TESIS.pdf - Universidad Nacional de Educación
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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle “Alma Máter del Magisterio Nacional” FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA TESIS La Influencia de la Electro Trigonometría en el Proceso de Aprendizaje de la Trigonometría en los Estudiantes del Quinto Grado de Educación Secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica. PRESENTADO POR: PINO HUAMANI, PEPE ASESOR: Dr. FLORES CCANTO, Florencio Para optar el Título Profesional de Licenciado en Educación. Especialidad de Matemática e Informática LIMA – PERÚ 2017
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1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
“Alma Máter del Magisterio Nacional”
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
TESIS
La Influencia de la Electro Trigonometría en el Proceso de Aprendizaje de la
Trigonometría en los Estudiantes del Quinto Grado de Educación Secundaria en el
Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
PRESENTADO POR:
PINO HUAMANI, PEPE
ASESOR: Dr. FLORES CCANTO, Florencio
Para optar el Título Profesional de Licenciado en Educación.
Especialidad de Matemática e Informática
LIMA – PERÚ
2017
2
A Dios que me dio la oportunidad de vivir
y de cumplir mis metas.
A mis padres que me dieron la vida y hermanos (as)
que me inculcaron la disciplina, constancia y superación.
A mis docentes y amigos de la universidad por compartir
sus conocimientos y perspectivas de la vida.
Pepe.
ii
3
Agradecimiento
El presente trabajo de investigación es el resultado en el cual, directa o
indirectamente, aportaron muchas personas, dando una lectura, opinando, corrigiendo y
acompañándome en momentos difíciles.
Agradezco a la Universidad Nacional de Educación “Enrique Guzmán y Valle”,
al Dr. Vladimiro del Castillo Narro, porque gracias al apoyo por medio de la bolsa de
investigación me permitió culminar mi proyecto de investigación, y a la vez permite a
los estudiantes de pregrado ayuda a optar el grado de licenciado por dicha modalidad.
Al Decano de la Facultad de Ciencias Dr. Daniel Marcos Chirinos Maldonado,
por su ímpetu y preocupación a los semilleros de la investigación.
Al Director de la Unidad de Investigación de la Facultad de Ciencias Dr. Isidro
Osorio De la cruz, por su orientación continua en la elaboración de mi proyecto de
investigación.
Al asesor de la presente investigación Dr. Florencio Flores Ccanto; por su
capacidad profesional, sus orientaciones pertinentes y oportunas; por su preocupación
en garantizar la calidad de la investigaciones en el régimen regular de la Universidad
Nacional de Educación “Enrique Guzmán y Valle”.
Al Director y docentes del Colegio Experimental de Aplicación del nivel
secundario del distrito Lurigancho-Chosica, por darme la facilidad y permitir aplicar los
instrumentos y así concretar mi tesis.
Agradezco también a mis queridos padres, hermanos (as) y familiares por sus
orientaciones para hacer realidad la licenciatura y a la vez me motivan para continuar
preparándome personal y profesionalmente.
El autor.
iii
4
Resumen
La investigación titulado, la influencia de la Electro trigonometría en el proceso de
aprendizaje de la trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el colegio experimental de aplicación, Lurigancho – Chosica, teniendo en
cuenta que la Electro trigonometría es un material didáctico y que ha tenido como
propósito determinar la aplicación de la Electro trigonometría acompañado de un
módulo didáctico la mejora del nivel de aprendizaje de las razones trigonométricas, la
circunferencia trigonométrica, las funciones trigonométricas, etc., en los estudiantes del
quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación de
Lurigancho – Chosica. La investigación utilizó el método cuantitativo, es de tipo
aplicada y tecnológica y, diseño cuasi experimental, se trabajó con una muestra de 46
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación de Lurigancho-Chosica, elegidos por conveniencia. Por tanto, puedo afirmar
que por medio de los resultados generales la eficacia del uso de la Electro trigonometría
en el aprendizaje de los temas de trigonometría, las mismas que determinan una
diferencia significativa de un 55% a favor del grupo experimental respecto del grupo
control; esta situación nos permite concluir que la aplicación de la Electro trigonometría
mejora en el aprendizaje de los temas de trigonometría en los estudiantes del quinto
grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación de
Lurigancho-Chosica, Lima.
Palabras clave: Electro trigonometría, aprendizaje de la Trigonometría.
iv
5
Abstract
The research entitled, the influence of Electro trigonometry on the learning process of
trigonometry in the fifth grade students of secondary education in the experimental
college of application, Lurigancho - Chosica, taking into account that Electro
trigonometry is a didactic material and that has had as purpose to determine the
application of the Electro trigonometry accompanied by a didactic module the
improvement of the learning level of the trigonometric reasons, the trigonometric
circumference, the trigonometric functions, etc., in the students of the fifth grade of
secondary education in the Experimental College of Application of Lurigancho -
Chosica. The research used the quantitative method, is applied and technological type
and, quasi-experimental design, we worked with a sample of 46 students of the fifth
grade of secondary education in the Experimental College of Application of
Lurigancho-Chosica, chosen for convenience. Therefore, I can affirm that by means of
the general results the effectiveness of the use of Electro trigonometry in the learning of
trigonometry subjects, the same ones that determine a significant difference of 55% in
favor of the experimental group with respect to the control group; This situation allows
us to conclude that the application of Electro trigonometry improves the learning of
trigonometry subjects in students of the fifth grade of secondary education in the
Experimental College of Application of Lurigancho-Chosica, Lima.
Keywords: Electro trigonometry, Trigonometry learning.
v
6
ÍNDICE
Dedicatoria ii
Agradecimiento iii
Resumen iv
Abstract v
Índice vi
Introducción xi
Capítulo I: Planteamiento del problema
1.1. Determinación del problema 12
1.2. Formulación del problema 13
1.2.1. Problema general 13
1.2.2. Problemas específicos 13
1.3. Objetivos de la investigación 14
1.3.1. Objetivos generales 14
1.3.2. Objetivos específicos 14
1.4. Importancias y alcances 14
1.5. Limitaciones de la investigación 15
Capítulo II: Marco Teórico
2.1. Antecedentes de la investigación 17
2.1.1. A nivel internacional 17
2.1.2. A nivel nacional 19
2.2. Bases teóricas 21
2.2.1. La Trigonometría 21
2.2.1.1. Definición 21
2.2.1.2. Historia de la trigonometría 22
vi
7
2.2.1.3. Aplicaciones de la trigonometría 30
2.2.1.4. La circunferencia trigonométrica 30
2.2.2. La Electro trigonometría 45
2.2.3. Guía Experimental de trigonometría 48
2.2.4. Componentes electrónicos de la Electro trigonometría 54
2.2.5. Dimensiones de la Electro trigonometría 55
2.2.6. Aprendizaje de la matemática 57
2.2.7. Materiales didácticos 61
2.2.8. Teorías sobre el aprendizaje 70
2.3. Definición de términos básicos 78
Capítulo III: Hipótesis y Variables
3.1. Hipótesis 82
3.1.1. Hipótesis general 82
3.1.2. Hipótesis específicos 82
3.2. Variables 83
3.2.1. Variable independiente 83
3.2.2. Variable dependiente 85
3.3. Tipo de investigación 86
3.4. Método de investigación 86
3.5. Diseño metodológico de la investigación 86
3.6. Población y muestra 86
3.7. Técnicas de recolección de datos 87
Capítulo IV: Resultados de la investigación
4.1. Selección, validez y confiabilidad de los instrumentos 88
4.1.1. Selección 88
4.1.2. Validez 88
8
4.1.3. Confiabilidad 90
4.2. Diseño estadístico 94
4.2.1. Prueba de normalidad de los datos 94
4.2.2. Modelo estadístico matemático 96
4.3. Presentación y análisis de los resultados 97
4.3.1. Análisis descriptivo de la influencia de la Electro trigonometría 97
4.3.2. Resultados de la prueba de U de Mann Whitney 102
4.3.3. Prueba de hipótesis 105
4.4. Discusión de los resultados 109
Conclusiones 112
Recomendaciones 113
Referencias 114
Anexos 117
9
Lista de tablas
1. Resultados del pre-test en la muestra piloto. 91
2. Resultados del post-test en la muestra piloto. 92
3. Resultados de Prueba de Normalidad de los Datos en el Grupo Experimental y
Control. 95
4. Comparación de las Medias Aritméticas de la dimensión comunicación
matemática. 97
5. Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión Razonamiento y
demostración. 99
6. Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión Resolución de
problemas. 100
7. Comparación de las medias Aritméticas del aprendizaje de la Trigonometría. 101
8. Prueba de U de Mann Whitney en la Comunicación matemática. 102
9. Prueba de U de Mann Whitney en el Razonamiento y Demostración. 103
10. Prueba de U de Mann Whitney en la Resolución de problemas. 104
11. Prueba de U de Mann Whitney en el Aprendizaje de la Trigonometría. 105
12. Prueba de U de Mann Whitney en el Aprendizaje de la Trigonometría. (Prueba
de hipótesis). 106
13. Prueba de U de Mann Whitney en la Comunicación matemática. (Prueba de
hipótesis). 107
14. Prueba de U de Mann Whitney en el Razonamiento y Demostración. (Prueba de
hipótesis). 108
15. Prueba de U de Mann Whitney en la Resolución de problemas. (Prueba de
hipótesis). 109
10
Lista de figuras
1. Gráfico de Barras de Comparación de las Medias Aritméticas de la comunicación
matemática. 98
2. Gráfico de Barras de Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión
Razonamiento y demostración. 99
3. Gráfico de Barras de Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión
Resolución de problemas. 100
4. Gráfico de Barras de Comparación de las medias Aritméticas del Aprendizaje de
la Trigonometría. 102
11
Introducción
Tomando en consideración los reglamentos internos establecidos por grados y
títulos de la Universidad Nacional de Educación “Enrique Guzmán y Valle”, dejo a
vuestra consideración la presente Tesis titulada; “La Influencia de la Electro
Trigonometría en el Proceso de Aprendizaje de la Trigonometría en los Estudiantes del
Quinto Grado de Educación Secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación,
Lurigancho-Chosica”, de modo que pongo a disposición para la revisión y evaluación
correspondiente.
La finalidad de la presente tesis es determinar la importancia de un material
didáctico concreto, en este caso la Electro trigonometría, para mejorar los contenidos
temáticos de la Trigonometría; tales como la circunferencia trigonométrica, razones
trigonométricas, las funciones trigonométricas, etc., en los estudiantes del Colegio
Experimental de Aplicación de Lurigancho Chosica – Lima.
La investigación es producto de un esfuerzo, dedicación y se espera que sirva de
apoyo a los docentes interesados y a la realización de nuevas investigaciones.
La tesis está estructurada en cuatro capítulos.
Con toda seguridad a pesar de las deficiencias durante el desarrollo de este
trabajo, puedo afirmar que la aplicación de la Electro trigonometría influye
significativamente en el aprendizaje de los ejes temáticos de la Trigonometría en los
estudiantes del Colegio Experimental de Aplicación.
Por tanto, dejo a vuestra consideración a los miembros del Jurado de Grado, el
presente trabajo con el esfuerzo de una formación continua y estoy en el compromiso de
asumir los aportes de mejora.
El autor.
xi
12
Capítulo I
Planteamiento Del Problema
1.1.Determinación Del Problema
El mundo de hoy se mueve con la tecnología de la intercomunicación. Conocer y
aplicarlo debe ser no solo una necesidad, sino una parte importante en su formación
académica de los estudiantes de nuestras Instituciones Educativas, en particular de los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica”, teniendo en cuenta las informaciones recabadas de
la institución educativa, como son: registro auxiliar del 5to grado del año anterior,
versiones a los docentes del uso de materiales didácticos concretos.
Es por ello que en nuestros tiempos se busca los métodos más eficaces y
dinámicos para el proceso de enseñanza – aprendizaje. Al ver el avance tecnológico
que se está dando a nivel nacional e internacional es necesario aprovecharlo ya que los
estudiantes tienen la oportunidad de utilizar nuevos avances. Por lo mismo, creo
conveniente hacer el estudio acerca de la aplicación del material didáctico y en esta
oportunidad con el material denominado “Electro trigonometría”, como material de
aprendizaje que está diseñado para ser utilizado en el proceso de enseñanza-aprendizaje
de los temas del área de trigonometría, pues ha de conocerse de que por ejemplo tratar
el tema de las razones trigonométricas, circunferencia trigonométrica y funciones
trigonométricas en dos o tres de clase es engorroso y, más aun realizar las gráficas de
las mismas, por ende es de prioridad implementar y aplicar nuevos modos de tecnología
para tener una mejor asimilación de los temas y así lograr un aprendizaje significativo
(logro primordial de todas las áreas y matemática no es la excepción).
13
Por eso mismo quiero enfocarme en una herramienta para la enseñanza -
aprendizaje en el área de Matemática, que es la Electro trigonometría, como material
didáctico en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría de los estudiantes del 5to
grado de secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
1.2.Formulación Del Problema
1.2.1. Problema General
¿Cuál es la influencia del uso de la Electro trigonometría en el proceso de aprendizaje
de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el
Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica?
1.2.2. Problemas Específicos
1. ¿Cuál es la influencia del uso de la Electro trigonometría en la comunicación
matemática en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica?
2. ¿Cuál es la influencia del uso de la Electro trigonometría en el razonamiento y
demostración en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes de quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental
de Aplicación, Lurigancho-Chosica?
3. ¿Cuál es la influencia del uso de la Electro trigonometría en la resolución de
problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes de
14
quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación,
Lurigancho-Chosica?
1.3.Objetivos de la Investigación
1.3.1. Objetivos Generales
1. Probar que el uso de la Electro trigonometría, mejora en el proceso de
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
1.3.2. Objetivos Específicos
1. Probar que el uso de la Electro trigonometría mejora en la comunicación
matemática en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
2. Probar que el uso de la Electro trigonometría mejora en el razonamiento y
demostración en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes de quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
3. Probar que el uso de la Electro trigonometría mejora en la resolución de
problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes de quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
1.4.Importancia y Alcances
La Trigonometría es sin duda una materia apasionante, pero si no es presentada
en forma didáctica por los docentes a los estudiantes por primera vez, puede dificultar
15
su aprendizaje, así como a optimizar la enseñanza de la trigonometría haciendo uso de
materiales didácticos.
El aprendizaje de la Trigonometría para todo estudiante de una Institución
Educativa Estatal y no Estatal es dificultoso por lo que se debe dar posibles soluciones,
para lo cual el proyecto a presentar pone en énfasis el uso del material didáctico
“Electro trigonometría” que facilitará la enseñanza de los temas de Trigonometría en el
quinto grado de secundaria.
Según los procesos del aprendizaje deben irse a metodologías que fomenten la
motivación, proporcionando el conocimiento inmediato de la solución así como la
evaluación inmediata de lo realizado. Las posibilidades didácticas que ofrecen los
recursos didácticos y las nuevas aplicaciones que pueden realizarse constituyen un reto
para cualquier docente.
El presente proyecto de investigación está motivada por el deseo de
experimentar una nueva tecnología de enseñanza en los temas de Trigonometría que
permita su aprendizaje de forma individual y colectiva por parte del estudiante, y
permitiéndole dedicarse a aspectos más prácticos.
Se sabe que hay pocos estudios, desarrollados sobre la aplicación del material
didáctico mencionado y diferentes métodos de enseñanza de trigonometría apoyándose
en el uso del recurso didáctico, es importante darle un uso adecuado por parte del
docente así como los estudiantes.
1.5.Limitaciones De La Investigación
Limitación Teórica
Son pocos los estudios que se ha realizado sobre la influencia de la Electro
trigonometría en la enseñanza de la trigonometría en secundaria por lo cual no se podrá
16
alcanzar con gran precisión y exactitud deseadas por esta investigación, que sirva como
base para los estudios posteriores.
Limitación Temporal
El tiempo durante el cual se ejecutó el proyecto de investigación ha permitido
obtener datos solo el último trimestre del año 2015, por ser una investigación
transversal.
Limitación Metodológica
Al ser una investigación aplicada solo a una institución educativa tiene
dificultades para ser generalizada. Del mismo modo el resultado de los datos es en base
de la sinceridad y estado de ánimo de los evaluados.
Limitación de Recursos
En muchas de las instituciones públicas los docentes no confían todavía en los
buenos resultados lo que no es frecuente el uso de materiales didácticos y a la vez
porque requiere tiempo para su elaboración.
Los recursos económicos al inicio de la investigación eran autofinanciadas, pero
posteriormente fueron apoyadas por la bolsa de investigación de la Universidad
Nacional de Educación “Enrique Guzmán y Valle”.
17
Capítulo II
Marco Teórico
2.1. Antecedentes De La Investigación
2.1.1. A Nivel Internacional
Fernández, (2008) en el trabajo de investigación titulado “Utilización del material
didáctico, con recursos de ajedrez, para la enseñanza de las matemáticas. Estudio
de sus efectos sobre una muestra de alumnos del 2° de primaria”, desarrollada en la
Universidad Autónoma de Barcelona – España, para optar el grado de doctorado,
trabajó con un modelo cuasi experimental, con el método cuantitativo (test) y
cualitativo (cuestionario).
Concluye: El material didáctico lúdico – manipulativo para la enseñanza de la
matemática utilizando recursos de ajedrez mejora el rendimiento académico
(factores de razonamiento lógico IR y cálculo numérico IN) y en la satisfacción de
los usuarios (estudiantes, docentes y equipos directivos).
Comentario: El tipo de razonamiento que se utiliza en el ajedrez es el mismo que se
utiliza en las matemáticas, debido que la lógica es la teoría de pensar. Se sabe que la
matemática es una ciencia puramente formal, y lo podemos comparar con el ajedrez,
los elementos primitivos en el ajedrez son las 32 piezas y el tablero, los axiomas son
las descripciones de los movimientos no son evidentes, no son ni verdaderos ni
falsos, son así y se aceptan sin discutir, de modo que, las reglas de juego constituyen
la lógica de la ciencia.
Suárez, (2004) en su trabajo de investigación denominado “Guía didáctica para el
inter-aprendizaje de trigonometría básica empleando poliprisma en el primer año
de bachillerato de la especialidad de física y matemática de colegio nacional
18
Teodoro Gómez de la Torre”, trabajo de grado previo al de magister, desarrollada
en la Universidad Técnica del Norte de Ecuador, utilizó el método cualitativo, con
diseño no experimental.
Concluye: La propuesta de inter-aprendizaje de la trigonometría básica representa
un aporte significativo que ayudó a mejorar el proceso de aprendizaje en la
asignatura.
Comentario: De acuerdo a la información recabada el poliprisma ayuda
principalmente al desarrollo de destrezas cognitivas (imaginar, crear e inventar),
destrezas psicomotrices (manipular y ensamblar) y también ayuda al desarrollo de
destrezas sociales, aprendizaje y estudio. Esto nos motiva a no abuzar de la
exposición verbal y el pizarrón para la enseñanza de la trigonometría, sino también
otros recursos didácticos que debemos en el mejor de los casos diseñarlos y
construirlos.
García, (2001) en su trabajo de investigación titulado “Representación electrónica
de la funciones de seno y coseno”, publicado en la revista Ciencias de Colombia,
donde utilizó el método cuantitativo.
Concluye: Este trabajo de investigación sirve para comprender un poco más la
teoría de la física electrónica, el manejo de los circuitos en serie y paralelo a su
aplicación en electrónica; es así que haciendo uso de ella logró una representación
electrónica de las funciones seno y coseno lo cual permitirá al estudiante interpretar,
con más claridad las propiedades de las funciones seno y coseno.
Comentario: Trabajos como éste permite al docente lograr una clase con
aprendizajes significativos, sabemos que la trigonometría como rama fundamental
de la matemática se basa en el estudio de los triángulos y la relación que hay entre
los lados de los mismos, así también de las funciones trigonométricas tales como el
19
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; graficar estas funciones
trigonométricas en el pizarrón resulta engorrosa y la gráfica puede quedar no tan
precisa, haciendo que el estudiante pierda el interés y la atención al tema que se está
desarrollando, debido a que esta gráfica no tiene movimiento. Una forma de corregir
esta falencia es implementar innovaciones pedagógicas que permitan desarrollar una
clase de matemática más dinámica, interesante y concreta.
2.1.2. A Nivel Nacional
Vílchez, (2007) en su trabajo de investigación titulado “Modelo de enseñanza modular
personalizada de funciones trigonométricas en el quinto grado de educación
secundaria” , trabajo que permitió optar el Grado Académico de Doctor en Educación,
desarrollada en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, donde se aplicó un
diseño cuasi experimental, método cuantitativo.
Concluye: Se tiene un material de trabajo que permite la interacción directa entre el
docente y estudiante, facilitando el desarrollo de capacidades de intuición, de
abstracción y de razonamiento, relacionando con situaciones reales y con aplicaciones
en la solución de problemas, propiciando el aprendizaje personalizado, poniéndose en
práctica los procedimientos activos para el aprendizaje paradigmas de la educación
actual.
Comentario: El objetivo fundamental en la enseñanza de la matemática en el nivel
secundario es hacer que los estudiantes desarrollen capacidades de intuición,
abstracción y de razonamiento lógico – matemático que se expresa en el conocimiento
de los conceptos y propiedades, su disposición para aplicarlos en la resolución de
problemas diversos de su entorno.
20
Chaca & Otros, (2008) en su investigación denominada “El geo-plano como material
didáctico en el aprendizaje de áreas de figuras planas en los alumnos del primer grado
de secundaria en la I.E. Politécnico Regional del Centro – Huancayo” con la finalidad
de optar el título de Licenciado, donde aplicó el método cuantitativo, con diseño cuasi
experimental.
Concluye: El uso del geo-plano como material didáctico en el proceso de enseñanza
aprendizaje de simetrías de figuras geométricas eleva significativamente el rendimiento
académico de los alumnos con una probabilidad de error de 0,5 y 95% de certeza.
Por lo tanto, es factible la enseñanza aprendizaje de la simetría de figuras geométricas a
través del uso del geo-plano como material didáctico propuesto, en los alumnos del primer
grado, porque se incrementa las puntuaciones de 8,00 a 15,00.
Comentario: Todo material didáctico debe facilitar el proceso de enseñanza –
aprendizaje, por lo tanto es necesario que estén presentes en el proceso de adquisición
de conceptos que han de formarse en el estudiante; es así que la enseñanza de la
matemática debe partir de la manipulación de objetos, para ello es necesario que el
docente se preocupe en preparar material didáctico adecuado para el desarrollo de los
temas.
De La Cruz, (2011) en su trabajo de investigación denominado “La influencia de la
Electrigosam en el proceso de aprendizaje de las funciones trigonométricas en los
estudiantes del quinto de secundaria de la institución educativa “Santiago Antúnez de
Mayolo”, Colcabamba-Huancavelica”, con la finalidad de optar el grado de magíster,
con diseño cuasi experimental.
Concluye: que el material elaborado junto con los estudiantes tiene una efectividad de
un 95% favorable en el proceso de aprendizaje de los estudiantes examinados.
21
Comentario: Todo material didáctico tiene como objetivo mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje, es así que el material didáctico denominado Electrigosam es
eficiente para poder llegar a la asimilación de los estudiantes, los temas de
trigonometría. Del mismo modo, constato que la participación activa en grupo genera y
desarrolla habilidades sociales, lo cual hace que se lleven de una forma más amical y
que ayude a formarse ciudadanos de bien.
2.2. Bases Teóricas
2.2.1. La Trigonometría
2.2.1.1. Definición
Etimológicamente trigonometría significa “medida de los triángulos”. La
trigonometría es una rama de la matemática que se encarga de estudiar las relaciones
entre los lados y los ángulos de los triángulos, así como de las características y
aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. En términos generales, la
trigonometría se subdivide en:
a) Trigonometría plana, que estudia las figuras contenidas en un plano.
b) Trigonometría esférica, que estudia el establecimiento de las propiedades y
relaciones que satisfacen los elementos de triángulos definidos en la superficie de
una esfera mediante arcos de círculos máximos, así como de la resolución de los
mismos.
A partir de una revisión de conceptos y relaciones de la trigonometría plana para
su aplicación en problemas concretos de navegación y geodesia, se introducen los
principales conceptos de la geometría de la esfera para pasar posteriormente a hacer
una comparación entre las geometrías de la esfera y del plano e introducir el
concepto de triángulo esférico, sus elementos y las principales expresiones que
22
relacionan entre sí dichos elementos. Considerando la superficie de la Tierra como
una esfera, se introducen conceptos geodésicos (como meridiano, paralelo, polos,
latitud y longitud), de Astronomía (como los sistemas de coordenadas astronómicos
horizontal, ecuatorial horario y ecuatorial absoluto) y de navegación (como rumbo
y derrota) y se plantean diversos problemas de navegación y de Astronomía de
posición para cuya resolución se utilizarán triángulos esféricos.
Finalmente, y considerando el elipsoide como aproximación de la figura de la
Tierra, se presenta el sistema de coordenadas geodésico que permite fijar la
posición de un observador sobre la superficie terrestre.
2.2.1.2. Historia de la Trigonometría
La trigonometría actual sus cimientos ha de estar en la terminología
denominada, la trigonometría primitiva, lo cual se debe a que como cualquier
rama de la matemática, la trigonometría no fue el resultado de la labor de un solo
hombre ni una única nación. Por historia, los antiguos griegos y babilonios conocían
y habían utilizado propiedades o teoremas relativos a las razones entre los lados de
triángulos semejantes, sin formularlos de manera explícita. Dado que no nos
encontramos con ningún indicio del concepto de medida de ángulos en el mundo
prehelénico, tales estudios y consideraciones podrían quizá llamarse
“trilaterometría” o medida de los polígonos de tres lados o trilateros, mejor que
“trigonometría” o medida de las distintas partes de un triángulo. Las propiedades de
las cuerdas, tomadas como medidas de ángulos centrales e inscritos en una
circunferencia, les eran familiares ya a los griegos de la época de Hipócrates, y es
posible que Eudoxo haya usado razones y este tipo de medidas de ángulos para
determinar el tamaño de la Tierra y las distancias relativas del Sol y de la Luna. Las
23
proposiciones II.12 y II.13 de los Elementos, por ejemplo expresan el teorema del
coseno para ángulos obtusos y agudos respectivamente, en un lenguaje geométrico
más bien que trigonométrico, y se demuestra por un método análogo al que ha
utilizado Euclides en conexión con el teorema de Pitágoras.
Según la referencia de Arquímedes y Plutarco, Aristarco de Samos propuso un
sistema astronómico heliocéntrico, anticipándose de alguna manera a Copérnico un
milenio y medio, pero lo cierto es que este escrito se ha perdido. Lo que si se ha
podido rescatar es el tratado Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna (en
torno al 260 a.C.), en el que se supone su universo geocéntrico. Además, en dicha
obra Aristarco hace la observación de que cuando la Luna esta exactamente medio
llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del Sol y la visual dirigida al centro
de la Luna es menor que un ángulo recto en un treintavo de cuadrante.
Eratóstenes había nacido en Cirene, pero paso la mayor parte de su juventud en
Atenas, donde consiguió al parecer destacar en muy diversos campos: poesía,
astronomía, historia, etc., hasta que fue llamado a Alejandría hacia la mitad de su
vida, por Ptolomeo III Filopator para ser tutor de su hijo (más tarde Ptolomeo
Filadelfo) y a la vez desempeñar el cargo de bibliotecario de la universidad de dicha
ciudad. Entre muchas de sus curiosidades Eratóstenes observo que el día del
solsticio de verano a mediodía el Sol alumbraba directamente en vertical el fondo de
un pozo muy profundo en la localidad de Syena (próxima a la actual Assuan),
mientras que al mismo tiempo en Alejandría situada aproximadamente en el mismo
meridiano y 5000 estadios al norte de Syena, el Sol proyectaba una sombra que
indicaba que la distancia angular del Sol al cenit era de un cincuentavo de un circulo
completo. Debido a la gran cantidad de campos de conocimiento que cultivó,
Eratóstenes es bien conocido en la matemática también por la “criba de
24
Eratóstenes”, un método sistemático para ir aislando progresivamente los números
primos.
Probablemente la segunda mitad del siglo II a.C., todo parece indicar que fue
compuesta la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de
Nicea (ca. 180-ca. 125 a.C.), pues fue gracias a la atribución que fue merecer de ser
conocido como “el padre de la trigonometría”. La figura de Hiparco es una figura de
transición entre la astronomía babilónica y la obra de Ptolomeo. Las contribuciones
principales que se atribuyen a Hiparco en el campo de la astronomía fueron la de
organizar y ordenar los datos empíricos obtenidos de los babilonios, la de redactar
un catálogo de estrellas, la de mejorar el cálculo de algunas constantes astronómicas
importantes, tales como la duración del mes y del año, el tamaño de la Luna y el
ángulo de oblicuidad de la elíptica, y por último el descubrimiento del fenómeno de
la precesión de los equinoccios.
Debido a los comentarios de los griegos tardíos y árabes se hace mención
algunas obras astronómicas y matemáticas de Menelao de Alejandría, entre los que
se encuentra unos Elementos de Geometría, la única que sobrevivió y en la versión
árabe su Esférica. En el libro I de este tratado según se detalla es que Menelao
establece las bases para un estudio de los triángulos esféricos análogo al que hace
Euclides en su libro I para los triángulos planos. En su último libro III contiene el
famoso “teorema de Menelao”, formando parte de lo que esencialmente es
trigonometría esférica en la forma típica griega, es decir, como una geometría o
trigonometría de cuerdas en un círculo.
Se referencia que Ptolomeo hizo observaciones astronómicas en Alejandría del
año 127 al 151, por lo que se puede suponer que habría nacido hacia finales del siglo
I. según Suidas, un escritor que vivió en el siglo X, hace de conocimiento de que
25
Ptolomeo vivía aun durante el reinado de Marco Aurelio, que fue emperador del año
161 al 180. Se cuenta de que el Almagesto de Ptolomeo ha resistido los estragos del
tiempo, no solo sus tablas trigonométricas, sino también de una explicación de los
métodos utilizados en su construcción. En el cálculo de las cuerdas por Ptolomeo
desempeño un papel central, una proposición geométrica que se conoce todavía
como “teorema de Ptolomeo”: si ABCD es un cuadrilátero convexo inscrito en una
circunferencia, entonces AB.CD + BC.DA=AC.BD.
Parece ser que la división de la circunferencia en el conocido círculo de 360
grados se utilizaba ya en Grecia desde la época de Hiparco, aunque se desconoce
cómo surgió exactamente esta idea. Es posible que la medida de los 360 grados
fuera tomada de la astronomía, donde el zodiaco había sido dividido en doce
“signos” o 36 “decanes”. En ciclo completo de las estaciones, con una duración
aproximada de unos 360 días se podía hacer corresponder fácilmente con el sistema
de los signos del zodiaco y de los decanes, dividiendo cada signo en 30 partes o
cada decane en 10 partes. Lo más reconocible y natural es que Ptolomeo
subdividiera sus grados en 60 “partes minutae primae”, y cada una de ellas en 60
“partes minutae secundae”, etc., y es precisamente de estas expresiones latinas que
utilizaron los traductores de las que se derivaron más tarde nuestros términos
“minuto” y “segundo”. También fue el sistema sexagesimal sin duda el que sugirió a
Ptolomeo el hecho de dividir el diámetro de su círculo trigonométrico en 120 partes,
26
cada una de las cuales estaba subdividida en 60 minutos y cada minuto de longitud a
su vez en 60 segundos de longitud. De hecho, siempre que los matemáticos o
astrónomos de la antigüedad querían utilizar un sistema preciso de aproximación,
recurrían a la escala sexagesimal para tratar las fracciones, y esta costumbre condujo
a las expresiones “fracciones de los astrónomos” y “fracciones de los físicos” para
distinguir las fracciones sexagesimales de las fracciones ordinarias.
A lo que refiere el autor sobre el cálculo de las tablas, es que Ptolomeo, más
allá de clarificar de que el radio del circulo de referencia media 60 partes, la cuerda
de un arco de... contenía también 60 partes lineales, prefirió retrasar la aplicación de
esta fórmula y se dedicó en cambio a calcular en primer lugar las cuerdas de 30° y
de 72°. Para ello realizo un teorema de Euclides, el Elementos XIII.9, en el que
demuestra que los lados del pentágono regular, del hexágono regular y del decágono
regular inscritos en una misma circunferencia, forman un triángulo rectángulo. De
una manera accidental, este teorema de Euclides nos proporciona la justificación de
la elegante construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia dada
por Ptolomeo.
Respecto a la astronomía de Ptolomeo, se puede mencionar que postulo un
universo esencialmente geocéntrico, debido al hecho de que una tierra en
movimiento parecía dar lugar a graves dificultades, tales como la ausencia de
paralaje estelar apreciable y las aparentes inconsistentes de un teórico movimiento
de la Tierra con los fenómenos de la dinámica terrestre. En comparación con estos
problemas, el carácter inverosímil de la inmensa velocidad que se requeriría para
que la esfera de las estrellas “fijas” girase alrededor de la Tierra, parecía reducirse a
algo insignificante. El sistema ptolemaico, además de mostrarse muy de acuerdo con
el sentido común, tenía la ventaja de poder representarse con gran facilidad. Los
27
planetarios, por ejemplo, se construyen como si el universo fuera geocéntrico,
puesto que de esta forma los movimientos aparentes de los astros se reproducen más
fácilmente.
El Almagesto, que fue de gran utilidad para los astrónomos y la Geografía, para
los geógrafos de la época. Se encuentra también otras obras de Ptolomeo como; el
Analemma, donde se explica la proyección cartográfica, es en donde la
transformación de la superficie esférica en un plano, en la que los puntos de la
superficie esférica se proyectan ortogonalmente sobre tres planos perpendiculares
entre sí y, el Planisferio, que describe la proyección estereográfica, en la que los
puntos de la superficie esférica se proyectan sobre un plano desde uno de los polos
de la esfera; en el caso concreto de Ptolomeo, desde el polo Sur y sobre el plano del
Ecuador.
Ptolomeo también ha escrito un tratado denominado la óptica, aunque de una
manera imperfecta, a través de la versión latina de una traducción árabe. Dicha obra
trata de la física y de la psicología de la visión, de la geometría de los espejos y de
un primitivo intento de deducir las leyes de la refracción. Además, ha escrito el
Terabiblos (o Quadripartitum) que muestra un aspecto importante de la sabiduría
antigua que se suele pasar por alto, el libro representa un tipo completamente
distinto de religión sideral al que sucumbió en gran parte el mundo antiguo. El
Terabiblos se diferencia del Almagesto no solo en el sentido en que la astrología se
diferencia de la astronomía, sino que estas dos obras utilizan también tipos de
matemática diferentes. El Almagesto es un libro complejo y sólidamente
fundamentado que hace un uso minucioso de la clásica geométrica sintética griega,
mientras que el Terabiblos es un caso típico de seudociencia de la época en que se
adoptaron los primitivos artificios aritméticos babilónicos. Por último, el Terabiblos
28
pone en manifiesto que la mayor parte del pueblo en general estaba más interesada
en los cálculos puramente aritméticos que en el pensamiento racional.
A Herón de Alejandría se le conoce en la historia de la aritmética sobre todo por
la fórmula que lleva su nombre, y que nos da el área de un triángulo:
𝐾 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
Donde a, b y c son los lados del triángulo y s el semiperimetro. Los traductores
árabes nos dicen que esta “formula de Herón” la conocía ya Arquímedes, quien sin
duda debía disponer, si es cierto, de una demostración de la misma. La obra de
Herón, sin embrago, nos muestra claramente que no toda la matemática griega era
del tipo “clásico”. Hubo dos niveles, evidentemente, en el estudio de las
configuraciones geométricas, comparables a la separación dual que también se hacía
en el contexto de los números entre la aritmética propiamente dicha o teoría de
números y la logística o estudio de las técnicas de computación, y uno de estos dos
niveles, eminentemente racional, podría conocérsele como geometría propiamente
dicha, mientras que el otro, decididamente practico, merecerá más bien ser llamado
geodesia. El abismo que separa la geometría clásica de las técnicas de medida de
Herón puede ilustrarse con toda claridad por medio de algunos de los problemas que
plantea y resuelve Herón en otra de sus obras, la Geometría. Uno de estos
problemas pide calcular el diámetro, perímetro y el área de un círculo, dada la suma
de las tres magnitudes. Además Herón prestaba tan poca atención a la posible
unicidad de la solución como a la dimensionalidad de sus magnitudes.
Respecto al principio de la mínima distancia, se puede mencionar que Herón
estaba interesado en las medidas numéricas bajo todas sus formas, y así en óptica y
en mecánica lo mismo que en geodesia. La ley de la reflexión de la luz ya la
conocían Euclides y Aristóteles, pero Herón parece haber sido el primero que
29
demostró por medio de un sencillo razonamiento geométrico, en una obra sobre
Catóptrica o estudio de la reflexión, que la igualdad de los ángulos de incidencia y
de reflexión es una simple consecuencia del principio filosófico de Aristóteles de
que la naturaleza procede siempre de las manera más sencilla o “económica”. La
historia de la ciencia recuerda a Herón como inventor de diversos aparatos, entre
ellos un tipo primitivo de máquina de vapor que aparece descrita en la Neumática,
de un precursor de nuestro termómetro moderno, así como de diversos juguetes y
artificios mecánicos basados en las propiedades de los líquidos y los gases y en las
leyes de las maquinas simples. Herón propone en su Mecánica una ley astuta pero
incorrecta para la maquina simple cuyo principio se le había escapado incluso al
gran Arquímedes, el plano inclinado. También se asocia su nombre al llamado
“algoritmo de Herón” para el cálculo de raíces cuadradas, pero su método iterado se
debe en realidad a los babilonios 2000 años anteriores a él.
En tanto sobre el declinar de la matemática griega a propósito en los siglos de
confrontación en los descubrimientos del conocimiento matemático fueron testigos
del desarrollo inicial de la trigonometría, pero esta materia que ahora forma parte de
la matemática pura era entonces, en el mejor de los casos, una aplicación de la
geometría elemental a las técnicas de medición, que respondía a las necesidades de
la astronomía. De modo que en cualquier caso, la época durante la que surgieron a
un primer plano la trigonometría y las técnicas de medida se caracterizó por una
decidida ausencia de progreso, si no por una franca decadencia.
30
2.2.1.3. Aplicaciones de la Trigonometría
1. Aplicaciones de la trigonometría plana a la navegación y Geodesia
Los conceptos y relaciones de la trigonometría planas presentadas en la sección
anterior se pueden aplicar a problemas concretos de navegación y geodesia, entre los
que podemos citar:
a) La determinación de la distancia de un punto a un objeto inaccesible,
conociendo una distancia base y midiendo dos ángulos.
b) La determinación de la altura de un objeto sobre una base inaccesible y de
altura desconocida (por ejemplo, la altura de una torre en una colina),
midiendo desde dos puntos, cuya distancia es conocida, los ángulos que
forman con la horizontal los puntos inferior y superior del objeto.
c) El problema de Snellius–Pothenot, en el que se determina la distancia de un
punto M a tres puntos a partir de la distancia entre estos tres puntos y de las
medidas angulares efectuadas desde ellos a M.
d) El problema de Hansen, en el que se determina, conocida la distancia entre
dos puntos A1 y A2, la distancia entre dos puntos M y M´ y las distancias de
estos a A1 y A2; para ello se utilizan las medidas angulares efectuadas desde
estos dos puntos a los puntos M y M′.
e) El principio de triangulación para la medida de un arco de meridiano,
aplicando el teorema del seno a una cadena de triángulos, estando los
vértices de dichos triángulos situados a ambos lados de un segmento de
meridiano.
2.2.1.4. La Circunferencia Trigonométrica
1. Definición, Elementos y Propiedades
a. Definición
31
Es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas
rectangulares cuyo centro coincide con el origen de dicho sistema, esta
circunferencia tiene como característica fundamental, el valor de dicho
radio es la UNIDAD (R=1).
Esta circunferencia trigonométrica sirve para representar a las líneas
trigonométricas.
Nota:
La ecuación: “𝑥2 + 𝑦2 = 1” es la ecuación canónica de la circunferencia
de R=1 y centro O (0; 0).
b. Elementos de la circunferencia
Se tiene los siguientes elementos:
i. O (0; 0): Origen de la circunferencia.
ii. A (1; 0): Origen de arcos, a partir del cual se miden los ángulos
trigonométricos, es decir, ángulos positivos, negativos y de
cualquier magnitud.
iii. B (0; 1): Origen de complementos.
iv. A´ (-1; 0): Origen de suplementos.
32
v. B´ (0; -1): Sin denominación específica. P (x; y): Punto “P” de
coordenadas (x; y).
c. Propiedades convencionales
a) Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD.
b) Cuatro cuadrantes numerados, cada uno de los cuales mide
90°, 100g o 𝜋 2⁄ rad.
c) Se adoptan los signos de los ejes coordenadas, es decir, los
segmentos OA y OB son positivos OA´ y OB´ son
negativos.
d. Características de la circunferencia trigonométrica
Por fórmula:
𝜃=𝐿
𝑅; R = 1
𝜃=𝐿
1; 𝜃 = L
(Solo se cumple numéricamente)
“Es decir, que el número de radianes del ángulo central es igual a la
longitud del arco, pero solo como arco numérico”.
33
2. Líneas Trigonométricas
a. Línea seno
Representación:
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco,
hacia el diámetro horizontal.
OQP: Sen 𝜃= PQ
OP =
y
1 En el
Sen 𝜃= y
De la figura: Sen AP = Sen 𝜃 = PQ = y
Análisis de la línea seno
Valores cuadrantales
0° 90° 180° 270° 360°
Sen 0 1 0 -1 0
-1 ≤ 𝑺𝒆𝒏𝜶 ≤ 1
34
Variación cuadrantal
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 0 a 1 Creciente (+)
Q2 1 a 0 Decreciente (+)
Q3 0 a -1 Decreciente (-)
Q4 -1 a 0 Creciente (-)
b. Línea coseno
Representación:
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia
el diámetro vertical.
PNO: Cos 𝜃= NP
OP =
X
1 En el
Cos 𝜃= y
De la figura: Cos AP = Cos 𝜃 = NP = x
Análisis de la línea coseno
-1 ≤ 𝑪𝒐𝒔𝜶 ≤ 1
35
Valores cuadrantales
Variación cuadrantal
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 1 a 0 Decreciente (+)
Q2 0 a -1 Decreciente (-)
Q3 -1 a 0 Creciente (-)
Q4 0 a 1 Creciente (+)
c. Línea tangente
Representación:
Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos
A (1; 0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección
de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el
extremo del arco.
TAO: Tg 𝜃= AT
OA =
𝑌1
1 En el
Tg 𝜃= y1
De la figura: Tg AP = Tg 𝜃 = AT = y1
0° 90° 180° 270° 360°
Cos 1 0 -1 0 1
36
Análisis de la línea tangente
Valores cuadrantales
Variación cuadrantal
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 0 a +∝ Creciente (+)
Q2 -∝ a 0 Creciente (-)
Q3 0 a +∝ Creciente (+)
Q4 −∝ a 0 Creciente (-)
d. Línea cotangente
0° 90° 180° 270° 360°
Tg 0 ∄ 0 ∄ 0
-∝ < 𝑻𝒈𝜶 < +∝
37
Representación:
Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de
complementos B (1; 0), se empieza a medir de este origen y termina en la
intersección de la tangente mencionada con el radio prolongado que pasa
por el extremo del arco.
TAO: Cotg 𝜃= BT
BO =
𝑋1
1 En el
Cotg 𝜃= x1
De la figura: Cotg AP = Cotg 𝜃 = BT = x1
Análisis de la línea cotangente
Valores cuadrantales
Variación cuadrantal
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 +∝ a 0 Decreciente (+)
0° 90° 180° 270° 360°
Cotg ∄ 0 ∄ 0 ∄
-∝ < 𝑪𝒐𝒕𝒈𝜶 < +∝
38
Q2 0 a -∝ Decreciente (-)
Q3 +∝ a 0 Decreciente (+)
Q4 0 a -∝ Decreciente (-)
e. Línea secante
Representación:
Es una parte del diámetro prolongado por el origen de arco, se
empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la
intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada
por el extremo del arco.
OPT: Sec 𝜃= OT
OP =
𝑋2
1 En el
Sec 𝜃= x2
De la figura: Sec AP = Sec 𝜃 = OT = x2
Análisis de la línea secante
𝑺𝒆𝒄 𝜶 ≤ −𝟏 ∪ 𝑺𝒆𝒄 𝜶 ≥ 𝟏
39
Valores cuadrantales
Variación cuadrantal
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 1 a +∝ Creciente (+)
Q2 -∝ a -1 Creciente (-)
Q3 -1 a -∝ Decreciente (-)
Q4 +∝ a 1 Decreciente (+)
f. Línea cosecante
Es una parte del diámetro prolongado que pasa
por el origen de complementos, se empieza a
medir del centro de la circunferencia y termina
en la intersección del diámetro prolongado con
la tangente geométrica trazada por el extremo
del arco.
OPT: Cosec 𝜃= OT
OP =
𝑌2
1 En el
Cosec 𝜃= y2
De la figura: Cosec AP=Cosec 𝜃=OT= y2
0° 90° 180° 270° 360°
Sec 1 ∄ -1 ∄ 1
40
Análisis de la línea cosecante
Valores cuadrantales
Variación cuadrantal
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 +∝ a 1 Decreciente (+)
Q2 1 a +∝ Creciente (+)
Q3 -∝ a -1 Creciente (-)
Q4 -1 a -∝ Decreciente (-)
0° 90° 180° 270° 360°
Cosec ∄ 1 ∄ -1 ∄
𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜶 ≤ −𝟏 ∪ 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜶 ≥ 𝟏
41
3. Graficas de las funciones trigonométricas
1. Función Seno: f(x)=sen(x)
Dominio:
Recorrido: [-1,1]
Periodo: 2 rad
Continuidad: continua en x
Creciente en: 3 5... , , ...2 2 2 2
Decreciente en: 3 5 7... , , ...2 2 2 2
Máximos: (𝜋 2⁄ + 2𝜋. 𝑘2⁄ , 1) k ϵ
Minimos: (3𝜋2⁄ + 2𝜋. 𝑘
2⁄ , −1) k ϵ
Impar: sen (-x)= -sen x
Cortes con el eje OX: x= {0+ 𝜋.k}
2. Función Coseno: f(x)=cos(x)
Dominio:
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
42
Recorrido: [-1,1]
Periodo: 2 rad
Continuidad: continua en x
Creciente en: ... (-𝜋,0) ( 𝜋,2 𝜋) ...
Decreciente en: ... (0, 𝜋) ( 2𝜋,3𝜋) ...
Máximos: (2𝜋. 𝑘, 1) k ϵ
Mínimos: (𝜋(2𝑘 + 1), −1) k ϵ
Par: cos (-x)= cos x
Cortes con el eje OX: x= {𝜋2⁄ + k}
3. Función Tangente: f(x)=tg(x)
Dominio: - {(2k+1).𝜋 2⁄ , k ∈ } = - {..., -𝜋2⁄ , 𝜋 2⁄ , 3𝜋
2⁄ ,...}
Recorrido:
Periodo: 𝜋rad
Continuidad: continua en x - {(𝜋2⁄ + 𝜋.k)}
Creciente en:
Máximos: No tiene
Mínimos: No tiene
Impar: tg (-x)= -tg x
Cortes con el eje OX: x= {0+ 𝜋.k}
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
43
4. Función Cotangente: f(x)=ctg(x)
Dominio: - {𝜋.k, k ∈ } = - {..., - 𝜋 , 0, 𝜋,...}
Recorrido:
Periodo: 𝜋rad
Continuidad: continua en x ∈ - {𝜋.k, k ∈ }
Decreciente en:
Máximos: No tiene
Mínimos: No tiene
Impar: cotg (-x)= - cotg (x)
Cortes con el eje OX: x= {𝜋2⁄ + k}
5. Función Secante: f(x)=sec(x)
Dominio: - {(2k + 1).𝜋 2⁄ , k∈ } = - {..., -𝜋2⁄ , 𝜋 2⁄ , 3𝜋
2⁄ ,...}
Recorrido: <- ,-1] ∪ [1, >
Periodo: 2 rad
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
44
Continuidad: continua en x -{(𝜋2⁄ + 𝜋. 𝑘)}
Creciente en: ... ∪(0, 𝜋 2⁄ ) ∪ (𝜋 2⁄ , 𝜋) ∪...
Decreciente en: ... ∪( 𝜋, 3𝜋2⁄ ) ∪ (3𝜋
2⁄ , 2𝜋) ∪...
Máximos: (2𝜋𝑘, −1) k ϵ
Mínimos: (𝜋(2𝑘 + 1), −1) k ϵ
Impar: sec (-x)= sec x
Cortes con el eje OX: no corta
6. Función Cosecante: f(x)=csc(x)
Dominio: - {𝜋. 𝑘, k ϵ } = {..., - 𝜋 , 0, 𝜋,...}
Recorrido: <- ,-1] ∪ [1, >
Periodo: 2 rad
Continuidad: continua en x - { 𝜋. 𝑘, k ϵ }
Creciente en: ...... ∪(𝜋2⁄ , 𝜋) ∪ (𝜋, 3𝜋
2⁄ ) ∪...
Decreciente en: ... ∪(0, 𝜋 2⁄ ) ∪ (3𝜋2⁄ , 2𝜋) ∪...
Máximos: (3𝜋2⁄ + 2𝜋. 𝑘, −1) k ϵ
Mínimos: (𝜋 2⁄ + 2𝜋. 𝑘, −1) k ϵ
Impar: csc (-x)= -csc x
Cortes con el eje OX: No corta
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
45
Gráfica de las 6 razones trigonométricas
2.2.2. La Electro trigonometría
a) Materiales para su construcción
Para la elaboración del Electro trigonometría se utilizaron los siguientes materiales:
Triplay o mapresa de 120 x 80 cm
Plumones indelebles de puntas F, S y M de colores rojo, negro, azul y verde.
Reglas de 1m, 60cm y 30cm
Juego de escuadras de 30cm
Transportador
Pintura látex color celeste
Compás
Calculadora científica
Seis juegos 35 led de color rojo, verde, amarillo, anaranjado, lila y azul.
5m de cable sólido delgado de color rojo, verde, azul, amarillo, lila, marrón.
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
46
30m de cable sólido delgado de color negro
Pistola de soldar
5m de Estaño
Pasta de soldar
6 Interruptores
Cargador múltiple de celulares.
Cinta aislante.
Para el docente el presente material sirve como apoyo en el trabajo en aula y los
estudiantes prestan atención por la diversidad de colores que tiene, únicamente se
construyó una Electro trigonometría.
b) Construcción de la Electro trigonometría
Para la construcción de la Electro trigonometría se siguió los pasos que a
continuación detallo:
1. Se procedió a cortar el triplay del 120 x 80cm, se mandó a hacer sus marcos y en
seguida a pintarlo de color celeste.
2. Se dividió el triplay en dos partes la primera de 35cm y la otra de 85cm, en la
primera parte se procedió a dibujar con ayuda de los plumones indelebles, las
reglas y el juego de escuadras, el plano cartesiano de 30cm de cada eje y con la
ayuda de un compás se graficó una circunferencia de radio 15 cm con centro en
el origen de coordenadas, en seguida con el transportador dividimos la
circunferencia en longitud de arcos de 15° en 15°.
En la segunda parte dibujamos el plano cartesiano cuyo dominio está
formado por los ángulos desde 0° hasta 360°, compartidos en cuatro cuadrantes
47
tales como de 0° a 90°, de 90° a 180°, de 180° a 270° y de 270° a 360°, que a su
vez han sido divididos en partes iguales de 15° en 15°. Por otro lado el eje de las
ordenadas van desde 2 hasta -2, siendo la unidad de 15cm.
3. Haciendo uso de las razones trigonométricas de ángulos notables hallamos los
valores respectivos para el seno de 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° 90°, 105°, 120°,
135°, 150°, 165°, 180° y así sucesivamente en los cuadrantes restantes; haciendo
uso de la proporcionalidad los ubicamos estos valores en el plano cartesiano y en
cada punto hacemos dos orificios, de tal manera que pueda entrar el led;
hacemos lo propio para el coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
4. En la circunferencia hacemos los orificios para las líneas trigonométricas del
seno, coseno, tangente, cotangente del ángulo de 45°, para la línea cosecante se
hicieron los orificios para el ángulo de 60° y en el caso de la secante para el
ángulo de 30°.
5. Colocamos los led en todos los puntos de la línea y función seno, teniendo en
cuenta el ánodo (+) y cátodo (-), el lado positivo estará representado por el cable
sólido de color rojo y el negativo por el cable de color negro. Punto a punto en
forma continua vamos soldando, teniendo cuidado de aislar con la silicona el
ánodo del cátodo.
6. Realizamos el paso 5° para las funciones y líneas correspondientes al coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante; escogiendo un color de led, cable (+)
por cada función y el cable negro para el conducto negativo en todos los casos.
7. Finalmente conectamos cada función con su respectivo interruptor y
posteriormente al cargador múltiple. Para poder prender cada función en forma
separada o a la vez, de acuerdo al tema que deseamos desarrollar o explicar.
48
2.2.3. Guía experimental de Trigonometría
a) Contenidos:
Razón Trigonométrica
Línea Trigonométrica
Función Trigonométrica
Variaciones
Signos
Razones Trigonométricas de ángulos negativos
b) Aprendizajes Esperados:
Diferencian razón, línea y función trigonométrica en un cuadro comparativo.
Analizan las variaciones y signos las razones trigonométricas en los cuatro
cuadrantes.
Demuestran los signos de las razones trigonométricas de ángulos negativos.
c) Materiales e Instrumentos
Electro trigonometría
Ligas de diferentes colores
Cordel de diferentes colores.
49
d) Procedimientos: Como a modo de ejemplo se trabajará la razón de seno.
e) Razón Trigonométrica (Seno)
1. Girar la antena de la Electro trigonometría en sentido positivo y detenerlo en
60º, considéralo como la hipotenusa, con la ayuda de las ligas forma un
triángulo rectángulo.
2. Reconoce el ángulo en posición normal y coloca la letra “O” en el origen de
coordenadas, “A” al ángulo recto (en el eje X) y “B” al otro vértice.
3. Formar la razón que relacione el cateto opuesto al ángulo en posición normal
(60°) con la hipotenusa.
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎= _____
4. Haciendo uso de la regla y el compás dibuja el resultado del trabajo realizado y
resalte la razón hallada.
La razón formada se denomina: …………………..
¿Qué es la razón seno?
……………………………………………………………………………………………
f) Línea Trigonométrica
1. Ahora analicemos el triángulo rectángulo OAB, sabemos que en toda
circunferencia trigonométrica el radio es igual a : ……………..
2. La razón seno se representa del modo siguiente:
Senα = 𝐴𝐵
𝑂𝐵, pero OB= 1
50
Entonces:
Senα = ………
3. Observa en la Electro trigonometría, la línea de color rojo representa al seno.
4. Haciendo uso de la regla y el compás dibuja el resultado del trabajo realizado y
resalte la línea encontrada.
La línea encontrada se denomina: ………………..
Define la línea seno para cualquier ángulo en posición normal
……………………………………………………………………………………………
Compara tu definición con estas dos:
Línea Seno es la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro que pasa
por 0° y 180°.
La Línea Seno está representada por la ordenada del extremo del arco.
¿A cuál de estas dos se asemeja tu definición?
……………………………………………………………………………………………
g) Variaciones y Signos
Haciendo uso de las ligas y en la Electro trigonometría ubica las líneas trigonométricas
seno para los ángulos de 15º, 30º, 45º, 60º, 75º y 90º en el primer cuadrante. Realiza el
mismo procedimiento con otros cinco ángulos en los cuadrantes restantes.
51
Recordemos: Y
X
Considerando el signo y el tamaño de las líneas, completa lo siguiente:
SENO SIGNO CRECE DECRECE
I C
II C
III C
IV C
El valor del seno de un ángulo varía entre …….. y ………; por tanto el intervalo de
variación del seno es…………………
Así mismo: ………≤ sen α ≤……..
Observa las líneas que has formado y completa:
0° 90° 180° 270° 360°
SENO
+
+
+
+
+
+
+ -
-
-
-
-
+ + + + + +
- - - - - - - -
52
h) Función Trigonométrica
Traslada las ligas del círculo trigonométrico al Plano Cartesiano de la derecha
manteniendo la longitud de cada liga y observa lo que vas formando.
Haciendo uso de una cuerda roja, une los extremos de las ligas a partir de 0º
hasta 360°.
La gráfica así obtenida corresponde a la función:
F(x) = sen x
Esta gráfica se denomina sinusoide.
Ahora observa en la Electro trigonometría, la función seno.
Representa gráficamente la función que trabajaste y observaste en la Electro
trigonometría.
¿Qué entiendes por función de seno? y ¿Qué forma tiene?
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
En la sinusoide encendida en el la Electro trigonometría, analiza la función:
F(x ) = y = sen x,
Completa el cuadro siguiente:
i) Función Seno
Dominio Porque:
53
Rango Porque:
Período (t) Porque:
Continua Porque:
Discontinua Porque:
Máximo Valor Porque:
Mínimo Valor Porque:
Creciente Porque:
Decreciente Porque:
j) Razones trigonométricas para ángulos negativos
1. En la Electro trigonometría, haciendo uso de las antenas genera dos ángulos una
de 60° y otra de -60°.
2. Traza con dos ligas de diferente color la línea trigonométrica correspondiente al
seno de cada ángulo. Anota las semejanzas y diferencias de ambas líneas en el
siguiente cuadro:
Semejanzas Diferencias
3. Elabora tus conclusiones.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
4. En la Electro trigonometría, comprueba tu conclusión para cada par de los
siguientes ángulos:
54
105º y -105º 225º y -225º 300º y -300º
5. Finalmente podemos generalizar que:
6. Analice la función: F(x ) = y = sen x, e indicar a qué tipo de función pertenece:
Función Par Porque:
Función Impar Porque:
2.2.4. Componentes Electrónicos de la Electro trigonometría
Led: (Light Emitting Diode) en castellano significa “Diodo emisor de luz”; es una clase
especial de diodo, que emite luz cuando fluye una corriente a través de él. Tiene dos
terminales llamados ánodo y cátodo; el cátodo se reconoce por el lado plano en la
cubierta de plástico del led o por un terminal más corto.
A: ánodo
B: cátodo
1. Lente 5. Yunque
2. Contacto metálico 6. Plaqueta
3. Cavidad reflectora
4. Terminación de semiconductor
Interruptor: Es un dispositivo utilizado para desviar o interrumpir el curso de una
corriente eléctrica que abre o cierra un circuito eléctrico. Su expresión más sencilla
consiste en dos contactos de metal inoxidable y el actuante. Los contactos, normalmente
separados, se unen para permitir que la corriente circule. El actuante es la parte móvil
que en una de sus posiciones hace presión sobre los contactos para mantenerlos unidos.
Sen (-α) = -Senα
55
Cargador de batería: Es un dispositivo utilizado para suministrar la energía eléctrica o
tensión eléctrica que almacena una o varias simultáneamente pilas recargables o una
batería.
2.2.5. Dimensiones de la Electro trigonometría
A. Dimensión motivacional
La motivación es un factor importante e indispensable, ya que es considerado
por muchos como la clave para lograr del éxito en toda actividad, principalmente en el
campo educativo, por lo que citaré algunos autores:
La “motivación pedagógica es el aprovechamiento del interés convertido en
motivo de aprendizaje. Es el interés vitalizado y puesto al servicio de la actividad
escolar” (Gonzáles, 2004, citado por De la cruz, 2011).
En el contexto educativo, “motivar es despertar el interés y la atención del aprendiz por
los contenidos de las áreas curriculares, excitando en ellos el interés por aprenderla, el
gusto de estudiarla y la satisfacción de cumplir las tareas que exige” (Mattos, 2001, ibíd.).
Por ello la finalidad, es brindar un material educativo, de una manera que resulte
innovador para el docente y que además sea aplicable en favor del aprendizaje del
estudiante en temas relacionados como las funciones trigonométricas, circunferencia
trigonométrica, etc.
Es muy importante que un material brindado llegue a la acción. El docente actúa en
función de los procesos cognitivos que el estudiante debe desarrollar a través de los
temas programados, es así que debemos preocuparnos en implementar materiales que
motiven al estudiante a investigar.
En este caso en particular, la acción es tener un material denominado Electro
trigonometría para lograr despertar el interés por aprender temas relacionados a la
Trigonometría como es el caso de las funciones trigonométricas.
56
De modo que, se debe atender a la necesidad de enseñar en función del
educando, articulando el aspecto intelectual, emocional y social del mismo.
En resumen podemos decir que, la motivación desempeña triple función: la función
selectiva, que hace que el sujeto seleccione los medios adecuados; la función direccional,
que hace que el objetivo o fin propuesto se mantenga vigente; finalmente la función
motivacional, la que intensifica los esfuerzos para el logro de los propósitos de manera
significativa.
B. Dimensión didáctica
Al respecto menciono que la didáctica como disciplina de la pedagogía no sólo
se ocupa de orientar la acción educativa a través del estudio de los métodos de
enseñanza; sino también de los nuevos recursos y actitudes que exige mayor esfuerzo
que la simple práctica rutinaria y tradicional de la enseñanza.
En ese sentido los diversos elementos didácticos (métodos, técnicas,
procedimientos, recursos, medios, instrumentos, proyecciones digitales, etc.)
constituyen fuentes didácticas eficientes para el desarrollo del proceso educativo, por
ello elaboré la Electro trigonometría, el cual viene a ser un material didáctico importante
para el desarrollo de diversos temas de la trigonometría plana, que ha de permitir
realizar las clases de manera más dinámica y sobre todo hacer de los temas abstractos
un tanto más comprensibles y concretos, para luego llegar al nivel de abstracción que
los estudiantes deben de tener.
Aspectos favorables:
La estructura del modelo Electro trigonometría para los temas de funciones
trigonométricas en la circunferencia trigonométrica será práctica.
57
Facilitará la programación curricular anual en el área de Matemática,
específicamente en los temas de trigonometría.
Se ha de diversificar adecuadamente los temas para el área de matemática,
correspondientes al tema de funciones trigonométricas, y lo estructura mejor para
ser desarrollados.
Brindará diversas sesiones dinámicas para su desarrollo durante las horas
programadas.
Ha de promover el cumplimiento del desarrollo de los temas programados a través
de la autorregulación.
Ha de integrar y desarrollar los contenidos logrando desarrollar múltiples
capacidades.
Exigirá aplicar diversas actividades didácticas en las clases.
Presentará las secuencias metodológicas (necesidad, competencia,
autorregulación, áreas, conocimientos, habilidades, actividades y axiología).
Sistematizará la información y estrategias comunicativas para la vinculación de
los distintos públicos.
2.2.6. Aprendizaje de la Matemática
La tarea docente son aquellas actividades que se orientan para que el estudiante
las realice en clases o fuera de esta, implican la búsqueda y adquisición de
conocimientos, el desarrollo de habilidades y la formación integral de su personalidad
(Silvestre, 2001).
La actividad planificada para dirigir la actividad cognoscitiva de los escolares se
organiza en diferentes tipos de tareas, planteadas por el docente o que surgen en la
interacción estudiante – docente. Tales tareas contendrán indicaciones y estas servirán
de guía para la realización de la actividad.
58
Las tareas deben estar dirigidas a incidir, tanto en la búsqueda de la información,
al desarrollo de habilidades, a la formación de puntos de vista, juicios, a la realización
de valoraciones por el estudiante, todo lo cual además de que permite que se apropie de
conocimientos, contribuye al desarrollo de su pensamiento y a la formación de valores.
Las asignaciones deben constituir un sistema y estar en correspondencia con los
objetivos que se trace el docente. Deberán ser suficientes, variadas y diferenciadas.
1. La utilización de la heurística en la enseñanza de la matemática
La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más
invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de
inculturación mencionado en el punto cuando se hizo el análisis de las tendencias. Lo
que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera
sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos
problemas.
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de
pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo
valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado
para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.
Se trata de considerar como lo más importante:
Que el alumno manipule los objetos matemáticos.
Que active su propia capacidad mental.
Que ejercite su creatividad.
Que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo
conscientemente.
59
Hacer posible que haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su
trabajo mental.
Que adquiera confianza en sí mismo.
Que se divierta con su propia actividad mental.
Que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida
cotidiana.
Que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
La forma de presentación de un tema matemático basada en el espíritu de la
resolución de problemas debería proceder más o menos del siguiente modo:
Propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia,
aplicaciones, modelos, juegos...)
Manipulación independiente por los estudiantes.
Familiarización con la situación y sus dificultades.
Elaboración de estrategias posibles.
Ensayos diversos por los estudiantes.
Herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)
Elección de estrategias.
Ataque y resolución de los problemas
Recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)
Afianzamiento formalizado (si conviene)
Generalización.
Presentación de nuevos problemas.
Posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas, etc.
En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por
el docente, colocando al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir
60
descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto
esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra
pasividad, motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra
rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido.
2. La necesidad de una adecuada motivación y presentación
Los alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas de
comunicación muy poderosa y atrayente. Es una fuerte competencia con la que se
enfrenta el profesor en la enseñanza cuando trata de captar una parte substancial de su
atención. Es necesario que el docente lo tenga en cuenta constantemente y que el
sistema educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el vídeo, la
televisión, la radio, el periódico.
3. Fomentar el gusto por la matemática
La matemática orientada como saber hacer independiente, bajo una guía adecuada,
es un ejercicio atrayente. De hecho, una gran parte de los niños más jóvenes pueden ser
introducidos de forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el
inicio razonable de un conocimiento matemático. Lo que suele suceder es que los
docentes no han sabido mantener este interés y ahoga en abstracciones inmotivadas y a
destiempo el desarrollo matemático del estudiante. El gusto por el descubrimiento en
matemáticas es posible y fuertemente motivador para superar otros aspectos rutinarios
necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. La apreciación de
las posibles aplicaciones del pensamiento matemático en las ciencias y en las
tecnologías actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas más
orientadas hacia la práctica. Otros se sentirán más movidos ante la contemplación de los
61
impactos que la matemática ha ejercido sobre la historia y filosofía del hombre, o ante la
biografía de tal o cual matemático famoso.
Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente
arraigada en las personas, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la
niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, inútil, inhumana y
muy difícil.
La estrategia elaborada tiene como objetivo general diseñar un conjunto de acciones
para ejecutar el proceso de enseñanza – aprendizaje, durante el desarrollo de la clase, de
manera que promueva y estimule el aprendizaje significativo.
2.2.7. Materiales Didácticos
La expresión material didáctico ha tenido y sigue teniendo un gran número de
acepciones, lo que en ocasiones puede llevar a confusión.
Entre las expresiones más usuales, se encuentra las siguientes:
Medios auxiliares
Medios didácticos
Recursos audiovisuales
Recursos didácticos
Recursos perceptuales del aprendizaje
Materiales didácticos
Materiales educativos.
Materiales multisensoriales
Materiales suplementarios
De modo que los materiales didácticos podemos entender como “Todos aquellos
medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza-aprendizaje, dentro de un
62
contexto educativo global y sistemático, y estimula la función de los sentidos para
acceder más fácilmente a la formación, adquisición de habilidades y destrezas, y a la
formación de actitudes y valores”. (Ogalde C., Isabel y Bardavid N., Esther)
Para poder entender en forma más evidente lo que es medio educativo, parece
necesario tener en cuenta cuatro características esenciales:
Recursos de instrucción
Experiencia mediadora
Organización de la instrucción
Equipo técnico.
Formas de Comunicación de los Medios
Según Cloutier, “los medios pueden emplear distintos lenguajes o formas de
expresión para comunicar, como los siguientes:
Lenguaje verbal o auditivo: radio, cintas, discos.
Lenguaje visual: el empleo de la imagen en transparencias, fotografías o carteles.
Lenguaje escrito: empleado en la elaboración de libros, revistas, diarios, manuales,
etc.
Combinación de lenguajes: audiovisuales, televisión, cine, etc.”
El docente usara el tipo de presentación que le parezca idónea según el objetivo
o los objetivos que se pretendan alcanzar.
Clasificación de los materiales didácticos
1. Materiales auditivos Equipo
Cintas Grabación de cintas
Discos Tocadiscos
2. Materiales de imagen fija Equipo
Filminas Proyector de filminas
63
Fotografías
No necesitan proyector de cuerpos
opacos.
Transparencias Proyector de transparencia.
3. Materiales impresos Equipo
Fotocopias
No necesitan de proyector de cuerpos
opacos.
Manuales
Revistas
Textos
4. Materiales auditivos Equipo
Audiovisuales Proyector de transparencias.
Películas Proyector de películas.
5. Materiales electrónicos Equipo
Usb portátil Laptop
CD Computadora
A. Fundamentos psicológicos del uso de los materiales educativos
Uno de los elementos que contemplan la mayoría de los modelos de instrucción
son los medios y recursos didácticos, es decir los materiales didácticos. Hay que
preguntarse entonces, ¿Por qué los materiales didácticos?, ¿Por qué una imagen
proyectada, un programa de televisión, un libro de texto, un mensaje grabado o un
programa por computadora, son elementos valiosos para propiciar el aprendizaje en los
estudiantes?, o ¿Cómo pueden mejorar en el quehacer docente?
64
Si se querer dar respuesta a preguntas como estas, hay que revisar
necesariamente y, en primer lugar, que es y en que consiste el proceso de aprendizaje, y
solo entonces y a partir de un conjunto de principios que expliquen lo que es y cómo se
realiza el aprendizaje, habrá condiciones para la explicación del porqué de los
materiales didácticos en el proceso de instrucción.
Si se considera que tanto el concepto de aprendizaje como la forma en que
ocurre es un fenómeno psicológico complejo, y que ha sido estudiado por diferentes
psicólogos que han dado origen a diversas corrientes o teorías, en este trabajo
únicamente se revisara el aprendizaje a partir de las propuestas teóricas de Robert
Gagné, que es uno de los teóricos que más ha aportado al campo de la tecnología
educativa, tanto en su conceptualización como en su desarrollo.
k) Aprendizaje y los resultados del aprendizaje
Según Gagné, el aprendizaje es un proceso que capacita al que aprende para
modificar su conducta con cierta rapidez en una forma más o menos permanente, de
modo que la misma modificación no tiene que ocurrir una y otra vez en cada situación
nueva.
Un observador externo puede reconocer que ha ocurrido el aprendizaje cuando
se percara de la presencia de una transformación en la conducta y también de la
persistencia de esta transformación. A partir de dichas observaciones se infiere un
nuevo estado persistente que es estudiante ha alcanzado.
Gagné propone que los diferentes resultados de aprendizaje o capacidades
aprendidas, se agrupen en cinco grandes categorías.
Información verbal o conocimientos.
Habilidades intelectuales.
65
Estrategias cognoscitivas.
Actitudes.
Destrezas motoras.
l) El proceso de aprendizaje
Sin perder de vista los diferentes resultados del aprendizaje, se revisará
brevemente a continuación, como ocurre el o los procesos de aprendizaje en el
estudiante, de acuerdo también con lo que plantea (Gagné, R. 1975).
El aprendizaje es concebido como una cuestión de procesamiento de información
donde la estimulación que genera el ambiente en que el estudiante vive, afecta su
sistema centro a través de una serie de etapas de procesamiento.
La información transformada se almacena en la memoria, y un cambio final hace
posible una operación que es evidente para un observador externo. Las etapas en que se
desarrolla son las siguientes:
De los receptores al registro sensorial.
Del registro sensorial a la memoria a corto plazo.
De la memoria a corto plazo a la memoria a largo plazo.
De la memoria a largo plazo a la memoria a corto plazo.
De la memoria a corto plazo al generador de respuesta.
Del generador de respuestas a los efectores.
De los efectores a una acción.
B. Fundamentación de la comunicación en el uso de los materiales didácticos
Aun cuando existen diferentes definiciones de lo que se entiende por
comunicación, la mayoría de ellas coinciden en que es un proceso mediante el cual, un
66
emisor envía un mensaje a un receptor con una intención bien definida y esperando una
respuesta a su petición.
Son también diversos autores los que se han preocupado por desarrollar modelos
del proceso de comunicación. Como se puede mencionar a Aristóteles, quien en su
Retórica organizo su trabajo en tres capítulos: 1. La persona que habla, 2. El discurso
que pronuncia, y 3. La persona que escucha., que poco a poco se fue mejorando, a lo
que se puede mencionar que en 1974, Shannon y Weaver, construyen un modelo
eficiente, el primer modelo de comunicación electrónica. Este modelo amplia el
propuesto por Aristóteles al considerar los siguientes elementos.
Emisor
Codificador
Mensaje
Canal
Descifrador del receptor
Receptor
Ruido
Retroalimentación
C. Criterios de selección de materiales didácticos
La correcta selección del material se debe hacer en función del desarrollo de los
objetivos de aprendizaje que se formularon para el área.
Puede elegirse materiales didácticos para desarrollar uno o varios temas o
subtemas en la clase, así como para realizar diferentes etapas de la instrucción, es decir,
pueden utilizarse para motivar, ejemplificar, presentar el tema, reforzar un contenido,
etc. Al momento de aplicar el material es cuando adquiere su cualidad didáctica.
67
Para seleccionar adecuadamente los materiales didácticos que se van utilizar en una
determinada situación de instrucción, en primer lugar, tal vez, se deben formular las
siguientes preguntas: a) ¿Qué objetivos del aprendizaje se pretenden lograr en la
situación educativa donde se utilizaran estos materiales didácticos? b) ¿Qué etapa del
proceso de instrucción se desea reforzar con la incorporación de este material?
En segundo lugar, al seleccionar los materiales didácticos, es recomendable
considerar los siguientes aspectos:
1. La población
2. Los recursos disponibles
3. El contexto
4. El tiempo disponible
D. Criterios de evaluación de materiales didácticos
Si los materiales didácticos se consideran integrados dentro de la situación global y
sistemática de la instrucción, se evaluaran en ese contexto. Por tanto, el criterio básico
para realizar la evaluación serán los objetivos del aprendizaje propuestos para dicha
situación de instrucción.
Lógicamente, un material didáctico tiene objetivos propios, pero al utilizarse dentro
de una situación de instrucción, estos objetivos deben reforzar a los que se planteen para
la situación global. Recordando además que se está considerando la instrucción como
un proceso coherente y estrechamente ligado a las etapas de aprendizaje, esto puede
servir para diferentes momentos del proceso, lo que se reflejara en los objetivos propios
del material.
a. Criterios psicológicos. Son aquellos que consideran aspectos psicológicos del
receptor, en relación con el material didáctico, el cual:
68
1. Logra motivar al estudiante.
2. Emplea un nivel conceptual adecuado al usuario.
3. Mantener la atención del receptor.
4. Propicia la formación de actitudes positivas.
b. Criterios de contenido. Son aquellos referidos al contenido del mensaje
propiamente dicho por ejemplo, que:
1. Sea actual
2. Sea adecuada a la materia que apoya
3. Sea relevante
4. Sea eficiente
c. Criterios pedagógicos. Son aquellos relacionados con la forma en que se ha
estructurado el material propiamente dicho. En ellos inciden aspectos tales
como:
1. La explicación de los objetivos del aprendizaje propuestos para el material.
2. La selección adecuada de la información.
3. La dificultad gradual con que se presenta la información.
4. La claridad de la información.
5. El lenguaje que se utiliza.
6. Lo creativo y original que resulta el material.
d. Criterios técnicos. Se refieren a la calidad de la producción de los materiales
audiovisuales, de la impresión de un material impreso y de la presentación de
materiales gráficos, etc.
1. Para materiales audiovisuales
La nitidez del sonido.
La intensidad del sonido y de la música.
69
La existencia de pausas durante el texto.
La cantidad y variedad de imágenes.
La duración de proyección.
La facilidad de su utilización.
2. Para materiales impresos
La claridad y facilidad de su lectura.
La distribución de los párrafos.
La inclusión de una bibliografía actualizada.
La existencia y calidad de las fotografías.
3. Para materiales gráficos
Calidad del material de base (cartón, papel)
Disposición de los elementos dentro del material.
El tipo y tamaño de letra que se utiliza.
E. Cuidado y protección de los materiales didácticos
Dado que por material didáctico se entiende como la organización del mensaje que
se va a presentar como el equipo técnico necesario para transmitirlo, ambos deben
protegerse adecuadamente, así como cuidarse, catalogarse y almacenarse.
No es suficiente con saber que se cuenta con un determinado material didáctico,
ya que los maestros podían no siempre darse el tiempo para ir a revisarlos y poder
seleccionar lo que les es útil en su quehacer docente, sino organizar periódicamente
sesiones de promoción de estos mismos materiales, e incluso a personas de otras
instituciones educativas con el fin de dar a conocer lo que se tiene, conocer lo que se
realiza en este campo en otras instituciones, y establecer intercambio, o que sería de
beneficio para todos los interesados.
70
2.2.8. Teorías Sobre El Aprendizaje
1. Teoría Del Aprendizaje Significativo Según David Ausubel
En la Teoría de David Ausubel (1983); plantea que el aprendizaje del sujeto
depende, de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información,
debe entenderse por “Estructura Cognitiva” al conjunto de conceptos, ideas de un
individuo que posee en determinado campo del conocimiento, así como su
organización.
En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la
estructura cognitiva del estudiante; no solo se trata de saber la cantidad de información
que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así, como de su
grado de estabilidad. Los principios de aprendizaje propuesto por Ausubel, ofrece el
marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la
organización de la estructura cognitiva del educando, el cual permite una mejor
orientación de la labor educativa, ésta ya no se verá, como una labor que debe
desarrollarse con “Mentes en Blanco” o el aprendizaje de los estudiantes comience de
“Cero”, sino que los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que
apoyan su aprendizaje.
Ausubel resume este hecho en el epígrafe de su obra de la siguiente manera: "Si
tuviese que reducir toda la Psicología Educativa a un solo principio, enunciaría este: “El
factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el estudiante ya sabe.
Averígüese esto y enséñese consecuentemente".
a) El aprendizaje significativo
Es cuando se incorpora estructuras de conocimientos que ya posee el individuo.
Un aprendizaje es significativo, cuando los contenidos son relacionados de modo no
71
arbitrario y sustancial (no al pie de la letra), con lo que el estudiante ya sabe, se entiende
que las ideas se relacionan con algún aspecto existente específicamente relevante de la
estructura cognoscitiva del estudiante, como una imagen, un símbolo significativo, un
concepto o una proposición (Ausubel, 1983).
El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información “Se conecta”
con un concepto relevante (“Subsunsor”) pre – existente en la estructura cognitiva, esto
implica que las nuevas ideas, conceptos y proposiciones son aprendidos
significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones
relevantes estén adecuadamente claros y disponibles en la estructura cognitiva del
educando y que funcionen como un punto de “anclaje”.
A manera de ejemplo en una lectura, para comprender el texto. El lector irá
asociando mentalmente con el texto pre existente de acuerdo al contenido del mensaje,
en su estructura conectiva, de subsunsores para nuevos conocimientos del texto, el
proceso de interacción de nueva información con lo ya existente, produce una nueva
modificación de los conceptos subsunsores, pueden ser conceptos amplios, claros,
estables o inestables. Todo ello depende de la manera y la frecuencia con la que son
expuestos a interacción con nuevas informaciones.
En el ejemplo dado con la asociación de la imaginación mental en base al
contenido del texto servirá de “anclaje” para nuevas informaciones referidas a las
lecturas pero a medida que estas estrategias de lecturas sean aprendidas
significativamente, crecerán y se modificarían los subsunsores iniciales.
La característica más importante del aprendizaje significativo, es que se produce
una interacción entre los conocimientos más relevantes de la estructura cognitiva y las
nuevas informaciones (no es una simple asociación) de tal modo, que estas adquieren un
significado y son integrados a la estructura cognitiva de manera no arbitraria y
72
sustancial, favoreciendo la diferenciación, evolución y estabilidad de los subsunsores
pre existentes y consecutivamente de toda la estructura cognitiva.
b) Condiciones para el aprendizaje significativo
1. Significatividad lógica del material
El material debe tener una estructura interna organizada que sea susceptible, de
dar lugar a la construcción de significados.
Los conceptos que el docente presenta siguen una secuencia lógica de relacionabilidad
no arbitraria y sustancial, de estructura y organización.
2. Significatividad psicológica del material
Esto se refiere a la posibilidad de que el estudiante conecte el conocimiento
presentado con los conocimientos previos ya incluidos en su estructura cognitiva. Los
contenidos entonces serán comprendidos para el estudiante.
3. Actitud favorable del estudiante
El estudiante tiene una disposición o actitud para aprender y adquiere
conocimientos con naturaleza, en una estructura cognitiva. Este es un componente de
estado emocional y actitudinal del educando que el maestro solo puede influir a través
de la motivación.
La propuesta del aprendizaje significativo, es un avance hacia el entretenimiento
intelectual constructivo, relacional y autónomo. La última finalidad del planteamiento
significativo puede definirse como una perspectiva de la inteligencia, como habilidad
para la autonomía de aprender comprendiendo la realidad e integrarla en mundos de
significatividad.
73
c) Características del aprendizaje significativo
Los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la estructura
cognitiva del estudiante.
Este se logra gracias a un esfuerzo deliberado del estudiante por relacionar los
nuevos conocimientos, con sus conocimientos previos. Todo lo anterior es producto de
una implicación afectiva del estudiante, es decir, el estudiante quiere aprender aquella
que se presenta porque lo considera valioso.
d) Particulares del aprendizaje significativo
Produce una relación más duradera de la información. Modificando la estructura
cognitiva del estudiante mediante reacomodos de la misma, para integrar a la nueva
información.
Facilita adquirir nuevos conocimientos relacionados con los ya aprendidos en
forma significativa.
La nueva información al relacionarse con lo anterior, se deposita en la llamada
memoria, a largo plazo en la que se conserva más alta del olvido de detalles secundarios
y concretos.
Es activo, pues depende de la asimilación deliberada de las actividades de
aprendizajes por parte del estudiante.
Es personal, pues la significación de los aprendizajes, que depende de los
recursos cognitivos del estudiante (conocimientos previos de la forma como éstos se
organizan en la estructura cognitiva).
74
e) Fases del aprendizaje significativo
(Shuell, 1990, citado por De la cruz, 2011), postula que el aprendizaje
significativo ocurre en una serie de fases, que dan cuenta de una complejidad y
profundidad progresiva, estas fases son:
1. Fase inicial de aprendizaje: Hechos o partes de información que están
aislados conceptualmente. Memoriza hechos y usa esquema pre existente
(aprendizajes por acumulación).
El procedimiento es global
Escaso conocimiento específico.
Uso de estrategias generales independientes.
Uso de conocimientos de otros esquemas.
La información adquirida es concreta y vinculada al contexto específico.
Uso de las estrategias de aprendizaje.
Ocurre en forma simple de aprendizajes.
Condicionamiento.
Aprendizaje verbal.
Estrategias de memoria.
Gradualmente se va conformando una visión globalizadora.
Uso del conocimiento previo.
Analogías con otro dominio de aprendizaje del estudiante.
2. Fase intermedia de aprendizaje: El conocimiento aprendido se vuelve
aplicable a otros contextos. La comprensión más profunda de los contenidos
por aplicarse a situaciones diversas.
Hay oportunidades para la refacción y recepción de realimentación sobre la
ejecución.
75
Los conocimientos más abstractos, puede ser generalizado a varias situaciones
(menos dependientes del contexto específico).
Uso de estrategias de procedimiento más sofisticados son:
Organización.
Mapa cognitivo.
3. Fase terminal de aprendizaje: Los conocimientos son más integrados y
funcionan con mayor autonomía, en esta fase se realiza la mayor integración
de estructuras y esquemas.
El aprendizaje que ocurre de esta fase consiste en:
Acumulación de nuevos hechos a los esquemas pre existentes (Dominio).
Incremento en los niveles de interrelación entre los elementos de las estructuras
(esquemas).
Manejo hábil de estrategias específicas de dominio.
A continuación reflexionamos: ¿Si el aprendizaje no es verdaderamente
significativo, qué razón tiene desarrollar algunos contenidos curriculares, sin un efectivo
tratamiento pedagógico?
Entonces, tenemos la oportunidad de plasmar aprendizajes significativos
mediante el desarrollo de la actividad de aplicación o las que diseñamos en nuestros
estudiantes; considerando el grado de estudios y los contenidos de la estructura o
diseño.
En el aprendizaje significativo se desarrolla la integración de las estructuras
cognoscitivas y la integración de los esquemas previos.
76
f) Los tipos de aprendizajes significativos
Es importante recalcar que el aprendizaje significativo no es la “Simple
Conexión” de la información nueva con lo ya existente en la estructura cognoscitiva del
que aprende, por el contrario, solo el aprendizaje mecánico en la “Simple Conexión”, es
arbitraria y no sustantiva; el aprendizaje significativo involucra la modificación y la
evolución de la nueva información, así como de la estructura cognoscitiva envuelta en el
aprendizaje.
Ausubel distingue tres tipos de aprendizaje significativo: de representaciones, de
conceptos y de proposiciones.
g) Los materiales educativos y las teorías del aprendizaje según David Ausubel
Manifiesta que la evolución del conocimiento en las áreas de psicología y
pedagogía, junto con la disponibilidad de los modernos equipamientos, constituyen,
para Ausubel, los factores que modifican y amplían el papel de los medios para la
instrucción. El empleo de esos medios debe acompañar, no sólo al estadío de desarrollo
cognitivo del estudiante, sino también a la complejidad de los contenidos. Su utilización
no debe restringirse a funciones importantes en la transmisión de información al
estudiante. Por esta razón, y especialmente después de los grados más elementales, los
materiales curriculares deben seleccionarse en función de los temas y no de los
estudiantes.
Por otro lado, el docente debe proveer la retroalimentación y coordinación. La
transferencia de conocimientos de la disciplina al estudiante se da mediante
experimentación, libros, filmes, programas, etc.
El proceso de educación en el que la función principal del docente es planificar
los materiales de enseñanza y los recursos de aprendizaje y desempeñar un papel de
77
apoyo y de guía. Los enfoques modernos de la construcción se aproximan más a este
esquema.
Por ultimo afirma que una de las vías más promisorias para mejorar el
aprendizaje escolar, consiste en mejorar los materiales de enseñanza, e incluye en ellos
los medios, dada su obvia relación con los materiales de enseñanza. En ésta teoría los
medios se vuelven más importantes en la medida que facilitan el aprendizaje
significativo.
2. Teoría del Aprendizaje de las Matemáticas Según Bruner
Para Bruner, el aprendizaje por descubrimiento es a la vez un objetivo de la
educación y una práctica de su teoría de la instrucción. El descubrimiento consiste en la
transformación de hechos o experiencias que se nos presenta, de manera que podamos ir
más allá de la información recibida. En otras palabras, se trata de reestructurar o
transformar hechos evidentes, de manera que puedan surgir nuevas ideas para llegar a la
solución de los problemas. En el aprendizaje por descubrimiento, el estudiante tiene que
evaluar toda la información que le viene del ambiente, sin limitarse a repetir los que le
es dado. Bruner destaca una serie de beneficios que se derivan del aprendizaje por
descubrimiento:
Mayor utilización del potencial intelectual: esto quiere decir que el énfasis en el
aprendizaje por descubrimiento fomenta en el aprendizaje el hábito de organizar la
información que recibe.
Motivación Intrínseca: dentro de la concepción del aprendizaje como un proceso de
descubrimiento, el niño obtiene recompensa en su propia capacidad de descubrir, la cual
aumenta su motivación interna, hacia el aprendizaje, que cobra más fuerza para él, que
la aprobación o desaprobación proveniente del exterior.
78
El aprendizaje de la heurística del descubrir: solo a través de la práctica de resolver
problemas y el esfuerzo por descubrir, es como se llega a dominar la heurística del
descubrimiento y se encuentra placer en el acto de descubrir.
Ayuda a la conservación de la memoria: Bruner, a través de sus experiencias. Llega a
establecer que la memoria no es un proceso de almacenamiento estático. La información
se convierte en un recurso útil y a la disposición de la persona, en el momento
necesario.
Experimentación directa, sobre la realidad, aplicación práctica de los conocimientos y
su transferencia a diversas situaciones.
Aprendizaje por penetración comprensiva, el estudiante experimentando descubre y
comprende lo que es relevante, las estructuras.
Práctica de la inducción, de lo concreto a lo abstracto, de los hechos a las teorías.
Utilización de estrategias heurísticas, pensamiento divergente.
2.3. Definición de Términos Básicos
1. Material didáctico
Son aquellos medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza-
aprendizaje, dentro de un contexto educativo global sistemático, estimulando la función
de los sentidos para acceder más fácilmente a la información, a la adquisición de
habilidades y destrezas, y a la formación de actitudes y valores.
2. Medio didáctico
Es cualquier material elaborado con la intención de facilitar los procesos de
enseñanza y aprendizaje. Por ejemplo un libro de texto, un programa multimedia que
permite hacer prácticas de formulación química.
79
3. Recurso educativo
Es cualquier material que, en un contexto educativo determinado, sea utilizado
con una finalidad didáctica o para facilitar el desarrollo de las actividades formativas.
Los recursos educativos que se pueden utilizar en una situación de enseñanza y
aprendizaje pueden ser o no medios didácticos. Un vídeo para aprender qué son los
volcanes y su dinámica será un material didáctico (pretende enseñar), en cambio un
vídeo con un reportaje del National Geographic sobre los volcanes del mundo a pesar de
que pueda utilizarse como recurso educativo, no es en sí mismo un material didáctico
(sólo pretende informar).
4. Aprendizaje
Proceso de cambio en la conducta relativamente duradero originado o producido
por la experiencia.
5. Enseñanza
Sistema y método de dar instrucción, formado por el conjunto de conocimientos,
principios e ideas que se enseñan a alguien.
6. Trigonometría
La trigonometría es una rama de la matemática que se encarga de estudiar las
relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, así como de las características
y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
7. Aprendizaje significativo
Significa que el aprendiz solo aprende cuando encuentra sentido a lo que
aprende. Y este sentido surge cuando se dan tres condiciones: a partir de los conceptos
que el estudiante posee, de las experiencias que el estudiante tiene y relacionar
80
adecuadamente entre sí los conceptos aprendidos. La mejor manera de relacionar es
utilizar la representación y la imaginación a partir de imágenes visuales para
convertirlas en imágenes mentales. El aprendizaje significativo se apoya en el
aprendizaje imaginativo.
8. Electro trigonometría
Término compuesto (electro: término referente a la electricidad, trigonometría:
rama de la matemática que se encarga de estudiar las relaciones entre los lados y los
ángulos de los triángulos, así como de las características y aplicaciones de las funciones
trigonométricas de ángulos.), en esta investigación es un material didáctico concreto que
está orientado para la enseñanza de los temas de trigonometría.
9. Ánodo
Extremo de un conductor en contacto con un medio, al que lleva o del que recibe
una corriente eléctrica, en este caso el electrodo positivo.
10. Cátodo
En la industria eléctrica considerada como el medio de comunicación de energía
eléctrica negativa o, más conocido como electrodo negativo.
11. Corriente
Alambre de longitud variable, el cual sirve de transmisor de energía eléctrica, es
decir generar un movimiento aleatorio de electrones libres creado por la energía térmica
que los electrones adquieren del medio ambiente.
12. Batería
Es la fuente de corriente directa (cd) más común, derivada de la expresión
“batería de celdas”, consiste en una combinación de dos o más celdas similares, siendo
81
una celda la fuente fundamental de energía eléctrica desarrollada mediante la
conversión de energía química o solar.
13. Generadores de cd
Es muy diferente al de la batería, es decir cuando el eje del generador se
encuentra en rotación a la velocidad nominal, como consecuencia del torque
aplicado de alguna fuente externa de energía mecánica, se presentara un voltaje a
través de las terminales externas. El voltaje terminal y la capacidad de manejo de
energía del generador de cd son, en general mayores que los de la mayoría de las
baterías, y su vida útil está determinada por su construcción. Los generadores de cd
utilizados de manera comercial son típicos de la variedad de 120 o 240 V.
14. Interruptor
Es un dispositivo utilizado para desviar o interrumpir el curso de una
corriente eléctrica que abre o cierra un circuito eléctrico. Su expresión más sencilla
consiste en dos contactos de metal inoxidable y el actuante. Los contactos,
normalmente separados, se unen para permitir que la corriente circule. El actuante es
la parte móvil que en una de sus posiciones hace presión sobre los contactos para
mantenerlos unidos.
15. Led
(Light Emitting Diode) en castellano significa “Diodo emisor de luz”; es una
clase especial de diodo, que emite luz cuando fluye una corriente a través de él. Tiene
dos terminales llamados ánodo y cátodo; el cátodo se reconoce por el lado plano en la
cubierta de plástico del led o por un terminal más corto.
82
Capítulo III
Hipótesis y Variables
3.1. Hipótesis
La hipótesis que interviene en la investigación “La influencia de la Electro
trigonometría en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del
quinto año de educación secundaria del Colegio Experimental de Aplicación,
Lurigancho-Chosica”, se explica de la siguiente manera:
3.1.1. Hipótesis General
El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el proceso de
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria del Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
3.1.2. Hipótesis Específicos
1. El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en la comunicación
matemática en el proceso de aprendizaje de la trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria del Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
2. El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el razonamiento
y demostración en el proceso de aprendizaje de la trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria del Colegio Experimental
de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
83
3. El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en la resolución de
problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria del Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
3.2. Variables
Las variables que interviene en la investigación “Influencia de la Electro
trigonometría en el aprendizaje de la trigonometría en los estudiantes del quinto grado
de educación secundaria del Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica”
se explican de la siguiente manera.
3.2.1. Variable Independiente
Electro trigonometría
Variable que será de tipo cualitativa continuo, porque se expresó a través
de un material didáctico lo cual es denominado a la vez como una variable
independiente, la que se nombró como:
X: Influencia de la Electro Trigonometría
Definición
Proceso constructivista que involucra la interactividad entre el material didáctico
y el estudiante.
Dimensiones
Acción
Inicia inmediatamente la actividad propuesta.
Se sienta adecuadamente al efectuar la actividad propuesta.
84
Realiza sus actividades sistemáticamente sin distraerse.
Efectúa sus actividades con el afán de encontrar una idea.
Formulación
Aporta ideas de las funciones trigonométricas.
Ayuda a sus compañeros, en caso de necesidad.
Respeta las ideas de los demás.
Participa respetuosamente en la democracia para así alguien exponga.
Validación
Evidencia lenguaje matemático en la pizarra literalmente escrito.
Al exponer utiliza lenguaje matemático.
La respuesta concebida es factible.
Responde las preguntas, tanto de sus compañeros como del profesor.
Institucionalización
Guarda atención sin distraerse a la hora de la devolución.
Sigue la secuencia al desarrollo que brinda el profesor.
Pregunta dudas al profesor.
Acepta las correcciones del profesor e intenta mejorar.
Evaluación
Termina sus actividades dadas en el tiempo establecido.
Permanece sentado en su pupitre, salvo necesario, con el permiso del
profesor.
Participa en forma activa en la clase.
Logra realizar las actividades por sí solo(a).
85
3.2.2. Variable Dependiente
Aprendizaje de la trigonometría
Variable que es de tipo cuantitativa continua, porque se expresa a través
de contenidos temáticos de curso de Trigonometría lo cual a la vez es una
variable dependiente, la que se nombró como:
Y: Aprendizaje de la Trigonometría
Definición
Importancia de los temas de mayor relevancia de trigonometría.
Comunicación matemática
Define coherentemente sobre la circunferencia trigonométrica en situaciones
de su entorno.
Reconoce los ángulos cuadrantales en una circunferencia trigonométrica en
situaciones de su entorno.
Razonamiento y demostración
Interpreta sobre ángulos cuadrantales en una circunferencia trigonométrica en
situaciones de su entorno.
Reflexiona sobre los ángulos notables en una circunferencia trigonométrica
en situaciones de su entorno.
Resolución de problemas
Elabora estrategias de solución para resolver problemas sobre las razones
trigonométricas en situaciones de su entorno.
Resuelve problemas que involucren las razones trigonométricas relacionando
de su contexto.
86
3.3. Tipo De Investigación
Por el propósito que se persigue en esta investigación es de tipo aplicada y
tecnológica.
3.4. Método De Investigación
El método que se empleó durante la investigación es netamente una
investigación cuantitativa, debido a que los resultados son cuantificables.
3.5. Diseño Metodológico De La Investigación
El diseño metodológico de la investigación cuasi experimental, debido a que
lleva a cabo una medición de conocimientos antes (pre test) y después (pos test), tanto
en el grupo de control y en el grupo experimental, lo cual dará conformidad al trabajo
realizado.
3.6. Población y Muestra
i. Población
La población para el trabajo de investigación está constituida por 98 del quinto
año de secundaria del Colegio Experimental de Aplicación (A, B, C, D), lo cual será
necesario para obtener su posterior muestra.
ii. Muestra
La muestra fue de 5to D integrada por 23 estudiantes, lo cual perteneció al grupo
experimental y de 5to A integrada por 23 estudiantes que pertenecieron al grupo de
control. Para la elección de la muestra se hizo uso del muestreo no probabilístico pues,
“la elección de los elementos no dependen de la probabilidad, sino de causas
87
relacionadas a las características de la investigación”, (Hernández & otros, 2014; pág.
176).
3.7. Técnicas de Recolección de Datos
a) Procedimiento de evaluación
Prueba de entrada o Pre-test
Consiste en una prueba inicial para poder conocer lo aprendido de
los estudiantes a ambos grupos.
Prueba de salida o Pos-test
Consiste en la prueba final para poder verificar la influencia del
material didáctico (grupo experimental) y la enseñanza del modo
tradicional al grupo de control.
b) Instrumentos de Recolección de Datos
Prueba de entrada y de salida
Lista de cotejo
Registro auxiliar
88
Capítulo IV
Resultados de la Investigación
4.1. Selección, Validación y Confiabilidad de los Instrumentos
4.1.1. Selección
Los instrumentos utilizados para la investigación fueron dos pruebas para cada
grupo, ambas pruebas están conformadas de la siguiente manera:
NÚMERO DE ÍTEMS POR PRUEBA
Comunicación
matemática
Razonamiento
y demostración
Resolución de
problemas
Total
Pre-test 4 4 4 12
Post-test 4 4 4 12
La puntuación de las pruebas se realizó de la siguiente manera:
PUNTAJE POR PRUEBA
Comunicación
matemática
Razonamiento
y demostración
Resolución de
problemas
Total
Pre-test 20 20 20 60
Post-test 20 20 20 60
Se utiliza un puntaje de 60 puntos por prueba para determinar con mayor precisión
los criterios de aprendizaje de los estudiantes en cada capacidad.
4.1.2. Validez
Este procedimiento se concretó mediante el juicio de expertos, para cuyo
efecto acudí a la opinión de docentes de reconocida trayectoria de la Facultad de
89
Ciencias de la UNE, quienes opinaron sobre la validez y determinaron la
aplicabilidad de las pruebas. Para ello, se les hizo la entrega de la matriz de
consistencia, la matriz operacional de las variables, el cuestionario y la ficha de
validación.
El juicio de expertos determino, sobre la base de los indicadores
siguientes: claridad, objetividad, actualidad, organización, suficiencia,
intencionalidad, consistencia, coherencia, metodología y pertinencia, la debida
correspondencia entre los indicadores señalados por los criterios, los objetivos e
ítems y la calidad técnica de representatividad de lenguaje.
Al respecto, los expertos consideraron la existencia de una estrecha
relación entre criterios y objetivos del estudio y los ítems construidos para la
recopilación de la información. Se muestra esta opinión en el siguiente cuadro:
N°
APELLIDOS Y NOMBRES DEL
EXPERTO
CARGO
VALORACION
CUANTITATIVA
01 Dr. FERNÁNDEZ SAUCEDO, Narciso Docente UNE 17
02 Mg. GÁMEZ TORRES, Aurelio Docente UNE 18
03 Mg. QUISPE ANDÍA, Adrián Docente UNE 16
PUNTAJE TOTAL Y PROMEDIO DE VALORACIÓN 17
Cuadro de valores de los niveles de validez:
VALORES NIVELES DE VALIDEZ
20 Excelente
17 – 19 Muy bueno
14 – 16 Bueno
11 – 13 Regular
90
01 – 10 Deficiente
Por lo que se concluye que el instrumento es de muy buena validez.
4.1.3. Confiabilidad
El criterio de confiabilidad del instrumento, se determina en la presente
investigación, por el coeficiente de Alfa de Cronbach, desarrollado por J.L.
Cronbach. Ello requiere de una sola administración del instrumento de medición
y produce valores que oscilan entre cero y uno. Es aplicable a escalas de varios
valores posibles, por lo que puede ser utilizado para determinar en escalas cuyos
ítems tienen como respuesta más de dos alternativas. “La confiabilidad permite
determinar el grado en que su aplicación repetida al mismo sujeto produce
resultados iguales y genera consistencia y precisión” (Gómez, 2009: pág. 118).
Coeficiente Alfa de Cronbach
Fórmula:
2
2k
1k-1
i
T
S
S
k : El número de ítems
2
iS : Sumatoria de varianzas de los ítems
2
TS : Varianza de la suma de los ítems
: Coeficiente de Alfa de Cronbach
La escala de valores que determina la confiabilidad está dada por los
siguientes valores:
Criterio de confiabilidad de valores
Criterio Valores
91
No es confiable -1 a 0
Baja confiabilidad 0.01 a 0.49
Moderada confiabilidad 0.5 a 0.75
Fuerte confiabilidad 0.76 a 0.89
Alta confiabilidad 0.9 a 1
Tabla 1. Resultados de la pre-test en la muestra piloto de los estudiantes del quinto
grado de secundaria del Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho – Chosica en
el 2015.
N° de
estud.
Preguntas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 2 2 1 2 2 0 3 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2
3 0 2 2 0 1 2 1 1 1 0 1 2
4 2 2 2 2 2 0 3 3 2 1 1 1
5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
6 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1
7 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1
8 2 0 2 1 1 2 3 2 2 1 2 1
9 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 0 2
10 2 2 2 2 2 2 3 0 2 0 1 0
11 2 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1
12 2 2 0 1 1 1 1 2 2 0 2 2
13 0 2 2 2 2 2 3 3 1 2 2 1
92
14 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2
15 2 0 2 1 1 2 2 2 1 2 0 1
16 2 0 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2
Escala: Confiabilidad Pre Test
Resumen del procesamiento de los casos
N %
Casos
Válidos 16 100,0
Excluidosa 0 0,0
Total 16 100,0
a. Eliminación por lista basada en todas las variables del
procedimiento.
Estadísticos de fiabilidad
Alfa de Cronbach N° de elementos
0,396 12
El coeficiente de confiabilidad para el pre-test de la muestra piloto por el método
de Alfa de Cronbach es 0,396, lo cual permite decir que, el pre-test en la muestra piloto
para medir la influencia de la Electro trigonometría en el proceso de aprendizaje de la
trigonometría tiene una baja confiabilidad, de acuerdo al criterio de confiabilidad de
valores.
Tabla 2. Resultados del post-test en la muestra piloto de los estudiantes del quinto grado
de secundaria del Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho – Chosica en el
2015.
93
N° de
estud.
Preguntas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 1 2 0 1 1 1 2 2 1 2 2
2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 1 0 2
3 1 1 0 1 2 2 1 2 1 1 0 1
4 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2
5 1 1 0 2 2 2 0 2 0 1 2 1
6 2 1 2 1 0 2 2 2 0 1 2 0
7 1 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 3
8 1 2 1 2 2 2 2 1 1 0 1 2
9 0 1 2 2 0 2 2 2 1 2 0 2
10 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 2
11 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 3 2
12 0 1 2 1 0 2 1 2 0 2 2 2
13 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1
14 1 1 0 1 2 2 2 0 2 0 2 1
15 1 0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2
16 1 2 2 0 2 2 0 2 1 2 1 0
Escala: Confiabilidad Post Test
Resumen del procesamiento de los casos
N %
Casos Válidos 16 100,0
Excluidosa 0 0,0
94
Total 16 100,0
a. Eliminación por lista basada en todas las variables
del procedimiento.
Estadísticos de fiabilidad
Alfa de Cronbach N de elementos
0,636 12
El coeficiente de confiabilidad para el pre-test de la muestra piloto por el método
de Alfa de Cronbach es 0,636, lo cual permite decir que, el post-test en la muestra piloto
para medir la influencia de la Electro trigonometría en el proceso de aprendizaje de la
trigonometría tiene una moderada confiabilidad, de acuerdo al criterio de confiabilidad
de valores.
4.2. Diseño Estadístico
4.2.1. Prueba de Normalidad de los Datos
Antes de realizar el análisis de los datos fue importante determinar si los datos
de la muestra tienen una distribución normal. Esta prueba de normalidad fue necesaria
porque nos permitió elegir una prueba paramétrica o no paramétrica.
La distribución normal de los datos es un modelo de distribución teórica donde
la mayoría de las puntuaciones se ubican al centro y en los extremos se encuentran sólo
algunas puntuaciones.
Para realizar la prueba de normalidad utilizamos el test de Kolmogorov-Smirnov
y Shapiro - Wilk, que es aplicable cuando el número de datos es como máximo 50.
95
Para realizar la prueba de normalidad se ha tomado un nivel de confianza del
95%, para la cual se planteó las siguientes hipótesis:
H1: El conjunto de datos no tienen una distribución normal.
H0: El conjunto de datos tienen una distribución normal.
Si el valor de significancia resulta menor que 0.05 entonces debe rechazarse H0,
es decir el conjunto de datos no tienen una distribución normal.
Según los resultados que se muestran en la Tabla 3, los valores de significancia
de las variables algunas eran menores que 0.05, por lo que se rechazó las hipótesis nula,
es decir, que el conjunto de datos no tienen una distribución normal en algunos de ellos.
Tabla 3
Resultados de Prueba de Normalidad de los Datos en el Grupo Experimental y Control.
Pruebas de normalidad
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Comunicación
Matemática - Pre Test
0,205 46 0,000 0,922 46 0,004
Razonamiento y
demostración - Pre Test
0,136 46 0,031 0,966 46 0,201
Resolución de
problemas - Pre Test
0,107 46 0,200* 0,960 46 0,113
Aprendizaje de
Trigonometría - Pre
Test
0,163 46 0,004 0,946 46 0,033
96
Comunicación
Matemática - Post Test
0,136 46 0,033 0,952 46 0,054
Razonamiento y
demostración - Post
Test
0,165 46 0,003 0,934 46 0,011
Resolución de
problemas - Post Test
0,195 46 0,000 0,928 46 0,007
Aprendizaje de
Trigonometría - Post
Test
0,165 46 0,003 ,937 46 0,015
*. Este es un límite inferior de la significación verdadera.
Fuente: Elaboración propia.
4.2.2. Modelo Estadístico Matemático
Prueba de U de Mann Whitney
La prueba U de Mann-Whitney es una prueba no paramétrica aplicada a dos
muestras independientes, se utiliza para comparar dos grupos de rangos (medianas) y
determinar que la diferencia sea estadísticamente significativa.
La fórmula es la siguiente:
97
Donde:
U1 y U2 = valores estadísticos de U Mann-Whitney.
n1 = tamaño de la muestra del grupo 1.
n2 = tamaño de la muestra del grupo 2.
R1 = sumatoria de los rangos del grupo 1.
R2 = sumatoria de los rangos del grupo 2.
La prueba de las hipótesis se realizó a un nivel de confianza del 95%. En la
prueba si el valor de significancia bilateral es menor que 0.05 entonces se rechaza la
Hipótesis Nula, es decir que existen evidencias de diferencias significativas entre los
grupos que se comparan.
4.3. Presentación y Análisis de los Resultados
4.3.1. Análisis Descriptivo de la Influencia de la Electro trigonometría
Comparación de las Medias Aritméticas de la Dimensión Comunicación Matemática.
En la Tabla 4 y Figura 1, se puede apreciar la comparación de los promedios de
la dimensión Comunicación matemática, según estos resultados en el Pre Test no se
observa diferencias significativas, mientras que en el Post Test la diferencia es de 4.57,
por lo que el grupo experimental mostró una mejora sustantiva luego de aplicación del
material didáctico.
Tabla 4
Comparación de las Medias Aritméticas de la dimensión Comunicación matemática.
Grupo N Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
Comunicación
Matemática - Pre Test
Grupo
Experimental
23 8,91 3,329 0,694
98
Grupo de
Control
23 9,00 3,680 0,767
Comunicación
Matemática - Post Test
Grupo
Experimental
23 14,83 2,269 0,473
Grupo de
Control
23 10,26 3,250 0,678
Fuente: Elaboración propia.
Figura 1. Gráfico de Barras de Comparación de las Medias Aritméticas de la
Comunicación matemática.
Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión Razonamiento y
Demostración.
Según los resultados que se muestran en la Tabla 5 y la Figura 2, en la
dimensión Razonamiento y demostración, en el pre test los estudiantes estaban con los
promedios aproximados. En el Post Test se observa que el grupo experimental obtuvo
un mejor promedio en comparación con el grupo de control, siendo esta diferencia
significativa de 4.82.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA - PRE TEST
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA - POST TEST
8.91 9
14.83
10.26
99
Tabla 5
Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión Razonamiento y Demostración.
Grupo N Media
Desviación
típ.
Error típ.
de la media
Razonamiento y
demostración - Pre Test
Grupo
Experimental
23 8,52 3,160 0,659
Grupo de Control 23 8,91 3,895 0,812
Razonamiento y
demostración - Post Test
Grupo
Experimental
23 15,91 1,564 0,326
Grupo de Control 23 11,09 2,827 0,589
Fuente: Elaboración propia.
Figura 2. Gráfico de Barras de Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión
Razonamiento y demostración.
Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión Resolución de problemas.
En la comparación de los promedios entre el grupo experimental y el grupo de
control sobre la Resolución de problemas, se observó que en el pre test ambos grupos
tenían sus promedios aproximados; esto era una condición necesaria porque al inicio del
0
2
4
6
8
10
12
14
16
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN -PRE TEST
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN -POST TEST
8.52 8.91
15.91
11.09
100
experimento ambos grupos deberían estar en las mismas condiciones. En el post test el
grupo experimental obtuvo un promedio mayor que el grupo de control (Ver Tabla 6 y
Figura 3).
Tabla 6
Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión Resolución de Problemas.
Grupo N Media
Desviación
típ.
Error típ.
de la media
Resolución de
problemas - Pre Test
Grupo
Experimental
23 8,48 4,209 0,878
Grupo de
Control
23 8,96 4,426 0,923
Resolución de
problemas - Post Test
Grupo
Experimental
23 14,87 2,181 0,455
Grupo de
Control
23 11,22 3,655 0,762
Fuente: Elaboración propia.
Figura 3. Gráfico de Barras de Comparación de las medias Aritméticas de la Dimensión
Resolución de Problemas.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - PRE TEST
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - POST TEST
8.48 8.96
14.87
11.22
101
Comparación de las medias Aritméticas del Aprendizaje de la Trigonometría.
Según los resultados de comparación de grupos que se observan en la Tabla 7 y
Figura 4, en el aprendizaje de la Trigonometría, el grupo experimental y el grupo de
control tenían su promedio iguales en el pre test, mientras que en el post test se obtuvo
que el grupo experimental obtuvo una diferencia en cuanto al promedio en comparación
del grupo de control.
Tabla 7
Comparación de las medias Aritméticas del aprendizaje de la Trigonometría.
Grupo N Media
Desviación
típ.
Error típ.
de la media
Aprendizaje de
Trigonometría - Pre Test
Grupo
Experimental
23 8,78 3,118 0,650
Grupo de
Control
23 8,78 3,503 0,730
Aprendizaje de
Trigonometría - Post Test
Grupo
Experimental
23 15,26 1,514 0,316
Grupo de
Control
23 10,70 3,007 0,627
Fuente: Elaboración propia.
102
Figura 4. Gráfico de Barras de Comparación de las medias Aritméticas del Aprendizaje
de la Trigonometría.
4.3.2. Resultados de la Prueba de U de Mann Whitney
Resultados de la Prueba de U de Mann Whitney en la Comunicación Matemática.
En la Tabla 8, se tiene los resultados de la Prueba de U de Mann Whitney de la
Comunicación matemática. En el Pre test el valor de significancia es de 0,876, que es
mayor que 0,05, (p-valor=0,876>0,05), lo cual indicaba que no había diferencias al
inicio de la aplicación del material didáctico. En el Post test se obtuvo un valor de
significancia de 0,000, este valor era menor que 0,05 (p-valor=0,000<0,05), lo cual
indica que hay diferencias significativas al finalizar el experimento.
Tabla 8
Prueba de U de Mann Whitney en la Comunicación Matemática.
Comunicación
Matemática - Pre Test
Comunicación
Matemática - Post Test
U de Mann-Whitney 257,500 63,000
W de Wilcoxon 533,500 339,000
0
2
4
6
8
10
12
14
16
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
GRUPO EXPERIMENTAL
GRUPO DE CONTROL
APRENDIZAJE DE TRIGONOMETRÍA -PRE TEST
APRENDIZAJE DE TRIGONOMETRÍA -POST TEST
8.78 8.78
15.26
10.7
103
Z -0,155 -4,474
Sig. asintót. (bilateral) 0,876 0,000
a. Variable de agrupación: Grupo
Fuente: Elaboración propia.
Resultados de la Prueba de U de Mann Whitney en el Razonamiento y demostración.
Según los que se observan en la Tabla 9 sobre el Razonamiento y demostración,
en el Pre test el valor de significancia bilateral es de 0,556, mayor que 0,05 (p-
valor=0,556>0,05), lo cual indicaba que no había diferencias en el inicio. En el Post test
se obtuvo el valor de significancia de 0,000 menor que 0,05 (p-valor=0,000<0,05), lo
cual indica que hay diferencias significativas entre los dos grupos al finalizar el
experimento.
Tabla 9
Prueba de U de Mann Whitney en el Razonamiento y Demostración.
Razonamiento y
demostración - Pre Test
Razonamiento y
demostración - Post Test
U de Mann-Whitney 238,000 41,500
W de Wilcoxon 514,000 317,500
Z -0,589 -4,942
Sig. asintót. (bilateral) 0,556 0,000
a. Variable de agrupación: Grupo
Fuente: Elaboración propia.
104
Resultados de la Prueba de U de Mann Whitney en la Resolución de problemas.
Según los resultados que se observan en la Tabla 10, en la Prueba de U de Mann
Whitney en la Resolución de problemas, al inicio del experimento el valor de
significancia bilateral obtenido fue de 0,691 que es mayor que 0,05 (p-
valor=0,691>0,05), lo cual indicaba que no había diferencias. En el Post test se obtuvo
que el valor de significancia de 0,000 menor que 0,05 (p-valor=0,000<0,05), lo cual
indica que había diferencias significativas.
Tabla 10
Prueba de U de Mann Whitney en la Resolución de problemas.
Resolución de
problemas - Pre Test
Resolución de
problemas - Post Test
U de Mann-Whitney 246,500 105,000
W de Wilcoxon 522,500 381,000
Z -0,398 -3,547
Sig. asintót. (bilateral) 0,691 0,000
a. Variable de agrupación: Grupo
Fuente: Elaboración propia.
Resultados de la Prueba de U de Mann Whitney en el Aprendizaje de la
Trigonometría.
En la Tabla 11, se muestran los resultados obtenidos mediante el IBM SPSS
Statistics 21, sobre la dimensión Aprendizaje de la Trigonometría. En el Pre test el valor
de significancia bilateral es de 0,929 que es mayor que 0,05 (p-valor=0, 929>0,05), lo
cual indicaba que no había diferencias al inicio. En el Post test se obtuvo que el valor de
105
significancia es de 0,000 menor que 0,05 (p-valor=0,000>0,05), lo cual indica que había
diferencias significativas entre los dos grupos al finalizar.
Tabla 11
Prueba de U de Mann Whitney en el Aprendizaje de la Trigonometría.
Aprendizaje de
Trigonometría - Pre Test
Aprendizaje de
Trigonometría - Post Test
U de Mann-Whitney 260,500 48,000
W de Wilcoxon 536,500 324,000
Z -0,090 -4,797
Sig. asintót. (bilateral) 0,929 0,000
a. Variable de agrupación: Grupo
Fuente: Elaboración propia.
4.3.3. Prueba de Hipótesis
En la prueba de las hipótesis se formulan las hipótesis nulas por cada hipótesis
de la investigación. La hipótesis nula (H0) significa que no hay diferencias entre los
puntajes de las dos variables, que es el caso contrario de la hipótesis alterna (H1). El
propósito de la prueba de hipótesis es evaluar la posibilidad de rechazar o aceptar la
hipótesis nula, si es rechazada entonces se acepta la hipótesis alterna.
En la pruebas se utilizó el paquete estadístico IBM SPSS Statistics 21, y un nivel
de confianza del 95%.
Prueba de Hipótesis General
H1: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el proceso de
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
106
H0: El uso de la Electro trigonometría no mejora significativamente en el proceso
de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Según los resultados de la Prueba de U de Mann Whitney en prueba de la
hipótesis general, se obtuvo un valor de significancia bilateral de 0,000 en el post test,
siendo este valor menor que 0,05 (p-valor=0,000<0,05), por lo que se rechazó la
Hipótesis Nula H0, aceptándose entonces la hipótesis de la investigación (Ver Tabla 12).
Tabla 12
Prueba de U de Mann Whitney en el Aprendizaje de la Trigonometría.
Fuente: Elaboración propia.
Conclusión: Existen razones suficientes para rechazar la hipótesis nula por lo que
podemos inferir que: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el
proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de
educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Primera Hipótesis Específica
H1: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente la comunicación
matemática en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del
grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-
Chosica.
H0: El uso de la Electro trigonometría no mejora significativamente la
comunicación matemática en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
107
estudiantes del grado de Educación Secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Según los resultados en la Comunicación matemática, a un nivel de confianza
del 95%, se obtuvo un valor de significancia bilateral de 0,000 menor que 0,05 (p-
valor=0,000<0,05) por lo que se rechazó la Hipótesis Nula H0, a un nivel de confianza
del 95% aceptándose entonces la hipótesis de la investigación (Ver Tabla 13).
Tabla 13
Prueba de U de Mann Whitney en la Comunicación matemática.
Fuente: Elaboración propia.
Conclusión: Existen razones suficientes para rechazar la hipótesis nula por lo que
podemos inferir que: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente la
comunicación matemática en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Segunda Hipótesis Específica
H1: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el
razonamiento y demostración en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
108
H0: El uso de la Electro trigonometría no mejora significativamente en el
razonamiento y demostración en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Según la Prueba de U de Mann Whitney en el post test en el Razonamiento y
Demostración, se obtuvo un valor de significancia bilateral de 0,000 menor que 0,05 (p-
valor=0,000<0,05), por lo que se rechazó la Hipótesis Nula H0, aceptándose entonces la
hipótesis de la investigación (Ver Tabla 14).
Tabla 14
Prueba de U de Mann Whitney en el Razonamiento y Demostración.
Fuente: Elaboración propia.
Conclusión: Existen razones suficientes para rechazar la hipótesis nula por lo que
podemos inferir que: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el
razonamiento y demostración en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Tercera Hipótesis Específica
H1: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en la resolución
de problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del
quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación,
Lurigancho-Chosica.
109
H0: El uso de la Electro trigonometría no mejora significativamente en la
resolución de problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Según los resultados en el post test de la Resolución de problemas, a un nivel de
confianza del 95%, se obtuvo un valor de significancia bilateral de 0,000 menor que
0,05 (p-valor=0,000<0,05), por lo que se aceptó la Hipótesis Nula H0 (Ver Tabla 15).
Tabla 15
Prueba de U de Mann Whitney en la Resolución de problemas.
Fuente: Elaboración propia.
Conclusión: Existen razones suficientes para rechazar la hipótesis nula por lo que
podemos inferir que: El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en la
resolución de problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
4.4. Discusión de los Resultados
La validación de los instrumentos fue necesaria antes de la aplicación a la
muestra, esta validación permite conocer el grado en el que un instrumento en verdad
mide la variable que se busca medir. Antes de la aplicación de los instrumentos, fue
necesaria la evaluación de la confiabilidad pues, permite conocer el grado en que un
instrumento produce resultados consistentes y coherentes.
110
Para poder determinar qué prueba utilizar, se realizó la prueba de normalidad de
los datos. Según los resultados de la prueba de Kolmogorov-Smirnov y Shapiro - Wilk,
no todas las variables de estudio tenían distribución normal. Dado esto, en la
comparación de los grupos de estudio se utilizó el estadístico U de Mann Whitney para
grupos independientes, a un nivel de confianza del 95%.
Para la realización de las pruebas de hipótesis, se utilizó la prueba no
paramétrica de U de Mann Whitney, a un nivel de confianza de 95%. Esta prueba nos ha
permitido hacer la comparación de los dos grupos independientes en el pre test y el post
test. La prueba fue realizada a un nivel de significancia del 95%, para la cual se ha
utilizado el paquete estadístico IBM SPSS Statistics 21. En la prueba si es que el valor
de significancia bilateral era menor que 0,05, entonces se rechazaría la hipótesis nula de
no diferencias, aceptándose la hipótesis de la investigación.
En la prueba de la hipótesis general, el valor de significancia bilateral obtenido
fue de 0,000 en el post test, como este valor es menor que 0,05, entonces se rechazó la
hipótesis nula. Aquí entonces se concluyó que el uso de la Electro trigonometría mejora
significativamente en el aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto
grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-
Chosica. De modo que se debe impulsar el uso de materiales didácticos como la Electro
trigonometría en las instituciones públicas para mejorar el aprendizaje de los temas de
Trigonometría.
En la prueba de la primera hipótesis específica, el valor de significancia bilateral
obtenido en el post test fue de 0,000, menor que 0,05, por lo que se consideró aceptada
la hipótesis de la investigación, es decir que el uso de la Electro trigonometría mejora
significativamente la comunicación matemática en el aprendizaje de la Trigonometría
en los estudiantes del grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
111
Aplicación, Lurigancho-Chosica. Ello indica que en la capacidad de la comunicación
matemática genera mayor asimilación al hacer uso del material didáctico mencionado.
Según la segunda prueba de hipótesis específica, los resultados obtenidos en la
Prueba de U de Mann Whitney, en la comparación de los grupos en el post test,
mostraron un valor de significancia de 0,000, menor que 0,05, por lo que se rechazó la
hipótesis nula, es decir que el uso de la Electro trigonometría mejora significativamente
en el razonamiento y demostración en el aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica. Lo que da como consecuencia mejor resultados en la
capacidad de razonamiento y demostración.
En la tercera prueba de hipótesis, se obtuvo un valor de significancia de 0,000 en
el post test, por lo que el valor se aceptó la Hipótesis alterna. Es decir que el uso de la
Electro trigonometría mejora significativamente en la resolución de problemas en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica. Lo que
amerita mejores resultados el uso del material didáctico mencionado en la resolución de
problemas.
112
Conclusiones
1. El uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el proceso de
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica. Según
los resultados de la Prueba de Hipótesis, las diferencias de puntajes entre el Grupo
de Control y el Grupo Experimental en el Post Test son significativos, a un nivel de
confianza del 95%.
2. Se concluye que el uso de la Electro trigonometría mejora significativamente la
comunicación matemática en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del grado de educación secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica. Según los resultados de la primera prueba de
hipótesis específica, el valor de significancia obtenido fue de 0,000, menor que
0,05, por lo que se rechazó la Hipótesis nula, aceptándose la Hipótesis alterna.
3. Se concluye que el uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en el
razonamiento y demostración en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en
los estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica. Según los resultados de la
prueba estadística U de Mann Whitney, el valor de significancia fue de 0,000, valor
que es mayor que 0,05, por lo que se aceptó la Hipótesis alterna.
4. Se concluye que el uso de la Electro trigonometría mejora significativamente en la
resolución de problemas en el proceso de aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación secundaria en el Colegio Experimental
de Aplicación, Lurigancho-Chosica. Según los resultados de la prueba estadística U
de Mann Whitney, el valor de significancia fue de 0,000, valor que es mayor que
0,05, por lo que se aceptó la Hipótesis alterna.
113
Recomendaciones
1. Se debe motivar a los docentes el empleo de materiales didácticos durante
sus sesiones de clase, como un complemento y una efectiva ayuda a fin de
reforzar el aprendizaje de los estudiantes en el área de matemática.
2. Se debe aplicar, sobre todo en las capacidades. El material didáctico “La
Electro trigonometría”, y que más suelen llamar la atención a los estudiantes.
3. Se debe utilizar los materiales didácticos concretos a largo plazo con la
finalidad de lograr un cambio de actitud favorable hacia el aprendizaje de la
trigonometría, por parte de los estudiantes.
4. Se debe utilizar sobre todo aquellos materiales didácticos que impliquen un
trabajo grupal, ya que nos parece que el trabajo en grupo motiva mucho más
la participación de los estudiantes en el trabajo matemático; dentro del
material didáctico destaco, “La Electro trigonometría”.
114
Referencias
Ausubel, D. (2005) Hacia un aprendizaje significativo, Edit. Riquelme, España.
Boyer, Carl B. Historia de la matemática. Alianza editorial. Madrid, 1986.
Gómez, M. (2009) Introducción a la metodología de la investigación científica. 2da
edición, editorial Brujas. Córdoba.
Hernández, R. & Otros (2014). Metodología de la investigación. Mc Graw Hill
Educación/Interamericana Editores, 6ta edición, impreso en México.
Herren, Miller y Hornsby. (2006). Matemática: razonamiento y aplicaciones. Icarson
edición de México, S.A.
Martel, V. (2006). ¿De qué se ocupa la Psicología? Editorial San Marcos, Lima - Perú
2006.
Peterson Jhon C. (2004). Matemáticas básicas: Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica. 4ta reimpresión. México, 2004. Compañía editorial continental.
Piscoya A. (2003). Investigación Científica y Educacional, un Enfoque Epistemológico.
Lima. Editorial San Marcos.
Sánchez, H. (2006). Metodología y diseños en investigación Científica, Visión
Universitaria. Lima – Perú, 2006.
Silvestre O., Margarita y Zilbertein T., José (2001). ¿Cómo hacer más eficiente el
aprendizaje? Editora Magistral Servicios Gráficos. Lima – Perú, 2001.
Chaca & Otros, (2008). El geo-plano como material didáctico en el aprendizaje de áreas
de figuras planas en los alumnos del primer grado de secundaria en la I.E.
Politécnico Regional del Centro – Huancayo. Tesis de la Universidad Peruana
“Los Andes”. Consultado el 30 de abril de 2015, de la base de datos:
http://es.scribd.com/doc/26290458/Proyecto-de-tesis-El-geoplano-como-
material-didactico#scribd.
115
De La Cruz, M (2011). Influencia del Electrigosam en el proceso de aprendizaje de las
funciones trigonométricas en el quinto año de secundaria de la IE “Santiago
Antúnez de Mayolo”, Colcabamba-Hvca. Tesis de maestría con mención
Administración Educativa de la Universidad Cesar Vallejo. Consultado y
adquirido por correo electrónico el 31 de abril de 2014.
Fernández, J (2008). Utilización del material didáctico, con recursos de ajedrez, para la
enseñanza de las matemáticas. Estudio de sus efectos sobre una muestra de
alumnos del 2° de primaria. Tesis de la Universidad Autónoma de Barcelona,
España. Consultado el 20 de abril de 2015, de la base de datos:
http://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/5053/jfa1de1.pdf?sequence=1.
García, C. (2001) Representación electrónica de la función seno y coseno. Revistas
Ciencias de Colombia. Consultado el 20 de abril del 2015, de la base de datos:
http://www.monografias.com/trabajos13/coseno/coseno.shtml.
Ogalde C., Isabel y Bardavid N., Esther (). Los Materiales Didácticos. Medios y recursos
de apoyo a la docencia. Editorial Trillas. México.
Suarez, M (2004) Guía didáctica para el inter-aprendizaje de trigonometría básica
empleando poliprisma en el primer año de bachillerato de la especialidad de física
y matemática del Colegio Nacional Teodoro Gómez de la Torre. Tesis de la
Universidad Técnica del Norte de Ecuador. Consultado el 20 de abril de 2015, de
la base de datos: www.monografias.com/trabajos85/interaprendizaje-
trigonometria-empleando-poliprisma/interaprendizaje-trigonometria-empleando-
poliprisma.shtml.
Vincenc, F. (2008). Didáctica de la Matemática. Edit. PR Ediciones Barcelona.
116
Vílchez, J. (2007). Modelo de enseñanza modular personalizada de funciones
trigonométricas en el quinto grado de educación secundaria. Tesis de la
Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima - Perú. Consultado el 28 de
abril de 2015, de la base de datos:
http://biblioteca.universia.net/html_bura/ficha/params/title/modelo-
ense%C3%B1anza-modular-personalizada-funciones-trigonometricas-quinto-
grado-educacion-secundaria/id/51070186.html.
Anexos
117
ANEXO 01
MATRIZ DE CONSISTENCIA
TITULO: “LA INFLUENCIA DE LA ELECTRO TRIGONOMETRÍA EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LA TRIGONOMETRÍA EN LOS ESTUDIANTES
DEL QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DEL COLEGIO EXPERIMENTAL DE APLICACIÓN, LURIGANCHO-CHOSICA”
AUTOR: PINO HUAMANI, Pepe
PROBLEMA OBJETIVOS HIPÓTESIS VARIABLES
PROBLEMA GENERAL
¿Cuál es la influencia del uso de la Electro trigonometría
en el aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica”?
PROBLEMAS ESPECÍFICOS
¿Cuál es la influencia del uso de la Electro
trigonometría la comunicación matemática en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del
quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica?
¿Cuál es la influencia del uso de la Electro
trigonometría en el razonamiento y demostración en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes del
quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica?
¿Cuál es la influencia del uso de la Electro
trigonometría mejora en la resolución de problemas en
el aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes de
quinto grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica?
OBJETIVO GENERAL
Probar que el uso la Electro trigonometría, mejora
en el aprendizaje de la Trigonometría en los
estudiantes del quinto grado de educación
secundaria en el Colegio Experimental de
Aplicación, Lurigancho-Chosica.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Probar que el uso de la Electro trigonometría
mejora la comunicación matemática en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del grado de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
Probar que el uso de la Electro trigonometría
mejora en el razonamiento y demostración en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria en el
Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-
Chosica.
Probar que el uso de la Electro trigonometría
mejora en la resolución de problemas en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria en el
Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-
Chosica.
HIPÓTESIS GENERAL
La Electro trigonometría mejora
significativamente en el aprendizaje de la
Trigonometría en los estudiantes del quinto grado
de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
HIPÓTESIS ESPECÍFICAS
La Electro trigonometría mejora significativamente
la comunicación matemática en el aprendizaje de la
Trigonometría en los estudiantes del grado de
educación secundaria en el Colegio Experimental
de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
La Electro trigonometría mejora significativamente
en el razonamiento y demostración en el
aprendizaje de la Trigonometría en los estudiantes
del quinto grado de educación secundaria en el
Colegio Experimental de Aplicación, Lurigancho-
Chosica.
La Electro trigonometría mejora significativamente
en la resolución de problemas en el aprendizaje de
la Trigonometría en los estudiantes del quinto grado
de educación secundaria en el Colegio
Experimental de Aplicación, Lurigancho-Chosica.
VARIABLE INDEPENDIENTE
Influencia de la Electro
trigonometría.
DIMENSIÓN:
Acción, formulación, validación,
institucionalización, evaluación.
INDICADORES
Selección de los conocimientos de
Trigonometría del quinto grado.
VARIABLE DEPENDIENTE
Aprendizaje de la Trigonometría.
DIMENSIÓN: comunicación
matemática, razonamiento y
demostración y resolución de
problemas.
INDICADORES
Evaluación sobre los conocimientos
de Trigonometría.
Notas de los estudiantes en el área de
Trigonometría.
118
VARI ABLES
DEFINICIONES
DIMENSIONES INDICADORES RANGO/REA
CTIVOS PUNTUACIÓN INSTRUM
ENTOS
INF
LU
EN
CIA
DE
LA
EL
EC
TR
OT
RIG
ON
OM
ET
RIA
Proceso constructivista que involucra
la interactividad
entre el material
didáctico y el estudiante.
Acción
Inicia inmediatamente la actividad propuesta.
1 - 5 20
20 Ficha de
observación
Se sienta adecuadamente al efectuar la actividad propuesta.
Realiza sus actividades sistemáticamente sin distraerse.
Efectúa sus actividades con el afán de encontrar una idea.
Formulación
Aporta ideas de las funciones trigonométricas.
1 - 5 20 Ayuda a sus compañeros, en caso de necesidad.
Respeta las ideas de los demás.
Participa respetuosamente en la democracia para así alguien exponga.
Validación
Evidencia lenguaje matemático en la pizarra literalmente escrito.
1 - 5 20 Al exponer utiliza lenguaje matemático.
La respuesta concebida es factible.
Responde las preguntas, tanto de sus compañeros como del profesor.
Institucionalización
Guarda atención sin distraerse a la hora de la devolución.
1 - 5 20 Sigue la secuencia al desarrollo que brinda el profesor.
Pregunta dudas al profesor.
Acepta las correcciones del profesor e intenta mejorar.
Evaluación
Termina sus actividades dadas en el tiempo establecido.
1 - 5 20 Permanece sentado en su pupitre, salvo necesario, con el permiso del profesor.
Participa en forma activa en la clase.
Logra realizar las actividades por sí solo(a).
AP
RE
ND
IZA
JE
DE
LA
TR
IGO
NO
ME
TR
IA
Importancia de los temas de mayor relevancia de trigonometría.
Comunicación matemática
Define coherentemente sobre las Circ. Trig. en situaciones de su entorno. 2(05)
20
20 Evaluación
escrita.
Reconoce los ángulos cuadrantales en una circunferencia trigonométrica en situaciones de su entorno.
2(05)
Razonamiento y demostración
Interpreta sobre áng. cuadrantales en una Circ. Trig. en situaciones de su entorno. 2(05)
20 Reflexiona sobre los ángulos notables en una circunferencia trigonométrica en situaciones de su entorno.
2(05)
Resolución de problemas
Elabora estrategias de solución para resolver problemas sobre las razones trigonométricas en situaciones de su entorno.
2(05)
20 Resuelve problemas que involucren las razones trigonométricas relacionando de su contexto.
2(05)
LA INFLUENCIA DE LA ELECTRO TRIGONOMETRÍA EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LA TRIGONOMETRÍA EN LOS ESTUDIANTES DEL QUINTO
GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DEL COLEGIO EXPERIMENTAL DE APLICACIÓN, LURIGANCHO-CHOSICA.
ANEXO 02
119
ANEXO 3 TITULO: “LA INFLUENCIA DE LA ELECTRO TRIGONOMETRÍA EN EL APRENDIZAJE DE LA TRIGONOMETRÍA EN LOS ESTUDIANTES DEL QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DEL COLEGIO EXPERIMENTAL DE APLICACIÓN, LURIGANCHO-CHOSICA” AUTOR: PINO HUAMANI, Pepe
PRE-TEST
INDICACIÓN: Lea detenidamente cada una de las preguntas y marque la alternativa
que considere correcta.
I. Comunicación Matemática
1. En una circunferencia trigonométrica el radio es igual a:
a) 2 b) ½ c) 1 d) 3,1415...
2. La razón seno es negativo en el................ cuadrante:
a) I b) II c) III y IV d) IV
3. El cuadrante donde todos los pares de números son positivos es:
a) II Cuadrante b) I cuadrante c) VI Cuadrante d) III Cuadrante
4. La razón tangente y la cotangente son positivos en el..........................
a) I C b) II C c) IV C d) III C
II. Razonamiento y Demostración
5. El valor de P= 6𝑠𝑒𝑛 90°+2𝑠𝑒𝑛 270°+sen 180°
4𝑐𝑜𝑠360°−5𝑐𝑜𝑠 0°+6𝑐𝑜𝑠 90° , es:
a) 4 b) -4 c) 5 d) -5
6. El valor numérico de: M=𝑠𝑒𝑛(30°)+2 cot(45°)−cos (30°)
sec(60°)−tan (45°), es:
a) 5+ √3
2 b)
5− √3
2 c)
3+ √3
2 d)
−5− √3
2
7. Calcular P=𝑡𝑎𝑛45°+𝑠𝑒𝑛45°
𝑐𝑡𝑔45°+𝑐𝑜𝑠45°
a) 1/√2 b) 1 c) √2 d) -1
8. El valor numérico de: P=(𝑐𝑜𝑠0°)𝑐𝑜𝑠90° −𝑡𝑎𝑛360°
𝑐𝑜𝑠360°+ (sec180°)𝑐𝑜𝑡90°, es:
a) 2 b) 0 c) -1 d) 1
III. Resolución de Problemas
9. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo
de 37º, mide 11 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
a) 8,25 m b) 8,15 m c) 8 m d) 8,10 m
10. Halle la altura de un arco de una loza deportiva que proyecta una sombra de 50 m,
con un ángulo de 53°.
a) 42 m b) 41 m c) 45 m d) 40 m
11. Un edificio que proyecta una sombra de 30°, con una distancia de 120 m hacia la
cúspide del edificio. Determine la altura de del edificio.
a) 54 m b) 62 m c) 58 m d) 60 m
12. El hilo de una cometa mide 50 m de largo y forma con la horizontal un ángulo de
37º, ¿a qué altura vuela la cometa?
a) 40 m b) 45 m c) 46 m d) 42 m
b)
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ANEXO 4 TITULO: “LA INFLUENCIA DE LA ELECTRO TRIGONOMETRÍA EN EL APRENDIZAJE DE LA TRIGONOMETRÍA EN LOS ESTUDIANTES DEL QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DEL COLEGIO EXPERIMENTAL DE APLICACIÓN, LURIGANCHO-CHOSICA” AUTOR: PINO HUAMANI, Pepe
POST-TEST
INDICACIÓN: Lea detenidamente cada una de las preguntas y marque la alternativa
que considere correcta.
I. Comunicación Matemática
1. En una circunferencia trigonométrica el radio es igual a:
a) 2 b) ½ c) 1 d) 3,1415...
2. La razón seno es negativo en el................ cuadrante:
a) I b) II c) III y IV d) IV
3. El cuadrante donde todos los pares de números son positivos es:
a) II Cuadrante b) I cuadrante c) VI Cuadrante d) III
Cuadrante
4. La razón tangente y la cotangente son positivos en el..........................
a) I C b) II C c) IV C d) III C
II. Razonamiento y Demostración
5. El valor de P= 6𝑠𝑒𝑛 90°+2𝑠𝑒𝑛 270°+sen 180°
4𝑐𝑜𝑠360°−5𝑐𝑜𝑠 0°+6𝑐𝑜𝑠 90° , es:
a) 4 b) -4 c) 5 d) -5
6. El valor numérico de: M=𝑠𝑒𝑛(30°)+2 cot(45°)−cos (30°)
sec(60°)−tan (45°), es:
𝑎) 5+ √3
2 b)
5− √3
2 c)
3+ √3
2 d)
−5− √3
2
7. Calcular P=𝑡𝑎𝑛45°+𝑠𝑒𝑛45°
𝑐𝑡𝑔45°+𝑐𝑜𝑠45°
a) 1/√2 b) 1 c) √2 d) -1
8. El valor numérico de: P=(𝑐𝑜𝑠0°)𝑐𝑜𝑠90° −𝑡𝑎𝑛360°
𝑐𝑜𝑠360°+ (sec180°)𝑐𝑜𝑡90°, es:
a) 2 b) 0 c) -1 d) 1
III. Resolución de Problemas
9. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un
ángulo de 37º, mide 11 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
a) 8,25 m b) 8,15 m c) 8 m d) 8,10 m
10. Halle la altura de un arco de una loza deportiva que proyecta una sombra de
50 m, con un ángulo de 53°.
a) 42 m b) 41 m c) 45 m d) 40 m
11. Un edificio que proyecta una sombra de 30°, con una distancia de 120 m hacia
la cúspide del edificio. Determine la altura de del edificio.
a) 54 m b) 62 m c) 58 m d) 60 m
12. El hilo de una cometa mide 50 m de largo y forma con la horizontal un ángulo
de 37º, ¿a qué altura vuela la cometa?
a) 40 m b) 45 m c) 46 m d) 42
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