Problems and Solutions In Engineering Mathematics - Kopykitab

16
Problems and Solutions In Engineering Mathematics

Transcript of Problems and Solutions In Engineering Mathematics - Kopykitab

Problems and SolutionsIn

Engineering Mathematics

Problems and SolutionsIn

Engineering Mathematics���

�����������������������

MDU, GJU, KU, Haryana, UPTU, Lucknow; DCE, Delhi; PTU, Jalandhar;BITS, Pilani; BIT, Bangalore; MIT, Manipal; IITs; IT, BHU, Varanasi;

AMU, Aligarh; PRSSU, Raipur; RGTU, Bhopal;NERIM, Guwahati and VIT, Vellore

[Part–II]

By

������������Ph.D

Professor of Mathematics,Department of Applied Sciences & Humanities,

Manav Rachna Engineering College, Faridabad (Haryana)Formerly Deputy Director-General, ICMR, New Delhi

Formerly ScientistDefence Research and Development Organisation, R&D Headquarters

New Delhi

��������� �������� ��������������� ��������������������������

�������� � ����� � ���� � � ������ � ����������������� � ������� � � ���� � � ���� � �����

������� � �������� ��

2014

UEM-9700-350-PROB SOL ENGG MATH-II-GUP

350.00

Preface

,����&�!&$��-����.��$�������&&������/ ������0�����������,�&��"�&�%�1�$���''����&���&������� &��%����� ��� 2���� ��� �$��� � 3�&� "�����&�� �'� &��� ������������ %����� �&���&�� �'&��'����&��''�%�&�&��'��������&��������.����&���#��$�"����.������&����!��%��������&����&�!&4$��-� �5���&���&��%���������'�%����&��������#��$�"���������%&�������&�$��#��$�"���&�� &�%���%�� $��&� ��� ��� &�� #��%�&�� �'� &�"�� ��� %������"� ���-��� ��"�&�"��� &��%�����&��%�����������&��$��&����#�&����������&���&�������.����"�����''�%�&�#��$�"����6���&����� ��� &��� %�����.��� &������ &��������� &���� �� �7��#���� ���"�����%�������'&����&���&���&�����&�����������#����&�����&�������&�$�����%�"#�������.��$��-�#��.�������&�����&��&���#��$�"�����%&��'��"��''����&�&�!&$��-�����&&������&���#��&�&����%���������%������$�����&����&� ���&���.�������%�������&�#�����& �5���''����&����.����&���� ������ %���&��� ��.�� ����&�� �''����&� ���$��� '��� &��� .������� ��"��&��� �!�"���&������ &�����#�%&�����$����%���'���%��������$��&�����&�������'�����%����"��&��������#���&��$��-8���9��"�:�����$����#��#����&����#�&����&���&���%%������ �0''��&����.��$����"���&�#�����&�&���"�&����������%��&��''�%&�.��"������&��'�'��&���������'�&���������������%�����&���&�� $�� %�.������ &�#�%�� ���.��&� &�� &��&� �#�%�'�%� ��"��&���� %�""��� &�� &��� "�����&�� �';��.����&���� ��� 0����������� <�����

=����$��-�%��&�����%���(�������%�.������$�����&������$��� '��� &����&���&���'� &������������������������'���.�������.����&������%�����, � ; ��>��&�-?�� @ ; �� ��������7 ; �� ������?� ; A = ; �� B�%-���� ��� � < 0 �� ���� � 2&� #��.���� ���&����� &�� ��.���#��$�"������%����.��$�������%&��'��"��''����&�&�!&$��-���.���$�����2��������$��� 0''��&����.��$����"���&�����%�&�������.���#����$��&�����"���'�&������.����&����������'� �!�"���&���� ����� �� #��&�%���� #��$�"� ���� ��-�� ��� &��� #��&� ��� ��� &�� "�-�� �� &���&���&�� '�"����� ��&�� &��� &�#�� �'� 6���&����� ������ ��&� ��� �!�"���&���� � 2&� ��� ���%������#��&��&�&����$��-������#����$�&&����6��#�&���������������%������&���&��&��#��#������ '�%�� &��� �!�"���&���� ��&�� ����&��� %��'���%�

2� ��.�� ����.����� &�� #�����&� &��� $��-� ��� �� �%�� "������� ���%�� ��� $�� ������� &������&��� $�� �� &��� �&���&� � 2&� ��� ��#�� &��� #�����&� $��-� ��� ���� $�� '���� ���'�� $��&���&���'�"����������������%��������%�����&������&���������2 2 =������&����0����������2��&�&�&����� �-�� 3 2 = �� A����?� 3 2 = �� 3�������?� , 2 = �� ,���#��� 2 = �� 3 ; �� 9�������?5 , ; ��5�����?�� 0 > 2 , ��������&�����9 2 = ��9���� �5����&�&�����������&����������'��&�����'� &���$��-� ��� &��#��.��� ���&�����'� �������"$����'��������� &�#�%��#��$�"����%&��'��"�.�������&�!&$��-� �2��"���#�����$&��&����&�����&������2��������C������������� ���-�� 2� ��.�� '��6���&�� %����&�� ��� ���&���� &���� $��-

2��"�&���-'��&��,� �D����$����#&���,������������%&����B�!"��A�$�%�&�����A.&�B& �������&��"�'���$����������&�&���$��-����&���#�����&� '��" �5��''��&����.��$����"���&��.��� �� &�#��� �'� ������� ��� "��&�-��� ��� '��� ��� #����$�� ��� �� &��� �������� ��.�� $���%�"#�&���%��%-�����.���'�� � 2�&�"�&�����'��������������"��#���&� ��� &����$��-�������������&����'���'��&�����"#��.�"��&����$���������##��%��&��������&�'����%-������

�������

Contents

�������� �!��

�� C�������D����� �

"� C�������=����'��"� )�

#� C��%&������'�<�"#�!�9����$�E2 ���

$� C��%&������'�<�"#�!�9����$�E22 �*�

�� A��$�$��&�����&��$�&�������� �#�&������=��&��� �)�

%� B������A�����""��� �+)

��������������� ���� ��������

� �� ������������������ �����������

������������������������������� ����� ���� ������ ����������������������

�������12������ a

n xl

bn x

ln nn

cos sinπ π+�

�����

=

∞

∑1

������������������������������������

�

al

f x dx

al

f xn x

ldx n

bl

f xn x

ldx n

l

n

l

n

l

0

2

2

2

1

10

10

=

= ≠

= ≠

�

�

���

�

���

+

+

+

���α

α

α

α

α

α

Ï€

Ï€

( )

( ) cos ,

( ) sin ,

����������������������������� ����

��� �����!�������������� ������������������������������������������ ���"�� ��������� ��# �����$

��������12������ ( cos sin )a nx b nxn n

n

+=

∞

∑1

����� �������1 2

π α

α π+� f x dx( )

�������1 2

π α

α π+� f x nx dx( ) cos � ��≠�%

�����1 2

π α

α π+� f x nx dx( ) sin � ��≠�%�

� ��

����� ����������������&���� �������� ���� �������������������� ��� ���������������� �������� ������

&���� �������� ���� �����������'������� ��� ����������������� ��� �������������

������ �� f xf x

f x dx f xa

aa( )

, ( )

( ) , ( )−� �=�

��

��

0

20

if is odd function

if is even function.

������ ��������π����()������∈�*������ ���� ���π���%����∈�*

�������������

�

� ������������� ���������������������������

DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

������ ���+������������� ���#��� ����$�,�����

� u v dxI II

.� ����������(��′���������″������(��′″��������������

����� �′�� � ������� ��� �������″�� ������� ��� �������″′�� -������ ��� �����������������

��� ������ !���#��� ������������ !���#��� ���������

������ !���#��� ���������

������ !���#��� ��������������������

� ��

�������� ������ ���� ����� ��������� ���� ����� ��� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ��������(�π� π�������

��������12����� a nxn

n

cos=

∞

∑1

� b f x nx dxn = =−�1 0

π π

Ï€( ) sin

�∴ ������ ����� �������

� ��

�������� ������ ���� ���� ��������� ���� ����� ��� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ��������(�π��π�������

�������� b nxnn

sin=

∞

∑1

a f x dx a f x nx dxn01

01

0= = = =− −� �π ππ

Ï€

Ï€

Ï€( ) , ( ) cos

�� ������������ ����������������������������������������������������������������������������������

�.���/��0���������1����%%2�

Hint. f x bn xcn

n

( ) sin=�

�

��

�

�

��

=

∞

∑ π

1

�

��� ������3 �������������� ���"�� ����������� ���������4 � ����������������������������������� �!�"##$�

&�$���� ����������������3,��������������� ���"�� ��

�������12������ ( cos sin )a nx b nxn

nn

=

∞

∑ +1

��

��� ����� ��,�� �� ���� �#������������� � ������� ����������� � ��������� � ���� ����� � � ��� ����$�����,�� �������� ����������� � ��������� �3 ������ � ��

� ��

���� �!��������&���� ���������� ���� ������ ���������%��������������$,����5������#����� ������ 5��6���#����� ������� ����!�� ��# �����$

������ 12������ a

n xln

n

cosπ

=

∞

∑1

�

�� ���������� �

DHARM

EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

����� ����2

0lf x dx

l( )� 7������

20l

f xn x

ldx

l( ) cos

��� 5��6���#��� ������ ����!�� ��# �����$

������ bn x

lnn =

∞

∑1

sinπ� ����� ����

20l

f xn xl

dxl

( ) sin� π

" � � �#�$%���������������������� ��

����������������� ����� ���� ������ ����������������

���� ������a

an x

lb

n xln n

n

0

12

+ +���

���

=

∞

∑ cos sinπ π

�

���������� ���"�� ���������������12 4

12

22 0

2

1

2 2

lf x dx

aa b

l

nn n

α

α +

=

∞� ∑= + +[ ( )] ( ) �

���� ������������ �����

&���%��������������������������������&������

a2

a cosn x

lb sin

n xl

0

n 1n n+ +�

�����

=

∞

∑ π π��������≤���≤�����"��

���'�����a

a 2l2 0

2

n2

n2

n 1

[f(x)] dx 2la4

12

(a b )+

=

∞� ∑= + +�

�

��

�

�

���

����+ ���� �������a

an x

lb

n xln n

n

0

12

+ +���

���

=

∞

∑ cos sinπ π

8�)�

9�� ,�$ �#��)���$���������� ���#��� �#��� �(������������#��

�− −

=

∞

−� � ∑ �= +l

l

l

l

nn

l

lf x dx

af x dx a f x

n xl

dx[ ( )] ( ) ( ) cos2 0

12

�

nn

l

lb f x

n xl

dx=

∞

−∑ �1

( ) sinπ

��a

la a la b l bn

n n nn

n0

01 1

2. . .� � + +

=

∞

=

∞

∑ ∑

�� la

a bn

n n0

2

1

2 2

2+ +

�

�

��

�

�

��

=

∞

∑ ( )

� al

f x dx

al

f xn x

ldx

bl

f xn x

ldx

l

l

nl

l

nl

l

01

1

1

=

=

=

−

−

−

���

( ) ,

( ) cos ,

( ) sin .

Ï€

Ï€

��24

12

02

1

2 2la

a bn

n n+ +�

�

��

�

�

��

=

∞

∑ ( )

� ������������� ���������������������������

DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

&���%���������a2

a cosn x

l0

n 1n+

=

∞

∑ π��#�(���(������������'�����

( f(x)) dxl2

a2

a0

l2 0

2

n 1n

2� ∑= +�

�

��

�

�

��

=

∞

�

����+ �����������a

an x

ln

n0

12

+=

∞

∑ cosπ

����)�

�� ��� ����5��6���#����� ������ ��� ������ ���������%����������

������2

0lf x dx

l( )� �7 ������

������2

0lf x

n xl

dxl

( ) cosπ� ����-�

:��� �� ,�$ �#��)���$���������� ���#��� �#��� �%��������������

� [ ( )] . ( ) ( ) cosf x dxa

f x dx a f xn x

ldx

l l

nn

l2

0

0

01

02� � ∑ �= +=

∞π

��a la

ala

nn

n0 0

12 2 2

. .+=

∞

∑ ���l a

an

n2 20

2

1

2+�

�

��

�

�

��

=

∞

∑ � ;�/� �#����������-�

���� ��� ������������������� ����

� �������������� ����

��� 4� ����<����������� ���������� ���������� ���"�� �������<����������� �!�� ������3���� ������������ ��

������� − − < << <

���k x

k x;

;Ï€

Ï€0

0

����������������� ������������� � �������������������������!�� ������3���� ���������# ������� ������������7�(�π�=���=�π����������� ������������ �� ∴ ����

%�������% ;�"���4����

��� ������� b nxnn =

∞

∑1

sin �������

������1π π

Ï€

−� f x nx dx( ) sin

��1π π

Ï€

−� x nx dxsin

��2

0Ï€

π� x nx dxI II

sin

;���� ����� ���������� ��;�!���#��� �#��$�.�������/� �#���� ��6>�.�#�6��

– 2π 2πX

Y

– πO

�� ���������� �

DHARM

EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

��2

1 20Ï€

Ï€

( )cos

( )sin

xnx

nnx

n−�

�����− −�

�����

�

�

��

��− 2nπ��(�)��

∴ ��������2 1

1

1

Ï€n

n

n=

∞ +

∑ −( )�� �����

������������� ���� ��������� ������������ � �����������������������

!�� ������3���� ������������ ��

��������0 0

0

, xa

x, x

− < <

< <

���

��

Ï€

ππ �

��� �������a

a nx b nxn

n n0

12

+ +=

∞

∑ ( cos sin )

���������< ������� ������ ���

5��� ������1π π

Ï€

−� f x dx( )

��1

01 00

0π π ππ

Ï€

−� �+dx x dx

��a a

ππ

2

2

2 2. = ����)�

�������1 1

010

0π π π ππ

Ï€

Ï€

Ï€

− −� � �= +f x nx dx dxa

x nx dx( ) cos cos

��a

xnx

nnx

nπ

Ï€

2 20

1( )sin

( )cos− −�

�����

�

�

��

��a

n n

a

n

n

π π2 2 2 2 21 1( )− −

���

�� = ?�(�)���(�)@

��022 2

; if is even

; if is odd

na

nn−

����� π

������

�������1 1

010

0π π π ππ

Ï€

Ï€

Ï€f x nx dx dx

ax nx dx( ) sin sin

− −� � �= +I II

;�!���#��� �#��$�.�������/� �#���� ��6>�.�#�6��

��a

xnx

nnx

nπ

Ï€

2 20

1−�

�����− −�

�����

�

�

��

cos( )

sin

��a

n nn

n

ππ

Ï€2

11 0

0 1− − −���

��� =

− +( )

( )����-�

Ï€ 2Ï€ 3Ï€

y = aaπy =

X

Y

O

x

� ������������� ���������������������������

DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

���������� ���������a

a nx b nxn

nn

n41 1

+ +=

∞

=

∞

∑ ∑cos sin

��a a

xx x

42 3

35

52 2 2− + + +���

���π

coscos cos

......

��a

xx x

Ï€sin

sin sin.....− + −�

�����

22

33

� ;�/� �#��)������������-�

������������������������������� ��������������������������

!�� ������3���� ������������ ��

�������� I0 00 2

sin ,x xx

≤ ≤≤ ≤

���π

π π �

"���A��� ������ �������4 ����� �������� ����B

���������������������������������� �������������������������

!�� ������3���� ������������ ��

��������1

20

12

0

+ − ≤ ≤

− ≤ ≤

���

��

xx

xx

ππ

ππ

,

,

:�� ���(������1

20

12

0

− − ≤ − ≤

+ ≤ − ≤

�

��

��

xx

xx

ππ

ππ

,

,

��1

20

12

0

− ≤ ≤

+ − ≤ ≤

���

��

xx

xx

ππ

ππ

,

,

������ ⇒ ����� ������������� ��� ∴ ����% ∀�� ;�4��6�

��� ��������a

a nxn

n0

12

+=

∞

∑ cos ����)�

5��� �������1 2 2

12

0 0π π π ππ

π π π

−� � �= = −���

���

f x dx f x dxx

dx( ) ( ) ���2 2

0π π

Ï€

xx−

�

���

�

������%

�������2 2

12

0π π ππ

π πf x nx dx

xnx dx( ) cos cos

−� �= −���

���

;�!���#��� �#��$�.�������/� �#���� ��6>�4�6��

��2

12 2

20π π π

Ï€

−���

������

���− −�

�����

−���

���

�

�

��

x nxn

nxn

sin cos

��2 2

1 02

2 2π π π− − − −�

�����

�

�

��

n nn( ) ���

2 21

2 42 2 2π π π π− − +�

����� =n n n

n( ) ?)�(��(�)��@

� 2� 3�

y = I0

X

Y

O

– π π– /2π π/2O

Y

X

�� ���������� �

DHARM

EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

��082

; if is even

; if is odd

n

nn

Ï€

�����

����-�

��� ��)������������-����������

��������12

082( ) cos+

=

∞

∑n

nnx

oddπ

∴ ��������8 3

35

52 2Ï€cos

cos cos........x

x x+ + +���

���

��������< ������� ���"�� ���

�������

"� ���� �� �������'� �(������������� ������ ������!��������� ������"��� ��# �����$

!���a

an x

lb

n xl

nn n

0

12

+ +���

���

=

∞

∑ cos sinπ π

��a

axl

bxl

ax

lb

xl

01 1 2 22

2 2+ +���

���+ +�

�����

cos sin cos sinπ π π π

���������

������������ � axl

bxl1 1cos sin

π π+���

���� ���������� ������� �� �����������

axl

bxl2 2

2 2cos sin

π π+���

���� ������������������� �� ������������

���� � ��������������

!�������������������� �������������,����� ���������<��� ��������� ���������� ���������������� ���� ���������,�� �� ����� ���

!��������������������������������� �������������,�� ������������ ���������

�������)&��*

����,�� ������ ������������������������������ ���π�����,�� ��������������������� ��π�� ������� ��������π����� �������>π������������ ���� ����,�� �� ����� ���� �������,�� ����π�

� ��C��� � ���>�������sin 525

x +���

���

π��.�� �����

25Ï€

����-��� �����-�����������323

x +���

���

π��.�� �����

23Ï€

cos2n x

kπ�� cos

cos22

2 22

n xk

nk

xk

nπ π π π

π+�

�����= +�

�����

� cos2nk

xkn

π +���

��� ��.�� �����

kn

�������� ������������tan ,22 2

x +���

���

π π

������������� ���������������������������

DHARMEG-MATH10\2PSM1-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

�� �� ��������������� ��� ����,�� �� ����� ���

–t t–2� –� 0 � 2�

1

–1T = 2�

f(t)

���� ���� �� �� �

5�������� ����3,����������6� ��� ����,�� �� ����� ��� ��������� ���������� ������ �� ����&��� ������ ����������� �����������#������� ��� �� ,������������ �

a02���������������������������������-�������������������������

����� ��������� ���������� ��-������������� ����������

�a

b nxn

n0

12

+=

∞

∑ sin �

���������������� ������ �������������������������������������������������������������������

&�,�� �� ����� �����������������3,������ ������� ���"�� ����������� ������� ��������������� �#D

��� &������������� ������������������� ,������ �������� ����������

���� &��� ,���������������� ��������<���$������ �����$�������������������

����� E� ,���������������� �� ���� �� ,������������� ��������<���$������� �����$����������������������&������������������������������������������������������������������ �������������

)���� �)��F�������� ��� ������� ������ ��� ������������ ������������� ��� �����������36,������ ��,�����������$�9����� ���������� �

����0���$���� ������ �����������3,�������� ��������� ����� ����������$,�������� ������������� ������ � ����

���� ������� �������������������� �� �� �

!�������� ��������������� ���������(�π��π�

�)�� ����#��6����� ���� ��������

�-��������� ������ � ���� ������ �3 ������ � ��

�>���������$��� � ���� ������� ����� ���

�C�� ����������π�������������������������� ���?(�π��π@������

"������a

a nx b nxn

nn

n0

1 12

+ += =∑ ∑

P P

cos sin

������#���������������.�→�∞������������������� ��������� ������ ������������� ���������� ��� �

�<������12�?�������%���������(�%�@����,� ������ ����� � �$�

�� ����������

DHARM

EG-MATH10\PSM12-1 10-12-2011 IIIrd 28-3-11 IVth 14-2-12 Vth 22-2-13

���� �������� ������ �� �� �

� 4 ����� ���� ��� ������������,����������$���� ������ ����&����#����� ��� ������ ���� ����� ������� ������������3 ������� �� ���������������$��������� ����

� ������� ������ ��� ������ ���3,��� �#�����,�� �� ����� ����� ������� �������������� ����6������������3 ������,�� �� ���3���� ������������ ���

� �3,��� ����������� ���� �#���� ����$���� ������ ���# �������� ���������� ���� �������6 ��������������������������� ��� ���3��� ��$����� ��,�$� ���

� ��� ������ �������� ����� ������� ��� ������� �� �$�������#�����������,� ����

* ��� ��$���� � ���#��� �������������#������� ������ ��� ������$����� ������� �� �$������� � �������� ��� ������������#�����5����������� ��$���� ��� ����� �� ���������� ������ ����� ��� ��������� �� �� ����������

�� � �� ����� �����

��������� �#� ���#������������� ����� ���"�� ���

���0

2π� sin nx dx���% ����0

2π� cos nx dx ���%

�����0

22

π� sin nx dx ���π ����0

22

π� cos nx dx ���π

���0

2π� sin sinnx mx dx ���% ����0

2π� cos cosnx mx dx ���%

�����0

2π� sin cosnx mx dx ���% ������0

2π� sin cosnx nx dx���%

���� ?��@��������(��′������″���(��′″��������

����� ������ vdx,������� v dx1 , ������������′���dudx���″���

d u

dx

2

2 ��������������

��� � ���π���%�������π����(�)�����������∈��

��!� � � �������������� ��� ��� ���" �� ��������� #

��������a

a x a x a nxn0

1 222cos cos ... cos ...+ + + + ������ ��������� ���������������� ���������� ����)�

��� $������� ���!���#����������� �������)���� �����%���������π�

0

2π� f x dx( ) ��a

dx a x dx0

0

2

10

2

2

π π� �+ cos ���a x dx20

22

π� + +cos ...

+ +�a nx dxn0

2πcos ...���b x dx b x dx1

0

2

20

22

π π� �+ +sin sin ...

��b nx dxn0

2π� +sin ...

�a

dx0

0

2

2

π� ���%�������!� ��+�,��$��� �������������������&���)��C�

Problems And Solutions In EngineeringMathematics Volume-II By Dr. T.C.Gupta

Publisher : Laxmi Publications ISBN : 9788131800423 Author : Dr. T.C. Gupta

Type the URL : http://www.kopykitab.com/product/3467

Get this eBook

40%OFF