Distribusi Normal

Pengajar: Dr. Asep Ikin Sugandi, M.Pd.

Dr. Rippi Maya, M.Pd.

Pertemuan Ke-12 9 Mei 2020

STATISTIKA

MATEMATIK

S2

MATERI YANG AKAN

DIBAHAS

Beberapa distribusi kontinu khusus: A. Distribusi Normal Umum B. Distribusi Normal Baku C. Pendekatan Distribusi Normal

Umum ke Normal Baku D. Hampiran Normal terhadap

Binomial

A. Distribusi Normal Umum

Definisi:

Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya

berbentuk:

𝑓 𝑥 = 12𝜋. 𝜎2 . 𝑒𝑥𝑝 −12𝜎2 𝑥 − 𝜇 2 ; −∞ < 𝑥 < ∞,−∞ < 𝜇 < ∞, 𝜎2 > 0, dengan 𝜋 = 3,14159…𝑑𝑎𝑛 𝑒 = 2,71828…

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah 𝑁(𝑥; µ,𝜎2), artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan µ dan varians σ2 .

3

Rataan, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen

Rataan dan Varians: 𝐸 𝑋 = 𝜇 dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 Fungsi pembangkit momen: 𝑀𝑥 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑡+𝜎2𝑡22 ; t ∈ ℜ

Beberapa kurva distribusi normal:

4

Gambar 2. Kurva normal dengan 𝜇1 < 𝜇2 dan 𝜎1 = 𝜎2

5

Gambar 3. Kurva normal dengan 𝜇1 = 𝜇2 dan 𝜎1 < 𝜎2

Gambar 4. Kurva normal dengan 𝜇1 < 𝜇2 dan 𝜎1 < 𝜎2

Dengan mengamati Gambar 1-4 pada halaman sebelumnya serta memeriksa turunan pertama

dan kedua dari 𝑁(𝑥; µ,𝜎2), diperoleh beberapa sifat kurva normal sebagai berikut:

1. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetris di 𝑥 = 𝜇. 2. Rataan, median dan modus dari distribusi berimpitan.

3. Fungsi densitas mencapai nilai maksimum di 𝑥 = 𝜇, yaitu sebesar 𝑓 𝑥 = 12𝜋.𝜎2. 4. Kurva mempunyai titik belok pada 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎, cekung dari bawah bila 𝜇 −𝜎 < 𝑥 < 𝜇 + 𝜎,

dan cekung dari atas untuk nilai 𝑥 lainnya.

5. Kedua ujung kurva normal mendekati asimptot sumbu datar bila nilai x bergerak menjauhi 𝜇, baik ke kiri maupun ke kanan.

6. Seluruh luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1.

6

Luas di bawah kurva normal

Untuk kurva normal pada Gambar 5, 𝑃 𝑥1 < 𝑋 < 𝑥2 = 𝑁(𝑥; µ, 𝜎2)𝑥2𝑥1 𝑑𝑥 = 12𝜋𝜎2 𝑒𝑥𝑝 −12𝜎2 𝑥 − 𝜇 2𝑥2

𝑥1 𝑑𝑥

menyatakan luas daerah yang diarsir.

7

Gambar 5. 𝑃 𝑥1 < 𝑋 < 𝑥2 = luas daerah yang diarsir

B. Distribusi Normal Baku

Definisi:

Distribusi normal umum dengan rataan 𝜇 = 0 dan varians 𝜎2 = 1 dinamakan distribusi

normal baku dan fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 = 12𝜋 . 𝑒𝑥𝑝 −12 𝑥2 ;−∞ < 𝑥 < ∞ Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal baku adalah 𝑁(𝑥; 0, 1), artinya

peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan 0 dan varians 1.

8

Rataan, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen

Rataan: 𝐸 𝑋 = 𝜇 = 0

Varians: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 1

Fungsi pembangkit momen: 𝑀𝑥 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 12 𝑡2 ; t ∈ ℜ

Contoh 1:

Hitung peluang bahwa peubah acak Z yang berdistribusi normal baku mempunyai nilai:

a. Kurang dari 1,45 d. antara – 0,40 dan 0,70

b. Kurang dari -0,65 e. Antara -0.98 dan -0,35

c. Antara 1,15 dan 1,90

9

10

Jawab:

a. Kurang dari 1,45

Dengan menggunakan tabel distribusi normal baku (dari buku merah Herryanto & Gantini),

luas daerah yang dicari mulai dari 𝑧 = −∞ sampai 𝑧 = 1,45.

Jadi 𝑃 𝑍 < 1,45 = 0,5 + daerah 𝑧 = 0 sampai 𝑧 = 1,45 = 0,5 + 0,4265 = 0,9265.

b. Kurang dari −0,65

Luas daerah yang dicari mulai Z =−∞ sampai 𝑍 = −0,65

Jadi 𝑃 𝑍 < −0,65 = 0,5 − daerah 𝑧 = −0,65 sampai 𝑧 = 0

= 0,5 − 0,2422 = 0,2578

c. Antara 1,15 dan 1,90

Luas daerah yang dicari dari Z =1,15 sampai Z = 1,90. 𝑃 1,15 < 𝑍 < 1,90 = daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 1,9 − (daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 1,15) = 0,4713− 0,3749 = 0,0964.

d. Antara -0,40 dan 0,70

Luas daerah yang dicari 𝑍 = −0,40 sampai 𝑍 = 0,70. 𝑃 −0,40 < 𝑍 < 0,70 = daerah dari 𝑧 = −0,40 sampai 𝑍 = 0 + (daerah dari 𝑍 = 0sampai 𝑍 = 0,70)

= dari daerah Z = 0 sampai 𝑍 = 0,40 + 0,2560

= 0,1154+ 0,2580 = 0,4134.

11

12

e. Antara −0,98 𝑑𝑎𝑛 − 0,35

Luas daerah yang dicari dari 𝑍 = −0,98 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑍 = −0,35. 𝑃 −0,98 < 𝑍 < −0,35 = daerah dari 𝑍 = −0,98 sampai 𝑍 = 0 −(daerah dari 𝑍 = −0,35

sampai 𝑍 = 0) = daerah dari 𝑍 = 0 sampai 0,98 − (daerah 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 0,35) = 0,3365−0,1368 = 0,1997.

Contoh 2:

Ditentukan distribusi normal baku, carilah nilai k sehingga:

a) P 𝑍 > 𝑘 = 0,3015

b) P 𝑘 < 𝑍 < −0,18 = 0,4197

Jawab:

a) Nilai k yang membuat luas 0,3015 ke sebelah kanan haruslah membuat luas 0,6985 ke

sebelah kirinya. 𝑃 𝑍 ≤ 𝑘 = 1 − 𝑃 𝑍 > 𝑘 = 1 − 0,3015 = 0,6985 𝑃 𝑍 ≤ 𝑘 = 0,6985 0,6985 = 0,5 + (daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 𝑘) daerah 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 𝑘 = 0,6985− 0,5 = 0,1985. Dari tabel distribusi normal baku diperoleh 𝑘 = 0,52.

13

14

b) Luas daerah yang dicari mulai dari 𝑧 = 𝑘 sampai 𝑧 = −0,18 𝑃 𝑘 < 𝑍 < −0,18 = (luas daerah dari 𝑘 sampai 𝑍 = 0) − (luas daerah 𝑍 = −0,18 sampai 𝑍 = 0) 0,4197 = (luas daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 𝑘)− (luas daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = −0,18 ) 0,4197 = luas daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 𝑘 − 0,0714* luas daerah dari 𝑍 = 0 sampai 𝑍 = 𝑘 = 0,4197 + 0,0714 = 0,4911

Dari tabel distribusi normal baku diperoleh 𝑘 = −2,37. Catatan:

*Dari tabel distribusi normal baku diketahui bahwa 𝑃 0 < 𝑍 < 0,18 = 𝑃 −0,18 < 𝑍 < 0 = 0,0714.

Contoh 3:

Diketahui suatu distribusi normal 𝜇 = 40 dan 𝜎 = 6, carilah nilai 𝑥 sehingga :

a) Luas di sebelah kirinya 45% b) Luas di sebelah kanannya 14%

𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: a) Berdasarkan tabel distribusi normal diperoleh:

Luas daerah yang dicari adalah = 0,50− 0,45 = 0,05, sehingga 𝑃 𝑍 < −0,13 = 0,05.

Dari 𝑧 = 𝑥−𝜇𝜎 diperoleh 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = −0,13 (6)+ 40 = −0,78+ 40 = 39,22.

b) Berdasarkan tabel distribusi normal diperoleh

Luas daerah yang dicari adalah =0,5 − 0,14 = 0,36, sehingga diperoleh 𝑃(𝑍 > 1,08) = 0,36.

Dari 𝑧 = 𝑥−𝜇𝜎 diperoleh 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1,08)(6)+40= 6,48+40=46,48.

15

16

Contoh 4:

Dalam suatu ujian terdapat 300 siswa yang mengikuti ujian tersebut. Rata-rata dari hasil

ujian yaitu 70 serta simpangan baku hasil ujian tersebut adalah 10. Jika data nilai hasil

ujian siswa tersebut berdistribusi normal,

a) Tentukanlah berapa jumlah siswa yang mendapat nilai A jika yang mendapat nilai A

mendapat skor 85;

b) Tentukan batas nilai lulus jika yang lulus sebesar 45%;

c) Tentukan banyaknya siswa yang mendapat beasiswa, jika yang mendapat beasiswa

mempunyai nilai antara 64 sampai 80. 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: a) Akan dihitung 𝑍 x > 85 dengan menggunakan rumus Z x > 85 = 1− Z x < 85 .

17

𝑍 = 𝑥−𝜇𝜎 = 85−7010 = 1510 = 1,5, maka 𝑍1,5= 0,9332. 𝑍 𝑥 > 85 = 1 − 𝑍 𝑥 ≤ 85 = 1 − 0,9332 = 0,0668.

Jadi jumlah siswa yang mendapat nilai A = 0,0668 𝑥 300 = 21 orang.

b) untuk luas daerah 0,45 didapat jika z = 1,65,maka 𝑧 = 𝑥 − 𝜇𝜎 ⇔ 1,65 = 𝑥 − 7010 ⇔ 16,5 = 𝑥 − 70 ⇔ 𝑥 = 16,5 + 70 = 86,5.

Jadi batas nilai lulus jika yang lulus sebesar 45% adalah 86,5.

c) 𝑧 = 𝑥−𝜇𝜎 ⟺ z = 64−7010 = −0,6 dan 𝑧 = 𝑥−𝜇𝜎 ⟺ z = 80−7010 = 1

𝑧0,6 = 0,2258 dan 𝑧1,00 = 0,3413,maka didapat 𝑃 −0,6 < 𝑍 < 1 = 0,2258+ 0,3413 = 0,5671.

Jika yang mendapat beasiswa mempunyai nilai antara 64 sampai 80, maka banyaknya

siswa yang mendapat beasiswa adalah 0,5671 x 300 = 170 orang.

18

C. Pendekatan Distribusi Normal Umum ke Normal Baku

Penghitungan peluang dari peubah acak yang berdistribusi normal umum bisa dilakukan

melalui distribusi normal baku. Artinya peubah acak yang berdistribusi normal umum bisa

didekati oleh peubah acak yang berdistribusi normal baku. Hal tersebut bisa dilihat dalam dalil

berikut ini:

Jika X adalah peubah acak berdistribusi normal umum dengan rataan 𝜇 dan simpangan

baku 𝜎, maka:

𝑍 = 𝑋 − 𝜇𝜎

mengikuti distribusi normal baku.

19

Contoh:

Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan

rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat

menyala antara 778 dan 834 jam.

Jawab:

Distribusi umur bola lampu dilukiskan dalam gambar di samping.

Nilai z yang berpadanan dengan 𝑥1 = 778 dan 𝑥2 = 834 adalah 𝑧1 = 778−80040 = −0,55 dan 𝑧2 = 834−80040 = 0,85. Jadi 𝑃 778 < 𝑋 < 834 = 𝑃 −0,55 < 𝑍 < 0,85 = 𝑃 𝑍 < 0,85 − 𝑃 𝑍 < −0,55 = 0,8023− 0,2912 = 0,5111.

20

D. Hampiran Normal Terhadap Binomial

Teorema:

Bila X peubah acak binomial dengan rataan 𝜇 = 𝑛𝑝 dan variansi 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞, maka

bentuk limit distribusi 𝑧 = 𝑋− 𝑛𝑝𝑛𝑝𝑞 , 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑛 ∞, adalah distribusi normal baku 𝑁(𝑧; 0,1),

Distribusi normal memberikan hampiran yang amat baik terhadap distribui binomial, bila n

besar dan p dekat ke o atau 1.

21

22

Sebagai contoh hampiran normal terhadap distribusi normal dapat dilihat pada

histogram 𝐵(𝑥; 15,0.4) dan kurva normal dengan 𝜇 = 𝑛𝑝 = 15 0,4 = 6 dan 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 = 15 0,4 (0,6 )=3,6. Histogram 𝐵(𝑥; 15,0.4) dan kurva normal

padanannya, yang sudah tertentu rataan dan variansinya dilukiskan pada gambar di

bawah ini.

Contoh:

Peluang seorang penderita sembuh dari suatu penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila

diketahui ada 100 orang yang telah terserang penyakit ini, berapa peluangnya bahwa kurang

dari 30 yang sembuh?

Jawab:

Misalkan peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh.

Karena n = 100, maka penggunaan hampiran kurva normal seharusnya memberi hasil yang

cukup tepat, dengan 𝜇 = 𝑛𝑝 = 100 0,4 = 40 dan 𝜌 = 𝑛𝑝𝑞 = 100 0,4 0,6 = 4,899. 23

Untuk mendapatkan peluang yang dicari, harus ditentukan luas di sebelah kiri 𝑥 = 29,5. Nilai z yang

berpadanan dengan 29,5 adalah

𝑧 = 29,5 − 404,899 = −2,14, Dan peluang kurang dari 30 dari 100 penderita yang sembuh disajikan dalam gambar berikut ini. 𝑃 𝑋 < 30 ≈ 𝑃 𝑍 < −2,14 = 0,0162. Jadi peluang kurang dari 30 dari 100 penderita

yang sembuh sebesar 1,62%.

24

Daftar Pustaka

Dudewicz, E.J. & Mishra, S.N. (1995). Statistika Matematik Modern. Bandung: Penerbit ITB. Herrhyanto, N. & Gantini, T. (2016). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya. Hogg, R.V. & Craig, A.T. (1995). Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. New

Jersey: Prentice Hall, Inc. Ramachandran, K.M. & Tsokos, C.P. (2009). Mathematical Statistics with Applications.

Burlington, MA: Elsevier Academic Press. Walpole, R.E. & Myers, R.H. (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.

Bandung: Penerbit ITB.

25