Tema Aproksimasi dalamKalkulus Tahun Pertama
Workshop Pengajaran Analisis
SNAMA 2019 Universitas Pelita Harapan
Yudi Soeharyadi
FMIPA Institut Teknologi Bandung
Outline
• Daftar Isi Kalkulus Standar: Kalkulus I, Kalkulus II
• Konsep-konsep aproksimasi dalam kalkulus
• Aproksimasi orde satu: derivatif
• Aproksimasi orde dua: maks-min dua variable
• Penutup
Materi Kalkulus I dan II
• Basic skills: ketaksamaan, nilaimutlak, fungsi, geometri
• Limit
• Turunan
• Aplikasi turunan
• Antiturunan dan integral
• Aplikasi integral
• Teknik integrasi
• Bentuk tak tentu
• Barisan dan deret
• Kalkulus fungsi bernilai vektor
• Limit dan turunan fungsi duavariabel
• Integral lipat dan aplikasi
• Persamaan diferensial
Materi Kalkulus I dan II
• Basic skills: ketaksamaan, nilaimutlak, fungsi, geometri
• Limit
• Turunan
• Aplikasi turunan
• Antiturunan dan integral
• Aplikasi integral
• Teknik integrasi
• Bentuk tak tentu
• Barisan dan deret
• Kalkulus fungsi bernilai vektor
• Limit dan turunan fungsi duavariabel
• Integral lipat dan aplikasi
• Persamaan diferensial
Sudut Pandang Sistem (dinamik)
Paling sederhana: SISO
Kuantitas 𝑥, 𝑦 berasal dari pengukuran (fisis), karenanya memuat galat(error): 𝑥 − 𝑥0 , |𝑦 − 𝑦0| (𝑥0, 𝑦0 pengukuran ideal)
Apa hubungan di antara keduanya?
Lebih umum untuk sistem MIMO
Input 𝑥 Output 𝑦Proses 𝑓
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Sudut Pandang Aproksimasi
Sudut pandang aproksimasi:
• menyatukan pembelajaran Kalkulus,
• memberikan tema
• menjadi motivasi
Mengapa penting?
• Sense of purpose
• Materi terintegrasi
Derivatif sebagaiaproksimasi linear
Defining differentiability
Redefinisi diferensiabilitas
Definisi turunan fungsi satu variable tidak bisa direplikasi untuk fungsidengan dua (atau lebih) variabel:
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎtidak terdefinisi jika ℎ vektor (pembagian dengan vektor).
Tujuan: Redefinisikan diferensiabilitas, hindari pembagian
Redefinisi diferensiabilitasMisalkan 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ → ℝ, dan 𝑓 diferensiabel di 𝑥0 ∈ 𝐷,
𝑓′ 𝑥0 = limℎ→0𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ.
“Hilangkan” limit, lakukan untuk ℎ kecil:
𝑓′(𝑥0) ≈𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ.
Susun ulang tanpa pembagian𝑓 𝑥0 + ℎ ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 ℎ
aproksimasi nilai 𝑓 𝑥0 + ℎ oleh nilai pada garis singgung di titik 𝑥0, 𝑓 𝑥0 .
Apakah ini aproksimasi yang baik?
𝑦 = sin 𝑥
Redefinisi diferensiabilitas
Kembalikan tanda “=“, kuantifikasi galat (error-𝑦):
𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 ℎ + galat-𝑦.
Kita katakan aproksimasi ini baik jika galat-𝒚 jauh lebih kecildibandingkan galat-𝒙 (yaitu ℎ), untuk nilai ℎ yang kecil:
limℎ→0
𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦
ℎ= 0
Redefinisi Diferensiabilitas
Redefinisi
Fungsi 𝑓 diferensiabel di 𝑥0 jika nilai 𝑓 di sekitar 𝑥0 dapatdiaproksimasi dengan baik oleh fungsi linear (garis) yang melalui𝑥0, 𝑓 𝑥0 , yaitu:
Terdapat konstan 𝑎 ∈ ℝ sehingga untuk setiap ℎ kecil
𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝑎ℎ +galat-𝑦
dengan limℎ→0 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦ℎ = 0.
Redefinisi diferensiabilitas
Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 tidak diferensiabel di 𝑥0 = 0.
𝑦 = 𝑚𝑥
ℎ
galat-𝑦
galat-𝑦 = 1 − 𝑚 ℎ
Jadi limℎ→0 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡ℎ = 1 − 𝑚 ≠ 0,
Artinya 𝑓 tidak diferensiabel di 𝑥0
Catatan: Untuk kasus 𝑚 = 1, galat di ℎ negatif akan besar, sebaliknya untuk 𝑚 = −1, galat untuk ℎ positifakan besar
Redefinisi diferensiabilitas
Latihan
Melalui definisi diferensiabilitas ini:
1. Tunjukkan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 3 tidak diferensiabel di 𝑥0 = 0.
2. Tunjukkan 𝑔 𝑥 = 𝑥2 diferensiabel di 𝑥0 = 1.
Bagaimana meniru definisi ini untuk variabel lebih banyak?
Misalkan 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ, 𝑥0, ℎ ∈ ℝ2. Notasi
𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ +galat-𝑦
“make sense” jika 𝐴 matriks 1 × 2, yaitu 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ adalahpermukaan bidang yang memuat titik (𝑥0, 𝑓 𝑥0 ).
Definisi: Fungsi 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑘 diferensiabel di 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 jika terdapatmatriks 𝐴𝑘×𝑛 sehingga
𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ +galat-𝑦
dengan lim| ℎ |→0𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦
| ℎ |= 0. (aproksimasi yang baik)
Catatan
Definisi diferensiabilitas bisa disederhanakan melalui notasi “little oh”𝜓 ℎ = 𝑜 ℎ
Artinya untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝛿 > 0, sehingga 𝜓(ℎ) ≤ 𝜖 ℎ ,untuk setiap ℎ < 𝛿. Dengan kata lain
lim ℎ →0𝜓(ℎ)
ℎ= 0.
Jadi diferensiabilitas dapat dinyatakan sebagai eksistensi pemetaanlinear 𝑨 sehingga
𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + 𝐴ℎ + 𝑜( ℎ )
Catatan: Matriks 𝐴 biasa disebut Jacobian
Redefinisi diferensiabilitas
• Bagaimana kalau kita “memaksa”, definisi diferensiabel melalui limit
• Kompromi: Jika ℎ bilangan real, jadi haruslah dalam “arah” 𝑥, atau 𝑦 saja𝑓 𝑥+ℎ,𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦)
ℎ,
𝑓 𝑥,𝑦+ℎ −𝑓(𝑥,𝑦)
ℎinilah TURUNAN PARSIAL
• Jadi turunan punya arah. Arah selain 𝑥, 𝑦? TURUNAN BERARAH• Masing-masing dengan signifikansi geometrisnya, yaitu kemiringan garis
singgung kurva pada permukaan dalam arah tertentu• Turunan dalam bentuk vektor? (VEKTOR) GRADIEN
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓( 𝑥)
ℎ
Aproksimasi Orde Dua
Maxima-minima and 2nd order approximations
• Asumsikan peserta kuliah sudah mengenal geometri dari permukaan𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2
untuk koefisien 𝐴, 𝐶 bertanda sama, atau pun berbeda. (paraboloida, hiperboloida/pelana)
• Wolfram Alpha (atau system computer algebra apa pun) dapat digunakanuntuk bereksperimen dengan bentuk-bentuk di atas.
Maxima-minima and 2nd order approximations
𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2, dengan 𝐴𝐶 > 0 𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝐶, dengan 𝐴𝐶 < 0 𝑧 = 𝐴𝑥2 dengan 𝐴 > 0
Maxima-minima and 2nd order approximations
Pertanyaan: Bagaimana bentuk permukaan (polinom) orde 2 umum
𝑧 = 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹
Apakah dapat diketahui dari nilai-nilai koefisien?
Eksplorasi plot dengan Wolfram Alpha
Maxima-minima and 2nd order approximations
Pengaruh setiap suku pada ekspresi 𝑧:
• 𝐹 translasi-𝑧 (tegak)
• 𝐷 kombinasi translasi-𝑥 dan translasi-𝑧
• 𝐸 kombinasi translasi-𝑦 dan translasi-𝑧
• 𝐵 rotasi sumbu-𝑥 atau sumbu-𝑦 (bid 𝑥𝑦)
Dengan mengetahui pengaruh setiap suku maka bentuk dasar dapatdikembalikan ke bentuk
𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2
Translasi, atau pun rotasi tidakmengubah bentuk
Maxima-minima and 2nd order approximations
Manipulasi aritmetik𝑧 = 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
= 𝐴 𝑥2 + 2𝐵𝐴𝑥𝑦 + 𝐶
𝐴𝑦2
= 𝐴 𝑥 + 𝐵𝐴𝑦
2+
𝐴𝐶 − 𝐵2
𝐴2𝑦2
= 𝐴( 𝑥2 +𝐴𝐶 − 𝐵2
𝐴2𝑦2)
Jadi bentuk (dalam system koordinat 𝑥𝑦𝑧) tergantung pada tanda 𝐴𝐶 − 𝐵2;𝐴 menentukan orientasiRUMUS DISKRIMINAN
Maxima-minima and 2nd order approximations
1. Bentuk paraboloida: verteks adalah maks atau min (lokal)
2. Bentuk pelana: titik pelana bukanlah maks atau pun min (lokal)
3. Bentuk satunya: ketidaktunggalan maks/min
Idea dasar:
Hampiri permukaan (mulus) di titik stasioner dengan permukaan ordedua. Bentuk permukaan orde dua hampiran (kasus 1 dan 2) menentukan maks-min
Sedikit “Simsalabim”
Uraian Taylor orde dua fungsi dua variabel.
Misalkan 𝑓 diferensiabel dua kali, polinom Taylor orde 2 dari 𝑓 di sekitar 𝑎, 𝑏 adalah
𝑃𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝛻𝑓 𝑎, 𝑏 ⋅ 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏 𝑇 +1
2𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 𝑥 − 𝑎 2 + 2𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏 + 𝑓𝑦𝑦 𝑎, 𝑏 𝑦 − 𝑏 2
Asumsikan (𝑎, 𝑏) titik stasioner dan 𝑓 𝑎, 𝑏 = 0, maka suku merah di atas hilang, dan kita dapat permukaan Taylor orde 2 dengan
𝐴 = 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 , 𝐵 = 𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 , 𝐶 = 𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)
Maxima-minima and 2nd order approximations
Dengan sedikit analisis (bahwa maks-min hampiran Taylor adalah jugamaks-min 𝑓) didapat rumus diskriminan
1. Jika 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦2 |(𝑎,𝑏) > 0 dan 𝐴 > (<)0 maka 𝑓 𝑎, 𝑏 min
(maks) lokal
2. Jika 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦2 |(𝑎,𝑏) < 0 maka 𝑓(𝑎, 𝑏) bukan min atau pun
maks
3. Jika 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦2 |(𝑎,𝑏) = 0 maka tidak ada kesimpulan dari uji ini
Maxima-minima and 2nd order approximations
Perhatikan bahwa paraboloida, hiperboloida orde tinggi
𝑧 = 𝑥4 + 𝑦4, 𝑧 = −(𝑥4 + 𝑦4), 𝑧 = 𝑥4 − 𝑦4
ketiganya memiliki hampiran Taylor orde 2 yang sama yaitu 0 (jadi diskriminan 0), namun memiliki karakteristik maks-min di 0,0 yang sangat berbeda.
Penutup
• Dari sudut pandang aproksimasi, materi Kalkulus tampak kompak: beberapa konsep dasar, variasi, dan (banyak) latihan soal
• Penting untuk memberikan konteks yang relevan terhadap materi(khususnya yang sulit)
• Penggunaan teknologi, eksplorasi dengan menggunakan Apps, Computer Algebra
Rujukan
P. Bamberg and S. Sternberg, A Course in Mathematics for Students of Physics, Vol. I and Vol. II, Cambridge, 1991.
Pesan Sponsor
Channel KaKaAGe on YouTube
Seri Sketsa Kalkulus
Saat ini sudah ada 20 episode Math I,
akan bertambah semester ini terutama untuk
Math II
KaKaAGe: Kelompok Keahlian Analisis & Geometri
Terima kasih(atas kesabaran dan kebingungan Anda)
Top Related