TRANSFORMASI PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Dalam banyak aplikasi statistik, diberikan suatu

distribusi peluang peubah acak univariat X, seseorang ingin

mengetahui distribusi peluang dari peubah acak univariat yang

lain Y = φ(X), di mana φ adalah suatu fungsi yang diketahui.

Sebagai contoh, jika kita mengetahui distribusi peluang peubah

acak X, kita bisa mengetahui distribusi Y = ln(X). Untuk peubah

acak univariat X, pada umumnya digunakan transformasi peubah

acak Y dari X adalah:

Y=X2, Y=|X| , Y=√|X|, Y=ln (X ), Y=X−μσ , Y= (X−μ

σ )2

. Demikian pula

untuk peubah acak bivariat (X, Y), beberapa transformasi yang

paling umum dari X dan Y adalah X+Y , XY , X

Y,

min {X,Y } , max {X,Y }

atau √X2+Y2 . Dalam bab ini, kita akan mengkaji berbagai

metode untuk menemukan distribusi peubah acak univariat atau

bivariat yang ditransformasikan, ketika transformasi dan

distribusi dari peubah-peubah yang diketahui. Pertama, kita

perlakukan kasus univariat, kemudian kita perlakukan kasus

bivariat.

Kita mulai dengan suatu contoh untuk peubah acak

univariat diskrit.

Contoh 10.1.

Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada

tabel di bawah ini:x -2 -1 0 1 2 3 4

f (x) 110

210

110

110

110

210

210

Tentukan fungsi padat peluag dari variabel acak Y=X2 ?

Penyelesaian:

Ruang sampel peubah acak X adalah RX={−2,−1,0,1,2,3,4 } , kemudian

ruang sampel dari peubah acak Y adalah RY={x2|x∈RX } . Dengan

demikian RY={0,1,4,9,16} . Sekarang kita menghitung fungsi padat

peluang g (y ) untuk y di RY .

g (0 )=P (Y=0 )=P (X2=0 )=P (X=0)=110

g (1 )=P (Y=1 )=P (X2=1 )=P (X=−1)+P (X=1)=310

g (4 )=P (Y=4)=P (X2=4 )=P (X=−2)+P (X=2)=210

g (9 )=P (Y=9 )=P (X2=9 )=P (X=3)=210

g (16)=P (Y=16)=P (X2=16)=P (X=4 )=210

Kita ringkas distribusi Y pada tabel sebagai berikut:y 0 1 4 9 16

g (y ) 110

310

210

210

210

Contoh 10.2.

Fungsi padat peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel

di bawah ini:x 1 2 3 4 5 6

f (x) 16

16

16

16

16

16

Tentukan fungsi padat peluang dari peubah acak Y = 2X +1 ?

Penyelesaian:

Ruang sampel peubah acak X adalah RX={1,2,3,4,5,6 } , kemudian ruang

sampel dari peubah acak Y adalah RY={2x+1|x∈RX } . Dengan

demikian, RY={3,5,7,9,11,13} . Selanjutnya kita menghitung fungsi

padat peluag g (y ) untuk y di RY diberikan oleh

g (3 )=P (Y=3 )=P (2X+1=3 )=P (X=1)=16

g (5 )=P (Y=5 )= P (2X+1=5)=P (X=2)=16

g (7 )=P (Y=7 )= P (2X+1=7)=P (X=3)=16

g (9 )=P (Y=9 )= P (2X+1=9)=P (X=4)=16

g (11)=P (Y=11)= P (2X+1=11)=P (X=5 )=16

g (13)=P (Y=13)= P (2X+1=13)=P (X=6 )=16

Kita ringkas distribusi Y pada tabel sebagai berikut:

y 3 5 7 9 11 13

g (y ) 16

16

16

16

16

16

Distribusi X dan 2X + 1 diilustrasikan di bawah ini:

Pada contoh 10.1, kita telah menghitung distribusi

(yaitu, fungsi padat peluang) dari peubah acak Y = φ(X) yang

ditransformasikan, di mana φ(x) = x2. Transformasi ini tidak

meningkat atau menurun (yaitu, monoton) di ruang RX dari peubah

acak X. Oleh karena itu, distribusi Y berubah menjadi sangat

berbeda dari X. Pada contoh 10.2, bentuk distribusi

transformasi peubah acak Y = φ(x), di mana φ(x) = 2x + 1, pada

dasarnya sama. Hal ini terutama disebabkan oleh fakta bahwa φ(x)

= 2x + 1 adalah monoton di RX.

Dalam bab ini, kita akan memeriksa fungsi padat peluang

dari peubah acak yang ditransformasikan dengan mengetahui

fungsi kepadatan peubah acak yang asli. Ada beberapa metode

untuk menemukan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak yang

ditransformasikan. Beberapa metode ini adalah:

1) metode fungsi distribusi

2) metode transformasi

3) metode konvolusi, dan

4) metode fungsi pembangkit momen.

Di antara empat metode tersebut, metode transformasi

adalah yang paling berguna. Metode konvolusi adalah kasus

khusus dari metode ini. Metode transformasi diturunkan dengan

menggunakan metode fungsi distribusi.

10.1. Metode Fungsi Distribusi

Kita telah melihat di BAB-6 bahwa suatu metode yang mudah

untuk menemukan fungsi padat peluang dari transformasi peubah

acak kontinu adalah untuk menentukan fungsi distribusinya dan

kemudian fungsi kepadatan tersebut ditentukan dengan

diferensiasi.

Contoh 10.3.

Sebuah kotak akan dibangun sehingga tingginya 4 inci dan

alasnya adalah X inci. Jika X memiliki distribusi normal

standar, tentukan distribusi volume kotak tersebut?

Penyelesaian:

Volume kotak adalah suatu peuah acak, karena X adalah suatu

peubah acak. Peubah acak V diberikan oleh V = 4X2. Untuk

menemukan fungsi kepadatan V, pertama-tama kita tentukan bentuk

fungsi distribusi G(v) dari V dan kemudian kita turunkan G(v)

untuk menemukan fungsi kepadatan V. Fungsi distribusi V

diberikan oleh:

G (v)=P(V≤v)

¿P(4X2≤v)

¿P(−12 √v≤X≤ 12 √v)

¿ ∫−12 √v

12

√v1

√2πe

−12

x2

dx

¿2 ∫0

12

√v1

√2πe

−12

x2

dx (ketika integran sama)

Oleh karena itu, dengan Teorema Dasar Kalkulus, kita peroleh

g (v)=dG(v)dv

¿ddv (2 ∫

0

12√v

1√2π

e−12x2

dx)¿2 1

√2πe

−12 (12 √v)

2

(12

)d√vdv

¿1

√2πe

−18v 12√v

¿1

Γ(12

)√8v12−1e

−18

v

¿V∼GAM(8, 12 )

Contoh 10.4

Jika fungsi kepadatan X didefinisikan oleh

f (x )={ 12,untuk−1<x<1

0,untukbatasxyanglain

Tentukan fungsi padat peluang Y=X2

Penyelesaian:

Pertama, kita temukan fungsi distribusi komulatif Y dan

differensiasi, kita peroleh fungsi kepadatan Y. Fungsi

distribusi G(y) dari Y diberikan dengan

G (y)=P(Y≤y)

¿P(X2≤y)

¿P(−√y≤X≤√y)

¿ ∫−√y

√y 12dx

¿√y

Dengan demikian, fungsi kepadatan Y diberikan oleh

g (y)=dG(y)dy

¿d√ydy

¿ 12√y

,untuk0<y<1

10.2 Metode Transformasi untuk Kasus Univariat

Teorema berikut adalah penopang metode transformasi.

Teorema 10.1.

Misalkan X merupakan suatu peubah acak kontinu dengan fungsipadat peluang f(x). Misalkan y=T(x) merupakan fungsi naik atau

fungsi turun, maka fungsi kepadatan dari peubah acak Y=T(x)

diberikan oleh

g (y)=|dxdy|f (W (y ))

dimana x=W(y) adalah fungsi invers dari T(x)

Bukti:

Duga bahwa y=T(x) merupakan suatu fungsi naik. Fungsi

distribusi G(y) dari Y diberikan oleh G(y)=P(Y≤y)

¿P(T(X)≤y)

¿P(X≤W(y))

¿ ∫−∞

W (y )

f (x)dx

maka, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi

kepadatan Y, yaitu

g (y)=dG(y)dy

¿ddy (∫

−∞

W (y )

f (x)dx)

¿f(W (y ))dW (y)dy

¿f(W (y ))dxdy, ketika x=W(y)

Dalam hal yang lain, jika y=T(x) adalah fungsi turun, maka

fungsi distribusi Y diberikan oleh G(y)=P(Y≤y)

¿P(T(X)≤y)

¿P(X≥W (y )), ketika T(x) menurun

¿1−P(X≤W (y ))

¿1−∫−∞

W (y )

f (x)dx

Seperti sebelumnya, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh

fungsi kepadatan Y, yaitu

g (y)=dG(y)dy

¿ddy (1−∫

−∞

W (y )

f (x)dx)

¿−f(W (y ))dW (y)dy

¿−f(W (y ))dxdy, ketika x=W(y)

Dengan demikian, dengan menggabungkan kedua kasus tersebut,

kita peroleh

g (y)=|dxdy|f(W (y ))

Contoh 10.5.

Misalkan Z=X−μσ . Jika X N(μ,σ2), maka tentukan fungsi padat

peluang ZPenyelesaian:

z=U (x)=x−μσ

Oleh karena itu, invers U diberikan dengan

W (z )=x

¿σz+μ

Dengan demikian

dxdz

=σ

Oleh karena itu, dengan Teorema 10.1, kepadatan Z diberikandengan

g (z )=|dxdz|f (W (y) )

¿σ 1√2πσ2

e−12 (w (z)−μ

σ )2

¿1

√2πe

−12 (zσ+μ−μ

σ )2

¿1

√2πe

−12z2

Contoh 10.6.

Misalkan Z=X−μσ . Jika X N (μ,σ2), maka tunjukkan bahwa Z2 adalah

chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan, yaitu Z2 X2 (1).

Penyelesaian:

y=T (x )=(x−μσ )

2

x=μ+σ√y

W (y )=μ+σ√y, y>0

dxdy

=σ

2√y

Kepadatan Y adalah:

g (y)=|dxdy|f (W (y ))

¿σ 12√y

f (W (y) )

¿σ 12√y

1√2πσ2

e−12 (W (y )−μ

σ )2

¿1

2√2πye

−12 ( √yσ+μ−μ

σ )2

¿1

2√2πye

−12

y

¿1

2√π√2y

−12 e

−12y

¿1

2Γ(12 )√2y

−12 e

−12

y

Dengan demikian Y X2 (1 )

Contoh 10.7.

Misalkan Y=−lnX. Jika X UNIF(0,1), maka tentukan fungsikepadatan Y ketika tidak-nol.

Penyelesaian:

Diberikan y=T (x )=−lnx

Dengan demikian, invers dari y=T (x ) diberikan oleh

W (y )=x

¿e−y

Maka

dxdy

=−e−y

Dengan demikian, berdasarkan Teorema 10.1, kepadatan peluangdari Y diberikan oleh:

g (y)=|dxdy|f (W (y))

¿e−yf (W (y) )

¿e−y

Kemudian Y exp (1 ), dengan demikian, jika X UNIF(0,1), makapeubah acak −lnX exp (1 ).

Meskipun semua contoh pada sesi ini terkait dengan peubah acakyang kontinu, metode transformasi juga bekerja untuk variabelrandom yang diskrit.