VERDADERO ORIGEN DE LAS FUERZAS DE LEVANTAMIENTO

Y ARRASTRE EN UN PERFIL AERODINÁMICO

Francisco Antonio Vargas Soria - Instituto Politécnico Nacional

NOTA: Trabajo individual con posibles errores.

RESUMEN

El presente trabajo tiene como objetivo el despejar los conceptos erróneos que pueden existir sobre la

aerodinámica de un perfil de ala. Es importante recalcar que este texto está basado en el trabajo realizado por

Babinsky [2], y en la publicación de McLean [4] por lo cual el presente trabajo representa una recopilación de

las investigaciones realizadas principalmente por estos dos autores.

Palabras clave: Aerodinámica, Perfil Alar, Levantamiento, Arrastre.

TRUE ORIGIN OF THE LIFT AND DRAG FORCES ON AN AIRFOIL

Abstract

This paper has as objective to clear the misconceptions that can exist about airfoil aerodynamics. It is important

to emphasize that this text is based in the paper realized by Babinsky [2], and the publication of McLean [4] so

this paper represents a compilation of research conducted mainly by these two authors.

Key words: Aerodynamics, Airfoil, Lift, Drag.

INTRODUCCIÓN

Si entendemos la aerodinámica como “El estudio del flujo de aire alrededor o dentro de un objeto en

movimiento” [1], su principal objetivo es el de entender la generación de fuerzas por la interacción del

movimiento del gas con las superficies de un objeto. Dicho esto, vamos a entender como el movimiento de un

perfil de ala inmerso en un gas, como es el aire, genera la sustentación necesaria para mantener la aeronave en

vuelo. El perfil alar se analiza en un flujo bidimensional, es decir, es un ala infinita.

De acuerdo con McLean [4] existen algunos conceptos o ideas erróneas acerca de la aerodinámica de un perfil

de ala, como son:

“Solo es una diferencia de presiones” (Ecuación de Bernoulli)

“Solo son la segunda y tercera ley de Newton”

La explicación común basada en el efecto Bernoulli tiene sus debilidades en los siguientes puntos:

Basada en una indirecta (o incorrecta) razón para el aumento de la velocidad

La razón real del aumento de la velocidad es la disminución de presión

Implicar causalidad unidireccional (velocidad-a-presión) es un error

Implica que las partículas de aire sobre el extradós y el intradós deben de recorrer distancias diferentes

en el mismo tiempo

De igual forma, la explicación común basada en las leyes de Newton, también tiene sus debilidades:

No explica la interacción del aire lejos de la superficie del perfil

De nuevo, implica causalidad unidireccional (fuerza-a-fuerza)

Para personas no-técnicas las explicaciones más comunes son suficientes, sin embargo para personas

involucradas en el estudio de la aerodinámica es necesario que se hagan las correcciones pertinentes a estas

ideas erróneas. Algunos pueden decir, que solo la explicación basada en Bernoulli es correcta, o que solo la

explicación basada en las leyes de Newton es correcta. Lo cierto es que las dos son parcialmente correctas:

Bernoulli trata con la velocidad del flujo y la presión superficial

Newton trata con la dirección del flujo y el flujo de momento (fuerzas)

Para hacer frente a estas dos principales ideas erróneas, recurrimos a la siguiente explicación que implica los

conceptos de líneas de corriente y diferencias de presión.

LÍNEAS DE CORRIENTE Y DIFERENCIAS DE PRESIÓN

Cuando hacemos incidir corriente de aire alrededor de un perfil aerodinámico, esta corriente tiende a dividirse

en el borde de ataque de tal forma que tendremos flujo de aire en el extradós y en el intradós. Al hacer esta

“división” en el flujo, podremos observar, como lo ilustra la Fig. 1, que la corriente de aire que pasa en el

extradós tiende a acelerarse y por lo tanto tendrá mayor velocidad que la corriente de aire que pasa en el

intradós. La fig. 3 muestra una selección de fotografías de un experimento de túnel de viento con visualización

de flujo mediante humo. Es importante tomar en cuenta que esto sucede cuando la combadura del perfil es

positiva, la cual es la más común en los perfiles alares.

Fig. 1: Se observa que las líneas de corriente que pasan sobre el perfil, es decir, en el extradós, toman una

mayor velocidad y por lo tanto llegaran al borde de salida antes que las líneas de corriente que van por

debajo del perfil, es decir, en el intradós [2] .

La clave para entender el flujo alrededor de un perfil es examinar las fuerzas que actúan en partículas de fluido

individuales (por partículas, nos referimos a un muy pequeño pero finito volumen (o elemento) del fluido, no

moléculas individuales).

Si bien hay muchos tipos diferentes de fuerzas que actúan en una partícula de fluido, es posible descartar

algunas de ellas, tales como las fuerzas de tensión superficial y la gravedad. De hecho, para la mayoría de los

problemas prácticos de flujos, las únicas fuerzas relevantes se deben a la presión y a la fricción. En primer

lugar, podemos asumir que no hay fricción, debido a que en la mayoría de los flujos, la fricción solo es

relevante en una región muy pequeña cerca de la superficie del solido (capa límite), debido a esto, las fuerzas

por fricción son, en este caso, despreciables.

También debemos asumir el flujo como continuo, esto implica que el campo de flujo no cambia con el tiempo.

Si imaginamos una partícula de fluido con una velocidad variable, como lo muestra la Fig. 2, moviéndose en

una región de presión variable, es decir, en un gradiente de presiones originado por la curvatura de la línea de

corriente y la partícula tiene un tamaño finito h, entonces el frente de la partícula tendrá una presión diferente

que la presión en la parte posterior.

Fig. 2: Partícula de fluido moviéndose sobre una línea de corriente curva por acción de la forma del perfil.

Debido a esto, la partícula experimentara una fuerza neta debido a esa diferencia de presiones, la cual explica la

ecuación (1). De acuerdo con la segunda ley de Newton, esta fuerza causa una aceleración en la partícula y la

velocidad de la partícula se incrementa.

Esto significa, que si la presión cae a lo largo de la línea de corriente, la velocidad se incrementa y viceversa.

𝐹 =𝑚𝑣2

𝑅 (1)

De la Fig. 2, podemos definir:

𝑃𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒 = 𝑃 (2)

𝑃𝑜𝑢𝑡𝑠𝑖𝑑𝑒 = 𝑃 + 𝑑𝑃 (3)

Si señalamos que:

𝑚 = 𝜌𝐴ℎ (4)

𝑑𝑃 = ℎ (𝑑𝑃

𝑑𝑛) (5)

Donde 𝑛 es la coordenada en la dirección normal a la línea de corriente (apuntando afuera del centro de la

curvatura).

Si combinamos (1) con (4):

𝐹 = 𝐴 𝑑𝑃 = 𝜌𝐴ℎ𝑣2

𝑅 (6)

Puede simplificarse como:

𝑑𝑃

𝑑𝑛= 𝜌

𝑣2

𝑅 (7)

La ecuación (7) expresa el gradiente de presión a través de la línea de corriente en términos del radio local de la

curvatura R y la velocidad del flujo 𝑣. Si una línea corriente es recta, entonces 𝑅 → ∞ y el gradiente de

presiones es cero.

La Fig. 3 nos muestra las líneas de corriente curveadas por acción de la forma del perfil, gracias a una prueba

de túnel de viento con visualización de la corriente mediante humo.

Fig. 3: Líneas de corriente sobre un perfil aerodinámico

Lejos del perfil, el aire esta inalterado, por lo tanto la presión es atmosférica (= 𝑃𝑎𝑡𝑚) y las líneas de corriente

son rectas y horizontales. Ahora, consideremos movernos del punto A a lo largo una línea hasta la superficie

manteniendo un camino que siempre es perpendicular a la dirección de la corriente de flujo local. Empezado en

A, notamos que las líneas de corriente son rectas y paralelas, por lo cual no existe un gradiente de presiones, la

presión es igual a la presión atmosférica. Sin embargo, cerca de la superficie del perfil de ala, las líneas de

corriente se vuelven más curveadas y por lo tanto ahora existe un gradiente de presiones a través de la línea de

corriente.

Por lo tanto, si nombramos a la superficie del perfil como B, la presión en ese punto será notablemente menor

que en el punto A (𝑃𝐵 < 𝑃𝑎𝑡𝑚). De la misma manera, podemos imaginar moviéndonos del punto D al C. De

nuevo, mientras nos aproximamos a la superficie del perfil, las corrientes de flujo muestran más y más

curvatura, pero esta vez la presión aumenta hacia la superficie del perfil de ala. En C la presión es por lo tanto

mayor que en D (𝑃𝐶 > 𝑃𝑎𝑡𝑚). Por lo tanto, la presión en B es menor que en C (𝑃𝐵 < 𝑃𝐷), y esto genera una

fuerza resultante de presión en el perfil aerodinámico, es decir, el levantamiento.

Como dedujimos anteriormente, la presión a lo largo de la línea de corriente varia, esto debido a la forma del

extradós y del intradós. Por lo tanto, tendremos presiones diferentes en cada posición a lo largo de esas líneas

de corriente.

Para simplificar esto, generalmente se usa el término coeficiente de presiones el cual relaciona la presión

estática local con la presión estática de la corriente libre, y está dado por la siguiente formula:

𝐶𝑃 =𝑃−𝑃∞1

2𝜌𝑣2

∞

(8)

Donde 𝑃∞ representa la presión estática de la corriente libre, 𝜌 es la densidad del aire y 𝑣∞ es la velocidad de la

corriente libre.

Si consideramos el flujo incompresible, continuo y sin perdida, usando la ecuación de Bernoulli, el coeficiente

de presiones quedara de la siguiente forma:

𝐶𝑃 = 1 − (𝑣

𝑣∞)

2 (9)

Para ejemplificar esto de manera gráfica, la Fig. 4 muestra una gráfica típica del coeficiente de presiones (𝐶𝑃)

de un perfil de combadura positiva en función de su posición en la cuerda (𝑥/𝑐).

El parámetro 𝑥/𝑐 varía desde 0, en el borde de ataque, hasta 1, en el borde de salida, representando la posición

del 𝐶𝑃 en porcentaje de la cuerda del perfil.

Fig. 4: En este caso, el 𝑪𝑷 comienza alrededor de 1.0 en el punto de estancamiento, cerca del borde de

ataque, aumenta rápidamente (la presión decae) en el extradós e intradós y finalmente se recupera a un

pequeño valor positivo cerca del borde de salida [3].

El punto de estancamiento (stagnation point) es el lugar en donde la velocidad del fluido es cero. Debemos

tomar en cuenta, que con un flujo compresible (en la realidad) el 𝐶𝑃 en este punto es un poco mayor que en

nuestra consideración del flujo incompresible.

Otra forma de ver la distribución de presiones, es trazando vectores que representen la presión relativa en la

superficie del perfil. En la Fig. 5, se muestra esta distribución de presiones con vectores que parten de la

superficie del perfil, para representar presión menor a la atmosférica, y vectores que apuntan a la superficie del

perfil, para representar presión mayor a la atmosférica.

Fig. 5: Distribución de presiones sobre un perfil alar con combadura positiva y las fuerzas aerodinámicas

sobre ese perfil.

LEVANTAMIENTO

Ahora que conocemos, que la presión en el extradós es menor que la presión en el intradós, planteamos la

siguiente ecuación:

𝐿 = ∫ (𝑃𝑖 − 𝑃𝑒)𝑐

0𝑑𝑥 (10)

Donde 𝑐 es la cuerda, 𝑃𝑖 es la presión en el intradós y 𝑃𝑒 es la presión en el extradós. La ecuación (10) nos

muestra el levantamiento por unidad de envergadura (mejor conocido en inglés como lift per unit span).

Dada la necesidad de simplificar el análisis del levantamiento generado por un perfil, y en general todas las

fuerzas aerodinámicas actuantes en el mismo, es necesario definir las magnitudes de estas fuerzas como

adimensionales, para ello se ocupan los llamados coeficientes aerodinámicos.

En el caso de los perfiles de ala (al ser un estudio bidimensional) trabajamos las fuerzas aerodinámicas por

unidad de envergadura. Siguiendo la línea de investigación del presente trabajo, la ecuación (11) muestra la

forma de obtener el coeficiente de sustentación de un perfil aerodinámico.

𝐶𝑙 =𝑙

1

2𝜌𝑣2𝑐

(11)

Dónde:

𝑙=Fuerza del levantamiento del perfil

𝜌=Densidad del aire

𝑣=Velocidad de la corriente libre de aire

𝑐=Cuerda del perfil

Como vimos al principio, la curvatura de la línea de corriente cambia en función de la forma del perfil, pero

también cambia en función del ángulo de ataque, por lo tanto también cambia la distribución de presiones del

perfil y por consiguiente cambia la fuerza de levantamiento y su respectivo coeficiente aerodinámico.

Imaginemos que obtenemos el levantamiento de un perfil aerodinámico a diferentes ángulos de ataque y una

vez hecho eso transformamos cada fuerza en su respectivo coeficiente, después graficamos una curva del

coeficiente de levantamiento del perfil en función del ángulo de ataque. Obtendríamos una curva como la que

se muestra en la Fig. 6, que es la forma típica de la llamada curva polar de sustentación.

Fig. 6: Forma típica de la curva de sustentación y algunas de sus variaciones. [4]

Se pueden presentar las variaciones mostradas en la Fig. 6, como son, un cambio en su valor máximo positivo

para el coeficiente de sustentación, un cambio en el ángulo correspondiente para ese máximo, etc.

Fig. 7: Parámetros característicos de una de curva polar de levantamiento, en este caso, de un perfil con

combadura positiva

La Fig. 7, ejemplifica las partes más importantes para la correcta interpretación de la curva de levantamiento

del perfil. Se muestra el parámetro 𝛼𝑜 que corresponde al ángulo de ataque donde el perfil no produce

levantamiento, en el caso de los perfiles simétricos este ángulo de ataque es de 0°. También se muestra el

parámetro 𝑑𝐶𝑙

𝑑𝛼 que representa el valor de la pendiente de la parte cuasi-recta de la curva de levantamiento. Por

último se presentan los parámetros 𝐶𝑙𝑚𝑎𝑥 y 𝛼𝑠𝑡𝑎𝑙𝑙, los cuales representan respectivamente, el coeficiente de

levantamiento máximo que pue alcanzar el perfil y el ángulo de ataque correspondiente, que coincide también

con el llamado ángulo de stall o ángulo de entrada en perdida, que es cuando deja de circular la suficiente

cantidad de aire por el extradós para mantener la diferencia de presiones necesaria para exista levantamiento.

La Fig. 8, muestra una prueba de túnel de viento para visualizar el flujo alrededor del perfil cuando este entra

en perdida.

Fig. 8: Visualización de flujo alrededor de un perfil aerodinámico, incrementando el ángulo de ataque hasta

presentar la perdida de sustentación [5].

ARRASTRE

Otra fuerza aerodinámica presente en el perfil alar importante para esta investigación, es la denominada fuerza

de arrastre o de resistencia al avance.

En general, esta fuerza es la que se opone al movimiento de la aeronave a través del aire, pero en el caso del

perfil aerodinámico, esta fuerza se opone al paso de la corriente de aire alrededor del perfil alar y es

perpendicular a la fuerza de levantamiento y paralela a la dirección del flujo.

La resistencia al avance total de una aeronave, está compuesta por varios tipos de resistencia, tal como lo

muestra la Tabla 1; evidentemente y respetando el título de esta sección, nos enfocaremos únicamente en la

fuerza de arrastre presente en el perfil aerodinámico.

Tabla 1: Componentes de la resistencia al avance total de una aeronave [6].

En el caso de un perfil de ala, las formas de resistencia al avance presentes son: la fricción superficial (conocida

como skin friction en inglés) y el arrastre de forma (conocido como form drag en inglés).

La fricción superficial es una interacción entre un sólido y un gas, por lo tanto, la magnitud de esta fricción

depende de las propiedades del sólido y del gas.

Para el sólido, una superficie lisa produce menos fricción que una superficie demasiado rugosa. Para el gas, la

fricción depende de la viscosidad, en este caso del aire, y de la magnitud relativa de las fuerzas viscosas y el

flujo en movimiento, es decir, el número de Reynolds (Re). La ecuación (12) muestra la forma de calcular el

número de Reynolds, el cual adimensionaliza y relaciona las fuerzas de presión y los esfuerzos cortantes de

viscosidad característicos de un fluido.

𝑅𝑒 =𝜌𝑉𝑙

𝜇 También, 𝑅𝑒 =

𝑉𝑙

𝜈 (12)

Dónde:

𝜌= Densidad del aire

𝑉= Velocidad del aire

𝑙= Longitud o distancia de referencia (cuerda, envergadura, etc.)

𝜇= Coeficiente de Viscosidad Dinámica

𝜈= Coeficiente de Viscosidad Cinemática

A lo largo de la superficie sólida, una capa de flujo de baja energía es generada y la magnitud de la fricción

superficial depende de las condiciones en esta capa, comúnmente llamada capa limite.

Si el Re es relativamente pequeño (aprox. <500,000), la capa limite será llamada “laminar”, es decir, un flujo

ordenado y que cerca de la superficie se mantiene adherido a la misma. En cambio, si el Re es relativamente

grande (aprox. >500,000), la capa limite será “turbulenta”, es decir, un flujo caótico sin mantener aparente

adherencia a la superficie.

La Fig. 9, muestra los diferentes puntos y características de la capa limite (laminar y turbulenta) presente en un

perfil aerodinámico inmerso en una corriente de aire.

Los gradientes de presión en la Fig. 9 muestran la transición de un gradiente de presiones favorable (capa limite

laminar) y un gradiente de presiones desfavorable (capa limite turbulenta) que produce la separación del flujo.

Dentro de la capa limite laminar, se entiende que el flujo más cerca de la superficie tiene una velocidad de cero

y va aumentando en tanto se aleja de la superficie hasta alcanzar un 99% de la velocidad del flujo de corriente

libre. Hasta esta distancia es donde se mide el espesor de la capa límite.

Fig. 9: Esquema de la capa limite (turbulenta y laminar) sobre un perfil aerodinámico

Como vemos, la resistencia al avance por fricción está dada por los esfuerzos cortantes que el flujo produce en

la superficie cuando está en contacto con la misma. El gradiente de velocidades de la capa limite multiplicado

por la viscosidad del fluido, da como resultado el esfuerzo cortante aplicado en la superficie.

Otro componente de la resistencia aerodinámica en un perfil, es la llamada resistencia de forma, la cual se

opone al movimiento de un objeto a través de un fluido.

Como se planteó anteriormente, el flujo alrededor de un perfil produce cambios en la velocidad local y la

presión del fluido. Si recordamos que la presión es una medida del momento de las moléculas de un gas, y un

cambio en el momento produce una fuerza, la variación de la distribución de presiones sobre la superficie del

perfil producirá una fuerza sobre el mismo.

Fig. 10: Perfil aerodinámico en un volumen de control [7].

La Fig. 10 muestra la forma en que el perfil aerodinámico se “sumerge” en un volumen de control con un perfil

de velocidades de entrada 𝑢1 y un perfil de velocidades de salida 𝑢2.

Dada la Fig. 10 y las consideraciones hechas anteriormente, podemos deducir la fuerza de arrastre mediante la

siguiente ecuación:

𝐷 = ∫ 𝜌𝑢2(𝑢1 − 𝑢2)𝑑𝐴2𝑏

ℎ (13)

Esta ecuación representa el arrastre en términos de la velocidad de la corriente libre (freestream 𝑢1) y el perfil

de velocidades “corriente abajo” (downstream 𝜌 𝑦 𝑢2), los cuales pueden ser medidos en un túnel de viento e

integrados numéricamente por la ecuación (13).

Tal como en el caso de la fuerza de levantamiento, para la fuerza de arrastre o de resistencia aerodinámica en

un perfil alar, también existe un coeficiente adimensional para facilitar los cálculos. Este coeficiente se muestra

en la ecuación siguiente:

𝐶𝑑 =𝑑

1

2𝜌𝑣2𝑐

(14)

Dónde:

𝑑= Fuerza de arrastre del perfil

𝜌= Densidad del aire

𝑣= Velocidad del aire de corriente libre

𝑐= Cuerda del perfil

En la Fig. 11, se observa que al igual que 𝐶𝑙, el coeficiente de arrastre del perfil (𝐶𝑑) también se grafica

comúnmente en función del ángulo de ataque, sin embargo, una gráfica más práctica y útil se encuentra a la

derecha de la fig. 14, la cual relaciona el coeficiente de levantamiento contra el coeficiente de arrastre (𝐶𝑙 𝐶𝑑⁄ ),

también llamado eficiencia aerodinámica o lift-to-drag ratio en inglés.

La razón para usar la polar de arrastre (𝐶𝑙 𝑣𝑠 𝐶𝑑) es que al evaluar el rendimiento de un perfil aerodinámico,

los valores de 𝛼 no son en realidad relevantes, lo importante es la resistencia aerodinámica generada por el

perfil y como se compara con el levantamiento. La polar de arrastre logra esta comparación y resume las

características más importantes del perfil alar.

Fig. 11: Curvas características de la resistencia aerodinámica de un perfil [8]

Una de las características más importantes de la gráfica polar de arrastre, es la llamada eficiencia aerodinámica

máxima (𝐶𝑙 𝐶𝑑)⁄𝑚𝑎𝑥

el cual se encuentra cuando una línea que parte del origen es tangente a la curva polar de

arrastre.

Existe otro coeficiente presente en el perfil aerodinámico, denominado coeficiente de momento, sin embargo

para efectos de esta investigación ese tema no será tocado.

La Fig. 12, muestra un compilado de las curvas y parámetros más importantes que plasman las principales

características de un perfil de ala importantes para la presente investigación.

Fig. 12: Graficas características de la aerodinámica del perfil alar

Referencias

[1] “Basic Aerodynamics”, Howard M. McMahon, Cambridge University Press, 2012

[2] “How do wings work?”, Holger Babinsky, Department of Engineering, University of Cambridge, 2003

[3] “Applied Aerodynamics: A Digital Textbook”, Desktop Aeronautics Inc.,

http://docs.desktop.aero/appliedaero/preface/welcome.html

[4] “Understanding Aerodynamics”, Doug McLean, Boeing, Pág. 321

[5] “Flow over aerofoils”, Cambridge University, Video, http://iopscience.iop.org/0031-

9120/38/6/001/media/Animation.mov

[6] “Aircraft Design: A conceptual approach”, Daniel P. Raymer, AIAA Education Series, Pág. 259, Traducido

[7] “Lecture 9 Notes: Fluids”, MIT course: Fluid Mechanics and Aerodynamics, Prof. Paulo Lozano

[8] “Lecture 19 Notes: Fluids”, MIT Course: Fluid Mechanics and Aerodynamics, Prof. Paulo Lozano