PROGRAMACIÓN LINEAL

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS □ EGAII □ MA OTN FINANZAS

Juan José Cisneros Rivera

LABORATORIO PROGRAMACIÓN LINEAL

1.- La Wyndor Glass Company es un productor de artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Tiene 3 plantas. Los marcos de aluminio y la herrería se hacen en la planta 1, los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y la planta 3 se usa para producir el vidrio y montar los productos. Debido a la disminución de ganancias, el gerente general ha decidido reorganizar la línea de productos. Se están descontinuando varios productos improductivos y esto liberará la capacidad de producción para pensar en uno, o varios de 2 nuevos productos potenciales que han sido solicitados, uno de esos productos propuestos (prod. 1) es una puerta de vidrio con marco de aluminio. El otro (prod. 2) es una ventana grande con marco de madera y de guillotina. El departamento de mercadotecnia ha concluido que la compañía podrá vender tanto de los dos productos como pudieran producirse con la capacidad disponible. sin embargo, como los dos productos competirán en la planta 3, no se ve claro qué mezcla entre los dos productos sería más ventajosa. El departamento de investigación de operaciones analiza la situación y después de algunas investigaciones obtiene la siguiente información, con la cual se pide determine las cantidades a producir y vender para obtener la máxima utilidad.

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad a producir de puertas de vidrio con marco de aluminio X2 = cantidad a producir de ventanas grandes con marco de madera y guillotina 2) FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR Z = 3X1 + 5X2 3) RESTRICCIONES Capacidad Planta 1 1X1 + 0X2 ≤ 4 Capacidad Planta 2 0X1 + 2X2 ≤ 12 Capacidad Planta 3 3X1 + 2X2 ≤ 18 No negatividad X1, X2 ≥ 0

Planta Capacidad de Producción Capacidad

Disponible Producto # 1 Producto # 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Utilidad por unidad $3 $5



4) SOLUCIÓN Tabla de datos

Se deben fabricar 2 puertas de vidrio con marco de aluminio (X1) y 6 ventanas grandes con marco de madera y guillotina (X2) para maximizar la utilidad a $36.

Se obtiene un sobrante de 2 en la Capacidad Planta 1 y Precios Sombra de 1.5 en la Capacidad Planta 2 y de 1 en la Capacidad Planta 3.



Gráfica



2.- La empresa General Electric produce refrigeradores y congeladores, el gerente de producción desea saber cuántas unidades de cada producto se deben fabricar para maximizar utilidades. Para determinar la cantidad a fabricar de cada uno de ellos es necesario conocer el proceso de producción. El montaje final para los refrigeradores está limitado a 100 unidades por día y para los congeladores a 120 unidades por día, en el siguiente departamento se pueden hacer 150 bastidores y cubiertas diarias para los refrigeradores, o 150 bastidores y cubiertas metálicas para los congeladores, y en el departamento de anaqueles pueden proporcionar los suficientes anaqueles para 120 refrigeradores por día o para 240 congeladores por día. Si sabemos que la utilidad por cada refrigerador es de $20 y de $30 por cada congelador determine por el método gráfico de programación lineal, la cantidad de productos con que se maximiza de utilidad.

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad de refrigeradores a producir X2 = cantidad de congeladores a producir 2) FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR Z = 20X1 + 30X2 3) RESTRICCIONES Cap. Montaje Final 1X1 ≤ 100 Cap. Montaje Final 1X2 ≤ 120 Cap. Dpto Siguiente 1X1 + 1X2 ≤ 150 Cap. Dpto Anaqueles 2X1 + X2 ≤ 240 No negatividad X1, X2 ≥ 0 4) SOLUCIÓN Tabla de datos



Se deben producir 30 refrigeradores (X1) y 120 congeladores (X2) para maximizar la utilidad a $4,200

Se obtiene un sobrante de 70 uds en la Capacidad Montaje Final de los Refrigeradores y de 60 uds en la Capacidad Dpto Anaqueles. Se obtienen Precios Sombra de 10 en las Capacidad del Montaje Final de Congeladores y de 20 en la Capacidad del Departamento 2.



Gráfica



3.- La Imperial S. A. Tiene dos productos alfa y beta, el departamento de contabilidad ha calculado las contribuciones de cada producto en $10 para alfa y $12 para beta. Cada producto pasa por tres departamentos de la fábrica de la siguiente manera. El producto alfa se tarda 2 horas en el departamento 1, 3 horas en el departamento 2 y una hora en el departamento 3. Mientras que el producto beta se tarda 3 horas en el departamento 1, 2 horas en el departamento 2 y una hora en el departamento 3. El tiempo disponible en el mes por departamento es de; 1,500 horas para el departamento 1, 1,500 horas en el departamento 2 y 600 horas en el departamento 3. Encontrar las cantidades de producto alfa y beta con los cuales la empresa obtendrá más utilidades.

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad de producto alfa a fabricar X2 = cantidad de producto beta a producir 2) FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR Z = 10X1 + 12X2 3) RESTRICCIONES Horas Dpto 1 2X1 + 3X2 ≤ 1500 Horas Dpto 2 3X1 + 2X2 ≤ 1500 Horas Dpto 3 1X1 + 1X2 ≤ 600 No negatividad X1, X2 ≥ 0 4) SOLUCIÓN Tabla de datos



Se deben producir 300 uds del Producto Alfa (X1) y 300 uds del Producto Beta (X2) para maximizar la utilidad a $6,600

No se obtuvieron sobrantes. Se obtuvieron Precios Sombra de 3.2 en las Horas Dpto 1 y de 1.2 en las Horas Dpto 2.



Gráfica



4.- De los muchos productos que fabrica la Arco Manufacturing Company, solo los productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos cepillado (pequeño); fresado (vertical); taladrado (pequeño); y ensamble (piezas pequeñas). Los requerimientos por unidad de producto en horas y contribución son los siguientes:

Las capacidades disponibles en este mes para los productos C, D, E y F, así como los requerimientos mínimos de venta son los siguientes:

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad de producto C a fabricar X2 = cantidad de producto D a fabricar X3 = cantidad de producto E a fabricar X4 = cantidad de producto F a fabricar 2) FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR Z = 8X1 + 9X2 + 7X3 + 6X4 3) RESTRICCIONES

Cap. Cepillado 0.5X1 + 1.0X2 + 1.0X3 + 0.5X4 ≤ 1500

Cap. Fresado 2.0X1 + 1.0X2 + 1.0X3 + 1.0X4 ≤ 2800

Cap. Taladrado 0.5X1 + 0.5X2 + 1.0X3 + 1.0X4 ≤ 3000

Cap. Ensamble 3.0X1 + 1.0X2 + 2.0X3 + 3.0X4 ≤ 6000

Ventas Producto C X1 ≥ 100

Ventas Producto D X2 ≥ 600

D E P A R T A M E N T O S

Producto Cepillado Fresado Taladrado Ensamble Contr. / unidad

C 0.5 2.0 0.5 3.0 $8

D 1.0 1.0 0.5 1.0 $9

E 1.0 1.0 1.0 2.0 $7

F 0.5 1.0 1.0 3.0 $6

Producto C 100 unidades

Producto D 600 unidades

Producto E 500 unidades

Producto F 400 unidades

Cepillado 1,800

Fresado 2800

Taladrado 3000

Ensamble 6000



Ventas Producto E X3 ≥ 500

Ventas Producto F X4 ≥ 400

No negatividad X1, X2, X3, X4 ≥ 0

4) SOLUCIÓN Tabla de datos

Se deben producir 300 uds del Producto C (X1), 600 uds del Producto D (X2), 500 uds del Producto E (X3) y 1,100 uds del Producto F (X4) para maximizar la utilidad a $17,900



Se obtuvieron Precios Sombra en la Cap. Cepillo, Cap. Fresado, Ventas Producto D y Ventas Producto E, mientras que se obtuvieron sobrantes en la Cap. Taladrado, Cap. Ensamble, Ventas Producto C y Ventas Producto F.



5.- La fábrica de yogurt “Danone”, adquiere dos tipos de productos para elaborar sus artículos: El producto”x” que es leche de vaca y el producto “y” que es fruta. El precio del primero es de $70 Kg y el del segundo de $105 Kg. Cada frasco de yogurt requiere de 3 ingredientes para ser alimenticio y cumplir con los requerimientos de sabor: a) Glucositos, en una cantidad mínima de 20 uds. Por Kg. b) Minerales, en una cantidad mínima de 48 uds. Por Kg. c) Vitaminas, en una cantidad mínima de 60 uds. Por Kg. Los contenidos de ingredientes nutritivos de la leche y la fruta comprados son: a. un Kg de leche contiene: o unidades de glucositos, 8 unidades de minerales y 6 unidades de vitaminas. b. un Kg de fruta contiene: 4 unidades de glucositos, 2 unidades de minerales y 3 unidades de vitaminas. El problema consiste en calcular qué combinación de leche y fruta debe producirse cada yogurt, con el fin de minimizar el costo de dicho producto y satisfacer los requerimientos o restricciones nutritivas y de sabor.

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad de leche para yogurt X2 = cantidad de fruta para yogurt 2) FUNCIÓN OBJETIVO MINIMIZAR Z = 70X1 + 105X2 3) RESTRICCIONES Glucositos 0X1 + 4X2 ≥ 20 Minerales 8X1 + 2X2 ≥ 48 Vitaminas 6X1 + 3X2 ≥ 60 No negatividad X1, X2 ≥ 0 4) SOLUCIÓN Tabla de datos



Se debe combinar 7.5 uds de leche (X1) y 5 uds de fruta (X2) para minimizar el costo a $1,050

Se obtuvieron Precios Sombra en Glucositos y Vitaminas, mientras que se obtuvo sobrante en Minerales Gráfica



6.- Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, se tiene autorizado invertir hasta $1´200,000 en 2 fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 con una tasa anual de rendimiento del 10%. Cada unidad del fondo de mercado cuesta $100 con una tasa de rendimiento anual del 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos $60,000. De acuerdo con el sistema de medición de riesgos de Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8, y cada unidad adquirida en el fondo del mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado asociado con el fondo de acciones indica, simplemente, que se trata de la inversión más riesgosa. El cliente de Innis, también ha especificado que se inviertan por lo menos $300,000 en el fondo de mercado de dinero. ¿Cuántas unidades de cada uno de los fondos deberá adquirir la empresa para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esta cartera?

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo de mercado de dinero 2) FUNCIÓN OBJETIVO MINIMIZAR Z = 8X1 + 3X2 3) RESTRICCIONES Fondos Disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1,200,000 Ingreso Anual 5X1 + 4X2 ≥ 60,000 Unidades en Fondo 1X2 ≥ 3,000 No negatividad X1, X2 ≥ 0 4) SOLUCIÓN Tabla de datos



Se deben adquirir 4000 unidades en el fondo de acciones (X1) y 10,000 unidades en el fondo de mercado de dinero (X2) para minimizar el índice de riesgo a $62,000.

Se obtuvieron Precios Sombra en Fondos Disponibles e Ingresos Anuales, mientras que se obtuvo Sobrante en Unidades en fondo. Gráfica



7.- Cada caja grande de harina para pastel fabricada por “Industrias Pronto”, debe contener un mínimo de 900 gr. del ingrediente 1, 1200 gr. del ingrediente 2 y 700 gr. del ingrediente 3. La harina se hace con 2 materias primas: A y B; cada Kg. de A contiene 150 gr. del ingrediente 1, 150 gr. del ingrediente 2 y 700 gr. del ingrediente 3; cada Kg. del ingrediente B contiene 300 gr. del ingrediente 1, 600 gr. del ingrediente 2 y 100 gr. del ingrediente 3. Si la materia prima A cuesta $157 el Kg. y la B cuesta $ 201 por Kg. calcular las cantidades de las 2 materias primas que deben comprar para producir cada caja de harina, respetando sus requerimientos y teniendo un costo mínimo.

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad de materia prima A X2 = cantidad de materia prima B 2) FUNCIÓN OBJETIVO MINIMIZAR Z = 157X1 + 201X2 3) RESTRICCIONES Ingrediente 1 150X1 + 300X2 ≥ 900 Ingrediente 2 150X1 + 600X2 ≥ 1200 Ingrediente 3 700X1 + 100X2 ≥ 700 No negatividad X1, X2 ≥ 0 4) SOLUCIÓN Tabla de datos



Se deben comprar 0.6154 gramos de materia prima A (X1) y 2.6923 kilogramos de materia prima B (X2) para minimizar el costo a $637.7692

Se obtuvieron Precios Sombra en Ingrediente 1 e Ingrediente 3, mientras que se obtuvo Sobrante en Ingrediente 2. Gráfica



8.- La Cincinnati Chemical Company debe producir 10,000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes X1, X2 y X3. X1 cuesta $8 la libra, X2 $10 la libra y X3 $11 la libra. No pueden usarse más de 3,000 libras de X1 y por lo menos deberán usarse 1,500 libras X2. Además se requieren por lo menos 2,000 libras de X3. a) Calcular el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear, a fin de reducir al mínimo el costo total. b) Calcular el costo total más bajo posible c) ¿Hay libras sobrantes en el problema?

1) VARIABLES DE DECISIÓN X1 = cantidad de Ingrediente 1 a emplear X2 = cantidad de Ingrediente 2 a emplear X3 = cantidad de Ingrediente 3 a emplear 2) FUNCIÓN OBJETIVO MINIMIZAR Z = 8X1 + 10X2 + 11X3 3) RESTRICCIONES Ingrediente 1 1X1 ≤ 3000 Ingrediente 2 1X2 ≥ 1500 Ingrediente 3 1X3 ≥ 2000 Mezcla 1X1 +1X2 +1X3 = 10000 No negatividad X1, X2, X3 ≥ 0 4) SOLUCIÓN Tabla de datos



a) Se debe emplear 3000 libras del Ingrediente 1 (X1), 5000 libras del Ingrediente 2 (X2) y 2000 libras

del Ingrediente 3 (X3) b) para minimizar el costo a $96,000

c) Se obtuvieron Precios Sombra en los Ingredientes 1, Ingredientes 3 y Mezcla, mientras que se obtuvo Sobrante en Ingrediente 2 de 3,500 libras. *NOTA = Los problemas que no incluyen gráfica es porque contienen más de 2 variables de decisión.

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