Un Modelo Probabilista para un Sistema deTransporte Colectivo

XLIV Congreso Nacional de la Sociedad Matemática MexicanaSan Luis Potosí, SLP.

Universidad Autónoma de San Luis Potosí.

Carlos E. Martinez RodriguezAsesores: Dr. Raúl Montes de Oca Machorro y

Dra Patricia Saavedra Barrera

Doctorado en Matemáticas, UAM-IztapalapaOctubre, 2011

Datos Relevantes

Notación

Modelo Global

Supuestos

Proposiciones

Modelo Fantasma

Conclusiones

Figura: Metro de la Ciudad de México

Datos RelevantesI El metro de la Ciudad de México es uno de los sistemas más

grandes del mundo en cuanto al número de pasajeros quetransporta, como a la longitud del mismo.

I El metro de la Ciudad de México cuenta actualmente con 11 líneas.

I Cada línea tiene tres distintos tipos de estaciones: Terminales,Normales y de Correspondencia.

I El número de estaciones por línea es variable: la línea dos es la másgrande con 24 estaciones, mientras que la línea A sólo cuenta con10 estaciones.

I Actualmente se cuenta con 355 trenes de 6 o 9 vagones, cuyacapacidad máxima de pasajeros es de 1020 y 1530 respectivamente.

I Cada línea tiene asignado en principio un número fijo de trenes: lalínea 3 cuenta con 58, mientras que la línea 4 dispone solamente de13.

I Para cada intervalo, cada línea tiene definida la frecuencia con laque circulan los trenes, es decir, la cantidad de trenes por hora.

Notación

I El metro cuenta con un total de L líneas.

I Cada día se divide en s periodos de tiempo, la longitud de cadasegmento es Ts y τs = T1 + T2 + · · ·+ Ts−1.

I Además cada línea del metro tiene asociada un tiempo establecidoentre dos trenes consecutivos, variables de control, los cuales sedenotarán por µl,s . Al vector de variables de control se les denotarápor µ = (µl,s , l = 1, . . . ,M, s = 1, 2, . . . ,S).,

I El par (o, d) denotará una única sucesión de plataformas pororigen-destino.

I El término λ (o, d) es la tasa demanda para el recorrido (o, d).

I Denotaremos por p cualquier plataforma de la l -ésima línea, Ll .

I Vk (p) es el tiempo de salida del k-ésimo tren de la plataforma p.

Notación

I Smk es el tiempo de llegada del k-ésimo tren de la plataforma pm.

I {δi}i≥1 es una sucesión de variables aleatorias independientes eidénticamente distribuidas, con media y varianza conocidas.

I Pmk es el número de pasajeros de transferencia en el k-ésimo tren de

la línea m.

I D̂ (pk , pk+1) es la distancia entre las plataformas k y k + 1.

I v es la velocidad promedio del tren.

I Do (pm, p) es el conjunto de los destinos a partir del origen o querequieren un transbordo de pm a p.

I ηm (·) es el proceso de conteo de llegadas de los trenes de la líneaLm en la estación donde está ubicada la plataforma pm.

I No (·) es un Proceso Poisson acumulado, de todas las llegadas delorígen p con tiempos de llegada So

k .

Modelo GlobalI El costo de operación promedio del sistema por día está dado por:

K (µ) =S∑

s=1

klTs

µl,s, (1)

donde kl es el costo por viaje en cualquier tren de la línea Ll .

I Los pasajeros esperan en cualquier plataforma p ∈ Ll , sin importarde donde vengan, entre dos salidas de trenes consecutivos en p.

I Al total de espera se le denotará por Wj (p), que es el tiempo totalde espera de los pasajeros en la plataforma p de la línea Ll paratomar el j-ésimo tren, a este valor se le llamará costo social.

I Si Mp (·) denota el proceso de conteo de salida de los trenes de laplataforma en p, en un determinado intervalo de tiempo, entonces

F (µ) = K (µ) +S∑

s=1

L∑l=1

∑p∈Ll

E

Mp(τs+Ts)∑j=Mp(τs)+1

Wj (p)

. (2)

Modelo Global

I Los procesos de llegada de los pasajeros de transferencia de la líneaLm 6= Ll en la estación donde está la plataforma p ∈ Ll ubicada,dependen de los procesos de salida en las plataformas anteriores a laplataforma de transferencia en la línea Lm, así como de posiblestransferencias.

I El costo esperado de la red, F (µ), es el costo esperado deoperación por día, más el tiempo de espera total acumulado de lospasajeros en las plataformas.

I Calcular directamente el gradiente del costo esperado por día puedeser altamente complicado en términos computacionales.

I Es por medio de técnicas de simulación que el cálculo de lasderivadas se puede simplificar haciendo estos cálculos porplataforma, es decir, el modelo global se estudia localmente, esdecir, se calculan los tiempos de espera en cada una de lasplataformas.

Modelo Global

Consideremos cualquier plataforma p en una línea Ll , y supongamos queel segmento del día s se alarga al infinito, es decir, los procesos Poissonde llegada se asumen estacionarios con parámetros constantes, ademáslas frecuencias se consideran invariantes con respecto al tiempo.El tiempo total de espera para los pasajeros que abordan el tren j en laplataforma p se puede escribir como

Wj (p) =No(Vj)∑

n=No(Vj−1)+1

(Vj − Son ) ,+

M∑m=1

Nm(Vj)∑k=Nm(Vj−1)+1

P(m)k (Vj − Sm

k ) .

(3)

Modelo Global

Sean las plataformas p ∈ Ll y pm ∈ Lm en la misma estación. Los trenesque parten de pm en tiempos Vk (pm), corresponden a los procesos dellegada de transferencia Nm (·) en la plataforma p ∈ Ll y a los pasajerosque se moverán de pm a p.Si pi ∈ Ll y pk /∈ Ll , entonces los procesos de salida correspondientes seasume que son independientes bajo el supuesto de no sincronización.,Los procesos de llegada de los pasajeros en cada plataforma estáncompuestos por un proceso Poisson de pasajeros, que abordan desdefuera del sistema, más los que llegan de otras líneas de transferencia.

Supuestos

SuposiciónLos pasajeros con destino la plataforma d, llegan al anden origen, o,conforme a un proceso Poisson con parámetro λ (o, d). Todos losprocesos de llegada Poisson son independientes entre sí e independientesde los procesos de salida de los trenes en la plataforma.

SuposiciónPara cada plataforma p ∈ Ll y para cada línea Ll , el tiempo de salida deltren en la plataforma inicial p1 ∈ Ll , sigue la siguiente forma recursiva:

Vj (p1) = Vj−1 (p1) + µl (1+ δj (p)) . (4)

Supuestos

Para k = 0, 1, 2, . . . y plataformas pk y pk+1; el tiempo de salida delj-ésimo tren de la plataforma pk+1 está dada por

Vj (pk+1) = Vj (pk) +Dk (pk , pk+1)

v+ µlδj (pk+1) . (5)

Los tiempos de llegada de los pasajeros en cualquier plataforma estáncompletamente determinadas por las llegadas de los pasajeros, conformea su correspondiente proceso Poisson, con intensidad λ (0, d) y sutraslado a lo largo de la red para lograr su destino.

Proposición 1

ProposiciónSea p plataforma en Ll , ambas fijas. Sea (Lm)m≥1 colección de líneas concorrespondencia en p. Para cada m, sea pm la plataforma decorrespondencia con la línea Ll en la estación donde está ubicada laplataforma p. Para cada pm los tiempos de llegada entre dos trenesconsecutivos están dados por Tk (pm) = Sk (pm)− Sk−1 (pm), que seabreviará por Tm

k = Smk − Sm

k−1. El número de pasajeros de transferenciaprocedentes de pm, con tiempos de llegada Sm

k , cumplen con la condición

E [Pmk |Tm

k ] =L∑

n=1

∑o∈Ln

λ (o, d)µn {E [ηn (Vj )]− E [ηn (Vj−1)]} 11d∈Do (pm,p).

(6)para todo tren de la línea que hace correspondencia con la línea l en laplataforma de correspondencia al tiempo Vj , para cualquier j .

Demostración

Figura: Metro de la Ciudad de México

Sean m ≥ 1 fija y pm plataforma en Lm que hace correspondencia con pen la estación de transferencia donde también está ubicada la plataformap ∈ Ll .

Vk (om) = Vk (pm)−D̂ (om, pm)

v− µmδk (om, pm) , (7)

Se busca determinar el valor esperado del número de pasajeros quellegarán a la plataforma pm entre dos trenes consecutivos,

E [Pmk (om, d)] = λ (om, d)µm (8)

Demostración

para todos los pasajeros que tienen como origen una plataforma en lalínea Lm y un destino d que requiere hacer una transferencia de pm a p.Sea Lm cualquier línea de correspondencia con Ll en la misma estacióndonde está ubicada p.Sea o plataforma cualesquiera en Lm fija. El número de pasajeros queabordarán el j-ésimo tren de la línea Ll en la plataforma p, es el total dearribos Poisson de pasajeros que lleguen a la misma entre el j − 1 y elj-ésimo tren.El total de trenes que llegan a pm para subirse al j-ésimo tren en p seestima de la siguiente manera:ηm (Vj−1 (pm)) es el número de trenes que llegan a pm al tiempo Vj−1,análogamente para ηm (Vj (pm)). Entonces el total de estos pasajeros,P̂m

j (o, d) se puede estimar por:

Demostración

P̂mj (o, d) =

ηm(Vj (pm))∑k=ηm(Vj−1(pm))+1

Pmk (o, d) . (9)

Sea Yj (pm) = Vj (pm)− Vj−1 (pm), y entonces

E[P̂m

j (o, d)∣∣∣Yj (p)

]= E [Pm

k (o, d)]E [ηm (Vj)] ,

Por lo tanto

E[Pm

j (o, d)∣∣Yj (p)

]= λ (o, d)µm (E [ηm (Vj)]− E [ηm (Vj−1)]) . (10)

Demostración

Sea r ≥ 1 fija, y sea Lr línea tal que Lr y Ll no tienen plataforma encomún, de modo tal que la única manera de dirigirse de o ∈ Lr a d ∈ Lles haciendo por lo menos un cambio de línea.

E[Pm

j (o, d)∣∣Yj (p)

]= λ (o, d)µm (E [ηm (Vj)]− E [ηm (Vj−1)])

+ λ (o, d)µr (E [ηr (Vi )]− E [ηr (Vi−1)]) .

Procediendo de manera análoga, para los pasajeros de orden superior setiene

E[Pm

j |Yj (p)]=

L∑n=1

∑o∈Ln

λ (o, d)µn [E [ηn (Vi )]− E [ηn (Vi−1)]] 11d∈Do (pm,p).

con ηm (Vi ) el proceso de conteo de los trenes que llegan a laplataforma pn.

Proposición 2

ProposiciónBajo los supuestos (5.1) y (5.2), los tiempos de salida entre dos trenesconsecutivos, Yj en la plataforma p ∈ Ll sigue una distribución Gµ, dondeE [Yj ] = µ, parámetro de escala de Gµ. Específicamente, si la línea estádada por la sucesión de plataformas L1 = (p1, p2, . . . , pL), entonces paraq ∈ {1, 2, . . . , L} los tiempos de intersalida en la plataforma pq satisfacen

Var [Yj ] = µ2 {Var [δj (p1)]− 2 (q − 1)Var [δj (p)]} (11)

Modelo FantasmaRecordemos las expresiones referentes tanto al modelo global del sistemade transporte colectivo (2)

F (µ) = K (µ) ,+S∑

s=1

L∑l=1

∑p∈Ll

E

Mp(τs+Ts)∑j=Mp(τs)+1

Wj (p)

como la del tiempo total de espera de los pasajeros para abordar el tren jen la plataforma p, (3)

Wj (p) =No(Vj)∑

n=No(Vj−1)+1

(Vj − Son ) ,+

M∑m=1

Nm(Vj)∑k=Nm(Vj−1)+1

Pmk (Vj − Sm

k ) .

Dada la alta interdependencia, es difícil estimar la función costo así comoel cálculo de las derivadas con respecto al parámetro de control µ,recordemos que lo que se quiere es optimizar la función objetivo (2),entonces

Modelo Fantasma

E

Mp(τs+Ts)∑j=Mp(τs)+1

Wj (p)

= E

Mp(τs+Ts)∑j=Mp(τs)+1

No(Vj)∑n=No(Vj−1)+1

(Vj − Son )

+ E

Mp(τs+Ts)∑j=Mp(τs)+1

M∑m=1

Nm(Vj)∑k=Nm(Vj−1)+1

P(m)k (Vj − Sm

k )

Conclusiones

1. Trabajo realizado

I Revisión exhaustiva de los artículos de Felisa ([1]) y ([2]).I Clarificación de la notación empleada en los mismos, así como

de la proposición principal.

2. Trabajo por hacer:

I Agregar restricciones de cupo en andenes,I Colas Cíclicas;

Bibliografía

Felisa J. Vazquez, Lourdes Zubieta, Distributed Stochastic Approximation forAdaptative Frequency Allocation in Subway Networks, Proceeding of the 39a

IEEE, December, 2000.

Felisa J. Vazquez, Lourdes Zubieta, Ghost Simulation Model for theOptimization of an Urban Subway System, Discrete Dynamic System: Theoryand Applications, 15,207-235, 2005.