Cognitive and emotional mathematics learning problems in ...
Problems and Solutions In Engineering Mathematics - Kopykitab
-
Upload
khangminh22 -
Category
Documents
-
view
1 -
download
0
Transcript of Problems and Solutions In Engineering Mathematics - Kopykitab
Problems and SolutionsIn
Engineering Mathematics���
�����������������������
MDU, GJU, KU, Haryana, UPTU, Lucknow; DCE, Delhi; PTU, Jalandhar;BITS, Pilani; BIT, Bangalore; MIT, Manipal; IITs; IT, BHU, Varanasi;
AMU, Aligarh; PRSSU, Raipur; RGTU, Bhopal;NERIM, Guwahati and VIT, Vellore
[Part–II]
By
������������Ph.D
Professor of Mathematics,Department of Applied Sciences & Humanities,
Manav Rachna Engineering College, Faridabad (Haryana)Formerly Deputy Director-General, ICMR, New Delhi
Formerly ScientistDefence Research and Development Organisation, R&D Headquarters
New Delhi
��������� �������� ��������������� ��������������������������
�������� � ����� � ���� � � ������ � ����������������� � ������� � � ���� � � ���� � �����
������� � �������� ��
Preface
,����&�!&$��-����.��$�������&&������/ ������0�����������,�&��"�&�%�1�$���''����&���&������� &��%����� ��� 2���� ��� �$��� � 3�&� "�����&�� �'� &��� ������������ %����� �&���&�� �'&��'����&��''�%�&�&��'��������&��������.����&���#��$�"����.������&����!��%��������&����&�!&4$��-� �5���&���&��%���������'�%����&��������#��$�"���������%&�������&�$��#��$�"���&�� &�%���%�� $��&� ��� ��� &�� #��%�&�� �'� &�"�� ��� %������"� ���-��� ��"�&�"��� &��%�����&��%�����������&��$��&����#�&����������&���&�������.����"�����''�%�&�#��$�"����6���&����� ��� &��� %�����.��� &������ &��������� &���� �� �7��#���� ���"�����%�������'&����&���&���&�����&�����������#����&�����&�������&�$�����%�"#�������.��$��-�#��.�������&�����&��&���#��$�"�����%&��'��"��''����&�&�!&$��-�����&&������&���#��&�&����%���������%������$�����&����&� ���&���.�������%�������&�#�����& �5���''����&����.����&���� ������ %���&��� ��.�� ����&�� �''����&� ���$��� '��� &��� .������� ��"��&��� �!�"���&������ &�����#�%&�����$����%���'���%��������$��&�����&�������'�����%����"��&��������#���&��$��-8���9��"�:�����$����#��#����&����#�&����&���&���%%������ �0''��&����.��$����"���&�#�����&�&���"�&����������%��&��''�%&�.��"������&��'�'��&���������'�&���������������%�����&���&�� $�� %�.������ &�#�%�� ���.��&� &�� &��&� �#�%�'�%� ��"��&���� %�""��� &�� &��� "�����&�� �';��.����&���� ��� 0����������� <�����
=����$��-�%��&�����%���(�������%�.������$�����&������$��� '��� &����&���&���'� &������������������������'���.�������.����&������%�����, � ; ��>��&�-?�� @ ; �� ��������7 ; �� ������?� ; A = ; �� B�%-���� ��� � < 0 �� ���� � 2&� #��.���� ���&����� &�� ��.���#��$�"������%����.��$�������%&��'��"��''����&�&�!&$��-���.���$�����2��������$��� 0''��&����.��$����"���&�����%�&�������.���#����$��&�����"���'�&������.����&����������'� �!�"���&���� ����� �� #��&�%���� #��$�"� ���� ��-�� ��� &��� #��&� ��� ��� &�� "�-�� �� &���&���&�� '�"����� ��&�� &��� &�#�� �'� 6���&����� ������ ��&� ��� �!�"���&���� � 2&� ��� ���%������#��&��&�&����$��-������#����$�&&����6��#�&���������������%������&���&��&��#��#������ '�%�� &��� �!�"���&���� ��&�� ����&��� %��'���%�
2� ��.�� ����.����� &�� #�����&� &��� $��-� ��� �� �%�� "������� ���%�� ��� $�� ������� &������&��� $�� �� &��� �&���&� � 2&� ��� ��#�� &��� #�����&� $��-� ��� ���� $�� '���� ���'�� $��&���&���'�"����������������%��������%�����&������&���������2 2 =������&����0����������2��&�&�&����� �-�� 3 2 = �� A����?� 3 2 = �� 3�������?� , 2 = �� ,���#��� 2 = �� 3 ; �� 9�������?5 , ; ��5�����?�� 0 > 2 , ��������&�����9 2 = ��9���� �5����&�&�����������&����������'��&�����'� &���$��-� ��� &��#��.��� ���&�����'� �������"$����'��������� &�#�%��#��$�"����%&��'��"�.�������&�!&$��-� �2��"���#�����$&��&����&�����&������2��������C������������� ���-�� 2� ��.�� '��6���&�� %����&�� ��� ���&���� &���� $��-
2��"�&���-'��&��,� �D����$����#&���,������������%&����B�!"��A�$�%�&�����A.&�B& �������&��"�'���$����������&�&���$��-����&���#�����&� '��" �5��''��&����.��$����"���&��.��� �� &�#��� �'� ������� ��� "��&�-��� ��� '��� ��� #����$�� ��� �� &��� �������� ��.�� $���%�"#�&���%��%-�����.���'�� � 2�&�"�&�����'��������������"��#���&� ��� &����$��-�������������&����'���'��&�����"#��.�"��&����$���������##��%��&��������&�'����%-������
�������
Contents
�������� �!��
�� C�������D����� �
"� C�������=����'��"� )�
#� C��%&������'�<�"#�!�9����$�E2 ���
$� C��%&������'�<�"#�!�9����$�E22 �*�
�� A��$�$��&�����&��$�&�������� �#�&������=��&��� �)�
%� B������A�����""��� �+)
��������������� ���� ��������
� �� ������������������ �����������
������������������������������� ����� ���� ������ ����������������������
�������12������ a
n xl
bn x
ln nn
cos sinπ π+�
�����
=
∞
∑1
������������������������������������
�
al
f x dx
al
f xn x
ldx n
bl
f xn x
ldx n
l
n
l
n
l
0
2
2
2
1
10
10
=
= â‰
= â‰
�
�
���
�
���
+
+
+
���α
α
α
α
α
α
Ï€
Ï€
( )
( ) cos ,
( ) sin ,
����������������������������� ����
��� �����!�������������� ������������������������������������������ ���"�� ��������� ��# �����$
��������12������ ( cos sin )a nx b nxn n
n
+=
∞
∑1
����� �������1 2
π α
α π+� f x dx( )
�������1 2
π α
α π+� f x nx dx( ) cos � ��≠�%
�����1 2
π α
α π+� f x nx dx( ) sin � ��≠�%�
� ��
����� ����������������&���� �������� ���� �������������������� ��� ���������������� �������� ������
&���� �������� ���� �����������'������� ��� ����������������� ��� �������������
������ �� f xf x
f x dx f xa
aa( )
, ( )
( ) , ( )−� �=�
��
��
0
20
if is odd function
if is even function.
������ ��������π����()������∈�*������ ���� ���π���%����∈�*
�������������
�
� ������������� ���������������������������
DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
������ ���+������������� ���#��� ����$�,�����
� u v dxI II
.� ����������(��′���������″������(��′″��������������
����� �′�� � ������� ��� �������″�� ������� ��� �������″′�� -������ ��� �����������������
��� ������ !���#��� ������������ !���#��� ���������
������ !���#��� ���������
������ !���#��� ��������������������
� ��
�������� ������ ���� ����� ��������� ���� ����� ��� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ��������(�π� π�������
��������12����� a nxn
n
cos=
∞
∑1
� b f x nx dxn = =−�1 0
π π
Ï€( ) sin
�∴ ������ ����� �������
� ��
�������� ������ ���� ���� ��������� ���� ����� ��� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ��������(�π��π�������
�������� b nxnn
sin=
∞
∑1
a f x dx a f x nx dxn01
01
0= = = =− −� �π ππ
Ï€
Ï€
Ï€( ) , ( ) cos
�� ������������ ����������������������������������������������������������������������������������
�.���/��0���������1����%%2�
Hint. f x bn xcn
n
( ) sin=�
�
��
�
�
��
=
∞
∑ π
1
�
��� ������3 �������������� ���"�� ����������� ���������4 � ����������������������������������� �!�"##$�
&�$���� ����������������3,��������������� ���"�� ��
�������12������ ( cos sin )a nx b nxn
nn
=
∞
∑ +1
��
��� ����� ��,�� �� ���� �#������������� � ������� ����������� � ��������� � ���� ����� � � ��� ����$�����,�� �������� ����������� � ��������� �3 ������ � ��
� ��
���� �!��������&���� ���������� ���� ������ ���������%��������������$,����5������#����� ������ 5��6���#����� ������� ����!�� ��# �����$
������ 12������ a
n xln
n
cosπ
=
∞
∑1
�
�� ���������� �
DHARM
EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
����� ����2
0lf x dx
l( )� 7������
20l
f xn x
ldx
l( ) cos
��� 5��6���#��� ������ ����!�� ��# �����$
������ bn x
lnn =
∞
∑1
sinπ� ����� ����
20l
f xn xl
dxl
( ) sin� π
" � � �#�$%���������������������� ��
����������������� ����� ���� ������ ����������������
���� ������a
an x
lb
n xln n
n
0
12
+ +���
���
=
∞
∑ cos sinπ π
�
���������� ���"�� ���������������12 4
12
22 0
2
1
2 2
lf x dx
aa b
l
nn n
α
α +
=
∞� ∑= + +[ ( )] ( ) �
���� ������������ �����
&���%��������������������������������&������
a2
a cosn x
lb sin
n xl
0
n 1n n+ +�
�����
=
∞
∑ π π��������≤���≤�����"��
���'�����a
a 2l2 0
2
n2
n2
n 1
[f(x)] dx 2la4
12
(a b )+
=
∞� ∑= + +�
�
��
�
�
���
����+ ���� �������a
an x
lb
n xln n
n
0
12
+ +���
���
=
∞
∑ cos sinπ π
8�)�
9�� ,�$ �#��)���$���������� ���#��� �#��� �(������������#��
�− −
=
∞
−� � ∑ �= +l
l
l
l
nn
l
lf x dx
af x dx a f x
n xl
dx[ ( )] ( ) ( ) cos2 0
12
�
nn
l
lb f x
n xl
dx=
∞
−∑ �1
( ) sinπ
��a
la a la b l bn
n n nn
n0
01 1
2. . .� � + +
=
∞
=
∞
∑ ∑
�� la
a bn
n n0
2
1
2 2
2+ +
�
�
��
�
�
��
=
∞
∑ ( )
� al
f x dx
al
f xn x
ldx
bl
f xn x
ldx
l
l
nl
l
nl
l
01
1
1
=
=
=
−
−
−
���
( ) ,
( ) cos ,
( ) sin .
Ï€
Ï€
��24
12
02
1
2 2la
a bn
n n+ +�
�
��
�
�
��
=
∞
∑ ( )
� ������������� ���������������������������
DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
&���%���������a2
a cosn x
l0
n 1n+
=
∞
∑ π��#�(���(������������'�����
( f(x)) dxl2
a2
a0
l2 0
2
n 1n
2� ∑= +�
�
��
�
�
��
=
∞
�
����+ �����������a
an x
ln
n0
12
+=
∞
∑ cosπ
����)�
�� ��� ����5��6���#����� ������ ��� ������ ���������%����������
������2
0lf x dx
l( )� �7 ������
������2
0lf x
n xl
dxl
( ) cosπ� ����-�
:��� �� ,�$ �#��)���$���������� ���#��� �#��� �%��������������
� [ ( )] . ( ) ( ) cosf x dxa
f x dx a f xn x
ldx
l l
nn
l2
0
0
01
02� � ∑ �= +=
∞π
��a la
ala
nn
n0 0
12 2 2
. .+=
∞
∑ ���l a
an
n2 20
2
1
2+�
�
��
�
�
��
=
∞
∑ � ;�/� �#����������-�
���� ��� ������������������� ����
� �������������� ����
��� 4� ����<����������� ���������� ���������� ���"�� �������<����������� �!�� ������3���� ������������ ��
������� − − < << <
���k x
k x;
;Ï€
Ï€0
0
����������������� ������������� � �������������������������!�� ������3���� ���������# ������� ������������7�(�π�=���=�π����������� ������������ �� ∴ ����
%�������% ;�"���4����
��� ������� b nxnn =
∞
∑1
sin �������
������1π π
Ï€
−� f x nx dx( ) sin
��1π π
Ï€
−� x nx dxsin
��2
0Ï€
π� x nx dxI II
sin
;���� ����� ���������� ��;�!���#��� �#��$�.�������/� �#���� ��6>�.�#�6��
– 2π 2πX
Y
– πO
�� ���������� �
DHARM
EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
��2
1 20Ï€
Ï€
( )cos
( )sin
xnx
nnx
n−�
�����− −�
�����
�
�
��
��− 2nπ��(�)��
∴ ��������2 1
1
1
Ï€n
n
n=
∞ +
∑ −( )�� �����
������������� ���� ��������� ������������ � �����������������������
!�� ������3���� ������������ ��
��������0 0
0
, xa
x, x
− < <
< <
���
��
Ï€
ππ �
��� �������a
a nx b nxn
n n0
12
+ +=
∞
∑ ( cos sin )
���������< ������� ������ ���
5��� ������1π π
Ï€
−� f x dx( )
��1
01 00
0π π ππ
Ï€
−� �+dx x dx
��a a
ππ
2
2
2 2. = ����)�
�������1 1
010
0π π π ππ
Ï€
Ï€
Ï€
− −� � �= +f x nx dx dxa
x nx dx( ) cos cos
��a
xnx
nnx
nπ
Ï€
2 20
1( )sin
( )cos− −�
�����
�
�
��
��a
n n
a
n
n
π π2 2 2 2 21 1( )− −
���
�� = ?�(�)���(�)@
��022 2
; if is even
; if is odd
na
nn−
����� π
������
�������1 1
010
0π π π ππ
Ï€
Ï€
Ï€f x nx dx dx
ax nx dx( ) sin sin
− −� � �= +I II
;�!���#��� �#��$�.�������/� �#���� ��6>�.�#�6��
��a
xnx
nnx
nπ
Ï€
2 20
1−�
�����− −�
�����
�
�
��
cos( )
sin
��a
n nn
n
ππ
Ï€2
11 0
0 1− − −���
��� =
− +( )
( )����-�
Ï€ 2Ï€ 3Ï€
y = aaπy =
X
Y
O
x
� ������������� ���������������������������
DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
���������� ���������a
a nx b nxn
nn
n41 1
+ +=
∞
=
∞
∑ ∑cos sin
��a a
xx x
42 3
35
52 2 2− + + +���
���π
coscos cos
......
��a
xx x
Ï€sin
sin sin.....− + −�
�����
22
33
� ;�/� �#��)������������-�
������������������������������� ��������������������������
!�� ������3���� ������������ ��
�������� I0 00 2
sin ,x xx
≤ ≤≤ ≤
���π
π π �
"���A��� ������ �������4 ����� �������� ����B
���������������������������������� �������������������������
!�� ������3���� ������������ ��
��������1
20
12
0
+ − ≤ ≤
− ≤ ≤
���
��
xx
xx
ππ
ππ
,
,
:�� ���(������1
20
12
0
− − ≤ − ≤
+ ≤ − ≤
�
��
��
xx
xx
ππ
ππ
,
,
��1
20
12
0
− ≤ ≤
+ − ≤ ≤
���
��
xx
xx
ππ
ππ
,
,
������ ⇒ ����� ������������� ��� ∴ ����% ∀�� ;�4��6�
��� ��������a
a nxn
n0
12
+=
∞
∑ cos ����)�
5��� �������1 2 2
12
0 0π π π ππ
π π π
−� � �= = −���
���
f x dx f x dxx
dx( ) ( ) ���2 2
0π π
Ï€
xx−
�
���
�
������%
�������2 2
12
0π π ππ
π πf x nx dx
xnx dx( ) cos cos
−� �= −���
���
;�!���#��� �#��$�.�������/� �#���� ��6>�4�6��
��2
12 2
20π π π
Ï€
−���
������
���− −�
�����
−���
���
�
�
��
x nxn
nxn
sin cos
��2 2
1 02
2 2π π π− − − −�
�����
�
�
��
n nn( ) ���
2 21
2 42 2 2π π π π− − +�
����� =n n n
n( ) ?)�(��(�)��@
� 2� 3�
y = I0
X
Y
O
– π π– /2π π/2O
Y
X
�� ���������� �
DHARM
EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
��082
; if is even
; if is odd
n
nn
Ï€
�����
����-�
��� ��)������������-����������
��������12
082( ) cos+
=
∞
∑n
nnx
oddπ
∴ ��������8 3
35
52 2Ï€cos
cos cos........x
x x+ + +���
���
��������< ������� ���"�� ���
�������
"� ���� �� �������'� �(������������� ������ ������!��������� ������"��� ��# �����$
!���a
an x
lb
n xl
nn n
0
12
+ +���
���
=
∞
∑ cos sinπ π
��a
axl
bxl
ax
lb
xl
01 1 2 22
2 2+ +���
���+ +�
�����
cos sin cos sinπ π π π
���������
������������ � axl
bxl1 1cos sin
π π+���
���� ���������� ������� �� �����������
axl
bxl2 2
2 2cos sin
π π+���
���� ������������������� �� ������������
���� � ��������������
!�������������������� �������������,����� ���������<��� ��������� ���������� ���������������� ���� ���������,�� �� ����� ���
!��������������������������������� �������������,�� ������������ ���������
�������)&��*
����,�� ������ ������������������������������ ���π�����,�� ��������������������� ��π�� ������� ��������π����� �������>π������������ ���� ����,�� �� ����� ���� �������,�� ����π�
� ��C��� � ���>�������sin 525
x +���
���
π��.�� �����
25Ï€
����-��� �����-�����������323
x +���
���
π��.�� �����
23Ï€
cos2n x
kπ�� cos
cos22
2 22
n xk
nk
xk
nπ π π π
π+�
�����= +�
�����
� cos2nk
xkn
π +���
��� ��.�� �����
kn
�������� ������������tan ,22 2
x +���
���
π π
������������� ���������������������������
DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
�� �� ��������������� ��� ����,�� �� ����� ���
–t t–2� –� 0 � 2�
1
–1T = 2�
f(t)
���� ���� �� �� �
5�������� ����3,����������6� ��� ����,�� �� ����� ��� ��������� ���������� ������ �� ����&��� ������ ����������� �����������#������� ��� �� ,������������ �
a02���������������������������������-�������������������������
����� ��������� ���������� ��-������������� ����������
�a
b nxn
n0
12
+=
∞
∑ sin �
���������������� ������ �������������������������������������������������������������������
&�,�� �� ����� �����������������3,������ ������� ���"�� ����������� ������� ��������������� �#D
��� &������������� ������������������� ,������ �������� ����������
���� &��� ,���������������� ��������<���$������ �����$�������������������
����� E� ,���������������� �� ���� �� ,������������� ��������<���$������� �����$����������������������&������������������������������������������������������������������ �������������
)���� �)��F�������� ��� ������� ������ ��� ������������ ������������� ��� �����������36,������ ��,�����������$�9����� ���������� �
����0���$���� ������ �����������3,�������� ��������� ����� ����������$,�������� ������������� ������ � ����
���� ������� �������������������� �� �� �
!�������� ��������������� ���������(�π��π�
�)�� ����#��6����� ���� ��������
�-��������� ������ � ���� ������ �3 ������ � ��
�>���������$��� � ���� ������� ����� ���
�C�� ����������π�������������������������� ���?(�π��π@������
"������a
a nx b nxn
nn
n0
1 12
+ += =∑ ∑
P P
cos sin
������#���������������.�→�∞������������������� ��������� ������ ������������� ���������� ��� �
�<������12�?�������%���������(�%�@����,� ������ ����� � �$�
�� ����������
DHARM
EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13
���� �������� ������ �� �� �
� 4 ����� ���� ��� ������������,����������$���� ������ ����&����#����� ��� ������ ���� ����� ������� ������������3 ������� �� ���������������$��������� ����
� ������� ������ ��� ������ ���3,��� �#�����,�� �� ����� ����� ������� �������������� ����6������������3 ������,�� �� ���3���� ������������ ���
� �3,��� ����������� ���� �#���� ����$���� ������ ���# �������� ���������� ���� �������6 ��������������������������� ��� ���3��� ��$����� ��,�$� ���
� ��� ������ �������� ����� ������� ��� ������� �� �$�������#�����������,� ����
* ��� ��$���� � ���#��� �������������#������� ������ ��� ������$����� ������� �� �$������� � �������� ��� ������������#�����5����������� ��$���� ��� ����� �� ���������� ������ ����� ��� ��������� �� �� ����������
�� � �� ����� �����
��������� �#� ���#������������� ����� ���"�� ���
���0
2π� sin nx dx���% ����0
2π� cos nx dx ���%
�����0
22
π� sin nx dx ���π ����0
22
π� cos nx dx ���π
���0
2π� sin sinnx mx dx ���% ����0
2π� cos cosnx mx dx ���%
�����0
2π� sin cosnx mx dx ���% ������0
2π� sin cosnx nx dx���%
���� ?��@��������(��′������″���(��′″��������
����� ������ vdx,������� v dx1 , ������������′���dudx���″���
d u
dx
2
2 ��������������
��� � ���π���%�������π����(�)�����������∈��
��!� � � �������������� ��� ��� ���" �� ��������� #
��������a
a x a x a nxn0
1 222cos cos ... cos ...+ + + + ������ ��������� ���������������� ���������� ����)�
��� $������� ���!���#����������� �������)���� �����%���������π�
0
2π� f x dx( ) ��a
dx a x dx0
0
2
10
2
2
π π� �+ cos ���a x dx20
22
π� + +cos ...
+ +�a nx dxn0
2πcos ...���b x dx b x dx1
0
2
20
22
π π� �+ +sin sin ...
��b nx dxn0
2π� +sin ...
�a
dx0
0
2
2
π� ���%�������!� ��+�,��$��� �������������������&���)��C�
Problems And Solutions In EngineeringMathematics Volume-II By Dr. T.C.Gupta
Publisher : Laxmi Publications ISBN : 9788131800423 Author : Dr. T.C. Gupta
Type the URL : http://www.kopykitab.com/product/3467
Get this eBook
40%OFF