Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-1
Bab 4 Beberapa Aspek Tentang Model ____________________________________________________________________
4-1 Kriteria baik/buruk a. Apakah ia mengandung semua variabel yang relevan?
b. Apakah ia cukup sederhana, baik dalam struktur atau hubungan antar variabel
2. Model bermanfaat
a. Memudahkan pengertian tentang sistem yang direpresentasikan
b. Pengetahuan tentang keputusan yang diambil semakin banyak
4-2 Jenis model berdasarkan teori keputusan 1. Model matematis: model yang merepresentasikan sebuah sistem secara simbolik
dalam bentuk rumus dan besaran-besaran
2. Model informasi: model yang merepresantasikan sebuah sistem dalam bentuk
grafik atau tabel. Model ini biasanya multidimensional. Dapat diuraikan dalam tiga
kategori:
a. Objek seperti orang, peralatan, ruang, dan gedung
b. Hubungan yang menguraikan kaitan antara objek seperti: orang memakai
peralatan
c. Operasi, yang menjelaskan tugas atau pekerjaan yang dilakukan oleh objek
4-3 Model yang baik 1. Mempunyai tingkat generalisasi yang tinggi
2. Mekanismenya transparan
3. Potensial untuk dikembangkan
4. Peka terhadap perubahan asumsi
4-4 Prinsip Pengembangan Model 1. Elaborasi: mulai dengan sederhana, secara bertahap diperbaiki, diperoleh model
yang lebih representative. Asumsi yang diamati harus konsisten, independen,
ekivalen, dan relevan
2. Apologi: dikembangkan berdasarkan prinsip, teori yang sudah dikenal secara luas
tapi belum pernah digunakan untuk memecahkan masalah
3. Dinamis: pengembangan tidak bersifat mekanistik dan linier. Pada tahap
pengembangan, mungkin saja dilakukan pengulangan.
4-5 Klasifikasi Model: Berdasarkan fungsi
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-2
a. Model deskriptif: menyajikan gambaran tentang situasi tertentu. Model tidak
memberikan peramalan atau rekomendasi.
Misal: struktur organisasi dan diagram tentang tata letak pabrik.
b. Model prediktif: apabila „hal ini‟ terjadi maka hal lain akan timbul.
Menghubungkan variabel-variabel bebas dan tidak bebas (independent).
Misal:
( )
( )
Penjualan pulang pokok (break even) dapat diramalkan
( ) ( ) ( ) ( )
( )
c. Model normatif: model yang memberikan jawaban terbaik terhadap sebuah
problem. Memberikan arah yang direkomendasi.
Misal: budget reklame, ukuran ekonomis, dan bauran pemasaran (marketing mix)
2. Berdasarkan struktur
a. Model ikonis: mempertahankan sebagian dari sifat fisik dari hal yang diwakilinya.
Misal: maket tata letak pabrik, gambar cetak gedung baru, miniature mobil masa
depan
b. Model analog: mengandung substitusi komponen-komponen atau proses-proses
guna menunjukkan persamaan dengan yang sedang ditelaah.
Misal:
i. Sistem aliran darah dengan membuat selang yang menyerupai aorta dan vena
ii. Aliran lalu lintas dan aliran arus listrik
iii. Gelombang pantul dengan gelombang permukaan air
c. Model simbolik: menggunakan simbol untuk menerangkan realita
Misal:
i. [ ( )] , yang menyatakan dalam bentuk simbol-simbol bahwa reaksi
penjualan R dapat dihitung
– tetapan, – biaya reklame, – tetapan ( )
ii.
TC – biaya persediaan barang (total)
PC – biaya pembelian
CC – biaya pengangkutan
IC – biaya barang
3. Berdasarkan waktu
a. Model statis: model yang tidak bergantung pada waktu
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-3
Misal:
i. Struktur organisasi
ii. Keuntungan dari suatu transaksi
– probabilitas terlaksananya
– pembayaran pertama
– probabilitas terlaksananya
– pembayaran kedua
b. Model dinamis: model yang bergantung pada waktu
Misal: Perubahan tingkat penjualan
/dS
rA t m s m YSdt
r – tetapan reaksi
A(t) – tingkat efektivitas promosi
M – kejenuhan penjualan
S – tingkat penjualan
Y – konstanta penurunan penjualan
i. Model pertumbuhan
4. Berdasarkan ketidakpastian
a. Model deterministik: model yang keluarannya bergantung pada masukan, secara
unik.
Misal:
i. Laba = Hasil – Biaya
ii. Model persediaan Wilson EQQ
b. Model probabilistik: model yang diturunkan dari distribusi perluang, untuk input-
input (atau proses-proses) yang diperlukan guna mengambil suatu keputusan.
Misal:
i. Model persiapan probabilistik
ii. Tabel-tabel aktuaris (asuransi) yang menunjukkan kematian sebagi fungsi usia
iii. Hasil dari investasi ROI (return of investment)
c. Model yang tidak pasti (uncertainty)
Misal:
i. Model-model keputusan
ii. Minimasi – maksimasi
5. Berdasarkan derajat umum (general)
a. Model umum: model dunia usaha yang disarikan dari model matematis yang
umum.
Misal:
i. Algoritma Programa Linier, dimanfaatkan untuk memecahkan masalah alokasi.
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-4
ii. Algoritma Antrian, dimanfaatkan dalam bidang produksi, pemasaran, dan
distribusi.
b. Model spesifik/khusus: model yang dapat diterapkan pada satu bidang tertentu.
Misal reaksi penjualan sebagai fungsi reklame-Model persediaan probabilistik
6. Berdasarkan lingkungan
a. Model terbuka: model yang berinteraksi dengan lingkungannya berupa pertukaran
energi.
Misal: model sosial, manusia - mesin
b. Model tertutup: model yang tidak memiliki interaksi dengan lingkungan.
Model dan Simulasi Komputer
Simulasi: duplikasi (tiruan) perilaku sistem yang diamati.
Model: wakil/representasi dari sistem.
Klasifikasi Sistem:
1. Sistem terbuka – sistem tertutup
2. Sistem natural/biologi – sistem artifisial
3. Sistem kontinyu – sistem diskrit
Sistem
Nyata
Relevan
?
Solusi
Analitik
Solusi
Numerik
Verifikasi
Model
Stop
tidak
ya
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-5
4-6 Kalibrasi Model (Proses Kalibrasi)
4-7 Teknik Analitik
4-8 Teknik Numerik No x Y
1 1 -4
2 2 -1
3 3 4
4 0 -5
Dst
PR: Coba buat model analitik dan numerik dari rangkaian RLC yang dihubungkan
dengan sumber tegangan E
4-9 Ilustrasi Antrian di Bioskop
Komponen sistem: loket, antri, pelanggan
Loket
Sistem
Nyata
Model
Simulas
i
Operasi
Evaluasi Tek.
Numerik
Fisik
Matematis
Konsep
Input -
output
Pemodelan
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-6
Sudut pandang pelanggan
Sudut pandang pelayan
Data
Pelanggan Waktu Antar
Kedatangan
(WAK)
Waktu
Pelayanan (WP)
1 - 2
2 5 2
3 0 2
4 6 2
5 2 2
Simulasi
Pel WAK Clock WP Selesai WT Pel.
Pelayan
Lihat
Jaga loket
Ambil satu
untuk dilayani
Tidak ada
Ada pelanggan
Tidur
Pelanggan
Datang
Pelayan
Antri
Masuk
sibuk
kosong
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-7
Idle
1 - 0 2 2 0 -
2 5 5 2 7 0 3
3 0 5 2 9 2 -
4 6 11 2 13 0 2
5 2 13 2 15 0 -
Rata-rata waktu tunggu: 0,4
Rata-rata pelanggan iddle: 1,4
Simulasi Probabilistik
WAK Prob WP Prob
0 0,2 2 0,25
1 0,4 3 0,25
2 0,2 4 0,25
3 0,5 5 0,25
4 0,1
5 0
Simulasi untuk 10 pelanggan
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-8
4-10 Pengambilan Keputusan dan Optimasi Pendahuluan
Kegiatan/Persoalan Pengambilan keputusan
4-11 Alternatif penyelesaian: a. Metoda programa linier
b. Metode programa dinamis
c. Metode antrian
d. Metode permainan/game
4-12 Kerangka Masalah Optimasi Daya dan dana tetap Maksimasi Penerimaan Hasil Optimal
Jumlah Kegiatan tetap Minimasi daya dan dana hasil optimal
4-13 Contoh Masalah Optimasi Produksi barang Keuntungan Maksimal Hasil Optimal
Mencampur barang dengan kualitas tetap Minimasi biaya Hasil optimal
Contoh : Linear Programming dan Optimasi
Untuk membuat kontainer K dan L diperlukan dua mesin M1 dan M2. untuk
membuat kontainer K, M1 memerlukan waktu 2 menit, M2 memerlukann 4 menit.
Untuk membuat L, M membutuhkan 8 menit, M2 memerlukan 4 menit. Keuntungan
Manusi
a
Lingkungan
Permasalahan
Analitis Intuisi Keputusan
n
Keputusan
Jelas Keputusan
Tidak Jelas
Hasil
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-9
bersih untuk kontainer K, 29 US$ dan kontainer L, 45 US$. Tentukan rencana
produksi agar keuntungan menjadi maksimal.
Penyelesaian :
`
Misal:
x1 = produksi kontainer L/jam
x2 = produksi kontainer K/jam
keuntungan /jam : 1 2 1 2, 29 45f x x x x
syarat batas
1 22 8 60x x (dihasilkan oleh M1)
1 24 4 60x x (dihasilkan M2)
1 20 , 0x x
Daerah solusi
x2 Titik pemecahan
2x1+8x2=60 x1=10
4x1+4x2=60 x2=5
A=(0, 2
15), B=(10, 5), C=(15,0)
x1
2x1+8x2=60
4x1+4x2=60
Untuk A = (0,2
15)
1 2 1 2, 29 45 29 0 45 15 / 2 337,35f x x x x (Minimum)
Untuk B = (10,5)
1 2 1 2, 29 45 29 10 45 5 515f x x x x (Maksimum)
Untuk C = (15,0)
M1 2‟
M2 4‟
M1 8‟
M2 4‟
K
L
AB
C
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-10
1 2 1 2, 29 45 29 15 45 0 435f x x x x
Jadi keuntungan Maksimum, bila x1 = 10 dan x2 = 5
1
2
x
x=
1
2 Produksi 1
2
x
x =
L
K adalah
1
2 menjadi maksimum.
Pengetahuan tentang Aljabar linier banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari
misalnya dalam sistim:
1. Jaringan Listrik (Electrical Networks).
2. Jaringan Jalan Antar Kota (Nets of Roads Connecting City).
3. Proses Produksi (Production Processes).
IV. 1Jaringan Listrik (Electrical
Networks) Definisi:
Node (titik simpul)= adalah pertemuan 2 cabang atau lebih dari 2 cabang (1,2,dan 3).
Reference Node = Node dimana tegangan listrik menjadi nol, akibat di Bumikan
(Grounded).
Network dinyatakan dalam,
Matrik A = [ajk], dengan.
ajk = +1 Jika cabang k meninggalkan node j
-1 Jika cabang k memasuki node j
0 Jika cabang k tidak menyinggung node j
A disebut nodal inciden matrix
Cabang 1 2 3 4 5 6
Node 1 1 -1 1 0 0 0
Node 2 0 1 0 1 1 0
Node 3 0 0 -1 0 -1 -1
Soal 1: Tuliskan Nodal Incidence Matrix untuk rangkaian dibawah ini.
1 3 2
Reference
Node
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-11
Gb.2Electrical network Gb.3 Electrical network Gb. 4 One way street
Soal 2
Gambarkan jaringan listrik yang mempunyai nodal incidence matrix seperti
berikut;
0 1 1 0 11 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0) ) 1 1 0 0 ) 1 0
0 0 1 0 00 1 1 0 1 1
0 0 0 1 0
a b c
IV. 2 Rangkaian listrik Review Hukum Kirchhoff.
a) Current Law (KCL): untuk tiap titik simpul pada tiap rangkaian listrik berlaku;
jumlah arus masuk = jumlah arus keluar.
b) Voltage Law (KVL): untuk tiap loop tertutup. Jumlah total voltage yang hilang =
voltage akibat gaya elektromagnetik.
Contoh: rangkaian listrik
Ingat V IR
Pertanyaannya : Carilah I1, I2 dan I3
Penyelesaian: Gunakan hukum Kirchoff
P
Q
10Ω
15Ω
10Ω
I2
I1 I3
90V 80V
20Ω
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-12
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2
Node P : I I +I =0
Node Q :I -I +I =0
Loop kanan:10I +25I =90
Loop kiri :20I +10I =80
1 2 3
2 3
1 2
1
2
3
0
10 25 90
20 10 80
1 1 1 0
0 10 25 90
20 10 0 80
I I I
I I
I I
I
I
I
Jadi dapat dihitung, I1=2, I2=4 dan I3=2
Jadi jumlah arus yang mengalir pada cabang yang bersangkutan adalah I1=2 Ampere,
I2=4 Ampere dan I3=2 Ampere
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-13
IV. 3 Programa Linier (Linear
Programming) dan Optimasi
Definisi
Optimasi adalah upaya, mencari solusi yang optimal misalnya, memaksimalkan
(maksimasi) keuntungan atau meminimalkan (minimasi) kerugian. Asumsi, keadaan
dapat dinyatakan dalam fungsi linier terdiri dari fungsi tujuan dan fungsi pembatas
Definisi
Fungsi tujuan(objektif), meminimumkan (minimasi) atau memaksimalkan (maksimasi)
Fungsi pembatas, selalu lebih besar atau sama dengan nol.
Cara penyelesaian
1. Gambarkan koordinat x-y. Dalam hal ini x dan y menunjukkan variable bebas dan
variable terikat dari fungsi linier
2. Tentukan fungsi tujuan
3. Identifikasi batasan dalam sistim pertaksamaan
4. Gambarkan garis pembatas dalam sistim koordinat
5. Cari titik yang paling “menguntungkan” sesuai dengan fungsi tujuan
Contoh 1:
Untuk membuat kontainer K dan L diperlukan dua mesin M1 dan M2. Untuk membuat
kontainer K, M1 memerlukan waktu 2 menit, M2 memerlukan 4 menit. Untuk membuat
L, M1 membutuhkan 8 menit, M2 memerlukan 4 menit. Keuntungan bersih untuk
kontainer K, 29$US dan kontainer L, 45$US. Tentukan rencana produksi (jumlah K dan
L yang harus dibuat) untuk satu jam kerja agar keuntungan menjadi maksimal.
Penyelesaian :
` Misal:
1x = produksi kontainer L/jam
2x = produksi kontainer K/jam
keuntungan /jam : 1 2 1 2, 29 45f x x x x
M1 2‟
M2 4‟
M1 8‟
M2
4‟
K
L
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-14
batasan
1 2 12 8 60 dihasilkanx x M
1 2 24 4 60 dihasilkanx x M
1 20 dan 0x x
Mencari titik pemecahan
1 2
1 2
2 8 60
4 4 60
x x
x x
Dari pernyataan ini diperoleh;
1 210, 5x x
Harus diperiksa untuk titik A = (0,2
15), B=(10,5) dan titik C=(15,0)
1 2 1 2
15 15A (0, ) , 29 45 29 0 45 337,35
2 2f x x x x
1 2 1 2B 10,5 , 29 45 29 10 45 5 515f x x x x
1 2 1 2C 15,0 , 29 45 29 15 45 0 435f x x x x
Jadi keuntungan Maksimum, bila x1 = 10 dan x2 = 5
1
2
22, dengan perkataan lain
1
x
x produksi kontainer K sebanyak 2 kali kontainer
L akan mendapat keuntungan maksimum.
Contoh 2:
Suatu pabrik baja memperkirakan keuntungan dari produksi sekrup panjang Rp 30/biji
dan sekrup pendek Rp 15/biji. Kapasistas penuh seluruh mesin perhari 40.000 skrup
panjang atau 60.000 sekrup pendek. Karena ada perbedaan cara pengolahannya, setiap
jam dihasilkan 5000 sekrup panjang atau 7500 sekrup pendek. Tetapi bahan kimia
khusus untuk produksi sekrup panjang hanya tersedia untuk mengolah 30.000 sekrup
panjang. Bagian pengepakkan hanya mampu mengepak 50.000 sekrup perhari.Berapa
jumlah sekrup dari masing-masing ukuran harus dibuat agar tercapai keuntungan
maksimum? Catatan waktu kerja yang diizinkan adalah 8 jam perhari.
Penyelesaian
Misal jumlah sekrup yang harus dibuat, x sekrup panjang dan y sekrup pendek.
Fungsi tujuan : memaksimalkan keuntungan. Jadi dapat dinyatakan sebagai fungsi linier
30 15z x y
Fungsi pembatas:
(1) 0 40.000, 0 60.000
(2) 85000 7500
(3) 50.000
(4) 30.000
x y
x y
x y
x
Dari persamaan (1) dan (4) yang berlaku adalah ; 30.000x
Metode Penelitian Suryadi Siregar
FMIPA-ITB Page 4-15
Normalisasi x dan y dinyatakan dalam ribuan maka;
(1) 30.000 30, 60.000 60
(2) 8 8 kalikan 15 3 2 1205000 7500 5 7,5
(3) 50.000 50
x x y y
x y x yx y
x y x y
Selanjutnya dibuat grafik berdasarkan syarat tersebut dan cari titik potong kedua grafik
titik B
50 50
3 2 120 3 2 50 120
20 30
x y y x
x y x x
x y
Titik potongnya adalah x = 20
dan
y = 30
Titik solusi adalah A=(0,50),
B=(20,30), C=(30,15) dan
D=(30,0)
Maksimumkan 30 15z x y untuk semua titik.
0,50 30(0) 15(50) 750
20,30 30(20) 15(30) 1050
30,15 30(30) 15(15) 1125
30,0 30(30) 15(0) 900
A z
B z
C z
D z
Jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 1.125.000 akan didapat bila diproduksi x
(jumlah sekrup panjang) 30 ribu dan y (jumlah sekrup pendek)15 ribu