NuevoDocumento 2019-02-12 09.05.59

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

MACHALA2019

GUILLEN RAMIREZ BRYAN DANIELINGENIERO CIVIL

ANÁLISIS ESTÁTICO DE UN PÓRTICO PLANO DE BAJA ALTURA POREL MÉTODO DE LA RIGIDEZ



MACHALA2019


ANÁLISIS ESTÁTICO DE UN PÓRTICO PLANO DE BAJA ALTURAPOR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ



MACHALA11 de febrero de 2019


ANÁLISIS ESTÁTICO DE UN PÓRTICO PLANO DE BAJA ALTURA POR ELMÉTODO DE LA RIGIDEZ

MACHALA, 11 DE FEBRERO DE 2019

PANTOJA AGUACONDO DAVID ELOY

EXAMEN COMPLEXIVO

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Urkund Analysis Result Analysed Document: GUILLEN RAMIREZ BRYAN DANIEL_PT-011018.pdf (D47016861)Submitted: 1/20/2019 4:43:00 AM Submitted By: [email protected] Significance: 2 %

Sources included in the report:

UCHUARI MAZA JENNY.pdf (D29671031) http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap4.pdf

Instances where selected sources appear:

3

U R K N DU

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- 1 -

TÍTULO:

ANÁLISIS ESTÁTICO DE UN PORTICO PLANO DE BAJA ALTURA POR EL

METODO DE LA RIGIDEZ

- 2 -

RESUMEN

La documentación pertinente describe el proceso detallado para realizar el cálculo de

un pórtico plano, mediante el método de rigideces para determinar los momentos que

se originan en sus elementos.

Se aplica una metodología analítica, de carácter exploratoria para dirimir los criterios

afines al cálculo estructural, argumentando la resolución del caso práctico a través de

la modelación iterativa en el desarrollo del pórtico, en contraste con la revisión

bibliográfica citada; también se aborda la temática en forma contextual para determinar

su estado a nivel internacional, nacional y local, destacando las tecnologías o procesos

de vanguardia vinculados al estudio estructural.

En la parte final se esquematiza el proceso ejecutado en el cálculo, explica el uso de

las formulaciones, ecuaciones e inferencias relacionadas a la problemática planteada,

también se presentan los valores obtenidos sintetizados por medio de una tabla; en las

conclusiones se postulan las explicaciones del autor, desde el punto de vista

epistemológico para explicar su dominio del tema.

PALABRAS CLAVES: Cálculo estructural, pórtico plano, método de rigidez.

ABSTRACT

The relevant documentation describes the detailed process for calculating a flat gantry,

using the rigidities method to determine the stresses and displacements in its elements.

An analytical methodology of an exploratory nature is applied to settle the criteria related

to the structural calculation, arguing the resolution of the practical case through iterative

modeling in the development of the portico, in contrast to the aforementioned

bibliographic review; The subject is also approached in a contextual way to determine its

status at an international, national and local level, highlighting the vanguard technologies

or processes linked to structural study.

In the final part, the process performed in the calculation is outlined, explains the use of

the formulations, equations and inferences related to the problem posed, and also

presents the values obtained synthesized by means of a table; in the conclusions the

explanations of the author are postulated, from the epistemological point of view to

explain his mastery of the subject.

KEYWORDS: Structural calculation, flat gantry, stiffness method.

- 3 -

ÍNDICE DE CONTENIDOS

ÍNDICE DE CONTENIDOS ...................................................................................... - 3 -

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES ................................................................................. - 4 -

ÍNDICE DE ANEXOS ............................................................................................... - 5 -

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... - 6 -

MARCO TEORICO ................................................................................................... - 6 -

Análisis matricial de estructuras: ....................................................................... - 7 -

Marco Metodológico ............................................................................................. - 7 -

Investigación Bibliográfica: ................................................................................ - 7 -

Análisis de contenido: ....................................................................................... - 8 -

Modelación: ....................................................................................................... - 8 -

DESARROLLO ......................................................................................................... - 8 -

Paso 1) Establecer cargas, módulos de elasticidad e inercias .............................. - 8 -

Paso 2) Cálculo de Rigideces y transformación del volado a momento en el nudo- 8 -

Paso 3) Matriz de rigideces .................................................................................. - 9 -

Paso 5) Cálculo del vector de cargas V .............................................................. - 10 -

Paso 6) Calculo del vector de cargas externas R................................................ - 10 -

Paso 7) Ecuación de rigidez ............................................................................... - 10 -

Paso 8) Obtención de momentos finales ............................................................ - 11 -

Paso 9) Resultados ............................................................................................ - 12 -

CONCLUSIONES .................................................................................................. - 15 -

BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... - 16 -

ANEXOS: RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO ........................................................... - 18 -

- 4 -

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1 Proceso de un análisis estructural ........................................................ - 7 -

Ilustración 2 Pórtico lineal a resolver ........................................................................ - 9 -

Ilustración 3 Detalle de liberación de nodos para obtener rigideces ......................... - 9 -

Ilustración 4 Vector de cargas reales, momentos de empotramientos y cargas reales por

elementos .............................................................................................................. - 11 -

Ilustración 5 Graficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga muerta

analizado Fuente: El Autor ..................................................................................... - 12 -

Ilustración 6 Gráficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga muerta


Ilustración 7 Gráficas de cortantes en los elementos del pórtico por carga muerta

analizado Fuente. El Autor ..................................................................................... - 13 -

Ilustración 8 Gráficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga viva


Ilustración 9 Gráficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga viva


Ilustración 10 Gráficas de Cortantes finales en los elementos del pórtico por carga viva


file:///C:/Users/USER/Downloads/Bryan%20Guillen%20Ramírez%20PT.docx%23_Toc204824












- 5 -

ÍNDICE DE ANEXOS

Anexo N°. 1 CÁLCULOS DE INERCIAS ................................................................ - 19 -

Anexo N°. 2 CÁLCULO DE RIGIDECES ................................................................ - 19 -

Anexo N°. 3 MATRIZ DE RIGIDECES K ................................................................ - 21 -

Anexo N°. 4 ACCIONES EN LOS GRADOS DE LIBERTAD .................................. - 22 -

Anexo N°. 5 VECTOR RESULTANTE DE CARGAS, GIROS Y DESPLAZAMIENTOS

PARA CARGA VIVA ............................................................................................... - 30 -

Anexo N°. 6 MOMENTOS EN LAS VIGAS Y COLUMNAS CARGA VIVA .............. - 31 -

Anexo N°. 7 MOMENTOS FINALES EN VIGAS Y COLUMNAS CARGA VIVA ...... - 32 -

Anexo N°. 8 MOMENTOS FINALES PARA CARGA VIVA ..................................... - 33 -

Anexo N°.9 CORTANTES PARA CARGA VIVA ..................................................... - 34 -

Anexo N°. 10 VECTOR RESULTANTE DE CARGAS, GIROS Y DESPLAZAMIENTOS

PARA CARGA MUERTA ........................................................................................ - 35 -

Anexo N°. 11 MOMENTOS FINALES EN VIGAS Y COLUMNAS PARA CARGA

MUERTA ................................................................................................................ - 37 -

Anexo N°. 12 REACCIONES EN VIGAS Y CORTANTE EN COLUMNAS PARA CARGA

MUERTA ................................................................................................................ - 37 -

Anexo N°. 13 MOMENTOS FINALES PARA CARGA MUERTA............................. - 38 -

Anexo N°. 13 CORTANTE PARA CARGA MUERTA .............................................. - 39 -

- 6 -

INTRODUCCIÓN

La sociedad del conocimiento se caracteriza por la innovación y tecnificación en todas

las áreas del saber, de las cuales destaca la ingeniería civil por gestar el desarrollo de

las naciones mediante obras e infraestructura que solvente las necesidades básicas y

privilegios que sustentan a una población.

El análisis estructural es un conjunto de cátedras interdisciplinaria, donde convergen

criterios técnicos, como resistencia de materiales, métodos numéricos, comportamiento

e interacción de distintos elementos que soportan a una obra civil, sin importar su

función o envergadura debe transferir cargas hacia la cimentación, siendo el suelo que

tolera el peso del proyecto [1]. Una de las obras más comunes son las viviendas

caracterizas por su forma a porticada que son un arreglo de vigas-columnas que

responden ante las fuerzas externas, gracias a sus esfuerzos internos y capacidad para

deformarse.

Los procesos de diseño estructural, son de carácter iterativo retroalimentando e

infiriendo nuevas técnicas que permiten optimiza su cálculo, disminuyan

costos/desperdicios, y doten de mejores propiedades a las edificaciones en especial

frente a eventos sísmicos. [2]

El método de rigideces, se caracteriza por la exactitud del nodo respecto a su capacidad

de carga, analizando su desempeño a través de deformaciones unitarias y

desplazamientos lineales/angulares, liberando grados de libertad para plantear matrices

que permiten cuantificar sus momentos o par de respuesta. [3]

El ámbito de la construcción siempre, está en constante actualización, renovación de

métodos, profundización de cálculos por medio de sistemas computaciones e

indagaciones sobre abstracciones numéricas de la realidad al modelar o diseñar

estructuras civiles. [4]

El objetivo del caso práctico, es resolver un pórtico plano aplicando el método de la

rigidez; combinando cargo muerta, cubierta, carga viva, y entre piso para delinear el

proceso competente en su cálculo, verificando el cumplimiento de los criterios técnicos,

a la vez que se dan opiniones reflexivas sobre su comportamiento estructural.

MARCO TEORICO

Se argumenta los criterios conceptuales que fundamentan la ejecución del desarrollo,

desde el punto de vista epistemológico expresando las intenciones del autor.

- 7 -

Análisis matricial de estructuras:

En la ingeniería el análisis de estructuras es una parte fundamental debido a que es la

encargada del diseño/construcción de obras considerando factores como seguridad,

economía y funcionalidad; en si representa los procesos o métodos empleados para

estudiar el comportamiento de las estructuras que son sometidas a cargas, evaluando

que su reacción sea adecuada ante eventos sísmicos y su desempeño garantice la

seguridad de sus ocupantes. [5]

La utilización del método de análisis matricial de estructuras proporciona dos ventajas

en el cálculo estructural, la primera es que en teoría representa un método que de forma

precisa y generalizada permite unificar la estructura para analizarla. La segunda

proveniente de la práctica determina que es un método que facilita el análisis de

estructuras y funda una la base para resolverlo mediante softwares especializados en

el tema. [6]

Ilustración 1 Proceso de un análisis estructural

Fuente: (Blanco Díaz, Cervera Ruiz, & Suárez Arroyo, 2015)

Marco Metodológico

En este apartado, se destacan los procedimientos para obtener, tratar e interpretar

información que argumenta el desarrollo del escrito.

Investigación Bibliográfica:

Comprende la revisión literaria en estudios similares, indagaciones en trabajos de grado,

artículos científicos o cualquier publicación documentada, que cumpla con el rigor

académico necesario al fundamentar los criterios expuestos en este proyecto. [7]

- 8 -

Análisis de contenido:

Es un proceso, que parte del razonamiento lógico infiriendo relaciones entre conjeturas

que comparan las características, propiedades o leyes del fenómeno estudiado, en este

caso permite objetar los pasos a contrastar con trabajos similares para iterar los cálculos

requeridos en la resolución del problema propuesto. [8]

Modelación:

Comprende la representación y simulación del comportamiento real de un objeto de

estudio, se basa en una abstracción de las propiedades, condiciones/cualidades,

analogía estructural con las características e integrar lógica funcional, de tal manera que

ofrezca resultados satisfactorios, es esencial en la resolución del pórtico debido a que

permite asemejar su conducta en base a procesos matemáticos. [9]

DESARROLLO

En este apartado se detalla el proceso empleado para solucionar la problemática,

describiendo paso a paso la aplicación del método de rigideces, citando las opiniones

de investigadores entendidos en la materia, con la finalidad de sustentar de manera

concisa, breve y coherente la explicación del contenido.

Paso 1) Establecer cargas, módulos de elasticidad e inercias

Se parte de dos estados de carga Viva y carga muerta, siendo de carácter gravitacional;

la elasticidad del material obedece a propiedades lineales, mientras que la inercia se

calcula a través de la fórmula del rectángulo.

𝐷𝑐 = 300𝑘𝑔

𝑚2; 𝐷𝑒𝑝 = 750

𝑘𝑔

𝑚2; 𝐿 = 250

𝑘𝑔

𝑚2; 𝑈𝑒𝑝 = 1000

𝑘𝑔

𝑚2; Uc = 1000 kg/𝑚2

Paso 2) Cálculo de Rigideces y transformación del volado a momento en el nudo

Se procede a liberar nodos en forma descendente de izquierda a derecha, obteniendo

su reciproco correspondiente al giro y desplazamientos en torno a los grados de libertad,

las formulas empleadas son:

𝑘 = 4 𝐸𝐼

𝐿; 𝑎 = 2

𝐸𝐼

𝐿; 𝑏 = 6

𝐸𝐼

𝐿²; 𝑡 = 12

𝐸𝐼

𝐿³

El método de las rigideces expresa el sentido de su resistencia a flexión e incide en

capacidad de respuesta frente a deflexiones, por lo cual es una manera práctica de

delinear su análisis, sin importar que se de en el rango lineal o no lineal [10].

- 9 -

Transformamos nuestras vigas en voladizo en momentos que aportan al nudo y se

incorporan como cargas externas en nuestro vector R y continuamos el análisis como

se muestra en la Ilustración 2

Ilustración 2 Pórtico lineal a resolver

Fuente: El Autor

Paso 3) Matriz de rigideces

Se libera en orden los nodos formando las ecuaciones de equilibrio, formando con ellos

una matriz en donde se escriben las ecuaciones elaboradas a partir de las

características de los elementos mismos y las deformaciones observados; detallando

su posición mediante coordenadas locales en referencia global de la estructura.

[𝐾] = [𝜃1 𝜃2 𝜃3 𝜃4 … … . 𝜃𝑛]

[𝜃1 𝜃2 𝜃3 𝜃4 … … . 𝜃𝑛] = {𝑟11 𝑟12 … … . 𝑟1𝑛𝑟21 𝑟22 … … 𝑟2𝑛𝑟31 𝑟32 … … 𝑟3𝑛

}

Ilustración 3 Detalle de liberación de nodos para obtener rigideces Fuente: El Autor

- 10 -

La matriz de rigideces, de orden 16 x 16 se detalla en la sección anexos.

Paso 4) Momentos de empotramiento perfecto

Se aplican las fórmulas de empotramiento perfecto, asumiendo que cada viga está

restringida en sus extremos, estos valores se consideran negativos en sentido anti

horario y positivos a favor del reloj [11]; en este caso la ecuación es:

𝑀𝑒𝑚𝑝 =5

96𝑞 𝐿²

Paso 5) Cálculo del vector de cargas V

Como siguiente punto, se realiza la sumatoria algebraica de los momentos que se

coinciden en cada nodo, aplicando el signo correspondiente a su sentido respecto a

cada lado izquierda/derecha, esta matriz es detallada como ilustración 4.

Paso 6) Calculo del vector de cargas externas R

Se transforma los volados en cargas de momento, al no tener fuerzas externas en los

nodos la matriz será 0 para dichas posiciones, es expresada en la ilustración 4.

Paso 7) Ecuación de rigidez

Se aplica la fórmula del método, despejando los desplazamientos que se obtienen en

radianes

[𝑲] {𝑫} + {𝑽} = {𝑹}

𝑫 = {𝑅} − {𝑀} 𝑥 [𝐾−1]

Donde:

𝐾 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧

𝐷 = 𝐺𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑉 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜

𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠

- 11 -

Ilustración 4 Vector de cargas reales, momentos de empotramientos en carga muerta por elementos

Fuente: El Autor

Se invierte la Matriz K, para ser multiplicada por la resultante [𝑀] = 𝑅 − 𝑉, este proceso

se especifica en la sección de anexos.

Paso 8) Obtención de momentos finales

Se utiliza la ecuación de Maney para transformar de giros en radianes en momentos

finales, en los elementos Ton.m

𝑴 = 𝑴𝑭 + 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽´ + 𝒃𝜟

𝑴´ = 𝑴´𝑭 + 𝒂𝜽 + 𝒌´𝜽´ + 𝒃´𝜟

Dónde:

𝑀 𝑦 𝑀´: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

𝛩´𝑦 𝛩: 𝑔𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑒 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

𝛥: 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜𝑠, 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

𝑀𝐹 𝑦 𝑀𝐹´ = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

𝑘 𝑦 𝐾 = 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑎 = 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝑏´𝑦 𝑏 = 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑒 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜

No Mi Md R V

1 0,704 -0,704 1,67 0,704

2 0,691 -0,691 0 -0,013

3 1,056 -1,056 0 -0,691

4 1,036 -1,036 2,50 1,056

5 1,056 -1,056 0 -0,020

6 1,036 -1,036 0 -1,036

7 1,056 -1,056 2,50 1,056

8 1,036 -1,036 0 -0,020

9 0,704 -0,704 0 -1,036

10 0,691 -0,691 0 1,056

11 1,056 -1,056 0 -0,020

12 0 0 0 -1,036

D1 0 0 0 0

D2 0 0 0 0

D3 0 0 0 0 D4 0 0 0 0

- 12 -

Paso 9) Resultados

En la ilustración 5 se observan las gráficas de momentos finales en el pórtico por carga

muerta tanto en vigas como columnas, cumpliendo así con el objetivo del caso práctico;

el proceso de cálculos gestado en el software Excel se aprecia detallado en la sección

de anexos.

MOMENTOS FINALES PARA CARGA MUERTA

MOMENTOS FINALES PARA CARGA MUERTA

Ilustración 5 Graficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga muerta analizado Fuente: El Autor

Ilustración 6 Gráficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga muerta analizado

Fuente: El Autor

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CORTANTES PARA CARGA MUERTA

MOMENTOS FINALES PARA CARGA VIVA

Ilustración 7 Gráficas de cortantes en los elementos del pórtico por carga muerta analizado Fuente. El Autor

Ilustración 8 Gráficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga viva analizado

Fuente: El Autor

- 14 -

A manera de comentario, se destaca que los pórticos poseen la característica de

esquematizar el comportamiento estructural, en función de sus

condiciones/restricciones de equilibrio, tal como el caso del pórtico de Lee que por sus

propiedades lineales facilita una abstracción numérica de las edificaciones en arco y

doble parte aguasen forma no lineal. [12]

MOMENTOS FINALES PARA CARGA VIVA

CORTANTES PARA CARGA VIVA

Ilustración 9 Gráficas de momentos finales en los elementos del pórtico por carga viva analizado Fuente: El Autor

Ilustración 10 Gráficas de Cortantes finales en los elementos del pórtico por carga viva analizado

Fuente: El Autor

- 15 -

CONCLUSIONES

El procedimiento de cálculo por método de rigideces es de carácter iterativo, facilitando

una abstracción numérica de la capacidad de respuesta de los elementos en virtud de

sus propiedades mecánicas, en relación a los esfuerzos producidos por las

solicitaciones; las matrices permiten una interpretación ordenada de la posición relativa

de cada barra para coordinar cómo influyen sus deformaciones a nivel global en la

estructura.

El método matricial tiene la ventaja de ser dinámico e iterativo, de fácil adaptación a un

software como el caso de Excel que agiliza su proceso; no obstante, las cargas reales

como vientos o sismos no obedecen a predicciones matemáticas por lo que es

imperiosos dejar un sobredimensionamiento por seguridad; denotando que una

optimización del análisis estructural podría equilibrar el desempeño estructura con el

daño permitido, a la vez que se reducen secciones en la proporción que mitiga su carga

muerta.

Desde el punto de vista cognitivo, se describe un proceso secuencial para obtener los

momentos finales en una estructura porticada, que gracias a sus propiedades lineales

esquematiza una conducta genérica en respuesta a cargas externas; dicho

comportamiento es cuantificado en sus deflexiones, giros y desplazamientos en apoyos

de sus elementos en comparación con su resistencia a flexión/corte.

- 16 -

BIBLIOGRAFÍA

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Torsional de edificaciones bajo cargas de viento,» Revista de Arquitectura e

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columna continuas de hormigón armado prefabricado: apuntes sobre su

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[3] J. T.-G. M. A.-C. E. G. M.-R. A. A.-R. R. Yañez-Valdeza, «Modelo cinetoestático

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estructuras, Barcelona: Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería

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Buitrago, «Metodología para la revisión bibliográfica y la gestión de información de

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nº 184, pp. 151-163, 2014.

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- 17 -

[9] A. Rodríguez Jiménez y A. O. Pérez Jacinto, «Métodos científicos de indagación y

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[11] E. A. Godínez Domínguez, «INFLUENCIA DE CONTRAVENTEOS

CONCÉNTRICOS EN CRUZ O CHEVRÓN EN EL,» Revista de Ingeniería

Sísmica, vol. 91, pp. 1-30, 2014.

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formulación corrotacional con elemento de viga Timoshenko,» Revista

Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, vol. 33,

pp. 115-122, 2017.

- 18 -

ANEXOS: RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO

Hallar por el método de la rigidez los momentos flexionantes en el pórtico mostrado en la figura y dibujar los diagramas de

fuerza axial, fuerza cortante y momentos flexionantes por carga vertical y lateral.

Datos

Ingresar Longitudes de Vigas y Columnas en

el Grafico

Carga q 0.2 T/m2

Ancho Colaborante 4.15 m

Longitud de los Elementos

Vigas

1, 3, 5 y 7 5,2 m

2, 4, 6, 8 5,15 m

Columnas

todas las columnas 3,06 m

- 19 -

Anexo N°. 1 CÁLCULOS DE INERCIAS Anexo N°. 2 CÁLCULO DE RIGIDECES

Módulos de Elasticidad Unidades

E1: 2000000 T/m²

Inercias

Columna nivel 1: 0,000675 m4

Columna nivel 2: 0,002133 m4

Viga nivel 1: 0,000675 m4

Viga nivel 2: 0,0016 m4

Vigas k a

CUARTO PISO

1 1038,462 519,231

2 1048,544 524,272

TERCER PISO

3 1038,462 519,231

4 1048,544 524,272

SEGUNDO PISO

5 2461,538 1230,769

6 2485,437 1242,718

PRIMER PISO

7 2461,538 1230,769

8 2485,437 1242,718

- 20 -

Columnas k a b t

CUARTO PISO

9 1764,71 882,35 865,0519 565,3934

10 1764,71 882,35 865,0519 565,3934

11 1764,71 882,35 865,0519 565,3934

TERCER PISO

12 1764,71 882,35 865,0519 565,3934

13 1764,71 882,35 865,0519 565,3934

14 1764,71 882,35 865,0519 565,3934

SEGUNDO PISO

15 5577,34 2788,67 2733,9912 1786,9224

16 5577,34 2788,67 2733,9912 1786,9224

17 5577,34 2788,67 2733,9912 1786,9224

PRIMER PISO

18 5577,34 2788,67 2733,9912 1786,9224

19 5577,34 2788,67 2733,9912 1786,9224

20 5577,34 2788,67 2733,9912 1786,9224

- 21 -

Anexo N°. 3 MATRIZ DE RIGIDECES K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d1 d2 d3 d4

1 2803,2 519,2 0,0 882,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 865,1 -865,1 0,0 0,0

2 519,2 3851,7 524,3 0,0 882,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 865,1 -865,1 0,0 0,0

3 0,0 524,3 2813,2 0,0 0,0 882,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 865,1 -865,1 0,0 0,0

4 882,4 0,0 0,0 4567,9 519,2 0,0 882,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 865,1 0,0 -865,1 0,0

5 0,0 882,4 0,0 519,2 5616,4 524,3 0,0 882,4 0,0 0,0 0,0 0,0 865,1 0,0 -865,1 0,0

6 0,0 0,0 882,4 0,0 524,3 4578,0 0,0 0,0 882,4 0,0 0,0 0,0 865,1 0,0 -865,1 0,0

7 0,0 0,0 0,0 882,4 0,0 0,0 9803,6 1230,8 0,0 2788,7 0,0 0,0 0,0 865,1 1868,9 -2734,0

8 0,0 0,0 0,0 0,0 882,4 0,0 1230,8 12289,0 1242,7 0,0 2788,7 0,0 0,0 865,1 1868,9 -2734,0

9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 882,4 0,0 1242,7 9827,5 0,0 0,0 2788,7 0,0 865,1 1868,9 -2734,0

10 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2788,7 0,0 0,0 13616,2 1230,8 0,0 0,0 0,0 2734,0 0,0

11 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2788,7 0,0 1230,8 16101,7 1242,7 0,0 0,0 2734,0 0,0

12 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2788,7 0,0 1242,7 13640,1 0,0 0,0 2734,0 0,0

d1 865,1 865,1 865,1 865,1 865,1 865,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1696,2 -1696,2 0,0 0,0

d2 -865,1 -865,1 -865,1 0,0 0,0 0,0 865,1 865,1 865,1 0,0 0,0 0,0 -1696,2 3392,4 -1696,2 0,0

d3 0,0 0,0 0,0 -865,1 -865,1 -865,1 1868,9 1868,9 1868,9 2734,0 2734,0 2734,0 0,0 -1696,2 7056,9 -5360,8

d4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -2734,0 -2734,0 -2734,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5360,8 10721,5

- 22 -

Anexo N°. 4 ACCIONES EN LOS GRADOS DE LIBERTAD

R12 a1 519.23

R22 K1+k2+k10 3851.711

R32 a2 524.272

R42 0 0

R52 a10 882.353

R62 0 0

R72 0 0

R82 0 0

R92 0 0

R102 0 0

R112 0 0

R122 0 0

RD12 Matriz D2 865.052

RD22 Matriz D2 -865.052

RD32 0 0

RD42 0 0

R11 K1+k9 2803.167

R21 a1 519.231

R31 0 0

R41 A9 882.353

R51 0 0

R61 0 0

R71 0 0

R81 0 0

R91 0 0

R101 0 0

R111 0 0

R121 0 0


RD12 Matriz D1 -865.052

RD13 0 0

RD14 0 0

- 23 -

R13 0 0

R23 a2 524.272

R33 K2+k11 2813.25

R43 0 0

R53 0 0

R63 a11 882.353

R73 0 0

R83 0 0

R93 0 0

R103 0 0

R113 0 0

R123 0 0


RD23 Matriz D3 -865.052

RD33 0 0

RD43 0 0

R14 a9 882.353

R24 0 0

R34 0 0

R44 K12+k3+k9 4567.87

R54 a3 519.23

R64 0 0

R74 a12 882.353

R84 0 0

R94 0 0

R104 0 0

R114 0 0

R124 0 0


RD24 0 0

RD34 Matriz D4 -865.52

RD44 0 0

- 24 -

R15 0 0

R25 a10 882.353

R35 0 0

R45 a3 519.23

R55 K10+k4+k3+k13 5616.42

R65 a4 524.272

R75 0 0

R85 a13 882.353

R95 0 0

R105 0 0

R115 0 0

R125 0 0 RD15 Matriz D5 865.052 RD25 0 0 RD35 Matriz D5 -865.052 RD45 0 0

R16 0 0

R26 0 0

R36 a11 882.353

R46 0 0

R56 a4 525.272

R66 K11+k4+k14 4577.955

R76 0 0

R86 0 0

R96 a14 882.353

R106 0 0

R116 0 0

R126 0 0


RD26 0 0

RD36 Matriz D6 -865.052

RD46 0 0

- 25 -

R17 0 0

R27 0 0

R37 0 0

R47 a2 882.353

R57 0 0

R67 0 0

R77 K15+k5+k12 9803.586

R87 a5 1230.77

R97 0 0

R107 a15 2788.671

R117 0 0

R127 0 0 RD17 0 0 RD27 Matriz D7 865.052 RD37 0 0 RD47 Matriz D7 -2733.99

R18 0 0

R28 0 0

R38 0 0

R48 0 0

R58 a13 882.353

R68 0 0

R78 a5 1230.77

R88 K13+k16+k5+k6 12289.0233

R98 a6 1242.718

R108 0 0

R118 a16 2788.671

R128 0 0

RD18 0 0


RD38 0 0

RD48 Matriz D8 -2733.99

- 26 -

R19 0 0

R29 0 0

R39 0 0

R49 0 0

R59 0 0

R69 a14 882.353

R79 0 0

R89 a6 1242.72

R99 K6+k17+k14 9827.485

R109 0 0

R119 0 0

R129 a17 2788.67

RD19 0 0


RD39 0 0

RD49 Matriz D10 -2733.99

R110 0 0

R210 0 0

R310 0 0

R410 0 0

R510 0 0

R610 0 0

R710 a15 2788.671

R810 0 0

R910 0 0

R1010 K15+k7+k18 13616.223

R1111 a7 1230.769

R1210 0 0

RD110 0 0

RD210 0 0

RD310 Matriz D10 2733.99

RD410 0 0

- 27 -

R111 0 0

R211 0 0

R311 0 0

R411 0 0

R511 0 0

R611 0 0

R711 0 0

R811 a16 2788.671

R911 0 0

R1011 a7 1230.769

R1111 K7+k16+k8+k19 16101.659

R1211 a8 1242.718

RD111 0 0

RD211 0 0

RD311 a19 2733.99

RD411 0

R112 0 0

R212 0 0

R312 0 0

R412 0 0

R512 0 0

R612 0 0

R712 0 0

R812 0 0

R912 a17 2788.671

R1012 0 0

R1112 a8 1242.718

R1212 K8+k17+k20 13640.12

RD112 0 0

RD212 0 0

RD312 a20 2733.99

RD412 0 0

- 28 -

R1D1 b9 865.0519

R2D1 b10 865.0519

R3D1 b11 865.0519

R4D1 b9 865.0519

R5D1 b10 865.0519

R6D1 b11 865.0519

R7D1 0 0

R8D1 0 0

R9D1 0 0

R10D1 0 0

R11D1 0 0

R12D1 0 0

RD1D1 t9+t10+t11 -1696.18

RD2D1 -t9-t10-t11 -1696.18

RD3D1 0 0

RD4D1 0 0

R1D2 -b9 -865.0519

R2D2 -b10 -865.0519

R3D2 -b11 -865.0519

R4D2 0 0

R5D2 0 0

R6D2 0 0

R7D2 b12 865.0519

R8D2 b13 865.0519

R9D2 b14 865.0519

R10D2 0 0

R11D2 0 0

R12D2 0 0

RD1D2 -t9-t10-t11 -1696.18

RD2D2 t9+t10+t11+t12+t13+t14 3392.36

RD3D2 -t12-t13-t14 -1696.18

RD4D2 0 0

- 29 -

R1D3 0 0

R2D3 0 0

R3D3 0 0

R4D3 -b12 -865.0519

R5D3 -b13 -865.0519

R6D3 -b14 -865.0519

R7D3 0 1868.9

R8D3 0 1868.9

R9D3 0 1868.9

R10D3 0 2733.99

R11D3 0 2733.99

R12D3 0 2733.99

RD1D3 0 0

RD2D3 -t12-t13-t14 -1696.18

RD3D3 +t12+t13+t14+t15+t16+t17 7056.947

RD4D4 -t15-t16-t17 -5360.767

R1D4 0 0

R2D4 0 0

R3D4 0 0

R4D4 0 0

R5D4 0 0

R6D4 0 0

R7D4 -t15 -2733.99

R8D4 -t16 -2733.99

R9D4 -t17 -2733.99

R10D4 0 0

R11D4 0 0

R12D4 0 0

RD1D4 0 0

RD2D4 0 0

RD3D4 -t15-t16-t17 -5360.767

RD4D4 T15+t16+t17+t18+t19+t20 10721.534

- 30 -

Anexo N°. 5 VECTOR RESULTANTE DE CARGAS, GIROS Y DESPLAZAMIENTOS PARA CARGA VIVA

V R R-V GIROS/DESP

1 0,282 0,67 0,38 0,000203

2 -0,005 0 0,01 0,000018

3 -0,276 0 0,28 0,000168

4 0,282 0,67 0,38 0,000138

5 -0,005 0 0,01 0,000064

6 -0,276 0 0,28 0,000125

7 0,282 0,67 0,38 0,000074

8 -0,005 0 0,01 0,000016

9 -0,276 0 0,28 0,000051

10 0,282 0 -0,28 -0,000018

11 -0,005 0 0,01 0,000013

12 -0,276 0 0,28 0,000028

d1 0

0 0,00 -0,000700

d2 0

0 0,00 -0,000334

d3 0

0 0,00 -0,000095

d4 0

0 0,00 -0,000012

- 31 -

Anexo N°. 6 MOMENTOS EN LAS VIGAS Y COLUMNAS CARGA VIVA

MOMENTOS FINALES VIGAS

ELEMENTO MF M'F k a épsilon Épsilon´ Delta b Miz Mder 1 0,28167 -0,2816 1038,46154 519,23077 0,00020 0,00002 0,00000 0,00000 0,50222 -0,15699

2 0,27628 -0,2762 1048,54369 524,27184 0,00002 0,00017 0,00000 0,00000 0,38371 -0,09050

3 0,28167 -0,2816 1038,46154 519,23077 0,00014 0,00006 0,00000 0,00000 0,45799 -0,14345

4 0,27628 -0,2762 1048,54369 524,27184 0,00006 0,00012 0,00000 0,00000 0,40913 -0,11164

5 0,28167 -0,2816 2461,53846 1230,76923 0,00007 0,00002 0,00000 0,00000 0,48406 -0,15156

6 0,27628 -0,2762 2485,43689 1242,71845 0,00002 0,00005 0,00000 0,00000 0,37905 -0,12910

7 0,28167 -0,2816 2461,53846 1230,76923 -0,00002 0,00001 0,00000 0,00000 0,25353 -0,27164

8 0,27628 -0,2762 2485,43689 1242,71845 0,00001 0,00003 0,00000 0,00000 0,34310 -0,19128

9 0,00000 0,00000 1764,70588 882,35294 0,00014 0,00020 -0,00037 865,05190

0,10613 0,16391

10 0,00000 0,00000 1764,70588 882,35294 0,00006 0,00002 -0,00037 865,05190 -0,18632 -0,22672

11 0,00000 0,00000 1764,70588 882,35294 0,00012 0,00017 -0,00037 865,05190 0,05251 0,09050

12 0,00000 0,00000 1764,70588 882,35294 0,00007 0,00014 -0,00024 865,05190 0,04617 0,10200

13 0,00000 0,00000 1764,70588 882,35294 0,00002 0,00006 -0,00024 865,05190 -0,12224 -0,07936

14 0,00000 0,00000 1764,70588 882,35294 0,00005 0,00012 -0,00024 865,05190 -0,00571 0,05914

15 0,00000 0,00000 5577,34205 2788,67102 -0,00002 0,00007 -0,00008 2733,99120 -0,12164 0,13589

16 0,00000 0,00000 5577,34205 2788,67102 0,00001 0,00002 -0,00008 2733,99120 -0,11251 -0,10524

17 0,00000 0,00000 5577,34205 2788,67102 0,00003 0,00005 -0,00008 2733,99120 0,06868 0,13481

18 0,00000 0,00000 5577,34205 2788,67102 0,00000 -0,00002 -0,00001 2733,99120 -0,08182 -0,13189

19 0,00000 0,00000 5577,34205 2788,67102 0,00000 0,00001 -0,00001 2733,99120 0,00465 0,04104

20 0,00000 0,00000 5577,34205 2788,67102 0,00000 0,00003 -0,00001 2733,99120 0,04542 0,12259

- 32 -

Anexo N°. 7 MOMENTOS FINALES EN VIGAS Y COLUMNAS CARGA VIVA

VIGA

REACCIONES

L q Rh Ri rj Rti Rtj x0 xMax Mmax x1 x2 x2 MFI MFD

1 0,50 -0,16 5,20 0,20 0,07 0,26 0,26 0,33 0,19 0,97 2,91 0,13 5,40 6,37 -4,43

2 0,38 -0,09 5,15 0,20 0,06 0,26 0,26 0,31 0,20 1,00 2,85 0,21 1,46 2,46 -0,46

3 0,46 -0,14 5,20 0,20 0,06 0,26 0,26 0,32 0,20 1,00 2,89 0,16 1,26 2,26 -0,26

4 0,41 -0,11 5,15 0,20 0,06 0,26 0,26 0,32 0,20 1,00 2,85 0,19 1,38 2,38 -0,38

5 0,48 -0,15 5,20 0,20 0,06 0,26 0,26 0,32 0,20 0,98 2,90 0,14 1,19 2,17 -0,21

6 0,38 -0,13 5,15 0,20 0,05 0,26 0,26 0,31 0,21 1,04 2,81 0,19 1,39 2,44 -0,35

7 0,25 -0,27 5,20 0,20 0,00 0,26 0,26 0,26 0,26 1,32 2,58 0,19 1,37 2,69 -0,05

8 0,34 -0,19 5,15 0,20 0,03 0,26 0,26 0,29 0,23 1,14 2,72 0,18 1,33 2,47 -0,19

COLUMNAS H CORTANTE COLUMNA

9 0,1061 0,1639 3,06 0,0882

10 -0,1863 -0,2267 3,06 -0,1350

11 0,0525 0,0905 3,06 0,0467

12 0,0462 0,1020 3,06 0,0484

13 -0,1222 -0,0794 3,06 -0,0659

14 -0,0057 0,0591 3,06 0,0175

15 -0,1216 0,1359 3,06 0,0047

16 -0,1125 -0,1052 3,06 -0,0712

17 0,0687 0,1348 3,06 0,0665

18 -0,0818 -0,1319 3,06 -0,0698

19 0,0046 0,0410 3,06 0,0149 20 0,0454 0,1226 3,06 0,0549

- 33 -

Anexo N°.8 MOMENTOS FINALES PARA CARGA VIVA

- 34 -

Anexo N°. 9 CORTANTES PARA CARGA VIVA

- 35 -

Anexo N°. 10 VECTOR RESULTANTE DE CARGAS, GIROS Y DESPLAZAMIENTOS PARA CARGA MUERTA

V R R-V GIROS Y

DESPLAZAMIENTOS

1 0,704 1,67 0,96 0,00051

2 -0,013 0 0,01 0,00008

3 -0,691 0 0,69 0,00043

4 1,056 2,50 1,44 0,00052

5 -0,020 0 0,02 0,00020

6 -1,036 0 1,04 0,00046

7 1,056 2,50 1,44 0,00028

8 -0,020 0 0,02 0,00006

9 -1,036 0 1,04 0,00019

10 1,056 0 -1,06 -0,00007

11 -0,020 0 0,02 0,00005

12 -1,036 0 1,04 0,00010

D1 0 0 0,00 -0,00234

D2 0 0 0,00 -0,00122

D3 0 0 0,00 -0,00035

D4 0 0 0,00 -0,00004

- 36 -

ELEMENTO MF MF´ K a 𝝈 𝝈´ ∆ b Mizq Mder

1 0,7042 -0,7042 1038,4615 519,2308 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 1,2773 -0,3531

2 0,6907 -0,6907 1048,5437 524,2718 0,0001 0,0004 0,0000 0,0000 1,0033 -0,1958

3 1,0563 -1,0563 1038,4615 519,2308 0,0005 0,0002 0,0000 0,0000 1,6962 -0,5832

4 1,0360 -1,0360 1048,5437 524,2718 0,0002 0,0005 0,0000 0,0000 1,4832 -0,4509

5 1,0563 -1,0563 2461,5385 1230,7692 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 1,8077 -0,5696

6 1,0360 -1,0360 2485,4369 1242,7184 0,0001 0,0002 0,0000 0,0000 1,4214 -0,4893

7 1,0563 -1,0563 2461,5385 1230,7692 -0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,9502 -1,0204

8 1,0360 -1,0360 2485,4369 1242,7184 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 1,2846 -0,7183

9 0,0000 0,0000 1764,7059 882,3529 0,0005 0,0005 -0,0011 865,0519 0,3947 0,3880

10 0,0000 0,0000 1764,7059 882,3529 0,0002 0,0001 -0,0011 865,0519 -0,5499 -0,6502

11 0,0000 0,0000 1764,7059 882,3529 0,0005 0,0004 -0,0011 865,0519 0,2216 0,1958

12 0,0000 0,0000 1764,7059 882,3529 0,0003 0,0005 -0,0009 865,0519 0,1929 0,4071

13 0,0000 0,0000 1764,7059 882,3529 0,0001 0,0002 -0,0009 865,0519 -0,4704 -0,3500

14 0,0000 0,0000 1764,7059 882,3529 0,0002 0,0005 -0,0009 865,0519 -0,0089 0,2293

15 0,0000 0,0000 5577,3420 2788,6710 -0,0001 0,0003 -0,0003 2733,9912 -0,4575 0,4973

16 0,0000 0,0000 5577,3420 2788,6710 0,0000 0,0001 -0,0003 2733,9912 -0,4145 -0,3813

17 0,0000 0,0000 5577,3420 2788,6710 0,0001 0,0002 -0,0003 2733,9912 0,2578 0,4982

18 0,0000 0,0000 5577,3420 2788,6710 0,0000 -0,0001 0,0000 2733,9912 -0,3054 -0,4927

19 0,0000 0,0000 5577,3420 2788,6710 0,0000 0,0000 0,0000 2733,9912 0,0161 0,1503

20 0,0000 0,0000 5577,3420 2788,6710 0,0000 0,0001 0,0000 2733,9912 0,1712 0,4605

Anexo N°. 11 MOMENTOS FINALES EN VIGAS Y COLUMNAS PARA CARGA MUERTA

MOMENTOS FINALES EN LAS VIGAS Y COLUMNAS

- 37 -

Anexo N°. 12 REACCCIONES EN VIGAS Y CORTANTE EN COLUMNAS PARA CARGA MUERTA

REACCIONES

VIGA MFI MFD L q Rh Ri rj Rti Rtj x0 Mmax x1

1 1,28 -0,35 5,20 0,50 0,18 0,65 0,65 0,83 0,47 0,94 2,93 0,34

2 1,00 -0,20 5,15 0,50 0,16 0,64 0,64 0,80 0,49 0,97 2,87 0,53

3 1,70 -0,58 5,20 0,75 0,21 0,98 0,98 1,19 0,76 1,01 2,87 0,58

4 1,48 -0,45 5,15 0,75 0,20 0,97 0,97 1,17 0,77 1,02 2,83 0,72

5 1,81 -0,57 5,20 0,75 0,24 0,98 0,98 1,21 0,74 0,98 2,90 0,54

6 1,42 -0,49 5,15 0,75 0,18 0,97 0,97 1,15 0,78 1,05 2,81 0,72

7 0,95 -1,02 5,20 0,75 -0,01 0,98 0,98 0,96 0,99 1,32 2,58 0,70

8 1,28 -0,72 5,15 0,75 0,11 0,97 0,97 1,08 0,86 1,14 2,72 0,66

COLUMNAS

H V

9 0,3947 0,3880 3,06 0,2558

10 -0,5499 -0,6502 3,06 -0,3922

11 0,2216 0,1958 3,06 0,1364

12 0,1929 0,4071 3,06 0,1961

13 -0,4704 -0,3500 3,06 -0,2681

14 -0,0089 0,2293 3,06 0,0720

15 -0,4575 0,4973 3,06 0,0130

16 -0,4145 -0,3813 3,06 -0,2601

17 0,2578 0,4982 3,06 0,2471

18 -0,3054 -0,4927 3,06 -0,2608

19 0,0161 0,1503 3,06 0,0544

20 0,1712 0,4605 3,06 0,2064

- 38 -

Anexo N°. 13 MOMENTOS FINALES PARA CARGA MUERTA

- 39 -

Anexo N°. 14 CORTANTE PARA CARGA MUERTA

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