HITUNG DIFERENSIAL

Widita Kurniasari, SE, ME

PENGERTIAN LIMIT• Konsep dasar diferensial• Adalah harga batas tertentu, L, yang

dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a.

• Kegunaan Limit :– Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu– Menentukan kontinuitas/diskontinuitas

suatu fungsi– Perhitungan hasil bagi

diferensial/turunan fungsi

Lxfax

)(lim

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU

• Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ • Contoh :

629lim.1

2

3

XX

x

xfxf

XXxfDik

x

)2()2(lim

3)(:.2

0

2

1871042lim.3 2

2

XXXX

x

1871042lim.4 2

23

XXXXX

x

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU

XXXx

10lim.8 2

x

x XXX

2

2

2

5222lim.7

x

x X

6

311lim.6

XXXXX

x 1871042lim.5 23

2

Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI• Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan

kontinyu untuk x = a dari suatu interval tertentu jika :– Y = f(a) terdefinisi– mempunyai harga tertentu,

misal L– L = f(a)

)(lim xfax

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL

• Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X

• Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :

– Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

xxfxxf

XY

)()(

xxfxxf

XY

xx

)()(limlim00

'' )( YxfXY

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT• Y = c Y’ = 0• Y = aX + b Y’ = a• Y = Xn Y’ = n Xn-1

• Y = Un Y’ = n Un-1 . U’• Y = U ± V Y’ = U’ ± V’• Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V2

• Y = ex Y’ = ex

• Y = eu Y’ = u’.eu

• Y = ln X Y’ = 1/X• Y = ln U Y’ = U’/U• Y = ax Y’ = ax ln a

• Turunan fungsi implisit Y = f’(x) X

• Turunan yang lebih tinggi

• Turunan fungsi dalam bentuk parameterJika X = f(x) dan Y = g(x), maka

n

nnn

XYXfY

)(

tXtY

XYY

//'

APLIKASI TURUNAN PERTAMA• Menentukan gradien/slope garis singgung

Y – Y1 = m (X – X1) m = Y’• Menentukan koordinat titik stasioner

– Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 f’(x) = 0

– Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.

• Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun– Monoton naik : X > 0 Y > 0– Monoton turun : X > 0 Y < 0

• Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopital

APLIKASI TURUNAN PERTAMA

APLIKASI TURUNAN KEDUA

• Menentukan bentuk kurva– Cekung ke atas (concave upward) :

• Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X

• Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0– Cekung ke bawah (concave downward) :

• Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X

• Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

• Menentukan titik belok dan titik sadel– Batas antara bag kurva yg cekung ke

atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya– Syarat : Y” = f”(x) = 0– Titik Belok : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0– Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0

APLIKASI TURUNAN KEDUA

CONTOH SOAL• Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X +

22, tentukan :1. Persamaan garis singgung di titik

dengan absis 22. Koordinat titik esktrim (maks/min)3. Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

• Analisis marginal – Laju pertumbuhan– Menghitung Marginal Revenue (MR) dan

Marginal Cost (MC)MR = TR’MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI• Harga Ekstrim

– Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0– Laba maksimum (rugi minimum),

• = TR – TC• ’ = 0 MR = MC

– Output optimum• Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum• AC minimum AC’ = 0 AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

• Elastisitas – Mengukur perubahan suatu variabel akibat

perubahan variabel lain– Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),

penawaran (Es), dll– Perhitungan elastisitas :

• Elastisitas Titik (Point Elasticity)

• Elastisitas Busur (Arc Elasticity)QPx

PQE

12

12

12

12

PPPPx

QQQQE

CONTOH SOAL• Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan

TC = Q2 + 790Q + 1.8001. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC,

AVC, dan AFC ketika Q = 102. Hitung TR maksimum 3. Hitung laba maksimum/rugi minimum4. Hitung output optimum5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q

= 100