Perguntas frequentes e erros comuns

Perguntas frequentes e erros comuns

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

[email protected]

‡

Sumario

1 Perguntas frequentes e erros comuns 5

2 Matematica 6

2.1 Introduzindo raızes estranhas em equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 O problema das sequencias ou qual o proximo numero? . . . . . . . . . . . 7

2.3 Resposta a argumentos contrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4√a2 = a ou −a? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Livros de calculo, quais usar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 O que ha de especial no numero e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Paradoxo com derivada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Convolucao de Vandermonde- relacao de Eulerk∑

p=0

(r

p

)(s

k − p

)=

(r + s

k

). 12

2.8.1 Interpolacao de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Falsas conjecturas e curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9.1 n2 − n+ 41 gera sempre primos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 Problema do Garcom e do sumico de 1 Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Numeros complexos 18

3.1 Ordem e numeros complexos. Como determinar que um numero complexo e maior que outro? 18

3.2 1 = −1 por meio de raızes e complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Matematica-series 20

4.1 0, 99... = 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 Representacao decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Calculo de series do tipo∞∑k=0

kak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

SUMARIO 3

4.3∞∑k=0

2k = −1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4 1 = 0 por meio de series? erro em manipular 0 + 0 + · · · . . . . . . . . . . 27

4.5∞∑k=0

(−1)k a serie de Grandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Duvidas sobre o numero zero 35

5.1 0 e um numero natural ou nao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 ∞0 como operacao aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 0.∞ = 0 em teoria da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4 Zero divide algum numero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Inverso multiplicativo de zero , 0−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.6 1 = 2 e variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.7 0 e um numero par? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.8 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.9 Algumas utilidades da definicao 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.9.1 Produto sobre o conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.9.2 Conceito de nao multiplicar ou multiplicar 0 vezes. . . . . . . . . . 43

5.9.3 Algebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.9.4 Series de potencias e polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.9.5 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.10 Soma geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.11 Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.11.1 Uma identidade com diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.12 Definicao de potencia de base real e expoente inteiro. . . . . . . . . . . . . 47

5.12.1 Identidade de Worpitzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.12.2 Numeros de Stirling do segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.12.3 Numero de funcoes de A em B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.13 Indeterminacao pela extensao de ax+1 = ax.a. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.14 Resposta a argumentos contrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.14.1 A regra am−n =am

an. Um peso e duas medidas . . . . . . . . . . . . 50

5.14.2 00 e consistencia da matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.14.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.14.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.14.5 Argumentos usando 0−x com x positivo . . . . . . . . . . . . . . . 57

SUMARIO 4

5.15 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.15.1 Delta de kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.16 Textos que adotam a definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.17 Textos que sao contrarios a definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.18 Mais sobre limites e 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.19 00 e falacia logica do Non sequitur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.19.1 Implicacoes da nao definicao de 00 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.19.2 Porque nao existe consenso entre matematicos para 00? . . . . . . . 62

5.20 0! = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.21 Fatorial, extensao por meio de recorrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.21.1 Fatorial nao definido para inteiros negativos . . . . . . . . . . . . . 64

5.22 Fatorial ,definicao recursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.23 Definicao de fatorial para numeros reais, usando funcao gamma . . . . . . 67

5.24 Duvidas sobre aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Duvidas sobre aritmetica 70

6.1 Se 5 = 3 e 3 = 2 quanto e 5 + 3? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Ordem das operacoes , quanto da 48÷ 2× (9 + 3)? . . . . . . . . . . . . . 70

6.3 (−)(−) = (+)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4 Qual a diferenca entre as medias aritmetica, geometrica e harmonica ? . . 72

Capıtulo 1

Perguntas frequentes e erros comuns

Esse texto ainda nao se encontra na sua versao final, sendo, por enquanto, cons-

tituıdo apenas de anotacoes informais. Sugestoes para melhoria do texto, correcoes da

parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email

[email protected].

5

Capıtulo 2

Matematica

2.1 Introduzindo raızes estranhas em equacoes

Seja a equacao em R ,x2 + 1 = 0, multiplicando ela por x2 − 1, segue que

x4 − 1 = 0 = (x− 1)(x+ 1) (x2 + 1)︸︷︷︸>0

,

que possui solucoes x = 1 e x = −1, porem se observa que tais valores nao sao solucoes

de x2 + 1 = 0 . O que acontece nesse tipo de manipulacao? .

Vamos escrever esse tipo de problema usando conjuntos. Temos que vale a seguinte

inclusao de conjuntos,

{x ∈ R | x2 + 1 = 0}︸︷︷︸A

⊂ {x ∈ R | (x2 − 1)(x2 + 1) = 0}︸︷︷︸B

pois se ( aqui considere uma enfase no ”se”) existe x real tal que x2 + 1 = 0 entao

x2 + 1︸︷︷︸=0

vezes qualquer numero resulta em 0 , logo (x2 + 1)(x2 − 1) = 0, por isso, todo

elemento do conjunto A tambem e um elemento do conjunto B, alem disso o conjunto B

e exatamente

B = {1,−1},

pois (x2 − 1) (x2 + 1)︸︷︷︸>0

= 0 implica x = 1 ou x = −1 e se x = 1 ou x = −1 entao

(x2 + 1)(x2 − 1) = 0 . Entao o unico dado que temos e

{x ∈ R | x2 + 1 = 0} ⊂ {1,−1},

6

CAPITULO 2. MATEMATICA 7

nao chegamos que o conjunto solucao de x2 + 1 = 0 e o conjunto {1,−1}, deduzimos

apenas que esta contido nele, se, por acaso houvesse solucao de x2 + 1 = 0 em R entao

a solucao deveria estar contida em {1,−1}, porem nao ha solucao para tal equacao em

R, o conjunto {x ∈ R | x2 + 1 = 0} e vazio, o que nao entra em contradicao com

{x ∈ R | x2 + 1 = 0} ⊂ {1,−1}, pois o vazio e subconjunto de qualquer conjunto .

2.2 O problema das sequencias ou qual o proximo

numero?

Um tipo de questao muito comum e dada uma sequencia finita, descobrir qual o

proximo numero da sequencia, neste capıtulo discutimos esse problema.

Z Exemplo 1. Uma pessoa pergunta, qual o proximo numero da sequencia

1, 2, 3, 4, · · ·

a maioria poderia dizer que e o numero 5, pois considera essa forma a mais simples de

responder tal questao .

Porem a pessoa que propos tal questao, poderia ter usado a seguinte formula para

gerar a sequencia

f(x) = x+(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

4!

daı

f(5) = 5 +(5− 1)(5− 2)(5− 3)(5− 4)

4!= 5 +

(4)(3)(2)(1)

4!= 5 + 1 = 6

f(5) = 6 e nao f(5) = 5 como muitos poderiam imaginar.

O valor de f(5) poderia ter sido alterado para qualquer numero real, bastando escolher

uma constante k conveniente e colocar

f(x) = x+ k(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

4!.


Acaba entao que descobrir um proximo numero de uma sequencia, quando nao se e

dada a maneira de definir seus termos, acaba sendo um processo de advinhacao e nao de

matematica feita de forma com que consideramos rigorosa.

A proxima propriedades da uma ideia da arbitrariedade desse tipo de questao .

b Propriedade 1. Para toda sequencia finita a1, · · · , an, existe sempre um padrao em

que f(1) = a1, · · · , f(n) = an e f(n+ 1) e qualquer numero que se desejar .

Aqui vamos precisar que o leitor tenha conhecimento de interpolacao por polinomios,

para que o argumento seja entendido . ê Demonstracao. Existe um polinomio f(n)

satisfazendo f(1) = a1, · · · , f(n) = an e f(n + 1) = k, onde k e um numero qualquer

fixado.

Para isso use um polinomio interpolador, como de Lagrange ou interpolacao de Newton

.

Sem uma definicao precisa da sequencia, torna-se impossıvel se demonstrar algo sobre

ela para um proximo termo, pois nao se tem informacao suficiente para distinguir sobre

as infinitas possiveis sequencias que possuem mesmos termos iniciais.

2.3 Resposta a argumentos contrarios

Z Exemplo 2. � Argumento : Devemos sempre escolher o padrao mais simples

para a solucao!

� Resposta: Isso pode tornar o problema mais complicado ainda, pois. Precisarıamos

de uma definicao do que seria um processo mais simples e outro processo ser mais

complexos. Isso poderia ate ser feito usando , por exemplo, conceito de complexidade

computacional. Porem a definicao do que seria considerado mais simples ou mais

complexo pode tambem variar. Segundo: A propria ideia de escolher a solucao

mais simples e arbitraria, porque escolher o padrao mais simples? um padrao mais

complexo poderia ser o correto para a questao proposta. Lembramos tambem que


a matematica como fazemos hoje, nao e a princıpio uma ciencia empırica como a

fısica. Terceiro : Se o criterio e o padrao mais simples, em matematica, deveria

se provar que nao existe um modo mais simples de resolver o problema. Porem

mostrar que nao existe um modo mais simples poderia tornar a questao muito mais

complicada do que o desejavel. Entao se e feita a afirmacao que um processo X e

o mais simples, deveria se provar que tal processo e o mais simples, lembre que e

considerado o onus da prova para quem afirma .

� Argumento: A pessoa nao pode simplesmente chutar qualquer valor e dizer que esta

certo, ela precisa explicar um raciocınio consistente para isso.

� Resposta: Sim ela pode, pois qualquer valor que a pessoa coloque como proximo

numero, sempre existe um ”argumento consistente”que abrange os casos dados e

inclui o novo valor que ela deseja . Para qualquer numero que se coloque , existe um

raciocınio consiste, que leva ao valor que se deseja , basta interpolar, por exemplo,

usando um polinomio, que fornece uma formula polinomial que passa pelos valores,

desejados, a formula polinomial e consistente com os valores iniciais e tem como

proximo valor qualquer numero (fixo) que se deseje.

� Argumento: A resposta certa deveria ser a mais elegante.

� Resposta:Conceito de elegante pode variar de pessoa para pessoa o que x acha

elegante y pode nao achar. A princıpio a matematica nao trata de conceito de

elegancia, ou como as pessoas percebem isso. Esses conceitos podem variar de

pessoa para pessoa, sociedade e outras coisas. Conceito de elegancia poderia ser

tratado em temas como filosofia ou psicologia.

2.4√a2 = a ou −a?

Depende da definicao que se adota, alguns definem√a2 = ±a, podendo ser a ou −a,

que sao raızes da equacao x2 = a. Porem iremos adotar que

√a2 = |a|,


isto e, sendo sempre um numero nao negativo. O motivo de adotarmos essa definicao

e que queremos medir distancias usando a raiz quadrada , por exemplo a distancia entre

dois ponto (x, y) = A e B = (w, z) seria dada por

√(x− w)2 + (y − z)2

como medida de distancia, nao poderia ser um numero negativo .

Porem tambem usamos a notacao√x para definir uma funcao f : [0,∞) → R com

f(x) =√x . E funcoes admitem apenas um valor como imagem, isto e, para todo

x ∈ [0,∞) existe apenas um valor f(x) em R.

2.5 Livros de calculo, quais usar?

Se o aluno esta acompanhando um curso de calculo, um dos texto que pode ser re-

comendavel usar e o que o professor adota, pois dele podem ser retiradas questoes e a

maneira como o curso se desenvolve . Porem outros textos podem ser interessantes para

se obter maior informacao ou o conteudo pode ser expresseo de uma maneira que o leitor

pode achar mais clara. O leitor pode considerar que a explicacao de um certo livro em

especıfico o faz compreender melhor o tema, por isso e interessante que leia alguns livros

para ver ao qual se adapta melhor . Vamos indicar aqui alguns textos :

Textos que sao considerados mais basicos e faceis de se entender:

� Autor: Stewart . Este livro e considerado didatico por muitos alunos.

� Autor : Guidorizzi . O volume I e considerado por alguna um livro razoavel, em

especial por causa dos exercıcios.

Livros considerados com conteudo mais completo :

� Autor: Spivak .

� Autor : Courant.

� Autor: Apostol .

� Autor: Piskounov.


2.6 O que ha de especial no numero e ?

Muitas propriedades, uma delas que e e o unico numero a que satisfaz

(ax)′ = ax;∀x ∈ R,

isto e, torna ax invariante pelo processo de derivacao, para todo x real .

2.7 Paradoxo com derivada?

Temos que

x+ · · ·+ x︸︷︷︸x vezes

= x2

derivando e usando que a derivada de x, e 1 e derivada de x2 e 2x segue que

1 + · · ·+ 1︸︷︷︸x vezes

= 2x,

logo

x = 2x ⇒ 2 = 1

quando x = 0. Onde estaria o erro neste argumento? Vamos escrever de forma compacta

para tentar ver melhor o que acontece.

x+ · · ·+ x︸︷︷︸x vezes

escrito na notacao de somatorio ex∑

k=1

x, que representa a soma x+ · · ·+ x︸︷︷︸x vezes

. Percebemos inicialmente quex∑

k=1

x a princıpio so faz sentido para x inteiro .

A propriedade de passar a derivada para dentro da soma, so vale se o numero de

termos nao depende de x,

d

dx

n∑k=1

x =n∑

k=1

dx

dx=

n∑k=1

1 = n

para n inteiro, independente de x , agora parad

dx

x∑k=1

x a propriedade nao vale a

princıpio, terıamos que derivar em relacao ao limite superior do somatorio, tomando o

limite

limh→0

x+h∑k=1

(x+ h)−x∑

k=1

x

h

mas daı nao temos o somatorio definido com limite superior x+ h arbitrario .


2.8 Convolucao de Vandermonde- relacao de Eulerk∑

p=0

(r

p

)(s

k − p

)=

(r + s

k

).

Vamos apresentar varias demonstracoes dessa identidade , daremos demontracoes

usando inducao, produto de polinomios e binomio de Newton, interpolacao de Newton e

tambem derivada .

b Propriedade 2.k∑

p=0

(r

p

)(s

k − p

)=

(r + s

k

)ê Demonstracao.[1-Interpolacao de Newton]

Nesta primeira demonstracao usaremos interpolacao de Newton, caso nao saiba como

ela funciona, veja o final desta secao .

Usamos a interpolacao de Newton na funcao f ,

f(n+ x0) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(x0)

onde ∆kf(x0) e a k− esima diferenca aplicada em x0, tomando f(n + x0) =

(n+ x0

p

)temos ∆kf(x0) =

(x0

p− k

), daı

(n+ x0

p

)=

n∑k=0

(n

k

)(x0

p− k

).

ê Demonstracao.[2-Produto de polinomios]

(1 + x)r =r∑

k=0

(r

k

)xk

(1 + x)s =s∑

k=0

(s

k

)xk

(1 + x)r(1 + x)s = (1 + x)r+s =r+s∑k=0

(r + s

k

)xk

porem (1 + x)r(1 + x)s = (1 + x)r+s, vamos entao multiplicar os dois fatores

(1 + x)r(1 + x)s =r∑

k=0

(r

k

)xk

s∑k=0

(s

k

)xk


pela regra do produto de polinomios temos

r∑k=0

(r

k

)xk

s∑k=0

(s

k

)xk =

r+s∑k=0

ckxk

onde

ck =k∑

p=0

(r

p

)(s

k − p

)igualamos entao

r+s∑k=0

(r + s

k

)xk =

r+s∑k=0

ckxk

logo

ck =

(r + s

k

)=

k∑p=0

(r

p

)(s

k − p

).

ê Demonstracao.[3-n -esima derivada] Usando a formula de Leibniz da n-esima

derivada do produto de duas funcoes

Dnf.g =n∑

k=0

(n

k

)(Dkf)(Dn−kg).

Usamos novamente que (1 + x)r+s = (1 + x)s(1 + x)r e aplicamos a n-esima derivada

nas duas expressoes em um ponto x = 0, vale que Dk(1 + x)s = k!

(s

k

)(1 + x)s−k ,

Dn−k(1 + x)r = (n − k)!

(r

n− k

)(1 + x)r−n+k, Dn(1 + x)r+s = n!

(r + s

n

)(1 + x)r+s−n,

aplicando no ponto x = 0 e usando a formula de Leibniz tem-se

n!

(r + s

n

)=

n∑k=0

(n

k

)(n− k)!k!

(r

n− k

)(s

k

)dividindo por n! chegamos no desejado(

r + s

n

)=

n∑k=0

(r

n− k

)(s

k

)

pois o termo

(n

k

)e cancelado .

ê Demonstracao.[4-Inducao ]

Vamos provar a identidade(x+ s

n

)=

n∑k=0

(s

k

)(x

n− k

)


por inducao sobre s.

Para s = 0 (x

n

)=

n∑k=0

(0

k

)(x

n− k

)=

(x

n

)logo a identidade vale, independente do valor n. Suponha validade para s(

x+ s

n

)=

n∑k=0

(s

k

)(x

n− k

)(independente do valor em n ) vamos provar para s+ 1(

x+ s+ 1

n

)=

n∑k=0

(s+ 1

k

)(x

n− k

).

Pela relacao de Stifel vale (x+ s+ 1

n

)=

(x+ s

n

)+

(x+ s

n− 1

)usamos a hipotese da inducao para esses dois fatores da relacao de Stifel(

x+ s+ 1

n

)=

n∑k=0

(s

k

)(x

n− k

)+

n−1∑k=0

(s

k

)(x

n− 1− k

)=

=

(s

0

)(x

n

)+

n∑k=1

(s

k

)(x

n− k

)+

n∑k=1

(s

k − 1

)(x

n− k

)=

=

(s+ 1

0

)(x

n

)+

n∑k=1

(

(s

k

)+

(s

k − 1

))︸︷︷︸

(s+1k )

(x

n− k

)=

n∑k=0

(s+ 1

k

)(x

n− k

).

$ Corolario 1. Temos como corolario, tomando k = r = s = nn∑

p=0

(n

p

)(n

n− p

)=

(2n

n

)

como

(n

p

)=

(n

n− p

)temos

n∑p=0

(n

p

)2

=

(2n

n

).

$ Corolario 2. Outro corolario e a soman∑

k=0

(2n

k

)(n

n− k

)=

n∑k=0

(2n

k

)(n

k

)=

(3n

n

).

$ Corolario 3. (r + n

n

)=

n∑k=0

(r

k

)(n

k

).


2.8.1 Interpolacao de Newton

Vamos deduzir informalmente a formula de interpolacao de Newton, que permite es-

creve uma sequencia como soma das suas diferencas.

De ∆ = E − 1 tem-se ∆ + 1 = E, elevando a n, tem-se

En = (∆ + 1)n =n∑

k=0

(n

k

)∆k

aplicando em f(0) tem-se

Enf(0) = f(n) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(0).

Da mesma maneira temos

∆n = (E − 1)n =n∑

k=0

(n

k

)(−1)n−kEk

aplicando em f(x), temos

∆nf(x) =n∑

k=0

(n

k

)(−1)n−kEkf(x) =

n∑k=0

(n

k

)(−1)n−kf(x+ k).

Por exemplo, caso f(x) = xn, podemos mostrar que ∆nxn = n! e daı

n! =n∑

k=0

(n

k

)(−1)n−k(x+ k)n.

Vamos provar a formula de interpolacao de Newton por inducao .

Para n = 0 ela vale, supondo para n vamos provar para n+ 1.

Temos por hipotese de inducao que

f(x+ n) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(x)

logo por aplicacao de ∆ nesta tem-se

∆f(x+ n) =n∑

k=0

(n

k

)∆k+1f(x)

alem disso f(x+ n+ 1) = ∆f(x+ n) + f(x+ n)

f(x+ n+ 1) =n∑

k=0

(n

k

)∆k+1f(x) +

n∑k=0

(n

k

)∆kf(x) =


=

(n

n

)∆n+1f(x) +

n−1∑k=0

(n

k

)∆k+1f(x) +

n∑k=1

(n

k

)∆kf(x) +

(n

0

)∆0f(x) =

=

(n+ 1

n+ 1

)∆n+1f(x) +

n∑k=1

(n

k − 1

)∆kf(x) +

n∑k=1

(n

k

)∆kf(x) +

(n+ 1

0

)∆0f(x) =

=

(n+ 1

n+ 1

)∆n+1f(x) +

n∑k=1

(

(n

k − 1

)+

(n

k

))︸︷︷︸

(n+1k )

∆kf(x) +

(n+ 1

0

)∆0f(x) =

=n+1∑k=0

(n+ 1

k

)∆kf(x)

como querıamos demonstrar.

2.9 Falsas conjecturas e curiosidades

(Secao em construcao, volte mais tarde .)

2.9.1 n2 − n+ 41 gera sempre primos?

Euler teria notado que n2 − n + 41 gera primos de n = 0, ate n = 40 . Os primos

gerados sao

� 41,

2.10 Problema do Garcom e do sumico de 1 Real.

Tres amigos foram tomar uma cervejinha num boteco e ao final, a conta deu 25, 00

reais. Fizeram o seguinte: cada um deu 10, 00 reais ao garcom e pediram o troco. O

garcom trouxe 5, 00 reais de troco em notas de 1 real . Para dividir igualmente, deu 1, 00

real de troco a cada cliente e recebeu 2, 00 reais como gorjeta. Totalizando os 5, 00 reais

do troco.

Se cada cliente pagou 10, 00 reais e recebeu 1, 00 real de troco entao eles gastaram

juntos 27, 00 e se o garcom ficou com 2, 00 reais de gorjeta, temos:

� Clientes: 27, 00 reais (Gasto) .


� Garcom 2, 00 reais (Gorjeta).

� Total 29, 00 reais (Gasto + Gorjeta).

Pergunta-se: onde foi parar o outro 1, 00 real ?

Vamos a uma solucao do problema. O enunciado pode nos induzir a pensar que nao

se altera o valor, gasto +gorjeta, porem o que se mantem constante na verdade e o valor

gasto +troco, onde gasto = preco de custo+ gorjeta .

Entao, resumindo, o que nao varia e a soma

(Preco de custo + gorjeta) + troco

Neste caso em especıfico tem-se:

� Preco de custo = 25 reais .

� Gorjeta = 2 reais.

� troco=3 reais .

� Total, 30 reais, que e o valor inicial dado pelos consumidores .

Capıtulo 3

Numeros complexos

3.1 Ordem e numeros complexos. Como determinar

que um numero complexo e maior que outro?

Nos complexos em geral , nao se tem relacao de ordem entre os elementos , pois a ordem

nao poderia funcionar como , por exemplo, nos reais, que e de certa forma subconjunto

de C .

Temos em R que o quadrado de um numero nao nulo e sempre positivo. Mas isso nao

acontece em C pois i2 = −1 e negativo , onde e i a ”unidade complexa”.

3.2 1 = −1 por meio de raızes e complexos

Z Exemplo 3.

1 =√1 =

√(−1)(−1) =

√(−1)

√(−1) = i.i = i2 = −1.

Logo 1 = −1. O erro e usar a propriedade (x.y)b = xb.yb com x = y = −1, essa

propriedade so e provado nos reais com x, y nao-negativos, isto e, x, y ≥ 0..

Entao a passagem nao valida a princıpio e√(−1)(−1) =

√(−1)

√(−1)

nao se tem provada tal propriedade de potencias com base negativa .

18

CAPITULO 3. NUMEROS COMPLEXOS 19

Vejamos outro exemplo semelhante

Z Exemplo 4.

(−1)3 = −1,

por outro lado

(−1)3 = (−1)62 = ((−1)6)

12 =

√1 = 1,

portanto 1 = −1. O erro aqui se encontra na seguinte passagem

(−1)62 = ((−1)6)

12 ,

pois a propriedade

xm.n = (xm)n

so e provada a princıpio para x ≥ 0 em,n reais. Entao o erro esta no uso dessa propriedade

em valor que ela nao e demonstrada.

Capıtulo 4

Matematica-series

4.1 0, 99... = 1?

Esta e uma das questoes mais que devem ser mais frequentes .

Pensamos que para entender realmente, o que e em essencia essa igualdade, e ne-

cessario algum tipo de entendimento de processo limite ( ou processos equivalentes ) .

Pois 0, 999 · · · e o limite de uma soma , isto e, uma serie . 0, 999 · · · e o numero do qual

se aproxima a sequencia

x1 = 0, 9

x2 = 0, 99

x3 = 0, 999

· · ·

que e o numero 1 , 0, 999 · · · sendo apenas uma outra representacao do numero .

Terıamos que definir o que significa repetir infinitos decimais como em 0, 999 · · · , issopode ser feito com certa clareza usando series, que e tema nao abordado em geral fora da

faculdade , entao achamos um pouco complicado explicar em essencia o que e sem usar

processos infinitos, porem , nestes casos, seria possıvel dar ideia intuitiva sobre o processo

. Aqui tentamos fazer a abordagem do tema por meio de series.

20

CAPITULO 4. MATEMATICA-SERIES 21

4.1.1 Representacao decimal

m Definicao 1 (Representacao decimal de um numero real). Seja dada uma sequencia

(ak)∞0 = (a0, a1, a2, · · · ) onde a0 e um inteiro qualquer e ak com k > 0 pertence ao conjunto

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Um numero real na forma decimal e representado por

a0, a1a2a3 · · ·

onde cada ak e chamado de dıgito do numero na forma decimal .

Para dar sentido a a0, a1a2a3 · · · como numero real, definimos

a0, a1a2a3 · · · =∞∑k=0

ak10k

= a0 +∞∑k=1

ak10k

Agora vamos mostrar que essa serie da representacao decimal sempre converge , logo

a0, a1a2a3 · · · representa um unico numero real.

b Propriedade 3. Cada decimal representa um unico numero real.

ê Demonstracao.∞∑k=1

ak10k

e uma serie de numeros positivos limitada superiormente

pela serie∞∑k=1

9

10kque converge para 1 entao

∞∑k=1

ak10k

converge para um numero real

pelo criterio de comparacao . O criterio de comparacao usa que uma sequencia limitada

superiormente e crescente converge para o supremo do conjunto, entao essa demonstracao

em geral necessita que o corpo em que estamos trabalhando seja completo, por exemplo,

nem toda representacao decimal converge para um numero racional.

Com isso concluımos que a0, a1a2a3 · · · =∞∑k=0

ak10k

= a0 +∞∑k=1

ak10k

= c e um numero

real .

Pela unicidade de limite o numero real que a0, a1a2a3 · · · representa e unico .

Cada a0, a1a2a3 · · · representa um e apenas um numero real.

$ Corolario 4.

0, 9999 · · · = 1

pois pela definicao de representacao decimal


0, 99 · · · = 0 +∞∑k=1

9

10k= 1

No caso mostramos que uma representacao decimal para 1 pode ser dada por a0 = 0

e ak = 9 para todo k > 0 entao associamos 0, 9999 · · · ao numero 1 .

Perceba que o numero 1 tem pelos menos duas representacoes decimais, pois 1 tambem

tem a representacao

1, 00 · · ·

pois

1, 00 · · · = 1 +∞∑k=1

0

10k= 1.

$ Corolario 5. Em geral a0, 0000 · · · = a0 e (a0 − 1), 9999 · · · = a0

pois

(a0 − 1), 9999 · · · = a0 − 1 +∞∑k=0

9

10k= a0 − 1 + 1 = a0.

Concluımos entao que todo numero inteiro a0 possui pelo menos duas representacoes

decimais

a0, 0000 · · · e (a0 − 1), 99 · · · .

Z Exemplo 5.

0, 999 · · · = 1

1, 999 · · · = 2.

m Definicao 2 (Representacoes decimais distintas). Duas representacoes decimais

a0, a1a2a3 · · · e b0, b1b2b3 · · · sao ditas distintas quando as sequencias associadas (a0, a1, a2, · · · )

e (b0, b1, b2, · · · ) sao distintas .

$ Corolario 6. Numeros reais podem ter duas representacoes decimais distintas.


Considere B o conjunto das sequencias (a0, a1, a2, · · · ) associadas a uma representacao

decimal, temos uma funcao f que associa a cada elemento de B a um numero real, definida

como

f(a0, a1, a2, · · · ) =∞∑k=0

ak10k

porem f nao e injetiva, pois existem sequencias x1 e x2 distintas tais que f(x1) = f(x2).

Podemos mostrar que f e sobrejetora, isto e, para cada x real existe uma sequencia x1 tal

que f(x1) = x.

m Definicao 3 (Dızima periodica). Uma representacao decimal a0, a1a2 · · · e dita ser

uma dızima periodica quando a sequencia dos dıgitos (ak) e periodica a partir de algum

k = n.

m Definicao 4 (Dızima periodica simples ou Dızima simples). Uma dızima periodica,

e dita ser simples, quando a sequencia dos dıgitos (ak) e periodica a partir de k = 1.

mDefinicao 5 (Dızima periodica composta ou Dızima composta). Uma dızima periodica,

e dita ser composta, quando a sequencia dos dıgitos (ak) e periodica a partir de k > 1.

Em R se considera a adicao usual + e o produto usual ×, que fazem de R um corpo,

alem disso se considera o limite com a norma do modulo

limxn = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε

Se usamos outra maneira de medir distancia ao inves do modulo, nao se esta traba-

lhando em R de maneira usual, seria algo como dizer, 1 + 1 nao e 2 pois estamos usando

uma ”adicao”diferente, como por exemplo uma definida assim a +s b = (a + b).2 daı

1 +s 1 = (1 + 1)2 = 4.

Em R usando adicao, multiplicacao e norma usual, definindo a expansao decimal como

serie tem-se

0, 999 · · · = 1.

Uma colocacao comum de alguns estudantes e que 0, 999 · · · nao e 1 e sim tende a 1, o

que nao e verdade, pois 0, 999 · · · nao e uma sequencia dessa forma nao faz sentido dizer

que ele tende a 1, 0, 999 · · · e o limite de uma sequencia de numeros reais, por definicao,

sendo portanto um numero real.


4.2 Calculo de series do tipo∞∑k=0

kak.

Z Exemplo 6. Calcular

s0 =∞∑k=0

1

ak.

Temos

s0 −s0a

= 1 +∞∑k=1

1

ak−

∞∑k=0

1

ak+1= 1 +

∞∑k=0

1

ak+1−

∞∑k=0

1

ak+1= 1.

logo

s0 −s0a

= s0(a− 1

a) = 1 ⇒ s0 =

a

a− 1.

Z Exemplo 7. Calcular s =∞∑k=0

k + 1

2k. Manipulamos os ındices da serie

s =∞∑k=0

k + 1

2k= 1 +

∞∑k=1

k + 1

2k= 1 +

∞∑k=0

k + 2

2k+1︸︷︷︸s

,

multiplicamos s por1

2s

2=

∞∑k=0

k + 1

2k+1daı

s− s

2=

s

2= 1 +

∞∑k=0

k + 2

2k+1︸︷︷︸s

−∞∑k=0

k + 1

2k+1︸︷︷︸s2

= 1 +∞∑k=0

1

2k+1︸︷︷︸=1

= 2

comos

2= 2 entao s = 4.

Z Exemplo 8. Calcular

s1 =∞∑k=1

k

ak.

Temos manipulando os ındices da serie que

s1 −s1a

=∞∑k=1

k

ak−

∞∑k=1

k

ak+1=

∞∑k=0

k + 1

ak+1−

∞∑k=0

k

ak+1=

∞∑k=0

1

ak+1=

1

a− 1

como s1 −s1a

= s1(1− a)

a=

1

a− 1logo

s1 =a

(a− 1)2.


Na conta acima so fizemos alteracoes nos ındices da serie e usamos o resultado conhe-

cido∞∑k=0

1

ak+1=

1

a− 1.

Vejamos agora o procedimento geral, que permite calcular para onde converge series,

por exemplo, do tipo∞∑

kpak onde p e natural.

Z Exemplo 9 (Procedimento geral). Considere a serie convergente

s =∞∑k=b

g(k)ak

sendo g(k) um polinomio de grau n e |a| < 1 a serie converge, facamos a seguinte mani-

pulacao, primeiro multiplicamos s por a,

s.a =∞∑k=b

g(k)ak+1

︸︷︷︸sa

,

depois tomamos s e manipulamos os ındices da serie

s = g(b)ab +∞∑

k=b+1

g(k)ak = g(b)ab +∞∑k=b

g(k + 1)ak+1

︸︷︷︸s

,

tomando agora s− sa tem-se

s− sa =

s︷︸︸︷g(b)ab +

∞∑k=b

g(k + 1)ak+1−

sa︷︸︸︷∞∑k=b

g(k)ak+1 = g(b)ab +∞∑k=b

(g(k + 1)− g(k))(ak+1)

logo denotando ∆g(k) = g(k + 1)− g(k) temos

s− sa = g(b)ab +∞∑k=b

∆g(k)ak+1,

podemos mostrar que se g e polinomio de grau n entao a diferenca ∆g(k) = g(k+1)−g(k)

e um polinomio de grau n− 1 (demonstracao pode ser feita usando binomio de Newton),

podemos continuar o processo ate que o termo da diferenca seja constante e teremos assim

o resultado da serie pois ja sabemos calcular a serie geometrica

∞∑k=0

ak =1

1− a.


4.3∞∑k=0

2k = −1 ?

Suponha que s =∞∑k=0

2k , entao1

s = 1 +∞∑k=1

2k

temos tambem

2s =∞∑k=0

2k+1 =∞∑k=1

2k,

subtraindo ambas, segue que

s− 2s︸︷︷︸−s

=

s︷︸︸︷1 +

∞∑k=1

2k −

2s︷︸︸︷∞∑k=1

2k = 1 = −s

por isso s = −1, isto e,

∞∑k=0

2k = −1.

A questao aqui e que a serie∞∑k=0

2k e uma serie divergente , na convergencia no sentido

usual que tratamos no corpo dos reais R, por isso nao atribuımos neste sentido um

valor para a soma infinita s =∞∑k=0

2k, foram feitas manipulacoes algebricas com a soma

divergente . Um criterio necessario para que uma serie seja convergente e com isso (de

maneira usual ) atribuirmos um valor a uma soma infinita∞∑k=0

ak, e que a sequencia de

termo ak defina uma sequencia que converge para zero , o que nao acontece com 2k.

Resumindo, a serie S diverge, logo nao faz sentido tomar S − 2S com os conceitos de

convergencia usual tratados para series . Porem podem ser feitas extensoes do conceito

de convergencia e associar valores para series divergentes no sentido classico, porem nao

faremos isso aqui .

O erro e entao, fazer conta com serie divergente , essas contas a principio so fazem

sentido com series que sejam convergentes .

1Aqui aplicamos o mesmo procedimento que na secao anterior


Uma serie∞∑k=1

ak e convergente quando

limn→∞

(a1 + · · ·+ an)

existe , no caso que estamos abordando o limite nao existe como numero real , o limite e

+∞ ,daı dizemos que a serie diverge .

A soma de uma P.G,n∑

k=0

qk =qn+1 − 1

q − 1define uma sequencia convergente apenas

quando |q| < 1, no caso q = 2 a serie diverge, o limite anterior nao existe em R ele tende a

+∞. Neste caso a teoria de series nao garante que se possa fazer manipulacoes algebricas

som a soma infinita para se obter um valor .

4.4 1 = 0 por meio de series? erro em manipular

0 + 0 + · · ·

Z Exemplo 10. Encontrar o erro na manipulacao

0 = 0 + 0 · · · =

= (1− 1) + (1− 1) + · · · =

= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1

logo 1 = 0.

Comecamos com uma serie∞∑k=1

ak onde cada ak = 0 = 1 − 1, isto e, a soma dos

elementos da sequencia (0, 0, · · · ) entao ate a segunda linha tudo esta correto, porem na

terceira linha tratamos o termo da serie somada como os termos da sequencia

(1, −1 + 1︸︷︷︸0

, −1 + 1︸︷︷︸0

, · · · )

que e uma serie diferente da serie inicial, alem disso a manipulacao de trocar livremente

termo numa soma infinita nao pode ser feita a vontade em todo caso , so poderia ser feita

se fosse demonstrado que para series isso sempre pode ser feito, como em somas finitas.


Em somas finitas nao importa a ordem com que somamos os termos o resultado e sempre

o mesmo, por exemplo

a+ b+ c = a+ c+ b = c+ a+ b = c+ b+ a,

0 + 0 + 0 = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1)− 1 = 0,

nao importando a ordem da soma o resultado e sempre o mesmo, isso pode ser mostrado

com a propriedades de comutatividade e associatividade da adicao . Porem em somas

infinitas nao se demonstra o mesmo em todos os casos e como nao se tem demonstrado,

nao se poderia usar, a princıpio, essa propriedade de rearranjar os termos da serie , so

podemos usar propriedades novas, caso elas tenham sido demontradas.

Em notacao compacta , usando o sımbolo∑

, podemos ver tambem como este erro

pode ser cometido∞∑k=1

0 =∞∑k=1

(1− 1) =∞∑k=1

1−∞∑k=1

1 =

porem∞∑k=1

1 = 1 + (1 + 1 + · · · ) = 1 +∞∑k=1

1, substituindo temos

= 1 +∞∑k=1

1−∞∑k=1

1 = 1.

O erro aqui e escrever∞∑k=1

(1− 1) =∞∑k=1

1−∞∑k=1

1,

a propriedade∞∑k=1

(ak + bk) =∞∑k=1

ak +∞∑k=1

bk,

so e provada a princıpio quando tanto∞∑k=1

ak quanto∞∑k=1

bk sao convergentes , no caso

exemplificado∞∑k=1

1 nao e convergente.


4.5∞∑k=0

(−1)k a serie de Grandi

A serie∞∑k=1

(−1)k , nao converge com a definicao usual de series, pois o termo geral (ak)

de uma serie∞∑k=1

ak tem que tender a zero, quando a serie e convergente. Porem existem

modos de aumentar a classe de series convergentes de tal modo a associar um valor para

a serie∞∑k=0

(−1)k, a ideia intuitiva e que os termos da serie, se alternam (1, 0, 1, 0, 1, 0, · · · )

se tomamos a media dessa sequencia de termos que e1

2, dizemos que essa e a soma

de Cesaro da serie∞∑k=0

(−1)k, que e uma extensao do conceito usual de series. Podemos

mostrar que toda serie que converge para um valor L converge na media para L e alem disso

algumas series que nao convergem de modo usual convergem na media, por isso usando

a media podemos associar valor a alguns tipos de serie que antes nao possuiriam valor

associado pois seriam series divergentes. Vamos apresentar aqui definicoes e demontracoes

de resultado sobre esse topico .

Iremos agora provar alguns teoremas e apresentar definicoes.

m Definicao 6 (Media de Cesaro). Dada uma sequencia (xn) definimos a media de

Cesaro de (xn) como a sequencia (yn) dada por

yn =1

n

n∑k=1

xk

yn e a media aritmetica dos n primeiros elementos de (xn)

A seguir provaremos resultados dos quais a seguinte propriedade segue como corolario

Se lim xn = a entao lim yn = a, isto e, a operacao de tomar a media de Cesaro preserva

sequencias convergentes e seus limites.

m Definicao 7 (Cesaro somavel). Se lim

n∑k=1

xk

n= L entao a sequencia (xn) e dita

Cesaro somavel e associamos a essa sequencia o valor L como soma de Cesaro . Dizemos

que (xn) e (C, 1) somavel para L, nesse caso escrevemos

limxn = L (C, 1).


limxn = L (C, 1) ⇔ lim

n∑k=1

xk

n= L.

Toda sequencia convergente e Cesaro somavel, porem existem sequencias nao conver-

gentes que sao Cesaro somavel .

⋆ Teorema 1 (Teorema de Stolz-Cesaro). Dada uma sequencia (xn) e uma sequencia

(yn) crescente com

lim yn = ∞

e lim∆xn

∆yn= a entao lim

xn

yn= a.

Essa propriedade e o analogo do teorema de L’Hospital para sequencias. Estamos

denotanto ∆xn = xn+1 − xn.

ê Demonstracao.

Como lim∆xn

∆yn= a entao para todo

ε

3> 0 existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se

|∆xk

∆yk− a| < ε

3,

e yn > 0 (pois tende ao infinito), como (yn) e crescente vale ∆yk > 0, logo podemos

multiplicar por ele em ambos lados da desigualdade sem alterar

|∆xk − a∆yk| <ε

3∆yk,

aplicando a soman−1∑

k=n0+1

em ambos lados e usando desigualdade triangular do tipo |∑

xk| ≤∑|xk|, segue que

|n−1∑

k=n0+1

∆xk − a

n−1∑k=n0+1

∆yk| <ε

3

n−1∑k=n0+1

∆yk,

usando a soma telescopica tem-se

|xn − xn0+1 − ayn + ayn0+1)| <ε

3(yn − yn0+1),

agora como yn > 0 dividimos por esse termo de ambos lados


|xn

yn− xn0+1

yn− a+ a

yn0+1

yn)| < ε

3(1− yn0+1

yn),

somando agora |xn0+1

yn|+ | − a

yn0+1

yn)| e usando a desigualdade triangular , temos

|xn

yn− a| < ε

3(1− yn0+1

yn)︸︷︷︸

≤1

+|xn0+1

yn|+ |ayn0+1

yn)|

tem-se que 1 − yn0+1

yn≤ 1 pois equivale a 0 ≤ yn0+1

yn, que vale pois yn0+1 e yn sao

positivos, como yn → ∞, podemos tomar para n suficientemente grande que |xn0+1

yn| < ε

3

e tambem |ayn0+1

yn)| < ε

3, usando tais desigualdades, tem-se finalmente que

|xn

yn− a| ≤ ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

portantoxn

yn→ a.

b Propriedade 4. Se limzn = a e (wn) e uma sequencia de numeros positivos com

limn∑

k=1

wk = ∞ entao lim

n∑k=1

wkzk

n∑k=1

wk

= a.

ê Demonstracao. Tomamos xn =n∑

k=1

wk.zk e yn =n∑

k=1

wk entao ∆xn = wn+1.zn+1

, ∆yn = wn+1 > 0 entao yn e crescente e lim yn = ∞, temos tambem que∆xn

∆yn=

wn+1zn+1

wn+1

= zn+1 cujo limite existe e vale a entao nessas condicoes vale

limxn

yn= lim

n∑k=1

wk.zk

n∑k=1

wk

= a.

$ Corolario 7. Tomando wn = 1 entaon∑

k=1

wk = n e seu limite e infinito, tomando uma

sequencia (zn) tal que lim zn = a entao segue que

lim

n∑k=1

zk

n= a


, isto e, se lim zn = a entao lim

n∑k=1

zk

n= a.

Provamos entao que se limxn = a entao lim xn = a (C, 1).

Z Exemplo 11. Tomando zn =1

ntem-se lim zn = 0 e daı

lim

n∑k=1

1k

n= 0 = lim

Hn

n.

Z Exemplo 12. Tomando zn = a1n com a > 0 tem-se lim zn = 1 e daı

lim

n∑k=1

a1k

n= 1.

b Propriedade 5 (Stolz-Cesaro para limite infinito). Seja (bn) crescente e ilimitada .

Se lim∆an∆bn

= ∞ entao limanbn

= ∞

ê Demonstracao. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ N tal que k > n0 implica

∆ak∆bk

> A,

como ∆bk > 0 e bk > 0, logo tem-se

∆ak > A∆bk,

aplicandon∑

k=n0+1

segue por soma telescopica

an+1 − an0+1 > A.(bn+1 − bn0+1)

an+1 > an0+1 + A.(bn+1 − bn0+1)

an+1

bn+1

>an0+1

bn+1

+ A.(1− bn0+1

bn+1

) > A

para n grande, daı

limanbn

= ∞.

Z Exemplo 13. A reciproca da propriedade nem sempre vale, yn = n, xn = (−1)n

vale limxn

yn= lim

(−1)n

n= 0 e lim

∆xn

∆yn= lim

(−2)(−1)n

1nao existe.


b Propriedade 6. Se lim an = ∞ e an > 0∀ n ∈ N entao limn∑

k=1

akn

= ∞.

ê Demonstracao. Essa prova vale mesmo se (an) nao tem a restricao de an > 0

. Aplicamos o teorema de Stolz-Cesaro para limite infinito . an =n∑

k=1

ak , bn = n e

crescente e ilimitada e vale ∆n∑

k=1

ak = an+1 , ∆n = 1 logo

lim∆an∆n

= lim an+1 = ∞

entao limn∑

k=1

akn

= ∞.

$ Corolario 8. Esse resultado diz que se lim xn = ∞ entao lim xn = ∞ ∈ (C, 1)

ê Demonstracao.[2]

∀ A > 0 ∃ n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se an > 2A entao para n > 2n0 ( que

implican− n0

n>

1

2) vale

n∑k=1

ak

n≥

n∑k=n0+1

2A

n= 2A

n− n0

n≥ 2A

2= A

logo

lim

n∑k=1

ak

n= ∞.

$ Corolario 9. Se lim xn = ∞ e nao vale xn > 0 ∀ n ∈ N entao a propriedade tambem

vale pois existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn > 0 , daı

n∑k=1

ak

n=

n0∑k=1

ak

n+

n∑k=n0+1

ak

n=

n0∑k=1

ak

n+

n−n0∑k=1

xk︷︸︸︷ak+n0

n

assim se define uma nova sequencia (xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior

.

m Definicao 8 (Serie de Grandi). A serie de Grandi e a serie

∞∑k=0

(−1)k.


Luigi Guido Grandi (1671 − 1742) foi um padre italiano , filosofo, matematico, e

engenheiro.

$ Corolario 10. A serie de Grandi e divergente, pois nao existe lim(−1)n.

b Propriedade 7. A serie de Grandi e Cesaro somavel e possui soma de Cesaro de

valor1

2.

ê Demonstracao.n∑

k=0

(−1)k =(−1)n

2+

1

2

daın∑

k=1

(−1)k

2+

1

2=

n

2+

(−1)n + 1

2

daı limn

2n+

(−1)n + 1

2n=

1

2.

Capıtulo 5

Duvidas sobre o numero zero

Operacoes com o numero zero costumam ser duvidas comuns de muitos estudantes de

matematica, por isso separamos um capıtulo apenas para tentar responder essas duvidas.

5.1 0 e um numero natural ou nao?

Depende da definicao adotada, alguns autores adotam 0 nos naturais, outros nao

adotam . Por exemplo em alguns textos de analise real, temos N = {1, 2, 3, · · · } e se

usa os naturais para indexar sequencias (x1, x2, x3, x4, · · · ) . Porem pode ser interessante

ter o 0 no conjunto dos naturais, em termo de contagem de elemento, pois dizemos que

o conjunto vazio possui 0 elementos e usamos os naturais para associar a quantidade

de elementos de conjuntos finitos, nesse caso |∅| = 0. Ter o 0 nos naturais tambem e

interessante em termos algebricos, pois N teria assim um elemento neutro para adicao .

5.2 ∞0 como operacao aritmetica

Existe um conjunto chamado Reta estendida, nesse conjunto, colocam dois elementos

nao reais, denotados por ∞ e −∞. Nao se costuma definir ∞x, pois a princıpio, em

geral, nao se conhece utilidade para esse tipo de definicao . Mas se fosse para adotar uma

definicao de ∞0, neste texto, defendemos a ideia de que uma boa definicao seria 1.

Na reta estendida tem-se que

35

CAPITULO 5. DUVIDAS SOBRE O NUMERO ZERO 36

a.±∞ = ±∞, a > 0

se a < 0 invertemos o sinal da identidade anterior. Se a = 0

0.±∞ = 0,

sim, mais ou menos infinito vezes 0 e definido como sendo 0 em algumas exposicoes de

teoria da medida e integracao , nao importa aqui o que se obtem por meio de limite .

Agora, quais motivos que consideramos definir (±∞)0 = 1 como algo natural? Vamos

apresentar duas razoes.

1. Se A e B sao dois conjuntos, o numero de funcoes de A em B e dado por |B||A|,

onde |M | em geral simboliza o numero de elementos de M . Isso vale no caso de

conjuntos finitos . Agora se por exemplo A e vazio e B possui infinitos elementos .

Existe uma e apenas uma funcao de A, o conjunto vazio, em B, a chamada funcao

vazia, por isso por extensao da notacao seria coerente tomar , neste caso |B||∅| = 1,

sendo que |B| = ∞ e |∅| = 1 a notacao ficaria como ∞0 = 1.

2. Dado que a multiplicacao por ±∞ e definida na reta estendida, podemos perguntar

qual o resultado de nao multiplicar por ±∞ . Isso mesmo! o que acontece se

”nao”multiplicamos um numero por ±∞, resposta: o numero permanece inalterado

, o que equivale a multiplicar por 1 .

Esse conceito de nao multiplicar e chamado de ”produto vazio”, a aplicacao dele

equivale a ”nao multiplicar”.

Em geral dada a multiplicacao por x definida em uma estrutura com elemento neutro

da multiplicacao , podemos definir xn , onde n e natural como o numero de vezes

que multiplicamos por x em, por exemplo xn.b . Caso n = 0 , nao multiplicamos, o

que equivale a multiplicar por um 1 , essa e a ideia intuitiva do que chamamos de

produto vazio , ou o nao-multiplicar.

Em geral em matematica, em varias estruturas, definimos T 0 como um operador

identidade, como por exemplo :

� A0 = I uma matriz elevado a zero e a identidade .

� D0 = I a zero-esima derivada e a unidade .


� x0 = 1, onde x e um numero qualquer .

� a0 = e , onde a e elemento de um grupo e e o elemento neutro .

Isso tudo acima do ponto de vista de operacao aritmetica . Agora limites nao sao a

princıpio operacoes aritmeticas , definir algo por limite nao e uma obrigacao logica

.

Uma observacao e que x0 = 1 nao implicax

xsequer estar definido, muito possuir

valor 1 , tal implicacao, a princıpio, nao e demonstrada , o que nao for definido

ou tomado como axioma, deveria ter que ser demonstrado para ser usado de forma

valida .

5.3 0.∞ = 0 em teoria da medida

Em geral em teoria de integracao, queremos que a integral em intervalos nao limitados

ainda possuam propriedade de linearidade, isto e,∫ ∞

1

cf(x)dx = c

∫ ∞

1

f(x)dx,

queremos tambem que

∫ ∞

1

0dx = 0. Usando as duas propriedades , linearidade e integral

de funcao nula resultar em valor nulo, tem-se

0 =

∫ ∞

1

0dx =

∫ ∞

1

0.1dx = 0

∞︷︸︸︷∫ ∞

1

1dx = 0.∞,

por isso queremos denotar 0.∞ = 0 , como operacao aritmetica em um conjunto

chamado reta estendida, que e uniao dos reais R com dois elementos ∞ e −∞, R =

R∪{∞}∪{−∞} . Usamos entao 0.∞ = 0, nao importando que 0.∞ seja indeterminacao

como limite, isto e , se g(x) → 0 e f(x) → ∞ quando x → a entao nao temos que o limite

de g(x).f(x) quando x → a seja determinado a princıpio.

Em teoria da medida se usa 0.∞ = 0 , como operacao aritmetica na reta estendida (

nao confundir com indeterminacao em termo de limite) . Um dos motivos para se querer

essa definicao e a condicao da linearidade da integral

∫A

cfdµ = c

∫A

fdµ.


Temos por isso que

∫0dµ = 0, pois por linearidade

∫0dµ = 0

∫0dµ = 0.

Aqui usamos a definicao 0.∞ = 0, pois

∫X

0dµ =

∫X

0.1dµ = 0.

∫X

1dµ = 0µ(X) = 0

mesmo quando µ(X) = ∞. O mesmo para −∞, pois

∫X

0dµ =

∫X

0(−1)dµ = 0.

∫X

(−1)dµ = 0.(−µ(X)) = 0.

5.4 Zero divide algum numero?

Uma resposta e : depende da definicao adotada de divisibilidade.

Temos em geral dois tipos de definicoes usadas, vamos analisar cada uma delas.

m Definicao 9 (Primeira). Dados a e b inteiros, entao a|b ⇔ existe c inteiro tal que

b = a.c.

Com a seguinte definicao temos que segue :

$ Corolario 11. Tal definicao diz que a divide b ⇔ b e multiplo de a. Entao 0|b, ⇔

existe c tal que b = 0.c = 0, entao b = 0, e 0|0, o numero zero dividiria apenas a si mesmo

. Neste caso 0 divide 0 pois 0 e multiplo de zero, por qualquer fator constante c.

Porem podemos tomar outro tipo de definicao, igualmente valida :

m Definicao 10 (Segunda). Dados a e b inteiros, entao a|b ⇔ existe um unico c inteiro

tal que b = a.c.

Neste caso, podemos provar que 0 nao divide nenhum outro numero, pois . Suponha

que 0|b entao existe um unico c inteiro tal que

b = c.0 = 0,


daı b = 0, porem nao existe um unico inteiro c tal que vale c.0 = 0, pois todo inteiro

c satisfaz essa propriedade. O que diferencia a primeira da segunda definicao colocada e

o uso da existencia de um unico c tal que b = c.a na definicao da proposicao b|a . Caso

se coloque a unicidade de c entao 0 nao divide qualquer que seja o numero, caso nao se

ponha a unicidade de c entao 0|0 .

5.5 Inverso multiplicativo de zero , 0−1 .

O inverso de zero, geralmente nao e definido em R ou qualque outro corpo que contenha

R, como C . Pois sempre vale

x.0 = 0 ∀x ∈ R.

Com a definicao de1

x, queremos em geral, denotar o numero tal que

x.1

x= 1

porem pela primeira identidade, temos

0(y) = 0∀y

se1

0fosse um numero real, considerando a propriedade x.

1

x= 1, terıamos tanto 0.

1

0= 1

e 0.1

0= 0 logo 0 = 1 o que nao queremos nos reais. Por esse motivo nao definimos

1

0em

R com a propriedade tıpica de inversos multiplicativo x.1

x= 1 .

Por isso que a princıpio nao definimos 0−1 ou1

0e tambem por nao ser conhecida,

em geral, nenhuma utilidade para definir esse sımbolo . Se ele fosse definido as regras

aritmeticas usuais para inversos, nao seriam validas para o numero 0−1.

5.6 1 = 2 e variantes

Z Exemplo 14. Vejamos uma manipulacao comum , em que usando ideia de inverso

multiplicativo de 0, chega-se a uma absurdo

Sabemos que 0 = 0 que por sua vez pode ser escrito como

1− 1 = (1− 1).1 = 2− 2 = 2(1− 1),


cancelando 1− 1 de ambos lados segue que 1 = 2, absurdo. O erro e supor que podemos

cancelar o numero 0 = 1− 1 de ambos lados da igualdade ou multiplicar por um possıvel

valor1

0= 0−1, inverso multiplicativo de zero, de ambos lados da desigualdade. Porem

nao consideramos 0−1 definido a princıpio .

5.7 0 e um numero par?

Vamos definir numero par .

m Definicao 11 (Numero par). Um numero inteiro t e par se ele e da forma t = 2n

onde n e inteiro .

$ Corolario 12. 0 e um numero par, pois 0 = 2n para algum inteiro n, no caso n = 0,

0 = 2.0 .

5.8 00

O objetivo neste capıtulo e mostrar alguns casos onde a definicao 00 = 1 e util em

matematica, algumas manipulacoes necessitam de conceitos como calculo, interpolacao e

outras tecnicas( essas tecnicas sao usadas livremente).

5.9 Algumas utilidades da definicao 00

00 := 1, aqui algumas justificativas para a escolha.

5.9.1 Produto sobre o conjunto vazio

m Definicao 12. Um conjunto A e finito, quando ele e vazio ou quando existe uma

bijecao f entre o conjunto In = {1, 2, . . . , n} = {x ∈ N |1 ≤ x ≤ n}, f : In → A.

m Definicao 13 (Particao em conjuntos ). Seja A um conjunto , dizemos que uma

decomposicao de A = B ∪ C com B ∩ C = ∅ e uma Particao de A.


Se tomarmos B = A e C = ∅ , temos B ∪ ∅ = A e B ∩ ∅ = ∅, logo e uma Particao de

A, essa Particao e chamada de Particao trivial.

m Definicao 14 (Produto sobre conjuntos finitos). Sejam A um conjunto finito, f :

A → R, uma funcao que associa elementos de A (quando esse possui elementos) em

R(Poderia ser outro conjunto onde tem-se com o produto um grupo abeliano), se A e

vazio definimos ∏k∈A

f(k) = 1

∏k∈ ∅

f(k) = 1.

Se A possui 1 elemento a1, definimos

∏k∈A

f(k) = f(a1).

Se A possui mais de um elemento, tomamos uma Particao de A = B ∪ C e definimos

∏k∈A

f(k) =∏

k∈ B∪C

f(k) =∏k∈B

f(k).∏k∈C

f(k)

Se tomarmos a Particao trivial, temos

∏k∈A

f(k) =∏

k∈ A∪∅

f(k) =∏k∈∅

f(k).∏k∈A

f(k) = 1.∏k∈A

f(k) =∏k∈A

f(k)

Vamos considerar agora o caso do produtorio sobre um conjunto finito A que tenha

mais de um elemento, seja esse numero de elementos n + 2 vamos tomar um elemento

qualquer ak em A, tomando como o conjunto B o conjunto que contem apenas esse

elemento e como conjunto C o conjunto A sem esse elemento, isto e B = {ak} e C = A−{ak}, a intersecao desses conjuntos e vazia e sua uniao e o conjunto A, A−{ak}∩{ak} = ∅e A− {ak} ∪ {ak} = A, o conjunto C possui n+ 1 elementos, escrevemos entao∏

k∈A

f(k) =∏k∈C

f(k).∏k∈B

f(k) =∏

k∈A−{ak}

f(k).∏

k∈{ak}

f(k) = [∏

k∈A−{ak}

f(k)].f(ak)

podemos continuar esse processo ate que o conjunto tenha apenas 1 elemento onde apli-

camos a definicao do produtorio sobre conjunto unitario,


m Definicao 15. Seja In o conjunto de numeros naturais de 1 ate n, In = {1 ≤ k ≤

n, k ∈ N}, e a funcao f definida nesse conjunto com valores no conjunto R, definimos

n∏k=1

f(k) :=∏k∈ In

f(k)

O numero n e chamado limite superior e 1 de limite inferior. Se n = 0 o conjunto e vazio,

logo temos0∏

k=1

f(k) = 1.

Alem disso temos a propriedade de abertura de limite superior que vamos usar a seguir

n+1∏k=1

f(k) = [n∏

k=1

f(k)].f(n+ 1)

esta propriedade e valida, pois tomamos a seguinte Particao do conjunto

A = {k ∈ N |1 ≤ k ≤ n+ 1} = {k ∈ N |1 ≤ k ≤ n} ∪ {n+ 1}.

Podemos definirn∏

k=1

x = xn

caso n = 0, temos o produto sobre conjunto vazio, que foi definido como 1, pois o limite

superior e menor que o inferior0∏

k=1

x = 1 = x0

, isto sendo valido para qualquer x em especial para x = 0

0∏k=1

0 = 1 = 00.

Essa definicao tambem serve para o fatorial

n! =n∏

k=1

(k) ⇒ 0! =0∏

k=1

(k) = 1.

Observamos um possıvel problema na extensao do produto vazio

n∏k=n

f(k) = f(n) = f(n)n−1∏k=n

f(k)


se f(n) = 0 entaon∏

k=n

f(k) = 0 ,a princıpion−1∏k=n

f(k) poderia ser qualquer valor, inclusive

1 como estamos definindo, e caso f(n) = 0, implicarian−1∏k=n

f(k) = 1. Dito isso, vamos

manter a definicaon−1∏k=n

f(k) = 1 independente de f e vamos tentar dar uma ideia intuiva

disso de outra maneira.

5.9.2 Conceito de nao multiplicar ou multiplicar 0 vezes.

Z Exemplo 15. Considere y = b.n∏

k=1

f(k).

� Se n = 1, multiplicamos b por f(1), temos uma operacao de multiplicacao.

� Se n = 2 multiplicamos b por f(1) e depois o resultado por f(2), temos duas

operacoes de multiplicacao.

� Em geral, com n > 0, temos n operacoes de multiplicao, de b com f(1), f(2), · · · , f(n).

� Tentamos estender esse conceito para n = 0, onde terıamos 0-multiplicacoes, vamos

interpretar tal conceito como tomar o numero b e nao multiplicar b , por qualquer que

seja o numero, isto e, mantemos o numero b inalterado, o que equivale a multiplicar

o numero por 1, pois 1 e o elemento neutro da multiplicacao .

Com isso damos uma ideia intuitiva de

0∏k=1

f(k) = 1.

Essa e a interpretacao que damos ao produto vazio, a ideia de nao multiplicar, ou mul-

tiplicar ”0 vezes”e equivalente a multiplicar o numero por 1 o que nao altera o resultado,

pois e o elemento neutro da multiplicacao .


5.9.3 Algebra linear

Definimos sempre que T 0 = I, onde T e um operador linear, se T (v) = λv temos que

T k(v) = λkv, se k = 0 queremos T 0(v) = I(v) = v independe de λ, entao com λ = 0

T 0(v) = 00v = v.

5.9.4 Series de potencias e polinomios

Tomando por exemplo a serie de potencia de ex

ex =∞∑k=0

xk

k!

temos que e0 = 1

e0 = 1 =∞∑k=0

0k

k!=

00

0!+

∞∑k=1

0k

k!

na serie a direita temos o expoente maior que zero, entao o resultado e zero, podendo

escrever

e0 = 1 = 00.

Em polinomios temos o mesmo

p(x) =n∑

k=0

akxk

queremos p(0) = a0 o termo constante

p(0) =n∑

k=0

ak0k = a00

0 +n∑

k=1

ak0k = a0

isto e, x0 = 1 para qualquer x inclusive 0 simplifica a escrita teoria de serie de potencias

e polinomios.

Sequencias

Podemos escrever a sequencia que tem primeiro termo 1 e todos seguintes zero, usando

0n, 00 = 1 e 0n+1 = 0

(1, 0, 0, . . . ).


Podemos deduzir isso tomando a sequencia f(0) = 1 e f(n + 1) = 0 para todo n, por

interpolacao podemos achar a formula fechada para essa sequencia, usando

f(n) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(0)

temos que

∆kf(0) = (E−1)k =k∑

s=0

(k

s

)(−1)k−sEkf(0) =

k∑s=0

(k

s

)(−1)k−sf(k) =

(k

0

)(−1)kf(0) = (−1)k

todos outros termos do somatorio se anulam pois f(n+1) = 0 para n natural logo temos

a sequencia expressa como

f(n) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(0) =

n∑k=0

(n

k

)(−1)k = (1− 1)n = 0n.

5.9.5 Binomio de Newton

Temos

(x+ y)n =n∑

k=0

(n

k

)xn−kyk

no caso trivial se fizermos y = 0

(x+ 0)n = xn =n∑

k=0

(n

k

)xn−k0k =

(n

0

)xn−0 00︸︷︷︸

=1

+n∑

k=1

(n

k

)xn−k. 0k︸︷︷︸

=0

= xn.

Se tomamos x = 1 y = −1, temos

(1− 1)n = 0n =n∑

k=0

(n

k

)1n−k(−1)k =

n∑k=0

(n

k

)(−1)k

observe que para n = 0, temos no lado direito

0∑k=0

(0

k

)(−1)k =

(0

0

)(−1)0 = 1 = 00.

5.10 Soma geometrica

n∑k=0

xk =xn+1 − 1

x− 1


tomando x = 00∑

k=0

0k =0n+1 − 1

0− 1=

−1

−1= 1

logo0∑

k=0

0k = 1 = 00.

5.11 Identidades

Algumas identidades valem para todo n natural quando tomamos 00 = 1

5.11.1 Uma identidade com diferencas

Definimos o operador delta como

∆0f(x) = f(x)

∆n+1f(x) = ∆nf(x+ 1)−∆f(x)

para todo n natural.

Podemos demonstrar que

∆nxn = n!

para qualquer x em especial, ´para que a propriedade seja valida para n = 0 = x, temos

que ter 00 = 0! pois

∆000 = 00 = 0!

porem 0! = 1, entao terıamos que 00 = 1.

A mesma identidade vale com derivadas

Dnxn = n!

, com x = 0 = n tem-se

D000 = 0! = 00 = 1.

Estamos usando que D0 = ∆0 e a identidade.


5.12 Definicao de potencia de base real e expoente

inteiro.

Podemos definir a potencia de base real e expoente natural da seguinte maneira

m Definicao 16.

xn :=n∏

k=1

x

para n natural e x real.

b Propriedade 8. Para n = 0 , como ja vimos, o produtorio e vazio, logo o resultado

e 1 ( que e o elemento neutro do produto), para qualquer valor de x real, incluindo 0,

temos entao0∏

k=1

x = 1 = x0.

Podemos definir tambem a potenciacao, da seguinte maneira

m Definicao 17.

x0 = 1

xn+1 = xn.x

para qualquer x real e n natural.

Vamos mostrar que as definicoes sao equivalentes.

Partindo da primeira definicao, vamos mostrar que vale a segunda definicao

x0 =0∏

k=1

x = 1

logo a primeira propriedade vale, mostrando a segunda

xn+1 =n+1∏k=1

x = [n∏

k=1

x]x = xn.x

logo vale a segunda propriedade e definicao.

Para mostrar que valen∏

k=1

x = xn


partindo da segunda definicao, podemos usar inducao sobre n, para n = 0 temos a propri-

edade verdadeira, pois temos 1 como resultado para ambas expressoes, supondo a validade

para nn∏

k=1

x = xn

vamos provar para n+ 1n+1∏k=1

x = xn+1

Temos quen+1∏k=1

x = [n∏

k=1

x]x = xn.x = xn+1

logo esta provado.

5.12.1 Identidade de Worpitzky

A identidade de Worpitzky vale para x = 0 = n

xn =n∑

k=0

⟨n

k

⟩(x+ k

n

)

00 =

⟨0

0

⟩(0

0

)= 1.

5.12.2 Numeros de Stirling do segundo tipo

Z Exemplo 16. Vale a identidaden

k

=∆kxn

k!

∣∣∣∣x=0

.

Tomando n = 0 n

0

= xn

∣∣∣∣x=0

= 0n

como

0

0

= 1 chegamos em 00 = 1.


5.12.3 Numero de funcoes de A em B

Texto por Vinicius Rodrigues .

Em teoria dos conjuntos e em outros ramos da matematica denota-se por AB o con-

junto das funcoes de domınio B e contradomınio A. E um fato geral que, denotando a

cardinalidade de um conjunto X por |X|, temos que:

|AB| = |A||B|.

Ou seja, a cardinalidade do conjunto de funcoes AB e a cardinalidade do contradomınio

exponenciada a cardinalidade do domınio. Denotando por ∅ o conjunto vazio, temos que

∅∅ = {∅} conjunto que possui um so elemento, que e ∅ (O vazio e uma funcao de domınio

vazio e imagem vazia). Assim, com 00 = 1, temos que o fato geral mencionado se preserva:

|∅∅| = |{∅}| = 1

e

|∅||∅| = 00 = 1.

5.13 Indeterminacao pela extensao de ax+1 = ax.a.

Quando vamos definir a potencia an para n natural, queremos a1 = a e an+1 = an.a.

Caso a = 0 , podemos estender a definicao para a0 por meio dessa recorrencia de uma

maneira unica, pois de an+1 = an.a com n = 0 segue

a0+1 = a0.a ⇒ a0a = a

como a = 0 podemos dividir em ambos lados, de onde tem-se a0 = 1. Agora caso a = 0, nao

podemos determinar qual seria o valor de a0, por meio desse processo, pois substituindo

a = 0 na expressao anterior, tem-se

a0.a = a, ; 00.0 = 0

00.0 e igual a zero, independente do valor que atribuımos para 00. Por isso essa aborda-

gem nao e conclusiva e nao permite obter um valor especıfico para 00, nao conseguimos

tirar nenhuma informacao nova desse processo. Mas por outro lado ele e inalterado caso

adotemos definicao de 00 = 1 ou outro valor qualquer.


O mesmo problema pode acontece no caso do produto vazio

n∏k=n

f(k) = f(n) = f(n)n−1∏k=n

f(k)

se f(n) = 0 entaon∏

k=n

f(k) = 0 ,a princıpion−1∏k=n

f(k) poderia ser qualquer valor, inclusive

1 como estamos definindo, e caso f(n) = 0, implicarian−1∏k=n

f(k) = 1.

5.14 Resposta a argumentos contrarios

5.14.1 A regra am−n =am

an. Um peso e duas medidas

A regra de potencia ab−c =ab

acnao vale para a base 0, pois caso valesse o numero 0

seria indefinido 0 = 01 = 02−1 =02

01=

0

0entao nao faz sentido o argumento contrario

dizendo que 00 = 01−1 =01

01=

0

0, pois se essa regra vale entao 0 tambem e indefinido,

o erro esta em considerar que a propriedade de subtracao de expoentes vale para base

a = 0, que nao vale, pois tal propriedade e demonstrada para a = 0.

Ja observamos conceito de ”Um peso e duas medidas”aplicado ao que tratamos acima,

isto e, considerar que 00 seria indefinido por termos

00 = 01−1 =01

01=

0

0

mas nao aplicar o mesmo pensamento para o numero zero, onde

0 = 01 = 02−1 =02

01=

0

0,

isto e, a aplicacao de uma regra apenas quando e conveniente para o que a pessoa

considera como correto a princıpio , e nao apresentar a coerencia de aplicar em todos

casos onde ela deveria ser a princıpio valido . Se fosse valido usar apenas quando o

expoente e zero e a base zero, precisaria se fazer uma argumentacao sobre isso tambem,

mostrar que so seria valido nesse caso .

Z Exemplo 17. Vejamos uma variante do argumento am−n =am

an.


� Argumento : Podemos escrever a0 =a

a= 1 , para a nao-nulo. Quando voce adota

a convencao 00 = 1 para o conceito de funcao isto deve ser feito de modo que

continuem validas as propriedades.

00 = 1 , voce esta dizendo que 00 e determinado, vale e valem para o caso, as propri-

edades. Agora ficou assim: todo numero elevado a 0 e igual a 1 e as propriedades de

potencias sao validas. Em outras palavras, a0 =a

a= 1, para qualquer numero real.

Aı esta o que te levara a contradicoes. Ao definir 00 = 1, voce esta automaticamente

sua utilidade na validade das propriedades e o que se chega e 00 =0

0= 1, ja que a

propriedade a0 =a

a= 1 e valida neste caso. Isto acarreta contradicoes.

� Resposta: Vamos tentar mostrar que o que e argumentado acima e um nom-sequitur

(algo que nao segue necessariamente das premissas).

Uma propriedade valida para todo a nao nulo, nao implica, necessariamente , que

ela deveria ser valida a = 0 tambem . Por isso acho que esse argumento nao vale .

Podemos, e claro, dar exemplos bem definidos, onde tem-se a validade de algo para

todo a nao nulo, mas a mesma propriedade nao valendo para a = 0

Exemplo: para todo a nao nulo, temos |a| > 0 . E claro que para a = 0 temos

|a| = 0, o resultado difere da definicao de todos os outros a nao nulos .

Entao quando se fala que algo que vale para todo a real nao nulo, implicaria que

deveria valer para a nulo tambem , tem se que dar uma argumentacao do porque

isso teria que ser valido, e nao apenas colocar ”tem que ser assim e pronto”ou ”a

extensao tem que ser essa”, sem mostrar a real necessidade disso ou implicacao

logica disso .

Se ficasse argumentado a necessidade real de nesse caso a propriedade valer para

todo ”a nao nulo”, implicar necessariamente validade para a = 0 o jogo poderia

terminar .

Outro problema e a ”eleicao”de qual propriedade deveria ou nao ser valida para

uma extensao do conceito de potencia que ja se e considerado bem definido, para


valores que nao seriam considerados bem definidos no momento . No caso se elegeu

a propriedade a0 =a

aque vale para todo a = 0. O que garante que essa teria que

ser a propriedade que deveria ser mantida numa extensao do conceito e nao outra

propriedade? Por que nao a propriedade

am−n =am

an

a ultima propriedade da problema tambem para a = 0 e m = n + 1 > 0, dando a

identidade 0 =0

0. A propriedade a0 =

a

asendo apenas um caso particular dessa

outra mais geral com m = n = 1, essa ultima realmente so implica em problema

caso a = 0 .

Entao a contra argumentacao colocada se resume a dois pontos. Primeiro : Uma

propriedade valida para todo a = 0, nao implica necessariamente que ela deva ser

valida para a = 0, se essa implicacao, validade para a = 0 ⇒ validade para a = 0,

e colocada ela deveria ser provada. Segundo : Escolha da propriedade que deveria

ser valida para extensao, fica a pergunta de porque uma propriedade x deveria ser

escolhida e nao uma propriedade y. Uma propriedade que consideramos natural que

potenciacao satisfacam e a0 = 1 (ou a1 = a) e ax+y = axay, sendo a ultima valida

∀x, y ∈ R se a > 0 e ∀x, y reais nao negativos se a = 0, pois nao consideramos 0x

definido com x < 0. Os casos com a < 0 sendo um pouco mais complicados pois

podem recair em numeros complexos.

A propriedade 00 = 1 nao implica necessariamente que0

0= 1, pois a propriedade

a0 =a

anao precisa valer para a = 0 .

Z Exemplo 18. � Argumento : O mais natural para definir uma regra aritmetica

ou funcao em um ponto e por meio de limites.

� Resposta: O conceito de natural neste caso pode ser questionado ainda mais que

neste caso, temos modos que podem ser considerados naturais ,isto e, totalmente

aritmeticos (que e o domınio do problema, definicao de uma operacao aritmetica),


que evidenciam ou implicam o que nao se consegue determinar por meio de limites

.

Z Exemplo 19. � Argumento : Temos que 0n = 0 para n > 0 e n0 = 1, n = 0, por

isso 00 seria indefinido, pois nao saberıamos se valeria 1 como em n0 = 1, (n = 0)

ou 0 como em 0n, (n > 0) .

� Resposta: O fato de termos 0n = 0, n > 0 e 0n = 1, n = 0 por sı so nao implica

nada sobre 00 . Vamos escrever essas condicoes como funcao

g(x, y) = xy,

entao temos g(0, y) = 0y = 0, y > 0 e g(x, 0) = x0 = 1, x = 1, temos entao

g(0, y) = 0, y > 0

g(x, 0) = 1, x = 0,

isso nao implica nada sobre g(0, 0) que poderia possui qualquer valor, na verdade

existe uma funcao R → {0, 1} que satisfaz exatamente f(0, y) = 0 se y = 0 e

f(x, 0) = 1 ∀x real, em especial f(0, 0) = 1.

Usamos a funcao delta de Kronecker, que e definida assim δ(x, y) = 0, x = y e

δ(x, y) = 1, x = y.

Definindo entao

f(x, y) = δ(x− y, x),

temos que f(0, y) = δ(−y, 0) = 0 com y = 0 e g(x, 0) = δ(x, x) = 1. Portanto existe

funcao que satisfaz essa propriedades

f(0, y) = 0, y = 0

f(x, 0) = 1,∀x.


Nada segue das propriedades g(0, y) = 0, y > 0 g(x, 0) = 1, x = 0,, nao se implica

dessas propriedades que nao se possa definir g(0, 0) como um valor ou outro . Esse

tipo de analise nao determina ou implica ser impossıvel definir 00 de uma maneira

ou de outra .

5.14.2 00 e consistencia da matematica .

Z Exemplo 20. � Argumento : Nao e uma definicao que se deve usar pra tudo.

No proprio caso da funcao f(x, y) = xy, se eu usar a definicao 00 = 1, entao

obviamente f(0, 0) = 1. Assumindo que estou usando essa funcao pra modelar

algum fenomeno fısico (ou qualquer um outro que voce preferir), nao ha nenhuma

razao que me leve a pensar que o fenomeno vai se comportar de acordo com o modelo

no ponto (0, 0). E este seria um caso pra nao levar 00 = 1 como definicao, mas como

um valor indeterminado mesmo.

00 = 1 e util em muitas, mas nao em todas as situacoes, por isso acho que nao

devemos adotar isso universalmente.

� Resposta: Primeiro, sobre modelos, se por acaso se adota 00 = 1 a funcao de lei

xy = f(x, y) tera assim uma definicao para f(0, 0) . Caso se deseje modelar algum

fenomeno, o que imagino que deve ser feito e escolher o modelo que melhor se

adapte ao problema em questao, se por acaso um modelo com f(x, y) definido dessa

forma, nao for uma boa modelagem, uma solucao e simples, muda-se o modelo, a

funcao para modelar o problema . Estamos supondo aqui que exista um tal modelo

hipotetico que seja bem representado por f(x, y) = xy com x, y = 0 , que nao foi

apresentado de fato , mas a existencia dele na verdade nao importa, pois como

argumentamos, se um modelo nao corresponde bem a uma realidade a atitude que

achamos correta e mudar o modelo, por isso nada se implica sobre a definicao ou

nao de 00. Apesar que poderıamos pensar de certa forma que xy com x e y naturais,

possui de certa forma um modelo dentro da propria matematica, que e o numero de


funcoes entre um conjunto com y elementos em um conjunto com x elementos .

Um exemplo como troca de modelo acontece de fato na fısica e a teoria matematica

e mantida. Considere por exemplo a geometria plana, o fato dela nao se aplicar a

espacos tempos curvos pela gravidade, nao implica uma destruicao e modificacao

da geometria plana fazendo ela ser modificada e nao mais aceita como teoria ma-

tematica e sim o uso de outro modelo matematico para geometria.

Um outro tipo de questao que poderia se colocar e a de se pedir para que se prove que

tomando 00 = 1 isto nao implicaria algum tipo de incosistencia dentro da matematica

e pedir para se provar que ela seria uma definicao consistente . Porem na verdade esse

tipo de pergunta pode ser considerada bem seletiva , pois o problema da consistencia

da matematica e um problema em aberto (talvez metamatematico), nao sabemos se a

matematica em geral e consistente , nao sabemos se podemos deduzir uma proposicao ou

negacao dela a partir de alguns princıcpios basicos (axiomas) . A consistencia do sistema

axiomatico ZF , que faz parte de uma construcao moderna da matematica e dita nao ser

demonstravel em ZF . Entao o ceticismo ou seletividade dessa questao apenas para este

caso (00) aplica-se tambem na base atual da matematica e um questionamento apenas

deste ponto poderia, talvez, demonstrar uma motivacao inicial de considerar o valor 00

como indefinido .

5.14.3 Limites

Argumento que limites nao devem ser levados em consideracao para definicao ou nao

de 00. Se limx→0

g(x) = 0 e limx→0

h(x) = 0 entao a princıpio nada podemos afirmar sobre

limx→0

g(x)h(x). Porem quando definimos limite

limx→0

f(x) = L

da maneira

∀ε > 0∃δ > 0 | 0 < |x| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε


nao importa o valor de f em 0, ela pode estar definida como por exemplo, f : R → R dada

por f(x) = 3 para x = 0 e f(x) = 0 se x = 0, o valor da funcao em 0 nao importa para

definicao de limite, ela poderia nao ser definida em x = 0 tambem. Entao sustento que

argumento de limite nao deveriam ser levados em consideracao em definicoes aritmeticas

(pontuais).

Os processos limites em geral sao inconclusivos para determinar o valor de 00 como

veremos a seguir, mostrando que 00 e uma indeterminacao como limites. Como temos

indeterminacao como limites, isto e, o processo sendo inconclusivo no caso da extensao

por limites, defendemos sua definicao pela sua utilidade nas identidades algebricas , que

indicam a utilidade da definicao .

Resumindo : No caso, limites sao inconlusivos para determinar valor de 00, portanto

usamos o que indicam as identidades aritmeticas, que sao irrelevantes para processos

limites, pois nao dependem da definicao das funcoes nos pontos.

5.14.4 Continuidade

Argumento que continuidade de funcoes tambem nao devem a princıpio serem con-

sideradas para a definicao de 00. Pois uma dada funcao qualquer f ela a princıpio nao

precisa ser contınua.

Z Exemplo 21. Seja uma funcao f : R → R definida por

f(x) =(x− 1)(x+ 1)

(x− 1), x = 1.

A funcao f pode ser definida em f(1) como um valor qualquer diferente de 2? Onde

2 = limx→1

f(x) = limx→1

(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)= lim

x→1(x+ 1) = 2.

Sim , ela pode ser definida com f(1) = 1 ,por exemplo , se definimos f(1) = 2 ela

deixa de ser a mesma funcao em um ponto . A crıtica usando limites diz que NAO

podemos definir algo em um ponto se os limites diferirem do que temos naquela ponto

da funcao, o que desse ponto de vista pode ser um pouco absurdo . A funcao de lei

f(x) =(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)x = 1 e f(1) = 1 e tao valida como funcao quanto a outra

g(x) =(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)x = 1 , g(1) = 2 , apesar da primeira ser decontınua e a segunda


contınua . Defendemos que nao importa tambem o tipo de descontinuidade, isso nao

implica, que nao podemos definir a funcao em um ponto de uma certa maneira , se os

possıveis limites diferirem da funcao no ponto . Por isso que a existencia ou nao de limites,

nao implicam categoricamente que nao se possa definir a funcao de algum modo ou outro

em um certo ponto

5.14.5 Argumentos usando 0−x com x positivo

Comentario inicial, consideramos que 0−x nao sendo definido para x positivo . Por

exemplo 0−1, 0−2 etc . Neste texto consideramos apenas definicao de 0x com x ≥ 0 .

Vamos responder um comentario nessa linha . Vamos entao a mais um comentario e

resposta :

� Comentario :Esta definicao gera problemas. Por exemplo, considere que como voce

disse, 00 = 1, entao,

1 = 00 = 02−2,

pois 0 = 2− 2, aplicando as propriedades da potenciacao

1 = 02.0( − 2)

mas 02 = 0, logo 1 = 0.0−2 , porem 0 vezes qualquer numero e igual a zero, logo

1 = 0 contradicao, pois, como sabemos, zero e diferente de 1 . Ou seja, se voce

definir que 00 = 1, voce tera propriedades diferentes das usuais.

� Resposta : Um problema neste argumento e que 0−2 nao e definido a principio ,

entao nao se poderia escrever

0x+y = 0x.0y,

com x ou y menores que zero . Extrapolou-se uma propriedade onde ela nao vale .

O que vale em nosso contexto e

0x+y = 0x.0y,

com x e y nao negativos , onde tanto 0x e 0y tem sentido . Se por exemplo x e y

sao nulos entao

0x+y = 00 = 1 = 0x.0y = 00.00 = 1.1 = 1


se ambos sao positivos

0x+y = 0 = 0x.0y = 0.0,

se um deles e nulo, digamos x e y > 0, entao

0x+y = 0y = 0 = 0x︸︷︷︸1

.0y = 1.0 = 0,

entao a propriedade 0x+y = 0x.0y continua sendo verdadeira, desde que 0x e 0y

estejam definidos .

5.15 Aplicacoes

5.15.1 Delta de kronecker

m Definicao 18 (Delta de Kronecker). Sejam a e b numeros reais, definimos o Delta

de kronecker δ(a,b), como

δ(a,b) = 0

se a = b

δ(a,b) = 1

se a = b .

Podemos escrever o delta de kronecker usando a identidade 00 = 1.

b Propriedade 9.

δ(a,b) = 0|a−b|

ê Demonstracao. Pois se a = b temos a− b = 0 e |a− b| = |0| = 0 e pela definicao

00 = 1. Agora se a = b temos a− b = 0 e |a− b| = p um numero positivo, e temos 0p = 0,

por propriedade de potencia.


5.16 Textos que adotam a definicao

5.17 Textos que sao contrarios a definicao

5.18 Mais sobre limites e 00 .

Definimos a potencia para expoentes n naturais e base real a, an usando apenas

processos finitos1. Para definir ax com a > 0 e x real , usamos processos relacionados a

limites e continuidade, tomando

ax = ex ln(a).

Porem tais processos, como vimos, nao sao conclusivos para determinar o valor de

00, pois 00 e uma indeterminacao na forma de limite. E a definicao aritmetica de 00 = 1

tambem nao altera a existencia de limites, pois para limites nao importa o valor da funcao

no ponto .

Processos limites sao importantes para estender a definicao de ax para valores de x nao

reais, mas para 0 = x = a a princıpio , sao inconclusivos. Reconhecemos a importancia de

processos limite para extensao de regras aritmetica, porem, vamos considerar identidades

aritmeticas com a prioridade nessas definicoes, caso as identidades aritmeticas indiquem

algum valor. No caso de 00, os exemplos aritmeticos dados induzem a utilidade da de-

finicao de 00 = 1 e os processos limite, nao induzem a nenhum valor especial, eles variam,

sao indeterminacoes e nao dependem das definicoes pontuais.

Uma curiosidade que nao vamos usar como argumento aqui, e a seguinte, na reta

estendida, podemos definir 0.(±∞) = 0, definicao usada na teoria da medida, sabemos

tambem que limx→0+

ln(x) = −∞, por isso se definimos ln(0) = −∞ e usamos a regra

0.(±∞) = 0, da teoria da medida, temos

pela definicao

ax = ex ln(a)

se tomamos a = x = 0 temos

00 = e0 ln(0) = e0(−∞) = e0 = 1.

1 Considerando os produtos de numeros reais ja como bem definidos, o que pode necessitar de argu-

mentos relacionados a limite e continuidade


Colocamos essa passagem como curiosidade, nao vamos a usar como argumento na

defesa de 00 = 1 pois, isso iria requerer ln(0) = −∞, que foi tomado por extensao por

limites e 0.(±∞) = 0 que e regra na teoria da medida, mesmo que essa ultima tambem

seja indeterminacao como limite. Nao usamos esses argumentos a princıpio pois estamos

nos atendo a regras aritmeticas a princıpio .

5.19 00 e falacia logica do Non sequitur.

Ainda sobre limites e definicao aritmetica de 00.

m Definicao 19 (Non sequitur). Non sequitur (expressao latina para ”nao se segue”) e

uma falacia logica que acontece quando uma conclusao nao se segue das suas premissas.

Em um non sequitur, a conclusao pode ser verdadeira ou falsa, mas o argumento e falacioso

porque ha falta de conexao entre a premissa inicial e a conclusao. Existem diversas

variacoes de non sequitur, e outras falacias logicas se originam dele, tais como a afirmacao

do consequente e a negacao do antecedente, que veremos a seguir .

m Definicao 20 (Afirmacao do consequente). Tudo que e da categoria A e tambem da

categoria B entao, tudo que e da categoria B e tambem da A.

Z Exemplo 22 (Exemplo de afirmacao do consequente). Penso, logo existo . Pedras

existem, entao pedras pensam.

m Definicao 21 (Negacao do antecedente). Se A, entao B. A e falso, portanto B

tambem e falso.

Z Exemplo 23 (Exemplo de Negacao do antecedente). Se eu ganhasse na loteria,

saberia que ela premia de verdade. Eu nunca ganhei na loteria, entao ela e falsa.

Como o Non sequitur, e usado junto com limites para se considerar a 00 como indefinido

de forma aritmetica?. Sabemos que se limx→a

f(x) = 0 = limx→a

g(x) entao limx→a

f(x)g(x) nao


tende a um valor definido, mas isso nao implica a princıpio uma nao definicao aritmetica

de 00, pois digamos que limx→a

f(x)g(x) = L entao

∀ε > 0 ∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)g(x) − L| < ε

a princıpio isso nada implica sobre definicoes aritmeticas, se fosse considerar o limite L

como um numero qualquer, deveria se mostrar sem sombras de duvida como isso implica

ou nao uma nao definicao aritmetica no ponto, o que nao e feito em geral, entao nesses

casos em que a implicacao nao e argumentada, trata-se de nom sequitur, resumindo a

propriedades com 0 < |x − a| < δ, isto e, na vizinhanca do ponto x = a nao implicam

necessariamente propriedade para x = a.

O limite limx→a

f(x)g(x), pela propria definicao de limite, nao implica a princıpio nem

depende de f(a)g(a), nao importa a definicao no ponto, para limites, e limites podem nao

implicar a princıpio definicao no ponto (a funcao poderia estar nao definida no ponto ).

Por isso que a princıpio nao consideramos esse tipo de argumento .

A definicao aritmetica, a princıpio, nao segue de propriedade de limites, neste casos,

para que seguisse logicamente de limite, e necessario apresentar uma argumentacao para

isso, uma argumentacao valida.

Entao o que consideramos falacia de nom sequitur no caso e

� O fato de limx→a

f(x) = 0 = limx→a

g(x) entao limx→a

f(x)g(x) nao tender a um valor definido

a princıpio, implica que 00 e indefinido como operacao aritmetica. Sendo que consi-

deramos isso como nom sequitur, pois nao se mostra como a propriedade de limite

implicaria ou nao a definicao ou falta de definicao aritmetica.

� O fato de limx→a

f(x) = 0 = limx→a

g(x) entao limx→a

f(x)g(x) nao tender a um valor definido

a priori, implica a princıpio, apenas o que esta contido em seu enunciado, qual-

quer outra coisa que se tire disso, deveria ser argumentado usando deducoes logicas

validas. Por isso descartamos tal tipo de argumento , caso nao se preencha a lacuna

e se desfazendo do nom sequitur .

5.19.1 Implicacoes da nao definicao de 00 = 1

Primeiro, o autor do texto acha valido que uma pessoa nao deseje adotar a definicao

00 = 1 ou outras definicoes que impliquem essa propriedade (como produto vazio), seja

por questoes de limite, continuidade ou qualquer outro motivo , pois penso que definicoes


se adotam ou nao conforme o interesse e motivacao . Porem o desejo de nao querer se

definir 00, nao implica que nao se possa definir tal operacao . Se e defendido que nao se

pode definir 00, entao deve-se dar um argumento mostrando que isso de fato nao pode ser

feito , caso se diga que toda definicao na matematica deve-se antes mostrar consistente

para ser definida entao caımos no problema da consistencia da matematica, que e algo

nao resolvido e nao levarıamos adiante a matematica (por nao saber se ela e consistente

ou nao). Entao nossa atitude aqui e a de estar abertos sempre a argumentos contrarios

para possıveis incosistencias, que ainda nao observamos ou reconhecemos .

Caso nao se adote 00 = 1 todas as identidades em que se e util ter 00 = 1 nao poderiam

a prıncipio ser usadas e esse e um dos principais motivos que desejamos ter 00 = 1, poder

usar tais identidades livremente .

Por exemplo, nao poderıamos mais escrever

ex =∞∑k=0

xk

k!

para todo x, pois com x = 0 , e0 = 1 e na serie ira aparecer o termo 00, entao teria

que se escrever

ex = 1 +∞∑k=1

xk

k!,

uma das motivacoes de se ter 00 = 1 e se poder ter uma escrita mais compacta em

matematica .

5.19.2 Porque nao existe consenso entre matematicos para 00?

A resposta dada aqui sera tendenciosa, pois vem de alguem que e favoravel a se ter

00 = 1 ( como implicacao do produto vazio). Possıveis explicacoes segundo o autor desta

secao :

� Confusao entre limite e operacao aritmetica, indeterminacao de limite ( que e um

fato ) com operacao aritmetica ( pontual ), defendemos aqui que limite nao implica

necessariamente sobre a definicao da operacao no ponto ( a nao ser , que isso seja

tomado como definicao da operacao no ponto) ou questao de continuidade ( mas

funcao nao precisa a princıpio ser contınua ).


� Popularidade de argumentos errados como

00 =01

01=

0

0.

� Questoes de ensino, pois muitos sao ensinados que 00 nao e definido, entao neste

caso temos um peso da tradicao matematica . Muitos alunos em um curso de calculo

ao serem ensinados que se limx→a

g(x) = 0 e limx→a

f(x) = 0 entao

limx→a

g(x)f(x)

pode nao existir ou variar conforme as funcoes f e g , fato que e dito como 00 ser

uma indeterminacao na forma de limites , isto e, 00 ser uma indeterminacao na

forma de limites e uma abreviacao para o que foi exposto acima, e com isso se

acabam estendendo a operacao aritmetica 00.

Pessoas que defendem a nao definicao de 00, podem apresentar outros argumentos para

tentar explicar o motivo de alguns considerarem 00 = 1, porem neste texto, esperamos

ter apresentado argumentos em grande quantidade para a defesa desse ponto .

5.20 0! = 1

5.21 Fatorial, extensao por meio de recorrencia

m Definicao 22 (Definicao por produtorio). Podemos definir n! com n ∈ N, n > 0

como

n! =n∏

k=1

k.

Da definicao temos que 1! =1∏

k=1

(k) = 1. Podemos com isso verificar que

(n+ 1)! =n+1∏k=1

(k) = (n+ 1).

n!︷︸︸︷n∏

k=1

(k) = (n+ 1)n!

e usar tal recorencia (n + 1)! = (n + 1).n! com 1! = 1, onde 1! = 1 e pela definicao por

produtorio , para estender a definicao para 0! e essa extensao pode ser feita de uma unica

maneira.


Podemos entao definir o fatorial pela recorrencia

n! =

{1 se n = 0.

(n− 1)!.n se n > 0, n ∈ N.

Disso temos que 0! = 1 pois usando a recorrencia n! = (n−1)!.n ( que vale para n > 0)

com n = 1 que

1!︸︷︷︸=1

= 0!.1 ⇒ 0! = 1,

portanto tem-se que 0! = 1 usando a recorrencia. Por outro lado poderıamos tomar

0! = 1 direto na definicao.

Ter 0! = 1 provado ou nao, sendo definicao direta ou nao, depende de qual das equi-

valentes definicoes de fatorial se adota . Para alguns pode se considerar mais natural

adotar 1! = 1 como definicao e retirar 0! = 1 por uso da recorrencia , pois 1! = 1 tambem

corresponde intuitivamente bem com a ideia de que

n! = n · · · 2.1,

e naturalmente daı 1! = 1 , para n = 0 o conceito do produtorio acima teria que ser

estendido , e o conceito do produto vazio , ser nao e muito claro ou conhecido para muitos

atualmente.

5.21.1 Fatorial nao definido para inteiros negativos

Se sabemos a recorrencia do fatorial (n+ 1)! = (n+ 1).n! e uma condicao inicial, por

exemplo 1! = 1 entao podemos deduzir que 0! = 1 pois tomando n = 0 na recorrencia

acima temos que

1︷︸︸︷1! = 1.0!, daı 0! = 1. Porem nao podemos estender a definicao para

todo inteiros negativos por meio da recorrencia, pois, supondo que (−1)! esteja definido

como numero real, tem-se que, tomando n = −1 na recorrencia

(0)! = 0.(−1)! = 0

daı 0! = 0 e 0! = 1 o que e absurdo . Por nao podermos definir o fatorial de maneira

uniforme para inteiros negativos, vamos deixar o fatorial indefinido para tais valores.

� Pergunta : Temos que 0! = 1 , e aplicando a recorrencia para fatoriais n! = n(n−1)!

, tomando n = 0, teremos que 0! = 0(−1)! , ou seja, (−1)! e um numero que

multiplicado por 0 da 1.


� Resposta: Com isso concluımos apenas que (−1)! nao pode estar definido em R( ou mesmo nos complexos) de maneira que se respeite a recorrencia do fatorial

n! = n(n− 1)! para valor inteiros negativos , pois para todo numero real x , tem-se

0.x = 0 . Se desejar definir (−1)! de forma que a recorrencia do fatorial seja valida,

e necessario entao considerar um conjunto diferente de R onde haveria um elemento

(−1)! nao real, e entao se definir uma operacao de multiplicacao × nesse conjunto

de tal forma que com essa nova operacao se tenha

(−1)!.0 = 0,

mas tal operacao nao poderia ter as mesmas operacoes que um corpo como R ou C,

pois nesses conjuntos se tem 0.x = 0∀x.

5.22 Fatorial ,definicao recursiva

m Definicao 23 (Fatorial-Definicao Recursiva.). Dado n ∈ N , podemos definir n! (

le-se n fatorial), da seguinte maneira recursiva

0! = 1

(n+ 1)! = (n+ 1).(n)! n ∈ N.

$ Corolario 13. 1! = 1 pois 1! = 1.(0)! = 1.1 = 1 .

b Propriedade 10.

n! =n∏

k=1

k

para todo n natural.

ê Demonstracao. Aqui iremos usar o conceito de produto vazio, falamos sobre ele

no capıtulo sobre 00, recomendamos a leitura dessa parte do capıtulo.

Vamos provar por inducao sobre n. Para n = 0 tem-se

0! = 1 =0∏

k=1

k = 1


pois o produto com limite superior 0 e um produto vazio, que por definicao e 1 . Agora

considerando a igualdade valida para n

n! =n∏

k=1

k

vamos provar para n+ 1

(n+ 1)! =n+1∏k=1

k

temos quen+1∏k=1

k = (n+ 1)n∏

k=1

k = (n+ 1).n! = (n+ 1)! .

O fatorial tambem poderia ser definido atraves do produtorio

n! :=n∏

k=1

k.

as definicoes recursiva e por produtorio sao equivalentes porem a relacao (n + 1)! =

(n+1).(n)! sem uma condicao inicial nao define completamente o fatorial, pois poderıamos

ter uma sequencia f(n) que satisfaz f(n + 1) = (n + 1)f(n) porem f(0) = a = 1, entao

devemos dar uma condicao inicial, seja ela 0! = 1, 1! = 1. A definicao por produtorio

implica que 0! = 1 pois temos o produtorio sobre conjunto vazio que e 1 por definicao

0! =0∏

k=1

k = 1.

b Propriedade 11. A definicao recursiva e por produtorio sao equivalentes.

ê Demonstracao. Ja provamos que a definicao recursiva implica o produtorio, agora

vamos provar que a definicao por produtorio implica a definicao recursiva. Definindo

n! :=n∏

k=1

k

para todo n natural, tem-se 0! =0∏

k=1

k = 1 e

(n+ 1)! =n+1∏k=1

k = (n∏

k=1

k)(n+ 1) = n!(n+ 1)

logo vale a condicao inicial e a recorrencia dada para o fatorial, entao as definicoes sao

equivalentes.


O sımbolo n! foi introduzido em 1808 por Christian Kramp de Strasburgo (1760 −1820), que o escolheu para contornar a dificuldades graficas verificadas com um sımbolo

previamente usado. Uma notacao antiga de fatorial e ⌊n e nao mais usada, que pode ser

encontrada por exemplo no livro A Treatise on the Calculus of Finite Differences do autor

George Boole de 1860.

5.23 Definicao de fatorial para numeros reais, usando

funcao gamma

Podemos definir uma funcao fatorial para valores reais, usando uma representacao por

integral, conhecida como funcao gamma, com essa definicao por integral estendemos a

definicao dos naturais para um subconjunto de valores reais, a definicao pode ser feita

como segue

m Definicao 24 (Funcao fatorial). Podemos definir a funcao o fatorial Π(x) por meio

da integral

Π(x) :=

∫ ∞

0

txe−tdt.

b Propriedade 12. Vamos mostrar que Π(n) = n! para n natural.

Observamos que a funcao fatorial e escolhida como a integral acima pois ela interpola

os valores do fatorial para todo n natural, a princıpio nao usamos a funcao fatorial para

determinar qual seria o valor de 0!, se a funcao fatorial nao tivesse a propriedade Π(0) = 1

nao usarıamos tal funcao, como extensao do fatorial.

ê Demonstracao. Por inducao

Π(0) =

∫ ∞

0

t0e−tdt =

∫ ∞

0

e−tdt

fazendo uma substituicao de variaveis u = −t,du

dt= −1, du = −dt, −du = dt, a integral

fica

−∫

eudu = −eu∣∣∣∣ = −e−t

∣∣∣∣∞0

= − 1

et

∣∣∣∣∞0

= 1


logo Π(0) = 1 = 0!. Tomando a Hipotese para n

Π(n) = n! =

∫ ∞

0

tne−tdt

vamos provar para n+ 1

Π(n+ 1) =

∫ ∞

0

tn+1e−tdt = (n+ 1)!

lembrando a formula de integracao por partes

[f(t).g(t)]′ = f ′(t).g(t) + f(t).g′(t)

integrando em ambos os lados∫[f(t).g(t)]′dt =

∫f ′(t).g(t)dt+

∫f(t).g′(t)dt

pelo teorema fundamental do calculo

∫f(t).g′(t)dt = [f(t).g(t)]−

∫f ′(t).g(t)dt

tomando f(t) = tn+1 implica f ′(t) = (n + 1).tn e g(t) = −e−t implica g′(t) = e−t,

entao ∫tn+1.e−tdt = [tn+1.− e−t]−

∫(n+ 1).tn.− e−tdt∫

tn+1.e−tdt = −[tn+1.e−t] + (n+ 1).

∫tn.e−tdt∫

tn+1.e−tdt = −[tn+1.

et] + (n+ 1).

∫tn.e−tdt

aplicando os limites∫ ∞

0

tn+1.e−tdt = −[tn+1.

et]

∣∣∣∣∞0

+ (n+ 1).

∫ ∞

0

tn.e−tdt

logo ∫ ∞

0

tn+1.e−tdt = (n+ 1).

∫ ∞

0

tn.e−tdt

pois o termo que estava fora da integral [tn+1.

et]

∣∣∣∣∞0

quando t tende ao infinito o termo tende

a zero pois o denominador cresce mais rapido, e quando t = 0 anula o termo, temos entao∫ ∞

0

tn+1.e−tdt = (n+ 1).n! pela hipotese

logo ∫ ∞

0

tn+1.e−tdt = (n+ 1)!

pela definicao de (n+ 1)!


$ Corolario 14. Para reais temos a mesma propriedade Π(x+ 1) = (x+ 1)Π(x)

tomando f(t) = tx+1 implica f ′(t) = (x+1).tx e g(t) = −e−t implica g′(t) = e−t, entao∫tx+1.e−tdt = [tx+1.− e−t]−

∫(x+ 1).tx.− e−tdt

∫tx+1.e−tdt = −[tx+1.e−t] + (x+ 1).

∫tx.e−tdt∫

tx+1.e−tdt = −[tx+1.

et] + (x+ 1).

∫tx.e−tdt

aplicando os limites∫ ∞

0

tx+1.e−tdt = −[tx+1.

et]

∣∣∣∣∞0

+ (x+ 1).

∫ ∞

0

tx.e−tdt

logo ∫ ∞

0

tx+1.e−tdt = (x+ 1).

∫ ∞

0

tx.e−tdt

Fica definido entao x! para valores reais de x aos quais a integral esta bem definida

x! =

∫ ∞

0

tx.e−tdt

com a regra valida

Π(x+ 1) = (x+ 1).Π(x)

m Definicao 25 (Funcao gamma). A funcao gamma pode ser definida como

Γ(x) = Π(x− 1) =

∫ ∞

0

tx−1.e−tdt.

5.24 Duvidas sobre aritmetica

Capıtulo 6

Duvidas sobre aritmetica

6.1 Se 5 = 3 e 3 = 2 quanto e 5 + 3?

Se 5 = 3 e 3 = 2 quanto e 5+3? Primeiro se 5 = 3 e 3 = 2 entao nao estamos tratando

de operacoes usais entre numeros naturais, pois em N nao vale 5 = 3 ou 3 = 2, assim

como nao vale em R, Z e outros conjuntos numericos comuns .

Outra possibilidade e dar um sentido diferente ao sımbolo = , diferente do usual .

No problema nao e dado em que conjunto se esta trabalhando nem o sentido do sımbolo

=, alem disso nao sabemos que sentido seria dado para uma possıvel operacao entre dois

elementos 3 e 2 para podemos saber o que seria 3 + 2. Entao o problema em nosso ponto

de vista nao esta bem posto para que possa ser respondido propriamente.

O uso do sımbolo + pode nao necessariamente manter as propriedades usuais, ja que

algumas propriedades foram alteradas ou usadas com outras propriedades. O que alguns

fazem nesse caso e supor que outras propriedades continuarao intactas, mas nao sabemos

disso a priori.

6.2 Ordem das operacoes , quanto da 48÷ 2× (9 + 3)?

Existe uma ordem com as quais se convenciona as operacoes aritmeticas , tal ordem e

chamada de PEMDAS. Outra ordem de operacoes poderia ser escolhida a PEMDAS nao

e uniformemente usada . Porem aqui vamos usar esse tipo de ordenacao .

O significado de cada um desses termos apresentamos na lista a seguir, que fornece

70

CAPITULO 6. DUVIDAS SOBRE ARITMETICA 71

tambem a ordem convencionada para as operacoes

� P-Parenteses .

� E-Expoentes.

� Multiplicacao e divisao (com mesma importancia). Na ordem da esquerda para

direita.

� Adicao e subtracao (com mesmo importancia) . Na ordem da esquerda para direita.

MD e AS colocados, sao apenas para ajudar a memorizar e nao uma uma operacao sendo

com maior prioridade do que outra.

Z Exemplo 24. Calcule

48÷ 2× (9 + 3).

Usamos a regra PEMDAS .

Primeiro efetuamos a conta dentro dos parenteses, por ”P”em PEMDAS. Logo ficamos

com

48÷ 2× (12) =

Agora seguimos da esquerda para a direita e por isso fazemos a divisao, ficando com

= 24× 12 = 288.

Se fosse usado outro sistema de prioridades em operacoes o resultado poderia ser

diferente.

Z Exemplo 25. Calcule

6÷ 2× (1 + 3).

Pela PEMDAS, primeiro conta entre parenteses, resultando em

6÷ 2× (4),

depois seguimos da esquerda para direita, ficando

3× (4) = 12.


6.3 (−)(−) = (+)?

Vamos demonstrar a regra dos sinais (−)(−) = (+).

(−1)(−1) = 1.

Provar tal identidade equivale a mostrar que (−1)(−1) + (−1) = 0 . Temos que

(−1)(−1) + (−1) = (−1)(−1) +

−1︷︸︸︷(−1)(1) =

colocando (−1) em evidencia, tem-se

= (−1)(−1 + 1) = (−1).0 = 0

como querıamos provar . Entao (−1)(−1) + (−1) = 0 , somando 1 de ambos lados

segue finalmente

(−1)(−1) = 1.

O caso geral pode ser visto usando a regra anterior

(−a)(−b) = (−1)(−1)(a)(b) = a.b.

6.4 Qual a diferenca entre as medias aritmetica, ge-

ometrica e harmonica ?

Vamos apresentar a definicao das tres medias.

m Definicao 26 (Media harmonica). Dada a sequencia (x1, · · · , xn) de numeros nao

nulos, sua media harmonica e definida como

MH(x1, · · · , xn) =n

1x1

+ · · · 1xn

=n

n∑k=1

1xk

.

mDefinicao 27 (Media aritmetica). Dada a sequencia (x1, · · · , xn) , sua media aritmetica

e definida como


MA(x1, · · · , xn) =x1 + · · ·+ xn

n=

n∑k=1

xk

n.

m Definicao 28 (Media geometrica). Dada a sequencia (x1, · · · , xn) de numeros nao-

negativos, isto e, cada xk ≥ 0, sua media geometrica e definida como

MG(x1, · · · , xn) =n√x1.x2 × · · · × xn =

( n∏k=1

xk

) 1n

.

A media geometrica de n numeros nao-negativos e a raiz n-esima do produto de tais

elementos.

Perguntas frequentes e erros comuns

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