

a) Tabel 1 Kondisi Gelombang Tugas‐03 KL‐3200

No Hs (m) Ts (s)

I 0.468 8

II 0.734 5

Tabel 2 Spektrum Gelombang Tugas‐03 KL‐3200

No Spektrum Persamaan

A Bretschneider-Mitsuyasu (BM)

𝑆(𝑓) = 0,257 𝐻13

2𝑇13

−4𝑓−5exp {−1,03 (𝑇13𝑓)−4

}

B Ochi 𝑆(𝑓) = 4,5𝐻𝑠

2𝑓𝑝4𝑔2

(2𝜋)4𝑓5exp {−1,25(

𝑓𝑝𝑓)

4

}(9,5𝐻𝑠0.38𝑓𝑝)

exp ((𝑇𝑝𝑓−1)

2

2𝜎2)

b) Grafik Empat Spektrum Gelombang yang Terbentuk dari Permutasi Tabel 1 dan Tabel 2

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Grafik Empat Spektrum Gelombang

IA

IIA

IB

IIB

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 3

Nomor 2

Algoritma untuk menciptakan seri waktu EMA dari dari Spektrum Gelombang

Diketahui :

Δt = 0.5 detik

Panjang seri waktu (Tsw) = 4.000 deti

1. Spesifikasi Spektrum Gelombang yang diketahui

Interval frekuensi dalam sumbu frekuensi ∆𝑓

Mulai

Diketahui Spektrum Gelombang dengan

spesifikasi : Hs Tsw fp fnyq

∆f

Bedah Spektrum Gelombang

𝑓𝑘 = 1/𝑇𝑘

Tentukan frekuensi yang sedang ditinjau (fk)

𝑎𝑘 = 2𝑓𝑘𝑆𝑘

Tentukan amplitudo yang sedang ditinjau (ak)

Tentukan beda fasa (ɸk)

𝜂𝑘 = 𝑎𝑘 cos(2𝜋

𝑇𝑘𝑡 + 𝜙𝑘)

Bentuk Persamaan Gerak Harmonik

𝐾 = 𝑓𝑛𝑦𝑞/Δ𝑓

𝜂(𝑡) = 𝑎𝑘 cos(2𝜋

𝑇𝑘𝑡 + 𝜙𝑘)

𝐾

𝑘=1

Seri Waktu E.M.A

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 4

∆𝑓 = 1

𝑇𝑠𝑤=1

4000= 0,00025 𝐻𝑧

Nilai frekuensi Nyquist 𝑓𝑛𝑦𝑞

𝑓𝑛𝑦𝑞 = 1

2Δ𝑡=1

2(0,5)= 1 𝐻𝑧

Jumlah “slice” dalam spektrum yang dibedah

𝐾 =𝑓𝑛𝑦𝑞

Δ𝑓=

1

0,00025= 4000

2. Membedah Spektrum Gelombang yang diketahui

Untuk memperoleh persamaan harmonik

𝜂𝑘 = 𝑎𝑘 cos(2𝜋

𝑇𝑘𝑡 + 𝜙𝑘); k = 1, 2, 3, ... K

agar menjadi persamaan seri waktu EMA

𝜂(𝑡) = ∑ 𝑎𝑘 cos(2𝜋

𝑇𝑘𝑡 + 𝜙𝑘)

𝐾𝑘=1 ; k = 1, 2, 3, ... K

diperlukan komponen Fourier untuk menyusunnya.

Setiap frekuensi dalam spektrum memiliki satu komponen Fourier. Informasi yang

diperoleh dari spektrum untuk komponen fourier adalah amplitudo, frekuensi, dan beda

fasa.

Untuk masing-masing slice ditentukan komponen tersebut sebagai berikut :

Frekuensi yang sedang ditinjau (𝑓𝑘)

𝑓𝑘 = 1/𝑇𝑘

Amplitudo yang sedang ditinjau (𝑎𝑘)

𝑎𝑘 = 2𝑓𝑘𝑆𝑘

𝑆𝑘 adalah spektrum pada interval ke-k yang ditentukan sesuai dengan persamaan

spektrum yang ditentukan.

Penentuan beda fasa (ɸk) tidak didapatkan dari spektrum gelombang.

3. Penentuan Beda Fasa (ɸk)

Beda fasa ditentukan sembarang dengan interval angka acak antara 0o sampai 360o.

Untuk menentukannya digunakan random number generator (RNG). Salah satu

perkakas sederhana pembuat angka acak adalah dengan sintaks RAND di Microsoft

Excel.

Untuk menghasilkan bilangan real acak antara a dan b, digunakan sintaks :

=RAND()*(b-a)+a

Sehingga untuk menentukan beda fasa antara 0o sampai 360o digunakan sintaks :

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 5

=RAND()*(360-0)+0

Angka acak yang dihasilkan oleh RNG terdistribusi merata. Contoh persebaran angka

acak untuk penentuan fasa :

4. Menyusun Persamaan Harmonik

Dari poin 2 dan 3 sudah didapatkan komponen fourier sebanyak K, dalam tugas ini

4000. Komponen tersebut akan menyusun persamaan harmonik

𝜂𝑘 = 𝑎𝑘 cos(2𝜋

𝑇𝑘𝑡 + 𝜙𝑘); k = 1, 2, 3, ... 4000

sebanyak 4000.

5. Ditentukan Seri Waktu Elevasi Muka Air

Penentuan persamaan seri waktu elevasi muka air dilakukan dengan penjumlahan

persamaan harmonik sejumlah K, dalam tugas ini 4000 persamaan.

𝜂(𝑡) = ∑ 𝑎𝑘 cos(2𝜋

𝑇𝑘𝑡 + 𝜙𝑘)

𝐾𝑘=1 ; k = 1, 2, 3, ... 4000.

Untuk mem-plot seri muka air digunakan ∆𝑡 = 0,5 dan panjangnya (Tsw) 4000 detik

(ditentukan di soal). Berikut visualisasi seri waktu EMA dalam wujud grafik :

0

180

360

ɸ

k

-2

0

2

0 4000EMA

(m

)

t (detik)

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 6

Nomor 3

Menciptakan seri waktu EMA untuk empat (4) Spektrum Gelombang yang telah disusun

1. Spektrum IA (BM | Hs = 0,468 m | Ts = 8 detik)

Dengan langkah seperti yang telah dijelaskan pada nomor 2 ditentukan komponen

fourier. Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel dibawah ini :

k fk (Hz) Sk ak (m) ɸk (rad)

1 0,00025 0 0 2,198

2 0,0005 0 0 5,011

3 0,00075 0 0 5.374

... ... ... ... ...

2345 0.58625 0.000198 0.000315 1.715 ... ... ... ... ...

3998 0.9995 1.38E-05 8.3E-05 3.421 3999 0.99975 1.38E-05 8.29E-05 4.816 4000 1 1.37E-05 8.29E-05 5.082

Berikut merupakan cuplikan chart PSD pada setiap frekuensi yang ditinjau :

0

0.35

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S(f)

frekuensi (Hz)

BM I

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 7

Komponen-komponen tersebut dimasukkan ke dalam persamaan harmonik sebagai

berikut :

k Persamaan Gerak Harmonik

1

𝜂(𝑡)1 = 0 cos(2𝜋

4000𝑡 + 2,198)

2

𝜂(𝑡)2 = 0 cos(2𝜋

2000𝑡 + 5,011)

3

𝜂(𝑡)3 = 0 cos(2𝜋

1000𝑡 + 5,374)

... ... ...

2345

𝜂(𝑡)2345 = 0.000315 cos(2𝜋

1.706𝑡 + 1,715)

... ... ...

3998

𝜂(𝑡)2345 = 8,3𝐸 − 05 cos(2𝜋

2000/1999𝑡 + 3,412)

3999

𝜂(𝑡)3999 = 8,29𝐸 − 05 cos(2𝜋

4000/3999𝑡 + 5,082)

4000

𝜂(𝑡)4000 = 8,29𝐸 − 05 cos(2𝜋

1𝑡 + 2.198)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.0

83

5

0.0

83

75

0.0

84

0.0

84

25

0.0

84

5

0.0

84

75

0.0

85

0.0

85

25

0.0

85

5

0.0

85

75

0.0

86

0.0

86

25

0.0

86

5

0.0

86

75

0.0

87

0.0

87

25

0.0

87

5

0.0

87

75

0.0

88

Sk

fk

-0.015

0.005

0.025

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.015

0.005

0.025

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.015

0.005

0.025

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.00040 1 2 3 4 5

-0.0004

0.0001

0 1 2 3 4 5

-0.0004

0.0001

0 1 2 3 4 5

-0.0004

0.0001

0 1 2 3 4 5

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 8

Setelah 4000 persamaan harmonik itu dijumlahkan, seri waktu dibuat dari persamaan

tersebut. Setelah 4000 persamaan harmonik itu dijumlahkan, seri waktu dibuat dari

persamaan tersebut. Seri waktu EMA untuk setiap Spektrum Gelombang disajikan

dalam grafik sepanjang 100 detik. Dipilih 100 detik dari 4.000 detik yakni dari detik ke-

100 sampai ke-200.

Berikut grafik seri waktu EMA untuk spetrum IA :

2. Spektrum IIA (BM | Hs = 0.734 m | Ts = 5 detik)

Dengan langkah seperti yang telah dijelaskan pada nomor 2 ditentukan komponen

fourier. Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel dibawah ini :

k fk (Hz) Sk ak (m) ɸk (rad)

1 0.00025 0 0 3.795 344 0.086 3.88E-12 4.4E-08 5.500

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

100 120 140 160 180 200

EM

A (

m)

t (s)

Time Series EMA Spektrum IA

0

0.35

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S(f)

frekuensi (Hz)

BM II

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 9

1233 0.308 0.066322 0.005759 3.743 2344 0.555 0.004125 0.001436 2.754 4000 1 0.000221 0.000333 0.809

Berikut merupakan cuplikan chart PSD pada setiap frekuensi yang ditinjau :

Komponen-komponen tersebut dimasukkan ke dalam persamaan harmonik dengan

contoh sebagai berikut :

k Persamaan Gerak Harmonik

1

𝜂(𝑡)1 = 0 cos(2𝜋

4000𝑡 + 3,795)

344

𝜂(𝑡)535 = 0,148 cos(2𝜋

4000/344𝑡 + 5,5)

1233

𝜂(𝑡)1234 = 0,321 cos(2𝜋

4000/1233𝑡 + 3,743)

2344

𝜂(𝑡)3579 = 0,044 cos(2𝜋

1,8𝑡 + 2,754)

4000

𝜂(𝑡)4000 = 0,035 cos(2𝜋

1𝑡 + 0,809)

Setelah 4000 persamaan harmonik itu dijumlahkan, seri waktu dibuat dari persamaan

tersebut. Seri waktu EMA untuk setiap Spektrum Gelombang disajikan dalam grafik

sepanjang 100 detik. Dipilih 100 detik dari 4.000 detik yakni dari detik ke-123 sampai

ke-223.

0.108

0.11

0.112

0.114

0.116

0.118

0.12

Sk

fk

-0.4

0.1

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 10

Berikut grafik seri waktu EMA untuk spetrum IIA :

3. Spektrum IB (Ochi | Hs = 0,468 m | Ts = 8 detik)

Dengan langkah seperti yang telah dijelaskan pada nomor 2 ditentukan komponen

fourier. Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel dibawah ini :

k fk (Hz) Sk ak (m) ɸk (rad)

1 0.00025 0 0 1.361 999 0.222 0.305 0.0124 4.675 1111 0.27775 0.105 0.007 0.155 3333 0.83325 0.000451 0.000475 3.363 4000 1 0.000181 0.000301 5.424

Berikut merupakan cuplikan chart PSD pada setiap frekuensi yang ditinjau :

-1

0

0

0

0

0

1

123 143 163 183 203 223

EM

A (

m)

t (s)

Time Series EMA Spektrum IA

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S(f)

frekuensi (Hz)

Ochi I

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 11

Komponen-komponen tersebut dimasukkan ke dalam persamaan harmonik sebagai

berikut :

k Persamaan Gerak Harmonik

1

𝜂(𝑡)1 = 0 cos(2𝜋

4000𝑡 + 1,361)

999

𝜂(𝑡)999 = 0,0124 cos(2𝜋

4000/999𝑡 + 4,675)

1111

𝜂(𝑡)1111 = 0,007 cos(2𝜋

4000/1111𝑡 + 0,155)

3333 𝜂(𝑡)3333 = 0.000475 cos(2𝜋

4000/3333𝑡 + 3,363)

4000 𝜂(𝑡)4000 = 0.000301 cos(2𝜋

1𝑡 + 5,424)

Setelah 4000 persamaan harmonik itu dijumlahkan, seri waktu dibuat dari persamaan

tersebut. Setelah 4000 persamaan harmonik itu dijumlahkan, seri waktu dibuat dari

persamaan tersebut. Seri waktu EMA untuk setiap Spektrum Gelombang disajikan

dalam grafik sepanjang 100 detik. Dipilih 100 detik dari 4.000 detik yakni dari detik ke-

358 sampai ke-458.

Berikut grafik seri waktu EMA untuk spetrum IB :

0.00595

0.006

0.00605

0.0061

0.00615

0.0062

0.00625

Sk

fk

-0.015

0.005

1 3 5 7 9

-0.015

0.005

1 3 5 7 9

-0.015

0.005

1 3 5 7 9

-0.015

0.005

1 3 5 7 9

-0.015

0.005

1 3 5 7 9

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 12

4. Spektrum IIA (BM | Hs = 0.734 m | Ts = 5 detik)

Dengan langkah seperti yang telah dijelaskan pada nomor 2 ditentukan komponen

fourier. Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel dibawah ini :

k fk (Hz) Sk ak (m) ɸk (rad)

1 0.000 0 0 1.361 999 0.250 2.033 0.032 6.155 1111 0.500 0.091 0.007 3.204 3333 0.750 0.012 0.002 6.045 4000 1 0.003 0.001 5.424

Berikut merupakan cuplikan chart PSD pada setiap frekuensi yang ditinjau :

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

358 378 398 418 438 458

EM

A (

m)

t (s)

Time Series EMA Spektrum IB

0

0.35

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S(f)

frekuensi (Hz)

BM II

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 13

Komponen-komponen tersebut dimasukkan ke dalam persamaan harmonik dengan

contoh sebagai berikut :

k Persamaan Gerak Harmonik

1

𝜂(𝑡)1 = 0 cos(2𝜋

4000𝑡 + 1,361)

999

𝜂(𝑡)535 = 0,032 cos(2𝜋

4000/999𝑡 + 6,155)

1111

𝜂(𝑡)1234 = 0,007 cos(2𝜋

4000/1111𝑡 + 3,204)

3333

𝜂(𝑡)3579 = 0,002 cos(2𝜋

4000/3333𝑡 + 6,045)

4000

𝜂(𝑡)4000 = 0,001 cos(2𝜋

1𝑡 + 5,424)

Setelah 4000 persamaan harmonik itu dijumlahkan, seri waktu dibuat dari persamaan

tersebut. Seri waktu EMA untuk setiap Spektrum Gelombang disajikan dalam grafik

sepanjang 100 detik. Dipilih 100 detik dari 4.000 detik yakni dari detik ke-1212 sampai

ke-1312.

Berikut grafik seri waktu EMA untuk spetrum IIB :

0.0029

0.00291

0.00292

0.00293

0.00294

0.00295

0.00296

0.00297

0.00298

0.00299

Sk

fk

-0.4

0.1

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

-0.008

0.002

123 124 125 126 127 128 129 130

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 14

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2121 2141 2161 2181 2201 2221

EM

A (

m)

t (s)

Time Series EMA Spektrum IIB

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 15

Nomor 4

Menghitung Parameter Gelombang Acak Berbasis Spektrum

a) Formula untuk menghitung tinggi gelombang signifikan 𝑯𝟏/𝟑 berbasis spektrum

𝐻1/3 = 4.004 𝑚𝑜 Goda, 2010 (2.40)

Dimana

𝑚𝑛 = ∫ 𝑓𝑛𝑆(𝑓)𝑑𝑓

∞

0 n = 0,1,2, ... Goda, 2010 (9.34)

Karena S(f) telah ditentukan untuk setiap frekuensinya dari 0 sampai 1 sebanyak 4000

kali, maka

𝑚𝑛 = ∑ 𝑓𝑛𝑖𝑆(𝑓)𝑖Δ𝑓4000𝑖=1 n = 0,1,2, ...

b) Mengitung perioda gelombang (T) berbasis spektrum

1) Mean Wave Period (�̅�)

�̅� = 𝑚𝑜/𝑚2 Goda, 2010 (2.44)

Namun pada referensi ECMWF Wave Model, terdapat persamaan mean wave

period based on the moment of order -1.

�̅� = 𝑚−1/𝑚2 ECMWF Wave Model (6.7)

2) Perioda puncak (𝑇𝑝)

Lihat tabel 2.4 Goda, 2010, untuk menentukan perioda puncak menggunakan rasio

sebagai berikut :

Wave Period Ratio

Tipe Spektrum Wallops Tipe Spektrum JONSWAP

m = 3 m = 5 m = 10 m =20 γ = 3.3 γ = 10 γ = 20

�̅�/𝑻𝒑 0.58 0.74 0.89 0.95 0.8 0.87 0.91

3) Perioda signifikan (𝑇1/3)

Lihat tabel 2.4 Goda, 2010, untuk menentukan perioda signifikan menggunakan

rasio sebagai berikut :

Wave Period Ratio

Tipe Spektrum Wallops Tipe Spektrum JONSWAP

m = 3 m = 5 m = 10 m =20 γ = 3.3 γ = 10 γ = 20

𝑻𝟏/𝟑/𝑻𝒑 0.78 0.88 0.93 0.96 0.93 0.97 0.98

4) Perioda maksimal (𝑇𝑚𝑎𝑥)

Lihat tabel 2.4 Goda, 2010, untuk menentukan perioda maksimal menggunakan

rasio sebagai berikut :

[TUGAS 3 KL3200] March 29, 2016

15513054 16

Wave Period Ratio

Tipe Spektrum Wallops Tipe Spektrum JONSWAP

m = 3 m = 5 m = 10 m =20 γ = 3.3 γ = 10 γ = 20

𝑻𝒎𝒂𝒙/𝑻𝟏/𝟑 1.07 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

c) Parameter Gelombang Acak Berbasis Spektrum

Spektrum

Ditetapkan Dihitung Berbasis Spektrum

Hs (m)

Ts (detik)

Hmo �̅� Ts Tmax

IA 0.468 8 0.467 6.018 7.157 7.085

IIA 0.734 5 0.038 3.530 4.197 4.155

IB 0.468 8 0.011 8.323 9.676 9.579

IIB 0.734 5 1.730 6.076 7.063 6.992

Angka-angka yang dihasilkan belum 100% tepat karena masih menggunakan

pendekatan untuk menemukan konstanta rasionya.