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Math. Ann. 288, 345-360 (1990) Itlelemlixk Jlnnalea �9 Springer-Verlag 1990

Une caract risation de la propri t de Radon-Nikodym analytique pour les espaces de Banach isomorphes a leur carr6s

Shangquan Bu* et Bouchta Khaoulani**

C.N.R.S. Universit~ deParis7, U.F.R. de Math6matiques, Tour 45-55, 2 Place Jussien, F-75251 Paris Cedex 05, France

Regu le 9 janvier 1990

Introduction

Dans son article "Bounded holomorphic embedding of the unit disk into Banach spaces" [A], Aurich a introduit la propir6t6 suivante qu'on va noter par (*): Un espace de Banach complexe a la propri6t6 (*) si toute fonction injective r6guli6re de H~~ X) est non propre, c'est ~i dire ([A] lemme), qu'elle admet au moins une limite - non n6cessairement radiale - sur le bord de D, off K) est le disque unit6 ouvert de ~. Cette propri6t6 est doric n6cessaire pour avoir la propri6t6 de Radon- Nikodym analytique (en abr6g6 (RN)a), toutefois il a montr6 que la propri6t6 (*) est 6quivalente fi la (RN)a pour les espaces de Banach complexes r6ticul6s. Rappelons la d6finition de cette propri&6 [B-D]: Un espace de Banach complexe a la propri6t6 de Radon-Nikodym analytique si toute fonction analytique uniform6ment born6e d6finie sur K) fi valeurs dans X admet des limites radiales presque partout sur le bord de D. Le but de ce travail est de montrer que ces deux propri6t6s sont 6quivalentes pour les espaces de Banach complexes isomorphes leur carr6. Dans [Bu 2], le premier auteur a montr6 que si un espace de Banach complexe n'a pas (RN)a alors, pour tout e > 0, il existe une fonction F e H~~ X), IJFIl ~ < 1, telle que:

lim sup PI F(re i') - F(r'e t') I] > 1/2 - ~, rTl,r'T1

pour presque tout (t, s)e [0; 2~] 2. Le th6or6me de base dans ce travail est le suivant:

Th~or~me 1. Soit X un espace de Banach complexe n" ayant pas la propridtd (RN)a, alors il existe une fonction analytique F de K) clans X uniformdment bornde (i.e. FeH~~ il existe une constante c > 0 et une suite (r.)n~ o dans [0;1[

* Aussi ~ Universit6 de Wuhan, Chine ** Aussi ~t E.N.I.M. Rabat, Maroc

346 S. Bu et B. Khaoulani

strictement croissante vers 1 telles que pour tout n �9 N, (t, s) �9 [0; 27c] 2 et pour tout r<=r n On a :

[] F(re i') -- F(r. + i ei')II _-_ c.

La d6monstration de ce th6or6me utilise trois lemmes techniques ne demand- ant que des connaissances sur les fonctions ext6rieures et des m6thodes de r6gularisation par certains noyaux, comme ceux de Poisson [R] et de Fej6r [D]. Lorsque X est isomorphe ~ son carr6, on a une am61ioration du th6or6me 1.

Th6or6me 2. So i tXunespacedeBanachcomp lexen 'ayan tpas lapropr i~ t~ (R N)ae t isomorphe d son carrY, alors il existe F e H~~ X x X), IIFII~<I, il existe une constante c > 0 et une suite (r.). >= o dans [0; 1 [ strictement coissante vers 1, telles que :

II F ( re i t ) - - F ( r ' e i s ) H >= c

pour tout n e N , r<r . , r '>r .+ l , et pour tout (t ,s)e[0; 2re] 2.

Ce th6or6me nous permet de montrer l'6quivalence entre les propri6t6s (*) et (RN)a pour les espaces de Banach complexes isomorphes ~ leur carr6.

I. Notat ions et D6finitions

Soit X un espace de Banach complexe, on rappelle la d6finition d'une fonction pluri-sousharmonique [C]: soit 49 : X ~--~Rw{ - ~} une fonction semi-continue sup6rieurement, 49 est pluri-sousharmonique si, pour tout x, y e X , 49(x)

2,~ i t dt < ~ 49(x+e y)~-~. P S H I ( X ) sera alors rensemble des fonctions pluri-

o

sousharmoniques Lipschitziennes d~finies sur X. Soit A un sous-ensemble non vide de X, on appelle enveloppe PSHl -convexe

de A [G-M] et on note PSHX(A) (ou tout simplement par 4) l'ensemble des x �9 X tels que 49(x)~ sup 49(y) pour tout 49�9 ce qui veut dire que x � 9 si et

yeA seulement si, pour tout 49 e PSHI(X) , 49 < 0 sur A implique que 49(x)< 0.

Notons que par [El (voir aussi [G-M]), on a: x �9 PSH~(A) si et seulement si

2re inf ~ dist(P(e~'), A) d t = 0 ,

o 2~

o3 rinfimum est pris sur l'ensemble des polyn6mes P de D dans X tels que P(0) = x. Une tranche P S H 1 de A es tun ensemble de la forrne {~p > 0} h A , ofa ~p �9 PSHI(X) . On notera par d(x, A), la distance d'un point x ~ l'ensemble A. Bx d6signera toujours la boule unit6 ferm6e d'un espace de Banach X. B(x, r) sera la boule ouverte de rayon r centr6e en x.

Le noyau de Fej6r est d6fini sur [0; 2rc] par:

on sait que si h est continue sur [0; 2z], alors (K. * h)._>__ x est une suite de polyn6mes trigonom6triques qui converge uniform6ment vers h sur tout sous-ensemble [ct; 2n-~t], ~t>0 IDa]. Le noyau de Poisson est d6fini sur [0; 2rc] par:

1 - - r 2

P,(t) = 1 - 2r cos t + r 2 ' Pz(s) = P , ( t - s), z = re u �9 D .

Une caract6risation de la propri6t6 de Radon-Nikodym 347

On note par A(K)) l'alg6bre du disque, et finalement pour A___ [0; 2~], 2(A) sera la mesure de A par rapport / t la mesure de Lebesgue normalis6e sur [0; 2n].

II. D6monstration des Th6or6mes

Le lecteur remarquera bien l'analogie entre les lemmes 1, 2 et 3 qui vont suivre et les lemmes g6om6triques 4.2 et 4.3 dus/ l Bourgain dans [Bo].

Lemme 1. Soit X un espace de Banach complexe et e > O, on suppose qu'il existe une fonction F de H~(ID;X), [IFII~<I, telle que pour presque tout t~[0 ;2~] , lira sup IIF(reit)-F(r'ei~)l I > 3e; on pose Co= U 2F(~)). Alors pour tout 3>0, r ~ l , r ' T 1 I , t l< 1

6 < 3e/2, n e N et pour tout x l, ..., x~ de X , ~ B(xi, fi) ne contient aucune tranche P S H 1 non vide de Co. ~ <<-~<-"

Ddmonstration. On montre d'abord la propri6t6 pour C = F(K)), soit S = {~v > 0} n C une tranche P S H ~ non vide de C telle que SC ~ B(xi ,6 ), pour chaque

l < i < n

j = 1, ..., n, la fonction Fj d6finie sur K) par Fj(z)= 11 xi-F(z)II est sousharmonique born6e donc elle admet une limite radiale fj{e ~t) pour presque tout t de I-0; 2z]; soit A C [0; 27r] de mesure 1 sur lequel Fj convergent radialement pour j = 1,..., n, et z de K) tel que ~v o F(z)> 0. Comme tp o F est sousharmonique born6e, il existe B contenu dans [0; 2~] de mesure strictement positive tel que pour tout t de B, il existe rt > 0 tel que pour tout r ~ [rt; 1 [, F(re it) ~ S C I,..) B(xi; 6) (voir [G-M] et

l < i<n [Bu 1]).

Soit t ~ A n B , alors inf f~(e") <_ 3, donc il existej(t) tel que f ~(t)(e zt) <__ c5 on aura alors: ~ <j<-n

lim sup [I F(reit) - F(r ' eit) II r~ 1,r'~" 1

< lim II F(tea) -- xj,)II + lim II F(r'eit) - xjto II r T I r ' ~ l

= fito(e it) + fjto(e it ) ~ 23 < 3e,

ce qui contredit l'hypoth6se du lemme et ach6ve la premi6re partie. Soit maintenant S={ tp>0}nCo une tranche P S H ~ non vide de Co, alors

{~v > 0} n ( U 2F(ID)~ est non vide. En effet, si c'est le contraire on doit avoir F(D) \ Izl = 1 ]

C ~ {tpa < 0} off lpa(x) = ~p(2x), fixons x ~ F(D), la fonction tk d6finie sur D par 141 = 1

~b(2) = tp(2x) est sousharmonique continue sur ID, si 121 < 1, on a alors, tp(2x) = ~b(2)

< I dp(e")Pa(t) o6 P~ est le noyau de Poisson au point 2, on a donc v2(2x) 0

2n d t < [" ~ 2nn <0, ce qui contredit le fait que S soit non vide.

0

Soit 121= 1 tel que {~v>0}c~2F(K))~0, on pose F ~ = 2 F alors F~(K))=2C et comme 121 = 1, Fa verifie les hypoth6ses du lemme et donc {~p > 0} c~2C ne peut ~tre contenu dans ~ B(x~; 6) d'apr6s la premi6re partie, il en est alors de m~me pour

l <i<n

s= {tv>0}nCo.

348 s. Bu et B. Khaoulani

Lemme 2. Sous les hypotheses du lemme 1, si on pose C~ = C o + z B x pour z > 0, alors aucune tranche PSH ~ non vide de C~ ne peut ~tre contenue dans une rdunion finie de boules de rayons inf~rieurs ou ~gaux ~ ~ et ceci pour tout 6 < 3e/2.

D~monstration. On a C~= ~ (Co+x), soit S={~p>0}nC~ une tranche PS H ~ Ixl-<~

non vide de C,. Comme {~p > 0} c~ C~ = i1_,~..~,,___ ({~p~ > 0} n Co + x) of~ ~o~(y) = v?(x + y),

il suffit de montrer qu'il existe IIx II _-< �9 tel que {~px > 0} c~Co ne peut Otre contenu dans une r6union finie de boules de rayons inf6rieurs ou 6gaux ~t 6; or S est non vide il existe alors Ilxll ~ ~ tel que {~p~ > 0}riCo # O, d'apr6s le lemme 1, cet ensemble r6pond h la question.

Lemme 3. Sous les hypothdses du lemme 1, pour tout z > 0, pour tout 3, 0 < 6 < 3e/2, pour tout x e C~ et pour tout sous-espace E de X de dimension finie, on a x ~ PSH ~ [C,\(E + 6Bx) ].

D~monstration. Comme C~=Co+zB x et CoCB x, on a alors (E+JBx)C~C ~ C[(I+z+t3)Bn+6Bx]C~C~, ofa B e est la boule unit6 ferm6e de E; or B e est compact, ( l + z + g ) B E est donc contenue dans une r6union finie de boules B(Xl;Ct),..., B(x,;0t) de X of 1 0 < ~ < ( 3 e / 2 ) - ~ , on a alors (E+t3Bx)nC ~

cl U CF U U l ~_j~_n .J [_l < j~_n I

Soit xeC~ et ~ePSH~(X) , ~p<O sur C~\(E+fiBx), si ~p(x)>0, alors x e S = {~p > 0} n C~ et S ne rencontre pas C~\(E + 6Bx), on a donc S C [C~\(E + 6Bx) ] ~ nC,=(E+t$Bx)C~C~C U B(xj;0t+6), ce qui contredit le lemme2 puisque ~t + f < 3e/2. ~ <=J<="

On note P(D; X) l'ensemble des polyn6mes de K) dans X, et A(D; X) son adh6rence dans H| X). Soit P u n polyn6me de K) dans X et E(P) le sous-espace vectoriel de X engendr6 par P(D), alors E(P) est de dimension finie; avec les notations du lemme 2, pour tout 3 > 0 et 1 < z < 2 , on pose D(P; z; 6)= C~\(E(P) + 6Bx).

Lemme 4. Soient ~ > 0, 1 < z < 2, 0 < fl < 1, e 3a - 1 < 4fl et P ~ P(D; X), P(D) C C~, on suppose qu'il existe un ~l~ment Q(zl,z2) de C~176 • IS); X), ~l~ment de A(ID; X) par rapport ?t z 2 pour tout z 1 de ID vdrifiant:

1)

2)

Alors, apport

i)

ii)

iii) Ql(e u, O) = P(ei').

Q(eit, O)=P(e t') pour tout t de I-0; 2hi , (1)

2f d(Q( eit, e'~), D(P; z; 6 ) ) ~ < f12 pour tout to de [0; 2hi . (2) 0 LT~

il existe un ~l~ment Ql(Zl, Z2) de C~(IDx ID;X), ~l~ment de A(ID;X) par ?t z 2 pour tout z I de IT_) v~rifiant:

d(Ql(e i', ei~), C~)< 15fl, pour tout (t, s) de [0; 2hi 2 , (3)

I d(Ql(ei',e~9,D(P;~;~)) <22fl, pour tout te[O,2rc] (2') 0

(1 ')


D~monstration. On pose d(t, s) = d(Q(d t, eiS), D(P; z; 6)), comme log + x < x pour tout x > 0, on doit avoir d'apr6s (2):

d ds <fl ~'o l~ -~(t,s)~-~

pour tout t de [O;2g]. Soit ~< 1 tel que IIQ[loole~-e-~]< B, puisque

log + f ie C([O; 2g]2], il existe donc g e C~176 2g] 2) telle que

d l~ f l - - g oo <=" (4)

On note de mSme son extension biharmonique par g, g sera donc biharmonique sur D x D et continue sur ~ x ID. Pour chaque z I de D, soit ~(zl, .) le conjugu6 harmonique de g(zl, �9 ) v6rifiant ~(zl, 0 )= 0. On pose pour tout zl, z2 de D, G(zl, z2) = exp [g(zl, z2) + i~,(zl, z2)], alors G ~ C~176 x D) et pour tout z 1 de ~[), G(z,, . ) e A(ID).

Pour simplifier on idenfifie (t, s) au couple (e", d'). Par (4) on a pour tout (t, s) de [0; 2~] 2

( t , s ) v l <[G(t,s)l<: ( t , s )v l ,

soit G '= (d/fl) v 1 G sur [0; 2re] 2, on a toujours IG'I > 1, d'autre part: IGI

i) Si IG'I = 1 (i.e. d/B< 1), comme D(P; z; 6) est cercl6 alors,

d/Q(t, s) ) ~ , D(P; z; 6) = d(Q(t, s), D(P; z; 6)) < B. (5)

ii) Si IG'l > 1 (i.e. IG'I =d/B> 1), soit y~D(P; z; 6) tel que d(t,s)< I[Q(t,s)-yl[ 2d(t, s), alors

G (t,s) = G'(t,s) IIQ(t,s)-yl[ <<_2fl,

or C, est 6quilibr6, donc ~ G'(t, s) C, et on a alors

Q(t, s) c,] _< 2B, (5') d \G'(t, s)' /

d'autre part, en tenant compte du fait que II Q[I ~] e~-e-~l < fl et ]G'I > 1 on trouve que

Q(t,s) Q(t's) I <fl (6) G'(t,s)

1

pour tout (t, s)e [0; 2~] 2 et donc

:Q(t, $) C,~ =< 3/3 (7)

a \G(t, s)' /


pour tout (t, s) E [0; 2•] 2. D'apr6s (4) on a e -p < G(t, 0) < e 2~ pour tout t e [0; 2n] et comme II P II ~o < l + + < 3, on a alors

Q(t, O) P(ei') =<12fl (8)

(o(,,,) pour tou t t e [ O ; 2 n ] . On va main tenant estimer la quanti t6 I d o \a(t,s)'

D(P; +; 6) ~ et ceci pour tou t t de [0; 2n]. Soit t e [0; 2n], d'apr~s (6), on a

2 i d Q(t,s) ~,n 6) ~ = o \G'(t,s)' ~ , v ( r ; + ; < d D(P;z;6) +fl

soit A={s~[O, 2n]:d(t,s)>fl), on a alors 2(A)<f l pour tout t de [0 ;2n] , d 'autre part , d'apr6s (5) et (5') on aura pour tout (t, s )e [0; 2n]2:

Q(t,s) . . . . ( Q(t,s) C,'~ d ( ~ , u t r , + ; 3 ) ) <d + d i a m ( C ~ ) < 2 f l + 6 < 8 , - \G'(t,s)' ]

d'ofl,

Q(t, s) ~A d ( ~ , D(P;

D'aut re part , d'aprSs 5), on a aussi

ds +;6) ~ <_-8t~.

~o d \G(t,s)'(Q(t's) D(P; +; 6)) ~ds <fl,

on a donc

, ~ . ,, O(P; +; 6) < 10ft k t, tt, s)

(9)

pour tout t e [O ,2n ] . Pou r tou t z~, z 2 de ID, on pose

Q(z,,z~) O(z.0) Ql(zl,z2) -= - - - - + P(zO, (10) O(zl,z9 G(z.O)

alors on peut facilement mon t r e r que Q1 v6rifie la conclusion du lemme.

Lemme 5. Soit 0 < e < 1, 0 < 6 < 3e/2, A > sup(8e, 9e/6), fl < e/49A et Pun polynOme de K) darts C,. On suppose qu'il existe Ql(Zl,Z2)eC~(YE)xlE);X) tel que QdZl, . ) eA(ID; X) pour tout z 1 de lfl et v~rifiant:

i) Ql(t,O)=P(e")pour tout r e [ 0 ; 2n] , (11)

ii) d(Ql(t,s), C,)~fl pour tout (t, s) de [0; 2n] 2 , (12)

2~ ds iii) o ~ d(QI(t,s),D(P;z; 6)) ~ <fiE pour tout t de [0; 2n] . (13)


Alors il existe Q'(zI, z 2 ) � 9 1 7 6 1 7 6 tel que pour tout z t de 117), Q'(zl, �9 ) �9 A(R]7); X) et verifiant:

1) Q'(t, s) �9 C, + 9[3 pour tout (t, s) �9 [0; 2rt] 2, (12')

2) d(O'(t, s), E(P))> 5e/6A, (14)

3) Q'( t ,o)=e(e it) pour tout t de [0; 2x]. (11')

DOmonstration. On pose

L = {(t, s) �9 [0; 2x] 2 :d(Ql(t, s), D(P; z; ~)) > fl} (15)

alors, 2(L) < fl; posons d(t, s) = d(Q l(t, s), D(P; z; 6)), on a alors d e C([0; 2~] 2) donc on peut choisir gl eC| 2~] 2) tel que ][gl - (d / f l )^ 11[~o <~ o5 0<~<f l /3 , on aura donc, - ~ < g l < 1 +a .

Soit g = g l + 2 ~ , alors 0 < ~ < g < l +3~, on a pour tout t e [ 0 , 2 n ]

f2~ i, i~ d s ) 2~ i~- ds 2~t " i - ds e x p , ! l og (g (e , e ))~--~ < ! g(eit, e ) ~ n = ! g l (e ' t , e~ )~+2o~

2rt is ds --- I (1 Ad/fl)(ei',e ) ~ +3~<f l+3c~<2f l .

o

On a donc une fonction g �9 C~ 2n]2), g > 1 sur L,

0 < ~ < g < 2 IIg--lLlla < 3fl (16)

et pour tout t �9 [0; 2zt], on a

( i ~ i t i ~ d s \ _ exp log(g(e , e )) ~-~) < 2fl, (17)

( i " i ' i s d s \ _ exp log(1 +g(e ,e ))~-n) < 1 + 2 / / . (17')

Pour tout t de [0; 2zt], soient T(t, �9 ) et R(t, �9 ) les fonctions ext6rieures associ6es respectivement h g(t, �9 ) et 1 + g(t, �9 ), alors pour tout t de [0; 2n], T(t, . ) et R(t, �9 ) sont dans A(~) et T et R sont dans C~176 2n]2).

QI(ID x ID) est un compact de X donc, il existe xl, x2 ..... x, de X tels que QI(ID xlD) soit contenu dans [.) B(xi, e/A), soit E t = e v [ x l . . . . . xn, E(P)], c'est un

l <.i<=n

sous-espace vectoriel de X de dimension finie donc, il existe y �9 X \ E I , llYll = 1 tel que pour tout z � 9 et pour tout 2 � 9 on ait;

[ly+zll >�89 (18)

ll2y + zll > �89 (18')

Q t(t, s) + T(t, s)y _ x On va estimer la quantit6 pour tout x �9 E(P) et pour tout (t, s) �9 [0; 2r0 2. R(t, s)

a) Si ( t , s ) � 9 alors ]T( t , s ) l=g( t , s )>l et 2 < l + g ( t , s ) = l R ( t , s ) l < 3 , soient z�9 Ilzll <~/a et i � 9 n] tels que Q l ( t , s ) = x i + z , on a alors d'apr6s (18')

.Ql(t, s )+T( t , s ) y _ x l l > l R(t, s) ,, = ~ I[(xi- R(t, s)x) + T(t, s)y 11 - e/3A

1 -,/3A>= ~ -,/3A. >- -6 IT(t, s)l


b) Si (t, s) e L ~, alors il existe z' �9 C~ tel que dist(z', E(P)) > c5 et ]l Q t( t, s) - z' [1 < fl, si Qz(t,s)=x~+z off llz[I <e/A alors:

I] Ql(t,s)+ T(t,s)y 1 ] ~ , - ~ - x >= -j I l x i -R( t , s )x+ Z( t , s )y[I -e /3h

[r(t,s)l 1 s)x)+ y - ~ ( x i - R ( t , - e / 3 A > (6--fl)--e/2A.

Q ~(t, O) + T(t, O)y d'apr6s (18)). O n va estimer la quanti t6 II- R(---~, 0~ - P(d ' ) ] , en effet comme

(2~ ds ) > 1 et IT(t,O)l<2fl, pour tout 1 + 2fl > R(t, 0) = exp l o g 0 + g(e'~)) ~-n -

t � 9 2r~] on a:

0 )+ T(t, 0) y

-< IlPll ~o l1 - R(t, 0)l + IT(t, 0)l < 3 (2fl) + 2 / /= 8ft.

Pou r tout (zl, z2) de ID x ID on pose:

Ql(Zl, z2) + T(Zl, z2)y Q~(z. z2)= R(z 1, z2)

Q"(z 1, z2) = Q2(zl, z2) - Qz(zl, o) + p(zl) ,

alors Q " � 9 2) et pour tout t �9149 Pour tout (t,s)E [0;2i t] 2 et x �9

[[Q"(t,s)- x[I > I[Q2(t,s)- xll - IIQz(t, O)- P(eU)l[

> inf (16 - e/3A, ~(~ - f l ) - e /2A) - 8fl

> inf(~ - e/3A, ~(6 - (e /49A))- 8e/49A > # A - ~]6A = 5~/6A.

On d6duit alors que pour tout (t, s ) � 9 [0; 2/~] 2 et tout x � 9 E

11Q"(t, s ) - x [I > 5#6A.

I1 rest�9 fi mont re r que Q"(t, s) �9 C~+ga pour tout (t, s ) � 9 [0; 2g] 2. Pa r hypoth6se d(Ql(t, s), C,) ~ fl pour tout (t, s) �9 [0; 27t] 2, soit alors t, s de [0; 2n], il existe x �9 C, et Ilzll ~ 1 tels que Ql(t, s) = x + flz, or C, = Co + ZBx done il existe xt �9 Co et x 2 �9 zBx tels que x = x i + x 2 , et comme CoCBx, on a alors IIx~l[< 1.

Soit 2=l /R( t , s ) et #=T(t ,s) /R(t ,s) , alors on a [21+1#1<1, doric Q2(t,s) =2xa+A(x2+f lz )+#y , mais 121<1 done 2 x 1 � 9 0 de plus z > l done x2 + flze(z + fl)B x, or y �9 + fl)B x donc, ).(x2 + flz)+ l iye(z + fl)Bx, on d6duit alors que Q2(t ,s) �9 et comme HQ2(t,O)-P(eit)l]<8fl, on d6duit que Q"(t, s) �9 C~ + 9~ pour tout (t, s) �9 [0; 2/t]2.

On pro long �9 Q"(t, s) a lid x ll) par le noyau de Poisson, on obt ient alors une fonction Q'(zl, z2) �9 C~~ x ID, X) telle que pour tout z 1 �9 ID, Q'(t, �9 ) �9 A(ID; X) et v6rifiant 1), 2) et 3) du lemme 5.

Des lemmes 4) et 5) on d6duit facilement la proposi t ion suivante:

Prolmsition 1. Soient e > 0, 0 < z < 3#2, 1 < ~ < 2, ~b(fl) une fonction strictement positive au voisinage de 0 telle que dp(fl) = o(fl). Alors il existe ~p(fl) > 0, ~o(fl) = 0(fl) au

Une caract6risation de la propd6t6 de Radon-Nikodym 353

voisinage de O, il existe A > 1, telles que si Pes t un polynt)me de D d valeurs darts C, pour lequel, il existe un ~l~ment Q(z 1, z2) de C ~ ( 9 x 9 ; X) tel que Q(zl, �9 ) �9 A ( 9 ; X) pour tout z~ � 9 et v:.rifiant:

i) Q(t, O) = P(e i') pour tout t �9 [0; 2rc], (19)

ii) ! d(Q(t,s),D(P;~;~)) <dp(fl) pour tout t � 9 (20)

Alors il existe Q'(zl, z2) �9 C ~ ( 9 x 9 ; X) telle que Q'(zl, �9 ) �9 A ( 9 ; X) pour tout Zl de D, et tel que :

1) Q'(t, O) = P(e it) pour tout t �9 1-0; 2hi ,

2) Q'(t, s) �9 C~ + ~ttJ) pour tout (t, s) �9 [0; 2rc] 2,

3) d(Q'(t, s), E(P)) > e/A.

(19')

(2o')

(21)

Dans ce qui suit, on va identifier le tore T orient6 dans le sens trigonom6trique et l'intervalle [0; 2re]; 2 sera la mesure de Lebesgue normalis6e sur [0, 2rc].

Soit K > 0 , ~ chaque intervalle I=[a ;b ] de T, on associe une fonction lipschitzienne h ~ sur T d6finie par:

1) Si 2(I)>=1/K, ht(t)_ - ~1 sur [a+(1/2K);b-(1/2K)]

(o sur [b; a]

h ~ est affine de pente 2K sur [a; a+(1/2K)] et de pente - 2 K sur [b- (1 /2K) , b]. 2) Si 2(1)< 1/K,

a + b

hg(t)={20(I)K surP~ t = - -~ - [b , a ]

h ~ est affine de pente 2K sur [a; a+(1/2K)] et de pente - 2 K sur [b- (1 /2K); hi. Soit K,(e it) le noyau de Fej6r sur [0; 2rc], alors (K, * hi),_> 1 est une suite de

polyn6mes trigonom6triques qui converge uniform6ment vers ~r et runiformit6 de la convergence ne d6pend que du degr6 de continuit6 de h x, donc l'uniformit6 de la convergence ne d6pend que de K d'apr~s la d6finition de h r.

Soient t 1 ..... tNN points de T tels que 2([ti; ti+ 1])= 1/N; ~ chaque t �9 [ti; ti+ 1[, on associe deux intervalles It = It; t'] et J, = It'; t] of~ t '= t + 2nN2([ti; t]). On pose: G,(t, e is) = K , * hlt(e is) et n,( t , e is) = K~ * h~t(ei~), alors G,(. , e is) et n , ( . , e i~) sont continues dans chaque intervalle [ti; ti + 1 I-, et 2K-lipschitziennes pour tout s de T.

Proposition2. Soient e>0, l < z < 2 , 0<tS<2e/3, A > s u p ( l ; 8 e ; 9e/6) et 0 < fl < inf(1 ; e/49A), soit Pu n polyn~me de 9 dans C~, E(P) = ev[P(9)], t l , . . . , tNN points de T tels que 2([ti; t i+l ] )= 1/N et pour tout s, t de [_ti; ti+l], Ie(s)-P(t) l < fl2/16. On suppose qu'il existe N polynt)mes g~ . . . . , gN de 9 darts X tels que

g,(0)--0 ! d(P(t~)+g,(e~),D(P;~;~)) .<fl2/16 (22)

pour tout i = l , . . . , N . Alors il existe A'>sup(A;1) , il existe Q(z l , z2 ) �9176176 x 9 ; X), Q(z~, �9 ) � 9 A ( 9 ; X) pour tout z~ de 9 et vdrifiant:

l) Q(t,O)=P(t) pour tout t de T , 2) Q(t,s)�9 pour tout ( t , s ) � 9 2, 3) d(Q(t, s), E(P)) > ~/A' pour tout t, s de T 2.


D~monstration. Soit M = sup {1 v ]lgillLip v I[gil] ~o} et K un entier plus grand que l _< i_<N

( 2 4 + 4 8 M ) / f l 2, il existe alors un entier no tel que p o u r tout (t,s) de T 2 on a:

[hl~( e is) - K , o * ht'( eis){ ~ f12 /16 M

[hS'(e i~) - K,o * hS'(ei~)[ < fiE~16M.

O n pose alors:

G(t, e is) = K,o * hf'(e i~)

H ( t , e is) = K.o * hSt(eiS) ,

soit N1 un entier naturel assez g rand tel que eiNlSG(t, e is) et eiN~H(t, e is) soient des po lyn6mes t r igonom6tr iques en e i~ don t les coefficients de Four ie r n6gatifs ou nuls sont nuls. P o u r tout t de I " et k > N 1 on d6finit une fonct ion Tk sur T x T par :

Tk(t , e is) -: P( t) + gi(eikSH ( t, eis)) d- gi + l(eikSG( t, eis))

p o u r tout s de T et p o u r tou t t de [ti; ti+ a [. Tk est un po lyn6me en e is, il e n e s t done de m~me pour son extension

h a r m o n i q u e / t ~) par r a p p o r t / t e i~ qu 'on va noter aussi pa r T k, on a alors p o u r tout t de T , Tk(t, 0) = P(t).

D'apr6s ce qui pr6c6de T k est cont inue fi droi te en chaque ti et p o u r t = t i, on a:

Tk(ti, e is) = P(ti) + gi(eik~H (ti, eiS)).

Q u a n d t tend vers ti, t �9 [ t i - 1; ti[, on a

Tk(t, e i~) = P(t) + gi - l(eikSH( t , eiS)) + gi(eikSG( t , ei~)),

I t tend vers [0; 2n] et J t tend vers {t~} et pa r cons6q.uent h st tend vers 0, c'est fi dire que H(t, e i~) tend vers 0 et G(t, e i~) tend vers H(ti, e'~), done Tk(t, e is) tend vers P(ti) + gi(elkSH(ti, ei~)), ceci m o n t r e que Tk est cont inue en chaque ti et pa r cons6quent TR est cont inue pa r r a p p o r t f i t .

Soient a~ . . . . . aa, A points de T- te ls que:

2 ( [ a , ; a i + , ] = l / A A > N 1 / A < f l 2 / 8 K ,

pour aj fix6, il existe i �9 [1; N] , aj �9 [t~; t~ + ~ [, on a alors I P ( a j ) - P(q)l < flz/16. O n va est imer la quanti t6

l im d(Tk(aj, eiS), D(P; z; 6)) 2d~sn. (23) k"* oo

P o u r ceci on au ra besoin du l emme connu suivant:

Lemme 6. Soit f (e it, e i~) une fonct ion continue s u r '7~ 2 ~l valeurs dans IE alors

2~ 2 . 2 n is" dt ds k-.~o o l i m ~ f ( e it, e m) ~ n = ! [. f ( e i', e ) ~ 2n "

O n a d 'apr6s la d6finition de G e t H p o u r tou t s �9 T

[ht'J(e i~) - G(aj, eigl < f12/16M

[h~"J(e i~) - H (aj, et~)l ~ f l2 /16M,


il existe alors A =c I~j, 2(A) > 2(I~j) - 1/K, B c= J,j, 2(B) > 2(Jaj ) - 1 / g et A n B = 0 tels que

A c= { 1 - f12/16M < G(aj, e is)

< 1 + f12/16M} c3 { - f12/16M < H(aj, e '~) < f12/16M},

Be__ { -- f12/16M < G(aj, e")

< f12/16M} ~ { 1 - f12/l 6 M < H(aj, e ~) ~ 1 + f l z /16M}. D'aut re part , on a

21r d s lim ~ d(P(aj) + g~(e~k~H(aj, ei~)) + g~+ l(eikSG(aj, ei~)), o ( e ; ~; 8)) 2-~ k 'o oo 0

2~ 2~ ds dot = ! ! d(P(aj) + gi(ei~H(aj, eis)) + gi + l(ei~G(aj, eiS)), D(P; z; 8)) 2n 2 n '

par le lemme 6). P o u r simplifier on pose:

d(s, ct) = d(P(aj) + gi(ei~n(aj, ei~)) + gi+ l(ei~G(aj, ei~)), D(P; z; 8)),

on a alors

2n ds dot ds ds

( A ~ B ) c A B

Comme P(aj) ~ C~, gi et gi + 1 sont born6es par M alors d(s, ~) < 1 + z + 2M, on a donc

ds d(s, ct) ~ < ~((AuB) ~) x (3 + 2M)

( A u B ) c

et = (2/K) • (3 + 2M) < (6 + 4M)fl 2 < fl2/4

2 4 + 4 8 M =

ds ds ~, d(s, ct) f~n < ~A [Igi(ei~H(aj' e/s))[I Tnn

A

+ ~ i~ ~_ d(P(aj)+gi+l(e G(aj, eiS)),D(P;z;8)) <=2(A)M[32/16M A

+ ~ [[IP(a~)- P(ti+ 1)1[ + I[gi+ 1( ei~)- gi+ l(ei~G(aj, eiS))l[ A

+ d(P(ti + 1) + gi + l(ei~)o(e; z; 8)] d s 2~

= 2(A)flz/16 + 2(A)fl2/16 + 2(A)Mfl2/16M + 2(A)d(P(ti + 1) + gi + l(e~), D(P; ~; 8)) =< (3/16)fl 2 -t- d(P(t, + 1) -F g i + 1 (ei~), D(P; z; 8)).

En utilisant les hypoth6ses (22) on d6duit alors que:

2~ dot ds _<(3/16)fl2 +f12/16=f12/4 d(s, ot) _ 0

En faisant le m~me ra isonnement on trouve:

2• dot ds o dis, ot) <= # V 4 ,


d'ofl pour tout j ~ [1, A]:

ds < 3fl2/4" lim d(Tk(aj, ei~), D(e; ~; ~)) ~ _ k ~ o o

Soit t e T et aj tel que ]t-aj]< I/A<fl2/8K, on a donc, II Tk(aj, eiS) - Tk(t, eiS)[] < 2K la~-- tl < fl2/4, d'ofl

2~ ds lim ~ d(Tk(t , e~), D(P; z; 6)) ~ < f12.

k--* oo 0

On vient de montrer qu'il existe T(t, s) ~ C(1~ x T, X) telle que pour tout t de T, T(t, �9 ) est un polyn6me de K) dans X de degr6 ind6pendent de t et v6rifiant:

i) T(t, O)= P(t) pour tout t de T,

ii) I d(r(t,s),D(P; z; 6)) __< fl2 pour tout t de T. r(t,z)s'6critsouslaforme: 0

k = N

Z aa(t) zk + P(t), k = l

off t~T , z~K) et ak~ C(T; X). Soit b k l'extension harmonique de ak ~i K) et k = N

T'(t,z)= Y, bk(t)zk + p(t) k = l

pour (t,z)elD • E), alors T ' e C~176 K); X), de plus, pour tout t de ID on a, T'(t, �9 ) ~ A([); X), T'(t, z) = T(t, z) pour tout t de 1" et pour tout z de ~), T'(t, O) = P(t) et

2n ds ! d(T'(t, s), D(P; z; 6)) ~ < f12

On est maintenant dans les conditions de la proposition 1, alors il existe A' > 1, il existe Q(t, s) ~ C~~ • ~ ; X), Q(t, �9 ) e A(ID; X) pour tout t de K) et v6rifiant:

1) Q(t,O)=P(t) pour tout t de T, 2) Q(t,s)eC,+9~ pour tout (t,s) de I? 2, 3) d(Q(t,s),D(P; z; 6))>~/A' pour tout (t,s) de I? 2.

La proposition 2) est ainsi d6montr6e.

Remarque I. Dans la d6monstration de la proposition 2, Q(t, z) s'6crit sous la forme k = N

F~ ak(t)zk+P(t), Off les ak sont dans A(ID; X), on peut donc les approcher k = l

uniform6ment par des polyn6mes trigonom&riques Pk de far g avoir:

a) ! d ek(t)eik'+P(t),D(P;z;6) <2fl 2 pour tout t e T , \ k = 1

k = N

b) Y. Pk(t)eiks+P(t)eC,+lop pour tout ( t ,s)6T 2, k = l


k = N

Pour (t, s) de I? 2, on a Q(e ik', eik') = ~ Pk(e")e ik~ + P(t), supposons que le spectre de k = l

P soit [too; no], 0 <mo < no. Soit 0 < r 1 < J, alors on peut choisir Nx assez grand de k = N

telle sorte que ~ Pk(eit)e ikNlt air son spectre dans [m 1; nl] avec 0 < mo < no < ml k = l

< hi, et ]:=~TPk(reit)eikN~t]Lsoitassezpetitquel'onvoudraetceci= pour tout r~r l ,

alors Q(e u, e iN~') v6ritie b) et c).(voir [ G - M ] appendix).

Th6or6me 1. Soit X un espace de Banach complexe n'ayant pas la propridtd de Radon-Nikodym analytique, alors il existe F e H~176 X), I{Flloo <1, il existe une constante c > 0 et une suite (r.).>=o, 0 < r . < l pour tout n, (r.).>_o strictement croissante vers 1, tels que pour tout n >__ 0, pour tout (t, s) de 7s 2 et pour iout r < r. on a:

II r ( re it) - f ( r . + xe i~) [[ __> c.

D~monstration. Comme X n'a pas (RN)a, pour e > 0, il existe F �9 H ~ ( D ; X) tels que lim sup [[F(reit)-F(sei~)l[>_l/2-e pour presque tous t et s de T [-Bu2]. Soit r T l , s T 1

C=F(ID), Co= 1~12C,._~ C ~ = C o + z B x , 1 < z < 2 , e ' = l / 6 - e / 3 , 0 < 6 < 3 g / 2 , et

(z.).> 1 une suite strictement croissante vers 2 off zl =3/2. IS)'aprbs la remarque 1, on peut construir par r6currence une suite de rayons

(r.)._ o strictement croissante vers 1, deux suites d'entiers positifs (hi)i___ 1 et (mi)~> 1 avec ml < n l < . . . <mR<rig pour tout k e N , et une suite de polyn6mes de K) valeurs dans X (Qk)k>-_l v6rifiants:

1) pour tout 2 < k < n et pour tout r < r k _ l , {]Qk(reit)tl <e ' /2k+lA ', 2) pour tout 2 _< k < n

d( O l ( ei') + Q2(ei') + . . - + Qk( ei'), E ( Q I, . . ., Qk - 1)) > e' / A' ,

3) pour tout 1 < k < n, (Q 1 + Q2 + . . . + Qk) (D) C C w 4) pour tout n �9 N, r > r, et pour tout t e I?

k = n

~, )] Qk(re i t ) - Qk(eit)[[ < e'/8A' k = l

5) pour tout k__> 1, la spectre de Qk est dans rintervalle [mk; nk] , OfJ A' est la constante dans la proposition 2. On laisse les d6tails de la construction pour les lecteurs.

Posons:

1 F(re") = -~ k~= X Qk(re") c = e'/8A',

d'apr6s 2), F est analytique de K)/t valeurs dans X, soient t e T et 0 < r < 1, il existe n tel que r . < r < r . + 1, on a alors

~=~..+ I Qk(reit) 4 [IF(rei')[[ < + k>_~ Q~(re it) k = l

<=sup{l lx[ l ;xeC, .+,}+ ~. g/2k+IA '<4 , k~_n+2


on a donc F e H ~ ( D ; X) et [IF[l~o ~ 1. D 'au t re part , soient n > 1, ( t , S ) E T 2 e t r<r . , o n a

4 [IF(reit)--F(r.+ 1 eiS)]l

k ~ n k = n + 1 elS) = Qk(reit)-- ~ Qk(r.+lei~)+ ~ Qk(relt) - ~ Qk(r.+l

k = l k = l k>=n+l k > n + 2

>--_ dist Qk(ei'), E(Q x . . . . , Q . ) ) - e'/8A' - e'/2 k + t A' \ k = l k = n + l

-- ~ e ' /2k+lA'>-_e' /A'-e ' /2A'=e' /2A'=4c. k = n + 2

Th6or6me 2. Soit X un espace de Banach complexe isomorphe fi son carrd et n' ayant pas la propridt~ de Radon-Nikodym analytique alors, il existe F ~ H~~ X x X), ][F][o~<l, il existe une constante c > 0 , il existe une suite (rn).>=l dans [ 0 ; 1 [ strictement croissante vers 1 tels que

Jl l r (re i') - r ( r ' e is) II > c

pour tout (t, s) ~ T z, r < r,, r' > r. + 1, et pour tout n ~ 1'4".

D~monstration. Dans une premiere partie on va mont re r que le th60r6me est vrai pour X x X off X est un espace de Banach complexe n 'ayant pas la propri6t6 (RN)a. En effet, on muni t X x X de la norme II(x,y)l] = []x]l + [lyJ[, fixons e > 0 , 0 < e < 1/10, une suite str ictement croissante (z.).> 1, 1 < Zn < 2. On va eonstruire par r6eurenee une suite (r.). >= 1 dans [0; 1 [ s tr ictement croissante vers 1, deux suites de polyn6mes (Q.).=> 1, (Q').>=I de D fi valeurs dans X et v6rifiants:

1) pour tou t n > 1, (Q 1 +-- - + Q,) (D) c C~,, (Q' + . . . + Q') (D) c C,., 2) pour tou t n > 1, Q2, = 0 et Q~,_ 1 = 0, 3) pour tout 2 < k < n , pou r tout r<r2k_l, [[Q2,k-l(reit)[[ <e'/22kA'K; pour to

1 <-k<n, pour t ou t r'<=r2k-, [[Q (r'ei')[[ <e'/22kA K, 4) pour tou t k, 2 < k < n, pour tout r' > r2k,

dist(Q zk- x(r'eit), E(Q 1,..., Q 2k- 2)) > e'/ A - e ' /A'K

pour tou t k, 1 < k < n, pour tou t r '> r2k,

dist(Q2k(r'(ei~, E(Q'x . . . . . Q'2k- 1)) > e'/a' -- e ' /A 'K,

off A' est comm e dans le th60r6me 1 et 0 < K < l / 6 . En effet, soit x s C,, on pose alors Q ~ = x et Q~ = 0 (puisque 0 ~ C~), supposons

que 0 < rl < . . . < r2.; Q , . . . , Q2 . - L; Q'I, ..., Q[ . sont construits et v6rifiants I) 2) 3) et 4).

On pose Q2, = 0 et Q~.+ 1 = 0 ; pour Q1 + - . . + Q2, - 1 + Qz., on sait qu'il existe un po lyn6me Q2.+1 a sp6ctre disjoint de eelui de Q1 + .-. + Q 2 . comme dans le th60r6mr 1 tel que

(QI + ... + Q2.+ I)(Is C,~.+ I ,

dist(Qz.+ t, E(Q1, ..., Q2.)) > e'/a' # IQ2.+ l(r(ei~) [[ < e'/22" + X A 'K

pour tout r<r2. , on peut alors choisire l > r z . + 1 > r 2 , tel que IIQE.+l(r'e ~t) - Q2, + ~(e~) [I < g / A ' K pour tou t r' > r2, + ~ et pour tout t ~ I".

P o u r Q'~+...+Q'2,+D il existr un po lyn6me Q[.+2 tel que (Q'~+.. . +Q~.+2)(T)~_C,2.+2, dist(Q'2.+ 2Us E(Q'I, ..., Q'2,+ I))> e'/A' et I[Q'2n+ 2(reit)][

Une caract6risation de la propri6t+ de Radon-Nikodym 359

< ~'/(2 2" + 2A 'K) p o u r t o u t r < r2n + t e t t o u t t ~ 1", so i t r2n + 2 > r2 . + 1 te l q u e p o u r tout r ~r2n+2 et tout tel l ' , on ait ' , it , ~t , , ' [IQ2.+2( r e ) -Q2 .+2(e )[I < e / A K.

On voit facilement que cette construction v6rifie 1) 2) 3) et 4). Pour tout k_>_ 1, on pose Fzk=(O, Qzk) et Fzk_ l=(Q2k_ 1, 0) alors, pour tout n > 1, F . ~ H ~ ( K ) ;

X x X), on voit facilement que G = ~ F k est un 61~ment de H ~(D ; X x X) et k = l

II G I[ 0o < 1. Soit c '= e'/16A', montrons que pour tout n > 1, r =< r., r'__> r. + 1, et pour tout ( s , t ) e T 2, on a IIG(reig-G(r'ei~)l I >c'. En effet, il existe p > n tel que rp+l<r ' <rp+2, on suppose Qp:t:0, alors on a Qp+l =0, Q ' = 0 et Q~,+ 1 :I:0, de plus

8 HG(reit)-G(r' eiS)[l > k~= l Qk(reit)-- k= l Qk(r' e's)l ---- Qk( r e i t ) - Z Qk( r'eis _ r~ t r , e i ~ _ rJ tr, ei~ ~,s ! y.~p+ 1 I, !

\ k=l k=l

+ k=, ~ Qk(rei')-- k=,+2 ~ Qk(r'eiS)

>--dist(Qo(r'e'~),E(Q1 . . . . . Q , - 1 ) ) - ~ IlQk(rei')ll - ~', IlQk(r'eiS)ll k = p k = p + 2

>= e'/A' - e ' /A 'K - e ' /A 'K -- t ' /A 'K = (e; -- 3e'/K)/A' > e'/2A' = 8c'.

La premi6re partie est donc d6montr6e. Soit T l 'isomorphisme de X x X sur X, alors il existe t /> 0 tel que, pour tout

x e X x X, ]l T(x)[[ >t/[Ix][, soit G la fonction trouv6e dans la premi6re partie du

1 To G, alors F v6rifie la conclusion du th6or6me, et c = c'q/ll Tll. Si on pose F =

th6or6me 2. 3 |

Coroilaire 1. Soit X un espace de Banach complexe isomorphe fi son carrd, X a la propri~td de Radon-Nikodym analytique si et seulement si pour toute fonction F de H~(E); X ) r~guli~re injective, il existe z e T et il existe une suite (z.).>_ 1 dans D qui converge vers z tels que (F(z.)). >= 1 est convergente.

DOmonstration. La condition est n6cessaire pour tout espace de Banach complexe X ayant la propri6t6 de Radon-Nikodym analytique. Montrons qu'elle est aussi suffisante: Supposons que X n'a pas la propri6t6 (RN)a, puisque X est isomorphe/t son carr6, d'apr~s le th6or~me 2, il existe une fonction F e H~176 X) telle que pour tout z ~ T et toute suite (z.). ~ 1 dans K) convergeant vers z, (F(z.)). ~ 1 ne converge pas. Soit a e X, a 4= 0, comme X x ~ est isomorphe ~ u n sous-espaee ferm6 de X x X lequel est i somorphe/ t X, on peut consider X x tl;a comme un sous-espaee

ferm~ de X, on pose F~(z)=(F(z), za), alors F1 est un 616ment de H| X x Ira) injective, r6guli~re et poss6de les m~mes propri6t6s que F, on peut alors supposer F injective et r6guli+re, ce qui termine la d6monstration du corollaire.

Remarque 2. I1 est facile de voir que le th6or~me 2 et le corollair 1 restent vrai si X est isomorphe/ l un espace produit Y x Z, o~ Y et Z sont des espaces de Banach n'ayant pas la propri6t6 de Radon-Nikodym analytique.

Remarque 3. On peut interpr6ter le corollaire 1 de la mani+re suivante: Si X est un espace de Banach complexe isomorphe ~ son carr6, alors X a la propri6t~ de Radon-Nikodym analytique si, et seulement si il n'existe pas de plongement


holomorphe born6 (bounded holomorphic embedding), du disque unit6 ouvert de tE dans X. Ceci rrpond ~t la question d'Aurich pour les espaces de Banach complexes isomorphes ~t leur carr6 [A].

Remerciements. Les auteurs tiennent ~. remercier vivement Monsieur le Professeur Bernard Maurey pour ses encouragement et ses id6es prrcieuses qui ont aid6 ~ mener ~t terme ce travail.

Bibliographie

[A]

[Bo]

rBu 11

[Bu 22

[B-D]

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