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Operations Research

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TECHNICAL NOTE—A Comparison of Bertrand and CournotProfits in Oligopolies with Differentiated Products

Amr Farahat, Georgia Perakis,

To cite this article:Amr Farahat, Georgia Perakis, (2011) TECHNICAL NOTE—A Comparison of Bertrand and Cournot Profits in Oligopolies withDifferentiated Products. Operations Research 59(2):507-513. http://dx.doi.org/10.1287/opre.1100.0900

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OPERATIONS RESEARCHV o l . 5 9 , N o . 2 , M a r c h – A p r i l 2 0 1 1 , p p . 5 0 7 – 5 1 3i s s n 0 0 3 0 - 3 6 4 X ! e i s s n 1 5 2 6 - 5 4 6 3 ! 1 1 ! 5 9 0 2 ! 0 5 0 7

d o i 1 0 . 1 2 8 7 / o p r e . 1 1 0 0 . 0 9 0 0© 2 0 1 1 I N F O R M S

T E C H N I C A L N O T E

A C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t si n O l i g o p o l i e s w i t h D i f f e r e n t i a t e d P r o d u c t s

A m r F a r a h a tJ o h n s o n S c h o o l o f M a n a g e m e n t , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , N e w Y o r k 1 4 8 5 3 , f a r a h a t @ c o r n e l l . e d u

G e o r g i a P e r a k i sS l o a n S c h o o l o f M a n a g e m e n t , M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s e t t s 0 2 1 3 9 , g e o r g i a p @ m i t . e d u

W e c o m p a r e e q u i l i b r i u m p r o fi t s o f B e r t r a n d ( p r i c e ) a n d C o u r n o t ( q u a n t i t y ) c o m p e t i t i o n i n o l i g o p o l i e s w i t h a n a r b i t r a r yn u m b e r o f n o n s y m m e t r i c fi r m s o f f e r i n g d i f f e r e n t i a t e d s u b s t i t u t a b l e p r o d u c t s u n d e r a n a f fi n e d e m a n d f u n c t i o n . W e p r o v i d ea p r e c i s e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e p r o fi t r e l a t i o n s h i p i n t e r m s o f ( 1 ) t h e n u m b e r o f fi r m s , ( 2 ) t h e i r r e l a t i v e q u a l i t y a n d c o s td i f f e r e n c e s , a n d ( 3 ) t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y , d e fi n e d a s t h e m a x i u m u m a b s o l u t e v a l u e o f t o t a l c h a n g e i n c o m p e t i t o r s ’d e m a n d o v e r c h a n g e i n o w n d e m a n d d u e t o a u n i t c h a n g e i n o w n p r i c e . W e fi r s t e x a m i n e t h e c a s e w h e r e fi r m s h a v e t h es a m e d e m a n d s e n s i t i v i t y t o o w n p r i c e a n d t h e s a m e d e m a n d s e n s i t i v i t y t o c o m p e t i t o r p r i c e s b u t d i f f e r e n t c o s t a n d q u a l i t yp a r a m e t e r s . F o r t h i s c a s e , w e p r o v e t h a t t h e t o t a l p r o fi t o f t h e i n d u s t r y u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o n i s a t l e a s t a s h i g h a st h e t o t a l p r o fi t u n d e r B e r t r a n d c o m p e t i t i o n i f t h e n u m b e r o f fi r m s i s l e s s t h a n 2 8 o r i f t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y i s l e s st h a n 0 . 9 0 9 o r i f t h e d i f f e r e n c e s i n q u a l i t y a n d c o s t c o m p e t i t i v e n e s s b e t w e e n fi r m s a r e s m a l l . W e a l s o p r o v e t h a t f o r e a c hfi r m , t h e p r o fi t a c h i e v e d u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o n i s a t l e a s t a s h i g h a s t h e p r o fi t a c h i e v e d u n d e r B e r t r a n d c o m p e t i t i o ni f t h e n u m b e r o f fi r m s i s l e s s t h a n e i g h t o r i f t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y i s l e s s t h a n 0 . 7 3 9 . W e t h e n p r o v i d e n u m e r i c a l a n da n a l y t i c a l r e s u l t s t h a t q u a l i t a t i v e l y s u p p o r t t h e s a m e c o n c l u s i o n s f o r g e n e r a l a f fi n e d e m a n d f u n c t i o n s w i t h v a r i a b l e d e m a n ds e n s i t i v i t i e s t o p r i c e s .

S u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : o l i g o p o l y ; c o m p e t i t i o n ; B e r t r a n d ; C o u r n o t .A r e a o f r e v i e w : R e v e n u e M a n a g e m e n t .H i s t o r y : R e c e i v e d M a y 2 0 0 8 ; r e v i s i o n r e c e i v e d D e c e m b e r 2 0 0 9 ; a c c e p t e d J u l y 2 0 1 0 .

1 . I n t r o d u c t i o n

1 . 1 . M o t i v a t i o n

O l i g o p o l y c o m p e t i t i o n i s t h e s u b j e c t o f e x t e n s i v e s t u d yi n e c o n o m i c s a n d o p e r a t i o n s r e s e a r c h . I t i s w e l l k n o w nt h a t e q u i l i b r i u m p r i c e s , q u a n t i t i e s , a n d p r o fi t s i n o l i g o p o l ym o d e l s d e p e n d o n t h e s t r a t e g y v a r i a b l e s a d o p t e d b y fi r m s .A d i s t i n c t i o n i s c o m m o n l y d r a w n b e t w e e n B e r t r a n d c o m p e -t i t i o n , w h e r e fi r m s c o m p e t e d i r e c t l y o n p r i c e s , a n d C o u r n o tc o m p e t i t i o n , w h e r e fi r m s c o m p e t e d i r e c t l y o n p r o d u c t i o nq u a n t i t i e s . B e r t r a n d a n d C o u r n o t e q u i l i b r i a a r e , i n g e n e r a l ,d i f f e r e n t e v e n w h e n a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e e x i s t sb e t w e e n p r i c e s a n d q u a n t i t i e s . W h e n p r o d u c t s a r e p e r f e c ts u b s t i t u t e s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n B e r t r a n d a n d C o u r n o te q u i l i b r i a i s w e l l e s t a b l i s h e d : C o u r n o t c o m p e t i t i o n y i e l d sh i g h e r p r i c e s , h i g h e r p r o fi t s , a n d l o w e r q u a n t i t i e s t h a nB e r t r a n d c o m p e t i t i o n . T h e c a s e o f d i f f e r e n t i a t e d p r o d u c t s ,h o w e v e r , i s s i g n i fi c a n t l y m o r e c o m p l e x , e s p e c i a l l y w h e n i tc o m e s t o t h e p r o fi t r e l a t i o n s h i p . T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e ri s t o r e s o l v e a n o p e n q u e s t i o n o f w h i c h f o r m o f c o m p e -t i t i o n l e a d s t o h i g h e r p r o fi t s . O u r m a i n c o n t r i b u t i o n i s t os h o w t h a t C o u r n o t p r o fi t s a r e h i g h e r t h a n B e r t r a n d p r o fi t si n a l m o s t a l l c a s e s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t . C o u r n o t p r o fi t s a r ea l w a y s h i g h e r t h a n B e r t r a n d p r o fi t s e x c e p t i n e x t r e m e c a s e s

w h e r e a l l o f t h e f o l l o w i n g t h r e e c o n d i t i o n s h o l d : ( i ) l a r g en u m b e r o f fi r m s , ( i i ) h i g h l e v e l o f c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y ,a n d ( i i i ) l a r g e d i f f e r e n c e s i n q u a l i t y a n d c o s t c o m p e t i t i v e -n e s s a m o n g fi r m s . P r e c i s e t h r e s h o l d s a r e p r o v i d e d i n § 3 .I n c o n t r a s t t o m o d e l s p r e v i o u s l y s t u d i e d i n t h e l i t e r a -

t u r e , o u r m o d e l i s m o r e r e a l i s t i c i n t h a t t h e p r o d u c t s a r ed i f f e r e n t i a t e d , t h e n u m b e r o f fi r m s i s a r b i t r a r y , a n d t h efi r m s a r e n o t n e c e s s a r i l y s y m m e t r i c . T h e d e m a n d f u n c -t i o n a s s u m e d i s a f fi n e , w h i c h i s a c o m m o n a s s u m p t i o n i ne c o n o m i c m o d e l s ( s e e S i n g h a n d V i v e s 1 9 8 4 , K l e m p e r e ra n d M e y e r 1 9 8 6 , H a r r i n g t o n 1 9 9 5 ) , i n m a r k e t i n g m o d e l s( s e e M c G u i r e a n d S t a e l i n 1 9 8 3 , C h o i 1 9 9 1 , G u p t a a n dL o u l o u 1 9 9 8 ) , a n d i n t h e o p e r a t i o n s m a n a g e m e n t m o d -e l s ( s e e A l l o n a n d F e d e r g r u e n 2 0 0 7 , G o y a l a n d N e t e s s i n e2 0 0 7 , Z h a n g 2 0 0 2 ) . T h e a f fi n e d e m a n d f u n c t i o n h a s a l s ob e e n u t i l i z e d i n s e v e r a l e m p i r i c a l s t u d i e s o f d i f f e r e n t i a t e do l i g o p o l i e s ( s e e C i c c h e t t i e t a l . 1 9 7 6 , V i l c a s s i m e t a l . 1 9 9 9 ,D u b é a n d M a n c h a n d a 2 0 0 5 ) .A n u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o fi t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

B e r t r a n d a n d C o u r n o t c o m p e t i t i o n c o n t r i b u t e s i n s i g h t s i n t oa n u m b e r o f c o m p e t i t i v e s i t u a t i o n s . C l e a r l y , fi r m s i n m a n yi n d u s t r i e s c o m p e t e i n b o t h p r i c e s a n d q u a n t i t i e s . H o w e v e r ,t e c h n o l o g i c a l , m a r k e t i n g , o r l e g i s l a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f a ni n d u s t r y o f t e n d i c t a t e t h e r e l a t i v e t i m i n g o f p r i c i n g a n d

5 0 7

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F a r a h a t a n d P e r a k i s : C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t s5 0 8 O p e r a t i o n s R e s e a r c h 5 9 ( 2 ) , p p . 5 0 7 – 5 1 3 , © 2 0 1 1 I N F O R M S

q u a n t i t y ( o r c a p a c i t y ) d e c i s i o n s a n d t h e r e l a t i v e e a s e b yw h i c h t h e s e d e c i s i o n s m a y b e a d j u s t e d . T h e s i g n i fi c a n c eo f t h e B e r t r a n d a n d C o u r n o t m o d e l s l i e s i n t h e f a c t t h a tt h e y p r o v i d e e q u i v a l e n t o n e - s t a g e r e d u c t i o n s o f m o r e c o m -p l e x m o d e l s . A p r i m e e x a m p l e i s t h e c a s e w h e n p r o d u c t i o na n d p r i c i n g d e c i s i o n s a r e s e q u e n t i a l . C o n s i d e r a n i n d u s t r yw h e r e s t r a t e g i c p r o d u c t i o n ( o r c a p a c i t y b u i l d - u p ) d e c i s i o n sn e e d t o b e m a d e w e l l i n a d v a n c e o f t h e s e l l i n g s e a s o na n d a r e l a t e r f o l l o w e d b y t a c t i c a l p r i c e c o m p e t i t i o n ( f o ri n s t a n c e , a m a k e - t o - s t o c k s e t t i n g ) . F o r o l i g o p o l i e s h a v i n ga n a r b i t r a r y n u m b e r o f fi r m s o f f e r i n g d i f f e r e n t i a t e d p r o d -u c t s , F r i e d m a n ( 1 9 8 8 ) h a s s h o w n , u n d e r m i l d r e s t r i c t i o n so n t h e d e m a n d a n d s p i l l - o v e r f u n c t i o n s , t h a t t h e o u t c o m eo f t h i s t w o - s t a g e q u a n t i t y - p r i c e g a m e i s e q u i v a l e n t t o t h eo u t c o m e o f a o n e - s t a g e C o u r n o t g a m e . I f t h e s e q u e n c e o fd e c i s i o n s i s r e v e r s e d , w i t h p r i c i n g d e c i s i o n s p r e c e d i n g p r o -d u c t i o n d e c i s i o n s ( f o r i n s t a n c e , a m a k e - t o - o r d e r s e t t i n g ) ,t h e n t h e o u t c o m e i s t h a t o f a o n e - s t a g e B e r t r a n d g a m e .T h u s , t h e B e r t r a n d a n d C o u r n o t m o d e l s a r e a p p l i c a b l e i ns i t u a t i o n s w h e r e fi r m s c o m p e t e i n b o t h p r i c e s a n d q u a n t i -t i e s a s l o n g a s t h e s e d e c i s i o n s a r e s e q u e n t i a l ( s e e a l s o V i v e s1 9 9 9 , p . 1 3 2 ; T i r o l e 1 9 8 8 , p p . 2 1 7 – 2 1 8 ; a n d K r e p s a n dS c h e i n k m a n 1 9 8 3 ) . N o w c o n s i d e r a n i n d u s t r y t h a t , d u e t ol e a d - t i m e r e d u c t i o n s , h a s e v o l v e d f r o m C o u r n o t t o B e r t r a n dc o m p e t i t i o n . T h e r e a r e o b v i o u s o p e r a t i o n a l a d v a n t a g e s o ft h i s e v o l u t i o n i n t e r m s o f i n v e n t o r y a n d d e m a n d u n c e r -t a i n t y r e d u c t i o n . H o w e v e r , l o o k i n g a t t h e u n d e r l y i n g c o m -p e t i t i v e g a m e , t h e r e s u l t s o f t h i s p a p e r s u g g e s t t h a t a l o s s o fi n d u s t r y p r o fi t s i s l i k e l y t o o c c u r a s p r i c e s , n o t q u a n t i t i e s ,b e c o m e t h e d o m i n a n t s t r a t e g y v a r i a b l e . T h i s l o s s o f p r o fi tw i l l p a r t i a l l y o f f s e t t h e o t h e r o p e r a t i o n a l g a i n s a c h i e v e d .

O t h e r e x a m p l e s o f i n d u s t r i e s e v o l v i n g f r o m o n e f o r mo f c o m p e t i t i o n t o t h e o t h e r i n c l u d e t h e m o d e l s a n a l y z e db y H o l t a n d S c h e f f m a n ( 1 9 8 7 ) a n d b y P a d m a n a b h a n a n dP n g ( 1 9 9 7 ) . H o l t a n d S c h e f f m a n ( 1 9 8 7 ) s h o w t h a t i f fi r m su s e m o s t - f a v o r e d c u s t o m e r o r m e e t - o r - r e l e a s e c o n t r a c t s ,t h e n t h e B e r t r a n d g a m e t r a n s f o r m s i n t o a C o u r n o t g a m e .P a d m a n a b h a n a n d P n g ( 1 9 9 7 ) s h o w t h a t i f m a n u f a c t u r e r su s e r e t u r n p o l i c i e s t h e n t h e C o u r n o t g a m e t r a n s f o r m s i n t oa B e r t r a n d g a m e . A c o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o tp r o fi t s i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d i n g t h e i n d u s t r y - w i d e p r o fi ti m p l i c a t i o n s o f s u c h t r a n s f o r m a t i o n s .

F i n a l l y , t h e r e a r e i n d u s t r i e s w h e r e a m b i g u i t y e x i s t s a st o w h e t h e r a B e r t r a n d o r a C o u r n o t a p p r o x i m a t i o n i s t h em o s t a p p l i c a b l e ( s e e , f o r i n s t a n c e , B r a n d e r a n d Z h a n g 1 9 9 0f o r a n e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e a i r l i n e i n d u s t r y ) . O u rr e s u l t s s p e c i f y w h i c h t y p e o f e q u i l i b r i u m i s m o r e “ c o n s e r -v a t i v e ” f r o m a p r o fi t a b i l i t y p o i n t o f v i e w .

T h e p r o fi t c o m p a r i s o n i n t h e e c o n o m i c s l i t e r a t u r e h a sf o c u s e d o n d u o p o l y a n d s y m m e t r i c fi r m m o d e l s . S i n g h a n dV i v e s ( 1 9 8 4 ) w e r e t h e fi r s t t o s h o w t h a t C o u r n o t p r o fi t sa r e h i g h e r t h a n B e r t r a n d p r o fi t s f o r e a c h fi r m i n d i f f e r -e n t i a t e d d u o p o l i e s w i t h a f fi n e d e m a n d . V i v e s ( 1 9 8 5 ) t h e ns h o w e d t h a t C o u r n o t p r o fi t s a r e h i g h e r t h a n B e r t r a n d p r o f -i t s f o r e a c h fi r m i n o l i g o p o l i e s c h a r a c t e r i z e d b y a n a r b i -t r a r y n u m b e r o f fi r m s a n d m o r e g e n e r a l d e m a n d f u n c t i o n s

i f a l l fi r m s a r e i d e n t i c a l i n e v e r y r e s p e c t ( i n c l u d i n g q u a l -i t y d i f f e r e n c e s a n d m a r g i n a l c o s t s ) . R e l a t e d w o r k o n t h ec o m p a r i s o n o f p r i c e s a n d q u a n t i t i e s , b u t n o t p r o fi t s , u n d e rb o t h t y p e s o f c o m p e t i t i o n i n c l u d e s t h e p a p e r s b y H a t h a w a ya n d R i c k a r d ( 1 9 7 9 ) , C h e n g ( 1 9 8 5 ) , O k u g u c h i ( 1 9 8 7 ) , a n dA m i r a n d J i n ( 2 0 0 1 ) .B y a s s u m i n g c o n s t a n t d e m a n d s e n s i t i v i t i e s t o o w n p r i c e

a n d c o n s t a n t d e m a n d s e n s i t i v i t i e s t o c o m p e t i t o r p r i c e s ,H a c k n e r ( 2 0 0 0 ) n o t e s t h a t i f d i f f e r e n c e s i n q u a l i t y ( a s m e a -s u r e d b y d e m a n d w h e n a l l p r o d u c t s a r e o f f e r e d f o r f r e e )b e t w e e n fi r m s a r e s m a l l , t h e n C o u r n o t p r o fi t s a r e h i g h e rt h a n B e r t r a n d p r o fi t s . H o w e v e r , i f q u a l i t y d i f f e r e n c e s a r el a r g e , t h e n h i g h - q u a l i t y fi r m s m a y e a r n l o w e r p r o fi t s u n d e rC o u r n o t c o m p e t i t i o n . T h e r e s u l t s i n o u r p a p e r s u p p o r t t h i sq u a l i t a t i v e o b s e r v a t i o n . H o w e v e r , w e s h o w t h a t t h e r e i s ap r e c i s e ( h i g h ) t h r e s h o l d o n t h e n u m b e r o f fi r m s a n d t h ec o m p e t i t i o n i n t e n s i t y u n d e r w h i c h a l l fi r m s i n t h e o l i g o p o l y ,r e g a r d l e s s o f t h e i r q u a l i t y d i f f e r e n c e s , e a r n p r o fi t s t h a ta r e h i g h e r u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o n ( c o n t r a s t t h i s w i t hP r o p o s i t i o n 2 o f H a c k n e r 2 0 0 0 ) . F u r t h e r m o r e , w e a n a l y z et h e t o t a l p r o fi t r e l a t i o n s h i p a n d s h o w n u m e r i c a l l y t h a t b o t hi n d i v i d u a l a n d t o t a l p r o fi t a b i l i t y r e s u l t s h o l d u n d e r g e n e r a la f fi n e d e m a n d m o d e l s .

2 . M o d e lC o n s i d e r a n o l i g o p o l y c o n s i s t i n g o f n fi r m s e a c h o f f e r i n g ad i f f e r e n t i a t e d p r o d u c t . L e t p

i

d e n o t e t h e p r i c e c h a r g e d f o rp r o d u c t i a n d l e t q

i

d e n o t e t h e q u a n t i t y s o l d . T h e v e c t o r so f p r i c e s , p , a n d q u a n t i t i e s , q , a r e r e l a t e d b y t h e a f fi n er e l a t i o n s h i p

q = d − B p !

w h e r e − B i s a n n × n m a t r i x o f d e m a n d s e n s i t i v i t i e s t op r i c e c h a n g e s . S p e c i fi c a l l y , i f b

i j

i s t h e " i ! j # t h e l e m e n to f m a t r i x B , t h e n − b

i j

i s t h e c h a n g e i n q u a n t i t y s o l d b yfi r m i a s a r e s u l t o f a u n i t c h a n g e i n t h e p r i c e c h a r g e db y fi r m j , h o l d i n g a l l o t h e r p r i c e s c o n s t a n t . T h e v e c t o r d ,a s s u m e d t o b e n o n n e g a t i v e , r e p r e s e n t s d e m a n d w h e n p r o d -u c t s a r e o f f e r e d f o r f r e e a n d r e fl e c t s q u a l i t y d i f f e r e n c e sa c r o s s p r o d u c t s . T h e d i a g o n a l e l e m e n t s o f B a r e a s s u m e dt o b e p o s i t i v e , a n d t h e o f f - d i a g o n a l e l e m e n t s a r e a s s u m e dt o b e n o n n e g a t i v e . T h e l a t t e r i m p l i e s t h a t p r o d u c t s a r eg r o s s s u b s t i t u t e s . W e a l s o a s s u m e t h a t B i s c o l u m n d i a g -o n a l l y d o m i n a n t ; t h a t i s , ! b

i i

! > !j $= i

! bj i

! f o r a l l i . T h i s i sa c o m m o n a s s u m p t i o n i n t h e l i t e r a t u r e a n d c a n b e j u s t i -fi e d b y c o n s i d e r i n g t h e c h a n g e i n t o t a l m a r k e t d e m a n d a sa r e s u l t o f a u n i t i n c r e a s e i n t h e p r i c e c h a r g e d b y fi r m i ,h o l d i n g a l l o t h e r p r i c e s c o n s t a n t . T h i s c h a n g e i s e q u a l t o− ! b

i i

! + !j $= i

! bj i

! . C o l u m n d i a g o n a l d o m i n a n c e s t a t e s t h a tt h i s c h a n g e i s n e g a t i v e , a s w o u l d b e e x p e c t e d i n m a n y m a r -k e t s . T h e r a t i o s r

i

$ = !j $= i

! bj i

! / ! bi i

! < 1 p l a y a n i m p o r t a n tr o l e i n o u r a n a l y s i s . F o r fi r m i , r

i

c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h ea b s o l u t e v a l u e o f t o t a l c h a n g e i n c o m p e t i t o r s ’ d e m a n d o v e rc h a n g e i n o w n d e m a n d d u e t o a u n i t c h a n g e i n o w n p r i c e .

Dow

nloa

ded

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info

rms.o

rg b

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, at 0

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. Fo

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l use

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ll rig

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ved.

F a r a h a t a n d P e r a k i s : C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t sO p e r a t i o n s R e s e a r c h 5 9 ( 2 ) , p p . 5 0 7 – 5 1 3 , © 2 0 1 1 I N F O R M S 5 0 9

L e t r $ = m a x % ri

$ i = 1 ! & & & ! n ' d e n o t e t h e m a x i m u m r a t i oa c r o s s a l l fi r m s . W e w i l l r e f e r t o r a s t h e c o m p e t i t i o n i n t e n -s i t y . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e a b o v e a s s u m p t i o n s i m p l yt h a t B b e l o n g s t o a c l a s s o f m a t r i c e s k n o w n a s M - m a t r i c e s .T h e a p p e n d i x , a v a i l a b l e o n l i n e a s a n e l e c t r o n i c c o m p a n -i o n a t h t t p : / / o r . j o u r n a l . i n f o r m s . o r g / , c o n t a i n s a s u m m a r y o fp r o p e r t i e s o f M - m a t r i c e s r e l e v a n t t o t h i s p a p e r . A d e t a i l e de x p o s i t i o n c a n b e f o u n d i n H o r n a n d J o h n s o n ( 1 9 9 1 ) .

T h e m a r g i n a l c o s t o f p r o d u c t i o n f o r p r o d u c t i i s a s s u m e dt o b e c o n s t a n t . L e t c

i

d e n o t e t h e m a r g i n a l c o s t o f p r o d u c t ia n d l e t c d e n o t e t h e v e c t o r o f a l l m a r g i n a l c o s t s . T h e q u a n -t i t y �d $ = d − B c r e p r e s e n t s d e m a n d w h e n a l l fi r m s p r i c e a tm a r g i n a l c o s t a n d p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n o u r a n a l y s i s .W e a s s u m e t h a t �d � 0 . T h i s e s s e n t i a l l y s t a t e s t h a t e a c h fi r mc a n g u a r a n t e e n o n n e g a t i v e p r o fi t s i n t h i s o l i g o p o l y a s l o n ga s i t s c o m p e t i t o r s p r i c e a t o r a b o v e t h e i r m a r g i n a l c o s t s .O u r fi n a l a s s u m p t i o n i s t h a t t h e p r o d u c t i o n c a p a c i t y o f e a c hfi r m i s u n l i m i t e d .

I n B e r t r a n d c o m p e t i t i o n , a n e q u i l i b r i u m i s r e a c h e d i fn o fi r m c a n i m p r o v e i t s p r o fi t b y u n i l a t e r a l l y c h a n g i n g i t sp r i c e . I n C o u r n o t c o m p e t i t i o n , a n e q u i l i b r i u m i s r e a c h e d i fn o fi r m c a n i m p r o v e i t s p r o fi t b y u n i l a t e r a l l y c h a n g i n g i t sp r o d u c t q u a n t i t y , a s s u m i n g t h a t m a r k e t - c l e a r i n g p r i c e s a r ed e t e r m i n e d b y i n v e r t i n g t h e d e m a n d f u n c t i o n . A n y e q u i l i b -r i u m B e r t r a n d p r i c e a n d q u a n t i t y v e c t o r s , d e n o t e d b y %p b

a n d %q b , r e s p e c t i v e l y , a n d a n y e q u i l i b r i u m C o u r n o t p r i c e a n dq u a n t i t y v e c t o r s , d e n o t e d b y %p c a n d %q c , r e s p e c t i v e l y , m u s ts a t i s f y a s e t o f fi r s t - o r d e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s . T h e f a c tt h a t B i s a n M - m a t r i x r e a d i l y i m p l i e s t h a t t h e s e c o n d i t i o n sa r e s u f fi c i e n t , t h a t B e r t r a n d a n d C o u r n o t e q u i l i b r i a e x i s t ,a r e u n i q u e , a n d a r e g i v e n b y

%p k = " B + � k

#

− 1 �d + c ! ( 1 )

%q k = � k

" %p k − c # ! ( 2 )

w h e r e k ∈ % b ! c ' , � b = d i a g " B # , a n d � c = ( d i a g " B − 1# )

− 1&

F r o m ( 2 ) , t h e e l e m e n t s o f t h e d i a g o n a l m a t r i c e s � b a n d � c

c a n b e i n t e r p r e t e d a s e q u i l i b r i u m o u t p u t / m a r k u p r a t i o s .A m i r a n d J i n ( 2 0 0 1 ) h a v e r e m a r k e d t h a t � c � � b ( a l l v e c t o ra n d m a t r i x i n e q u a l i t i e s i n t h i s p a p e r a r e t o b e i n t e r p r e t e dc o m p o n e n t - w i s e ) . W e u s e t h i s f a c t i n o u r r e s u l t s t o g e t h e rw i t h a l o w e r b o u n d o n � c b a s e d o n a c l a s s i c r e s u l t i n m a t r i xt h e o r y b y O s t r o w s k i ( 1 9 5 2 ) :

0 < " I − R 2# � b � � c � � b ( 3 )

w h e r e R i s a d i a g o n a l m a t r i x w h o s e i t h d i a g o n a l e l e m e n ti s r

i

$ = !j $= i

! bj i

! / ! bi i

! . N o t e t h a t i n t h e a b s e n c e o f c r o s s -e l a s t i c i t i e s R = 0 a n d b o t h t y p e s o f c o m p e t i t i o n c o i n c i d ei n t h e i r e q u i l i b r i u m p r i c e s a n d q u a n t i t i e s .

I t i s w e l l k n o w n ( s e e , f o r e x a m p l e , O k u g u c h i 1 9 8 7 ) t h a t%p b � %p c . N o s i m p l e r e l a t i o n s h i p e x i s t s b e t w e e n %q c a n d %q b .O n t h e o n e h a n d , C o u r n o t p r i c e s a r e h i g h e r , b u t o n t h eo t h e r h a n d , C o u r n o t e q u i l i b r i u m o u t p u t p e r u n i t m a r k u p i sl o w e r , � c � � b . T h e s e o p p o s i n g f a c t o r s l e a d t o a c o m p l e xr e l a t i o n s h i p w h e n a n a l y z i n g p r o fi t s .

3 . R e s u l t s

3 . 1 . U n i f o r m D e m a n d

T o g a i n i n s i g h t i n t o t h e p r o fi t r e l a t i o n s h i p , w e fi r s t f o c u so n t h e c a s e w h e r e p r o d u c t s a r e i d e n t i c a l w i t h r e s p e c t t ot h e i r d e m a n d s e n s i t i v i t i e s ( b u t m a y s t i l l d i f f e r w i t h r e s p e c tt o m a r g i n a l c o s t s o r t h e e l e m e n t s o f d ) . T h e r e f o r e , i n t h i ss e c t i o n w e a s s u m e t h a t B = " 1 + x # I − x H w h e r e I d e n o t e st h e i d e n t i t y m a t r i x a n d H d e n o t e s a m a t r i x , a l l o f w h o s ee l e m e n t s a r e e q u a l t o 1 . T h e a s s u m p t i o n s t a t e s t h a t a l l fi r m sh a v e e q u a l d e m a n d s e n s i t i v i t i e s t o o w n p r i c e s , s c a l e d ( w i t h -o u t l o s s o f g e n e r a l i t y ) t o − 1 , a n d e q u a l d e m a n d s e n s i t i v i t i e st o c o m p e t i t o r p r i c e s , e q u a l t o x . T h e l a t t e r i s e q u i v a l e n tt o a s s u m i n g t h a t e a c h fi r m ’ s d e m a n d d e p e n d s o n t h e a v e r -a g e o f i t s c o m p e t i t o r s ’ p r i c e s , n o t t h e i r a c t u a l d i s t r i b u t i o n .C l e a r l y , 0 � x < 1 / " n − 1 # t o b e c o n s i s t e n t w i t h e a r l i e ra s s u m p t i o n s . W e r e f e r t o t h i s m o d e l a s t h e u n i f o r m a f fi n ed e m a n d m o d e l .L e t e d e n o t e a c o l u m n v e c t o r , a l l o f w h o s e e l e m e n t s a r e

e q u a l t o 1 . S p e c i a l i z i n g ( 1 ) t o t h e u n i f o r m d e m a n d m o d e l ,w e g e t f o r k ∈ % b ! c '

� k = *

k I !

%p k = 11 + x + *

k

"�d + x " e ' �d #

1 − r + *

k

e#+ c !

w h e r e *

b = 1 , a n d *

c = 1 − " r

2/ " " n − 1 # " 1 − r # + r # # .

W e fi r s t e s t a b l i s h s u f fi c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e p r o fi t o fe a c h fi r m u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o n t o b e a t l e a s t a s h i g ha s i t s p r o fi t u n d e r B e r t r a n d c o m p e t i t i o n . W e t h e n e s t a b -l i s h ( w e a k e r ) c o n d i t i o n s f o r t h e i n d u s t r y ’ s t o t a l p r o fi t u n d e rC o u r n o t c o m p e t i t i o n t o b e a t l e a s t a s h i g h a s i t s p r o fi t u n d e rB e r t r a n d c o m p e t i t i o n . T h e c o n d i t i o n s a r e i n t e r m s o f t h en u m b e r o f fi r m s , n , t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y , r , a n d t h ev a r i a b i l i t y a m o n g t h e e l e m e n t s o f �d . W e t h e n s h o w n u m e r i -c a l l y t h a t t h i s a n a l y s i s i s “ t i g h t ” i n t h e s e n s e t h a t i f t h e s u f -fi c i e n t c o n d i t i o n s a r e s l i g h t l y v i o l a t e d , t h e n i n s t a n c e s e x i s tw h e r e B e r t r a n d p r o fi t s e x c e e d C o u r n o t p r o fi t s .F o r e a c h fi r m i , d e fi n e

˜+

i

$ =˜d

i!n

j = 1˜d

j

&

C l e a r l y , 0 � ˜+

i

� 1 . F i r m s w i t h h i g h e r v a l u e s o f ˜+

i

c a nb e r e g a r d e d a s m o r e c o m p e t i t i v e b e c a u s e t h e y h a v e h i g h e rd e m a n d a t z e r o p r i c e , d

i

, a n d / o r l o w e r c o s t , ci

.

T h e o r e m 1 . Under the uniform affine demand model, theprofit of firm i under Cournot competition is at least ashigh as its profit under Bertrand competition if$ ˜+

i

n − 1n − 1

% $, + -

, + 1

%�$

21 + -

% $1 − " 1 − - #

" 1 + - # + " 1 − - # / n

%!

where - $ = " " n − 1 # " 1 − r # # / " n − " 1 − r # # and , $ =�" -

2 + " n − 1 # - # / " 1 + " n − 1 # - # . In particular, the profitof each firm under Cournot competition is at least as highas its profit under Bertrand competition if the number offirms is less than eight or if the competition intensity, r , isless than 0 & 7 3 9 .

Dow

nloa

ded

from

info

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rg b

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, at 0

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. Fo

r per

sona

l use

onl

y, a

ll rig

hts r

eser

ved.

F a r a h a t a n d P e r a k i s : C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t s5 1 0 O p e r a t i o n s R e s e a r c h 5 9 ( 2 ) , p p . 5 0 7 – 5 1 3 , © 2 0 1 1 I N F O R M S

A l l p r o o f s a r e c o n t a i n e d i n t h e a p p e n d i x , a v a i l a b l e o n l i n ea s a n e l e c t r o n i c c o m p a n i o n . I t i s c l e a r t h a t t h e i n e q u a l i t yo f T h e o r e m 1 i s s a t i s fi e d f o r ˜

+

i

� 1 / n . T h a t i s , fi r m s o fa v e r a g e o r l e s s t h a n a v e r a g e c o m p e t i t i v e n e s s ( a s m e a s u r e db y ˜

+

i

) e x p e r i e n c e h i g h e r p r o fi t s u n d e r C o u r n o t c o m p e t i -t i o n . F i r m s w i t h h i g h v a l u e s o f ˜

+

i

, h o w e v e r , m a y e x p e r i -e n c e h i g h e r p r o fi t s u n d e r B e r t r a n d c o m p e t i t i o n . F i g u r e 1 ( a )i l l u s t r a t e s t h e r e g i o n v i o l a t e d b y t h e i n e q u a l i t y o f T h e o -r e m 1 w h e n c o m p e t i t i v e n e s s i s m a x i m u m ; t h a t i s , w h e n˜+

i

= 1 . T h e s o l i d c u r v e o u t l i n e s t h e s u f fi c i e n t c o n d i t i o n

F i g u r e 1 . P r o fi t r e l a t i o n s h i p u n d e r t h e u n i f o r m d e m a n dm o d e l .

(a) Individual profit

n

(b)Total profit

353025201510500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r

40 45 50

n35302520151050 40 45 50

N o t e s . F o r e a c h v a l u e o f n f r o m 2 t o 5 0 a n d e a c h v a l u e o f r f r o m 0 & 0 1 t o0 & 9 9 , i n i n c r e m e n t s o f 0 . 0 1 , t h e c o r r e s p o n d i n g i n s t a n c e s a t i s f y i n g A s s u m p -t i o n s 1 , 2 , a n d A 1 – A 6 i s c o n s t r u c t e d w i t h ˜

d

i

= 1 i f i = 1 , a n d 0 o t h e r w i s e .N o t e t h a t ˜+

i

= 1 i f i = 1 , a n d 0 o t h e r w i s e , a n d s = 1 . E q u i l i b r i u m p r o fi t sa r e t h e n c o m p u t e d . I f t h e p r o fi t f o r fi r m 1 i s h i g h e r u n d e r B e r t r a n d c o m -p e t i t i o n , t h e n a d o t a p p e a r s a t t h e c o r r e s p o n d i n g g r i d p o i n t i n s u b fi g u r e( a ) . I f t h e t o t a l p r o fi t i s h i g h e r u n d e r B e r t r a n d c o m p e t i t i o n , t h e n a d o ta p p e a r s a t t h e c o r r e s p o n d i n g g r i d p o i n t i n s u b fi g u r e ( b ) . O t h e r w i s e , t h eg r i d p o i n t i s b l a n k . I n d e p e n d e n t l y , t h e s o l i d c u r v e i n s u b fi g u r e ( a ) i s a p l o to f t h e " n ! r # p o i n t s s a t i s f y i n g t h e i n e q u a l i t y o f T h e o r e m 1 a s a n e q u a l i t y .S i m i l a r l y , t h e s o l i d c u r v e i n s u b fi g u r e ( b ) i s a p l o t o f t h e " n ! r # p o i n t ss a t i s f y i n g t h e i n e q u a l i t y o f T h e o r e m 2 a s a n e q u a l i t y .

p r o v i d e d b y t h e t h e o r e m ’ s i n e q u a l i t y . E a c h d o t c o r r e s p o n d st o a c o u n t e r e x a m p l e w h e r e B e r t r a n d p r o fi t s e x c e e d C o u r n o tp r o fi t s a n d h i g h l i g h t s t h e f a c t t h a t t h e a n a l y s i s i s t i g h t .W e n o w s h i f t a t t e n t i o n t o t o t a l i n d u s t r y p r o fi t . T h e v a r i -

a b i l i t y i n t h e e l e m e n t s o f t h e v e c t o r �d c a n b e q u a n t i fi e du s i n g i t s c o e f fi c i e n t o f v a r i a t i o n , c & v & = . / / w h e r e / =" 1 / n #

!n

i = 1˜d

i

a n d .

2 = " 1 / n #!

n

i = 1 "˜d

i

− / #

2 . T h e v a l u eo f " c & v & # v a r i e s b e t w e e n 0 a n d

√n − 1 . T h e r e f o r e , i n s t e a d

o f c & v & , w e u s e t h e f o l l o w i n g n o r m a l i z e d m e a s u r e o fv a r i a b i l i t y :

s = c & v &√n − 1

& ( 4 )

T h e o r e m 2 . Under the uniform affine demand model, thetotal profit under Cournot competition is at least as highas total profit under Bertrand competition if

s

√- " 1 + - # ( " n + 1 # + " n − 1 # - ) � 2 ( 1 + " 2 n − 1 # - ) !

where - $ = " " n − 1 # " 1 − r # # / " n − " 1 − r # # . In particular,the total profit under Cournot competition is at least ashigh as total profit under Bertrand competition if the num-ber of firms is less than 28 or if the competition intensity, r ,is less than 0 & 9 0 9 .I t i s c l e a r t h a t t h e i n e q u a l i t y o f T h e o r e m 2 i s s a t i s fi e d f o r

s = 0 . T h a t i s , w h e n a l l fi r m s a r e i d e n t i c a l , C o u r n o t t o t a lp r o fi t s ( a n d , b y s y m m e t r y , i n d i v i d u a l p r o fi t s ) a r e a t l e a s t a sh i g h a s B e r t r a n d p r o fi t s . F i g u r e 1 ( b ) i l l u s t r a t e s t h e r e g i o nv i o l a t e d b y t h e i n e q u a l i t y w h e n s = 1 . F o r v a l u e s o f s

s m a l l e r t h a n o n e , t h e r e g i o n w h e r e B e r t r a n d t o t a l p r o fi t m a ye x c e e d C o u r n o t t o t a l p r o fi t s h r i n k s .W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n w i t h s o m e r e m a r k s o n t h e

a b o v e r e s u l t s . F i r s t , i t c a n b e s e e n f r o m F i g u r e 1 t h a t t h es u f fi c i e n t c o n d i t i o n s d e r i v e d i n T h e o r e m s 1 a n d 2 a r e v e r yc l o s e t o b e i n g n e c e s s a r y . S e c o n d , o u r r e s u l t s h e l p e x p l a i nw h y , t o t h e b e s t o f o u r k n o w l e d g e , n o c o u n t e r e x a m p l es h o w i n g h i g h e r p r o fi t s i n a B e r t r a n d s e t t i n g h a v e b e e n p r e -v i o u s l y r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e . I t i s b e c a u s e o n e h a s t os e a r c h i n a n e x t r e m e a n d n a r r o w r a n g e o f p a r a m e t e r s f o r ac o u n t e r e x a m p l e . T h i r d , n o t e t h a t a l t h o u g h i t i s o n l y f o r h i g hv a l u e s o f r t h a t B e r t r a n d p r o fi t s c a n e x c e e d C o u r n o t p r o fi t s ,t h e g a p b e t w e e n B e r t r a n d a n d C o u r n o t p r o fi t s i s n o t m o n o -t o n i c i n r . F o r i n s t a n c e , w i t h n i n e fi r m s i n d i v i d u a l C o u r n o tp r o fi t s e x c e e d i n d i v i d u a l B e r t r a n d p r o fi t s f o r m o d e r a t e t ol o w v a l u e s o f r a s w e l l a s f o r e x t r e m e l y h i g h v a l u e s o f r( s e e F i g u r e 1 ( a ) ) . A l s o , t h e p r o fi t g a p ( e i t h e r m e a s u r e d b yt h e r a t i o o r d i f f e r e n c e o f p r o fi t s ) d o e s n o t p o s s e s s a s i m p l em o n o t o n i c o r c o n c a v e o r e v e n q u a s i c o n c a v e r e l a t i o n s h i p i nt e r m s o f n f o r fi x e d v a l u e s o f r . T h e s e f a c t s u n d e r s c o r e t h eh i g h l y n o n l i n e a r n a t u r e o f t h e p r o fi t r e l a t i o n s h i p a n d m a k ei t d i f fi c u l t t o p r o v i d e a s i m p l e i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n o f t h ea b o v e t h r e s h o l d s .

3 . 2 . P r o fi t C o m p a r i s o n : A f fi n e D e m a n d

I n t h i s s e c t i o n w e r e l a x t h e B = " 1 + x # I − x H a s s u m p t i o na n d a n a l y z e t h e p r o fi t r e l a t i o n s h i p n u m e r i c a l l y a s w e l l a sa n a l y t i c a l l y .

Dow

nloa

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rg b

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, at 0

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. Fo

r per

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onl

y, a

ll rig

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eser

ved.

F a r a h a t a n d P e r a k i s : C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t sO p e r a t i o n s R e s e a r c h 5 9 ( 2 ) , p p . 5 0 7 – 5 1 3 , © 2 0 1 1 I N F O R M S 5 1 1

F i g u r e 2 . P r o fi t r e l a t i o n s h i p u n d e r t h e g e n e r a l a f fi n e m o d e l .

(a) Individual profit; constant ri (b) Individual profit; variable ri

(c) Total profit; constant ri (d) Total profit; variable ri

rrr r

n n

n n

50454035302520151050 50454035302520151050

50454035302520151050 50454035302520151050

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

N o t e s . F o r e a c h v a l u e o f n f r o m 2 t o 5 0 a n d e a c h v a l u e o f r f r o m 0 & 0 1 t o 0 & 9 9 , i n i n c r e m e n t s o f 0 . 0 1 , 1 0 0 r a n d o m l y g e n e r a t e d i n s t a n c e s a r e c o n s t r u c t e ds a t i s f y i n g A s s u m p t i o n s 1 , 2 , a n d A 1 – A 5 u s i n g t h e c o n s t a n t r

i

a n d t h e v a r i a b l e r

i

m e t h o d s . I n s u b fi g u r e s ( a ) a n d ( b ) t h e c o n d i t i o n Q b � Q c i s t e s t e d ,w h e r e a s i n s u b fi g u r e s ( c ) a n d ( d ) t h e c o n d i t i o n P b � P c i s t e s t e d . I f t h e c o n d i t i o n i s v i o l a t e d f o r a n y o f t h e 1 0 0 i n s t a n c e s , t h e n a d o t a p p e a r s a t t h ec o r r e s p o n d i n g g r i d l o c a t i o n . I f t h e c o n d i t i o n h o l d s f o r a l l 1 0 0 i n s t a n c e s , t h e n t h e g r i d p o i n t i s b l a n k . T h e v a r i a b l e r

i

m e t h o d o f s u b fi g u r e ( b ) e m p l o y e do f f s e t s , �

i

, u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n ( 0 ! 0 & 4 ) , i . e . , u = 0 & 4 . I n g e n e r a l , t h e v i o l a t i o n a r e a s h r a n k a s u i n c r e a s e d . I n s u b fi g u r e ( d ) , a s m a l l e r o f f s e t r a n g e w a se m p l o y e d c o r r e s p o n d i n g t o u = 0 & 1 . T h i s i s b e c a u s e o f f s e t s c o r r e s p o n d i n g t o v a l u e s o f u g r e a t e r t h a n 0 & 1 p r o d u c e d v e r y f e w v i o l a t i o n s . N o t e t h a t t h ec o n s t a n t r

i

m e t h o d i s e q u i v a l e n t t o a v a r i a b l e r

i

m e t h o d w i t h u = 0 .

3 . 2 . 1 . N u m e r i c a l R e s u l t s . W e c h a r a c t e r i z e n u m e r i -c a l l y w h e n C o u r n o t i n d i v i d u a l a n d t o t a l p r o fi t s a r e h i g h e rt h a n B e r t r a n d p r o fi t s i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f fi r m s , n ,a n d t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y , r . T h e a n a l y s i s i s i n d e p e n -d e n t o f t h e v e c t o r �d .

G i v e n v a l u e s o f n a n d r , a r a n d o m m a t r i x B c o n s i s -t e n t w i t h t h e a s s u m p t i o n s o f § 2 i s g e n e r a t e d a s f o l l o w s .F i r s t , t h e o f f - d i a g o n a l e l e m e n t s o f B a r e r a n d o m l y g e n -e r a t e d a c c o r d i n g t o a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n w h o s e r a n g e i s( − 1 ! 0 ) . T h e d i a g o n a l e l e m e n t s o f B a r e t h e n c o m p u t e da c c o r d i n g t o o n e o f t w o m e t h o d s . I n t h e c o n s t a n t r

i

m e t h o dt h e d i a g o n a l e l e m e n t s a r e c o m p u t e d s u c h t h a t r

i

= r f o ra l l i . I n t h e v a r i a b l e r

i

m e t h o d , r 1 i s s e t t o r a n d , f o r i $= 1 ,r

i

i s s e t t o m a x % r − �

i

! 0 & 0 1 ' , w h e r e �

i

i s u n i f o r m l y d i s -t r i b u t e d i n t h e r a n g e ( 0 ! u ) f o r s o m e s p e c i fi e d u .

F i r s t , c o n s i d e r i n d i v i d u a l p r o fi t s . L e t ¯p k

i

, ¯q k

i

, a n d %0 k

i

d e n o t e t h e e q u i l i b r i u m p r i c e , q u a n t i t y , a n d p r o fi t o f fi r m i

u n d e r c o m p e t i t i o n t y p e k ∈ % b ! c ' . F r o m ( 2 ) , %0 k

i

=*

k

i

" ¯p k

i

− c

i

#

2 w h e r e *

k

i

i s t h e i t h d i a g o n a l e l e m e n t o f � k .T h e r e f o r e , %0 b

i

� %0 c

i

i f a n d o n l y i f�*

b

i

" ¯p b

i

− c

i

# �√*

c

i

" ¯p c

i

− c

i

# . F r o m ( 1 ) a n d ( 2 ) , a n e c e s s a r y a n d s u f fi c i e n tc o n d i t i o n f o r t h i s t o h o l d f o r e a c h fi r m , r e g a r d l e s s o f �d , i s

Q b

$ = " � b

#

1 / 2" B + � b

#

− 1 � " � c

#

1 / 2" B + � c

#

− 1 = $ Q c

&

W e h a v e c h e c k e d t h i s c o n d i t i o n o v e r a l a r g e n u m -b e r o f r a n d o m l y g e n e r a t e d p r o b l e m i n s t a n c e s , u s i n g b o t ht h e c o n s t a n t a n d v a r i a b l e r

i

m e t h o d s , c o v e r i n g a w i d er a n g e o f v a l u e s o f n a n d r . T h e r e s u l t s a r e d i s p l a y e d i nF i g u r e 2 ( a ) – 2 ( b ) ) . T h e g r e a t e s t r e g i o n o f v i o l a t i o n o f t h er e l a t i o n %0 b

i

� %0 c

i

i s o b s e r v e d w h e n r

i

i s c o n s t a n t a c r o s s a l l

Dow

nloa

ded

from

info

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rg b

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eser

ved.

F a r a h a t a n d P e r a k i s : C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t s5 1 2 O p e r a t i o n s R e s e a r c h 5 9 ( 2 ) , p p . 5 0 7 – 5 1 3 , © 2 0 1 1 I N F O R M S

fi r m s ( t h a t i s , s e t t o t h e m a x i m u m v a l u e , r ) . T h e s h a p e o ft h i s v i o l a t i o n r e g i o n i s a l m o s t i d e n t i c a l t o t h a t d e r i v e d a n a -l y t i c a l l y i n T h e o r e m 1 u n d e r t h e u n i f o r m d e m a n d m o d e l .

N o w c o n s i d e r t o t a l p r o fi t . L e t %0 k d e n o t e t h e e q u i l i b -r i u m t o t a l i n d u s t r y p r o fi t u n d e r c o m p e t i t i o n t y p e k ∈ % b ! c ' .F r o m ( 1 ) a n d ( 2 ) ,

%0 k = �d '" B ' + � k

#

− 1 � k

" B + � k

#

− 1 �d &

T h e r e f o r e , d e fi n i n g P k

$ = " B ' + � k

#

− 1 � k

" B + � k

#

− 1 , a s u f -fi c i e n t c o n d i t i o n f o r %0 b � %0 c i s P b � P c . W e h a v e c h e c k e dt h i s c o n d i t i o n o v e r a l a r g e n u m b e r o f r a n d o m l y g e n e r a t e dp r o b l e m i n s t a n c e s , u s i n g b o t h t h e c o n s t a n t a n d v a r i a b l e r

i

m e t h o d s , c o v e r i n g a w i d e r a n g e o f v a l u e s o f n a n d r . T h er e s u l t s a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e 2 ( c ) – 2 ( d ) . T h e r e g i o n o fv i o l a t i o n o f t h e r e l a t i o n %0 b � %0 c i s a g a i n v e r y s i m i l a r t ot h a t d e r i v e d a n a l y t i c a l l y i n T h e o r e m 2 u n d e r t h e u n i f o r md e m a n d m o d e l .

3 . 2 . 2 . A n a l y t i c a l R e s u l t s . W e a u g m e n t t h e n u m e r i c a la n a l y s i s p r e s e n t e d a b o v e w i t h a n a l y t i c a l r e s u l t s t h a t a p p l yt o d e m a n d s y s t e m s m o r e g e n e r a l t h a n t h e u n i f o r m c a s e :

T h e o r e m 3 . For each firm, a lower bound on the ratio ofCournot profits to Bertrand profits is given by

%0 c

i

%0 b

i

� 4 " 1 − r

2i

#

" 2 − r

2i

#

2&

T h e o r e m 3 s t a t e s t h a t a fi r m ’ s p r o fi t u n d e r B e r t r a n d c o m -p e t i t i o n c a n n o t e x c e e d i t s p r o fi t u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o nb y a l a r g e f r a c t i o n i f a fi r m ’ s r

i

i s n o t t o o h i g h . F o r i n s t a n c e ,i f c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y i s a t m o s t 0 . 5 , t h e n e a c h fi r m ’ sp r o fi t u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o n i s a t l e a s t 9 8 % o f i t sp r o fi t u n d e r B e r t r a n d c o m p e t i t i o n . T h e r a t i o o f C o u r n o t t oB e t r a n d p r o fi t s i s a t l e a s t 9 0 % a s l o n g a s c o m p e t i t i o n i n t e n -s i t y d o e s n o t e x c e e d 0 . 6 9 . N o t e t h a t t h i s r e s u l t i s i n d e p e n -d e n t o f t h e n u m b e r o f fi r m s a n d o f t h e v e c t o r o f q u a l i t y �d .

T h e n e x t r e s u l t a p p l i e s t o a f fi n e d e m a n d s y s t e m s w h e r et h e d e m a n d s e n s i t i v i t y m a t r i x B i s s y m m e t r i c . T h i s a r i s e s ,f o r e x a m p l e , w h e n t h e d e m a n d s y s t e m i s d e r i v e d f r o ma r e p r e s e n t a t i v e c o n s u m e r c h a r a c t e r i z e d b y a c o n c a v eq u a d r a t i c u t i l i t y f u n c t i o n . T h e t h e o r e m g i v e s a s i m p l e r e l a -t i o n s h i p b e t w e e n r

i

a n d t h e e l e m e n t s o f t h e v e c t o r �d t h a tg u a r a n t e e s h i g h e r t o t a l p r o fi t u n d e r C o u r n o t c o m p e t i t i o n ,r e g a r d l e s s o f t h e n u m b e r o f fi r m s .

T h e o r e m 4 . Total profit under Cournot competition isat least as high as total profit under Bertrand competitionwhen the following two conditions hold: (1) the demandsensitivity matrix B is symmetric, and (2) for each firm i ,r

i

�di

� m i nj

�dj

.

A n i m p l i c a t i o n o f t h e a b o v e r e s u l t i s t h a t i f B i s s y m -m e t r i c a n d i f a l l e l e m e n t s o f �d a r e e q u a l , t h e n C o u r n o t t o t a lp r o fi t s a r e h i g h e r t h a n B e r t r a n d t o t a l p r o fi t s , r e g a r d l e s s o ft h e a c t u a l v a l u e s o f d e m a n d s e n s i t i v i t i e s . M o r e g e n e r a l l y ,t h e l o w e r t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y , t h e g r e a t e r t h e r a n g e o f

v e c t o r s �d u n d e r w h i c h i t i s g u a r a n t e e d t h a t C o u r n o t c o m -p e t i t i o n y i e l d s h i g h e r t o t a l p r o fi t s t h a n B e r t r a n d c o m p e t i -t i o n . T h e c o n d i t i o n s o f T h e o r e m 4 a r e o f c o u r s e s u f fi c i e n t ,b u t n o t n e c e s s a r y , a n d t h e t h e o r e m a p p l i e s t o t o t a l i n d u s t r yp r o fi t , n o t t o i n d i v i d u a l fi r m p r o fi t s .T h e c o m b i n a t i o n o f a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s

s h o w s t h a t , f o r a f fi n e d e m a n d , C o u r n o t p r o fi t s a r e h i g h e rt h a n B e r t r a n d p r o fi t s i n a l m o s t a l l c a s e s o f p r a c t i c a l i n t e r -e s t w i t h h i g h t h r e s h o l d s i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f fi r m sa n d t h e c o m p e t i t i o n i n t e n s i t y r e q u i r e d f o r t h i s c o n c l u s i o n t ob e v i o l a t e d . I n F a r a h a t a n d P e r a k i s ( 2 0 0 8 ) , w e e x t e n d o u rw o r k t o t h e m u l t i n o m i a l l o g i t ( M N L ) d e m a n d m o d e l . F o rt h e M N L m o d e l , w e p r o v e t h a t C o u r n o t p r o fi t s a r e a t l e a s ta s h i g h a s B e r t r a n d p r o fi t s f o r e a c h fi r m w h e n fi r m s a r es y m m e t r i c . F o r n o n s y m m e t r i c fi r m s , w e s h o w n u m e r i c a l l yt h a t t h i s r e s u l t a l s o h o l d s .

4 . E l e c t r o n i c C o m p a n i o nA n e l e c t r o n i c c o m p a n i o n t o t h i s p a p e r i s a v a i l a b l e a s p a r to f t h e o n l i n e v e r s i o n t h a t c a n b e f o u n d a t h t t p : / / o r . j o u r n a l. i n f o r m s . o r g / .

R e f e r e n c e sA l l o n , G . , A . F e d e r g r u e n . 2 0 0 7 . C o m p e t i t i o n i n s e r v i c e i n d u s t r i e s . O p e r .

R e s . 5 5 ( 1 ) 3 7 – 5 5 .A m i r , R . , J . Y . J i n . 2 0 0 1 . C o u r n o t a n d B e r t r a n d e q u i l i b r i a c o m p a r e d :

S u b s t i t u t a b i l i t y , c o m p l e m e n t a r i t y a n d c o n c a v i t y . I n t e r n a t . J . I n d u s t .O r g a n . 1 9 3 0 3 – 3 1 7 .

B r a n d e r , J . A . , A . Z h a n g . 1 9 9 0 . M a r k e t c o n d u c t i n t h e a i r l i n e i n d u s t r y :A n e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n . R A N D J . E c o n o m . 2 1 ( 4 ) 5 6 7 – 5 8 3 .

C h a n , C . S . 1 9 9 1 . P r i c e c o m p e t i t i o n i n a c h a n n e l s t r u c t u r e w i t h a c o m m o nr e t a i l e r . M a r k e t i n g S c i . 1 0 ( 4 ) 2 7 1 – 2 9 6 .

C h e n g , L . 1 9 8 5 . C o m p a r i n g B e r t r a n d a n d C o u r n o t e q u i l i b r i a — A g e o m e t -r i c a p p r o a c h . R A N D J . E c o n o m . 1 6 ( 1 ) 1 4 6 – 1 5 2 .

C i c c h e t t i , C . J . , A . C . F i s h e r , V . K e r r y S m i t h . 1 9 7 6 . A n e c o n o m e t r i c e v a l -u a t i o n o f a g e n e r a l i z e d c o n s u m e r s u r p l u s m e a s u r e : T h e m i n e r a l k i n gc o n t r o v e r s y . E c o n o m e t r i c a 4 4 ( 6 ) 1 2 5 9 – 1 2 7 6 .

D u b é , J . - P . , P . M a n c h a n d a . 2 0 0 5 . D i f f e r e n c e s i n d y n a m i c b r a n d c o m p e -t i t i o n a c r o s s m a r k e t s : A n e m p i r i c a l a n a l y s i s . M a r k e t i n g S c i . 2 4 ( 1 )8 1 – 9 5 .

F a r a h a t , A . , G . P e r a k i s . 2 0 0 8 . C o u r n o t v e r s u s B e r t r a n d p r o fi t s u n d e r t h em u l t i n o m i a l l o g i t m o d e l . W o r k i n g p a p e r , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a ,N Y .

F r i e d m a n , J . W . 1 9 8 8 . O n t h e s t r a t e g i c i m p o r t a n c e o f p r i c e s v e r s u s q u a n -t i t i e s . R A N D J . E c o n o m . 1 9 ( 4 ) 6 0 7 – 6 2 2 .

G o y a l , M . , S . N e t e s s i n e . 2 0 0 7 . S t r a t e g i c t e c h n o l o g y c h o i c e a n d c a p a c -i t y i n v e s t m e n t u n d e r d e m a n d u n c e r t a i n t y . M a n a g e m e n t S c i . 5 3 ( 2 )1 9 2 – 2 0 7 .

G u p t a , S . , R . L o u l o u . 1 9 9 8 . P r o c e s s i n n o v a t i o n , p r o d u c t d i f f e r e n t i a t i o n ,a n d c h a n n e l s t r u c t u r e : S t r a t e g i c i n c e n t i v e s i n a d u o p o l y . M a r k e t i n gS c i . 1 7 ( 4 ) 3 0 1 – 3 1 6 .

H a c k n e r , J . 2 0 0 0 . A n o t e o n p r i c e a n d q u a n t i t y c o m p e t i t i o n i n d i f f e r e n t i -a t e d o l i g o p o l i e s . J . E c o n o m . T h e o r y 9 3 ( 2 ) 2 3 3 – 2 3 9 .

H a r r i n g t o n , J . E . 1 9 9 5 . E x p e r i m e n t a t i o n a n d l e a r n i n g i n a d i f f e r e n t i a t e d -p r o d u c t s d u o p o l y . J . E c o n o m . T h e o r y 6 6 2 7 5 – 2 8 8 .

H a t h a w a y , N . J . , J . A . R i c k a r d . 1 9 7 9 . E q u i l i b r i a o f p r i c e - s e t t i n g a n dq u a n t i t y - s e t t i n g d u o p o l i e s . E c o n o m . L e t t . 3 ( 2 ) 1 3 3 – 1 3 7 .

H o l t , C . , D . S c h e f f m a n . 1 9 8 7 . F a c i l i t a t i n g p r a c t i c e s : T h e e f f e c t s o fa d v a n c e n o t i c e a n d b e s t - p r i c e p o l i c i e s . R A N D J . E c o n o m . 1 8 ( 2 )1 8 7 – 1 9 7 .

H o r n , R . A . , C . R . J o h n s o n . 1 9 9 1 . T o p i c s i n M a t r i x A n a l y s i s . C a m b r i d g eU n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , U K .

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F a r a h a t a n d P e r a k i s : C o m p a r i s o n o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t P r o fi t sO p e r a t i o n s R e s e a r c h 5 9 ( 2 ) , p p . 5 0 7 – 5 1 3 , © 2 0 1 1 I N F O R M S 5 1 3

K l e m p e r e r , P . , M . M e y e r . 1 9 8 6 . P r i c e c o m p e t i t i o n v s . q u a n t i t y c o m p e t i -t i o n : T h e r o l e o f u n c e r t a i n t y . R A N D J . E c o n o m . 1 7 ( 4 ) 6 1 8 – 6 3 8 .

K r e p s , D . M . , J . A . S c h e i n k m a n . 1 9 8 3 . Q u a n t i t y p r e c o m m i t m e n t a n dB e r t r a n d c o m p e t i t i o n y i e l d C o u r n o t o u t c o m e s . B e l l J . E c o n o m . 1 4 ( 2 )3 2 6 – 3 3 7 .

M c G u i r e , T . W . , R . S t a e l i n . 1 9 8 3 . A n i n d u s t r y e q u i l i b r i u m a n a l y s i s o fd o w n s t r e a m v e r t i c a l i n t e g r a t i o n . M a r k e t i n g S c i . 2 ( 2 ) 1 6 1 – 1 9 1 .

O k u g u c h i , K . 1 9 8 7 . E q u i l i b r i u m p r i c e s i n t h e B e r t r a n d a n d C o u r n o to l i g o p o l i e s . J . E c o n o m . T h e o r y 4 2 ( 1 ) 1 2 8 – 1 3 9 .

O s t r o w s k i , A . M . 1 9 5 2 . N o t e o n b o u n d s f o r d e t e r m i n a n t s w i t h d o m i n a n tp r i n c i p a l d i a g o n a l . P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 3 ( 1 ) 2 6 – 3 0 .

P a d m a n a b h a n , V . , I . P . L . P n g . 1 9 9 7 . M a n u f a c t u r e r ’ s r e t u r n s p o l i c i e s a n dr e t a i l c o m p e t i t i o n . M a r k e t i n g S c i . 1 6 ( 1 ) 8 1 – 9 4 .

S i n g h , N . , X . V i v e s . 1 9 8 4 . P r i c e a n d q u a n t i t y c o m p e t i t i o n i n a d i f f e r e n t i -a t e d d u o p o l y . R A N D J . E c o n o m . 1 5 ( 4 ) 5 4 6 – 5 5 4 .

T i r o l e , J . 1 9 8 8 . T h e T h e o r y o f I n d u s t r i a l O r g a n i z a t i o n . M I T P r e s s ,C a m b r i d g e , U K .

V i l c a s s i m , N . J . , V . K a d i y a l i , P . K . C h i n t a g u n t a . 1 9 9 9 . I n v e s t i g a t i n gd y n a m i c m u l t i fi r m m a r k e t i n t e r a c t i o n s i n p r i c e a n d a d v e r t i s i n g . M a n -a g e m e n t S c i . 4 5 ( 4 ) 4 9 9 – 5 1 8 .

V i v e s , X . 1 9 8 5 . O n t h e e f fi c i e n c y o f B e r t r a n d a n d C o u r n o t e q u i l i b r i a w i t hp r o d u c t d i f f e r e n t i a t i o n . J . E c o n o m . T h e o r y 3 6 ( 1 ) 1 6 6 – 1 7 5 .

V i v e s , X . 1 9 9 9 . O l i g o p o l y P r i c i n g : O l d I d e a s a n d N e w T o o l s . M I T P r e s s ,C a m b r i d g e , U K .

Z h a n g , H . 2 0 0 2 . V e r t i c a l i n f o r m a t i o n e x c h a n g e i n a s u p p l y c h a i n w i t hd u o p o l y r e t a i l e r s . P r o d u c t i o n O p e r . M a n a g e m e n t 1 1 ( 4 ) 5 3 1 – 5 4 6 .

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