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博士研究生学位论文

题目：自由空间光通信中光强闪烁抑制的研究

学 号： 108315

姓 名： 陈志晓

专 业： 通信与信息系统

导 师： 顾畹仪

学 院：信息光子学与光通信研究院

2013 年 05 月 8 日

III

独创性（或创新性）声明

本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成

果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含

其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教育机

构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均

已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。

本人签名： 日期：

关于论文使用授权的说明

学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研

究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保留并

向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学

校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段

保存、汇编学位论文。

本人签名： 日期：

导师签名： 日期：

IV

V

自由空间光通信中光强闪烁抑制的研究

摘 要

当代互联网和多媒体设备使用的快速增加造成了通信网的拥挤。现

行的无线微波通信出现带宽资源缺乏的现象，重新引起了人们对自由空

间光通信系统（FSO）的关注。用激光作为信号的载波，FSO 能够在远

距离间提供一个无线的，高带宽的通信链路。FSO 通信中的“无线”是其

一个重要的优势，特别是在铺设光纤昂贵的城市局域网和城域网建设中。

FSO 的另一个优势是建立高速的星地通信链路的潜力。由于微波通信带

宽限制问题，FSO 通信被认为是在未来实现超高速（Gbps）大容量的航

天通信的关键技术之一。

FSO 通信 大的缺点在于信号在传输过程中特别容易受大气环境的

影响，造成通信光束的功率衰减、光束漂移、光束扩展、相位起伏以及

光强闪烁等问题。在 FSO 技术的不断发展过程中，光强闪烁已经成为限

制通信距离和系统性能的瓶颈之一。针对该问题，本论文对闪烁抑制技

术中常用的部分相干光传输和空间分集技术作了深入研究。主要的创新

工作如下：

1. 建立了快探测器下孔径接收的高斯-谢尔模型（Gaussian- Schell model, GSM）光束的闪烁指数理论模型。在考虑接收机的响应时间 τD和光源相位扰动的相干时间 τS 的影响下，将已报导的 GSM 光束闪烁指数

的点接收模型拓展到了包括孔径影响下的面接收模型。基于该模型，详

细讨论了相对探测器速度 τS/τD和孔径效应对闪烁指数的影响。发现只有

当相对探测速度小于一个特定值（记为 τmax）时，部分相干光束才能提

供比相应的完全相干光更低的闪烁指数。我们得到了 τmax的近似解析解。

利用该解析解，可以方便地估计出任意链路条件下 τmax的值。

2. 利用等效参数法将高斯光束漂移的一般理论模型拓展到电磁高

斯-谢尔模型（Electromagnetic Gaussian-Schell, EGSM）光束的情形下，

得到了 EGSM 光束漂移的理论模型。通过数值分析发现在弱湍流条件下，

光源的参数，包括部分相干长度、偏振度、波前曲率半径，对光束漂移

有明显的影响，但在强湍流下则失效。因此在弱湍流下可通过光源参数

的选择进行光束漂移的控制。另外，通过对模型的分析得到了不同初始

参数的 EGSM 光束具有相同光束漂移的条件。

3. 建立了接收机分集系统的信道相关系数理论模型。基于平面波模

型，利用几何光学 ABCD 系统中的 Rytov 近似得到了信道相关系数的表

达式。通过数值分析详细讨论了系统链路参数如湍流强度、接收机孔径、

接收机间距等对信道相关系数的影响。利用该表达式可得到任意链路条

VI

件下子信道间的相关系数，为研究相关性对分集系统性能的影响提供了

一个理论分析模型。另外还得到了强湍流下信道相关长度的近似表达式。

由于相关长度是不同子接收机间信号衰落保持相互独立需要的 小间

距，因此这个结果在天线设计中具有一定的指导意义。

关键词：自由空间光通信 高斯-谢尔模型光束 闪烁指数 光束漂移

空间分集 相关系数

VII

RESEARCH ON SCINTILLATION SUPRESSION TECHNIQUES FOR FREE-SPACE OPTICAL

COMMUNICATIONS

ABSTRACT

Due to the fast development of internet and multimedia equipment, the communication network is becoming crowded. The existing wireless communication techniques based on microwave are running out of band resources to meet the requirement, which renews the concern of free space optical communication (FSO) systems. With a laser as a signal carrier, FSO can provide a long-distance communication link with wireless and broadband data transmission. With “wireless” as its one of the important advantages, FSO can be widely used in Local Area Network (LAN) and (Metropolitan Area Network) MAN. Another advantage is its potential for offering a high-speed communications between satellites and ground. Due to the bandwidth limitations in the microwave communication, FSO is considered to be one of the key technologies in the future ultra-high-speed (Gb/s) and high-capacity space communications.

The biggest drawback of FSO is that the transmitting signal is susceptible to the atmospheric environment, wherein the turbulence-induced intensity fluctuation, known as optical scintillation, is considered to be the main factor in limiting system performance. To solve this problem, this dissertation studies the performances of partially coherent beam and space diversity techniques in scintillation reduction. The main innovations are as follows:

1. The general scintillation index model for time-averaging reception of Gaussian-Schell model (GSM) beam is extended from the case of point receiver to the case of aperture receiver. The analytic expression is derived including the effects of the receiver aperture diameter, the correlation time τS

of the source phase variation and the integration time τD of the detector. There exists a maximum value τmax of the relative detection speed (RDS) τS/τD. When the RDS is lower than τmax, the GSM beam can reduce the scintillation compared with the coherent counterpart. An approximate expression for τmax is derived, which is useful for making choice of the detector speed under different link conditions. It is also found that under the influence of finite RDS, increasing receiver aperture size can degrade the performance of the PCB in scintillation reduction, compared with the coherent beam in weak turbulence regime.

2. The general model of beam wander for a coherent Gaussian beam propagating through atmospheric turbulence is extended to the case of a partially polarized electromagnetic Gaussian-Schell model (EGSM) beam.

VIII

The expression of the beam wander is obtained by characterizing the EGSM beam with the effective beam parameters. The effects of initial spatial coherent lengths, degree of polarization and phase curvature are examined in detail. A condition is derived under which beams with different spatial coherence and degrees of polarization will generate the same beam wander. The model is potentially useful in beam parameter optimization.

3. Based on the plane-wave model and the extended Rytov theory for ABCD ray-matrix formulation, expressions for the channel correlation are derived under general atmospheric conditions. The effects of antenna spacing, turbulence strength, receiver aperture size and wavelength are examined in detail and the corresponding physical mechanisms for the results are discussed. An approximation for estimating the channel correlation length under strong turbulence conditions is obtained. From the applications point of view, our formulation provides a theoretical way to evaluate the channel correlation under general link conditions, which is important for the prediction of system performance.

KEY WORDS: free space optical communications, Gaussian-Schell model beam, scintillation, beam wander, spatial diversity, correlation

IX

目录

自由空间光通信中光强闪烁抑制的研究 ......................................................................... V 

摘 要 ................................................................................................................................. V 

ABSTRACT ...................................................................................................................... VII 

第一章 绪论 ...................................................................................................................... 2 

1.1 FSO 简介 .................................................................................................................. 2 

1.2 FSO 系统 .................................................................................................................. 3 

1.2.1 结构 ................................................................................................................... 3 

1.2.2 载波窗口 ........................................................................................................... 4 

1.2.3 FSO 与微波通信、光纤通信的比较 ............................................................... 6 

1.3 FSO 发展历史和研究进展 ...................................................................................... 8 

1.3.1 60 年代 .............................................................................................................. 9 

1.3.2 90 年代 .............................................................................................................. 9 

1.3.3 2000 年后 ........................................................................................................ 10 

1.4 论文创新点和结构安排 ........................................................................................ 14 

1.5 参考文献 ................................................................................................................ 16 

第二章 大气湍流理论模型 ............................................................................................ 18 

2.1 大气湍流的统计描述——Kolmogorov 湍流理论模型 ....................................... 19 

2.2 其他功率谱模型 .................................................................................................... 22 

2.2.1 Tataskii 谱 ........................................................................................................ 22 

2.2.2 von Karman 谱 ................................................................................................ 23 

2.2.3 修正的大气谱模型 ......................................................................................... 23 

2.3 折射率结构常数模型 ............................................................................................ 25 

2.3.1 H-V 模型 ......................................................................................................... 25 

2.3.2 SLC 模型 ......................................................................................................... 26 

2.3.3 CLEAR 1 模型 ................................................................................................ 27 

2.4 本章小结 ................................................................................................................ 28 

2.5 参考文献 ................................................................................................................ 28 

第三章 大气湍流中的光束传输理论 ............................................................................ 30 

3.1 光束传输方程 ........................................................................................................ 31 

3.2 Rytov 近似 .............................................................................................................. 32 

3.2.1 光波模型及其真空传输 ................................................................................. 32 

X

3.2.2 Rytov 近似下的二阶矩和四阶矩表达式 ....................................................... 34 

3.2.3 MCF 与光场的相干长度 ................................................................................ 38 

3.2.4 CF 与光强的空间相关半径、闪烁指数 ....................................................... 40 

3.3 强湍流下的拓展 Rytov 理论 ................................................................................. 42 

3.4 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似 ........................................................................ 45 

3.4.1 孔径接收的孔径平均效应 ............................................................................. 45 

3.4.2 ABCD 光学系统 ............................................................................................. 47 

3.4.3 大气湍流下 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似 ............................................ 49 

3.4.4 孔径接收下高斯光束的闪烁指数模型 ......................................................... 51 

3.5 拓展的惠更斯-菲涅尔原理 ................................................................................... 53 

3.6 本章小结 ................................................................................................................ 54 

3.7 参考文献 ................................................................................................................ 54 

第四章 大气湍流中部分相干光的传输 ........................................................................ 58 

4.1 研究进展 ................................................................................................................ 59 

4.2 GSM 光束的真空传输 ........................................................................................... 60 

4.2.1 拓展的惠更斯－菲涅尔原理 ......................................................................... 61 

4.2.2 相位屏模型法 ................................................................................................. 62 

4.3 GSM 光束在大气湍流中的传输 ........................................................................... 64 

4.3.1 束宽和空间相干长度 ..................................................................................... 64 

4.3.2 部分相干光的闪烁指数——点接收模型 ..................................................... 65 

4.3.3 部分相干光闪烁指数——孔径接收模型 ..................................................... 71 

4.4 本章小结 ................................................................................................................ 79 

4.5 参考文献 ................................................................................................................ 79 

第五章 部分偏振的部分相干光传输 ............................................................................ 82 

5.1 EGSM 光束在大气湍流中的传输 ........................................................................ 83 

5.1.1 谱偏振度 ......................................................................................................... 84 

5.1.2 光强分布与束宽 ............................................................................................. 88 

5.1.3 特殊情况下的闪烁指数 ................................................................................. 89 

5.2 基于高斯光束的一般漂移模型 ............................................................................ 91 

5.2.1 A-P 理论模型 .................................................................................................. 92 

5.2.2 高斯光束的漂移 ............................................................................................. 93 

5.3 EGSM 光束的漂移模型 ........................................................................................ 94 

5.3.1 A-P 模型的拓展 .............................................................................................. 95 

5.3.2 数值结果分析 ................................................................................................. 96 

5.4 本章小结 ................................................................................................................ 99 

XI

5.5 参考文献 .............................................................................................................. 100 

第六章 空间分集技术 .................................................................................................. 102 

6.1 研究进展 .............................................................................................................. 103 

6.2 空间分集的闪烁抑制能力 .................................................................................. 105 

6.3 分集系统的相关性研究 ...................................................................................... 108 

6.3.1 理论模型 ....................................................................................................... 108 

6.3.2 信道相关系数的分析 ................................................................................... 112 

6.3.3 信道相关性对闪烁指数的影响 ................................................................... 117 

6.3.4 方程(6-24)和(6-25)的推导 ........................................................................... 117 

6.4 本章小结 .............................................................................................................. 119 

6.5 参考文献 .............................................................................................................. 119 

第七章 论文总结与展望 .............................................................................................. 122 

常用符号和缩略词索引 ................................................................................................ 124 

致谢 ................................................................................................................................ 126 

攻读博士期间学术成果与参与课题 ............................................................................ 128 

1

2

第一章 绪论

1.1 FSO 简介

自由空间光通信（Free Space Optical Communications, FSO）也称作无线光通信

或激光通信，是一种重新崛起的技术。它利用调制的激光束完成短距离、中距离或

长距离的无线数据传输。这项技术 初的发展是为了解决军事防御的问题[1-3]。

今天市场对 FSO 的兴趣既来自民用需求又来自于军事用途，它涵盖了从海底到

空间不同的情况和环境。FSO 高达 300THz 的载波频率带来的高带宽使它具有 Gbps

量级的超高数据速率潜力（未来能达到 40 Gbps[4]），这是 FSO 主要的优势。其它

优点诸如免频率使用申请、安装容易、抗电磁干扰和防窃听等使得 FSO 在 后一公

里接入、航空和卫星通信[5]、建筑物之间的临时移动链路和固定链接的应用中也很受

关注。大体上，当有线连接不可实现并且需要高带宽的链路时，就需要采用 FSO 进

行通信。FSO是在无线情况下唯一一个能够提供Gbps传输速率的技术。对该技术的

关注还由于其低廉的安装成本（相对光纤通信系统）、安全性、高度的灵活性和可扩

展性。因为这些原因，当今 FSO 可能的应用涵盖了更广泛的范围。

图 1-1 未来的空间通信网络[6]

在过去的 30年，在电光和光电学技术发展的支持下，航天和军事研究活动为今

天的 FSO 建立了强大的基础。FSO 的一些典型应用场景如快速以太网下的校园局域

网互联、城市中的局域网互联、提供宽带光纤网络接入的快速服务、安置临时网

络、快速重建高速链接、地面与宇宙飞船、飞船之间、卫星之间的通信、星际通信

和船舶之间的通信等[7-14]。图1-1显示了未来基于FSO的地对地，地对空，空对地，

空对空的通信体系结构。

3

1.2 FSO 系统

1.2.1 结构

FSO 的一般系统结构和通信链路如图 1-2 所示。通信基本过程为：在天线 A 处，

需要发送的数据经过调制器变为电信号，然后通过驱动电路将数据调制到激光器发

出的光载波上，经发射天线送入自由空间中传输；天线 B 的接收天线获得经过湍流

传输后的光信号，经探测器后转变为电信号并通过放大器进行放大，然后输入解调

器进行解调和判决， 后输出数据。信号由天线 B 发往天线 A 的过程一样。需要注

意的是，当两通信天线具有相对运动时，如星地通信，天线还需要一个捕获、瞄准

和跟踪（Acquisition，Pointing and Tracking，APT）系统来保证空间光通信链路的可

靠连接[15,16]。

图 1-2 FSO 系统的一般结构

目前 FSO 的通信天线模型并不多，下面介绍两种不同应用环境的模型，分别应

用于星地通信和短距离（几公里）通信。如图 1-3 为美国宇航局 NASA（National

Aeronautics and Space Administration）在即将展开的 LADEE（Lunar Atmosphere and

Dust Environment Explorer）计划中采用的 FSO 天线模型[6]。左边为地面基站天线，

接收天线为 4个直径为 40cm的望远镜，每个望远镜装备了快速调节镜用于捕获和跟

踪信号；探测器组成为超导纳米线探测器阵列；发射机为 4 个 15cm 的激光器，总发

射功率达 40W；基座为万向架，用以调节天线的指向。右边的为舰载天线，它的接

收机孔径为 10cm，具有两个万向架调节天线的指向；发射机为波长 1550nm 的激光

器，发射功率为 0.5W；探测器为光学预放大直接检测接收机。

目前商用 FSO系统可实现 300m到 5km，通信速率从 30Mbps到 3Gbps的通信。

图 1-4 为商用 FSO 天线模型，以右图 fSONA 公司的 SONAbeam M 系列产品[17]为例。

该系列天线采用 20cm 的接收孔径，4 发射机结构，工作波长为 1550nm，总发射功

4

率为 640mW，通信速率为 125Mbps。晴朗天气下链路距离从 300m 到 5.4km；下雨

天气从 300m 到 2.4km。

图 1-3 美国宇航局 NASA 计划于 2013 年中开展的 LADEE 实验的地面基站天线与舰载天线模型

图 1-4 Lightpointe 公司和 fSONA 公司的商用 FSO 系统模型

1.2.2 载波窗口

图 1-5 根据软件 LOWTRAN 仿真的大气对不同频率光波的吸收谱[19]

目前大部分 FSO 系统的波长范围均在 750nm 到 1600nm 之间，仅有极少数采用

10000nm 的载波。虽然从可见光到红外波段的光束传输的物理性质是类似的，但依

然有制约因素影响波长的选择：大气中水蒸气吸收和来自COx或NOx的气体吸收。

对于可见光和红外波段的光束，信号损耗以水蒸汽吸收为主，而气体吸收可忽略不

计。但对于远红外波段，气体吸收可能成为信号功率衰落的主要原因。图 1-5 给出

5

了在晴朗天气下不同波长的光波在大气传输中的损耗。在波长范围 700nm-10000nm

间，有很多个传输窗口（信号衰减小于 0.2dB/km），而 FSO 采用的波长一般选择在

780nm-850nm和 1520nm-1600nm之间[18]。由于不同波段对应的器件性能和成本均有

所不同，因此载波波长的选择还应考虑这些因素的影响。

1.2.2.1 780nm-850nm 窗口

这个波长范围适合 FSO 的操作，而且可以很方便地获得在这频率范围内的高功

率激光源如廉价的波长为 780 nm 的 CD 激光器。但这些激光器的不足是平均寿命

短，必须在系统的设计过程中加以解决（例如，运行激光器时工作在其 大额定输

出功率以下，这将大大增加它们的寿命）。在 850nm 波长附近，可靠、廉价且高性

能的发射器和检测器组件都是现成的，因为它们常用于网络和传输设备。另外对于

该波长，可使用高灵敏度雪崩光电二极管（Avalanche Photo Diode，APD）的检测技

术和先进的垂直腔表面发射激光器（Vertical cavity surface emitting lasers，VCSEL）

技术来满足链路的检测和功率需求。

1.2.2.2 1520nm-1600nm 窗口

这个波段很适合自由空间传输，而且在器件上高品质的发射器和检测器组件都

很容易获得。在此波长的低衰减和密集可用频率使得在 FSO 系统中可采用波分复用

（Wavelength Division Multiplexing，WDM）技术。然而，在此波段中的器件一般都

比较昂贵，而且相比于 850nm 波长采用的硅 APD 探测器，该波段的探测器灵敏度

不高。尽管如此，由于这个波段已广泛应用于光纤系统中，因此系统的兼容性使得

这个波段依然非常吸引人。许多公司都在努力降低成本，并提高此波段纳米元件的

性能。此外，在对人眼安全的限制下，1520nm-1600nm 激光的传输功率可以是

780nm-850 nm 激光的 50-65 倍。

1.2.2.3 10000nm 窗口

这个波长是相对较新的商业 FSO 系统波长。这个波长的优势在于它在雾中具有

更好的传输特性。然而，由于太过依赖于雾的类型和持续时间，研究人员对它的采

用依然存在很多争论，而且，这个波长下的通信组件目前还非常少。此外，波长 10

微米的光束不能穿透玻璃，这就意味着它不能使用光学手段辅助信号的接收。因此

该波长的使用还存在许多问题需要解决。

6

1.2.3 FSO 与微波通信、光纤通信的比较

目前的主要通信手段为微波通信和光纤通信。FSO 具有微波通信的无线连接和

光纤通信的高带宽的特点，这两个特点既给 FSO 带来了优于前两种通信手段的优势，

也带来了严峻挑战。下面通过 FSO 与微波、光纤通信的比较进行说明。

1.2.3.1 与微波通信的比较

高载波频率是 FSO 与微波通信的 大区别。相比于微波通信，高载波频率为 FSO

带来了以下优势：

（1）极高的天线增益

天线增益是用来衡量天线朝一个特定方向收发信号的能力。天线增益越高，则

表示可用更小的发射功率获得相同的信号强度。FSO 的高天线增益得益于其高达

300THz 的载波频率。由于电磁波在传输过程中的发射角正比于波长，因此 FSO 的

载波发散角仅为 30-60GHz 的微波的几千分之一。大的发散角意味着沿某一特定方

向上大的功率损耗。对于相同的输出功率，经过相同传输距离后 FSO 的信号功率自

然比微波的高得多。同时，波长越长，所需的发射天线体积越大。图 1-6 给出了一

个光学天线和微波天线的天线增益对比的具体例子。可见，光学天线具有比微波天

线高达 60dB 的优势。另外，我们还可看到天线尺寸相差也非常大，仅为微波天线

的 1/10，这对系统的小型化非常有利。

图 1-6 FSO 和微波天线的对比。光束发散角为 2.24 D，其中为波长， D 天线直径。天线

增益为 2 216 Gain D [6]

（2）大频谱范围，免频率使用申请；

由于 FSO的载波频率在THz级别，相比于微波通信载波频率的GHz，FSO具有

比微波通信高得多的带宽资源。例如一个 30ps 的脉冲，它的带宽大于 39GHz。对于

1μm 的 光 载 波 ， 其 频 率 为 143 10 Hz ， 其 带 宽 和 载 波 频 率 的 比 值 为

9 14 430 10 3 10 10v v 。因此光载波频率的10% 可以容纳 1000 个带宽为 30GHz

7

的信道。但对于微波通信，一个 30GHz 的信道已耗尽了载波资源。图 1-7 为两者之

间的带宽比较。

图 1-7 FSO 频率资源与微波频率资源的对比[6]

（3）安全性高

同样，FSO 的安全性源于其高载波频率带来的小发散角。作为具体的例子，图

1-8 给出了两种通信载波信号能量随光轴横向距离的变化。对于激光光束，我们可看

到离光轴 0.4 英里处，相比于光轴中心信号功率衰减至-40dB；当距离为 10 英里时达

-140dB。因此，要想窃听信号，窃听者必须离光轴小于 0.1 英里的距离。但对于微

波通信可以在离光轴 40 英里处就可以轻松窃听到信号，甚至在离光轴 100 英里时信

号也仅衰减为-40dB。这就使得信号很容易被窃听。

图 1-8 FSO 光束与微波光束传输一定距离后信号功率的径向分布图[20]

高载波频率在带来以上优势的同时，也引入了重大的缺点。由于载波波长短，

光束在传输过程中易受大气环境的干扰，包括障碍物阻挡，大气及悬浮物的散射和

吸收以及大气湍流的影响等。这些因素造成了 FSO 链路的不稳定，恶劣天气环境甚

至可能造成链路的长时间中断。这个对大气环境过于依赖的特点严重阻碍了 FSO 的

广泛使用。而微波因为波长长而具有很强的衍射能力（穿透障碍物的能力），其在传

输过程不会受到大气因素的干扰，因此建立的链路也就可靠得多。

8

1.2.3.2 与光纤通信的比较

FSO 与光线通信的 大区别在于光纤通信是有线的，而 FSO 是无线的。因此 FSO

具有快速搭建链路的优势，例如城市的“ 后一公里”接入，或者在灾难过后的快

速网络恢复。但是相比于光纤通信的封闭式信道，开放式的信道使 FSO 非常容易受

外界条件的影响，这也 FSO 虽然具有媲美光纤系统的通信潜力但实际上速率却远比

不上光纤通信的原因。

虽然 FSO 和光纤通信同样使用光载波，但是由于信道间的区别，在研究过程中

需要考虑的问题也不一样。在表 1-1 中总结了两种通信系统的信道不同点。在光纤

通信中，频谱效率非常重要，但由于光纤非线性的限制，输入功率限制在几个毫瓦

以内，因此需要引入数字信号处理等技术进行补偿[21-26]；而在 FSO 中则需要运用高

功率发射机、天线增益（大孔径接收）、带宽扩展（调制+差错控制）以及高灵敏度

接收机来对抗信道损耗[27-29]。对抗大气信道的衰落特别是大气湍流的影响是 FSO 首

要考虑的问题。

表 1-1 光纤通信与 FSO 通信的信道对比

1.3 FSO 发展历史和研究进展

如今，出于国防、航空航天和多媒体通信的需求，FSO 的研究变得一年比一年

重要。我们可以将 FSO通信系统的发展根据时间分为三个主要部分：60年代产生了

激光并开始有 FSO通信的想法；90年代开始流行，并实现以红绿光源为标志的地面

对卫星、卫星对地面的激光通信；2000 年后，FSO 通信技术的爆发，展开了面向民

用和军用，范围从电信领域到卫星间、星球间的实验，并且波长范围从 1 微米延伸

到 10 微米。下面介绍这三个时期 FSO 的主要研究活动。

9

1.3.1 60 年代

1960 年梅曼研发明的第一个红宝石激光器使利用光束在大气中进行远距离通信

成为了可能。60 年代，NASA 开始在 Goddard 空间站和 Gemini 7 号宇宙飞船之间进

行初步的实验。到了 1968 年，由罗马大学物理学院 Sette 教授管理下的邮电学院、

CNR 和 Ugo Bordoni 基金会的研究人员在罗马进行了第一个关于 FSO 的实验，实验

内容为建立传输距离为 4km 的 12 条电话信道。该实验使用 0.8 微米的载波连接位于

罗马哥伦布街和特拉斯提弗列街之间的两栋建筑。同年，德国的E.Kube博士发表了

对 FSO 通信可行性的研究，并分析和比较了绿光和红光两种激光源[30]。1970 年，

Alferov引入了在室温下工作的半导体激光，这对完整的、低成本的FSO系统的进一

步发展起到了决定性的作用。

1.3.2 90 年代

表 1-2 80 年代到 90 年代之间航空航天 FSO 实验活动[31]

到了 70 年代，低损耗光纤（低于 20dB/km）研制成功。光纤提供的可靠、高速

且超长距离的通信大大降低了研究人员对 FSO 的兴趣。在这段光纤应用的繁荣时

期，虽然民用的 FSO 研究活动处于暂停的状态，但是军事和空间实验室的研究从未

止步。在表 1-2 中列举了 80 年代到 90 年代间美国、欧洲和日本主要的 FSO 实验。

10

可见，进入 90 年代后，FSO 的研究活动逐渐频繁，表明 FSO 在航空航天通信中的地

位日益提高。

特别地，在 1994 年 J. Faist 和 F. Capasso[32]进行了第一个量子级联激光器的实

验，使 FSO 得可使用的载波波长延伸到了10μm。从研究的角度来看，该实验可被认

为是现在 FSO 新传输波长的基础。

1.3.3 2000 年后

进入 2000 年以后，互联网和多媒体设备使用的快速增加造成了通信网的拥挤。

现行的无线微波通信出现带宽资源缺乏的现象，引起了人们重新对 FSO 的关注。过

去的 30年，电光和光电学技术的巨大进展以及航天和防御活动的研究为今天的 FSO

建立了强大的基础。随着 FSO通信集中和广泛的研究不断进行，特别是靠 FSO快速

回复通信网络的美国“911”事件以后，FSO 的应用比过去涵盖了更广泛情景。下面我

们根据不同的应用方向分别作介绍，这些方向包括军事应用、航天通信、深空通信、

空地通信和岛屿间的通信。

1.3.3.1 军事应用

图 1-9 连接各单位的战场 FSO 拓扑图[33]

首先介绍军事上的应用是因为军事需求是促进 FSO 发展的第一个驱动力。FSO

的高带宽和高安全性非常适于在军事环境中使用。图 1-9 为 2006 年 Juan C. Juarez 教

授[33]提出的战场上连接各单位的 FSO 网络拓扑图。如图所示，节点 C 有两个 FSO

天线可以发射和接收激光信号。由于附近有节点 B, D, E，因此节点 C 要能够决定对

准哪个方向发射光束。这种决定要考虑到运行的情形如与其它设备的距离、速度、

交通需求、终端用户的距离和环境测量等。由于在军事应用中，激光束与接收机的

对准需要一个很高的准确度来达到通信的可靠性，因此需要加入与光学元件对应的

备用射频线路。这种系统一般称作混合通信系统。混合系统共用一个普通的孔径，

11

其中射频系统可用于基本功能的实现如控制信号发送、追踪、收集和信号探测，而

且射频系统也可用于在光信道出现严重衰落时的通信恢复。同时，为了使对单段链

路的依赖降到 低，可以建立可重构的 FSO 链路。此外，为了在不增加总功率的条

件下补偿环境的影响，可采用自适应光学技术。

1.3.3.2 航天通信

进入 2000 年以来，世界各国对太空军事的日益重视以及航天、全球通通信市场

的竞争，使得对 FSO 通信的研究也与日俱増。美国、欧洲和日本竞相开展用于航天

通信的 FSO 研究活动。下面介绍了他们取得的主要成绩，值得注意的是，虽然我国

在这方面的研究起步较晚，但也取得了不错的成果。

2003 年欧洲航天局进行半导体卫星间实验(Semiconductor Intersatellite Link

Experiment，SILEX)[34]。实验演示了双向 GEO（Geosynchronous Orbit，地球同步轨

道）-LEO（Low Earth orbit，近地轨道）的通信。实验内容为在 ARTEMIS 卫星上用

一个 0.8 微米的半导体激光器向 35000km 外的 SPOT-4 卫星发送速率为 2Mbps、平

均功率为 10mW 的信号。同年，GeoLite 实验成功实现了在 GEO 卫星、地面和飞机

之间的双向激光通信，并于 2005 年实现了与日本卫星 OICETS（Optical Inter-orbit

Communications Engineering Test Satellite）的交叉通信[35]。

2006 年法国的 LOLA 计划（Liaison Optique Laser Aéroportée，机载激光光链

路）演示了第一个在 GEO 卫星 ARTEMIS 和一个在 9000 米高度的飞机之间的双向

FSO 链路，接着在 2006 年和 2007 年间演示了接收时间小于 1 秒的实时视频和音频

通信的 50Mbps 链路。

2006 年，德国航空航天中心（German Aerospace Center ，DLR）的 KIODO（Kirari

Optical Downlink to Oberpfaffenhofen）工程进行了一个从日本 LEO 卫星 OICETS 到

地面基站的下行链路通信实验。经过 5 次尝试，成功实现了载波波长为 847nm，信

号速率为 50Mbps 的传输，且信号误码率低于 10-6[36]。

2008 年美国和德国进行了在两个 LEO 轨道卫星 Terra SAR-X（德国）和 NFIRE

（美国）之间的相干光通信实验，实现了距离为 5500km、信息速率高达 5.5Gbps 的

FSO 链路[37]。

2011 年 11 月 10 日，中国哈尔滨工业大学首次星地激光通信链路数据传输试验

获得成功，下传数据速率为 20Mbps，并于 2011 年 11 月 24 日，星地激光高速数据

传输试验成功，单路数据率达到 504Mbps[38]。

美国麻省理工学院的林肯实验室计划于 2013 年中与 NASA 展开 LADEE（Lunar

Atmosphere and Dust Environment Explorer）实验，进行为期 3 个月的科学研究。这

12

是 NASA 的第一个激光通信系统，同时也是为将来的深空通信做准备。该实验计划

验证地面基站与处于月球轨道的航天器的光通信可行性。下行链路计划为

80-600Mbps，采用 16-ary 的 PPM（Pulse Position Modulation）调制格式和 Turbo 码

编码。上行链路计划为 10-20Mbps，采用 4-ary 的 PPM 调制格式和 Turbo 码 [6]。

如上所述，越来越频繁的项目开展表明了 FSO 在航天通信中的地位日益提升以

及其可行性，而且随着技术的发展，追求的通信速率也越来越高。图 1-10 和图 1-11

分别是美国与日本航天FSO速率的发展趋势[39,40]。预计到2020年后，对航天通信的

需求将达到Gbps以上。由于微波通信带宽限制问题，FSO被认为是在未来实现超高

速(Gbps)大容量的航天通信的关键技术之一。

图 1-10 美国卫星通信项目和通信速率的需求趋势[39]

图 1-11 日本卫星通信项目和通信速率的需求趋势[40]

1.3.3.3 深空通信

深空通信是指地面与宇航器之间的通信，包括地球与卫星间、地球与月球间、

13

地球与火星间以及地球和太阳系的其它天体间建立通信链路。由于深空通信涉及到

非常遥远的通信距离，而通信波束随发射机和接收机之间的距离成平方扩散，由此

带来的功率损耗使通信变得十分困难。在这问题上，极高的天线增益使 FSO 在这方

面具有比微波通信更诱人的应用前景。举个例子，常规的地球轨道卫星通信通常采

用 GEO 上的卫星与地面通信。GEO 的高度大约是 40000km，在这样的距离上，可

建立和维持 Gbps 的相当高的数据速率。可是地球与海王星或冥王星的距离达到 40

亿 km 以上，来自航天器的通信波束经过远距离传输后，其扩散面积比 GEO 距离上

的波束扩散面积大 100 亿倍。如此微弱的波束使对地通信的难度也增加了 100 亿

倍。也就是说，一个从 GEO 到地面的通信能发送 10Gbps 的系统，在海王星或冥王

星的距离上只能达到 1bps[41]。

针对 FSO 的高增益和高带宽带来的优势，美国 NASA 对深空通信设立了更高的

目标，如图 1-12。特别地，NASA 的 MLCD（Mars laser communications demonstration）

工程的预期性能是远火星点 1Mbit/s，近火星点 30Mbit/s，并在加强性能后达到能够

支持在远火星点为 1G bit/s，木星为 100M bit/s，天王星为 10M bit/s[42]。

图 1-12 美国 NASA 基于 FSO 提出的深空通信挑战[14]

1.3.3.4 空地通信

空地通信是指飞行器与地面的通信。2003 年美国 NASA 和喷气推进实验室（Jet

Propulsion Laboratory，JPL）在这方面开展了一个在无人机和地面基站的 FSO 通信

实验，目的是研究大气衰落和瞄准系统的问题[16]。无人机上采用波长 1550 nm、功

率 200mW 的激光器，通信距离为 50km（无人机海拔高度 18km）。该实验实现了

2.5Gbps 的通信速率，且误码率低于 10-9。另外，2003-2006 年间的欧洲多国参与的

FP6 CAPANINA 工程实现了一个从 22km 平流层的气球到瑞典基律纳的一个地面移

动基站的 1.25G bps 下行链路[43]。

14

1.3.3.5 岛屿之间的通信

在欧洲航天局（European Space Agency，ESA）资助下，DOLCE 工程实现了

在相距为 142km 的两个岛 La Oalma 和 Tenerife 之间建立 FSO 链路，实现 10Mbps 的

通信速率。该链路采用 1W 的发射功率和 32PPM 的信号调制格式，使用简单的

硅·-APD 进行信号接收[44]。在该链路上，罗马尼亚航天局（Romanian Space

Agency，ROSA)）还进行了一个为研究火星样本返回任务的光遥测系统的实验[45]。

1.4 论文创新点和结构安排

综上所述，FSO 具有频带宽，安全，体积小，重量轻和功耗低的特点，并能实

现链路的快速建立，被认为是解决高速率航天通信、深空通信 具潜力的技术。尽

管对 FSO的研究越来越广泛，但是 FSO系统还存在亟需解决的问题，如需要高灵敏

度的接收机，光束的捕获和对准跟踪技术还不够成熟，来自大气信道的干扰以及链

路可靠性需要更多的实验验证和支持等。在大气信道的干扰因素中，大气湍流造成

的信号闪烁被认为是 FSO 需要克服的难点，并在 FSO 的发展过程中成为制约通信

速率的瓶颈。本文将针对信号闪烁问题进行深入研究。在过去的研究中，已经发展

了多种闪烁抑制技术，包括大孔径接收，部分相干光传输，自适应光学，空间分集

和时间分集技术等。本论文将重点讨论部分相干光和空间分集技术的闪烁抑制性

能。本文的创新点有：

图 1-13 本文研究内容和创新点

1．建立了在任意探测器响应时间下高斯-谢尔模型（Gaussian-Schell Model，GSM）

光束孔径接收的闪烁指数理论模型。根据该模型可得到任意相对探测速度下（光源

相位扰动特征时间与探测器响应时间的比值）GSM 光束的闪烁指数和在保证 GSM

光束提供比相干光束更低闪烁下的 高探测器速度。

15

2．建立了基于电磁高斯谢尔模型光束（Electromagnetic Gaussian-Schell model

beam, EGSM）的光束漂移理论模型，根据该模型可预测光束参数对漂移的影响以及

实现光束参数优化；

3．建立了接收机分集系统下子信道间相关系数的理论模型。根据该模型可分

析分集天线的结构和链路参数对系统性能的影响，以及预测要使分集天线提供 大

分集增益所需的接收机 小间距。

研究内容和创新点的总结如图 1-13 所示。

本论文的内容结构如下：

第二章介绍Kolmogorov湍流理论和大气谱模型。大气谱模型分为两部分：描述

湍流漩涡引起的折射率空间分布函数的功率谱 ( )n 的函数形式和描述大气湍流扰

动强度的大气折射率结构常数2nC 。

2nC 随位置的海拔高度而变化，描述该变化 常

用的模型为 Hufnagel-Valley 模型、SLC 模型和 CLEAR 1 模型。而对于 ( )n ，我们

介绍了 Kolmogorov 谱，Tataskii，von Karman 和 exponential 谱，以及修正的大气

谱。其中，后面这些谱模型都是对 Kolmogorov 谱的修正。

第三章介绍光束在大气湍流中的传输理论。由于经过大气湍流传输后的光场为

随机场，需要用二阶统计矩和四阶统计矩进行描述。在求解这些统计矩的方法中，

我们重点介绍 Rytov 近似方法，包括只适用于弱湍流条件的传统 Rytov 近似、适用于

任意湍流条件的拓展 Rytov 近似，以及包含接收孔径效应的 ABCD 光学系统中的

Rytov 近似，还介绍了光场空间相干长度、光强的空间相关性和闪烁指数的概念及模

型。

第四章讨论线偏振部分相干光中 GSM 光束的传输。GSM 光束可以通过相位屏

产生。根据相位屏的相位变化相关时间和探测器的响应时间的相对大小，对 GSM

光束的接收可分为慢探测器和快探测器两种情况。点接收和孔径接收下我们分别讨

论了两种探测器的闪烁指数模型，其中孔径接收下快探测器情况的闪烁指数模型为

作者的第一个创新点。

第五章研究了部分偏振的部分相干光束中的 EGSM 光束的传输。我们先介绍了

EGSM 光束在大气湍流传输中偏振态、光强分布和束宽的变化特点，并介绍了 EGSM

光束在两种特殊情况下的闪烁指数模型。接着我们讨论了 EGSM 光束的光束漂移问

题，详细分析了光源偏振态、相干长度和相位曲率半径对漂移的影响。在这章中，

EGSM 光束漂移模型为作者的第二个创新点。

第六章研究了空间分集技术在 FSO 系统中的应用。主要分析了空间分集系统的

闪烁抑制能力。分集系统形成的子信道越多，则闪烁抑制能力越强。但是，当子信

道间由于间距不够而产生信道相关性时，系统的抗闪烁能力下降。我们介绍了接收

16

机分集系统子信道的相关系数理论模型，并研究了信道参数对相关系数的影响。这

部分工作为作者的第三个创新点。

第七章对全文进行总结，并对后续研究内容作了展望。

1.5 参考文献

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18

第二章大气湍流理论模型

当光束在大气中传输时，光功率会受到损耗和波前畸变的影响，从而使光束下

降。第一个效应由大气分子以及漂浮在大气中的微粒的吸收和散射，以及光束本身

的衍射引起。第二个主要由大气折射率的随机变化引起。大气折射率的随机变化使

得光束的相位面发生随机扭曲，引起光束的额外展宽，光束弯曲，到达角起伏和光

强闪烁等[1-2]。图 2-1 总结了大气各因素及其对通信光束造成的影响。

图 2-1 大气因素对通信光束的影响[3]

大气折射率的随机变化主要由大气湍流引起。大气湍流造成的相位噪声和光强

噪声被认为是限制 FSO 性能的主要因素。相位噪声限制了相干光通信中信噪比的提

高，而光强起伏（也称为闪烁，如图 2-2 所示）则以乘性噪声的方式增加系统的误码

率，严重时使通信中断[4-14]。在后面的研究内容中，我们主要研究大气湍流对光束

传输的影响，而忽略大气的散射和吸收。

对湍流引起的大气折射率在空间上的随机分布进行建模通常用到著名的

Kolmogorov 湍流理论模型。Kolmogorov 模型用空间功率谱函数 ( )n 描述折射率的

随机分布。谱函数 ( )n 包含两部分。第一部分为表示湍流强度的折射率结构常数

2nC ，它随地理位置和海拔高度变化，常用的模型有 H-V、SLC 和 CLEAR 1；第二部

19

分为描述不同尺度湍流漩涡分布的 ( )n 的函数形式，常用模型有 Kolmogorov 幂率

谱、Tatarskii 谱、von Karman 谱和修正大气谱。这章将详细介绍 Kolmogorov 湍流理

论。本章的结构如图 2-3 所示。

图 2-2 大气信道对光束产生的散射和光强闪烁效应[15]

图 2-3 第二章结构图

2.1 大气湍流的统计描述——Kolmogorov 湍流理论模型

大气湍流对传输光束的影响主要源于其对大气折射率造成的在时间和空间上的

随机改变。折射率的随机改变主要源于大气温度变化造成的不同温度空气的混合。

实际上，太阳对地球表面的照射造成地表附近空气温度升高。这层热空气由于密度

减小而上升，与它上面的较冷的空气混合，从而造成温度的随机变化。由于大气的

折射率受其温度和密度的影响，因此它也随着空气的运动而出现时间和空间上的随

机变化。这就是大气湍流的形成。

要描述大气湍流，需要将大气看成是连续流动的流体。当流体低速运动时，呈

平流状态。在流体力学中，该状态用雷诺系数(Rn)描述。雷诺系数为流体惯性力和

粘滞力的比值[16]

/n c kR V l v （2-1）

20

其中， cV 为流体的特征速度（m/s ），l为流体的特征长度（m）， kv 为运动粘度（ 2m /s ）。

当雷诺系数小于特定值（ 2300nR ）时，流体的层流运动是稳定的。当雷诺系数大

于这个值时（例如，流体的运动速度增加），流体的运动将从层流转变为混乱的湍流

状态。为了描述湍流状态，Kolmogorov 基于大尺度湍流漩涡的能量向小尺度湍流漩

涡转移直至消散的假设建立了一个理论模型[17]。基于该模型的湍流结构如图 2-4 所

示

图 2-4 Kolmogorov 湍流理论模型[18]

湍流漩涡根据大小可以划分为三类：输入区（Input Range），耗散区（Dissipation

Range）和惯性子区间（Inertial Subrange）。这三个区间由两个尺度分隔：外尺度 0L

和内尺度 0l 。在输入区，漩涡尺度均大于 0L 。在这个区内，外界能量将注入到该区

的湍流漩涡中。由于在这个区间内的湍流主要由实际区域条件所决定，目前没有数

学模型可以描述。在耗散区，漩涡均小于 0l（ 0L ）。在这个区间，湍流漩涡消失，

剩余的能量将以热的形式消散。惯性子区间是Kolmogorov湍流理论的核心。在这个

区间，湍流漩涡尺度由于能量的转移将由外尺度 0L 向内尺度 0l 转变。

对大气湍流的数学描述需要运用统计学理论。Kolmogorov 认为属于惯性子区间

内的湍流漩涡的分布是统计均匀的，且湍流主要由风的运动引起。他给出了在两个

不同观测点风速纵向分量的结构函数[19]

1 2

2

2

2 4/3 22 0 0

1

1

0

1 2 2/30

( ) ( , ) ( ) ( )

, 0( ) ( )

,

v v

v

v

D D v v

C l R R lv v

C R l R L

R R R R R

R R R

（2-2）

其中， 1R 和 2R 为两个不同观测点的位置矢量， 2 1 R R R 且 R R ， 为求平均

操作符，以及 2vC 为用于描述湍流强度的风速结构常数。（2-2）式显示，在惯性子区

21

间内结构函数满足 2/3 幂次方率。注意，湍流漩涡只在惯性子区间和耗散区范围内是

各项同性的，而在输入区一般认为是各向异性的，它的结构函数目前是未知的。

为了将（2-2）式拓展到对湍流折射率变化的描述，首先必须将大气折射率描述

为大气参数的函数。在光学领域内，大气折射率常数可用下式表示[20]

61 79 10p

nT

（2-3）

其中， p 为大气的气压（mbar），T 为温度（K）。对于光束传输，可认为折射率的起

伏仅由温度的起伏引起，而湿度和气压的变化可以忽略[13]。因此，折射率起伏的结

构函数与温度的结构函数具有相同的函数形式，而温度的起伏又和风速的起伏遵循

同样的规律，由此可得温度结构函数为

2 4 2

2 0 02 2 2/1 3

0 0

, 0( ( ) )) (

,T

T

T

C l R R lD T T T

C R l R L

R R R （2-4）

其中 2TC 为温度结构常数。同理，可以推得折射率的结构函数为[21]

2 4 2

2 0 02 2 2/1 3

0 0

, 0( ( ) )) (

,n

n

n

C l R R lD n n n

C R l R L

R R R

（2-5）

其中2nC 为折射率结构常数，描述湍流扰动的强度。由（2-3）式可以证明

2nC 和

2TC 有

以下关系

2 6 22

7810n T

pC C

T

（2-6）

（2-6）式给出了一个确定2nC 的方法，就是测量大气的气压和温度的空间扰动，然后

通过（2-6）式确定2nC 。

由（2-6）式给出的大气折射率结构函数 ( )nD n R 不利于第三章介绍的光束传输

的理论计算，更方便的函数为折射率的空间功率谱密度函数 ( )n （spatial power

spectral density）。 ( )n 和 ( )nD n R 通过折射率的协方差函数 ( )nB n R 联系。

( )nB n R 定义为[17]

1 1 2 2) )( ( ( () ) )(nB n n n n n R R R R R （2-7）

( )n 和 ( )nB n R 存在如下三维傅里叶变换关系[17]

22

33 0

2 0

1( ) ( exp( )

(2 )

1( sin( )

)

)2

n n

n

B n i d R

B n R dR

R K R

R

（2-8）

后面的等式利用了球对称假设， K 为一维标量波数。利用傅里叶反变换的性质，

可得

0

4( ( )sin) ( )n nB n R d

R

R （2-9）

另外， ( )nB n R 和 ( )nD n R 存在以下关系

) 0)( ( )2 (n n nD n B n B n R R （2-10）

因此，利用（2-9）式和（2-10）式可得

2

0

sin( )( 8 ( )) 1n n

RD n d

R

R （2-11）

将（2-5）代入（2-11）式，并只考虑惯性子区间可得

2 11/30 0( ) 0.033 , 1/ 1/n nC L l （2-12）

上式是著名的 Kolmogorov 幂律谱[16]，它被广泛的使用在理论计算中，部分原因是它

相对简单的数学结构。然而，正如公式显示的那样，这个谱模型只在惯性子区间

0 01/ 1/L l 范围内理论成立。为了将它使用在所有波数范围的计算中，我们一

般假设外尺度为无穷大和内尺度为 0。然而，将（2-12）式的有效性扩展到所有的波

数范围会引起积分发散。因此这个谱存在局限性。

2.2 其他功率谱模型

为了克服 Kolmogorov 幂律谱局限性的问题，研究人员通过对（2-12）进行不同

的修正得到了 Tataskii 谱模型、von Karman 谱模型和修正大气谱（Modified

Atmospheric Spectrum）模型，下面将分别介绍这几个模型。

2.2.1 Tataskii 谱

为了将Kolmogorov幂律谱拓展到不能忽略内外尺度的计算中，需要在耗散区域

引进一个在高波数处的截断函数。为了数学计算的方便，Tataskii 建议用使用高斯函

数[22]，并从（2-12）式推出如下谱模型

23

22 11/3

0 02( ) 0.033 exp , 1/ , 5.92 /n n m

m

C L l

（2-13）

上式被广泛地称为 Tatarskii 谱。 像（2-12）式的 Kolmogorov 谱一样，Tatarskii 谱在

0 0 0(1 / 0, ) L L 时有个奇点。这就意味着从（2-13）式中可以计算出结构函

数 ( ( ))nD n R 但不能得到协方差函数 ( ( ))nB n R 。

2.2.2 von Karman 谱

Kolmogorov 谱和 Tatarskii 谱在实际中经常被修正以使得它们在 01/ L 时也保

持其有效性。在一个修正的 Tatarskii 谱中，基于湍流在所有波数范围内都是均匀和

各项同性的假设从而得出的谱模型为[23]

2

0 0 02 2 11/60

2 22

02 2 11/60

0.033, 0 1/ , 2 /

( )( )

exp( / )0.033 , 0 , 5.92 /

( )

n

n

mn m

Cl L

C l

（2-14）

在公式（2-14）中，上子式只包括了外尺度参数 0 ，是 von Karman 谱的原型；而下

面具有高斯形式的下子式则带有内外尺度参数，它是后来由其他人将 Tatarskii 谱和

von karman 谱结合到一起得出的结果，因此该模型又叫做修正的 von Karman 谱。

2.2.3 修正的大气谱模型

折射率空间功率谱模型（2-12）-（2-14）在数学形式上都是相对易处理的。因

此，它们经常被用在光传输的理论研究中。然而，严格来讲，这些谱只在惯性子区

间内成立。也就是说，在惯性子区间外的使用只是基于数学上的方便而不是物理上

的模型。实际上，实验证明[24]在高波数 01/ l 处谱函数 ( )n 会有一个“突起”，但是

这些谱均没有对这个“突起”的描述。Hill 基于流体动力学分析推出了一个数值谱模

型，它在高波数处的上升趋势准确的跟文献 [25,26]的实验数据相吻合。Hill 和

Clifford[27]很快指出了 Hill 数值谱对光波传输的影响。一般来说，折射率谱在高波数

处“突起”的影响不可忽略，如结构函数、闪烁指数都会有一个对应的“突起”[28,29]。

为了符合实验观测数据，Andrews[30]建立了一个包括外尺度参数的解析近似模型

7/6 2 22

2 2 11/60

exp( / )( ) 0.033 1 1.802 0.254 ,

( )l

n nl l

C

00 , 3.3 /l l （2-15）

24

它跟 von Karman 谱一样在理论上容易处理。（2-15）式叫作修正的大气谱模型。注意

（2-15）式除了中括号里描述在高波数“突起”的项外，它与（2-14）式在函数形式

上是相近的。另外，还可以将（2-15）写成如下形式

7/6 2 222

2 11/30

exp( / )( ) 0.033 1 1.802 0.254 1 exp l

n nl l

C

（2-16）

它与（2-15）的区别在于引入外尺度参数的方法不同。在（2-16）式中，可根据情况

定义 0 02 / L ，或者 0 08 / L 。

图 2-5 Kolmogorov 谱、von Karman 谱和修正的大气谱的比较

图 2-5 中比较了 Kolmogorov 谱、von Karman 谱和修正谱的分布。可见，在惯性

子区间三个模型都很接近。而在输入区，von Karman 谱和修正的大气谱随波数的减

小均趋于“饱和”，而不像 Kolmogorov 谱一样趋于无穷大。在耗散区，三个谱有明

显的不同，其中修正的大气谱有 快的衰减。

图 2-6 归一化的 von Karman 谱（2-14）式和修正的大气谱（2-16）式的比较

25

图 2-6 显示了 von Karman 谱和修正的大气谱的比较。由图中可知，两个谱模型

大的不同为在 0 2l 处，修正的大气谱有一个先增大后减小而形成的“突起”。这

个“突起”与实验观测一致[31,32]。

2.3 折射率结构常数模型

在 Kolmogorov 幂律谱（2-12）式中，除了描述波数分布的函数形式外，折射率

结构常数2nC 也是一个很重要的参数，它与湍流强度直接相关。实际中，

2nC 将随地理

位置、高度和时间的不同而不同。在地面附近，由于温度存在 大的温差，所以该

区域内2nC 的变化也 剧烈。图 2-7 给出了同一地点连续两天

2nC 的分布，其中黑线为

实际观测数据，红线为数据的近似分布模型。2nC 的变化范围一般在 10-17m-2/3 到

10-13m-2/3之间。一般情况下，2nC 小于 10-15m-2/3可认为是弱湍流，在 10-14m-2/3附近认

为是中等湍流，而在 10-13m-2/3 以上属于强湍流。

图 2-7 折射率结构常数 2nC 在一天内的变化，黑线为观测数据，红线为数据的近似分布[3]

2.3.1 H-V 模型

对于那些在水平面传输的链路来说，通常假设 2nC 是一个不变的值。然而，在一

个垂直或者倾斜的路径上传输，则需要考虑 2nC 随高度的变化，用函数 2 ( )nC h （h 表示

海拔高度）来描述。一些 2 ( )nC h 的模型，不论是白天的还是晚上，都被一些科技研究

组用在地对空和空对地的链路模型中。其中一个使用 广泛的模型是 Hufnagel-

Valley（H-V）模型[33]

2 2 5 10

16

( ) 0.00594( / 27) (10 ) exp( /1000)

2.7 10 exp( /1500) exp( /100)

nC h w h h

h A h

（2-17）

其中 h 是海拔高度，单位是 m；w是均方根风速，单位是 m/s；A 表示地面的湍流强

26

度 2 (0)nC ，单位是 2/3m 。均方根风速取决于下式

3

3

1/220 10 2

3 5 10

1( )

15 10w V h dh

（2-18）

其中 ( )V h 常用 Bufton 风速模型来描述

29400

( ) 30exp4800s g

hV h h V

（2-19）

参数 gV 是地面的风速， s 是跟卫星相对于地面的观察点移动有关的转换速度。

H-V 模型在理论研究中很受欢迎的原因之一是其包含了高处的风速和近地湍流

两个参数。在计算中通常使用以下参数值： 21 /w m s ， 14 2/31.7 10A m 。在这个

参数下，H-V 模型也称为 5/7H V 模型。为了了解这些参数对 H-V 模型的影响，图

2-8 中比较了三个不同风速值从中等到强风 w=10、21 和 30m/s，两个地面湍流强度

14 2/31.7 10A m 和 13 2/31.7 10A m 的 2 ( )nC h 的分布。可以看出地面的湍流强度对

1km 以上的高度没什么影响，而在 10km 的高度风速影响则占主导作用。

图 2-8 不同参数下 5/7H-V 模型的 2 ( )nC h 随高度的分布图[17]

2.3.2 SLC 模型

另一个常用的 2 ( )nC h 模型是所谓的 SLC（Submarine Laser Communication）白天

和黑夜模型。基于 Miller-Zieske 曲线，在白天的平均 SLC 模型定义为[34]

2 14

13 1.05

15

7 3

16 1/2

day ( ) 1.7 10 , 0 18.5m

3.13 10 / , 18.5 240m

1.3 10 , 240 880m

8.87 10 / , 880 7200m

2.0 10 / , 7200 20000m

nC h h

h h

h

h h

h h

（2-20）

27

对应的 SLC 晚间模型如下，它只在 h<1.5km 部分与白天模型不同，

2 15

12 2

16

7 3

16 1/2

night ( ) 8.4 10 , 0 18.5m

2.87 10 / , 18.5 240m

2.5 10 , 240 880m

8.87 10 / , 880 7200m

2.0 10 / , 7200 20000m

nC h h

h h

h

h h

h h

（2-21）

由于实验数据依赖于测量区的特点， 上面 SLC 模型只代表了 AMOS（Air Force

Maui Optical Station）地方的 2 ( )nC h 分布，不能代表其他地区的情况。

2.3.3 CLEAR 1 模型

图 2-6 5/7H V 模型、SLC-DAY 模型和 CLEAR 1 模型的对比图。注意，

由于地区海拔高度的影响，不是所有模型都从 0h 开始[35]

除了以上两个模型，还有一些根据实验数据得出的经验式的模型。例如，

CLEAR 1 模型由在美国墨西哥沙漠的实验数据测量中得出 [33]

2

2

2

2 17.025 4.3507 0.814

16.2897 0.0335 0.01341

17.0577 0.0335 0.00051 0.6181exp[ 0.5( 15.5617)/12.0173]

( ) 10 1.23 2.13km

10 2.13 10.34km

10 10.34 30km

0 30km

h hn

h h

h h h

C h h

h

h

h

（2-22）

28

上式模型中 1.23kmh 是由于测量地点的海拔高度的限制。在图 2-6 中给出了 H-V、

SLC 和 CLEAR1 三个模型的比较。可见，三个模型的变化曲线具有明显的不同。所

以在选择模型时，考虑地区因素是非常重要的。

2.4 本章小结

本章介绍了大气湍流的Kolmogorov理论。大气湍流根据湍流漩涡的大小可分为

输入区，耗散区和惯性子区间。针对惯性子区间，Kolmogorov 认为这个区间内的湍

流漩涡的统计均匀且各向同性，并给出了适用于这个区间的Kolmogorov折射率空间

功率谱模型。由于 Kolmogorov 谱模型的局限性，通常在理论计算中需要对其进行修

正。常用的修正的谱模型有 Tatarskii 谱（含有内尺度参数）、von Karman 谱（包含内

外尺度参数）和修正的大气谱（包含内外尺度参数）。在折射率空间功率谱中，使用

折射率结构常数 2nC 描述湍流强度。在水平链路中， 2

nC 一般假设不变；在垂直或倾斜

链路中，需要考虑海拔高度的影响。对于后者，常用的模型有 H-V 模型、SLC 模型

和 CLEAR1 模型。

2.5 参考文献

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29

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30

第三章 大气湍流中的光束传输理论

光波经过大气湍流传输后，由于受到湍流的随机扰动，在接收面处光场 ( )E R 的

分部是随机的，因此需要运用统计的方法进行描述。通常采用的统计量为光场的二

阶矩和四阶矩

22 1 1 2( ) ( ), R R E R E R （3-1）

1 2 14 3 4 2 3 4, , , ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R E R E R E R E R （3-2）

求解经过光场的二阶矩和四阶矩，通常采用的方法有四个：抛物线方程法

（Parabolic Equation Method）[1,2]、拓展的惠更斯-菲涅尔原理（Extend Huygens-

Fresnel Principle）[3,4]，费曼路径积分（Feynman path integral）[5,6]和 Rytov 近似法(Rytov

Approximation)[7]。在这四种方法中，抛物线方程法得到的结果是公认 符合实验数

据的，但是其在处理光场的四阶矩时，由于涉及到的数学计算非常复杂，因此研究

人员通常避开这种方法。拓展的惠更斯-菲涅尔原理通过积分得到的结果适用于任意

湍流强度（从弱到强），但是由于其需要计算四重以上的积分，因此一般情况下不

能得到解析解，从而不利于结果的物理分析。费曼路径积分也面临相同的困难。而

Rytov 近似是这四种方法中数学形式 简单的，且通过一些近似往往能得到解析

解。虽然传统的 Rytov 近似只适用于弱湍流条件。但是 Andrews 等通过在 Rytov 近

似过程中考虑不同尺度的大气湍流漩涡对光场不同的影响，将其拓展到了强湍流的

条件下。这套方法称为拓展的 Rytov 近似法（Extended Rytov Approximation）[8-12]。

由这个方法得到的结果除了与实验数据相符外，利用光束的等效参数[13,14]，还可以

很容易地将其拓展到不同的光束模型中，如部分相干光。由于 Rytov 近似法的简洁

数学形式和易拓展性，同时考虑到本论文的研究成果均基于该方法，因此这章我们

将重点介绍。另外，由于第五章的需要，会在 后适当地介绍拓展的惠更斯-菲涅尔

原理。

在这章中，我们先介绍传统的 Rytov 近似和在该近似下二阶和四阶统计矩的一

般表达式。由于湍流强度的划分与光场模型有关，我们讨论三个光场模型，分别为

平面波、球面波和高斯光束，并给出各光场下湍流强度的划分条件。接着我们介绍

强湍流下的拓展 Rytov 近似以及为了考虑接收孔径效应而使用的 ABCD 光学系统中

的 Rytov 近似。本章结构如图 3-1 所示。

31

图 3-1 本章结构图

3.1 光束传输方程

在大气湍流中传输时，光波的电场满足以下波动方程[15-17]

2 2 2 ( ) 2 [ log ( )] 0k n n E R E E R （3-3）

其中 2 /k 为光场的波数， 为波长， ( )n R 为大气的折射率，以及

2 2 2 2 2 22 / / /x y z 为 Laplacian 算符。注意，在（3-3）式中已假设大气折

射率随时间变化足够慢，使得 ( )n R 的时变特性在方程上可以忽略。（3-3）式的求解

非常复杂，但可对光场作以下四个合理近似使问题简化[18]

（1）光波的后散射可忽略；

（2）光波的解偏振效应可忽略；

（3）折射率在传输方向上的相关函数为 delta 函数；

（4）可以使用傍轴光束近似。

近似（1）和（2）基于同一个基础，即光波波长远小于湍流漩涡的尺度（内尺度

0 1mml ）， 大散射角为 40 10 d/ ral ，因此散射场非常弱。进一步，方程（3-3）

中左边第三项可以忽略[19]，由此可得

2 2 2 ( ) 0k n E R E （3-4）

现在，方程（3-4）可以很容易地分解为E 的 3 个坐标分量的标量方程。如果令 ( )U R

表示任一电场的横向分量（假设光波沿 z 轴传输），则可由（3-4）式得到标量 Helmholtz

方程

32

2 2 2 ( ) 0U k n U R （3-5）

在近似（3）下，折射率可表示为

0 1( ) ( )n n n R R （3-6）

其中 0 ( ) 1 Rn n 和 1( ) 0n R 。

3.2 Rytov 近似

Rytov 近似只适用与弱湍流条件，而湍流强度的划分与具体的光场模型有关。因

此这里先介绍本章涉及的光波模型和相应的湍流强度划分依据，再讨论 Rytov 近似

的应用。

3.2.1 光波模型及其真空传输

3.2.1.1 平面波

平面波是等相位面为平面的光波，在输入面 0z 处有

0z ： 00 0( ,0) iU r A e （3-7）

其中 0A 为常数表示平面波的振幅， 0 是初始相位。在没有湍流影响下距离光源 z 处

的光场为

0 :z 0 00 0( , ) ( , ) i i ikzU r z V r z e A e （3-8）

其中 0( , ) ikzV r z A e 为波动方程（3-5）的平面波解。由（3-8）式可知，平面波在传输

过程中依然保持为平面波的形式，只有相位随传输距离改变。

3.2.1.2 球面波

球面波的特点是等相面为球面。在光源处，球面波的表达式为

0 :z 00 00( ,0) lim ( )

4

ikR

R

A eU r A

R

r

（3-9）

其中， ( ) r 为 Dirac delta 函数。在距离光源 z 处，光场表达式为

0 :z 2 2

00 ( , ) exp exp

4 2 2

A ikr rU r z ikz A ik z

z z z

（3-10）

这里归一化振幅 0 4A A z ，相位 2( / 2 ) k z r z 为横向坐标的函数。

33

3.2.1.3 高斯光束

这里仅考虑 低阶高斯光束。设在 0z 处光场中心的振幅为 0a ，则高斯光束可

表示为

0 :z 2 2

20 0 0 02

0 0

1( ,0) exp exp

2 2

r ikrU r a a kr

W F

（3-11）

其中 0W 为束宽， 0F 为相位面的曲率半径， 0F 、 0 0F 和 0 0F 分别表示准直、

汇聚和发散的高斯光， 2 2r x y 为点到光束中心的半径， 0 为与 0W 和 0F 相关的

复参数

0 20 0

2 1i

kW F

（3-12）

经过真空传输距离 z 后其表达式为

0 :z 20

00 0

1( , ) exp

1 2 1

i zikU r z ikz r

i z z i z

（3-13）

为了后面运用的方便，这里用光束的输入参数（Input Parameter）和输出参数

（Output Parameter）来描述高斯光束。输入参数定义为[18]

0 0 20 0

21 ,

z z

F kW

（3-14）

利用输入参数，光场（3-13）式可表示为

2 2

0 22 20 0

1( , ) exp exp

2

r krU r z i kz

W F

（3-15）

其中 ，W 和F 分别表示在距离 z 处纵向（传输方向）的相移、光斑半径和相位曲

率半径，且

2 20 0 0 01 2 20

0 0 0 2 20 0 0 0

1tan , ,

FW W F

（3-16）

输出参数定义为[18]

0 02 2 2 20 0 0 0

,

（3-17）

利用输出参数，光场（3-13）式可表示为

34

2 22 2

0 ( , ) exp exp2 2

k r k rU r z i kz

z z

（3-18）

其中 1 。比较（3-18）式和（3-15）式可得

2 222 2

0 0

1 1 1, ,

2

k

W z F z

（3-19）

从（3-19）式中后两个等式可将输出参数改写为类似输入参数（3-14）式的形式

2

21 ,

z z

F kW （3-20）

通过由输出参数表达的高斯光束函数（3-18）式容易推得，当 1 且 0 时，

高斯光束退变为平面波；当 0 时，高斯光束退变为球面波模型。由于平面波

和球面波均不是实际存在的光波模型，只有高斯光束才接近于实际激光器发射的光

场，因此在实际应用中可作以下近似：当 0 1 时，对应于高斯光束的近场，可近

似为平面波；当 0 1 时，对应于高斯光束的远场，可近似为球面波。因此，当我

们求得高斯光束的结论时，可通过模型间的近似得到平面波或球面波模型的结果，

或者我们得到平面波或球面波的结果时，可推得高斯光束的近场或远场的结论。

3.2.1.4 湍流强度的划分

在这里，我们划分弱湍流区、中等湍流和强湍流区。通常情况下，湍流强度用

Rytov 方差（Rytov Variance）来描述[20]

2 2 7/6 11/61.23R nC k L （3-21）

通常，弱、中、强湍流区分别对应于 2 1R 、 2 ~ 1R 、 2 1R 。这个划分适用于平面

波和球面波模型，但对于高斯光束，特别是汇聚的高斯光束，仅根据 2R 进行湍流强

度区的划分是不够的。高斯光束的弱湍流区的划分条件为[20]

2 1R 且 2 5/6 1R （3-22）

其中 22 /L kW 为光束的输出参数，由（3-20）式给出。对于高斯光束，（3-22）式

中任意一个子条件不能满足，都认为是中等到强湍流条件。

3.2.2 Rytov 近似下的二阶矩和四阶矩表达式

在弱湍流条件下，可将光场写为[21-23]

35

0( ) ( , ) ( , )exp[ ( , )]U U L U L L R r r r （3-23）

其中 L为传输距离，r为接收面上的横向坐标矢量， 为由大气湍流引起的复相位扰

动。将（3-23）式代入标量波动方程（3-5）式，可得 Riccati 方程[23]

2 2 2 ( ) 0k n R （3-24）

注意，由于 ( )n R 在传输过程中是变化的，不能简单地写为 ( , )n Lr 的形式，而上式也

不能得到解析解，需要作近似。利用微扰理论，对复相位 作近似展开并保留至二

阶得

0 1 2( , ) ( , ) ( , )L L L r r r （3-25）

0 为常数相位，通常可忽略； 1 和 2 分别为相位的一阶和二阶微扰。将（3-25）式

代入（3-24）式，通过求解微分方程，可得 1 和 2 的解分别为[18]

222 0 1

1 00

( , ) ( , )( , ) exp ( )

2 2( ) ( , )( )

L ik U z n zkL dz d s ik L z

L z U L L z

s r s sr

r

（3-26）

22 2 1

1( , ) ( , ) ( , )

2L L L r r r

（3-27）

其中

222 0 1 1

2 00

( , ) ( , ) ( , )( , ) exp ( )

2 2( ) ( , )( )

L ik U z L n zkL dz d s ik L z

L z U L L z

s r s s sr

r

（3-28）

从（3-26）-（3-28）式可知，相位 1 和 2 的解依赖于光场 0U 的形式。 0U 为没有湍

流影响下波动方程的解，这里采用上面介绍的平面波、球面波或高斯光束。

由于光波经过大气湍流传输后，在接收面处的光场为随机场，需要利用统计量

来描述。光场的统计矩中， 重要的是二阶统计矩和四阶统计矩。光场的二阶矩，

也称为互相关函数（Mutual Coherence Function，MCF），定义为[24-24]

2 1 2 1 2

0 1 0 2 1 2

( , , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) exp ( , ) ( , )

L U L U L

U L U L L L

r r r r

r r r r （3-29）

其中 表示对湍流样本的统计平均， 1r 和 2r 为接收面上的两个观测点， ( , )U L r 为复

共轭光场。光场的四阶矩，也称为交叉相干函数（Cross-coherence Function，CF），

定义为[27,28]

36

4 1 2 3 4 1 2 3 4

0 1 0 2 0 3 0 4

1 2 3 4

( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

exp ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

U L U L U L U L

U L U L U L U L

L L L L

r r r r r r r r

r r r r

r r r r

（3-30）

为了更好地理解以上统计矩在描述光场中的应用，我们在图 3-2和 3-3进行了总

结。如图 3-2 所示，光束的束宽、光束漂移、光场的空间相干长度、到达角起伏等

蕴含在 MCF 中。由图 3-3 可知，光强的闪烁指数、空间相关长度等蕴含在 CF 中。

因此，要获得光束经过大气湍流传输后的光场描述，首先需要得到 MCF 和 CF 的表

达式。

图 3-2 二阶矩在描述光场中的应用

图 3-3 四阶矩在描述光场中的应用

在（3-29）和（3-30）中，需要计算以下相位扰动的统计平均[16]

1 2 1 1 2 1 1 2 2 2exp[ ( , ) ( , )] exp[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]L L L L L L r r r r r r （3-31）

1 2 3 4

1 1 2 1 1 2 2 2 1 3

2 3 1 4 2 4

exp[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]

exp[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )]

L L L L

L L L L L

L L L

r r r r

r r r r r

r r r

（3-32）

37

上式的计算需要用到累积量方法（method of cumulants）[23]

1 2

1exp[ ( , )] lim exp[ ] exp

2t iL it K K

r

（3-33）

其中 1K ，22

2K 。理论上，可通过累积量方法计算 Rytov 近似中的所

有阶数的统计矩，但这里我们只需保留至二阶近似。利用（3-33）式，我们可从（3-31）

-（3-32）式中得到

1 2 1 2 1 2exp[ ( , ) ( , )] exp[2 (0,0) ( , )]L L E E r r r r

（3-34）

1 2 3 4

1 2 1 2 2 1 4 2 3 2

2 3 4 3 1 3 3 2 4

exp[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]

exp[4 (0,0) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )]

L L L L

E E E E

E E E

r r r r

r r r r r r

r r r r r r

（3-35）

其中，

2 2 21 2 1 0 0

1(0,0) ( , ) ( , ) 2 ( , )

2

L

nE L L k z d dz

r r

（3-36）

2 1 2 1 1 1 2

22 2

0 1 20 0

2 200 0

2 2

( , ) ( , ) ( , )

4 ( , ) exp ( )( )2

4 ( , ) 1 (1 / ) 2 (1- / )

(1 / )exp

L

n

L

n

E L L

ik dz d z J L z

k

k d z J z L - i z L

L z Ld dz

k

r r r r

r r

P r（3-37）

3 1 2 1 1 1 2

22 2

0 1 20 0

2 200 0

2 2 2

( , ) ( , ) ( , )

4 ( , ) exp ( )

4 ( , ) 1 ( )(1 / )

(1 / )exp exp (1 / ) 1 (1 / )

L

n

L

n

E L L

ik dz d z J L z

k

k d z J i z L

L z L iLz L z L d dz

k k

r r r r

r r

（3-38）

上式中， 1 2( ) 2 r r r ， 1 2p r - r ，r r ， p 和 1 ( )(1 / )i z L 。从 3.2.1

节中可知， 1 对应于平面波模型（ 1, 0 ）， /z L 对应于球面波模型

（ 0 ）。将（3-34）和（3-35）代入（3-29）和（3-30）可得 MCF 和 CF 的表

达式。

38

3.2.3 MCF 与光场的相干长度

在这一节中，我们分析光场的 MCF 函数，并引出后面章节中需要用到的物理量

——光场的空间相干长度。在上一节中得到了 MCF 的表达式为

02 1 2 2 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) exp[2 (0,0) ( , )] r r r r r rL L E E （3-39）

其中 02 1 2 0 1 0 2( , , ) ( , ) ( , )L U L U L r r r r 为光波真空传输的 MCF，以高斯光束为例，有

2 2 20 02 1 2 2 2 2

2( , , ) exp

2

r r p r

W r kL i

W W W F （3-40）

将（3-36）和（3-37）式代入（3-39）式可得[18]

0 2 22 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1( , , ) ( , , )exp ( , ) ( , ) exp ( , , )

2

r r r r r r r rr rL L L L T L

（3-41）

其中

22 2

2 212 2

00 0

1( , ) [ ( , ) (0,0)]

2

2 ( ) exp [ (2 ) 1]

r

n

L E E

Lk L I r d d

k

r r r

（3-42）

1 2

2

0

212 2

0( , )

( ) 2 (0,0) (0,0)

4 1 expnk z

T L E E

Ld d

k

（3-43）

1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2

2 212 2

0 0

0 1 0 2 0

( , ) 1

( , , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )

4

(2 ) (2 ) 2 1 2

expn

L E E E

L

k

I r I r J i d d

k z

r r r r r r r r

p r

（3-44）

上式中， 0 0( ) ( )I x J ix 为修正的贝塞尔函数。物理上， 2 ( , ) rr L 表示由相位屏引起的

平均光强横向分布的变化， ( )T L 表示轴上光强的变化，而 1 2 1 2Re ( , , ) ( , , ) r r r rL D L

定义为光场结构函数（Wave Structure Function，WSF）。

由图 3-2 中可知光场的空间相干长度（Spatial Coherence Length)，标记为 0 ）与

WSF 相联系。 0 在相干 FSO 系统中是个非常重要的量。它能够影响空间光场与光

纤间的耦合效率，也直接影响接收孔径与系统信噪比的关系——当接收孔径大于 0

时，继续增大孔径对系统的信噪比改善不大。 0 可以从复相干度的模值函数

39

（Modulus of the Complex Degree of Coherence, DOC）中得到[18]

2 1 21 2 1 2

2 1 1 2 2 2

( , , ) 1DOC( , , ) exp ( , , )

2( , , ) ( , , )

LL D L

L L

r rr r r r

r r r r

（3-45）

对于高斯光束，由于光场的不均匀性， 0 在不同观测点有不同的值。为了简化和更

好地理解 0 ，对高斯光束我们仅考虑其关于光轴对称的点，即令 2 1 r r 。在这种情

况下，可通过变量代换将 1 2DOC( , , )Lr r 化为观测点相对距离的函数形式DOC( ), L 。

则相干半径 0 定义为DOC( ), L 下降到原来1/ e 值时 的值，即 0,( ) 2D L ，如图

3-4。

图 3-4 光场的相干长度

对于高斯光束， 0 已有成熟的表达式，因此不给出推导过程而直接给出结果[18]

2 2 1/3 1/20 0 02 2

3/50

2 2 3/50 0 011/6

3(1.64 ) ,

1

8(1.46 ) ,

3( 0.62 )

n

n

C k Ll l

C k L l La

（3-46）

其中

8/3

8/3

1, 0

1

1, 0

1

a

（3-47）

当 1 且 0 时高斯光束退变为平面波，由（3-46）式可得平面波的相干半径为[18]

2 2 1/3 1/20 0, 0

0, 2 2 3/50 0, 0

(1.64 ) ,

(1.46 ) ,n pl

pln pl

C k Ll l

C k L l L

（3-48）

当 0 时，高斯光束退变为球面波模 [18]

40

2 2 1/3 1/20 0, 0

0, 2 2 3/50 0, 0

(0.55 ) ,

(0.55 ) ,n sp

spn sp

C k Ll l

C k L l L

（3-49）

3.2.4 CF 与光强的空间相关半径、闪烁指数

光强的闪烁指数是描述光波经过大气湍流传输后接收面处光强起伏的剧烈程

度，它以乘性噪声的形式降低系统性能，是 FSO 系统的一个重要参数，一般标记为

2I 。而光强的空间相关半径是指空间相隔一定距离的两个观测点间它们的光强衰落

保持相互独立的 小间距，这里标记为 c 。 c 定义了“点”接收的 大孔径，只有

当接收机孔径大于 c 时，接收机才能对光强实现孔径平均效应（aperture averaging），

从而有效地降低闪烁指数。闪烁指数和空间相关半径均从 CF 中得到，下面我们从光

强的相关性开始介绍。

由（3-30）式和（3-35）式可得 CF 表达式为

4 1 2 3 4 2 1 2 2 3 4

2 1 4 2 3 2 3 1 3 3 2 4

( , , , , ) ( , , ) ( , , )

exp ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

L L L

E E E E

r r r r r r r r

r r r r r r r r（3-50）

其中 2 1 2( , , )L r r 为 MCF，由（3-39）给出， 2E 和 3E 由（3-37）和（3-38）式给出。

光强的相关性由它的协方差函数（Covariance Function of Irradiance）描述[29-32]

4 1 1 2 21 2

2 1 1 2 2 2

1 2 1 22 3

( , , , , )( , , ) 1

(

exp 4Re ( , ) ( , )

, , ) ,

1

( , )I

E

LB L

L L

E

r r r rr r

r r r r

R R R R （3-51）

光强的相关程度一般用相关系数描述。相关系数为归一化的协方差函数，如果考虑

高斯光束关于光轴对称的点（ 1 2 r r ）并将（3-51）式表示为 ( , )IB L 的形式，则相

关系数为[29]

( , )( , )

(0, )

II

I

B Lb L

B L (3-52)

如图 3-5 给出了不同光束参数下光强空间相关系数随归一化观测点距离的变化

关系。随着距离增大， ( , )Ib L 逐渐下降。当 ( , )Ib L 下降到零时，所对应的距离定

义为空间相关长度 c ，即 ( , ) 0 I cb L 。 c 表示在接收平面处两个相互独立光斑的

距离，因此它对于接收孔径 D 是个重要的物理量。当 cD 时，接收机只能接收到

来自一个光路的光斑，因此认为是“点接收”；当 cD 时，接收机可接收到来自多

个相互独立光路的光斑，此时接收机为“面接收”。面接收能大大降低光强的闪烁指

数，即所谓的孔径平均效应。这个将会在后面 3.4 节中介绍。

41

图 3-5 光强的空间相关系数[18]

当 1 2r r 时，（3-51）式退变为闪烁指数 [33-36]

2

22

( , )( , ) ( , , ) 1

( , )I I

I LL B L

I L

rr r r

r

（3-53）

由（3-50）式可得

22 3( , ) exp 4 Re[ ( , ) ( , )] 1 r r r r rI L E E （3-54）

湍流漩涡的内外尺度对光强的闪烁指数有不可忽略的影响，但由于后面的使用中忽

略它们的效应，因此我们这里只给出不考虑内外尺度下的闪烁指数模型。对于高斯

光束，可将闪烁指数写为以下形式

2 2 2, ,( , ) ( , ) ( ) r rI I r I lL L L

（3-55）

其中 2, ( ) I l L 为闪烁指数光轴上的分量， 2

, ( , ) rI r L 为闪烁指数径向上的分量。基于

Kolmogorov 谱模型，有

2 2 5/6 5/6, 2 1

5 11 17 11( ) 3.86 Re , ; ;1

6 6 6 16

I l RL i F i

（3-56）

22 2 5/6, 2

( , ) 4.42 , rI r R

rL r W

W

（3-57）

2 1( , ; ; )F a b c x 和 1 1( ; ; )F a c x 为合流超几何函数[37]。图 3-6 显示了闪烁指数（3-55）式在

不同输入参数下的变化，可见，光轴上的闪烁指数一般小于径向上的闪烁指数。

当 1 且 0 时，从（3-55）式可得到平面波的闪烁指数[18]

2 2 7/6 11/6, ( ) 1.23 I pl nL C k L

（3-58）

令 0 时，可得到球面波的闪烁指数[18]

42

2 2 7/6 11/6, ( ) 0.5 I sp nL C k L

（3-59）

图 3-6 高斯光束轴上和束宽上的闪烁指数随不同光束参数的变化[18]

3.3 强湍流下的拓展 Rytov 理论

以上介绍的 Rytov 理论，它只适用于弱湍流条件，因为它预测的闪烁指数随湍

流强度的增大而无限增大，这是不符合实际的。数据表明，当湍流达到一定强度即

所谓的“聚焦区”后，闪烁指数会出现“饱和”而不再增加并趋于稳定，进入所谓的“饱

和区”[39-58]。在实际的链路中，通信链路大多数情况下处于中等至强湍流。只适用

于弱湍流条件的理论在应用中将受到很大的限制。为了克服这个问题，Andrews 提

出了拓展的Rytov理论[8-12]，该理论除了能给出与实验相符合的理论结果外，还具有

较简单的数学形式。该理论主要基于以下假设：

（1）折射率常数 1( )n R 可以用“有效折射率 1, ( )en R ”来代替。有效折射率分为两

部分：由大尺度湍流引起的 ( )Xn R 和由小尺度湍流引起的 ( )Yn R

1, ( ) ( ) ( )e x Yn n n R R R （3-60）

（2）通过利用有效折射率的方法将由于强湍流条件下空间相干长度减小的效应

整合进 Rytov 方法中，可将 Rytov 方法拓展到强湍流条件下。

（3）接收光强的起伏可以看成是大尺度湍流引起的强度起伏和小尺度湍流引起

的强度起伏的结合。

基于以上假设，Andrews 将扰动光场表达为

0( ) ( )exp[ (, ) ,( ], , )X YU UL L L L R R R R (3-61)

其中 ,( )X L R 和 ,( )Y L R 分别为由大尺度和小尺度湍流引起的相位扰动，它们相互独

立。为了更好理解湍流的大小尺度的概念，下面是光束在湍流传输中几个很重要的

43

尺度

（1） 湍流漩涡的内尺度 0l ；

（2） 光场的空间相干长度 0 ；

（3） 第一菲涅尔区（the Fresnel zone size） /L k （4） 光束束宽W （5） 散射盘（the scattering disk） 0L k

（6） 湍流漩涡的外尺度 0L

图 3-7 光场的空间相干长度 0 ，第一菲涅尔区 /L k 和散射盘 0/L k 随传输距离的变化[38]

一般情况下，前面三个量为小尺度的标量，后三个为大尺度的标量。图 3-7 中展

示了空间相干长度 0 、第一菲涅尔区 /L K 和散射盘 0/ L K 随传输距离的变化。可

见，经过一定的传输距离后（>500 m），将出现 0 0/L k L k 。实际上在强湍

流下均会出现这个结果。研究表明[39-41]，在强湍流条件下尺度大于 0 但小于 0L k 的

湍流漩涡对光强闪烁的贡献可以忽略。为了将上面的结论引入到 Rytov 方法中，在

Kolmogorov 大气谱函数中引入空间滤波函数，并定义为有效大气谱[8]

2 11/3, 0 0 0 0( ) ( ) ( , , ) 0.033 ( , , )n e n nG l L C G l L (3-62)

其中 0 0( , , )G l L 为幅度滤波函数，它滤掉了在区间 0 0( , / )L k 的湍流漩涡对光束传输

的效应。滤波函数的表达式为

0 0 0 0 0

2 11/3

0 0 2 2 2 11/6

( , , ) ( , , ) ( , )

( ) ( ) exp( )

X Y

X Y

G l L G l L G l

f l g L

(3-63)

其中 0( )f l 描述了湍流内尺度的影响， 0( )g L 描述了湍流外尺度的影响， X 为大尺

度的截止频率， Y 为小尺度的截止频率。因此 0 0( , , )XG l L 为低通滤波器，只允许

44

X 的频率通过， 0( , )YG l 为高通滤波器，只允许 Y 的频率通过。 0( )f l 和

0( )g L 的选取不是严格的，但为了数学推导的方便，一般取以下形式

2 2 7/60 0( ) exp( )[1 1.80( ) 0.254( ) ], 3.3l l l lf l l (3-64)

2 20 0 0 0( ) 1 exp( ), 8g L L (3-65)

在不考虑内尺度影响时，有 0( ) 1f l 。

利用有效大气谱（3-62），可以很容易地将 Rytov 近似中的 MCF 和 CF 拓展到

强湍流条件下。由于这个拓展只涉及到简单的数学代换，我们不详细给出表达式，

而为了后面的应用，只给出由（3-54）式的高斯光束轴上闪烁指数得到的结果。将

（3-62）式代入（3-54）式，并令 0r 可得[18]

2 2

27/6 5/612/5 12/5

0.49 0.51exp 1

1 0.56 1 1 0.69

B BI

B B

(3-66)

其中

2 2 2 5/6 5/6 2, 2 1

5 11 17 11( ) 3.86 Re , ; ;1 , 1

6 6 6 16B I l R RL i F i

为（3-56）式的弱湍流下高斯光束轴上点的闪烁指数。同样，对于平面波模型（ 1 ，

0 ），（3-66）式可退变为

2 2

2, 7/6 5/612/5 12/5

0.49 0.51exp 1

1 1.11 1 0.69

R RI pl

R R

（3-67）

对于球面波模型（ 0 ），（3-66）式退变为

2 2

2 0 0, 7/6 5/612/5 12/5

0 0

0.49 0.51exp 1

1 0.56 1 0.69I sp

（3-68）

其中 2 20 0.4 R 。注意，在强湍流条件下，光场的相干长度不会有太大变化，因此

（3-55）-（3-58）式在强湍流条件下依然可以使用。

图 3-8 给出了高斯光束、平面波和球面波的闪烁指数随传输距离的变化。随传

输距离的增大湍流强度变化从弱到强。可见，在弱湍流区（ 1R ），闪烁指数随湍

流强度的增强而上升。当湍流强度足够强时（ 6 R ），各光波模型的闪烁指数均

不再增加而趋于“饱和”。

45

图 3-8 高斯光束、平面波和球面波在弱到强的湍流条件下的闪烁指数分布。当 6R 时，各闪

烁指数均趋于“饱和”。

3.4 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似

在这里介绍 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似，主要是利用它可以有效地计算孔

径接收下光波的闪烁指数。另外，本论文第六章中关于空间分集的信道相关性的理

论分析也基于这个方法，因此这里需要详细介绍。我们从光强孔径接收的一般模型

在高斯光束中遇到的困难开始。

3.4.1 孔径接收的孔径平均效应

如 3.2.4 节中所述，在 FSO 链路中，如果接收孔径小于光强起伏的相关长度时，

接收机可认为是“点”接收。但是，当孔径大于相关长度时，则由于孔径平均效应可

以使信号的闪烁指数大大降低[59-66]。孔径平均效应的实质就是通过同时接收来自不

同光路的光强将信号闪烁中的快速扰动部分滤除。对于具有一定孔径的接收机，其

接收的信号闪烁指数的一般模型为[60]

22 22 1

2 2 2 210

16( ) ( , , ) cos 1

D

I I

I ID B L d

D D D DI

R R （3-69）

其中 I 为接收信号光强，D为孔径直径， 2 1 R R ，积分函数的中括号部分为圆

孔径的调制传递函数（Modulation Transfer Function, MTF）， 1 2( , , )IB LR R 为光强的协

方差函数，由（3-51）式给出

2 31 2 1 2 1 2( , , ) exp 4 Re ( , ) ( , ) 1 R R R R R RIB L E E

孔径平均因子定义为[62]

46

1

2 21

20 22

( ) 16( , , ) cos 1

(0)

DI

II

DA b L d

D D D

R R （3-70）

其中， 1 2 1 2( , , ) ( , , ) (0,0, )I I Ib L B L B LR R R R 为归一化协方差函数。

当考虑平面波模型时，有[18]

, ,

5/62 22 1/6 2

1

2

1

1( , , ) ( , )

113.86 Im ;1; 7.52

6 4 4

I pl I pl

R R

B L B L

ik ki F

L L

R R

（3-71）

代入（3-70）式，经过适当的近似可得[64]

7/62

1 1.064pl

kDA

L

（3-72）

当考虑球面波时，有[18]

, ,

5/62 22 5/60 1 1

11/62 22

1

0 2 2

2( , , ) ( , )

113.86 Re ;1; 1.81

6 4 4

11 17 175.54 Im ,1; , ; 1

4 3 6 6 4

I sp I spB L B L

ik ki F

L L

k ikF

L L

R R

（3-73）

代入（3-70）式，经过适当的近似可得[64]

7/62

1 0.334sp

kDA

L

（3-74）

当考虑高斯光束时，有[18]

25/62 5/6

1 1

2

5/61

1 2

2

( , , ) ( , , )

(1 )53.87 Re 1 ( ) ;1;

6 4

(1 )5 2( ) ;1;

6 4

I I

t tR t

t

t t

tt

B L B L

d i d ki i d F

iLd

k d dd F

i

L d

R R p r

p r

（3-75）

由上式可知，由于光场的不均匀性，使得 1 2( , , )IB LR R 为位置的函数，即 ( , , )p rIB L 。

在这种情况下，对 2 ( )I D 的求解将变得非常困难。为了克服这个问题，Andrews 小组

对 MTF 函数作高斯函数近似[65]，如图 3-9 所示。基于这个近似，他们发现整个系统

等价于一个高斯透镜下的 ABCD 光学系统，大大简化了计算的复杂度，且所得的近

47

似结果与理论结果很接近。由此建立的方法称为 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似法，

这个方法在下面详细介绍。

图 3-9 MTF 函数的高斯近似[18]

3.4.2 ABCD 光学系统

f1L

L

0 0, 1 1, 2 2,

图 3-10 高斯光束真空传输的 ABCD 光学系统

我们先介绍真空中的 ABCD 光学系统，如图 3-10 所示。一个焦距为 f 、半径为

GW 的薄透镜放置在输入面（发射机）和输出面（检测器）之间。这里用 1L 表示输入

面到透镜的距离， f 表示透镜到输出面的距离（我们设输出平面在透镜右边的焦点

上），总传输距离为 1 L L f 。图 3-10 中总的 ABCD 矩阵为

1 2 11

1

1 0 1 (1 )1 1

1 10 1 0 1G G

G G G

i f L L i LA B f L

i i i LC D

（3-76）

其中

2

2 1G

G

ikW f

（3-77）

对于高斯光束，在没有大气湍流的情况下输出面的光场为[67]

48

2 2 2 20 0

1( , ) exp( ) exp exp 2

2 2 2

ik ikU L ikL d s ks As Dr

B B

r s r

21 1

exp( )exp ( )( ) 2

ikL L krp L

（3-78）

其中， ( )A A L , ( )B B L , ( )C C L 和 ( )D D L 是 ABCD 矩阵的元素，且

00 02 2

0 0 0

2 1 2 1, ( ) , ( )

D iCi p L A i B L i

kW F A i B kW F

（3-79）

为了描述输入面、高斯透镜前平面和输出面处的光场特性，引入以下三个无量

纲的光束参数。首先，假设传输的高斯光束在输入平面的光束半径为 0W ，波前曲率

半径为 0F ，有

1 10 0 2

0 0

20 : 1 ,

L Lz

F kW （3-80）

0 111 1 12 2

0 0 1

0 11 2 2 2

0 0 1

: 1 , 1

2

Lz L

F

L

kW

（3-81）

11 11 22 2 2

11 1 1

2 2

112 22 2

11 1 1

/ /: 1

( / / ) ( )

1

2

( / / ) ( )

G

G G

G

G G

L f L FL Lz L

f FL f L F

L f

f kWL f L F

（3-82）

上式中，参数 1W 和 1F 分别表示透镜前平面上的光束半径和波前曲率半径，（3-82）式

中的W 和F 是输出面的参数，同时 G 为透镜的菲涅尔参数，

12

2G

G

L

kW （3-83）

49

3.4.3 大气湍流下 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似

f1L

L

0 0, 1 1, 2 2,

图 3-11 大气湍流中的 ABCD 光学系统

当整个传输路径或其中一部分存在光学湍流时，如图 3-11 所示，在 Rytov 近似

下输出面的光场可以表示为

0 1 2( , ) ( , ) exp[ ( , ) ( , ) ]U L U L L L r r r r （3-84）

其中 0 ( , )U Lr 是未受干扰的光场， 1( , )L r 和 2 ( , )L r 分别表示由随机介质引起的一阶

和二阶的复相位扰动。计算光场的 MCF 和 CF 与 3.2.2 节中的过程类似， 后变为求

解类似于（3-36）-（3-38）的三个统计矩

2

1 2 1

*2 1 2 1 1 1 2

3 1 2 1 1 1 2

1(0,0) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

E L L

E L L

E L L

r r

r r r r

r r r r

（3-85）

唯一不同的是，这些统计矩在传输路径上由于一个或多个光学元件的出现而呈现出

不同的形式。

在推导 2 1 2( , )E r r 和 3 1 2( , )E r r 的表达式时，一阶复相位扰动 1( , )L r 必须表示为在

输入平面和输出平面间连接各个光学元件的视线路径上积分的求和。对一个如图

3-11 所示的光学系统来说，一阶复相位扰动可以表示为[18]

1

1

2

1 0

21

1 10

22

2 20

( , ) exp ( ; ) ( , )2

exp ( ; ) ( , )2

exp ( ; ) ( , )2

L f

L

f

iL ik i B z L dv z dz

k

iik i B z L dv z dz

k

iik i B z L dv z dz

k

r K r K

K r K

K r K

（3-86）

其中 1 表示输入平面和透镜之间的路径振幅比， 2 表示透镜和输出平面之间的路径

50

振幅比， 1z z L ，以及 ( , )dv zK 为积分路径上的折射率随机起伏。在间隔 10 z L

内，ABCD 矩阵为

11

1 2 21 2

( ) ( ) 1 1 (1 ), 0

( ) ( ) 0 1 0 1

( )( ) ( )(1 ), 0 1

( )

A z B z z Lz L

C z D z

p zi i

p L L

（3-87）

其中 11 /z L ， 0( ) ( ) ( )p z A z i B z ，以及 1 1 2 2( ) ( )( )i i i 。

同样，在间隔 1 1L z L f (0 )z f 处有

1

2 1 1 22

1

12

1

1 2 2 1

1 0( ) ( ) 1 1

1( ) ( ) 0 1 0 1

1 (1 ), 0

1

( )

( )

( ) / ( )(1 / ), 0 1

G

G G

G G

G

A z B z z L

iC z D z

i L L i L Lz L

i i L

p L z

P L f

i f L i f L i f

（3-88）

其中 / z f 。元素 1 1( ; ),0B z L z L 与从输出面到透镜反向传输光束的参数相同，

因此，

1 1 2 1( ; ) ( ) (1 ) , 0 1GB z L B f i L L （3-89）

在透镜和输出平面之间有

2( ; ) ( ) (1 ), 0 1B z f B f （3-90）

如果每段链路的随机介质与其它链路是统计独立的并且随机介质是统计均匀和各向

同性的，我们可得到[18]

1 12 2 2 2

1 1 20 0 0 0(0,0) 2 ( ) 2 ( )n nE k L d d k L d d

（3-91）

12 2 *2 1 2 1 0 1 1 1 20 0

2* *

1 1 1 1

12 2 *2 0 2 1 2 20 0

2* *

2 2 2 2

( , ) 4 ( ) ( )

exp [ ( ) ( )]2

4 ( ) ( )

exp [ ( ) ( )]2

n

n

E k L J

iB B d d

k

k L J

iB B d d

k

r r r r

r r （3-92）

51

212 23 1 2 1 0 1 1 10 0

212 2

2 0 2 2 20 0

( , ) 4 ( ) ( )exp ( )

4 ( ) ( ) exp ( )

n

n

iE k L J B d d

k

ik L J B d d

k

r r

（3-93）

其中 K ， 1 2 r r 。从（3-91）可知， 1(0,0)E 在 ABCD 光学系统中与视线传

输时的形式保持一致。也就是说， 1(0,0)E 表示的意义是光场在输入面和输出面之间

的相位变化，与光束参数无关。

公式（3-91）-（3-93）可以看成是公式（3-36）-（3-38）的拓展，因此更具有

一般性。当移去透镜时，相当于 f ，（3-91）-（3-93）式可退变为（3-36）-（3-38）

式。如果随机介质只存在于输入平面和透镜之间，那么由于 ( ) 0n （ 1L z L ），

（3-91）-（3-93）式的那些积分带有下标 2 的均为 0。如果随机介质只存在于透镜和

输出平面之间，那么下标含有 1 的积分项均为 0。

3.4.4 孔径接收下高斯光束的闪烁指数模型

根据上面介绍的湍流下 ABCD 光学系统中的 Rytov 方法，孔径接收的光强闪烁

指数近似等于透镜焦点处光强的闪烁指数。根据（3-54）式，可得

22 3( ) exp 2 Re (0,0) (0,0) 1I D E E （3-94）

将（3-92）和（3-93）式代入上式，并为了使结果适用于所有湍流条件，将有效大气

谱（3-62）代入可得（令 0 0, 0L l ）[66]

2 2 2ln ln 1( ) exp ( ) ( ) 1,I X Y GD D D （3-95）

其中大尺度和小尺度引起的光强方差分别为

1

1 1 1

2 7/6

2 2 G xln x R

G x G

0.491 0.4 (1 ) / ( )

（3-96）

2 5/6R y2

ln yy G 1

1.27

1 0.4 / ( )

（3-97）

上式中各参数为

12

11 (1 )1,

3 2 5

6/7 12/7R

x 12/5

( / )

1 0.56B

B

12/5 12/5y R3( / ) (1 0.69 )B B

52

对于平面波模型（ 1 ， 0 ），（3-95）式退变为[64]

5/62 12/52

2, 7/6 2 2 12/52 12/5

0.51 1 0.690.49( ) exp 1

1 0.90 0.621 0.65 1.11

R RRI pl

RR

Dd dd

（3-98）

其中 2 4d kD L 。对于球面波模型（ 0 ），（3-95）式退变为[64]

5/62 12/52

0 02 0, 7/6 2 2 12/52 12/5

00

0.51 1 0.690.49( ) exp 1

1 0.90 0.621 0.18 0.56I sp D

d dd

（3-99）

其中2 20 0.4 R 。

图 3-12 不同湍流条件下准直高斯光束闪烁指数的孔径平均因子随孔径大小的关系。孔径用菲涅

尔区 /L k 进行了归一化。束宽 0 1W cm ，波长 0.633 m [18]

图 3-13 平面波的闪烁指数孔径平均因子随孔径大小的变化[18]

图 3-12 给出了不同湍流条件下准直高斯光束闪烁指数的孔径平均因子随孔径大

小的关系。在弱湍流下，光束的相干长度由菲涅尔区决定，因此当归一化孔径大于

1 时，才出现明显的孔径平均效应。随着湍流强度的增大，光场的相干长度逐渐减

小，因此同一孔径大小下平均效应越来越明显。对于高斯光束，由于束宽有限，因

53

此当孔径足够大时，闪烁指数将趋于零。

图 3-13 给出了平面波的闪烁指数孔径平均因子随孔径大小的变化。其基本趋势

与高斯光束的相同，但值得注意的是在强湍流 2 50R 时，闪烁指数会出现“水平效

应”（Leveling Effect），即当 2 1/21 ( 4 ) 10GkD L 时，闪烁指数不随孔径的增大而不

明显下降。这种现象的出现是因为在强湍流区，决定光场相干半径大小的主要有两

个尺度：菲涅尔区 /L k 和散射盘 0/L k 。因此光场经过大气湍流传输后的独立光

斑元可看成是具有短轴和长轴的椭圆[64]。在孔径尺寸从短轴长度增大到长轴长度其

间，由于不能收集到更多独立的光斑圆，因此在这区间内对闪烁指数没有明显的改

善效果。在图 3-12 的高斯光束情形下也有类似的效果，只是不明显。

图 3-14 球面波的闪烁指数孔径平均因子随孔径大小的变化[18 ]

图 3-13 给出了球面波的闪烁指数孔径平均因子随孔径大小的变化。可见，孔径

的影响与平面波模型下类似。

3.5 拓展的惠更斯-菲涅尔原理

由于第四章和第五章的需要，这里我们简要地介绍拓展的惠更斯-菲涅尔原理。

令 0 ( ,0)U r 为输入面的光场，则经过大气湍流传输距离 L 后，在接收面上光场为[69-70]

2( , ) exp( ) ( ,0)exp ( , )2 2

ikikU L ikL d sU

L L

s rr s r s （3-100）

其中 1 2( , ) ( , ) ( , ) r s r s r s 为在 ( ,0)s 处发出的球面波经过大气湍流后在接收面

( , )Lr 处受到的相位扰动。将（3-100）式带入 MCF 和 CF 可得

54

*2 1 2 1 2

221 12 2 *

1 2 0 1 0 2

2

2 2 *1 1 2 2

( , , ) ( , ) ( , )

( ,0) ( ,0)exp2 2

exp exp ψ( , ) ψ ( , )2

L U L U L

ikkd s d s U U

L L

ik

L

r r r r

s rs s

s rr s r s

（3-101）

* *4 1 2 3 4 1 2 3 4

42 2 2 2

1 2 3 4

2

1 1* *0 1 0 2 0 3 0 4

2 2 2

2 2 3 3 4 4

( , , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0) exp2

exp exp exp2 2 2

L U L U L U L U L

kd s d s d s d s

L

ikU U U U

L

ik ik ik

L L

r r r r r r r r

s rs s s s

s r s r s r

* *1 1 2 2 3 3 4 4exp ψ( , ) ψ ( , ) ψ( , ) ψ ( , )

L

r s r s r s r s

（3-102）

上式（3-100）-（3-102）式即为大气湍流下光束传输的拓展惠更斯-菲涅尔原理。这

里不再进行详细的介绍，在后面的章节中根据具体的光波模型再进行讨论。

3.6 本章小结

由于光场经过大气湍流传输后为随机场，因此需要用统计的方法进行描述，一

般使用光场的 MCF 和 CF。本章介绍了如何用 Rytov 方法得到这些函数的表达式，

并讨论了光场的空间相干长度、光强的相关长度和闪烁指数。由于传统的 Rytov 近

似只能应用于弱湍流条件，对于强湍流的情形，需采用拓展的 Rytov 近似法。在孔

径接收的情况下，则需要运用 ABCD 光学系统下的 Rytov 近似。 后简单介绍了拓

展的惠更斯-菲涅尔原理。

3.7 参考文献

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58

第四章 大气湍流中部分相干光的传输

空间部分相干光（spatially partially coherent beam, PCB）是指在光源平面（光束

沿 z 轴传输时 z=0 的横截面）光场的相位随机分布的光束。这种随机分布的相位一

般用相位的空间相干长度 cl 和相位变化的相干时间 S 来描述，因此光源也通常用光

场的 MCF（Mutual Coherence Function，见 3.2.3 节）描述。PCB 可以通过多种方法

产生，例如旋转相位屏法——在激光器输出端放置一个旋转的相位屏对出射光进行

随机相位调制[1,2]，或者采用多个不同波长的光束进行非相干叠加[3-5]，如图 4-1。

1 2, ... n

图 4-1 部分相干光束的产生

在 FSO 中，人们对 PCB 感兴趣 主要是因为它具有比相干光（光源平面光场相

位是确定的光束，如高斯光束、平面波和球面波都是相干光）提供更低的光强闪烁

指数的潜力。这种潜力源于光源的随机相位（相当于噪声）能够和大气湍流产生的

相位扰动相互抵消[6]。当然，这种抵消是有条件的，那就是光源的相干时间 S 要远小

于探测器的相应时间 D ，即 S D ，使得探测器能对光强的起伏产生时间平均效

应（Time Averaging Effect）。因此研究部分相干光的闪烁指数一般会根据 S 与 D 的

相对大小，即相对探测速度 S D （Relative Detector Speed, RDS），分为慢探测器

（ 1S D ）和快探测器（ ~ 1S D ）两种情况。

在 PCB 的研究中，大部分的工作都集中在高斯-谢尔模型（Gaussian Schell-model，

GSM）光束上[7-8]。这是因为这类光束的 MCF 具有简单的高斯形式，方便进行理论

计算。基于相同的理由，在这章中也将限于讨论 GSM 光束。我们将先介绍 GSM 光

束在大气湍流中的传输，然后再介绍 GSM 光束的闪烁指数。在推导闪烁指数的时候，

这里并没有采用 3.2.4 节中通过求解 CF（Cross-coherence Function）函数的方法，而

是采用了等效光束参数（Effective Beam Parameter）[9-10 ]的方法将 3.3 节中的结果拓

展到 GSM 光束的情形中。对闪烁指数的讨论我们分点接收和面接收（考虑接收机孔

59

径）两种情况讨论，每种情况包含慢探测器和快探测器下的闪烁指数模型。其中，

面接收下快探测器的闪烁指数模型为作者的工作之一。本章的结构如图 4-2 所示

图 4-2 本章结构图

4.1 研究进展

从 70 年代 Kon 和 Tatarskii 的工作开始[11]，人们便对 PCB 的传输产生了兴趣，

开始有人进行部分相干光在大气湍流中传输的理论研究。但是由于缺乏对这类光束

大气传输行为的了解，在 70 到 80 年代间对 PCB 的二阶和四阶统计矩的研究仅适用

于特殊的情况[12-22]。在 90 年代，研究人员注意到 PCB 相比于完全相干光可以产生

更低的闪烁指数从而具有改善 FSO 系统性能的潜力，再次激起了人们的兴趣。

在进入 2000 年以来，PCB 的研究变得越来越广泛，而主要工作都集中在 GSM

光束的研究上。2002 年，Ricklin[23]利用惠更斯-菲涅尔原理得到了 GSM 光束二阶矩

的解析表达式。从而得到了 GSM 光束平均光强分布、光束束宽、波前曲率半径和

光场相干长度的表达式。2003 年，Ricklin[24]提出了使用 GSM 光束通信的系统模

型，研究了弱湍流条件下大气湍流强度和光源相干长度对 GSM 光束的孔径接收的

影响和系统的误码率。同时，他们也得到了光强的协方差函数的解析表达式，并研

究了光源参数的 优化问题。2005 年，Shirai[25]小组提出了一个产生 GSM 光束的方

法，通过利用两个具有相关性的空间光相位调制器分别对从马赫-曾德干涉仪两臂的

输出光进行调制，再将两束光通过合束器叠加在一起。通过该方法可以产生任意相

干长度和任意偏振态的 GSM 光束。2006 年，G. Gbur[26]研究了具有任意空间和任意

时间相干长度的部分相干光的数值仿真方法。2009 年，X. Xiao[27]通过数值仿真研

60

究了 GSM 光束经过大气湍流传输后中心光强的概率密度分布，发现随着光源相干

长度的减小，光强的概率密度分布函数从伽马伽马分布向对数正态分布变化。2009

年， X. Xiao[28]提出了用光纤束产生部分相干光，并给出了理论分析和数值仿真分

析。2009 年，Y. Baykal[29]研究了多个部分相干叠加的高斯光束的闪烁指数，并分析

比较了环状和平顶部分相干光束的闪烁指数。2010 年，C. Arpali[30]研究了 PCB 阵列

的闪烁指数，得到了光轴上的点闪烁指数理论表达式，并分析了传输距离、子光束

数目和间距、光源束宽和波长对闪烁指数的影响。2012 年，Y.Gu[31]发现采用不同偏

振部分相干光阵列可以有效降低闪烁指数。

更多关于 PCB 的研究可在以上介绍的工作引文中找到，研究范围包括 PCB 在不

同 FSO 系统中的性能研究。这里我们主要讨论 PCB 的传输特性。究其原因，主要是

适用于通信的 PCB技术还在理论研究当中[32]，对于具体系统中的应用也均为理论研

究，所以讨论其传输特性更为有意义。

4.2 GSM 光束的真空传输

首先讨论 GSM 光束在真空的传输，一是为了完成 GSM 相位屏模型的建立，而

是这部分内容将会在等效光束参数中用到。在输入面（z=0），GSM 光束的光场可表

示为[43 ]

0( ,0) ( ,0)exp[ ( )]U U is s s （4-1）

其中 0 ( ,0)sU 为光场的主要部分，称为确定场，对于 GSM 光束，确定场为高斯光束，

由（3-11）式给出；s是横向坐标矢量， ( ) s 是随机的相位扰动，其均值为零； ( ,0)sU

称为有效光源。在 GSM 模型中，光场的 MCF 可以用高斯函数来描述[33]

1 2 1 2 0 1 0 2 1 2

2

1 20 1 0 2 2

( , ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0) exp ( ) ( )

( ,0) ( ,0) exp2 c

B U U U U i

U U

s s s s s s s s

s ss s

（4-2）

其中， 2 c 为光场的相关长度。当 2 1c 时，则相位屏对光束的相位相关性破坏程度

非常小，有效光源近似于相干光；当 2c 时，则相位相关性遭到严重破坏，有效

光源可看成是完全非相干光。为了描述这种相位破坏的程度，定义光源的相干度

202

1sc

W

（4-3）

对 s 我们可以理解为有效光源相互独立的光斑元（statistically independent patches）

的数目。每个光斑元相当于一个独立的相干光源。对于弱相位屏（ 2 20c W ），有

61

1s ；但对于强相位屏（ 2c ）， s 将变得很大。因此， s 的数目反映了光场的

相干程度。

4.2.1 拓展的惠更斯－菲涅尔原理

这里我们先介绍利用拓展的惠更斯-菲涅尔原理计算 GSM 光束的 MCF。这个结

果在后面的相位屏建模和等效光束参数中需要用到。GSM 经过真空传输距离 L 后，

利用（3-101）式，在接收平面处光场的 MCF 为[34]

22 2

, 1 2 1 2 1 22 2

2 2

1 1 2 2

( , , ) ( ,0) ( ,0)4

exp2 2

pp diff

kL d s d s U U

Lik ik

L L

r r s s

s r s r

（4-4）

利用（4-2）式的 GSM 模型可得

22 221 22 2 1 2

, 1 2 1 22 2 2 20

2 2

1 1 2 2

( , , ) exp exp4

exp2 2

pp diffc

s skL d s d s

L W l

ik ik

L L

s s

r r

s r s r

（4-5）

上式中， 2c cl 为相干半径，且假设确定场为准直的高斯光束，振幅为 1。利用高

斯光场的输出参数（3.2.1 节），可将（4-5）式写为

20

, 1 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 4( , , ) exp

(1 4 ) 1 4

2 2exp exp

(1 4 ) 1 4

cpp diff

c c

c c c

W qikL

W q L q

r

W q q l

r r r p

（4-6）

其中， 1 2 p r r ， p ， 1 2 2 r r r ，W 为光束在接收平面的束宽，以及 2c cq L kl 。

GSM 光束二阶统计矩均可以从（4-6）式中得到，如光束的平均光强

2 20

2 2,

2( , ) exp

(1 4 ) (1 4 )

rpp diff

c c

W rI L

W q W q （4-7）

或 DOC（见（3-45）式）

2 2 2, 1 2

, 2, 1 1 , 2 2

( , , )DOC ( , ) exp

1 4( , , ) ( , , )pp diff

pp diffc cpp diff pp diff

LL

q lL L

r r

r r r r

（4-8）

从 DOC 中可得到光束相干长度随传输距离的变化。

62

4.2.2 相位屏模型法

相位屏模型法是指将 GSM 光束看成是由高斯光束经相位屏的调制产生。研究这

个模型是为了将 GSM 光束的传输也建立在 Rytov 近似方法的体系里。这个方法也是

我们后面所采用的。为了使这个方法适用于 GSM 光束的传输，需要先建立相位屏模

型。模型的建立依赖于 4.2.1 节中的计算结果。

首先，将相位屏看成足够薄（不考虑厚度），它对光束影响是引入一个空间分

布的复相位扰动。类似于湍流对相位的扰动，假设相位屏产生的扰动为弱扰动，即

它对光束的影响可以应用 Rytov 方法进行求解。为了使后面推导与上节的结果一

至，Andrews 提出如下高斯谱模型[34]

2 3 2 21

( ) exp48

c cS

n l l

（4-9）

其中 2 22c cl 为相干半径，与（4-5）式中的一致， 21n 为相位屏引起的折射率变化。

易知，高斯谱模型源于 GSM 光束中的高斯型 MCF。

为了便于与上节结果的比较，这里同样采用振幅为 1 的高斯光束。根据 Rytov

近似法，在接收平面处光场可表示为

0( , ) ( , ) exp[ ( , )] r r rSU L U L L （4-10）

其中 ( , ) rS L 为在接收平面由相位屏引起的相位扰动。类似于 3.2.4 节的推导，我们

可得到相应的 MCF 为

, 1 2 0 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) exp[2 (0,0) ( , )]pp diff L L E E r r r r r r

（4-11）

22 20 1 2 00( , , ) exp 4 ( ) 1 2L k

SL k z e J i d r r p r

其中z为相位屏的厚度， 0 1 2( , , ) r r L 为确定场（高斯光束）的 MCF

2 2 20

0 1 2 2 2 2

2( , , ) exp

2

r r p r

W r kL i

W W W F （4-12）

类似于（3-41）式的处理方法，将（4-11）式整理为以下形式[34]

2 2, 1 2 0 1 2 , 1 , 2

1 2

( , , ) ( , , ) exp ( , ) ( , )

1exp[ ( )]exp ( , , )

2

pp diff r diff r diff

diff diff

L L L L

T L L

r r r r r r

r r

（4-13）

其中

63

2, 2 2

2 212 200 0

1( , ) [ ( , ) (0,0)]

2

2 ( )exp [ (2 ) 1]

r diff

S

L E E

Lk L I r d d

k

r r r

（4-14）

1 2

2

0

212 2

0( , ) 1 ex

( ) 2 (0,0) (0,0)

4 p

diff

S

T L E E

Lz dk d

k

（4-15）

1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2

212 2

0

2

0 1

0

0 2 0

( , , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )

4

(2 ) (2 ) 2

( , ) 1 ex

1 2

p

d

S

iff

k z

L E E E

L

k

I r I r J i d d

r r r r r r r r

p r

（4-16）

0 0( ) ( )I x J ix 为修正的贝塞尔函数。物理上， 2, ( , ) rr diff L 表示由相位屏引起的平均光

强横向分布的变化， ( )diffT L 表示轴上光强的变化，而 1 2( , , ) r rdiff L 为光场结构函数。

将（4-9）式代入（4-14）式中得

2 2 2 212

, 2

4( , ) exp 1

2(1 4 ) (1 4 )

r

c

r diffc c c

n k l z rL

q q l

（4-17）

引入归一化

2 21

12(1 4 )

c

c

n k l z

q （4-18）

然后对 e函数作小角度近似可得

22 2 22, 2 2

42( , )

(1 4 ) 1 4

r cr diff

c c c

qr rL

q l q W （4-19）

( ) 4 diff cT L q

（4-20）

结合（4-16）到（4-19）式，可得

20

, 1 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 4( , , ) exp

(1 4 ) 1 4

2 2exp exp

(1 4 ) 1 4

cpp diff

c c

c c c

W qikL

W q L q

r

W q q l

r r p r

（4-21）

其中已利用了近似 exp ( ) 1 [1 ( )] diff diffT L T L 。比较可知，（4-21）式和（4-6）式

64

一致。因此，通过相位屏模型（4-9）可以使用 Rytov 近似法求解 GSM 光束的传输。

4.3 GSM 光束在大气湍流中的传输

4.3.1 束宽和空间相干长度

我们基于相位屏模型研究 GSM 光束在大气中的传输。这里只考虑弱湍流的情

况。当传输路径存在大气湍流时，在接收机平面的光场为

0 1 2( , ) ( , ) exp[ ( , )]exp[ ( , ) ( , )] r r r r rSU L U L L L L （4-22）

其中 ( , ) rS L 为相位屏引起的相位扰动， 1( , ) r L 和 2 ( , ) r L 分别为大气湍流引起的一

阶和二阶相位扰动。通常情况下可认为相位屏和大气湍流引起的扰动相互独立。在

这个假设下，光场的 MCF 为

2 1 2 , 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , ) r r r r r rpp diff atmL L L

（4-23）

上式中右边第一项由（4-21）式给出，第二项由（3-41）式给出。光束的空间相干长

度由 DOC（3.2.3 节）给出。将（4.21）和（3-41）式代入（3-45）式，并考虑观测

点为中心对称的情况（ 2 1 r r ）和采用 Kolmogorov 谱模型，可得

5/32 2 2

20

DOC( , ) exp1 4 c c

Lq l

（4-24）

其中、为高斯光束的输出参数， 0 为高斯光束的相干长度且

3/5

2 2 3/50 0 0 011/6

8(1.46 ) ,

3( 0.62 ) nC k L l La

（4-25）

8/3

8/3

1, 0

1

1, 0

1

a

（4-26）

为了得到 GSM 光束相干长度 0,eff 的解析表达式，引入近似 5/3 2

0 0 ，则

从（4-24）式中可得

1/22 2

0, 2 20

1

1 4

eff

c cl q

（4-27）

其中 2c cq L kl 。在（4-23）式中令 1 2r r 可得光束在接收面的平均光强分布为

65

2 202 2

2( , ) exp

r

eff eff

W rI L

W W

（4-28）

effW 称为有效束宽，且

2 5/61 4 1.33eff c RW W q

（4-29）

W 为高斯光束真空传输的束宽，由（3-16）式给出， 2 2 7/6 11/61.23 R nC k L 为 Rytov 方

差。从（4-29）式可看出，相位屏增大了光束的束宽，即光束的发散角增大了。对于

强相位屏，对应于 2c Rq ，则束宽主要由相位屏决定。

4.3.2 部分相干光的闪烁指数——点接收模型

在这一节中我们讨论 GSM 光束点接收下的闪烁指数。如本章开头所述，计算

GSM 光束的闪烁指数时需要考虑相对探测速度（Relative Detector Speed, RDS）

S D 。根据 RDS 的大小可分为慢探测器( 0S D )和快探测器( ~ 1S D )两种情

形，我们将分别介绍。注意，大气湍流变化的特征时间 atm 为毫秒（ 310 s ）量级，

在实际链路中远小于 S 和D ，因此一般不需要考虑大气湍流的时变特性。另外，推

导闪烁指数的过程采用等效光束参数法，将在 4.3.2.1 节的推导过程中予以介绍。

4.3.2.1 慢探测器——等效参数法

首先我们考虑慢探测器下 GSM 光束的闪烁指数。由于慢探测器的时间平均效

应，在没有大气湍流时，由相位屏引起的光强闪烁为零；当存在大气湍流时，需要

考虑部分相干光的散射特性对光束传输的影响。因此闪烁指数的形式与高斯光束类

似，唯一不同的是光源的空间相干性不一样。实际上，相位屏的引入造成的部分相

干性对光束的影响是减小了光束在传输过程中的平均波前曲率半径，这种变化可以

用一个“等效”的曲率半径来代替[9,10]。因此类似于用输出参数和来标记高斯光

束，可用等效参数 e 和 e 标记 GSM 光束。等效参数可以通过简单地比较高斯光束

在没有相位屏时的 MCF 和有相位屏时的 MCF 来获得（真空传输下）。当没有相位

屏时，MCF 由（3-40）式给出（以轴上光强归一化后）

2 20

0

( , , )exp

(0,0, ) 4

L kr k ik

L L L L

r pr p

（4-30）

类似地，从（4-13）式可得

66

22,

,

( , , ) 4exp

(0,0, ) (1 4 ) 4(1 4 ) 1 4pp diff S c

pp diff c c c

L N k qkr ik

L q L q L L q

r pr p

（4-31）

比较（4-31）式和（4-32）式，可得[34 ]

02 20 0

2 20 0

11 4

1 4

ee c S

S Se

c S

L

F q N

N N

q N

（4-32）

其中

20

20

2 41 1 c

Sc

W qN

l

（4-33）

由于光源束宽范围内每个空间相干长度 cl 的光斑元都是一个独立的相干光源，因此

GSM 可看成是多个光斑元的阵列，而 SN 表示这种光斑元的数量。注意，在（4-32）

式中 e 的定义仅适用于轴上点（ 0r ）的光场。另外，对于弱相位屏有 e ，即

当相位屏足够弱时， eF 退变为真空传输时的波前曲率半径。

通过（4-32）式的等效参数，对闪烁指数（3-56）式进行变量替换，可以很容易

得到慢探测器下部分相干光束在轴上的闪烁指数[35]

2 2 2 5/6 5/6, 2 1

5 11 17 11(0, ) 3.86 Re , ; ;1

6 6 6 16I atm B R e e eL i F i （4-34）

上式只适用于弱湍流条件。利用拓展的 Rytov 近似，可将上式拓展到强湍流中[35]

2 2

2, 7/6 5/612/5 12/5

0.49 0.51(0, ) exp 1

1 .056(2 ) 1 0.69

B BI atm

e B B

L

（4-35）

（4-30）式适用于任意湍流强度，但忽略湍流内外尺度的影响。

图 4-3 给出了不同相干长度的闪烁指数随传输距离的变化。波长为

1.55μm ，初始束宽为 0W 2.5cm ，折射率常数为 2 14 2/3C 5 10 mn 。可以看

出，当相干长度减小至 0.01mcl 时，可以明显降低光强的闪烁指数。这种闪烁抑

制随传输距离的增加而逐渐减弱。当传输距离增大到一定程度时，部分相干光反而

具有比相干光更高的闪烁指数。图中对应于 =4kmL 处。这暗示了部分相干光只在一

定距离内（相当于一定的湍流强度下）能有效降低光束的闪烁。这个距离虽然会随

着光束的波长，束宽和大气折射率结构常数的不同而不同，但总存在着 大距离，

超过这个距离部分相干光不能实现闪烁抑制。

67

图 4-3 不同相干长度GSM光束轴上闪烁指数随传输距离的变化。相应的湍流强度跨越弱到强湍

流[34]

对于闪烁指数的径向分量，为了便于理解，我们先将光强的闪烁指数分布表示

为以下两部分

2 2 2, , , ,( , ) ( , ) (0, )I atm I r atm I atmL L L r r

（4-36）

上式中第一个分量为闪烁指数的径向分量，第二项为轴上分量，由（4-35）式给出。

在 3.2.4 节中得到了弱湍流下高斯光束的径向闪烁指数

22 2 5/6, , 2

( , ) 4.42 ,I r atm R

rL r W

W r

（4-37）

为了得到部分相干光束的径向闪烁指数，我们同样使用等效参数法，作以下代换

12/5

12/52 12/5

1 1 4 0.63

2

1 4 1.631 4 1.63

c R

c Rc R

W W q

L

qkW q

由此可得

5/6 2

2 2, , 12/5 2 12/5

( , ) 4.42 ,1 4 1.63 1 4 1.63

I r atm Rc R c R

rr L r W

q W q

（4-38）

上式的表达式适用于任意的湍流强度。

图 4-4 显示了（4-38）式的径向闪烁指数随归一化径向距离的变化。可见，径向

闪烁指数随着相干长度的减小而减小。在强湍流屏下，闪烁指数下降至零。

68

图 4-4 部分相干光的径向闪烁指数 2, , ( , )I r atm r L 随径向距离的变化， 2

, , ( , )I r atm r L 随相干长度的减

小而减小[34]

4.3.2.2 快探测器

部分相干光束能降低闪烁是因为光源的相位起伏可以和湍流引起的起伏相互补

偿。要实现这个补偿，就要求探测器的相应时间 D 远大于光源相位变化的相关时间

S ，这样探测器才能在响应时间内对光强起伏实现时间平均效应。在通信信道中，

D 不能比数据间隔大，因此当数据速率达 Gbps 或更高时，要求 910 sD ，这就要

求 910 sS 。一般来说，由多光束的方法产生的 PCB 很容易满足这个条件，因为

S 的值可以通过调整不同光束的波长差进行控制。然而，由旋转相位屏产生的部分

相干光则由于技术原因不能产生这么小的 S ，到目前为止也不小于 710 s

[36,37]。因

此也就很难将其应用到高速通信链路中。

虽然受到技术水平的限制，相位屏产生的部分相干光在应用中依然有它的优势，

因为它的空间相干长度相比于多光束叠加的 PCB 更容易调整。这对于提升系统性能

是很重要的：虽然部分相干光可以降低闪烁，但仅仅这样还不能保证对系统性能的

提升，因为部分相干性同时也降低了接收到的平均光强[38-40]（增大了光束的发散

角）。因此必须根据信道条件调整空间相干长度来平衡闪烁指数和接收光强，以获

得 优的性能。

这里讨论 RDS S D 对 GSM 光束闪烁指数的影响。关于这个问题的工作已经有

文献报导。2003年，Korotkova[41]给出了任意RDS下GSM光束闪烁指数的解析表达

式。该表达式是通过用等效光束参数并在考虑点接收的情况得出。随后于 2009 年，

Berman 和 Chumak[42]通过用光子分布函数描述光场进行了类似的研究。他们的工作

显示，GSM 光束降低闪烁的性能在慢探测不能满足时并不能达到预期的那么好。随

着 RDS 的增加，探测器的时间平均效应减弱，相位屏的时间动态会产生额外的闪烁

69

致使总体闪烁增加。随后他们在考虑 RDS 的影响下提出了一种基于频谱编码的通信

方案[43]。利用这个方案，在目前技术水平对相位屏的限制下（ 7~ 10S s ），依然可

以利用探测器的时间平均效应来实现Gbps量级的通信速率。此时，部分相干光对闪

烁的抑制程度由 S D 的大小决定。特别地，文献[44]中预测存在一个 RDS 的 大

值，当 S D 超过它时部分相干光将不能降低闪烁（相比于高斯光束）。由于这些原

因，研究 RDS 对闪烁的影响在 GSM 光束提升系统性能的使用上有重要作用。

虽然我们在 4.1 节的研究进展中提到已经有很多文献对大气光通信中的 PCB 技

术进行了研究，实际上目前为止大部分的文献都是基于理想慢探测器的假设。基于

上面讨论的限制因素，这些文献的结论受限于实际器件的发展水平。在这节，我们

谈论快探测器下 RDS 对部分相干光闪烁指数的影响。这里先介绍点接收模型，面接

收模型将会在 4..3.3 节中介绍。

当 ~D S 时，由于探测器对光强不能实现时间平均效应，探测器将对相位屏引

起的光强起伏敏感。因此，即使在没有湍流的存在下，接收机处也会出现光强闪烁。

我们先研究这种情况下相位屏引入的光强闪烁。

令积分型探测器的输出光强为 ( , )E Lr ，则有[42]

/2

/2

1( , ) ( , ; )

D

DD

E L E L t dt

r r

（4-39）

其中 ( , ; )E L tr 为即时光强， D 为积分时间。将（4-39）式看为理想积分机的输出，

其脉冲响应时间为

1( ) ( )D

D

h t U t

（4-40）

其中 ( )U t 为阶梯函数。系统响应函数为 ( )h t 的傅里叶变换

sin / 2( )

/ 2D

D

h

则对于轴上点，探测器的输出光强的闪烁指数为[44]

22 2,,

1(0, ) (0, ) 1 ( )

T

I diffI E TD D

L L d

（4-41）

其中2

( ) 为归一化的即时光强的时域方差函数。在（4-41）的推导中，我们假设了

光强方差的时间部分和空间部分相互独立，可以表示为两个因子相乘的形式。对于

不同的2

( ) 模型，（4-41）式均可以得到类似的结果。下面我们采用洛伦兹模型，

70

即 ( ) exp S ，则（4-41）式可化为

2

2 /2 2,.

1(0, ) (0, ) 1

2D SS S

I diffI ED D

L L e

（4-42）

上式中， 2, (0, )I diff L 为由相位屏的空间相干性引起的闪烁指数，根据 Rytov 近似可得

22

2 2 2 /, 0

(0, ) 8 ( ) 1 cosL kI diff S

LL k z e d

k

（4-43）

通过利用相位屏的高斯谱模型（4-9）和归一化参数表达式（4-18），可得

22, 2 2 2

(1 4 )(0, ) 1

(1 4 ) 16c

I diffc c

qL

q q

（4-44）

对于弱相位屏（ cl ）有 2, (0, ) 0I diff L ，对于强相位屏（ 0cl ）有 2

, (0, ) 1I diff L 。

将（4-44）代入（4-42）式得到任意 RDS 下由相位屏引起的闪烁指数，在两种

极端情况下有

2,

2. 2

,

(0, ),

(0, )(0, ), 0

I diff S D

I E SI diff S D

D

L

LL

（4-45）

对于慢探测器的情况（第二行），由于 1S D ，闪烁指数将趋于零。

当存在大气湍流时，我们假设即时光强（归一化）可以表达为 (0, ) atmI L EI ，

atmI 为大气湍流对光束产生的光强扰动。 (0, )I L 可看作是大气湍流引起的光强起伏对

积分光强E 的调制。这个模型是成立的，因为积分时间 D 比大气湍流变化的特征时

间长度（一般在 210 至 310 s 量级）要小得多。因此在 D 内可假设 atmI 是不变的。另

外，这两个分量可认为相互独立，有

(0, ) (0, ) (0, ) 1atmI L E L I L

（4-46）

2 2 2 2 2,,(0, ) (0, ) (0, ) 1 (0, ) 1 (0, )atm I atmI EI L E L I L L L

（4-47）

其中 2, (0, )I E L 由（4-42）式给出， 2

, (0, )I atm L 为慢探测器下的闪烁指数，由（4-34）

式给出。则总闪烁指数为

2

2 2 2 2, ,,2

(0, )(0, ) 1 (0, ) (0, ) 1 (0, )

(0, )I atm I atmI I E

I LL L L L

I L

（4-48）

71

在强湍流屏条件下，有

2 2,(0, ) 1 2 (0, ), 0, 1S

I atm cID

L L l

（4-49）

图 4-5 弱湍流（a）、中等湍流（b）和强湍流（c）下闪烁指数随 RDS 的变化[34]

图 4-5 给出了不同湍流条件下闪烁指数（4-48）式随 RDS 的变化。光束束宽为

0 5cmW ，波长 =1550μm 。图中均显示，任意湍流强度下，越小的 S D 值对应

越小的闪烁指数。相比于相干光（图中标记 coherent），存在一个 大的 S D 值，当

RDS 大于这个值时，部分相干光有比相干光更高的闪烁指数。但随着湍流强度的逐

渐增大，部分相干光的闪烁抑制优势逐渐消失。

4.3.3 部分相干光闪烁指数——孔径接收模型

在 4.3.2 节中，我们介绍了点接收下 GSM 光束的闪烁指数。这在长链路距离下

可得到近似的结果。但在短链路长度下如几公里的距离，接收机的孔径效应一般不

能忽略。由于孔径平均效应可以有效降低闪烁强度，采用点接收模型将给出数值偏

高的理论结果，因此有必要研究孔径接收下的闪烁指数模型。同样，本节将分为慢

探测器和快探测器两种情况进行分析。

72

4.3.3.1 慢探测器

图 4-6 利用 ABCD 光学系统计算部分相干光的孔径接收

如图 4-6 所示，相干高斯光束先通过相位屏变为部分相干光，再经过大气湍流

传输到接收机。为了得到慢探测器下的闪烁指数，我们采用 4.3.2.1 节中的等效参数

法。孔径接收下相干高斯光束经过大气湍流后的闪烁指数已由（3-95）-（3-97）式

给出，部分相干光的等效参数由（4-32）式给出

0 02 2 2 20 0 0 0

, Se e

S S

N

N N

将e和e 代入（3-95）-（3-97），可得[34]

2 2 2I,atm ln x ln y( ) ( )exp ( ] 1)[D D D

（4-50）

其中

2 7/6

2 2 G e xln x R

G e x e G e

0.491 0.4 (1 )

)/ (

()

D

（4-51）

2 5/6R y2

ln yy G e

1.27

1 0.4 / ( )( )

D

（4-52）

（4-56）、（4-57）式中的参数为[34]

2 5/6 5

22 2 7/6 11/6e eR n

6/7 12/712/5 12/5R

x y R12/5

2

1 s c1e e s

/62 1

c 1 c 1

1 (1 )1, 1.23

3 2 5

( / ), 3( / ) (1 0.69 )

5 11 17 1

1 0.56

4,

13.86 Re , ; ;1

6 6 6 16

, 11 4 1 4

BB B

B

R eB e e

C k L

N qN

q q

i F i

G 20

16, �

L

kD

(4-53)

73

其中 Re[ ]x 表示取 x 的实部， 2B 表示弱湍流条件下部分相干光的闪烁指数， 2

R 为

Rytov 方差数， sN 表述部分相干光场独立光斑元的个数，以及 G 为透镜的菲涅尔系

数。当 cl 时，（4-50）式退变为高斯光束的闪烁指数（3-95）式。

图 4-7 (a)弱、(b)中等和(c)强湍流条件下不同相干长度的 GSM 光束的闪烁指数随孔径的变化[34]

图 4-7 显示了在弱湍流 2 0.4 R 、中等湍流 2 1R 和强湍流 2 9.95R 下不同相干

长度的 GSM 光束的闪烁指数随孔径的变化关系。可见，随着 G 的增大（对应 D的

减小）闪烁指数单调上升。另外在同一接收孔径下，光源相干长度越小则闪烁指数

越小。因此，接收增大接收孔径和减小光源的相干长度能有效降低闪烁指数。

4.3.3.2 快探测器

当考虑快探测器的情况时，我们将采用 4.3.2.2 节中的推导过程，并在这里作一

个简单的回顾。为了突出孔径接收，对积分型探测器的输出光强（4-39）式改写为以

下形式

D

D

/2

/2D

1( ) ( ; )dI D I D t t

（4-54）

其中 ( ; )I D t 为瞬时光强。将 ( )I D 表示为以下的乘积

( ) ( ) ( )atmI D E D I D （4-55）

74

其中 ( )atmI D 表示光强受大气湍流扰动的部分， ( )E D 为光强仅受相位屏扰动部分的积

分

/2

/2

1( ) ( ; )

D

DD

E D E D t dt

（4-56）

其中 ( ; ) ( ; ) ( )atmE D t I D t I D 为时间 D 内仅受相位屏扰动的归一化光强的积分。

( )E D 和 ( )atmI D 可认为是统计独立的，因此光强 ( )I D 的闪烁指数为

2 222 atmI 2 2 2

atm

2 2 2I,atm I,atmI,E

2 2I,atm I,

( )

( ) ( )[

( ) ( )( )1 1

( ) ( ) ( )

1

,

( )]

( ) ( )

E D I DI D

I D E D I DD

D D D

D D

（4-57）

其中

2 22 2atmI,atm I,E2 2

atm

( ) ( )( ) 1, ( ) 1

( ) ( )

I D E DD D

I D E D

（4-58）

在（4-57）式中已经标记 2 2 2I, I,atmI,E( ) ( )[ ( )]1 D D D ，且 2

I,atm ( ) D 表示慢探测器下

的闪烁指数，由（4-50）给出， 2I, ( ) D 为由于探测器积分时间有限所产生的闪烁指

数。

为了推导 2I,E ( ) D ，我们依然假设探测器的响应为理想的脉冲函数。类似于

（4-41）式，将 2I,E ( ) D 表示为空间方差和时间方差的乘积

22 2 S S DI,E I,E,S

D D S

21ex( ) ( ) p 1

2D D

(4-59)

2I,E,S ( ) D 表示由相位屏的空间相位扰动引起的闪烁指数（没有湍流情况下），可运用

Rytov 近似求解。通过 ABCD 光学系统的 Rytov 近似，我们可得

2 22 2 2

S G 1I,E,S 08 ( ) e( ) xp 1 cos d ,

L a L bk z

k kD

（4-60）

其中

21 1 1

1 1

,G G

G G

a b

（4-61）

利用相位屏模型（4-9）式，可从（4-60）式得

75

2 22, , 2 2

16 (1 4 )( )

(1 4 ) 16 (1 4 )c c

I E S

c c c

q b qD

q q b q

（4-62）

（4-62）式将（4-44）式只适用于点接收的闪烁指数模型拓展到了面接收模型。

将（4-62）、(4-59)和(4-50)式代入（4-57）式，可得到包含孔径效应和 RDS 的

光强闪烁指数，并在孔径趋于零时（ G ）可退变为 4.3.2.2 节中的结果。另外，

当 cl 时，我们有 2I,E,S ( ) 0 D ，则（4-57）式退变为高斯光束的闪烁指数（标记为

2coh ）。特别地，在 RDS 的两种极限情况下有

2 2 2, , , ,2

2,

(1 ),( )

, 0I atm I E S I atm S D

II atm S D

D

（4-63）

由下子式可知，相位屏产生的额外光强闪烁全部被探测器所平均掉了。这也是部分

相关光所能达到的 低闪烁指数。

下面我们将用具体例子分析 RDS 和接收机孔径对部分相干光闪烁指数的影响。

为了方便起见，在所有的例子中，波长均为1550nm，且只讨论准直光（ 0F ）的

情况。湍流强度由 Rytov 系数 2R 描述，弱、中和强湍流分别对应于 2

R 1 、 2R ~ 1

和 2R 1 。

图 4-8 不同湍流条件下部分相干光的归一化闪烁指数随 S D/ 的变化。链路参数为 2cmD ，

c 5mml ， 0 2.5cmW ，湍流强度从弱到强分别为 2 14 2/3n 10 mC

和 1.5kmL ， 2 14 2/3n 5 10 mC 和 1.5kmL ， 2 13 2/3

n 5 10 mC 和 3kmL

图 4-8 给出了不同湍流条件下部分相干光的归一化闪烁指数 2 2cohI / 随 S D/ 的

变化。可见，不同湍流情况下，闪烁指数均随 S D/ 的增加而增大。其原因是 S D/

的增大对应于探测器对光强的时间平均效应的降低，从而削弱了大气湍流引起的光

强噪声和相位屏引起的光强噪声之间的相互补偿。图中还可看出，存在一个 大的

S D/ 值，记为 max ，使得部分相干光能实现闪烁抑制（比相应的高斯光束具有更低

76

的闪烁指数，即 2 2cohI 1 ）。 max 的值可由下式确定

2 2max cohI ( ) （4-64）

对于一个特定的部分相干光， max 给出了部分相干光能实现闪烁抑制的 小的探测器

的积分时间（或 大的探测器速度）。因此对 max 的了解有助于探测器的选择。下面

我们将详细讨论。

图 4-9 max 随湍流强度的变化。链路参数为 4kmL ， 0 2cmW 和 c 0.5cml

图4-9给出了 max 在不同接收机孔径下随湍流强度的变化。第一菲涅尔区的大小

为 7.8cmL ，因此可认为 1D 和 5 cm的接收机为点接收，而 8D 和 16 cm的

接收机为面接收[45]。从图中我们可看到，对于一个特定的接收孔径，当湍流强度足

够大时 max 急剧下降趋于零（例如 5cmD 在 2R 30 的情况）。这是因为当湍流足

够强时，部分相干光的闪烁抑制能力将失效（见图 4-3）。另一方面，当 2R 0 时，

max 也趋于零。其原因是当没有大气湍流时，探测器的积分时间必须为无穷大，使

得由相位屏产生的光强扰动可以完全被平均掉。

图 4-10 部分相干光闪烁指数 2I 随湍流强度的变化。链路参数为 3kmL ， 0 3cmW 和 c 1cml

由于部分相干光的闪烁抑制需要 S D max/ ，从图 4-9 还可知，对于 RDS 一定

77

的链路，当湍流强度足够小或足够大时，部分相干光的闪烁抑制能力均将会失效。

这个结果可从图 4-10 的（a）和（b）中观察到。如图所示，闪烁抑制区间存在上下

限，分别在强湍流和弱湍流区中（例如 S D/ 0.1 的情况，图中标虚线处）。注意，

下限的存在是因为有限相对探测速度下相位屏引起额外的闪烁，所以当 S D/ 0

时它也将趋于零。

通过比较图 4-10（a）和（b），可发现随着接收孔径D的增大，部分相干光的

闪烁抑制能力在弱湍流区中随着下降，但在强湍流区中却上升。这相对应于图 4-9

中所示的 max 随 D 的变化关系：在弱到中等湍流中， max 随 D 的增加而减小，但当

湍流强度足够大时， max 随 D 的增加而增大。这个结果可通过进一步分析部分相干

光的孔径平均效应来理解。

图 4-11 部分相干光闪烁指数 2I 与对应的相干光闪烁指数 2

coh 随孔径的变化关系。链路参数为

0 3cmW ， 0.5cmcl ， 4kmL ，（a） 2 15 2/31.26 10 mnC 和（b） 2 13 2/31 10 mnC

从（4-57）式中可知，闪烁指数 2I 包含 2

I,atm 和 2 两部分。图 4-11 中给出了部

分相干光闪烁指数 2I 与对应的相干光闪烁指数 2

coh 分别在弱湍流和强湍流条件下随

孔径的变化关系。在两个湍流强度中，当接收孔径 1cmD 时均有 max 0.13 。因此

在图（a）和（b）中我们设 S D/ 0.13 ，使得在 1cmD 时有 2 2cohI 。图（a）中

可看出当 D增大时，孔径效应对 2I,atm 有明显作用，使其下降得比 2

coh 快；但由于孔

径效应对 2I, 作用不明显，使得在 1cmD ，总闪烁指数 2

I 总比 2coh 大。因此在这

种情况下要保证部分相干光的闪烁抑制能力，需要增强接收机的时间平均效应以降

低 2I, 。

图 4-11（b）中的强湍流情况与图 4-11（a）中的情况类似，但是由于在强湍流

情况下 2 2I, I,atm ，因此 2

I,atm 为总闪烁指数的主导项。我们可以看到当 D 增大

时，由于孔径平均效应对 2I,atm 的有效抑制，使得总闪烁指数得到改善。此时不需要

78

去加强接收机的时间平均效应来保证闪烁的降低。实际上，由于孔径平均效应对

2I,atm 的明显改善作用，甚至可以容忍 2

I, 一定程度上的增大。所以当湍流强度足够

大时， max 随D的增大而增大。

以上的结果表明，在弱湍流区，如果增加接收机孔径，则接收机的积分时间也

要相应地增加，使得部分相干光能保持优于完全相干光的闪烁抑制能力，但这样将

导致链路的 大传输速率降低。相反，在强湍流区，大孔径接收可以同时降低闪烁

指数以及对接收机的时间平均效应的需求。

获得 max 的表达式将有助于部分相干光链路中对探测器速度的选择和控制。从

（4-64）式中求 max ，相当于求解以下方程

2 2coh I,atm2

max max 2 2max I,atmI,E,S

1 2exp 1

2 (1 )

（4-65）

但是，由于指数项 maxexp( 2 / ) 的存在，从（4-65）式中不能得到 max 的解析解。对

maxexp( 2 / ) 作泰勒展开

2 2 3max max

max

2exp 2 ( 1) 0( 1)( ) e e

（4-66）

其中展开式中只保留到一阶。注意当 max 1 时该近似将产生很大误差。但是，通过

细致地分析（4-65）式，会发现其左边第二项在 max 1 时急剧地趋于零，使得第一

项占主导地位。因此在解（4-65）式时，（4-66）式实际上给出了简单但准确的近似。

将（4-66）式代入（4-65）式，可得

2 1/3

max 1/32

0.3841.4 1.32( 0.024 )

0.024

（4-67）

其中

2 2coh I,atm

2 2I,atmI,E,S

1.6( )1.05

(1 )

（4-68）

图 4-12 中给出了近似解（4-67）式与准确值之间的对比。如图所示，在整个湍

流强度区中，近似解与准确值之间误差小于6%，因此近似效果非常好。（4-67）式

可以用于估计在部分相干光链路中为保证 GSM 光束能提供闪烁抑制的 高探测器

速度。

79

图 4-12 max 的准确值（exa）和近似值（app）的比较。链路参数为 4kmL 和 0 3cmW

4.4 本章小结

本章介绍了线偏振 GSM 光束在大气中的传输。由于光源的相位扰动存在一个

特征的相关时间长度 S ，因此探测器的响应时间 D 会对 GSM 光束的接收产生影

响。根据相对探测速度 S D 的值可将 GSM 光束的接收分为慢测器和快探测器两种

情况。根据接收机孔径分别讨论了点接收和面接收下这两种探测器情况的闪烁指数

模型。通常，在慢探测器情况下由于时间平均效应 GSM 光束在一定湍流强度内能提

供比对应的高斯光束更低的闪烁指数；但在快探测器情况下，GSM 光束的闪烁指数

与 S D 相关，而且 S D 越大，闪烁指数越高。

特别地，面接收下快探测器情况的闪烁指数模型为作者的研究成果。根据该模

型，详细讨论了相对探测器速度和孔径效应对闪烁指数的影响。发现只有当相对探

测速度小于其 大值 max 时，部分相干光束才能提供比相应的完全相干光更低的闪

烁指数。我们得到了 max 的近似表达式。利用该解析解，可以方便地估计出任意链路

条件下的 max 值，这在实际中可以对探测器响应时间的选择有指导意义。

4.5 参考文献

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82

第五章 部分偏振的部分相干光传输

在上一章中，我们介绍的部分相干光是线偏振的，没有考虑光束偏振态的影响。

部分相干光更一般的形式是电场具有不同方向的偏振分量，且偏振分量间的变化具

有一定的相关性。这种光束一般称为随机电磁光束（Stochastic Electromagnetic

Beam），它引起研究人员的兴趣在于比起线偏振部分相干光，通过调整光源的偏振

态能进一步降低光强的闪烁指数。目前人们主要研究这种光束中的电磁高斯-谢尔模

型（Electromagnetic Gaussian Schell-model，EGSM)。这种模型的每一偏振分量均为

GSM 光束，因此在数学形式上较为简单。

对 EGSM 光束在大气湍流中的传输研究是相对比较新的研究方向。2005 年，H.

Roychowadhury[1]研究了 EGSM 光束在大气湍流传输中光束偏振度随传输距离的变

化。同一年，T.Shirai[2]研究了 EGSM 光束的偏振特性，并得到了 EGSM 光束与高斯

光束具有远场光强分布的条件。2007 年，J. Pu[3]发现 EGSM 光束的功率谱在传输过

程中受光源偏振度的影响。2008年，O. Korotkova[4]提出了在大气湍流传输中EGSM

光束是否能保持其光束传输的条件，发现 EGSM 光束在传输过程中不同偏振分量的

光强仅由光源相干长度和偏振分量的相关性所决定。同年，O. Korotkova[5]还研究了

EGSM 光束的闪烁指数，发现除了光源的相干长度外，光源的偏振度也会影响光束

的闪烁指数，且降低偏振度可以降低闪烁指数。2011 年，G. Wu[6]研究了 EGSM 光

束在大气湍流传输中的束宽变化，并分析了光源的相关长度和偏振度对远场光场的

影响，得到了 EGSM 光束不同初始参数下具有相同远场特性的条件。更多的工作可

从以上文献的参考文献中找到。

由于对 EGSM 光束的大气传输研究工作相对较少，因此还有许多问题需要解

决，且缺乏实验数据的支持。目前对 EGSM 光束在大气湍流中的传输均基于拓展的

惠更斯-菲涅尔原理，相应的 Rytov 近似法还没建立起来。另外，在上一章中提到的

等效参数法在 EGSM 光束中不适用，原因是 EGSM 光束是具有一定相关性的两个不

同偏振方向的 GSM 光束的叠加，每个 GSM 光束可能具有不同的相干长度或功率，

需要对各分量以及它们的相关性进行分析。而等效参数法须将光束看成一个整体，

因此不适用。

目前 EGSM 光束还没有完整的闪烁指数模型。本章将根据作者的工作重点讨论

EGSM 光束的漂移（Beam Wander）模型。光束漂移是指由于大气折射率的随机分布，

在接收面处光斑会围绕中心出现横向位移 cr 的随机抖动，这就是光束漂移现象

[7-17]。光束的漂移程度用横向位移的方差表示，标记为 2cr 。光束漂移是大气光通

83

信中的一个重要参数，它在决定系统性能中和光强闪烁同样重要。光束漂移增大了

信号能量的起伏，严重时会造成光束脱离视场，使通信中断。因此研究光束漂移对

增强链路的通信性能有积极的指导作用。

我们将先介绍 EGSM 光束在大气湍流传输中的一些基本理论，再介绍基于高斯

光束的漂移模型， 后介绍通过拓展这个模型得到的 EGSM 光束的漂移模型。本章

的结构如 5-1 所示

图 5-1 本章结构图

5.1 EGSM 光束在大气湍流中的传输

考虑 EGSM 光束从 0z 向 0z 方向经大气湍流传输，在 0z 处，其光场分布

不能仅用一个场矢量而需用交叉谱密度矩阵（Cross-spectral Density Matrix，CDM）

表示 [18]：

(0) ' ' (0) ' '1 2 1 2(0) ' '

1 2 (0) ' ' (0) ' '1 2 1 2

( , ; ) ( , ; )( , ; )

( , ; ) ( , ; )

xx xy

yx yy

W WW

W W （5-1）

对于准直的 EGSM 光束（ 0F ），（5-1）式中的元素为

(0) * ' '1 2

'2 '2 ' ' 21 2 2 1

2 20

( ,0; ) ( ,0; )

( )exp exp , ( , , )

4 2

ij i j

i j ijij

W E E

A A B i j x yW

（5-2）

其中表示复共轭， 表示电场的总体平均， 0W 和 ij 分别为束宽和相干长度， '1 和

84

'2 为光源平面的两个径向位置矢量，以及

1

1

ij

i jB

i j。 （5-3）

经过大气湍流传输后，光场的交叉谱密度矩阵为

1 2 1 21 2

1 2 1 2

( , , ; ) ( , , ; )( , , ; )

( , , ; ) ( , , ; )

xx xy

yx yy

W z W zW z

W z W z （5-4）

1( , )z 和 2( , )z 为 z 处横截面的两个坐标点。CDM 元素为[18]

22 2 (0)

1 2 1 2 1 2

2 21 1 2 2

* *1 1 2 2

( , , ; ) ( , ; )2

( ) ( )exp

2

exp ( , , , ) ( , , , )

ij ij

m

kW z d d W

z

ikz

z z

（5-5）

这里假设光束的相位起伏和湍流引起的相位起伏是相互独立的。在 1 2 处，

（5-5）式退变为

22 2 (0)

1 2 1 2

2 21 2

*1 2

( , , ; ) ( , ; )2

( ) ( )exp

2

exp ( , , ; ) ( , , ; )

ij ij

m

kW z d d W

z

ikz

z z

（5-6）

积分中由大气产生的相位扰动项 *1 2exp ( , , ; ) ( , , ; ) m

z z 可近似为[19]

* 2 2 '2 '2 2 31 2 2 1 0

1exp ( , , ; ) ( , , ; ) exp ( ) ( )

3 nm

z z k z d （5-7）

5.1.1 谱偏振度

光束在 ( , )z 点的偏振度 ( , ; )P z 定义为[20]

2

4Det ( , , ; )( , ; ) 1

Tr ( , , ; )

W zP z

W z

（5-8）

其中 Det 和 Tr 分别是矩阵 ( , , ; )W z 的行列式和迹。在 z=0 处光源的偏振度为

85

2 22 2 2 2

(0)2 2

4( , 0; )

x y x y xy

x y

A A A A BP z P

A A

（5-9）

在任意位置 z>0 的偏振度可以通过将式（5-4）代入（5-8）中得到。考虑 Kolmogorov

大气谱下，有[18]

2

* 1 21 2 2

0,

( )exp ( , , ; ) ( , , ; ) exp

( )sp

z zz

（5-10）

其中

2 2 3/50, ( ) (0.55 )sp nz C k z （5-11）

是球面波在湍流传输的空间相干长径。将（5-10）代入（5-6）可得到 z 处平面的 CDM

元素的表达式[18]

2

2 2 20

( , , ; ) exp , ( , ; , )( ) 2 ( )

i j ijij

ij ij

A A BW z i x y j x y

z W z

（5-12）

其中

2 2 2 6/5 2/5 2 16/501 0.98( ) , ( , ; , )ij ij nz C k W z i x y j x y （5-13）

2 2 20 0

1 1 1

( ) 4ijijkW W

（5-14）

在公式（5-12）中， 2 ( )ij z 是由 Kolmogorov 谱模型确定的光束扩散因子，描述光束

在大气湍流中的扩展速度。将（5-12）式代入（5-8）式中可得到偏振度为[18]

1/2( , ; )

( , ; )( , ; )

F zP z

G z

（5-15）

其中

222 2 2

2 2 2 20 0

22 2 2

4 20

( , ; ) exp exp( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

4exp

( ) ( )

yx

xx xx yy yy

x y xy

xy xy

AAF z

z W z z W z

A A B

z W z

（5-16）

22 2 2

2 2 2 20 0

( , ; ) exp exp( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

yx

xx xx yy yy

AAG z

z W z z W z

（5-17）

86

在光轴 ( 0) 上，式（5-16）和（5-17）可简化为

22 2 222

2 2 4

4(0, ; )

( ) ( ) ( )x y xyyx

xx yy xy

A A BAAF z

z z z

（5-18）

22

2 2(0, ; )

( ) ( )yx

xx yy

AAG z

z z

（5-19）

在大气中传输足够长的距离时[21-22]，其偏振度会接近光源平面上的值[22]

( , ; ) ( , 0; )P z P z 当 kz （5-20）

然而，这个结果并不能应用于自由空间的传播，因为当 kz 时偏振度的渐近值依

赖于相干长度 2ij [22]。

在中间区域0 z ，光束在大气湍流中传输的偏振度的变化一般来说相当复

杂。然而，在以下两个特殊情形中相对简单。

情形 1： 0xy yxB B

此时，源平面的 CDM 只有对角元素，即

(0)1 2( , , 0; ) 0,ijW z i j

从公式（5-15）中可以得到光轴上点的偏振度

22

2 2

22

2 2

(0, ; )

yx

xx yy

yx

yy xx

AA

P zAA

（5-21）

值得一提的是在这种情况下，光源平面电场的互相正交的部分是不相关的，再加上

x yA A ，则光源是非偏振的（偏振度等于零）。由此从公式（5-21）推断如果 xx yy

也成立，则在传输过程中光束也是非偏振的。进一步，如果 xx yy ，那么在传输过

程中偏振度是变化的，但不会出现零值。

情形 2： 0, 0, , 0xy yx xx yy xyB B

在这种情况下，假设源平面对角元素是相等的，即

(0) (0)1 2 1 2( , ; ) ( , ; )xx yyW W

再假设电场的 x，y 方向是相关的，即

(0)1 2( , ; ) 0,ijW i j

87

则从公式（5-9）可以得到在这种情况下轴上偏振度的表达式为

422 2 2 2 2

4

2 2

( )4

( )(0, ; )

xxx y x y xy

xy

x y

zA A A A B

zP z

A A

（5-22）

图 5-2 情形 1 中 EGSM 光束的偏振度（5-21）式随传输距离的变化。曲线 A, B和 C 为真空传输，

曲线 D, E 和 F 为大气湍流的传输。其中（a） 2 2 1x yA A ，（b） 2 2xA ， 2 1yA 。其余参数均为：

光源参数为 0.628μm , 0xyB , 0 5cmW , 0.1mmxx .曲线 A 和 D： 0.2mmyy ；B 和 E：

0.5mmyy ；C 和 F： 1mmyy 。折射率结构常数为 2 13 2/310 mnC [18]

图 5-2 展示了情形 1 中的偏振度随传输距离的变化。比较图（a）和图（b）我们

可以看出 xx yy 对偏振度产生的影响。特别地，在图 5-2（a）中可见，对于偏振度

为零的光源，在传输距离足够远后，其偏振度再次恢复为零。

图 5-3 情形 2 中 EGSM 光束的偏振度（5-22）式随传输距离的变化。曲线 A, B 和 C 为真空传输，

曲线 D, E 和 F 为大气湍流的传输。（a） 0xyB ，（b） 1 2xyB ，其余光源参数为

0.628μm , 2 2 1 2x xA A , 0 5cmW , 0.1mmxx .曲线 A 和 D： 0.2mmyy ；B 和 E：

0.5mmyy ；C 和 F： 1mmyy 。折射率结构常数为 2 13 2/310 mnC [18]

88

图5-3中展示了不同相干长度下情形2的偏振度随传输距离的变化关系。需要注

意的是与情形 1 的结果相反，在情形 2 中，光束的偏振度不会随传输距离的变化而

出现零值。

5.1.2 光强分布与束宽

对于 EGSM 光束，其光强分布定义为[23]

,

( , ) ( , , ; ) ( , , ; )

iii x y

I z Tr W z W z （5-23）

根据（5-5）式我们有

'2 '2 ' ' 22 1 2 2 1

2 2, 0

' 2 ' 222 2 ' ' 3 ' '1 2

2 1 1 20

( )1( , ) exp exp

4 2

( ) ( ) 1exp exp ( )

2 3

ii x y ii

n

I z Az W

ik k z d d dz

（5-24）

在 Kolmogorov 大气谱下利用（5-12）代可得

22 2 2

2 2 2 2 2 20 0

( , ) exp exp( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

yx

xx xx xx yy yy yy

AAI z

z W z z W z

（5-25）

光束束宽一般用均方根（root-mean-square, rms）束宽定义[23]

1/22 ( , )

( )( , )

I z dw z

I z d (5-26)

将（5-25）式代入（5-26）式可以很容易得到 Kolmogorov 谱下的束宽表达式，但这

里我们介绍 Wu[24]利用 von Karman 谱（2-14 式的第二行）得到的结果，这个结果相

比于 Kolmogorov 谱下的结果更具一般性（包含了内尺度和外尺度的影响）。将 von

Karman 谱代入（5-26）式可得

(0) (0) 220 2 2 2

1/22 2

2 1/3 1/3 5/3 2 2 30 00 0 02 2

1 1( )

8

10.022 exp (6 5 ) , 6

6

xx yy

n m mm m

P P zw z w

k

C z

（5-27）

其中 0 02 L ， 05.92 m l 。

89

图 5-4（a）给出了不同相干长度下 EGSM 光束束宽随传输距离的变化。可见，

在一定的传输距离，束宽随着相干长度的减小而增大。这是因为类似于线偏振的

GSM 光束，EGSM 光束的发散角也由光源的等效光斑元的尺寸所决定。减小相干长

度相当于减小等效光斑元的尺寸，使发散角增大。图 5-4（b）给出了不同偏振度下

束宽随传输距离的变化。可见在 xx yy 的情况下，改变偏振度可以改变束宽的大

小。在这个例子中，固定距离下束宽随偏振度的增大而增大，这是因为根据（5-9）

式，增大 (0)P 相当于增大偏振沿 x 方向的光场能量，而沿该方向的电场的相干度由

于小于沿 y 方向的相干度而具有更大的发散角。因此增大 x 方向的光功率使得在计

算 rms 束宽时该方向的电场暂主导地位，因此束宽随 (0)P 的增大而增大。由此可

知，若 xx yy ，则束宽随 (0)P 的增大而减小。

图 5-4 （a）不同相干长度下和（b）不同偏振度下束宽随传输距离的变化。参数为 0 0.02mw ，(0) 0.4P ， 2 142 10nC ， 1.064μm ， 0xy yxB B ， 0 10mL 和 0 0.02ml ，（a） (0) 0P ，

（b） 1cmxx ， 2cmyy [24]

5.1.3 特殊情况下的闪烁指数

由于 EGSM 光束的电场需要用 CDM 来描述，因此它的 CF（交叉相干函数，见

3.2.4 节）也需要用一个矩阵来描述。CF 定义为

(2,2)1 2 1 2 1 2( , , ; ) ( , ; ) ( , ; ) ( , ; ) ( , ; ) , ( , , , , )ijlm i j l mz E z E z E z E z i j l m x y

（5-28）

光强的闪烁指数为[25,26]

2 2

22

( , ) ( , )( , )

( , )I

I z I zz

I z

（5-29）

90

其中

2 (2,2) (2,2) (2,2)( , ) ( , ; ) 2 ( , ; ) ( , ; ) xxxx xxyy yyyyI z z z z （5-30）

为了便于理解 EGSM 光束闪烁指数的结构，将（5-29）式改写为以下形式

2 2 2 2 22

2

( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )

xx x xy x y yy yI

x y

z I z z I z I z z I zz

I z I z （5-31）

其中

2

(2,2)

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )

( , ; ) ( , , ; ) ( , , ; )

( , , ; ) ( , , ; )

i j i j

xy

i j

iijj xx yy

xx yy

I z I z I z I zz

I z I z

z W z W z

W z W z

（5-32）

（5-31）式中， 2 ( , ) xx z 和 2 ( , ) yy z 分别表示为 x 和 y 分量的闪烁指数，而

2 2( , ) ( , ) xy yxz z 为它们的联合闪烁指数，即光强的协方差。下面考虑两种特殊情

况下的 EGSM 光束的闪烁指数

情形 1：

1 21 2

( , , ; ) 0( , , ; )

0 0

xxW zW z

（5-33）

EGSM 光束退变为线偏振的 GSM 光束，因此其闪烁指数由（4-36）式给出，即

2 2,

2 2

7/6 5/612/5 12/5

5/6 22

12/5 2 12/5

( , ) ( , )

0.49 0.51exp 1

1 .056(2 ) 1 0.69

4.421 4 1.63 1 4 1.63

I I atm

B B

e B B

Rc R c R

z r L

r

q W q

情形 2：

1 21 2

1 2

( , , ; ) 0( , , ; )

0 ( , , ; )

xx

yy

W zW z

W z （5-34）

且在光源平面内处处满足 1 2 1 2( , , ; ) ( , , ; ) xx yyW z W z 。假设电场的 x 分量和 y 分

量相互独立，则这类光源通常称为自然光。利用（5-8）式可证明，这类 EGSM 光束

在传输过程中满足

91

( , ; ) 0P z （5-35）

且可通过（5-32）式可得

2 ( , ) 0 xy z （5-36）

利用（5-31）式，可得光强的闪烁指数为

2 21( , )

2 I xx z （5-37）

可见，在情形 2 下 EGSM 光束的闪烁指数比线偏振的小一半，这在闪烁抑制上非常

有优势。

图 5-5 给出了不同湍流强度下情形 1 和情形 2 的闪烁指数。可见，采用情形 2

中的偏振度为零的 EGSM 光束具有更强的闪烁抑制效果。

图 5-5 EGSM 光束的闪烁指数随湍流强度的变化。作图参数为 0.633μm ， 0 1W cm ，

1mmxy 和 2 13 2/310 mnC 。（a）情形 1 下的闪烁指数；（b）情形 2 下的闪烁指数[25]

5.2 基于高斯光束的一般漂移模型

如本章开始部分所述，光束漂移现象由大气湍流对光束在传输过程中的随机折

射产生，它使得光斑在接收面处围绕中心出现横向随机位移。光束漂移是大气光通

信中的一个重要参数，早在六十年代就开始了对光束漂移现象的研究。由于光束漂

移主要是由靠近发射机的大尺度湍流对光束的折射引起，因此 早的分析一般基于

几何光学方法（GOM），忽略衍射的影响。如 Chernov[8]和 Beckmann[9]在分析中都

用了 GOM，但并没考虑到有限的光束尺寸；Chiba[11]研究了准直光束的传输并考虑

了束宽的影响；Churnside 和 Lataitis[7]使用 GOM 得到了包括准直光和会聚光的光束

漂移位移方差的表达式等；随后基于 Markov 近似，研究人员进行了一个更全面的

光束漂移分析，并考虑了衍射的影响[12,16,17]；Fante[27]使用四阶矩发现了束宽与光束

92

漂移之间的关系。Tavis 和 Yura[28]也得出了在光束漂移影响下束宽的表达式，但是

他们的研究只考虑了湍流小尺度漩涡的影响。

近，Andrews 和 Phillips[29,30]通过分析湍流漩涡不同尺度对光束传输的不同影

响得到了一个新的理论模型（以下简称为 A-P 模型）。该模型由于其数学形式简单

和容易拓展而备受欢迎。基于该模型，Eyyuboglu, Cil 和 Baykal[31,32]研究了多种不

同光束的光束漂移，包括暗空心（dark-hollow）,平顶（ flat-topped）, 环形（annular）,

余弦和双曲余弦（cos, and cosh-beam）高斯光束等。作者也根据对该模型的拓展得到

了 EGSM 光束的漂移模型。作为铺垫，这里介绍 A-P 模型。

5.2.1 A-P 理论模型

长期束宽Long term spot size

短期束宽Short term spot size

LTW

STW1/22

cr

图 5-6 光束漂移由光斑的瞬时位置的随机移动形成，短期束宽的统计叠加形成长期束宽

如图 5-6 所示，短期束宽 STW 指光束的瞬时束宽大小，在湍流的影响下，它会围

绕中心发生随机偏移，随机位移量记为 cr 。位移量 cr 的方差 2cr 定义为光束漂移。在

一段长时间内短期束宽由于光束漂移会形成一个更大的光斑，称之为长期光斑，其

半径以 LTW 表示。对于高斯光束，在弱湍流下其长期束宽寸 LTW 为[29]

2 2 2 2 5/6(1 ) (1 1.33 )LT RW W T W （5-38）

其中W 为真空传输的束宽， 22 ( )z kW 为高斯光束的输出参数（见 3.2.1 节），T 由

（3-43）式给出，以及 2R 为 Rytov 方差。根据图 5-6 中的短期和长期束宽的概念，

可将（5-38）式写为[29]

2 2 2 2

.arg

LT SS LSdiffrac sm scale l e scale

spread beamwander

W W W T W T

（5-39）

这里已将 SS LST T T 分成小尺度（SS）和大尺度（LS）两部分，分别对应不同尺度

93

湍流漩涡的贡献。(5-39)式中W 为纯衍射扩散， 2 2SSW W T 为短期光束半径 STW ，

后一项为“光束漂移”，即光束中心方差 2cr 。 2

cr 由湍流对整个光束的折射所引起，

它的大小主要由尺度上大于光束束宽的湍流所决定[29,30]，因此在T 中引入基于束宽的

大尺度滤波函数 ( , )LSH z 可得 2cr 的表达式为

2 2 2 2 2 2 2

0 04 ( ) ( , ) 1 exp /

L

c LS n LSr W T k W H z L k d dz

（5-40）

其中 1 /z L ， L为传输距离， z 为传输路径积分变量， ( )n 为大气谱，其大尺

度高斯滤波函数 ( , )LSH z 为[29]

2 2( , ) exp ( )LSH z W z （5-41）

它只允许等于或大于光束束宽的湍流漩涡对 2cr 有贡献，消除了小尺度漩涡的影响。

在公式（5-41）中， ( )W z 是在距离发射机 (0 )z z L 处的自由空间的光束半径。

由于光束漂移由折射引起，因此可以使用以下几何光学近似[29]

2 2

2 2 21 exp / , / 1L

L k L kk

（5-42）

将（5-42）式代入（5-40）可得

2 22 2 2 2

0 04 ( ) ( , )

L

c n LS

Lr k W H z d dz

k

（5-43）

（5-43）式为基于高斯光束的 A-P 光束漂移模型，它适用于准直、发散和会聚的高

斯光束。注意，（5-43）式只适用于弱湍流条件。为了将它拓展到强湍流条件下，我

们只需要将其中的真空中光束束宽 ( )W z 替换为湍流条件下的长期束宽 ( )LTW z 即可

[29]。

5.2.2 高斯光束的漂移

由于高斯光束为 常用到的通信光束模型，这里简要介绍它在 A-P 模型下的结

果。在弱湍流下，将高斯光束在真空传输的束宽表达式（3-16）代入滤波函数（5-41）

式可得[29]

2 22 2 200 0 0( , ) exp 1LSH W

（5-44）

在强湍流条件下，光束漂移模型的束宽要替换为在湍流条件下的长期束宽，因此滤

波函数变为[29]

94

2 2

2 2 12/5

22 2 12/5 16/50 0 0

( , ) exp ( )

exp ( ) 1 1.63 ( ) ( )

exp 1 / 1.63 ( ) ( )( / )

LS LT

R

R

H z W z

W z z z

W z F L L z L

（5-45）

将（5-44）和（5-45）分别带入（5-43）式中可得到不同湍流条件下的光束漂移模型。

实际上，采用（5-45）式的光束漂移为更一般的模型，因为在弱湍流条件下它会自动

退变为由（5-44）式得到的结果。

图 5-7 不同传输距离下聚焦高斯光束漂移 2cr 的理论值和数值模拟的比较[30]

图 5-7 为聚焦光束在不同初始束宽下光束漂移随传输距离的变化，并比较了理

论结果和数值结果。由图可知， 2cr 随传输距离的增大而增大，且理论与数值仿真

结果符合得很好。另外，增大束宽可以减小光束漂移，这是因为束宽越小则越容易

受到湍流漩涡对整个束宽的折射。

5.3 EGSM 光束的漂移模型

和高斯光束一样，部分相干光也同样受到光束漂移的注意。然而，部分相干光

的光束漂移问题 近才引起研究员的重视。2007 年，美国洛斯阿拉莫斯实验室（Los

Alamos National Laboratory）的 G. P. Berman 小组[33]研究了线偏振部分相干光的光束

漂移。基于光子分布函数方法（Photon Distribution Function Method），他们推导出

了光束漂移的表达式，并研究了相干长度对光束漂移的影响。2012 年，美国新墨西

哥州立大学 David G. Voelz 小组[34]研究了聚焦部分相干光束的光束漂移。通过对 A-P

模型的拓展，得到了部分相干光束的光束漂移理论模型。

在这节中我们将拓展 A-P 模型到 EGSM 光束模型下。由 5.1.2 节的分析可知，

由于部分相干光束的衍射性质受光源偏振态的影响，而光束漂移主要由大尺度湍流

漩涡对整个光束的折射引起，因此可以预见，光束的偏振特性亦将决定其漂移量。

95

5.3.1 A-P 模型的拓展

从 A-P 光束漂移模型（5-43）式出发

2 22 2 2 2

0 04 ( ) ( , )

L

c n LS

Lr k W H z d dz

k

并采用 Kolmogorov 谱

2 11/3( ) 0.033n nC

为了将模型拓展到 EGSM 光束的情况，我们借助光束等效参数的方法。注意，

这里能用等效参数法是因为对于光束漂移，它是整个光束被大尺度湍流漩涡的随机

折射，因此对光束可作整体描述，而不需要考虑每个电场分量的影响。模型的拓展

过程是将滤波函数 ( , )LSH z 里的束宽参数 ( )LTW z 替换为 EGSM 光束中相对应的参

数，以及将输出参数 22 ( )z kW 中的真空传输束宽替换为 EGSM 光束的在真空传

输的束宽 FSW 。EGSM 光束的 ( )LTW z 由（5-26）式的 rms 束宽给出

1/22 ( , )

( ) ( )( , )

LT

I z dW z w z

I z d

这里仅讨论光束的横向光场分量 xE 和 yE 相互独立的情况，即光源可用如下的 2 2 交

叉谱密度矩阵来描述

(0) ' '1 2(0) ' '

1 2 (0) ' '1 2

( , ; ) 0( , ; )

0 ( , ; )xx

yy

WW

W

（5-46）

矩阵（5-46）中的元素为

'2 '2(0) ' ' ' ' 1 1

1 2 1 2 2

( )( , ) ( ,0) ( ,0)exp , ( , )

2ii i iii

W U U i x y

（5-47）

其中 ii 为相干长度， ( ,0)iU r 为高斯光场

' '220 0

1( ,0) exp

2i i

jkU A

w F

（5-48）

根据（5-25）式，我们可得 EGSM 光束的光强分布表达式，并将其写为

2 22 2 2 200

2 2 2 2

2 2( , ) exp exp

( ) ( ) ( ) ( )yx

xx xx yy yy

A wA w r rI r z

w z w z w z w z

（5-49）

其中

96

1/222 20 0

0 2 2 200 0,

22 2

( ) 1 ,(

1)

,iiii sp

z w w zw z w i x y

zF kw

（5-50）

在（5-50）式中， 0, ( )sp z 为球面波的空间相干长度，由（5-11）式给出。由此我们

可以得到 EGSM 光束的 rms 束宽为

2 21 1( ) ( ) ( )

2 2LT xx yy

P PW z w z w z

（5-51）

其中 P 为光束的偏振度

2 2

2 2

| |.x y

x y

A AP

A A

（5-52）

通过（5-50）式和（5-51）式令 2 0nC 和 z L ，就可以很容易得到光束在真空传输

的束宽 ( )FSW L 。将这两个束宽代入 A-P 模型中，则可以得到 EGSM 光束的漂移模型

22 2 2 1/3

07.25 1 ( ) d

L

c n LT

zr L C W z z

L

（5-53）

其中

1/22 16/52 2 2

20 0 00 02 2

0,

2

0

2) 1( 1

( )LTp sp

w wz zW z w

L L L

z

F

（5-54）

20 02 /L kw 为光束中高斯光场部分的输入参数， p 为有效相干长度

2 2 2

1 (1 ) (1 )

2 2p xx yy

P P

（5-55）

由方程（5-53）可知，光束漂移主要由束宽 ( )LTW z 决定，且成反比关系，即在传输

过程中束宽较小的光束将产生较大的光束漂移。进一步分析可知，束宽的贡献由路

径参数 2(1 / )z L 加权。离发射机越近，其加权量越大。因此，光束漂移主要由光源

附近湍流漩涡的折射产生。另外，我们还可发现，由于 0, ( )sp L 随湍流强度的增加而

减小，它际上可看成是描述湍流强度的参数。因此我们可推得在非常强的湍流强度

下，相对应于 ( ) 0sp L ， 2cr 将趋于零，与光束的初始输入无关。这表明只能在不

是太强的湍流条件下通过初始输入参数来调节光束漂移。

5.3.2 数值结果分析

在这节中，我们将通过具体例子来分析 EGSM 光束漂移的特点。这里讨论归一

97

化的光束漂移 2 2/w c LTB r W 。对比起仅仅讨论 2cr ， wB 在实际中能带给我们更多信

息。

图 5-8 准直光束在不同的相干条件下 wB 随折射率结构参数 2nC 的变化。其余链路参数为

10kmL ， 0 0.025mw ， 0P 以及 1060nm

图 5-8 给出了准直 EGSM 光束（ 0F ）在不同的相干条件下 wB 随折射率结构

常数 2nC 的变化。从图中可以看出在弱湍流下（ 2 14 2/310 mnC 通常认为是中等湍流，

强弱湍流的分界线），光束漂移随湍流强度的增加而增大。但当湍流变得足够强时，

wB 则开始下降。其 大值大约出现在中等湍流处。Berman 在文献[33]中对这个结果进

行了解释：在弱湍流区，光束的展宽基本不受湍流的影响，光束整体受大尺度湍流

折射的概率随湍流强度的增强而增大；但在强湍流区，由于湍流中的散射效应大大

加剧了光束的展宽，使得光束整体受折射的概率降低。

从图 5-8 中还可以看到可以通过降低相干长度来降低 wB 。特别地，这种方法在

弱湍流区很有效，但在强湍流区则效果不明显。这个结果可由通过不同湍流强度下

的光束展宽来解释：光束在大气湍流传输过程中由于衍射效应引起的展宽和由大气

湍流引起的展宽可分别近似为

222 200 02

~ 1 1cohp

w zW w

L

（5-56）

16/54 20 0

2

2~

( )atmsp

w zW

L L

（5-57）

在弱湍流区中， atmW 可以忽略，因此束宽变化主要由有效相干长度 p 决定（假设

0p w ）。在这情况下，减小 p 将大大加速光束的展宽，从而减小光束漂移。然

而，随着湍流强度的增大，由湍流造成的大气相干长度 0, ( )sp L 越来越小，则 atmW

逐渐增大。当湍流强度增大到使得 atm cohW W 时，光束的展宽将主要由大气湍

98

流决定。在这中情况下，光源的相干特性就失去了对光束漂移的控制。

图 5-9 光束漂移 wB 随（a） 2nC 的变化和（b）随偏振度 P 的变化。两图中其余的链路参数如图 5-8

的一样

图 5-9 给出了光源的偏振态对光束漂移的影响。图（a）为在不同偏振度下 wB 随

2nC 的变化。如图，光束漂移随偏振度 P 的降低而降低。这个结果的原因很明显。由

于 xx yy ，有效相干长度 p 为 P 的函数。当 xx yy ， ( )LTW z 将随 P 的增大而增

大。因此光束漂移减小。图（b）为在一定传输距离和不同相干长度下光束漂移随偏

振度的变化。由于束宽对偏振度的依赖源于 xx yy ，则偏振度的影响将随着 xx 和

yy 差异的减小而减小。当 xx yy ，偏振度将对光束漂移不产生影响，正如图中的

蓝虚线所示。

图 5-10 光束漂移 wB 随 2nC 的变化。不同的光束间其偏振度和相干长度满足（5-65）式。其余参

数为 0 0.03mw ， 1060nm ， 10kmL 和 0F

上面的结果表明，EGSM 光束漂移与相干长度和偏振度有关。从方程（5-54）中

可以看出，由于这两个参数只包含在有效相干长度 p 中，容易得出，当满足

2 2

1 1p

xx yy

P Pconstant

（5-65）

时，不同的 EGSM 光束的光束漂移相等。图 5-10 给出了满足（5-65）式但具有不同

99

相干长度和偏振度的 EGSM 光束漂移。可见，三个光束的漂移量相等。

在 FSO 链路中，EGSM 光束的初始波前也会对链路的性能产生重要的影响[35]，

因此值得讨论。这里我们主要讨论和比较聚焦和准直的 EGSM 光束之间的光束漂

移。图 5-11 给出了在不同相干长度下聚焦光束和准直光束的光束漂移随传输距离的

变化。可见，相同相干长度下，聚焦光束会有比准直光束大的光束漂移。这是因为

聚集光束在传输过程中前期汇聚，使得其束宽小于准直光束。在前面的分析已经提

到过，一开始的束宽对光束漂移的影响更大。所以聚焦光束具有更大的光束漂移。

图 5-11 准直和聚焦光束的光束漂移 wB 随传输距离的变化。链路参数为 xx yy ，

2 14 2/310 mnC ，其余参数和图 5-10 的一样

我们还可以看到，相干长度越小，两对应光束的漂移越接近。这是因为波前曲

率半径的聚焦效应会被由减小相干长度而增加的衍射效应所抵消。另外还可看到，

当传输距离足够大时，所有曲线汇集在一起。其原因和图 5-8 中类似结果的解释相

同。

5.4 本章小结

本章介绍了 EGSM 光束在大气湍流中的传输。不同于上一章中的线偏振 GSM

光束，EGSM 光束在传输过程中其束宽和闪烁指数都会受到光源的偏振度的影响。

我们介绍了 EGSM 光束的偏振度、光强分布和束宽，并介绍了在两个特殊情形下

EGSM 光束的闪烁指数，表明非偏振的 EGSM 光束的闪烁指数比线偏振的 EGSM 光

束的要小一半。

另外，我们还研究光束漂移问题。本章中作者的工作是将基于高斯光束在大气

湍流传输的 A-P 光束漂移模型拓展到了 EGSM 光束的传输。通过利用等效参数的手

段，得到了光束漂移的表达式，并详细讨论了部分相干长度，偏振度，波前曲率半

径对光束漂移的影响，还得到了不同初始参数的 EGSM 光束具有相同光束漂移的条

件。我们的工作在 EGSM 光束参数的优化上具有一定的指导意义。

100

5.5 参考文献

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102

第六章 空间分集技术

空间分集技术（Spatial Diversity Techniques）是指利用多个发射机或/和多个接收

机形成多个信道对信号进行发射和接收。由于信号复本在多个不同信道间传输时同

时发生衰落的概率比单信道的要低，因此可以改善系统性能。

在大气信道中，单信道的性能差，特别是在强湍流条件下远不能达到 FSO 的典

型误码率（ 610 ）。如果采用编码或检测技术来提高性能，所需的代价也很高：由于

大气信道为慢衰落信道（衰落持续的特征时间~10-3s），如果采用差错控制编码就需

要采用大的交织器来消除比特间的相关性，如 1-Gb/s 的信道需要 1 Gb 的交织器[1]，

这会给系统带来很大的时延；若采用 大似然序列检测则需要极高的计算复杂度，

事实上无法实现。即使采用前面提到的部分相干光技术，或采用大孔径接收，对系

统性能的改善也有限[2,3]，特别是增大孔径将使天线成本快速升高，在实际中也不能

采用过大的孔径。利用空间分集技术能够有效地克服这些问题。

图 6-1 空间分集系统的一般模型

FSO 空间分集系统的一般模型如图 6-1 所示，M 个发射机和 N 个接收机

（ , 1M N ）构成M N 个子信道。每个子信道传输相同的信号复本。当 M=1 时，

系统称为接收机分集系统（Single Input Multiple Output, SIMO），当Ｎ＝１时，称为

发射机分集系统（Multiple Input Single Output, MISO），当 M 和 N 均大于 1 时，称为

多发多收系统（Multiple Input Multiple Output，MIMO）。在接收端，多路信号复本

通过一定的合并法则进行合并，判决器对合并后的信号作判决 [4]。

由于空间分集具有多个子信道，因此为通信系统带来了灵活多样的技术结合。

人们已对 FSO 分集系统中的检测、编码、合并等技术进行广泛研究。由于具体的通

信系统方案涉及到不同的数学处理方法，因此要对大气信道下的空间分集进行全面

地介绍将会很繁琐。实际上，空间分集对 FSO 系统性能的改善源于其良好的抗闪烁

能力。从这点出发，可以很容易地理解空间分集技术的优势所在。因此，在这章中

103

我们着重讨论其在闪烁抑制上的表现。

空间分集系统的光强闪烁主要受发射机光束参数、接收机孔径和子信道间距的

影响。 后一个因素是本章的研究重点。分集系统对闪烁的抑制能力可用分集阶数

（Diversity Order）来表示。分集阶数是指分集系统独立衰落的子信道数目。在一定

的链路条件下，分集阶数越高，则闪烁的抑制能力越高，由此而得到的系统性能改

善也就越大。保持分集系统中各子信道间的衰落独立才能实现分集阶数（diversity

order）的 大化。要子信道间相互独立则必须有足够大间距，否则信道间会出现相

关性而使分集阶数降低，从而使系统的总闪烁指数增大。例如两个信道相隔无穷远

时，信道衰落必相互独立，此时它们合并后的信号闪烁指数为单个信道的 1/2；若它

们完全重合，则两信道的衰落必完全一样，则合并后的信号衰落跟一个信道下的没

有区别。因此，研究信道的相关性，特别是研究信道间保持相互独立所需要的 小

距离（即相关长度），对分集天线的设计和性能估计均有重要意义。基于这个原因，

作者研究了 SIMO 系统下的信道相关性，得到了信道相关系数的理论模型以及不同

湍流条件下信道相关长度的近似表达式。本章的结构如图 6-2 所示

图 6-2 本章结构图

6.1 研究进展

由于空间分集技术对 FSO 系统性能的重大改善潜力，已得到广泛的重视和研

究。首先，为了军事或航天的需求，美国的重要机构一直在支持这方面的研究。

1997 年，在 NASA 的支持下，AstroTerra Corporation 的 Isaac I. Kim 小组开展了空间

分集的实验研究。实验主要目的是确定将闪烁指数降低到一定的水平达到一定的水

平所需要的发射机数目和发射机之间的间隔[5]。2002 年，在美国国防高级研究计划

局（Defense Advanced Research Projects Agency，DARP）的支持下，美国麻省理工

104

大学林肯实验室的Vincent W. S. Chan小组研究了直接检测下MIMO系统的性能，证

明空间分集能提供很高的功率增益和很大程度地提高通信的可靠性。随后，他们研

究了在空间分集下采用直接检测和相干检测的性能比较，证明了利用相干检测能提

供比直接检测高几个 dB 的功率增益 [6-9]。2005 年，美国喷气推进实验室（Jet

Propulsion Laboratory，JPL）的 V. Vilnrotter 小组研究了接收机分集系统的性能，证

明了在星地链路中（有湍流影响），地面分集接收在一定的工作条件下可提供和大

孔径接收相等的通信性能[10]。2006 年，在美国空军部支持下，美国宾治法尼亚州立

大学的 S. M. Navidpour 小组研究了子信道相关性对空间分集系统误码率

（bit-error-rate, BER）的影响，并得到了系统误码率的表达式[11-12]。2010 年，在美国

空军部的支持下，美国麻省理工大学林肯实验室的 Todd G. Ulmer 小组研究了空间分

集系统采用 DPSK 调制的信号链路性能，得到了子信道间需要的 小频率间隔，并

证明了 DPSK 调制要优于 OOK 和二进制 PPM 调制格式，以及实验证明了空间分集

能有效抑制信号的闪烁[13]。

除此之外，世界各国的研究小组也发表了大量这方面的研究工作。根据检测方

式的不一样，我们分为直接检测和相干检测两部分进行回顾。

对于直接检测的 FSO 系统通常使用两种调制方式：脉冲位置调制（PPM）和开

关键控调制（OOK）。PPM 调制格式是一种频谱效率相对较高的调制格式，在大气

光通信中获得了广泛应用。2005 年，Wilson[14]对基于 PPM 调制的 FSO 空间分集系

统进行研究，在对数正态信道和瑞利信道两种情形下对有无衰落和有无背景辐射时

的误码率和信道容量性能进行了仿真。2006 年，Djordjevic[15]分析了空间分集下基

于多电平 LDPC 编码的 PPM 调制的系统误码率。2008 年，Letzepis[16]分析了空间分

集条件下，采用PPM调制的未编码FSO系统的误码率和遍历信道容量，并给出了单

个比特的对数似然比，误码率和遍历信道容量的解析表达式。与 PPM 相比，OOK

调制格式更加简单，并且易于实现。2004 年，Lee[17]研究了 SIMO 系统采用不同合

并方式的截止概率和MIMO条件下等增益合并的 FSO系统的截止概率。针对信道相

关的情况，Navidpour[18]在 2007 年给出了 MIMO 系统误码率的解析解，并指出在对

数正态信道中，空间分集可以降低对数正态衰落的方差。2008 年，Riediger[19]给出

了一种在MIMO条件下 FSO系统的多符号检测方法，并对等增益合并时的误码率进

行了仿真。同年Popoola[20]研究了基于副载波调制的SIMO系统在不同合并方式下的

误码率性能。2009 年，Tsiftsis[21]研究了 MISO，SIMO 和 MIMO 条件下，FSO 系统

在强湍流条件下（K-分布大气湍流模型）的误码性能，并给出了 SIMO 系统的误码

率解析表达式。

相干检测具有比直接检测更高的灵敏度。由于相干检测技术在光纤通信中的成

熟发展，它也被研究人员移植到 FSO 系统中。基于大气引起的相位噪声影响可忽略

的假设，2002年，Haas[22]研究了弱湍流条件下外差检测的MIMO系统，提出了使时

105

-空信道编码中码字译错概率 小化的设计标准；2007-2009年，Lee 和 Chan[23,24]研

究了弱湍流条件下 SIMO 相干检测系统的中断概率（Outage Probability），并研究了

系统在信号衰落、背景噪声等的影响下的性能表现。2010 年，Mingbo Niu[25]等研究

了在强湍流条件下等增益合并系统的信噪比及中断概率。实际上，经过大气湍流传

输后信号的波阵面扭曲。扭曲的波阵面将会影响信号和本振光的相干效率，使系统

性能降低，特别是在接收机孔径大于波阵面的空间相干长度的情况下。2008 年，

Belmonte 和 Kahn[26-30]考虑了信号光光强起伏和波阵面扭曲对相干检测系统性能的

影响，推导出了采用部分相位补偿（Partial Phase Compensation）技术的单信道相干

系统的中断概率的统计模型，并于 2009 将此模型推广到 MIMO 的相干系统。2010

年，Aghajanzadeh[31]等在上述的模型下，研究了相干空间分集系统的性能，包括链

路的可靠性以及频谱效率与可靠性之间的联系。

6.2 空间分集的闪烁抑制能力

在这节中，我们讨论空间分集系统在闪烁抑制上的表现。简单起见和不失一般

性，下面以接收机分集系统为例子进行阐述。

1I

2I

MI

i

1i

2i

Mi

图 6-3 一般接收机分集系统

如图 6-3 所示，考虑 M 个相互独立的接收机，接收孔径为 D，并假设每个接收

机的接收光强的衰落相互独立。设第 j（ 1, 2...j M ）个接收机的信号电流为

, ,j S j n ji i i （6-1）

其中 ,n ji 为单个接收机中均值为零方差为 2,n j 的加性高斯白噪声电流， ,S ji 为信号电流

2, ,

1

4S j S j ji P D I

（6-2）

其中 ,S jP 为光信号功率，为探测器的光电转换效率，2 4s D 为探测器孔径面积，

jI 为光强。假设每一个接收机都是一样的，通过等增益合并后，总输出电流为

106

, ,1

( )M

S j n jj

i i i

（6-3）

则输出电流的均值和方差分别为

, S ji M i （6-4）

2 2 2 2 2 2, , ,i S j I j n ji i M i

（6-5）

其中已将（6-2）式用于（6-5）式中， 2,I j 为孔径接收光强的闪烁指数。由此，我们

得到系统的平均信噪比为

2 2

2 2 2 2, , ,

2

,

M ji S j I j n j

S jMiSNR M SNR

M i

i

（6-6）

其中，

02 2 2 2

, , , , 0

2

,

1jS j I j n j I j

S j SNRSN

i S R

iR

N

（6-7）

为单个子接收机的平均性噪比，2

,2

0 ,S j n jSNR i 为单个子接收机在没有光强闪烁

时的信噪比。由（6-7）式可见，光强的闪烁指数 2,I j 降低了系统的信噪比。而比较

（6-6）式与（6-7）式，可得出，通过使用 M 个子接收机，可将系统的输出信噪比

提高 M 倍。

根据类似的推导过程，我们可得出系统总光强的闪烁指数将降低为原来的

1 M ，即

2 2, ,

1 I M I jM （6-8）

以上结果可以很容易拓展到 MIMO 系统情况：对于分集阶数为M N 的分集系统，

系统信噪比为单信道的M N 倍，而总的光强闪烁指数也将降低为原来的1 MN 。

另外，分集接收的性能优势还体现在与单个大孔径接收机的闪烁指数比较，同

样以上面 M 个子接收机阵列来分析。令单孔径接收机直径为 GD ，为了保证接收面

积相等，有 2 2GD MD 。对大孔径接收，其孔径平均因子为[32]

2

2

( )

(0)

I G

I

DA

（6-9）

对于分集的阵列接收，我们可定义其孔径平均因子为

107

2

2

( )

(0)

I GN

I

D MA

N （6-10）

（6-9）和（6-10）中的闪烁指数 2 ( )I D 由（3-98）式给出。

图 6-4 中展示了不同湍流条件下（6-9）和（6-10）两式的比较。这里我们采用

了平面波模型，因此（6-9）式和（6-10）式可通过（3-74）式计算。在图中我们考

虑了 1,2,5,10M 的情况，孔径直径用菲涅尔区 L k 进行了归一化。由图（a）可

见，接收机阵列比单孔径有更小的闪烁指数。但随着孔径面积的增大，接收机阵列

的优势逐渐减小，当单接收机的孔径直径达到约 10 倍的 L k 时，单孔径接收反而

比分集接收更有优势。在实际中，10 倍的菲涅尔区可能是非常大的孔径。例如对于

2kmL ， 1550nm 的系统，菲涅尔区约为 2.2L k cm ，则需要 22cm 的大孔径

才能达到分集接收的性能，但随着湍流强度的增大，如图（b）和（c），这个尺寸

将急剧上升，导致接收机的成本增大或不可实现。因此使用小孔径的分集接收，除

了具有闪烁抑制的优势外，还能有效降低系统的成本。

图 6-4 (a)弱、(b) 中等和(c)强湍流下不同分集接收机数量的闪烁指数随孔径变化的关系[32]

108

6.3 分集系统的相关性研究

在 6.2 节的分析中，我们基于子接收机的光强衰落相互独立的假设分析了系统

的闪烁抑制能力。在实际中，为了保证这个相互独立性，相邻信道的间距必须足够

大。否则，子信道间的信号会具有一定的相关性，从而降低系统性能[18,32,33]。在 6.1

节中提到的理论研究工作，大多数基于信道独立假设，而忽略信道相关性的影响。

为保持子信道的独立性，子天线（发射机或接收机）间至少间隔一个相关长度

的距离。虽然相比于微波通信，这个距离在 FSO 中要小得多，如在弱湍流下信道相

关长度约等于 L（ L为传输距离，为波长）[34]，对于 1kmL ， 1550nm 的链

路，相干长度约为 4cm ，但是在通信终端尺寸受到限制的条件下，如飞行器的机载

天线等，子信道的相关性就成为必须考虑的因素。在 2007年，美国亚利桑那大学的

Jaime A. Anguita[35]小组通过数值模拟方法研究了发射机分集系统的相关系数，指出

信道相关性随湍流强度和接收孔径的增加而增大，并指出接收机孔径的选择需要在

闪烁抑制和系统分集阶数之间进行权衡：一方面，大孔径将提高子信道间的相关

性，使分集阶数降低；另一方面，大孔径可以有效降低每个子信道的闪烁。这些结

论也于2011年被他们实验所验证[36]。然而由于数值模拟方法的局限性，他们的工作

在很多的实际问题中不能得到很好的拓展。

为了能全面分析信道相关性，更好的方法是对信道相关性进行理论分析。基于

Rytov 近似已经得到了一个理论模型[32]，但该模型只适用于弱湍流条件下点接收的

情况。这大大限制了该模型在实际中的应用。因为在普遍的 FSO 链路中，我们必须

考虑强湍流以及面接收的情况。这里将对接收机分集系统的信道相关性进行理论研

究。我们的结果适用于任意湍流条件，并考虑了孔径效应与其他链路参数的影响。

6.3.1 理论模型

图 6-5 所示为典型的接收机分集系统。任意两个子接收机之间（标记为接收机 1

和接收机 2）接收到的信号光强的相关性由如下的相关系数描述[37]

12 1212 12 2 2

1 2

( )( )

dd

（6-11）

其中， 12d 表示两子接收机的间距。在上式中， 12 12( )d 和 2j ( j 1,2) 分别为光强的

协方差函数和第 j个接收机的闪烁指数[37]

1 212 12

1 2

( ) 1I I

dI I

（6-12）

109

2j2

j jj 2j

(0) 1I

I

（6-13）

其中 jI 表示第 j个接收机接收到的光强。由式（6-12）和（6-13）可知，闪烁指数是

协方差函数在 12 0d 的特殊情况。

图 6-5. 空间分集接收机

在推导（6-12）式中，我们这里只考虑平面波模型，并利用 ABCD 光学系统中

的 Rytov 近似进行理论分析。必须指出，由于调制过的信号具有一定的带宽 ，在

Gb/s 量级的通信链路中， ~ 0.1nm 。虽然波长的差异会降低信号的相关性，但是

带宽在 ~ 0.1nm 的范围内的影响是可以忽略的[38,39]。因此，在研究信号的相关性

时可以应用单色波近似。

图 6-6.两个接收机的等价 ABCD 射线矩阵光学系统

由两个子接收机形成的两个子信道可以等效成两个几何光学的 ABCD 系统，如

图 6-6 所示。z 轴为传输方向，光波从 z=0 处经过湍流传输至 z=L，然后进入孔径为

D 焦距为 Lf的透镜，并被聚集到输出面上，其中，L+Lf=Ls。根据 3.4.3 节中大气湍

流下 ABCD 光学系统中的 Rytov 近似，第 j 个接收机的输出光场可表示为

j j 1, j j( , ) exp[ ( , )]s sU L Lr A r

(6-14)

其中假设并隐去了时间变化因子 exp( )i t 。在(6-14)式中，A 表示光场的振幅，rj表

示输出平面上的横向矢量且 rj=0 表示在光轴上，以及 1, j 表示由湍流引起的相位一阶

110

扰动。基于冰冻湍流假设[39], 1, j 可表示为

21, j j j 1 j0

( , ) d ( , ; , ) ( , )dsL

s sL z h z L n z s

r s r s d (6-15)

在(6-15)式中， j( , ; , )sh z Ls r 可以看成是 ABCD 光学系统的脉冲响应函数，具体表达式

将会在后面的(6-21)式给出， ( , )zs 为传输路径中（输入面 z=0 和输出面 z=Ls 之间）

任一点的坐标， 1n 表示湍流引起的大气折射率的变化， jd 为第 j 个信道的光轴的横

向坐标。从(6-15)式可看出，由于信道光轴的位置不同，每个信道的信号光场在传输

过程中经历不同的湍流扰动。

根据拓展的 Rytov 理论，考虑了孔径效应的光强的协方差可以近似表达为两个

信道间输出平面光轴处的光强的协方差

12 12 2 3( ) exp[2 { (0,0; ) (0,0; )}] 1s sd E L E L (6-16)

其中 { }x 表示取 x 的实部， 12 1 2| |d d d 表示两信道光轴的间距，以及

2 1 2 1,1 1 1,2 2( , ; ) ( , ) ( , )s s sE L L L r r r r

(6-17)

3 1 2 1,1 1 1,2 2( , ; ) ( , ) ( , )s s sE L L L r r r r

(6-18)

为了得到 2 1 2( , ; )sE Lr r 和 3 1 2( , ; )sE Lr r 的表达式，首先根据透镜位置将 1, j j( , )sL r

表示为传输路径不同部分积分的和。注意到大气湍流只存在于输入面到透镜之间，

1, j j( , )sL r 可以被简化为

21, j j j 1 j0

( , ) d ( , ; , ) ( , )dL

sL z h z L n z s

r s r s d

(6-19)

2j j 10

d ( , ; , ) ( , )dL

z h z L n z s

s d r s

(6-20)

其中从 (6-19)式到 (6-20)式对坐标变量 s 做了一个简单的变换。仿照文献 [32]中

j( , ; , )sh z Ls r 的推导过程，可已得到

2 2j j j

j j

| |( , ; , ) exp

2 2

k ikh z L

B B

s d rs d r

(6-21)

两变量 和B 分别为

2i

16 f

kD

L

(6-22)

2

16i( )1f

L zB L

kD

(6-23)

111

其中 2i 1 。将(6-20)式代入(6-17)式和(6-18)并通过(6-21)式，可得(见 6.3.4 节)：

2 212 2

2 1 2 ,0 0

0 1 2 1 2

( , ; ) 4 ( ) exp16

( | ( ) |)d d

( )s n eff

DE L k L

J

r r

r r d d (6-24)

2 212 2

3 1 2 ,0 0

0 1 2 1 2

( , ; ) 4 ( )exp i16

( | ( ) |)d d

s n eff

D LE L k L

k

J

r r

r r d d (6-25)

其中 1 /z L ， 0(.)J 为第一类零阶的贝塞尔函数。为了使(6-24)和(6-25)式中的结

果适用于任意湍流强度，我们使用了有效大气谱 , ( )n eff （见 3.3 节，为了阅读方便，

这里再次详细给出）

2 11/3, 0 0 0( ) 0.033 [ ( , , ) ( , )]n eff n X YC G l L G l

( 6-26)

其中 2nC 为折射率结构常数， 0l 为大气内尺度， 0L 为大气外尺度，以及 0 0( , , )XG l L 和

0( , )YG l 分别表示为大小尺度的滤波函数，其表达式为

7/62

0 0 2

2 2

2 20

( , , ) exp 1 1.802 0.254

1 exp exp( )

Xl l l

X

G l L

(6-27)

11/3

0 2 2 11/6( , )

( )YY

G l

(6-28)

其中 03.3 /l l ， 0 08 / L 以及

2 1 2 2 3/50 0, 00 0,

2 1 2 2 1/3 1/20, 00 0, 0

(0.38 0.35 / ) , (1.46 ) ,

(0.38 0.17 / ) , (1.64 ) ,

plpl n

Xplpl n

l LL k C k L

lL k C k Ll

(6-29)

12/5 12/53(1 0.69 )( )R

Y PLPL

k

L

(6-30)

2 2 2 11/12 1 12 1/4

12 7/24 5/6

11 1.51 43.86 (1 1/ ) sin tan sin tan

6 (1 ) 3

0.27 5 3.50sin tan

(1 ) 4

{ [ ( ) ( )

( )] }

PL R l l ll

ll l

Q Q QQ

QQ Q

(6-31)

112

20

10.89l

LQ

kl

(6-32)

2 2 7/6 11/61.23R nC k L (6-33)

上式中， X 和 Y 分别表示低通和高通的截至频率， 0.pl 为平面波空间相干长度， 2PL

为弱湍流条件下的平面波闪烁指数，以及 2R 为描述湍流强度的 Rytov 变量。通常情

况下。将(6-24)和(6-25)式代入(6-16)式，并考虑光轴上的光强( 1 2 0 r r )，可推得

12 212 12 1 , 0 120 0

2 2 2

( ) exp 8 ( ) ( )

exp 1 cos d d 116

( )

n effd k L J d

D L

k

(6-34)

通过(6-13)和(6-11)式可从上式得到闪烁指数 2j 和相关系数 12 12( )d 的表达式。

值得注意的是，在(6-26)式中，小尺度滤波函数 0( , )YG l 与比 0, pl 小的湍流漩涡

引起的衍射效应相联系，而大尺度滤波函数 0 0( , , )XG l L 则与比散射盘 0,/ plL k 湍流

漩涡引起的折射效应相联系。从(6-34)式中可看到，当 12 0d 时，贝塞尔函数 0 12( )J d

在高频处的迅速衰减将使得 0( , )YG l 对 12 12( )d 的贡献非常小。也就是说，信道相关

系数主要由湍流的折射效应引起。

6.3.2 信道相关系数的分析

在这一节我们用具体的例子分析由(6-11)和(6-34)式给出的信道相关系数。(6-34)

用数值计算中的 Vegas 算法[40,41]计算。另外，我们只讨论水平传输的情况，即 2nC 为

常数，与传输距离无关。为了方便和不失一般性，设 0L 和 0 0l 。在这种情况

下，空间相干长度 0, pl 由下式给出

2 2 3/5, 00 0 0(1.46 ) , pl nC k L l L (6-35)

则有效大气谱可退变为

2 11/32 11/3

, 2 2 2 11/6,0 ,0

( ) 0.033 exp ,( )n eff n

X Y

C

(6-36)

其中

2,0 2

2.61,

1 1.11XR

k

L

(6-37)

113

2 12/5,0

3(1 0.69 )Y R

k

L

(6-38)

图 6-7 不同湍流条件和接收孔径下信道相关系数 12 随信道距离的变化。（a）为理论曲线，（b）

-（e）为不同湍流强度下的数值模拟结果和理论曲线的比较。参数为 1060nm ， 2kmL ，从

弱到强湍流分别为 2 15 2/32 10 mnC ， 14 2/32 10 m ， 13 2/32 10 m 和 13 2/34 10 m

图 6-7 给出了不同湍流条件和接收孔径下信道相关系数 12 随信道距离的变化曲

线。从（a）中可以看到在一个特定的湍流强度和接收孔径下，信道相关系数随着信

道间距的增加而降低。在降低到零时，对应的信道间距 c 定义为相关距离，即

12( ) 0c 。随着信道间距继续增大， 12 趋于零。这个变化趋势是合理的：当两个

信道完全重合时，两信道的信号衰落必定完全相关；当两信道相距无穷远时，则必

114

然完全不相关。注意相关系数为负（ 12 0 ）是表示在平均上，一个接收机接收到

信号，另一个接收机没收到信号。一般来说，当信道间距大于 c 时，我们认为两信

道是不相关的，即使它们的相关系数可能为负。从图中还可以看出，湍流强度和接

收孔径均对 12 有明显的影响，这将在图 6-9 和图 6-10 中详细说明。

图（b）-（e）为从弱湍流到强湍流的数值模拟结果与理论曲线的对比。可见，

数值仿真与理论曲线的变化相一致，虽然数值仿真的结果偏小。因此数值仿真结果

为我们模型的正确性提供了一定的支撑。而数值仿真结果偏小的原因可能是在仿真

中并不能真正做到平面波模型，只能用足够大束宽的高斯光束来近似；另一个原因

可能是统计的样本不足。在这些图中，每个仿真点为 30 个样本的平均。

图 6-8 为不同信道间距下信道相关系数随湍流强度的变化。可以看到，只有当

湍流增大到一定强度时信道相干系数才开始出现，并随着湍流强度的继续增大而递

增。如果信道间距小，则 12 在强湍流下可以变得很高（如 12 15cmd 的情况）。在

这么高的信道相关系数下，系统的分集性能将降低得很明显。图中我们还能看出通

过增大信道间距可有效降低信道相干系数。

图 6-8 信道相关系数 12 随湍流强度的变化。其余参数为 2kmL ， 0.08mD 和 1060nm

图 6-9 为信道相关系数 12 随接收孔径 D 的变化。湍流强度为强湍流

2 22.09R ，信道间距分别为 12 10cmd ，15cm 和 20cm 。可以看到， 12 均随着 D

的增大而增大。注意在一定的信道间距下，接收孔径在实际中必须满足 12D d 。图

中的垂直虚线处为1/2( )D L 。实际上，这个尺度为点接收和面接收的分界线。可

以看到，在点接收区间 12 随着孔径的增大而迅速增大；当孔径增大到进入面接收区

间时， 12 的增大变慢。同时我们还可看到孔径对 12 的影响随着 12d 的减小而增强。

这个结果会产生对孔径选择的优化问题，特别是当信道间距远小于信道相关长度时

（如图中 12 10cmd 的情况）：增大接收孔径有助于降低信号的闪烁和增大系统的信

噪比，但是，同时会提高信道间的相关系数从而降低分集性能。而 优的孔径大小

115

选择应根据实际链路情况进行选择。

图 6-9 不同信道间隔下信道相关系数 12 随接收孔径的变化。其余参数为 2kmL ，2 13 -2/32 10 mnC 和 1060nm

图 6-10 信号通过大气湍流传输的几何光路分析

上面已经指出，信道相关系数随着湍流强度和接收孔径的增大而增大。为了从

物理上解释这个结果，在前面已经指出（（6-34）式下面），信道的相关性主要由尺

度大于散射盘 0,/ plL k 的湍流漩涡的折射引起的。从几何光学的观点看，可以将这

些大尺度漩涡细分为两类：公共漩涡（common eddies）和独立漩涡（independent

eddies），如图 6-10 所示。公共漩涡是指能够同时对两个信道的信号进行折射的漩

涡，因此它引起信道的相关性；而独立漩涡是指只能折射其中一个信道信号的漩涡，

因此它降低信道的相关性。随着湍流强度的增大，大气的空间相干长度 0, pl 减小，

则散射盘 0,/ plL k 增大。由此两信道碰到公共漩涡的概率将增加，信道相关系数增

大。同理可解释信道相关系数与接收孔径的关系：当两信道的间距一定时，信号的

光路随着接收孔径的增大而增大，使得两信道更靠近，由此两信道碰到公共漩涡的

概率也将增加，使信道相关系数增大。

116

图 6-11 信道相关长度 c 随湍流强度的变化。其余参数为 2kmL 和 1060nm

在判断分集系统中子信道间是否具有相关性时，信道相关长度 c 是个很重要的

参数。图 6-11 为 c 在不同接收孔径下随湍流强度 2R 的变化。 2cmD 和 10cmD

分别表示点接收和面接收的情况。如图所示， c 随着 2R 的增加而增大，且在同等

湍流强度下，D 越大，对应的 c 也越大。同时可以看到，随着湍流强度的增加，孔

径对 c 的影响减小，当 2 1R 时，两曲线以 0,2 / plL k 为渐近线趋于合并。由于这

个渐进行为与孔径大小无关，因此可以得到信道相关长度在强湍流下的近似表达式

为

20~ 2 / , 1c RL k (6-39)

值得注意的是，点接收时（ 2cmD ）在弱湍流下 c 近似为1/2( )L 。这个结果与文

献所给结果一致[32]。

图 6-12 不同湍流强度下信道相关长度 c 随波长的变化。弱湍流： 1kmL 和2 15 2/32 10 mnC ；中等湍流： 1.2kmL 和 2 14 2/35 10 mnC ；强湍流： 1.5kmL 和

2 13 2/35 10 mnC 。所有湍流条件下接收孔径均为 5cmD

图 6-12 给出了弱、中、强湍流条件下 c 随波长的变化。图中可看出在三个湍

117

流条件下，虽然 c 随着的增大而增大，但其影响可以忽略。这是因为信道相关性

主要是由湍流漩涡的折射效应引起的，而折射效应受波长的影响可忽略不计。

6.3.3 信道相关性对闪烁指数的影响

在这节我们分析当信道出现相关性时分集系统闪烁抑制能力受到的影响。考虑

图 6-5 下 N=2 的情况，即一个双接收机的分集系统，其总闪烁指数为

2 22 1 2 12 1

21 2

[ ( ) ( )] [1 ( , )] ( )1

( ) ( ) 2I

I D I D D d D

I D I D

(6-40)

上式已假设 2 22 1( ) ( )D D 。从上式可见，信道相关系数 12 ( , )D d 将使总闪烁指数增

加。

图 6-14 给出了信道间距 15cmd 时系统总闪烁指数随传输距离的变化。作为比

较，我们还给出了单个大孔径接收下（ 2GD D ，面积与双接收的面积相等）的闪

烁指数，以及两子信道始终保持相互独立时（d ）的闪烁指数。可以看到，当传

输距离 2.25kmL 时，信道开始出现相关性并使闪烁指数增大。随着传输距离的继

续增大，信道相关系数也越来越高，使得分集系统相对于单孔径接收的闪烁抑制优

势逐渐消失。

图 6-14 双接收系统下信道相关系数对总闪烁指数的影响，图中参数为 2kmL ， 1060nm

6.3.4 方程(6-24)和(6-25)的推导

在这里给出(6-24)和(6-25)式的详细推导，过程将仿照文献[32]第 5 章中二阶矩的

推导。我们从(6-20)式开始，将(6-20)式改写为

21, j j 1, j j j 10

( , ) ( , ) d ( , ; , ) ( , )dL

s sL L z h z L n z s

r R s R s

(6-41)

118

22

j j

i | |( , ; , ) ( , ; , ) exp

2 ( ; ) 2 ( ; )jkk

h z L h z LB z L B z L

s Rs d r s R

(6-42)

其中引入了变量 j j j / R r d ，以及 ( ; )B z L 由(6-23)式给出。进一步，将 1( , )n zs 表示

为二维的 Riemann-Stieltjes 积分以及 j( , ; , )h z Ls R 表示为二维傅里叶形式，如下

1( , ) exp(i )d ( , )n z v z

s K s K

(6-43)

2

j j

i( , ; , ) exp ( ; )

2H z L ik i B z L

k

K R K R

(6-44)

其中K 表示二维波矢且 | | K 。将(6-43)和(6-44)代入(A-1)可得

1, j j j0

2

j0

( , ) ( , ) ( , ; , )

( , ) exp ( ; )2

L

s

L

L dv z H z L

iik dz dv z i B z L

k

R K K R

K K R（6-45）

其次，为了保证折射率的统计均匀，有

2 2( , ) ( , ) ( ,| |) ( )d dnv z v z F z z K K K K K K K (6-46)

其中 ( ) K 为狄拉克 delta 函数， ( ,| |)nF z zK 为折射率的二维谱密度函数。将(6-45)

代入（6-24）式，并利用(6-46)，可得

2 1 2 1,1 1 1,2 2

2 2

0 0

2

1 2

( , ; ) ( , ) ( , )

d d d ( ,| |)

iexp i ( ) [ ( ; ) ( ; )]

2

s s s

L L

n

E L L L

k z z F z z

B z L B z Lk

r r R R

K K

K R R

(6-47)

为了进一步简化(6-47)，作变量代换，将 z 和 z变为 z z 和 ( ) / 2z z ，并利

用函数 ( ,| |)nF K 只在 0 处不为零的特点将对 的积分区间拓展到 ，以及令

z z ，我们可得

2 22 1 2 0

2

1 2

2 2, 0 1 20 0

2

( , ; ) d d d ( ,| |)

iexp ( ) [ ( ; ) ( ; )]

2

4 d ( )d ( | |)

iexp [ ( ; ) ( ) ( ; )]

2

L

s n

L

n eff

E L k F

i B L B Lk

k J

B L B Lk

r r K K

K R R

R R (6-48)

119

在得到(6-48)过程中，我们利用了

,

1( ) d ( ,| |)

2n eff nF

K

(6-49)

作变量代换将变为归一化变量 1 / L ，并用 1 1( / )r d 和 2 2( / )r d 分别代替

1R 和 2R ，可得

12 22 1 2 , 0 1 2 1 20 0

2

( , ; ) 4 ( ) ( | ( ) |)

iexp [ ( ) ( )] d d

2

s n effE L k L J

B Bk

r r r r d d

(6-50)

上式即为(6-24 式)。同样可得方程(6-25)。

6.4 本章小结

在本章中，我们讨论了 FSO 系统中空间分集技术的研究进展，分析了该技术的

闪烁抑制能力。为了达到天线 大的分集阶数，要求天线间距必须足够大。当实际

系统中不能实现这个条件时，信道间的衰落会出现相关性从而降低分集系统性能。

我们理论分析了接收机分集系统的信道相关性。基于平面波模型和几何光学 ABCD

系统中的 Rytov 近似，建立了信道相关系数的理论模型。利用该模型，详细分析了

信道相关性的特点和它对系统总闪烁指数的影响，以及得到了强湍流下信道相关长

度的近似表达式。从应用角度看，我们的模型提供了估计任意湍流强度下的信道相

关系数的方法，在分集天线设计上具有指导意义。

6.5 参考文献

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122

第七章 论文总结与展望

FSO 具有媲美光纤的通信速率，但是由于信道开放的原因，使得信号在传输过

程中容易受大气环境的影响而使得通信能力大大降低。在众多的大气干扰因素中，

大气湍流引起的光强闪烁被认为是限制通信速率和链路可靠性的 主要因素。研究

人员提出了多种闪烁抑制方法，如大孔径接收，部分相干光传输，自适应光学，空

间分集接收和时间分集接收等。本论文主要针对部分相干光技术和空间分集技术进

行了深入的研究，论文的主要工作如下：

1. 介绍了 FSO 的研究现状

介绍了 FSO 在军事、航空航天、深空等领域的研究现状。其中，我们重点介绍

了在航空航天和深空通信的发展。由于 FSO 高增益高带宽的特点，为航空和深空通

信带来了比微波通信更高数据传输速率的可能。美国、日本、欧洲等为实现Gbps的

通信速率而展开了越来越频繁实验研究活动。

2. 建立了快探测器下 GSM 光束孔径接收的闪烁指数模型。

部分相干光能提供比相干光更低的闪烁指数源于光源的相位扰动和大气湍流引

起的相位扰动能相互抵消。要实现这个抵消，必须采用慢探测器，即接收机的响应

时间 D 远大于光源相位扰动的相干时间 S ，使得探测器可以对光强起伏产生时间平

均效应。但是由于技术发展水平限制和高通信速率的要求，目前在Gbps速率下不能

实现部分相干光理想的慢探测（ 0S D ）。这个时候，就必须考虑相对探测时间

S D 对闪烁指数的影响。在考虑这个因素下，我们将已报导的点接收模型拓展到

了考虑孔径影响下的面接收模型。基于该模型，我们详细讨论了相对探测器速度和

孔径效应对部分相干光闪烁指数的影响，发现在一定链路参数下只有当 S D 小于一

个特定值 max 时，部分相干光束才能提供比相应的完全相干光更低的闪烁指数。我

们得到了 max 的近似解析解，利用该解析解，可以方便地估计出任意链路条件下 max

的值，从而指导探测器速度的选择。

3. 建立了基于 EGSM 光束的光束漂移模型。

对于有限束宽的光束在大气湍流传输时，由于湍流漩涡对光束的随机折射，会

造成接收面上光斑的随机移动，形成光束漂移现象。光束漂移的大小主要由光束束

宽在传输过程中的演化所决定。对于 EGSM 光束，由于光源的偏振态对其束宽的展

宽有决定作用，因此可以预见其对光束的漂移将产生不可忽视的影响。本论文利用

等效参数的手段将基于高斯光束的 A-P 光束漂移模型进行拓展到，得到了 EGSM 光

123

束漂移的理论模型，并详细讨论了部分相干长度，偏振度，波前曲率半径对光束漂

移的影响，对所得的结果也给出了物理解释，还得到了不同初始参数的 EGSM 光束

具有相同光束漂移的条件。我们的结果对 EGSM 光束参数的优化具有一定的指导意

义。

4. 建立了接收机分集系统的信道相关模型。

在空间分集系统中，为了得到 大的分集阶数，要求子信道间必须具有足够大

的间距使得不同子信道间的衰落可以相互独立。然而在实际系统中该要求可能得不

到满足，特别是在天线终端具有具有尺寸限制下。这个时候分集系统的子信道间就

会出现相关性而使得系统性能下降。我们基于平面波模型研究了接收机分集系统的

信道相关性。利用几何光学 ABCD 系统中的 Rytov 近似，得到了信道相关系数的理

论表达式。利用该表达式，详细讨论了信道相关性的特点，还得到了强湍流下信道

相关长度的近似表达式。从应用角度看，我们的模型可以在天线阵列设计和性能估

计中起到指导作用。

尽管上述的研究内容取得了一定的成果，但作者在研究和调研过程中发现许多

问题需要进一步的研究，主要有以下几点：

（1）在 EGSM 光束方面，虽然 5.1.3 节中给出了闪烁指数的表达式，但仅限于

特殊条件下的 EGSM 光束。在一般参数下的 EGSM 光束的闪烁指数模型还没有给

出，包括点接收模型和孔径接收模型，这方面的工作还未见报导。

（2）在空间分集技术方面，研究发射机分集系统下采用高斯光束模型的信道相

关性。这部分的研究已有相关的实验和数值仿真报导，但没有理论模型。由于实验

和数值仿真都针对于特定的链路参数，因此其结果具有局限性。由于目前的自由空

间光通信系统中都采用多发射机的设计，因此研究这方面的理论模型对天线参数的

选择具有现实指导意义。

（3）研究自适应门限检测技术。虽然本论文没有对这方面工作进行介绍，但这

是作者 近在进行的研究课题。由于空间光通信系统中的光强衰落属于慢变衰落

（毫秒量级），因此采用滤波器进行信道即时性噪比的跟踪和调整判决门限，可以

明显降低系统的误码率。目前这方面的文献并不多，已见报导的为光强调制/直接检

测系统下利用卡尔曼滤波器制定即时 佳判决门限的方案。因此，不同的滤波器算

法并应用于直接检测或相干检测系统是个值得研究的方向。

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常用符号和缩略词索引

( )n Spatial Power Spectral Density 折射率空间功率谱密度

2nC Index-of-refraction Structure Constant 大气折射率结构常数

0L Outer Scale of Turbulence 大气湍流漩涡外尺度

0l Inner Scale of Turbulence 大气湍流漩涡内尺度

2R Rytov Variance Rytov 方差

2I Scintillation Index 闪烁指数

0 0, Input Parameters 高斯光束输入参数

, Output Parameters 高斯光束输出参数

0 Spatial Coherent Radius 光场的相干长度

c Spatial Correlation Length 光强的相关长度

FSO Free Space Optical Communications 自由空间光通信

MCF Mutual Coherence Function 互相干函数，二阶矩

CF Cross-coherence Function 交叉相干函数，四阶矩

DOC Modulus of the Complex Degree of Coherence 复相干度模值

PCB Partially Coherence Beam 部分相干光束

GSM Gaussian-Schell Model 高斯-谢尔模型

EGSM Electromagnetic Gaussian-Schell Model 电磁高斯-谢尔模型

RDS Relative Detector Speed 相对探测速度

CDM Cross-spectral Density Matrix 交叉谱密度矩阵

SIMO Single Input Multiple Output 单发多收，接收机分集

MISO Multiple Input Single Output 多发单收，发射机分集

MIMO Multiple Input Multiple Output 多发多收

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致谢

时光荏苒，转眼已到毕业前夕。我很庆幸自己来到了北邮，在这里度过了三年

愉快的学习生活。我喜欢这里的小校园环境，也喜欢这里的工科氛围。在这里第一

次看到了秋天落叶后光秃秃的树木和摸到了冬天里松软的白雪，也第一次呼吸了北

京的风沙和体会到了零下的温度有多冷。转眼到了自己写毕业论文的日子，回顾这

三年的博士生活，我很庆幸自己能够度过这么快乐的一段时光，也很感激陪伴我度

过这段时光的人和事。

感谢我的博士导师顾婉仪教授，感谢她对我学习与生活的关心。虽然顾老师由

于繁忙的课题任务并没有给我很多的直接指导，但在课题组申请 973 项目的那段日

子里，让我深深感受到了一个学者的严谨和洞察力。顾老师对待学生的宽容也让我

体会到了什么是人格魅力，给了我很大的启发。在这里衷心祝愿顾老师身体健康，

生活愉快。

感谢我的导师喻松老师。在这三年中，喻老师为我提供了我 喜欢的自由宽松

的科研环境，让我平时的学习生活过得轻松愉快。平时的课题讨论中喻老师独到的

见解也让我获益良多，特别是在指导我论文写作方面为我提供了很多良好的建议。

感谢喻老师对我的信任，特别是在我一年级还没完全把握课题的时候，使我在后面

的学习中不至于丧失信心。感谢喻老师对我工作的关心和帮助。在这三年里，喻老

师是我的良师，也是益友。

感谢吴国华老师。吴老师在我 初进入课题的困难时期给了我很多指导，在此

表示衷心的感谢。

感谢我所在实验室的兄弟姐妹对我的关心和帮助，他们是廖屏、申静、蒋天炜、

兰名荥、王天一、刘桂、李健、骆骢、翟旭、冷海军、杨展予、朱睿杰、蒋龙、李

敏良、杨杰、王琳、金凯、徐盛辰、柯超凡、张阮斌、张一辰、韩树龙、郑楚斌、

陶万杰、韩祎、徐明扬、夏铭、戴丽萍和谢倩，谢谢他们为我带来了多姿多彩的实

验室生活。特别地，感谢廖屏师姐在我参加北邮博士入学考试的时候帮我找住宿的

旅馆；感谢天一在一年级时与我在大气光通信课题组“相依为命”；感谢睿杰为我平

时的生活增添了不少乐趣，特别是带我去健身房使我现在壮了点；感谢蒋龙在本论

文上提供的巨大帮助，没有他我很难按时完成；感谢敏良和杨杰平时在科研上的讨

论和生活上的消遣；感谢阮斌陪我去打篮球，虽然没给他来一个盖帽一直是我的遗

憾。非常喜欢与你们在一起的日子。

另外我还要感谢我的室友鞠卫国、韩佳巍和胡服全，感谢你们一起共同营造的

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幽默的宿舍生活，特别是鞠卫国，没有你，或许我会过得更欢乐些：）感谢我的好友

罗鹏飞，感谢他给我的精神上的鼓励和学习上的帮助。

后我非常感谢我的父母和哥哥，他们是我生活的支撑，是我学习的动力。没

有他们，我无法完成这段学习，谨以此文献给我的家人。

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攻读博士期间学术成果与参与课题

论文成果

1. Zhixiao Chen, Song Yu, Tianyi Wang, Guohua Wu, Hong Guo and Wangyi Gu, “Spatial correlation for transmitters in spatial MIMO optical wireless links with Gaussian-beam waves and aperture effects,” Optics Communications, Vol. 287, 2012: 12-18. （SCI）

2. Zhixiao Chen, Song Yu, Tianyi Wang, Guohua Wu, Shaoling Wang and Wangyi Gu, “Channel correlation in aperture receiver diversity systems for free-space optical communication”, Journal of Optics. Vol. 14, 2012: 125710（SCI）

3. Zhixiao Chen, Song Yu, Jiang Long, Guohua Wu, Shaoling Wang and Wangyi Gu, “Influence of detection speed on aperture received partially coherent beams in turbulent atmosphere”, Optics Communications, Vol. 298-299, 2013: 8-12.（SCI）

4. Zhixiao Chen, Song Yu, Jiang Long, Guohua Wu, Shaoling Wang and Wangyi Gu, “Influence of channel correlation on the scintillation performance of receiver diversity systems for free-space optical communications”, OFC/NFOEC 2013, JW2A.42. （国

际光学会议,EI） 5. Song Yu, Zhixiao Chen, Tianyi Wang, Guohua Wu, Hong Guo and Wangyi Gu,

“Beam wander of electromagnetic Gaussian-Schell model beams propagating in atmospheric turbulence”, Appl. Opt., Vol. 51, 2012: 7581.（SCI）

6. Jing Shen, Song Yu, Ping Liao, Zhixiao Chen, Wanyi Gu and Hong Guo, “All-Optical Full-Adder Based on Cascaded PPLN Waveguides”, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 47, No. 9, 2011: 1195-1200 . （SCI）

专利:

1. 喻松;王天一;陈志晓;兰名荥;蒋天炜;廖屏;申静;顾畹仪，一种基于序列检测和空间

分集的编码 FSO 系统实现方法，专利申请号：CN201110268883.0，专利公开号：CN102271029A.

参与课题

1. 国家自然科学基金项目：大气相干光通信相干性失配的补偿机制与实验研究

（61072054）

2. 2011 中兴-北邮产学研合作项目:QAM 调制码型的数字相干接收算法研究

3. 国家重大科学研究计划（国家 973 项目）：光-毫米波信号大动态范围转换机理与

器件（2012CB315605）