УДК 624.073.012

А.В.ПЕРЕЛЬМУТЕР. д-р. техн. наук (НПО Скад Софт, Киев)

В.В.ЮРЧЕНКО канд. техн. наук (Киевский национальный университет строительства и архитектуры, докторант)

О РАСЧЕТЕ ПРОСТАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ1

Проверяется гипотеза о расчет конструкции, составленной из тонкостенных стержней открытого профиля, с использованием семи узловых неизвестных. Проверка сводится к анализу результатов тестовых расчетов стержневых конструкций, поведение которых моделировалось путем создания расчетной схемы из тонких плоских конечных элементов и ее расчета в вычислительном комплексе SCAD.

Ключевые слова: тонкостенный стержень, депланация, бимомент, численный эксперимент, среднеквадратичная ошибка.

Постановка проблемы

В последнее время повысился интерес к расчету пространственных конструкций состоящих из тонкостенных стержней. Конструкции такого рода были предметом исследования разных авторов, которые использовали конечный элемент с семью степенями свободы в торцевом сечении.

Предпринималось немало попыток построения достаточно универсального алгоритма для расчета произвольных тонкостенных стержневых систем, и здесь основной проблемой была формулировка краевых условия на концах тонкостенного стержня. В некоторых работах [5,6] исходили из того, что на конце стержня депланация либо полностью отсутствует (абсолютно жесткий узел), либо не встречает никаких препятствий (шарнир относительно депланации). В работе [7] использовалась гипотеза о том, что для некоторых типов конструктивных решений узла депланации одинакова для всех сходящихся в узле тонкостенных стержней, а в работе [6] предполагалось также, что пространственная ориентация стержня не влияет на депланацию, т.е. депланация в общей и местной системе координат считается одинаковой.

Указанный подход обоснован, например, для плоских прямоугольных рам без эксцентриситетов в узлах когда ось стержня располагается по оси центров изгиба, полки стержней, сходящихся в узле, параллельны плоскости рамы, а фасонки, соединяющие пояса стержней в узле, приняты бесконечно жесткими в своей плоскости и допускающими депланацию из своей плоскости [1 ,3, 4].

В работах [5], [11], [13], [10] рассматриваются различные типы тонкостенных конечных элементов и методики численного расчета для исследования стержневых конструкций. Все они использовали пригодные лишь для частных случаев достаточно сомнительные в общем случае подходы в части условий совместности депланаций и ориентированы на учет семи узловых неизвестных: три линейных смещения, три угла поворота и депланация.

Однако для истинно пространственной конструкции гипотеза о наличии в узле единой депланации вызывает серъезные сомнения. Ниже мы попытаемся проверить гипотезу о наличии единой депланации в узле.

Методика исследований

Далее рассмотривались детальные оболочечные конечно-элементные модели стержневых конструкций, нагруженных внешним крутящим моментом с различными условиями опирания. При этом тонкостенные стержни в такой модели представлялись совокупностью плоских конечных элементов. Для построенных конечно-элементных моделей стержневых конструкций определялись продольные перемещения точек сечений стержней ˆiu , примыкающих к расчетной модели узла, а также продольные напряжения в этих точках ˆ i .

Сопоставление результатов численного расчета с теоретическими значенями продольных перемещений iu и напряжений i дал нам возможность оценить величину депланации и вычислить значения

бимоментов. Согласно основным гипотезам теории Власова о поведении тонкостенных стержней открытого

профиля продольное перемещение каждой i-й точки поперечного сечения таких стержней запишется с помощью уравнения, 1,...,i n :

,i i i iu x s x x y s x z s x s (1)

1 Материалы публикации докладывались на IV международном симпозиуме «Актуальные проблемы

компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Челябинск, 19-22 июня 2012 г.)

тут первые три слагаемых уравнения соответствуют гипотезе плоских сечений, а именно: x – продольное перемещение центра тяжести С как функции продольной координаты x

рассматриваемого сечения; ,x x – поперечные перемещения полюса S рассматриваемого сечения;

,i iy s z s – координаты рассматриваемой і-й точки в сечении как функции дуговой координаты s . Далее для упрощения записей указание на зависимость от координаты x или s будем опускать,

используя обозначения , и , i iy z .

Рис. 1. Тонкостенный конечный элемент с семью степенями свободы на торцах

Четвертое слагаемое уравнения (1) отвечает за депланационную составляющую перемещений точек

сечения в направлении продольной оси стержня x x , в нем и i – соответственно угол поворота рассматриваемого сечения вокруг полюса S и секториальная координата i-й точки сечения.

Таким образом, зная секториальные характеристики поперечного сечения и имея из расчета конечно-элементной оболочечной модели конструкции набор данных ˆ 1,...,iu i n о продольных перемещениях n точек поперечного сечения, можно определить депланацию в каждом примыкании тонкостенного стержня к узлу.

Ошибка представления результатов численного расчета с помощью уравнения (1) для некоторой i-й точки сечения запишется как, 1,...,i n :

ˆui i i i ie y z u . (2)

Использую идеологию метода наименьших квадратов, мы приходим к необходимости минимизировать функционал:

2 2

1 1

ˆ minn n

uu i i i i i

i ie y z u

Ε . (3)

При этом, необходимые условия минимума дают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов уравнения (1):

2

1 1 1 1 1

2

1 1 1 1 1

2

1 1 1 1 1

ˆ 0,

ˆ 0,

ˆ 0,

n n n n n

u i i i i i i i ii i i i i

n n n n n

u i i i i i i i ii i i i i

n n n n n

u i i i i i i i ii i i i i

u

y y z y y y u

z y z z z z u

y z u

Ε

Ε

Ε

Ε1 1 1 1

ˆ 0n n n n

i i i ii i i i

y z n u

(4)

Таким образом, составляя и решая систему линейных алгебраических уравнений (4) для каждого из сечений тонкостенного стержня, примыкающих к расчетной модели узла, можно вычислить и сопоставить значения депланаций , что дает возможность проверить гипотезу об их совпадении.

Совершенно аналогично выполняется проверка статических условий в узле. При этом сравниваются значения напряжений ˆ i ( 1,...,i n ) в точках сечений стержневых элементов конечно-элементной модели с

теоретическими значениями напряжений i , вычисленными по формуле, используемой для тонкостенного стержня и учитывающей влияние бимомента:

y zi i i i

y z

M MN Bz yA I I I

. (5)

Ошибка представления результатов численного расчета ˆ i ( 1,...,i n ) с помощью уравнения (5) записывается как:

ˆ ˆy zi i i i i i i

y z

M MN Be z yA I I I

, (6)

Сопоставляя теоретические значения продольных напряжений i ( 1,...,i n ) с напряжениями ˆ i , полученными в результате реализации численного эксперимента, и минимизируя сумму квадратов ошибок:

2

2

1 1

ˆ minn n

y zi i i i i

i i y z

M MN Be z yA I I I

Ε , (7)

а также исходя из необходимых условий минимума мы приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных уравнения продольных напряжений в точках тонкостенного сечения:

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1

2

1 1 1 1 1

ˆ 0,

ˆ 0,

ˆ 0

n n n nyz

i i i ii i i iz y

n n n n nyz

i i i i i i i ii i i i iz z z y

n n n n nyz

i i i i i i i ii i i i iz yy y

MMN Bn y zN A A I I I

MMN By y y z y yM I A I I I

MMN Bz z y z z zA I I IM I

Ε

Ε

Ε

2

1 1 1 1 1

,

ˆ 0n n n n n

yzi i i i i i i i

i i i i iz y

MMN By zB I A I I I

Ε

. (8)

Проверка гипотезы

При реализации численного эксперимента рассматривались достаточно простые расчетные модели тонкостенных стержневых систем. Анализировались только конструкции с жестким примыканием элементов, у которых для предотвращения изгиба контура сечения предусмотрено примыкание полок одного элемента или к полкам или к поперечным ребрам другого элемента. Такая конструкция жестких узлов позволяет обеспечить четкую передачу, как моментов, так и бимоментов. Численный расчет конструкций выполнялся с использованием вычислительного комплекса SCAD.

Пример 1. В качестве первого примера рассмотривалась конструкция из трех тонкостенных двутавров (рис. 2), полки которых изготовлены из листов 60010 мм, а стенки из листов 80010 мм. Сечения имеют две оси симметрии и поэтому центр изгиба у них совпадает с центром тяжести. Поскольку сечения всех элементов одинаковы, то и эпюры секториальных площадей у них совпадают, что облегчает анализ результатов расчета.

Расчет оболочечной конечно-элементной модели выполнялся методом конечных элементов с использованием вычислительного комплекса SCAD. Деформированная схема конструкции представлена на рис. 2. Тут же помечены сечения тонкостенных элементов, для которых вычислялись значения депланаций.

Таблица 1. Результаты численного эксперимента (пример 1)

Характеристика Ригель вдоль оси Y

Ригель вдоль оси Х Стойка

Депланация x , ×10

-5 мм-1

–11,0397 + 11,16 + 9,6751

Сравнивая результаты численного расчета для трех сечений, примыкающих к конструкции узла, видим, что их депланации практически совпадают только для сечений ригелей (они расположены в одной горизонтальной плоскости), и резко отличаются от депланации сечения стойки.

а

б

Рис. 2. Конечно-элементная модель конструкции к примеру 1: а – исходная; б – деформированная

Пример 2. В качестве следующего примера рассмотрена Г-образная прямоугольная рама, жестко

защемленная по концам ригеля и стойки. Внешний крутящий момент приложен в середине пролета ригеля. Элементы рамы приняты двутаврового сечения со стенкой 30010 мм и полкой 20010 мм. Рассматривались 4 варианта конструктивного оформление узла жесткого сопряжения ригеля со стойкой: (1) без ребер и диафрагм жесткости, (2) с одним косым ребрем, (3) с двумя поперечными ребрами жесткости (4) и с двумя поперечными и одним косым ребрами жесткости.

Результаты реализации численного эксперимента показали, что изменение конструкции узла заметно меняет распределение депланаций и бимоментов в системе. Во всех случаях депланации и бимоменты в сечениях ригеля и стойки, примыкающих к конструкции узла, различны.

Рис. 3. Расчетная схема конструкции к примеру 2

Таблица 2. Результаты численного эксперимента (пример 2)

Конструктивное решение узла Характеристика Ригель Стойка

Депланация, × 10-3 мм-1 + 0,00512 + 0,0006

Бимомент, Нм2 – 52,0886 +7,781292

Депланация, × 10-3 мм-1 + 0,00541333 + 0,00010667

Бимомент, Нм2 – 52,9171 – 10,5611

Депланация, × 10-3 мм-1 + 0,00362667 – 0,00198

Бимомент, Нм2 +118,1281 – 60,2334

Депланация, × 10-3 мм-1 + 0,0020933 – 0,00044

Бимомент, Нм2 +246,8 –50,0292

Рис. 4. Расчетная модель конструкции к

примеру 3

Пример 3. В качестве следующего примера рассмотрена Г-образная рама (рис. 4). Нижний конец стойки рамы жестко закреплен, конец ригеля свободен и на него действует крутящий момент 1 кН-м. Стойка рамы выполнена из двутавра сечением стенки и полки 30010 мм. Ригель рамы выполнен из двутавра сечением стенки 40010 мм и полки 30010 мм.

Рассматривались 2 варианта конструктивного оформления узла жесткого сопряжения ригеля со стойкой: с одним косым ребрем и с двумя поперечными ребрами жесткости, а также расчетная схема рама, в которой стенка стойки ориентирована перпендикулярно к стенке ригеля (рис. 5).

Проведено сопоставление результатов численного эксперимента по выявлению зависимости депланации от типа нагружения. Оценивались значения депланаций в сечениях ригеля и стойки, примыкающих к конструкции узла, и их соотношения при различном приложении внешнего крутящего момента: (1) на свободном конце ригеля, (2) посередине пролета ригеля, а также (3) посередине высоты стойки.

Результаты численного эксперимента приведены в табл. 3.

Рис. 5. Конструктивные решения узла сопряжения ригеля с колонной (к примеру 3)

Таблица 3. Значения депланаций в торцевых сечениях ригеля и стойки, 10-2 м-1, а также их соотношение при различном приложении внешнего крутящего момента

Место приложения внешнего крутящего момента

На конце ригеля По середине пролета ригеля По середине высоты стойки Конструк-

тивное решение

узла Депланация ригеля Депланация стойки

Соотно-шение

Депланация ригеля Депланация стойки

Соотно-шение

Депланация ригеля Депланация стойки

Соотно-шение

Узел 1 1,6428 1,1995 1,36957 0,844576

0,60955 1,38557 1,78992 2,4204 0,7395

Узел 2 1,61008 –1,3974 –1,1522 0,805494

–0,6968 –1,15599 –2,0744 2,40584 –0,86224

Узел 3 1,38199 –1,2153 1,13716 0,696314

–0,60951 –1,14242 –1,8117 2,10829 –0,85932

В результате реализации численного эксперимента было выявлено, что изменение схемы нагружения конструкции влечет за собой существенное изменение не только значений депланаций, но и соотношений депланаций в сечениях ригеля и стойки, примыкающих к конструкции узла.

Таким образом, результаты выполненных исследований показали, что предположение о существовании «депланации узла» часто не подтверждается даже в тех случаях, когда рассматриваются плоские, но пространственно нагруженные системы.

Рис. 6. Моделирование конструкции с использованием плоских и тонкостенных конечных элементов

В общем случае в узле сопряжения тонкостенных стержней не удается указать центра узла, т.е. точку, в которой пересекаются оси, проходящие через центры изгиба поперечных сечений стержней, образующих узел. Такой узел не удовлетворяет требованиям теории расчета плоских тонкостенных рам, действительное взаимодействие стержней в узле их соединения может отразить только пространственная конечно-элементная модель тонкостенной стержневой системы.

Выходом из создавшегося положения мог бы быть подход, предложенный в работах польского ученого S. Koczubiej [12]. Поскольку полное конечно-элементное моделирование всех тонкостенных стержней приводит к очень громоздким расчетным схемам, в его работах предлагается использовать плоские конечные элементы только в зоне конструкции узла, а вне конструкции узла – тонкостенные стержневые конечные элементы (рис. 6 и 7). Такой подход значительно сокращает объем исходной информации, а модель конструкции отражает ее стержневой характер.

Рис. 7. Преобразование переменных метода конечных элементов при моделировании конструкции с

использованием плоских и тонкостенных конечных элементов

Литература 1. Бычков Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. – М.: Госстройиздат, 1962. – 476 с. 2. Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни. – М.: Госгортехиздат, 1940. – 256 с. 3. Горбунов Б. Н., Стрельбицкая А. И. Теория рам из тонкостенных стержней. – М.: Гостехиздат, 1948. – 198 с. 4. Горбунов Б. Н., Стрельбицкая А. И. Расчет прочности тонкостенных стержневых систем // Расчет пространственных конструкций. Вып. 1. – М.: Изд-во министерства строительства предприятий машиностроения, 1950. – С. 97–162. 5. Городецкий А. С., Здоренко В. С., Карпиловский В. С. Применение МКЭ к расчету тонкостенных стержневых систем // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 28. – К.: Издательство Будивэльнык, 1976. – С. 134–140. 6. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судостроение, 1974. – 344 с. 7. Туснин А. Р. Численный расчет конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля. – М.: Издательство АСВ, 2009. – 144 с. 8. Чернов С. А., Дьяков И. Ф. К расчету пространственной тонкостенной стержневой системы // Автоматизация и современные технологии. – 2008. – № 2. – С. 3–7. 9. Черный А. Н. К вопросу моделирования узловых соединений тонкостенной стержневой системы // Механика и процессы управления. – Ульяновск: УГТУ, 1996. – С. 54–58. 10. Bazant P., Nimeiri M. E. Large-deflection spatial buckling of thin-walled beams and frame // Journal of Structural Engineering. – ACSE, 1973. – #99. – P.1259–1281. 11. Cichoń C., Koczubiej S. Consistent FEM model for thin-walled space frames // Czasopismo Techniczne, 21, Budownictwo 1-B, 2008, vol. 21. – P. 3–20. 12. Gluck G., Kalev J. Computer method for analysis of multistory structures // Computer and Structures. – 1972. – v. 2. – № 5–6. – P.25–32. 13. Resaiee-Pajand М., Maayedian М. Explicit stiffness of tapered and mono-symmetric I beam-columns // International Journal of Engineering. – 2000. – v. 13. – № 2. – P. l–18.

Узлы стыковки с семью степенями

свободы

Контактные узлы с трансляционными степенями

свободы

Узлы оболочечной модели со своими

степенями свободы