TRAYECTORIAS ORTOGONALES

DEFINICIÓN:

Trayectoria es una línea descrita en el espacio por un cuerpo en movimiento quepuede ser una línea recta o curva y ortogonal se dice del ángulo de 90° que forman laslíneas de la trayectoria respecto a un plano es decir son perpendiculares.

Ejemplo: una malla metálica, las líneas de una hoja cuadriculada, las líneas meridianas yparalelas del globo terráqueo, etc.

Se habla de proyección ortogonal, por otra parte, para nombrar al resultado dedibujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares sobre un cierto plano. Alrealizar esta proyección, se establece un vínculo entre los puntos del componenteproyectante y los puntos del elemento proyectado.

Entonces analizaremos su aplicación en las ecuaciones diferenciales.

Si tenemos una grupo de curvas o la llamaremos familia de curvas y queremos hallar lafamilia o grupo de curvas de tal forma que cada línea o miembro de las familias de curvasse intersecten con las otras formando un ángulo de 90°.

Si existe esa nueva familia de curvas entonces se podría decir que sonmutuamente ortogonales o también que la nueva familia de curvas es el conjunto decurvas ortogonales de la primera.

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden generalmente contiene una

constante arbitraria o constante de integración que se le llama parámetro.

Cuando a esta constante o parámetro se le asigna diferentes valores obtenemos una

familia uniparamétrica de curvas cada una de estas curvas es solución de la ecuación

diferencial y todas juntas constituyen la solución general.

Diríamos que una familia de curvas queda expresada matemáticamente mediante:

F ( X, Y, C ) = O

Que representa una curva en el plano xy, si para c variable representa una familia de curvas

entonces la totalidad de estas curvas se le llama familia de curvas con un parámetro; Donde a

C se le llama parámetro de la familia.

Dada una familia de curvas se analizara como encontrar una ecuación diferencial. De la

familia de curvas que por lo general es derivado la ecuación tantas veces como haya constantes

que despejar.

Ejemplo:

Determine una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas.

Ejemplo

DETERMINACION DE TRAYECTORIAS ORTOGONALES:

Dada una familia de curvas de la forma f(x, y, c)= 0 se encuentra su ecuacióndiferencial de la forma: y’= f(x, y),

Se encuentra las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuación diferencial:

y’ =−1

f (x , y)!

Se sabe que una curva dada que pasa por un punto: P(x , y ) , tienen en P la

pendiente : f (x , y ) , la pendiente de la trayectoria ortogonal que pasa por

P deberá ser en ese punto recíproca y negativa de f (x , y ) , es decir: :

−1

f (x , y)! Pues esta es la condición para que dos curvas en P sean

perpendiculares. Un vector (1, P) es ortogonal en (1, −1

P )

APLICACIÓN DE TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN LOS CAMPOS ESCALAR Y VECTORIAL

Se denomina campo a toda magnitud física cuyo valor depende de un punto enel plano o en el espacio y del instante que se considere. Si la magnitud definida así en un punto del espacio es escalar, el campo es escalar; si fuera vectorial sería un campo vectorial.

Por ejemplo se toma la temperatura en diferentes puntos de un auditorio con aire acondicionado, la temperatura tomada junto a la salida del aire será diferente a la temperatura tomada en un punto alejado del mismo, o a otra tomada en la puerta del local. El local sería un campo escalar de temperatura.

CAMPO ESCALAR:

Un ejemplo de campo escalar es el de alturas en un plano topográfico, cuando observamos esos planos apreciamos las curvas de nivel o lugares geométricos en los que la altura es la misma.

Las curvas de nivel, o lugares geométricos en los que la magnitud representada es la misma, se denomina con carácter general líneas isótimicas, en los campos llamados conservativos de denominan líneas de potencia.

La magnitud que mide la máxima variación de una función escalar considerada con una variación de la posición de denomina gradiente. Siendo su sentido hacia los valores crecientes de la magnitud escalar que sufre la variación.

En el caso de un campo escalar de alturas el gradiente nos indicaría la línea de máxima pendiente, dato que nos permite conocer por donde discurriríael agua de las lluvias en una montaña o por donde se debería tender una línea de tensión eléctrica con mejor eficacia.

CAMPOS VECTORIALES:

Los campos más estudiados son los campos vectoriales puesto que vivimos interaccionando con ellos. Los campos que marcan las interacciones que ocurren en la naturaleza son campos de fuerzas entre los que tenemos:

• Campo gravitatorio.- creado por la interacción entre masas• Campo electromagnético .- creado por la interacción entre cargas

(eléctrico si las cargas están en reposo y magnético si están en movimiento)

Un aspecto importante de los campos electrostáticos es que en la región entre los electrodos tendremos conjuntos de puntos geométricos que presentan el mismo valor del potencial. A esas superficies que cumplen ese requerimiento se les llama superficies equipotenciales, y la perpendicular aesa superficie mostrará la dirección del campo eléctrico, de acuerdo con losargumentos mencionados anteriormente. En estos campos las fuerzas surgen sin soporte material y tienen un alcance infinito. La superficie de un material conductor es siempre una superficie equipotencial. Una lámina conductora puede ser cargada negativa o positivamente según la conectemos al borne positivo o negativo de una fuente de poder, y así el conductor se convierte en un electrodo y en nuestro objeto cargado que genera un campo eléctrico alrededor de él.

CONCLUSIONES.

Las trayectorias ortogonales, a simple vista parecen un problema

exclusivamente geométrico, sin embargo en aplicaciones más específicas,vemos que las familias ortogonales tienen interpretaciones propias delcampo al que se les haya aplicado.

Las aplicaciones más importantes de las trayectorias ortogonales están en

la física en su utilización para aproximar mapas de campo eléctrico,magnético, o de temperatura.

Esta aplicación de las ecuaciones diferenciales nos permite visualizar el

concepto de líneas de fuerza, situación que no existe en la realidad, sinembargo es posible de imaginar al aplicar las trayectorias ortogonales.

BIBLIOGRAFÍA:

http://www.slideshare.net/cemepn/trayectorias-ortogonales. http://prezi.com/yxbozmr3uhjw/trayectorias-ortogonales. http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/. guía líneas equipotenciales pdf “universidad tecnológica de Pereira” aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden “trayectorias

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ortogonales.