HITUNG DIFERENSIAL
Widita Kurniasari, SE, ME
PENGERTIAN LIMIT• Konsep dasar diferensial• Adalah harga batas tertentu, L, yang
dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a.
• Kegunaan Limit :– Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu– Menentukan kontinuitas/diskontinuitas
suatu fungsi– Perhitungan hasil bagi
diferensial/turunan fungsi
Lxfax
)(lim
PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
• Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ • Contoh :
629lim.1
2
3
XX
x
xfxf
XXxfDik
x
)2()2(lim
3)(:.2
0
2
1871042lim.3 2
2
XXXX
x
1871042lim.4 2
23
XXXXX
x
PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
XXXx
10lim.8 2
x
x XXX
2
2
2
5222lim.7
x
x X
6
311lim.6
XXXXX
x 1871042lim.5 23
2
Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ Contoh :
KONTINUITAS FUNGSI• Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan
kontinyu untuk x = a dari suatu interval tertentu jika :– Y = f(a) terdefinisi– mempunyai harga tertentu,
misal L– L = f(a)
)(lim xfax
PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL
• Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X
• Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :
– Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =
xxfxxf
XY
)()(
xxfxxf
XY
xx
)()(limlim00
'' )( YxfXY
TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT• Y = c Y’ = 0• Y = aX + b Y’ = a• Y = Xn Y’ = n Xn-1
• Y = Un Y’ = n Un-1 . U’• Y = U ± V Y’ = U’ ± V’• Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V2
• Y = ex Y’ = ex
• Y = eu Y’ = u’.eu
• Y = ln X Y’ = 1/X• Y = ln U Y’ = U’/U• Y = ax Y’ = ax ln a
• Turunan fungsi implisit Y = f’(x) X
• Turunan yang lebih tinggi
• Turunan fungsi dalam bentuk parameterJika X = f(x) dan Y = g(x), maka
n
nnn
XYXfY
)(
tXtY
XYY
//'
APLIKASI TURUNAN PERTAMA• Menentukan gradien/slope garis singgung
Y – Y1 = m (X – X1) m = Y’• Menentukan koordinat titik stasioner
– Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 f’(x) = 0
– Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.
• Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun– Monoton naik : X > 0 Y > 0– Monoton turun : X > 0 Y < 0
• Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopital
APLIKASI TURUNAN PERTAMA
APLIKASI TURUNAN KEDUA
• Menentukan bentuk kurva– Cekung ke atas (concave upward) :
• Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X
• Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0– Cekung ke bawah (concave downward) :
• Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X
• Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0
• Menentukan titik belok dan titik sadel– Batas antara bag kurva yg cekung ke
atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya– Syarat : Y” = f”(x) = 0– Titik Belok : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0– Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0
APLIKASI TURUNAN KEDUA
CONTOH SOAL• Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X +
22, tentukan :1. Persamaan garis singgung di titik
dengan absis 22. Koordinat titik esktrim (maks/min)3. Koordinat titik belok/titik sadel
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
• Analisis marginal – Laju pertumbuhan– Menghitung Marginal Revenue (MR) dan
Marginal Cost (MC)MR = TR’MC = TC’
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI• Harga Ekstrim
– Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0– Laba maksimum (rugi minimum),
• = TR – TC• ’ = 0 MR = MC
– Output optimum• Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum• AC minimum AC’ = 0 AC = MC
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
• Elastisitas – Mengukur perubahan suatu variabel akibat
perubahan variabel lain– Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),
penawaran (Es), dll– Perhitungan elastisitas :
• Elastisitas Titik (Point Elasticity)
• Elastisitas Busur (Arc Elasticity)QPx
PQE
12
12
12
12
PPPPx
QQQQE
CONTOH SOAL• Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan
TC = Q2 + 790Q + 1.8001. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC,
AVC, dan AFC ketika Q = 102. Hitung TR maksimum 3. Hitung laba maksimum/rugi minimum4. Hitung output optimum5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q
= 100
Top Related