Download - Kalkulus II habibie

7/24/2019 Kalkulus II habibie

1/27

MATERI KULIAH

KALKULUS II

Disusun oleh :

Dra. Mustamina Maulani, MT

1


2/27

MATERI KALKULUS II

1. Integral Tak Tentu

2. Integral Tertentu

3. Aplikasi Integral UTS (materi 1,2,!

4. Integral Lipat Dua Koordinat Kartesian

5. Persamaan Diferensial Orde atu UAS(materi ,",#!

Re$erensi :

1. Kalkulus II! Pur"ell

2. Kalkulus II! Koko #artono! IT$

3. %al"ulus! Leit&old

2


3/27

%A% I

I&TE'RAL TAK TE&TU

I. De$inisi :

Integral tak tentu dari fungsi f'() adala& *

+= CxFdxxf )')'

Dengan % * konstanta pengintegralan dan )')'

xfdx

xdF=

II. Si$at Interal Ta) Tentu

1. +=+ dxxgdxxfdxxgxf )')'))')''

2. = dxxfkdxxfk )'))''

III. Ta*el Interal

$(+! dxxf )'

k! konstanta k(

(n 11

1 +

+

n

xn e( e(

in ( +"os (

%os ( in (1!,! aa x

a

a x

ln

e"2( tg (

%s"2( +"tg (

se" ( tg ( se" (

"s" ( "tg ( + "tg (

X

1 ln x

Latihan : Tentu)an interal *eri)ut :

1. + dxxe xx )-se"3' 2

2. + dxxxtgxx )24se"2' 23

3. dxxx )1sin2'

3


4/27

I. Meto-a Interasi

1. Meto-a Su*tiusi

dxxf )' dengan su/stitusi )'xuu = dan integral men0adi duuf )' ang

dapat diselesaikan.

Latihan :

1. dxx)4'sin 4. + dxxx )12'"os4 2

2. dxex x"os2sin 5. dxxx 3 32 12

3. ++ dxxxx )'se")12' 22 . + dx

x

xx )

)2sin1'

2"os' 2

5

2. Interal arsial

ika u u'() dan 6 6'() maka dari aturan diferensial

dx

dvu

dx

duvvu

dx

d+=)'

dx

duvvu

dx

d

dx

dvu = )'

7ntuk masing+masing ruas diintegralkan ter&adap 6aria/le ( didapat *

= duvvudvu 8umus Integral Parsial

Latihan :

1. dxxx 2sin

3. + dxxx )13'ln2

2. ++ dxxxx )32'ln)1' 22 4. + dxex x )' 132

. Interal ++ )

)'

2 cbxax

dxxPn, =)'xPn olinom -era/at n

en0elesaian :

Tuliskan /entuk *

4


5/27

++ )

)'

2 cbxax

dxxPn ++

+++ dxcbxax

cbxaxxQn

2

2

1 )'

Dideferensialkan

Latihan :

1. ++

+dx

xx

xx

54

32

2

2

3. +

+dx

xx

xx

5

142

2

3

2.

+dx

xx

xxx

52

12

2

23

4. ++

dx

xx

xx

92

14

2

2

". Interal $unsi Rasional dxxQxP

n

n

)'

)', -er n(+! -er 3n(+!

a. ika :n'() dapat diuraikan atas faktor linier ang /erlainan.

#isalna :n'() )'......)')' 21 naxaxax

#aka)'......)')'

)'

)'

)'

21 n

n

n

n

axaxax

xP

xQ

xP

=

)'

........)')' 2

2

1

1

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

++

+

/. ika :n'() dapat diuraikan atas faktor linier dan ada ang /erulang.

#isalna :n'() )'......)')' 23

1 naxaxax

#aka)'......)')'

)'

)'

)'

2

3

1 n

n

n

n

axaxax

xP

xQ

xP

=

)'.......

)')'.

)')' 2

4

3

1

3

2

1

2

1

1

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

++

+

+

+

5


6/27

". ika :n'() dapat diuraikan atas faktor kuadrat tidak /isa

difaktorkan 'definit positif) ang tidak /erulang.

#isalna :n'() )'......)')' 12

ndxdxcbxax ++

#aka )'......)')'

)'

)'

)'

1

2

n

n

n

n

dxdxcbxax

xP

xQ

xP

++=

)'

.......)')' 1

1

2

n

n

dx

C

dx

C

cbxax

BAx

++

+

++

+

Latihan :

1. ++

dxxx

xx

2

322

2

3. +++

dxxxx

xx

2,-

3223

2

2. ++

dxxx

xx

23

243

23

4. +++

dxxxx

xxx

1243

5423

23

RUMUS 4 RUMUS :

Cau

au

aau

du+

+

= ln2

122

+=+ C

a

utgarc

aua

du 122

Cauu

au

du++=

22

22

ln

+=C

auarc

ua

du sin22

#. Interal Trionometri 0an memuat 22 xa , 22 xa + , 22 ax

en0elesaian :

;unakan su/stitusi *

+ 7ntuk 222 xba su*titusi sinbax = atau "osb

ax=

+ 7ntuk 222 xba + su*titusi tgxb

a= atau ctgxb

a=

+ 7ntuk 222 axb su*titusi se"bax= atau "s"b

ax=


7/27

Latihan :

1.

dxx2 3. dxxx

21

2. dxx

x

+ 24

5. Interal +++ cbxaxkhxdx

n 2)'

en0elesaian : gunakan su/stitusi khxu +=1

6ontoh :

1. 3. ++ 42)4' 22 xxxdx

2. +++ 4)2' 22 xxxdx

4. ++ 32)2' 22 xxxdx

7. Interal + dxbaxx q

p

nm )'

a. ika BulatBilangann

m=

+1! untuk penelesaian gunakan

su/stitusi baxu nq

+=

/. ika BulatBilangann

m

+1!

tetapi BulatBilanganq

p

n

m=+

+1! untuk penelesaian gunakan

su/stitusi baxxu nnq +=

Latihan :

1 443 xxdx

. 2. + 45xxdx

-


8/27

3. 4

95 xx

dx 4. 224 xx

dx

%A% II

I&TE'RAL TERTE&TU

I. De$inisi :

Integral tertentu dari fungsi f'() adala& *

=b

a

aFbFdxxf )')')'

Dengan )'xfdx

dF=

Latihan* Tentukan Integral tertentu /erikut *

1. 3

1

2 542 dxxx

2. +2

,

2)12'sin dxxx

3. ++

+3

12

124

52dx

xx

x

9


9/27

%A% III

ALIKASI I&TE'RAL

I. LUAS DAERAH

D adala& daera& ang di/atasi )')'! xgyxfbxa

Luas daera& D adala& * =b

a

D dxxfxgL ))')''

D daera& ang di/atasi dycyqxyp !)')'

Luas daera& D adala& * =d

c

D dyypyqL ))')''