MODELO MATEMÁTICO PARA DTN EPIDÊMICA
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MINIST ´ ERIO DA DEFESA EX ´ ERCITO BRASILEIRO DEPARTAMENTO DE CI ˆ ENCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTA¸ C ˜ AO CLAUDIO S ´ A DE ABREU MODELO MATEM ´ ATICO PARA DTN EPID ˆ EMICA Rio de Janeiro 2012
Transcript of MODELO MATEMÁTICO PARA DTN EPIDÊMICA
MINISTERIO DA DEFESAEXERCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIENCIA E TECNOLOGIAINSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTACAO
CLAUDIO SA DE ABREU
MODELO MATEMATICO PARA DTN EPIDEMICA
Rio de Janeiro2012
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CLAUDIO SA DE ABREU
MODELO MATEMATICO PARA DTN EPIDEMICA
Dissertacao de Mestrado apresentada ao Curso deMestrado em Sistemas e Computacao do Instituto Mili-tar de Engenharia, como requisito parcial para obtencaodo tıtulo de Mestre em Sistemas e Computacao.
Orientador: Prof. Ronaldo Moreira Salles - Ten Cel -Ph.D.
Rio de Janeiro2012
c2012
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraca General Tiburcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
Este exemplar e de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que podera incluı-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer formade arquivamento.
E permitida a mencao, reproducao parcial ou integral e a transmissao entre bibliotecasdeste trabalho, sem modificacao de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha aser fixado, para pesquisa academica, comentarios e citacoes, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referencia bibliografica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho sao de responsabilidade do autor e do orientador.
A162 Abreu, Claudio Sa de004.6m Modelo Matematico para DTN Epidemica/ Claudio
Sa de Abreu; Orientado por Ronaldo Moreira Salles.– Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2012.
64 p.: il., tab.
Dissertacao (mestrado) – Instituto Militar de Enge-nharia – Rio de Janeiro, 2012.
1.Engenharia de computacao - teses e dissertacoes. 2.Redes de Computadores 3. Modelos Matematicos. I.Salles Ronaldo M. II. Modelo Matematico para DTNEpidemica. III. Instituto Militar de Engenharia.
CDD 004.6
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CLAUDIO SA DE ABREU
MODELO MATEMATICO PARA DTN EPIDEMICA
Dissertacao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Sistemas e Com-putacao do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtencao dotıtulo de Mestre em Sistemas e Computacao.
Orientador: Prof. Ronaldo Moreira Salles - Ten Cel - Ph.D.
Aprovada em 23 de agosto de 2012 pela seguinte Banca Examinadora:
Prof. Ronaldo Moreira Salles - Ten Cel - Ph.D. do IME - Presidente
Prof. Raquel Coelho Gomes Pinto - D.Sc. do IME
Prof. Carlos Alberto Vieira Campos - D.Sc. da UNIRIO
Rio de Janeiro2012
3
Dedico esta dissertacao aos meus pais e a minha famılia.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeco a todas as pessoas que contribuıram com o desenvolvimento desta disserta-
cao, em especial ao meu orientador, Prof. Ronaldo Moreira Salles, por ter me apresentado
o assunto desse trabalho e por ter sido sempre um grande parceiro em todo o processo.
Agradeco especialmente a minha esposa, Lilliana Monteiro Sa, e aos meus filhos, Pedro
Henrique e Jessica de Abreu, que sempre me incentivaram e tiveram paciencia nos muitos
momentos em que estive concentrado no trabalho. Agradeco aos meus pais, que sempre
inspiraram e nortearam minha vida. Agradeco a Paulo Roberto Granja pela ajuda na
formalizacao da dissertacao, e ao meu grande amigo e socio Marcelo Salhab Brogliato
pelas varias discussoes que muito contribuıram para a realizacao desse trabalho.
Por fim, a todos os professores e funcionarios do Departamento de Engenharia de
Sistemas (SE/8) do Instituto Militar de Engenharia pela paciencia e dedicacao que sempre
demonstraram.
Claudio Sa de Abreu
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“Algo so e impossıvel ate que alguem duvide e acabepor provar o contrario.”
Albert Einstein
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SUMARIO
LISTA DE ILUSTRACOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Contribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Organizacao da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 REDES TOLERANTES A ATRASOS E DESCONEXOES - DTNS 19
2.1 Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Revisao Historica, Bibliografica e Trabalhos Relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 MODELO MATEMATICO DETERMINISTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Modelo de Tres Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 DTN com TTL Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 DTN com TTL Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Algumas Caracterısticas Importantes das DTNs Epidemicas . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Condicao de existencia da difusao epidemica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Tempos Medios de Transferencia e Intervalos para DTNs com TTL Absoluto 37
3.2.2.1 Limite Superior para o TTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Resumo dos principais parametros e equacoes fechadas para cada esquema . . 41
4 SIMULACOES E COMPARACAO COM RESULTADOS ESPERA-
DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Preparacao do ambiente de testes e simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Cenarios testados e caso medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 LIDANDO COM OS AFASTAMENTOS DO MODELO . . . . . . . . . . 49
6 CONCLUSOES E TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7
7 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8
LISTA DE ILUSTRACOES
FIG.1.1 Processo epidemico de propagacao de mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
FIG.2.1 Camada de Agregacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
FIG.3.1 Modelo de tres estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
FIG.3.2 Modelo de tres estados antes que algum no se torne indisponıvel . . . . . . . 30
FIG.3.3 D, P e I ao final de cada estagio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
FIG.3.4 D, P e I em um tempo t1 de S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
FIG.4.1 SC1 Nos Disponıveis - Modelo x Media de 100 Simulacoes . . . . . . . . . . . . 46
FIG.4.2 SC2 Nos Disponıveis - Modelo x Media de 100 Simulacoes . . . . . . . . . . . . 46
FIG.4.3 Nos Disponıveis - Simulacao (seed=53) x Modelo x Simulacao (seed=90)
47
FIG.5.1 Cenario Hipotetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
FIG.5.2 SC1: Primeiro Contato x Contato Medio ordenado por Primeiro
Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
FIG.5.3 SC2: Primeiro Contato x Contato Medio ordenado por Primeiro
Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
FIG.5.4 Influencia dos primeiros contatos em SC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
FIG.5.5 Resultado do metodo estatıstico para o Desvio Padrao para SC1 . . . . . . . 55
FIG.5.6 Resultado do metodo estatıstico para o Desvio Padrao para SC2 . . . . . . . 55
FIG.5.7 Desvio Padrao x Velocidade com 1 no inicial rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
FIG.5.8 Desvio Padrao x Velocidade com 2 nos iniciais rapidos . . . . . . . . . . . . . . . 58
9
LISTA DE TABELAS
TAB.3.1 Estagios da propagacao epidemica com TTL Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 32
TAB.3.2 Principais parametros e equacoes para DTNs Epidemicas com TTL
Relativo e TTL Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TAB.4.1 Definicao dos ambientes simulados SC1 e SC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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RESUMO
Uma DTN (Delay and Disrupting Tolerant Network), e um tipo de rede tolerante afalhas e desconexoes onde, ao contrario das redes TCP/IP tradicionais, nao e exigida aexistencia de conexao fim-a-fim para a transmissao de pacotes. Essa caracterıstica permitea utilizacao de DTNs em situacoes extremas, onde haja carencia de infraestrutura de redetradicional, ou, a exemplo de aplicacoes militares, onde nao ha conhecimento da topologiado terreno de sua situacao. DTNs tambem sao especialmente uteis em regioes de catas-trofes e desastres, onde grande parte da infraestrutura de rede pode ter sido destruıda, outer ficado com sua capacidade muito comprometida. A despeito da quantidade de estudosexistentes sobre redes DTN, foi identificada uma lacuna na bibliografia sobre o assunto,referente a ferramentas analıticas que sirvam de suporte ao projeto e desenvolvimentodesse tipo de rede.
O objetivo desse trabalho e, atraves do desenvolvimento de um modelo matematico,propor ferramentas para ajudar no projeto, desenvolvimento e, quando aplicavel, avali-acao de uma DTN epidemica. Em uma DTN epidemica os pacotes ou mensagens saocopiados de um no para o outro todas as vezes que ocorre um contato, de maneira similara propagacao de um vırus em uma epidemia. Por isso, um reconhecido modelo de propa-gacao de epidemias de doencas, chamado de SIR (Susceptible, Infected and Recovered) foiusado como base para o desenvolvimento desse trabalho. Esse modelo foi estendido pararepresentar melhor o funcionamento de uma DTN epidemica. Para validar esse modeloestendido, foram gerados mais de cem cenarios com parametros diferentes, como numerode nos e velocidade dos nos, e foram feitas, pelo menos, cem simulacoes diferentes paracada um destes cenario. Para cada instante de tempo foi calculada a media e o desviopadrao de todos os resultados obtidos nessas simulacoes, e essa sequencia de medias foiconsiderada o caso medio. Os resultados obtidos com o modelo estendido se aproximarammuito do caso medio em todos os cenarios estudados, o que demonstrou que esse modeloera bastante acurado.
Apesar dos bons resultados obtidos para o caso medio, o modelo obtido nao foi sufi-ciente para explicar ou prever o resultado de varios cenarios que se afastavam muito docaso medio. Esses grandes afastamentos puderam ser avaliados atraves do desvio padraodos valores usados para calcular a media de cada cenario em cada instante de tempo. Esseafastamento exigiu, entao, um melhor entendimento do processo de difusao das mensagensem DTNs epidemicas. Esse melhor entendimento tornou possıvel uma nova extensao domodelo matematico que, com uso do metodo estatıstico de Monte Carlo, permitiu a cria-cao de um algoritmo simples para se conseguir prever tanto o caso medio, quanto o desviopadrao esperado para cada cenario. Com essa nova extensao do modelo matematico, foipossıvel propor procedimentos para melhorar o desempenho de DTNs epidemicas que semostraram bastante eficazes nas simulacoes.
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ABSTRACT
A DTN is a delay and disruption-tolerant network which, unlike the traditionalTCP/IP networks, does not require end-to-end connectivity. This feature makes DTNsusable in extreme situations, where there is lack of traditional network infrastructure, orthe topology of the land is not known, as in military applications. DTNs are also especiallyuseful in regions of disasters and catastrophes, where much of the network infrastructuremay have been destroyed. Despite the recent studies on the subject, a gap was identifiedon the development of analytical tools to support DTNs development and design.
The aim of this work is to develop a mathematical model that can be used to proposetools to assist in the design, development and, where applicable, in the evaluation of anepidemical DTN. In an epidemical DTN, packets are copied from one node to anotherevery time a contact occurs, similar to the spread of a virus in an epidemic disease. Hencea known model of spread of epidemics, called SIR (Susceptible, Infected and Recovered)was used as the basis for the development of this work. This model has been improved tobetter represent the epidemical DTN operation. To validate this extended model, abouta hundred scenarios were generated with different parameters such as number of nodesand speed of the nodes. At least a hundred different simulations were done for each ofthese scenarios. For each point of time, the average and standard deviation of the valuesof each scenario where calculated. The sequence of means were considered the averagecase. The results obtained with the extended model is much closer to the average case inall studied scenarios, which show that this model is very accurate.
Despite the good results obtained for the average case, the model was not able toexplain or predict the outcome of various scenarios that are significantly deviated theaverage case. These large deviations could be addressed by the standard deviation of thevalues used to calculate the average of each instant of time. These deviations demanded abetter understanding of the diffusion process of messages in epidemical DTN and as result,a new extension to the mathematical model was made, and as result, it was possible to,using the statistical method of Monte Carlo, create a simple algorithm that made possibleto predict both the average case and the standard deviation for each scenario. With thisnew extension, it was possible to propose procedures to improve the DTN performancewhich proved quite effective in simulations.
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1 INTRODUCAO
O funcionamento de uma rede baseada no protocolo TCP/IP, depende, alem da ne-
cessidade de comunicacao fim-a-fim, de mais tres fatores:
• Estabilidade
• Baixa latencia
• Baixa taxa de erro
Quando um desses fatores e comprometido, a comunicacao pode se tornar inviavel. Por
essa razao, as redes TCP/IP necessitam de infraestruturas estaveis, o que nem sempre e
possıvel em varios tipos de cenario, como:
• Em regioes remotas, onde nao haja infraestrutura de telecomunicacoes permanen-
temente disponıvel;
• Em redes de veıculos, onde nao haja cobertura disponıvel ao longo de todas as
rodovias e lugares visitados;
• Em regioes de desastre, onde a infraestrutura existente e total ou parcialmente
destruıda, como em terremotos, enchentes e outros;
• Em redes de sensores sem fio, onde os nos precisam economizar energia e, por
isso, permanecem desligados periodicamente, causando o particionamento da rede e
conectividade intermitente (OLIVEIRA, 2007);
• Em redes Ad-hoc moveis, (Mobile Ad hoc NETworks - MANETs), onde a topologia
da rede pode mudar constantemente, devido a grande mobilidade dos nos, provo-
cando frequentes desconexoes (FALL, 2005; HANBALI, 2005);
• Em redes interplanetarias, onde um corpo celeste pode interromper a comunicacao
por varias horas, ou onde a rotacao de um planeta pode deixar a estacao base
periodicamente fora de alcance;
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Para permitir comunicacoes de dados nessas situacoes, foram criadas as Redes Tole-
rantes a Atrasos e Desconexoes (DTNs), que se utilizam de diversas tecnicas para manter
a integridade e a entrega dos dados durante sua transmissao em meios inospitos, usando o
paradigma de story-carry-and-forward, proposto inicialmente em (FALL, 2003). Segundo
esse paradigma, cada vez que um no da rede DTN encontra outro, as mensagens que
cada um carrega sao trocadas segundo regras e polıticas estabelecidas para maximizar a
probabilidade de entrega dentro de um tempo maximo determinado, e respeitando-se a
capacidade de cada um. As trocas de mensagens podem levar em conta fatores como:
capacidade computacional, memoria, raio de cobertura, velocidade dos nos, probabili-
dade de encontro do no destino em funcao do historico de encontros anteriores, encontros
totalmente previsıveis, itinerario e outros.
De maneira geral, existe uma imensa variedade de formas de transmissao e roteamento
em redes DTN. A mais simples delas e a forma chamada epidemica, onde um no transmite
a mesma mensagem para todos os nos que encontrar durante algum tempo, e esses para
outros e assim por diante, conforme proposto inicialmente por (VAHDAT, 2000). Esse
tipo de DTN tambem e o de implementacao mais rapida, porque:
• Nao exige que haja qualquer conhecimento da topologia da rede
• Nao ha restricao para a capacidade dos nos participantes
• Nao e necessario levar em conta trajetos ou historico de contatos
Para ilustrar o funcionamento de uma DTN epidemica, sera usada a Figura 1.1, que
apresenta um pequeno cenario com apenas alguns nos. O primeiro no a portar a men-
sagem, que inicia a transmissao para outros, e chamado no inicial ou no de origem. Esse
no pode gerar a mensagem, no caso de um sensor em uma rede de sensores, que precisa
enviar suas medicoes atraves da rede, ou pode receber de algum agente externo a rede,
como de um operador de comunicacoes que faz upload da mensagem para o no inicial
da rede. De maneira gral, nesse trabalho os dois casos serao tratados referenciando o no
inicial como aquele que “gera” a mensagem.
Na Figura 1.1(a), um no gera a mensagem e se torna o no inicial, ou no de origem. Na
Figura 1.1(b), o no de origem encontra outro no e transmite a mensagem para ele, entao
ambos passam a carregar a mensagem e a difundi-la. Na Figura 1.1(c), uma outra trans-
ferencia acontece. Finalmente, na Figura 1.1(d), a entrega final da mensagem acontece.
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(a) Inıcio (b) Primeira transmissao
(c) Segunda transmissao (d) Entrega
FIG. 1.1: Processo epidemico de propagacao de mensagens
Observando a Figura 1.1, verifica-se que, ao receber uma mensagem, um no a transmite
para todos os nos que encontrar que ainda nao a estiverem portando. Esse processo e
muito similar ao processo de difusao de uma epidemia, onde um indivıduo portador de
vırus o transmite a todos os outros indivıduos ainda nao contaminados que encontrar. Essa
similaridade permite que trabalhos feitos para modelar a propagacao epidemica de doencas
possam ser usados como base para o desenvolvimento de modelos para o funcionamento
de DTNs epidemicas. Como observado por (KHABBAZ, 2012), o desenvolvimento de um
modelo matematico que de suporte ao projeto e a avaliacao de DTNs ainda e um desafio
em aberto. Por essa razao, essa similaridade entre a difusao de doencas epidemicas e a
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propagacao de mensagens em redes DTN sera usada como base para o desenvolvimento de
um modelo matematico para a dinamica das transmissoes em uma DTN, o que constitui
o principal objetivo desse trabalho.
1.1 MOTIVACAO
DTNs sao usadas, em situacoes de escassez ou criticidade de recursos importantes como
disponibilidade de energia, quantidade ou capacidade computacional, de memoria e de
telecomunicacoes. Recomenda-se, que um projeto de DTN propicie o maximo aproveita-
mento desses recursos, levando em conta requisitos de rede como, por exemplo, tempo
maximo de entrega e area de cobertura. Por essa razao, o desenvolvimento de um modelo
matematico adequado propicia maior grau de eficiencia, tanto no projeto de novas DTNs,
quanto na avaliacao e manutencao de DTNs em operacao e esse desenvolvimento ainda e
um desafio em aberto nessa area (KHABBAZ, 2012).
1.2 APLICACOES
As DTNs sao redes que nao se aplicam a trafego de dados interativo, nessa situacao a
infraestrutura de comunicacao deve responder rapida e continuamente a todas as requi-
sicoes. Nesse caso, as redes de infraestrutura tradicionais sao as mais adequadas. No
entanto, alem de serem uteis em aplicacoes como comunicacao para regioes remotas, re-
des de sensores, comunicacao em zonas de guerra e outras, os conceitos de DTN podem
ser diretamente aplicados a troca de mensagens em redes sociais, a troca de mensagens em
botnets (redes de computadores infectados por vırus que propagam mensagens enviadas
por um computador central entre si), e, possivelmente, a jogos em dispositivos moveis e
a coleta de dados de cobranca em transportes publicos, dentre outros.
1.3 CONTRIBUICAO
Esse trabalho seguiu a mesma linha de outros trabalhos. Partiu de um modelo matematico
desenvolvido para modelar a difusao epidemica de doencas, o modelo SIR (Susceptible,
Infected, Recovered), e o adaptou para uso em redes DTN epidemicas. Apesar da simi-
laridade entre a transmissao de doencas epidemicas e a transferencia de mensagens em
uma DTN epidemica favorecer o uso desse modelo, diferencas fundamentais causam sig-
nificativos desvios entre os valores teoricos esperados e os valores obtidos em simulacoes.
16
Mesmo com valor medio respeitando rigorosamente o previsto pelo modelo inspirado no
modelo de difusao de doencas, desvios significativos foram observados para determinados
cenarios. Esses desvios foram objeto de um estudo mais detalhado para obtencao de um
modelo de facil aplicacao.
Varios procedimentos para melhorar a eficiencia e o controle sobre DTNs epidemicas
foram propostos e validados por simulacao. Dessa forma, as contribuicoes desse trabalho
podem ser enumeradas:
• O desenvolvimento e validacao de um modelo matematico para DTNs epidemicas
baseado no modelo SIR de difusao de doencas, para o caso medio;
• A discussao e investigacao das razoes para os desvios significativos observados nos
resultados das simulacoes. Esses desvios ou foram ignorados, ou foram observados
mas nao tratados, nos trabalhos anteriores;
• Uma proposta de um metodo simples para predizer o comportamento de uma
DTN epidemica tanto quanto ao comportamento medio esperado, quanto ao desvio
padrao;
• A sugestao de procedimentos praticos para melhorar a funcionalidade de DTNs
epidemicas a partir dos resultados obtidos com o modelo.
1.4 ORGANIZACAO DA DISSERTACAO
A partir desse capıtulo, se seguira o Capıtulo 2, onde os conceitos gerais de DTN serao
relembrados e contextualizados. No Capıtulo 3 o modelo matematico baseado em EDOs
que serve como base para esse trabalho sera desenvolvido. Diversos comportamentos
previstos serao analisados, e outros nao esperados serao indicados. No Capıtulo 4 serao
discutidos os resultados de milhares de simulacoes, que mostrarao que o modelo desen-
volvido representa perfeitamente o caso medio, mas apresenta desvios muito grandes em
alguns outros casos que precisam ser tratados. No Capıtulo 5, os desvios observados em
relacao ao modelo desenvolvido serao explicados, modelados e o funcionamento de uma
DTN epidemica sera melhor entendido. Com base nesse entendimento e nos modelos
para o caso medio e para os desvios, serao propostos procedimentos, ou boas praticas, que
diminuem consideravelmente os desvios, e que melhoram muito o resultado das DTNs. Fi-
17
nalmente, no Capıtulo 6 sao apresentadas as conclusoes e propostas de trabalhos futuros
que podem dar sequencia a este.
18
2 REDES TOLERANTES A ATRASOS E DESCONEXOES - DTNS
2.1 FUNCIONAMENTO
Em uma DTN as mensagens sao enviadas de no para no, desde a origem ate o destino. As
DTNs utilizam o paradigma de armazena-e-encaminha (store-and-forward) (OLIVEIRA,
2007), que permite a rede suportar grandes atrasos, cuja magnitude pode chegar a dias,
no caso de redes interplanetarias, ou interrupcoes constantes, no caso de redes de sensores
sem fio. Para tornar viavel o armazenamento da mensagem ate que sua transmissao para
outro no, ou outros nos seja viavel, a arquitetura DTN preve que o protocolo contenha
um camada de overlay, entre a camada de aplicacao e a camada de transporte, chamada
de camada de agregacao (bundle). Essa camada de agregacao possui uma memoria per-
sistente, responsavel por manter as mensagens durante seu tempo de vida. O protocolo
de agregacao e executado por todos os nos da DTN.
A arquitetura permite que os nos DTN tambem sejam usados para intercomunicar
redes ou regioes diferentes, usando pilhas de protocolo adequadas para cada regiao, e
sempre armazenando os dados persistentes na camada de agregacao. A Figura 2.1, baseada
em (OLIVEIRA, 2007), mostra essa estrutura.
Aplicação
TCP
IP
Enlace
Física
TCP
IP
Enlace
Física
Transporte
Rede
Enlace
Física
Aplicação
Transporte
Rede
Enlace
Física
REGIÃOATCP/IP
REGIÃOBNão TCP/IP
Camadas específicasde cada região
FIG. 2.1: Camada de Agregacao
19
Dentro de uma mesma regiao, a decisao de transmissao da mensagem, ou seja, seu
roteamento, pode seguir diversos criterios e polıticas, porem, a transmissao em si, so
ocorre durante os contatos entre nos. Um contato acontece quando um no esta na regiao
de cobertura do outro e vice-versa, de forma que, durante o tempo da comunicacao,
esses nos estejam diretamente conectados. Alguns protocolos decidem se a mensagem
pode ser transferida ou nao para outro no em funcao de algoritmos nos quais o criterio
e baseado no historico de conexoes anteriores desse no, ou em funcao da previsao de
suas conexoes futuras, ou ainda simplesmente porque ainda nao recebeu a mensagem
(Roteamento Epidemico).
Ha transferencias que sao dependentes do tipo de contato, como as interplanetarias,
ou as dependentes de redes de transportes publicos, nos quais as comunicacoes podem ser
agendadas em funcao dos horarios conhecidos dos contatos futuros, e sempre tendo em
conta os recursos disponıveis nos nos, como carga na bateria ou memoria.
A seguir, sao apresentados alguns criterios usados para a decisao de roteamento de um
pacote:
• Usar o historico de conexoes de um no para estimar a probabilidade de conexoes
futuras com outro determinado no. Indicado para nos que encontram muitas vezes
os mesmos nos ao longo do tempo, como acontece com pessoas que encontram os
mesmos colegas de trabalho todos os dias, ou com quem embarca no mesmo onibus
todos os dias;
• Usar o planejamento de conexoes de um no para aumentar a probabilidade de en-
trega de uma mensagem. Indicado para nos que tem roteiro bem determinado,
passando por determinados pontos fixos em horarios bem definidos, ou para comu-
nicacoes interplanetarias, onde se sabe com antecedencia quando havera viabilidade
de comunicacao ou nao entre estacoes de comunicacao remotas (nos remotos).
• Usar o conhecimento da rede que alguns nos podem possuir, como base para decidir
se realiza ou nao a transferencia (Modelo dos Oraculos de informacao (JAIN, 2004)).
Porem, se nenhuma informacao e conhecida sobre as caracterısticas da rede, como
padroes de movimento dos nos, roteiros, probabilidades de contato, disponibilidade ou
mesmo a topologia da rede, quando o primeiro no recebe uma mensagem, ele pode tomar
uma das seguintes acoes:
20
• Passar a mensagem para algum no que encontrar e parar de propaga-la, enquanto
o que recebeu repete o processo e assim por diante, de forma que, a cada momento,
somente um no carrega a mensagem;
• Passar a mensagem para todos os nos que encontrar, ate que um certo numero de
transmissoes aconteca, e os que receberem a mensagem repetem esse processo e
assim por diante;
• Passar a mensagem para todos os nos que encontrar, que seguirao o mesmo proced-
imento e assim por diante.
A primeira opcao tem probabilidade de entrega muito baixa. A segunda e chamada
de roteamento n-epidemico e a terceira de roteamento epidemico. Pode se concluir que o
roteamento epidemico e o que tem maior probabilidade de entrega, pois produzira o maior
numero de transmissoes da mensagem, porem e o que apresentara o maior consumo de
recursos, uma vez que a mensagem ocupara mais nos com sua transmissao, tanto para ser
mantida na memoria quanto para ser transmitida para outros nos.
2.2 REVISAO HISTORICA, BIBLIOGRAFICA E TRABALHOS RELACIONADOS
Em 1906, W. H. Hamer (HAMER, 1906), postulou que o desenvolvimento de uma epi-
demia depende da taxa de contato entre indivıduos susceptıveis e infecciosos. Este pos-
tulado, hoje conhecido como princıpio da acao das massas, tornou-se um dos mais impor-
tantes conceitos da epidemiologia matematica. Esse conceito e traduzido pela ideia que
a disseminacao da epidemia em uma populacao e proporcional ao produto da densidade
de indivıduos susceptıveis pela densidade de indivıduos infecciosos. O princıpio de Hamer
foi originalmente formulado atraves de um modelo de tempo discreto, mas, em 1908, Sir
Ronald Ross (que descobriu o vetor de transmissao da malaria), generalizou para tempo
contınuo, em seus trabalhos sobre dinamica da malaria.
Em 1927 e 1932, Kermack WO e McKendrick AG (KERMACK, 1927) e (KERMACK,
1932), estenderam a teoria com o princıpio do limiar, estabelecendo que a introducao
de indivıduos infecciosos em uma comunidade nao pode levar a um surto epidemico, a
menos que a densidade de indivıduos susceptıveis esteja acima de certo valor crıtico. Esse
princıpio, em conjunto com o princıpio de acao das massas, gerou o modelo conhecido
como modelo SIR, que constitui uma das principais bases da epidemiologia matematica
moderna (DALEY, 1999).
21
Durante as decadas que se seguiram, o modelo de Kermack WO e McKendrick AG
foi ampliado e aperfeicoado, dando origem a modelos mais sofisticados, que tem aplicacao
em diversos tipos diferentes de propagacao de doencas. Nos anos recentes, a modelagem
matematica da propagacao de doencas tem importancia cada vez maior no controle de
epidemias (HETHCOTE, 2009). Devido a esse sucesso, o modelo SIR original foi uma das
bases para o desenvolvimento do modelo matematico proposto nesse trabalho para DTNs
epidemicas, que comecaram a ser estudadas e utilizadas mais recentemente, a partir do
inıcio do seculo XXI.
Em 2000, Vahdat e Becker (VAHDAT, 2000) desenvolveram tecnicas para enviar men-
sagens em redes parcialmente conectadas, onde nem sempre ha um caminho estavel entre
a origem e o destino de uma mensagem, chamadas de MANETS (Mobile ad hoc networks),
e apresentaram pela primeira vez, o conceito de Roteamento Epidemico, sustentando que
a troca de mensagens durante encontros aleatorios de nos moveis eventualmente fara a
mensagem ser entregue a seu destino final.
Em 2002, Kevin Fall propos o primeiro modelo do que e hoje chamado de DTN, em
(FALL, 2002). Nesse trabalho e no seguinte (FALL, 2003) a enfase foi no conceito de DTN
e na estrutura necessaria para sua implementacao. A arquitetura DTN proposta defendia
uma alteracao no modelo de servicos basicos mais comuns na Internet, motivado pelo
desempenho excepcionalmente ruim de algumas redes. Esta abordagem foi diferente de
outras propostas, cujo o objetivo era evitar ou recuperar erros eventualmente ocasionados
pelo mal funcionamento da rede. Alem disso, as propostas anteriores lidavam principal-
mente com controle de erro e com mobilidade, e nao com as interrupcoes na rede ou com
latencias exageradas.
Em 2005, Groenevelt et. al. (GROENEVELT, 2005) propuseram um modelo mate-
matico para caracterizar o atraso na entrega de mensagens em uma DTN, baseado no
estudo profundo de certos modelos de movimento. Uma de suas maiores contribuicoes foi
a estimativa da taxa de contatos (β) entre nos, para esses tipos de movimento. Esse tra-
balho teve grande importancia e seu modelo para a taxa de contatos ja usado em muitos
trabalhos subsequentes.
Em 2006, Haas & Small (HAAS, 2006) usaram equacoes diferenciais e conceitos de
epidemiologia para modelar a transmissao em uma rede, na qual baleias portando equipa-
mentos especiais funcionaram como nos da rede, ou mulas. Esse trabalho nao fez mencao
a problemas relacionados com o atraso entre o inıcio do processo epidemico, quando o
22
primeiro no gera a mensagem (no de origem), e o final, quando o no destino recebe a
mensagem. Ele tambem nao levou em conta os parametros de funcionamento que tornam
um processo epidemico possıvel ou nao.
Al-Hanbali (AL-HANBALI, 2006) desenvolveu um modelo para estudar o desempenho
de redes sem infraestrutura, de acordo com o movimento dos nos. Esse modelo pode
ser estendido para um cenario de DTN epidemica e e util para se obter a eficiencia na
comunicacao nesse contexto.
Xiaolan Zhang et. al. (ZHANG, 2006) usaram uma abordagem criada por (GROE-
NEVELT, 2005) para obter as taxas de contato entre nos e avaliar o desempenho de uma
DTN epidemica em diferentes cenarios e condicoes.
Em 2008, Walker et. al. (WALKER, 2008) tambem estudaram o desempenho de
DTNs, considerando que os nos se movem de acordo com o modelo de movimento random
walk. Esse trabalho usou algumas ideias interessantes sobre modelos matematicos simples
que podem ser usadas nesse cenario.
Em 2010, Xiaofeng e Hie (LU, 2010) desenvolveram um modelo matematico que foi
usado como base para propor um protocolo de roteamento n-epidemico, que produziu um
modelo similar ao proposto em (HAAS, 2006), mas so considerou o caso medio, ignorando
seus desvios.
Em 2011, Park et. al. (PARK, 2011) desenvolveram um modelo para calcular e analisar
redes metropolitanas de onibus usadas como DTNs, onde desenvolveram algumas ideias
interessantes sobre como as transferencias de mensagens ocorrem, mas com foco apenas
nesse tipo de DTN.
Em 2012, Khabbaz et. al. (KHABBAZ, 2012) fizeram um levantamento (survey) com-
pleto dos desenvolvimentos recentes em DTNs e dos desafios pendentes. Nesse trabalho,
dentre varias conclusoes importantes, a principal foi de que ainda nao existe um bom
modelo analıtico e de desempenho para DTNs. Essa carencia de bons modelos matemati-
cos que permitissem predizer o funcionamento de uma DTN epidemica foi a principal
motivacao deste trabalho.
Todos os trabalhos mencionados que tratam de modelos matematicos de alguma forma,
ou levam em conta apenas um estagio inicial da propagacao para um determinado caso
particular, ou nao consideram caracterısticas importantes do funcionamento das DTNs
epidemicas, que podem fazer alguns resultados obtidos na pratica serem muito afastados
dos resultados teoricos. Este trabalho pretende obter um modelo mais completo e tambem
23
uma forma de lidar com esses afastamentos observados em alguns casos praticos.
24
3 MODELO MATEMATICO DETERMINISTICO
3.1 MODELO DE TRES ESTADOS
Nessa secao, um modelo matematico para o comportamento de DTNs epidemicas sera
desenvolvido a partir de adaptacoes do modelo SIR, (KERMACK, 1927) e (KERMACK,
1932), criado originalmente para modelar a difusao epidemica de doencas.
A dinamica envolvendo a transmissao de uma determinada mensagem atraves dos
nos de uma DTN, e a difusao de uma epidemia de uma doenca, quando um indivıduo
contaminado infecta outros enquanto esta doente, compartilham diversas similaridades. O
agente do primeiro processo e a mensagem, que e transmitida dos nos portadores para os
nao portadores, enquanto em uma epidemia o agente e um vırus ou outro agente infeccioso,
que e transmitido de pessoas que estao infectadas para outras que nao estao. Nas DTNs,
os agentes (as mensagens), sao transmitidos por nos, enquanto em uma epidemia sao
transmitidas por portadores (pessoas). Em ambos, o agente fica em um portador por
certo tempo, ate que esse portador fica indisponıvel, ou imune, para aquele agente.
Ha doencas que sao transmitidas de um indivıduo para outro por contato direto ou
proximidade, como gripe e colera. Quando uma parcela significativa da populacao esta
infectada e a taxa de crescimento dessa parcela da populacao e alta, diz-se que uma
epidemia esta acontecendo. Ha diversos estudos matematicos que representam aspectos
da dinamica das epidemias, mas o trabalho original, usado como referencia por quase
todos os outros foi proposto por (KERMACK, 1932), chamado de modelo “SIR”, que e
um modelo de tres estados. Esse modelo e baseado nos seguintes pressupostos: que a
populacao e aproximadamente constante ao longo do ciclo da doenca estudada, e que um
indivıduo qualquer da populacao, em relacao a uma determinada doenca, pode estar em
um dos tres estados: Susceptible (S) - Susceptıvel, Infected (I) - Infectado ou Recovered
(R) - Recuperado. Um conjunto de equacoes diferenciais mostra as relacoes entre S, I e
R ao longo do tempo, considerando que um no, em um determinado instante de tempo,
em relacao a uma determinada mensagem, so pode estar em um de tres estados possıveis,
equivalentes um-a-um aos estados do modelo SIR, a saber:
• Disponıvel (D): Quando o no pode receber a mensagem;
25
• Propagando (P ): Quando o no recebeu uma copia da mensagem e esta propagando-
a ate acabar seu TTL (Time To Live);
• Indisponıvel (I): Quando o no ja recebeu a mensagem, e esta foi entregue a seu
destino ou seu TTL foi esgotado.
Em uma rede, normalmente existem muitas mensagens sendo propagadas ao mesmo
tempo. Dessa forma, em uma DTN epidemica, um no pode estar Disponıvel para uma
mensagem, mas Indisponıvel para outra, assim como outros podem estar Propagando
outra mensagem, mas estarem Disponıveis para outras. Exemplificando, em uma rede de
quatro nos, A, B, C e D, que esta propagando as mensagens M1, M2 e M3 ao mesmo
tempo, e possıvel que se tenha, em um determinado instante de tempo, o no A Disponıvel
para receber as mensagens M1 e M2, mas Indisponıvel para a mensagem M3, porque ja
propagou essa mensagem ate que seu TTL foi esgotado. Ao mesmo tempo, o no B pode
estar Disponıvel para M1, Indisponıvel para M2 e Propagando M3, enquanto os nos C e
D podem estar Disponıveis para todas as mensagens. Dessa forma, os estados de um no,
D, P e I, sao sempre considerados em relacao a uma determinada mensagem.
Uma DTN com varias mensagens simultaneas pode ser considerada como uma su-
perposicao de cenarios, cada um referente a uma determinada mensagem, mas essa su-
perposicao nao sera tratada neste trabalho, tendo em vista que o modelo completo e
diretamente obtido a partir do modelo para uma mensagem.
O modelo proposto considera as seguintes premissas:
• O numero total de nos N e constante durante o tempo de propagacao da mensagem;
• A probabilidade de transferencia de uma mensagem durante um encontro entre um
no (P ) e um no (D) e 1;
• Um no recebe uma determinada mensagem apenas uma vez, ou seja, depois de
receber uma determinada mensagem, o no nao a recebe mais, porque esta, ou ja
esta na sua memoria e esta sendo propagada, ou ja esteve na sua memoria, foi
propagada por um determinado tempo e ja esta inativa ou foi descartada. Dessa
forma e possıvel garantir que o mesmo no nao voltara a propagar uma determinada
mensagem depois que ficou Indisponıvel para ela;
26
• Se dois nos que estao propagando a mesma mensagem se encontram, nada acontece
em relacao a essa mensagem, ou seja, ambos a continuarao propagando ate que seu
tempo de vida se esgote;
• Quando uma mensagem e recebida, o no esta imediatamente apto a copia-la para
todos os nos Disponıveis que encontrar durante o tempo de vida da mensagem;
• Um no so transfere a mensagem para apenas um outro no em cada contato;
• Um no faz βN contatos por unidade de tempo, onde β e considerada a taxa de
contatos;
• A origem do tempo, ou seja, o instante de tempo t = 0, e considerado sempre a
partir do momento em que o primeiro no, ou o no de origem, gera a mensagem, e e
contado a partir de entao, ate o que for convencionado como fim do processo, que
pode ser, por exemplo, quando todos os nos recebem a mensagem, como em uma
mensagem de broadcast.
O protocolo utilizado nos nos para decidir se uma mensagem sera copiada ou nao para
outro no, e para decidir se recebe ou nao uma mensagem de outro no, nao e parte do
escopo deste trabalho e, na verdade, e parte uma outra area de pesquisa em DTNs.
A taxa de contatos, β, e muito importante na analise de DTNs, e pode ser melhor
entendida se for considerado que uma DTN com N nos, em uma unidade de tempo, podem
acontecer, no maximo,
(N
2
)=N(N − 1)
2(3.1)
contatos distintos entre pares de nos (BIAN, 2010).
β e o fator multiplicativo que, aplicado ao numero de contatos entre nos possıveis em
uma unidade de tempo, dado por (3.1), produz o numero medio de contatos entre nos da
DTN por unidade de tempo. Nesse trabalho, β e considerado constante. Assim, o numero
total medio de encontros entre nos que acontece em uma unidade de tempo e:
βN(N − 1)
2(3.2)
O diagrama abaixo mostra a sequencia de estados:
27
Disponıvel(D)
βDP−→ Propagando(P)
γP−→ Indisponıvel(I)
FIG. 3.1: Modelo de tres estados
No diagrama da Figura 3.1, cada seta indica a taxa de transicao de um estado para o
seguinte. D, P e I, ou D(t), P (t) e I(t) representam a quantidade de nos em cada um
dos estados a cada instante t, em relacao a uma determinada mensagem. Entre D e P ,
como um no faz βN contatos em uma unidade de tempo, P nos fazem βNP contatos por
unidade de tempo. Assim, como DN
e a proporcao de nos Disponıveis em um determinado
momento, e possıvel concluir que, em cada unidade de tempo, βNP ∗ DN
= βDP nos
sao infectados. Entao, βDP e a taxa de troca de estados entre os nos Disponıveis e nos
Propagando por unidade de tempo.
Entre P e I, a taxa de transicao e γ, que e a taxa de recuperacao, ou seja, o numero
de nos que param de transmitir a mensagem por unidade de tempo. Entao, 1γ
e o tempo
medio que um no permanece transmitindo a mensagem.
Como N e o numero total de nos, e assumindo que D = D(t), P = P (t) e I = I(t), a
equacao abaixo sera sempre verdadeira:
N = D + P + I (3.3)
Assumindo que o numero de nos N e suficientemente grande para considerar (3.3)
contınua, e possıvel derivar (3.3) no tempo, obtendo:
dD
dt+dP
dt+dI
dt= 0 (3.4)
.
Considerando as taxas de transicao apresentadas acima, tem-se:
dD
dt= −βDP
dI
dt= γP
(3.5)
28
A partir de (3.5) e de (3.4), pode se concluir que:
dP
dt= βDP − γP (3.6)
Se o tempo de vida de uma mensagem (TTL), for infinito, todos os nos que rece-
berem essa mensagem a propagarao permanentemente, ou seja, nenhum no se tornara
Indisponıvel. Nessa situacao, γ = 0, porque nenhum no passa do estado P para o estado
I. Dessa forma, dPdt
sera sempre maior que zero, exceto no inıcio e no fim da comunicacao,
e as mensagens ficarao na memoria dos nos para sempre, esgotando os recursos da rede
depois que um certo numero de mensagens diferentes trafeguem pela DTN.
O TTL pode ser usado para controlar o tempo de vida de uma mensagem para que
ela so fique na rede enquanto for valida ou util. Dessa forma, e possıvel evitar possıveis
problemas causados pelo processamento de uma mensagem quando a informacao trans-
mitida por ela ja nao e mais confiavel. O TTL tambem e usado em DTNs para evitar que
as mensagens ocupem a memoria dos nos por mais tempo do que o necessario, sendo um
dos mecanismos usados para o descarte de mensagens. Em muitos casos, o TTL e usado
de uma das seguintes formas:
• TTL Absoluto - O tempo de vida de todas as copias da mensagem e medido a partir
do momento em que a o primeiro no recebeu a mensagem, fazendo com que todas
as mensagens sejam descartadas ao mesmo tempo, quando o TTL se esgotar;
• TTL Relativo - O tempo de vida da mensagem em cada no e contado a partir do
momento em que este recebe a mensagem. Dessa forma, com TTL Relativo, cada
mensagem permanece na memoria de cada no por exatamente TTL unidades de
tempo.
Em termos praticos, usando TTL Absoluto, todas as copias da mesma mensagem na
DTN sao descartadas de todos os nos ao mesmo tempo, quando o TTL se esgota. Por
outro lado, usando TTL Relativo, a difusao continua a ocorrer ate que o TTL do ultimo
no infectado seja expirado.
3.1.1 DTN COM TTL ABSOLUTO
Com TTL infinito, os nos carregam a mensagem para sempre depois que a recebem. Nessa
situacao, nenhum no fica indisponıvel e o modelo de tres estados fica reduzido ao modelo
29
da Figura 3.2
Disponıvel(D)
βDP−→ Propagando(P)
FIG. 3.2: Modelo de tres estados antes que algum no se torne indisponıvel
Mesmo que o no destino receba a mensagem em algum momento do processo, e nesse
caso, nao a propague mais a partir desse instante, como, por hipotese, N e grande, esse
unico no nao propagando podera ser desprezado no desenvolvimento do modelo.
Nessa situacao, considerando que nenhum no fica Indisponıvel e desprezando que o no
de destino pode ter recebido a mensagem em algum momento, (ZHANG, 2006) apresentou
o conjunto de equacoes (3.7) para modelar o comportamento de uma DTN epidemica com
N + 1 nos, mas nao incluiu seu desenvolvimento.
I(t) =
N
1 + (N − 1)eβNt
P (t) = 1− N
N − 1 + eβNt
(3.7)
Nesse trabalho, sao tratadas redes com N nos, o que produz equacoes ligeiramente
diferentes de (3.7), e cuja deducao foi feita a partir de (3.5), que pode ser simplificado
para:
D + P = N
dD
dt+ βDP = 0
(3.8)
ou
D′ + βND = βD2 (3.9)
Essa e uma equacao diferencial de Bernoulli (HAIRER, 1993), que pode ser resolvida
para D multiplicando (3.9) por D−2 e fazendo uma variavel auxiliar S, tal que S = D−1,
S ′ = −D−2D′ :
30
S ′ − βNS = −β (3.10)
Assim,
S =1
N+ CeβNt (3.11)
O processo da DTN comeca quando um no (origem) recebe a mensagem. Assim, a
condicao inicial e que D(0) = N − 1:
S(0) =1
N − 1
Que aplicada em (3.11):
C =1
N(N − 1)
Entao:
S =1
N+
1
N(N − 1)eβNt =
N − 1 + eβNt
N(N − 1)
(3.12)
Como D = S−1, o modelo pode ser expresso, para t < TTL, por:
D(t) =
N(N − 1)
N − 1 + eβNt
P (t) =NeβNt
N − 1 + eβNt
N = D(t) + P (t)
(3.13)
O sistema descrito por (3.13) apresenta um modelo epidemiologico adaptado para uma
DTN com TTL infinito, mas tambem representa o primeiro estagio de uma DTN enquanto
nenhum no se tornou Indisponıvel.
31
3.1.2 DTN COM TTL RELATIVO
Com TTL Relativo, nenhum no se torna indisponıvel ate t = TTL. A partir desse
momento, o numero de nos Indisponıveis comeca a crescer, de forma que, quando t =
2TTL, todos os nos que estavam propagando em t = TTL ja se tornaram Indisponıveis,
ou seja, I(2TTL) = P (TTL). Quanto t = 3TTL, os nos que estavam indisponıveis
em t = 2TTL continuam nesse estado, mais todos os que estavam Propagando em t =
2TTL tambem ja estao indisponıveis , ou seja, I(3TTL) = I(2TTL) + P (2TTL). Mas
I(2TTL) = P (TTL), logo, I(3TTL) = P (TTL) + P (2TTL). Se dividirmos o tempo em
janelas de duracao TTL, e chamando essas janelas de estagios da DTN com TTL Relativo,
o processo pode ser analisado conforme os estagios indicados na Tabela 3.1:
Estagio 1 (S1) 0 ≤ t < TTL
Estagio 2 (S2) TTL ≤ t < 2TTL
Estagio 3 (S3) 2TTL ≤ t < 3TTL
......
Estagio k (Sk) (k − 1)TTL ≤ t < kTTL
TAB. 3.1: Estagios da propagacao epidemica com TTL Relativo
A Figura 3.3 mostra a situacao ao final de cada estagio em funcao do estagio anterior.
32
S4
N
D
t
D
P I
P
D
I
P
I
D
D
P
I
I
P
D
S2
I(2TTL)=P(TTL)
TTL 2TTL 3TTL 4TTL 5TTL 6TTL
S3
I(3TTL)=P(2TTL)+I(2TTL)=
P(2TTL)+P(TTL)S4
I(4TTL)=P(3TTL)+I(3TTL)=
P(3TTL)+P(2TTL)+I(2TTL)=
P(3TTL)+P(2TTL)+P(TTL)
S5
I(5TTL)=P(4TTL)+I(4TTL)=
P(4TTL)+P(3TTL)+I(3TTL)=
P(4TTL)+P(3TTL)+P(2TTL)+I(2TTL)=
P(4TTL)+P(3TTL)+P(2TTL)+P(TTL)
S1
IP
S2 S3 S5 S6
FIG. 3.3: D, P e I ao final de cada estagio
Para o Estagio 1, como nenhum no ficou Indisponıvel, isto e, I(t) = 0 para t em
[0, TTL), o modelo e exatamente o mesmo desenvolvido para TTL Absoluto na secao
3.1.1, dado por (3.13).
Para o Estagio 2, como cada no que foi para o estado Propagando no tempo t, vai para
o estado Indisponıvel no tempo t+ TTL, a quantidade de nos Indisponıveis em t+ TTL
e exatamente a mesma quantidade de nos que estavam Propagando no tempo t, ou seja,
para TTL ≤ t < 2TTL, I(t) = P (t − TTL). Reescrevendo-se (3.13) para P (t − TTL),
obtem-se:
I(t) = P (t− TTL) =NeβN(t−TTL)
N − 1 + eβN(t−TTL) (3.14)
De (3.5):
33
1
D× dD
dt= −β
γ× dI
dt(3.15)
Integrando (3.15), e usando a condicao inicial de que, no tempo t = 0, D = N − 1:
D(t) = (N − 1)e−βγI(t) (3.16)
A equacao (3.16) relaciona D(t) e I(t) em qualquer Estagio de uma DTN epidemica.
Aplicando (3.14) em (3.16), e fazendo γβ
= ν obtem-se, para t = TTL:
D(t) = (N − 1)e− NeβN(t−TTL)
ν(N−1+eβN(t−TTL)) (3.17)
Como γ nao e conhecido a priori, e tambem ν por consequencia, para que (3.17) seja
aplicavel, sera necessario obter uma relacao direta entre β e γ.
Mas, para t = TTL, γP (t) = βD(t− TTL)P (t− TTL), ou seja:
γ
β= ν =
D(t− TTL)P (t− TTL)
P (t)(3.18)
Como γ e β sao constantes, ν pode ser calculado fazendo t = TTL em (3.18). Nesse
instante do tempo, tem-se que D(t−TTL) = D(0) = N−1, e que P (t−TTL) = P (0) = 1.
Aplicando esses valores em (3.18):
ν =D(0)P (0)
P (TTL)=
(N − 1)
P (TTL)(3.19)
Usando (3.19) em (3.13):
ν =(N − 1)(N − 1 + eβN×TTL)
NeβN×TTL(3.20)
Assim, o modelo para o Estagio 2 e
D(t) = (N − 1)e−
I(t)ν
I(t) =
(NeβN(t−TTL)
N − 1 + eβN(t−TTL)
)P (t) = N −D(t)− I(t)
(3.21)
34
No Estagio 3, como I(t − TTL) > 0, o total de nos Indisponıveis no tempo t e o
total de nos Propagando no tempo t − TTL mais o total de nos Indisponıveis no tempo
t − TTL, isto e, no Estagio 3, I(t) = P (t − TTL) + I(t − TTL), mas, como t ≥ 2TTL,
TTL ≤ t− TTL < 2TTL, entao I(t− TTL) = P (t− 2TTL).
I(t) =P (t− TTL) + I(t− TTL) = (3.22)
=P (t− TTL) + P (t− 2TTL)
E, para o Estagio 4:
I(t) =P (t− TTL) + I(t− TTL) = (3.23)
=P (t− TTL) + P (t− 2TTL) + P (t− 3TTL)
Generalizando (3.23) para qualquer Estagio S > 1, e observando que, para qualquer
tempo t, S =⌊t+TTLTTL
⌋:
I(t) =S∑s=1
P (t− sTTL) =
=
b t+TTLTTL c∑s=1
P (t− sTTL) (3.24)
E o modelo completo para qualquer Estagio S > 1, ou para t > TTL e
D(t) = (N − 1)e−I(t)ν
I(t) =
b t+TTLTTL c∑s=1
P (t− sTTL)
P (t) = N −D(t)− I(t)
(3.25)
onde ν e dado por (3.18).
Nesse modelo, os resultados de qualquer Estagio S > 1 podem ser calculados a partir
dos resultados dos Estagio anteriores S = 1, 2, · · · , S−1. A Figura 3.4 ilustra essa relacao
de dependencia para um tempo generico, t1, situado em S5.
35
S4
N
D
t
D
I
P
D
TTL 2TTL 3TTL 4TTL 5TTL 6TTL
S1
TTL
t1t1-TTL
TTL
t1-2TTL
TTL
t1-3TTL
I
P
D
S2 S3 S5 S6
S4
I(t1)=P(t1-TTL)+I(t1-TTL)=
P(t1-TTL)+P(t1-2TTL)+I(t1-2TTL)=
P(t1-TTL)+P(t1-2TTL)+P(t1-3TTL)+I(t1-3TTL)=
P(t1-TTL)+P(t1-2TTL)+P(t1-3TTL)+P(t1-4TTL)
I
P
TTL
I
P
D
t1-4TTL
FIG. 3.4: D, P e I em um tempo t1 de S5
3.2 ALGUMAS CARACTERISTICAS IMPORTANTES DAS DTNS EPIDEMICAS
3.2.1 CONDICAO DE EXISTENCIA DA DIFUSAO EPIDEMICA
E muito importante que se determine que condicoes tornarao possıvel a difusao epidemica
de mensagens em uma DTN. Considera-se que uma difusao epidemica acontece se o
numero de nos Propagando aumentar ao longo do tempo, ate que um maximo seja atingido
(que pode ser igual ao numero total de nos N). Dessa forma, a condicao para existencia da
difusao epidemica e que dPdt> 0, ou seja, somente se existirem dois tempos suficientemente
afastados, t1 e t2 tal que t1 < t2 < TTL implicar que P (t2) > P (t1). Assim:
dP
dt= βDP − γP = (βD − γ)P > 0⇒ D
ν> 1 (3.26)
onde ν = γ/β.
36
Mas o numero medio de transmissoes feitas por um no no estado P e βDPγP
= Dν
. Dessa
forma, se Dν< 1 nao acontecera difusao epidemica. Assim, ha um numero mınimo de nos
Nmin que torna a comunicacao epidemica possıvel. Se D = N , nenhuma comunicacao
acontece, porque nenhum no no sistema carrega a mensagem. A comunicacao epidemica
acontece se:
D
ν> 1⇒ D > ν ⇒ Nmin = dγ/βe+ 1, (3.27)
Assim, para DTNs com TTL relativo, o numero de nos deve ser maior ou igual a
dγ/βe+ 1 para que a difusao epidemica seja possıvel.
3.2.2 TEMPOS MEDIOS DE TRANSFERENCIA E INTERVALOS PARA DTNS COM
TTL ABSOLUTO
Baseado em (3.13) e tendo em vista que a kesima transferencia da mensagem acontece
quando D = N − (k + 1), ou seja, para a primeira transferencia, D = N − 2, para a
segunda D = N − 3 e assim por diante, a equacao para o tempo medio tk da kesima
transferencia da mensagem e:
N − (k + 1) =N(N − 1)
N − 1 + eβNtk
N − 1 + eβNtk =N(N − 1)
N − k − 1
eβNtk =N(N − 1)
N − k − 1−N + 1 =
(N − 1)(k + 1)
(N − (k + 1))
Entao, para k = 1, . . . , N − 2, tem-se:
tk =1
βNln
[(N − 1)(k + 1)
(N − (k + 1))
], para k = 1, . . . , N − 2. (3.28)
De (3.28), e fazendo ∆k o kesimo intervalo entre transmissoes, ou seja, ∆k = tk − tk−1,obtem-se:
∆k =1
βN
(ln
[(N − 1)(k + 1)
(N − (k + 1))
]− ln
[(N − 1)(k)
(N − k)
])
37
∆k =1
βNln
[(k + 1)(N − k)
k(N − (k + 1))
], para k = 1, . . . , N − 2. (3.29)
E importante observar em que condicoes (3.28) e (3.29) sao aplicaveis. As equacoes
(3.28) e (3.29) nao podem ser usadas para a ultima transmissao da mensagem, quando
k = N − 1. Tambem e importante observar que (3.29) e simetrica no tempo, em relacao
ao instante de tempo tN2
, quando D = N2
, como sera mostrado em (3.33).
3.2.2.1 LIMITE SUPERIOR PARA O TTL
Empregando-se TTL Absoluto, para maximizar a probabilidade de entrega de uma men-
sagem em uma DTN, mantendo-a na rede pelo menor tempo possıvel, o TTL deve ter
magnitude suficiente para permitir que todos os nos recebam a mensagem antes que o pro-
cesso epidemico termine, mas nao pode ser muito maior do que isso para evitar desperdıcio
de recursos (memoria).
A equacao (3.28) nao pode ser aplicada para determinar esse limite superior para o
TTL, porque ela nao pode ser usada quando D = 0, ou seja, quando todos os nos carregam
a mensagem. Por isso, a simetria observada na equacao (3.29) sera usada para estimar
esse limite.
Expandindo (3.29) para k = a e para k = N − (a + 1), pode ser visto que ∆a =
∆N−(a+1), o que significa que os intervalos de troca de estado sao simetricos em relacao
ao ponto medio, quando D = N2
, ou seja, ∆1 = ∆N−2, ∆2 = ∆N−3 e, generalizando:
∆k = ∆N−(k+1) (3.30)
Esse resultado tambem pode ser confirmado por (3.9) considerando o ponto medio
quando D = N/2. Calculando D′ quando D = N2− k e comparando com quando D =
N2
+ k:
D′ = βD2 − βND = β(D2 −ND)
38
D′∣∣∣∣(N2−k)
= β
[(N
2− k)2
−N(N
2− k)]
=
=β
4
[(N2 − 4Nk + k2
)−(2N2 − 4kn
)]=
= β(−N2 + 4k2) (3.31)
D′∣∣∣∣(N2+k)
= β
[(N
2+ k
)2
−N(N
2+ k
)]=
=β
4
[(N2 + 4Nk + k2
)−(2N2 − 4kn
)]=
= β(−N2 + 4k2) (3.32)
Como as equacoes (3.31) e (3.32) sao iguais, fica provado que:
D′∣∣(N2−k) = D′
∣∣(N2+k)
(3.33)
(3.33) e a expressao determinıstica da simetria obtida em (3.30).
Aplicando (3.28) para o primeiro contato, obtem-se:
t1 =1
βNln
[2(N − 1)
N − 2
](3.34)
Se N for suficientemente grande, (3.34) pode ser reduzido a
t1 =1
βNln 2 ≈ 0, 69
βN(3.35)
A equacao (3.35) se mostrou valida como aproximacao para o tempo medio de primeiro
contato de todos os cenarios simulados nesse trabalho, como pode ser visto nas Figuras
5.2 e 5.3 na pagina 52.
Devido a simetria discutida acima, o tempo total para entrega da mensagem a todos
os nos pode ser calculada como aproximadamente o dobro do tempo para que metade dos
nos recebam a mensagem, ou seja, tN−1 ≈ 2tN2
. Assim, aplicando isto em (3.28):
tN−1 ≈1
βNln
[(N − 1)(N
2+ 1)
(N − (N2
+ 1))
]
39
e
TTL ≥ 2
βNln
[(N − 1)(N + 2)
N − 2
](3.36)
No caso medio, quando TTL > tN−1, todos os nos recebem a mensagem, isto e, para
garantir que a mensagem vai ser entregue, o TTL deve ser maior que tN−1. Portanto,
na pratica, (3.36) pode ser considerado um limite superior para o TTL. Aumentando
o TTL muito acima desse valor ocorre desperdıcio de recursos da rede, porque a men-
sagem permanecera na DTN consumindo memoria de todos os nos mais tempo do que o
necessario.
O calculo do TTL Relativo e mais complexo. Nesse caso, o processo epidemico termina
quando nao ha mais nos propagando a mensagem, ou seja, quando D = 0. Aplicando essa
condicao em (3.25), pode-se concluir que a propagacao termina quando D(t) + I(t) = N .
Assim, o TTL pode ser estimado atraves da solucao da equacao:
(N − 1)e−I(t)ν +
b t+TTLTTL c∑s=1
P (t− sTTL) = N (3.37)
Nessa analise, pode-se observar que o processo epidemico pode terminar sem que todos
os nos recebam a mensagem. Se for importante que todos recebam, e preciso garantir que
I(t) = N para algum tempo t, ou seja, e preciso achar um β e um TTL que facam
b t+TTLTTL c∑s=1
P (t− sTTL) = N
40
3.2.3 RESUMO DOS PRINCIPAIS PARAMETROS E EQUACOES FECHADAS PARA
CADA ESQUEMA
Parametro TTL Absoluto e TTL Relativo(primeiro estagio: t < TTL)
TTL Relativo (a partir do se-gundo estagio: t ≥ TTL)
Modelo geral
D(t) =
N(N − 1)
N − 1 + eβNt
P (t) =NeβNt
N − 1 + eβNt
N = D(t) + P (t)
D(t) = (N − 1)e−I(t)ν
I(t) =
b t+TTLTTL c∑s=1
P (t− sTTL)
P (t) = N −D(t)− I(t)
Numero mınimo deNos (Nmin)
Nmin = dγ/βe+ 1 Nmin = dγ/βe+ 1
Tempo da kesimatransmissao
tk = 1βN
ln[(N−1)(k+1)(N−(k+1))
]para k = 1, . . . , N − 2
TTL ≥ 2βN
ln[(N−1)(N+2)
N−2
]Solucao de (N − 1)e−
I(t)ν +
b t+TTLTTL c∑s=1
P (t− sTTL) = N
Tempo de PrimeiroContato
1βN
ln[2(N−1)N−2
]≈ 0,69
βN1βN
ln[2(N−1)N−2
]≈ 0,69
βN
ν γβ
= (N−1)(N−1+eβN×TTL)NeβN×TTL
γβ
= (N−1)(N−1+eβN×TTL)NeβN×TTL
TAB. 3.2: Principais parametros e equacoes para DTNs Epidemicas com TTL Relativo eTTL Absoluto
41
4 SIMULACOES E COMPARACAO COM RESULTADOS ESPERADOS
A partir do segundo Estagio de uma DTN com TTL Relativo, todos os resultados
sao funcao dos resultados do Estagio Anterior, como visto em (3.25). Como o primeiro
Estagio desse tipo de DTN tem exatamente o mesmo modelo de uma DTN com TTL
Absoluto, basta que o modelo para TTL Absoluto seja confirmado para que os modelos
dos demais estagios sejam tambem validados. Dessa forma, nesse capıtulo, o modelo
proposto pelas equacoes (3.13) e comparado com o resultado obtido pelas simulacoes
com o simulador de DTN The One, (KERANEN, 2009), e outros comportamentos sao
observados e comparados com aqueles previstos pelo modelo.
4.1 PREPARACAO DO AMBIENTE DE TESTES E SIMULACOES
O simulador The One foi o escolhido para a validacao das teorias propostas nesse tra-
balho, porque e um simulador maduro e seus resultados sao bem aceitos pela comunidade
cientıfica. No entanto, a tarefa de configurar e rodar uma simulacao pode, facilmente,
levar algumas horas para cada cenario. Dessa forma, para tornar viavel que grande quan-
tidade de cenarios pudessem ser analisados, tornou-se necessaria a criacao de um ambiente
de testes que possibilitou o processamento automatico de grande quantidade de cenarios
diferentes a partir de um arquivo de definicao bastante simples. Alem disso, tambem
para diminuir o tempo de processamento dos resultados de cada cenario, alguns modulos
do simulador foram modificados com a inclusao de novas classes que tornaram possıvel
fazer simulacoes com uso de TTL Relativo, nao suportado originalmente pelo The One,
e para produzir um relatorio de contatos mais adequado ao pos-processamento. Essas
modificacoes podem ser resumidas da seguinte forma:
• Foi criada uma classe de relatorio em reports/CommunicationStatsReport2.java, que
produz um relatorio de contatos mais adequado ao pos-processamento da simulacao;
• A classe routing/ActiveRouter.java foi modificada para incluir a opcao noRepeate-
dReceive, que controla se um no pode ou nao receber a mesma mensagem mais de
uma vez;
42
• A classe routing/MessageRouter.java foi modificada para incluir a opcao resetTtl,
que e usada para dar ao The One a capacidade de trabalhar com TTL Relativo;
O processo de gerar cenarios, simular, processar os relatorios e gerar as saıdas foi
automatizado com o uso de scripts em Shell e Python, que tornaram possıvel manipular
dezenas de cenarios com centenas de simulacoes com diferentes sementes de numeros
aleatorios cada (diferentes sementes de numeros aleatorios produzem diferentes simulacoes
para o mesmo cenario). Esse ferramental, incluindo a versao modificada do simulador
The One, e os scripts que automatizam a producao das simulacoes estao disponıveis
em http://cabreu.vialink.com.br/mestrado/dtn/simulacoes. Para executa-lo, basta que os
cenarios sejam descritos no arquivo cenarios.txt, e que depois seja executado o comando
./roda.sh, ambos sub-diretorio cabreu, na arvore de diretorios principal do simulador.
Os resultados produzidos, incluindo arquivos de contatos, graficos de analise de cada
simulacao e arquivos de definicao de cada simulacao sao entao gravados no sub-diretorio
cabreu/reports.
Em todas as simulacoes, o valor de β obtido pela simulacao foi comparado com o valor
calculado atraves do metodo desenvolvido por (GROENEVELT, 2005), cuja conclusao foi
que a taxa de contatos β, considerando os padroes de movimento Random Way Point
(RWP) (JOHNSON, 1996) e para uma variante deste, o Random Direction (RD), pode
ser aproximada pela equacao abaixo:
β ≈ 2ωcE[V ]
A(4.1)
Onde:
• ω = parametro do modelo de movimento utilizado;
• c = raio de cobertura de cada no, que deve ser muito menor do que sqrtA;
• E[V ] = valor medio esperado da velocidade relativa entre dois nos, para o RWP,
segundo (NAVIDI, 2004) e dada por:
E[V ] =vmax − vminln(vmaxvmin
) (4.2)
• A = area onde os nos se movem, ou onde acontece a DTN.
43
4.2 CENARIOS TESTADOS E CASO MEDIO
Para validar o modelo, foram criados mais de 100 cenarios diferentes, com diferentes
quantidades de nos, diferentes velocidades, diferentes medidas do terreno e diferentes raios
de cobertura de cada no. Para cada um deles, foram feitas, pelo menos, 100 diferentes
simulacoes (a partir de diferentes sementes de numeros aleatorios no simulador). Para
cada intervalo de tempo foi calculada a media e o desvio padrao de todos os resultados
obtidos nessas simulacoes, a curva obtida pela a sequencia de medias de todos os instantes
de tempo foi considerada o caso medio. Esse caso medio de cada cenario foi usado como
referencia para comparacao com os resultados do modelo.
Formalmente, para cada cenario Ci, de um conjunto de i cenarios, foram feitas Si
simulacoes diferentes, Cik , k = 1, 2, · · · , Si, cada um usando uma semente de numeros
aleatorios diferente. Entao, um intervalo de tempo suficientemente pequeno, ∆t, foi usado
para avaliar o valor da quantidade de nos Disponıveis Dik(t), para os instantes de tempo
t = 0,∆t, 2∆t, 3∆t, · · · , ate o fim de cada simulacao Si, quando D = 0, produzindo a
sequencia Dik(0), Dik(∆t), Dik(2∆t), Dik(3∆t), · · · . Dessa forma, os valores medios de D
para o cenario Ci, Di(0), Di(∆t), Di(2∆t), Di(3∆t), · · · foram obtidos da seguinte forma:
Di(s∆t) =
Si∑k=1
Dik(s∆t)
Sifor s = 0, 1, 2, · · · (4.3)
Assim, a curva do caso medio para o cenario Ci pode ser descrita por todos os pares
{(s∆t, Di(s∆t)), s = 0, 1, 2, · · · }, e o desvio padrao de cada conjunto {Di,k(∆t), k =
0, 1, · · · , Si} foi tambem calculada e usada para avaliar os desvios entre os valores do
modelo e os valores obtidos dos cenarios reais, em relacao aos nos Disponıveis D.
4.3 RESULTADOS OBTIDOS
As simulacoes usaram velocidades vmin,vmax, raio de cobertura, numero de Nos (N), TTL
e com, pelo menos, 100 sementes de numeros aleatorios diferentes cada, todas com o
modelo de movimento RWP. Esse modelo de movimento foi utilizado por ser um dos mais
populares (WYGLINSKI, 2009), e por ser o modelo de referencia de comparacao com
outros modelos de movimento (BAI, 2006). No total, mais de 10.000 simulacoes foram
44
feitas para cerca de 100 cenarios diferentes. Os resultados de cada cenario foram muito
proximos daqueles previstos pelo modelo, na media.
Para ilustrar os resultados, serao usados dois cenarios significativamente diferentes,
SC1 e SC2, definidos na tabela 4.1, que compartilham apenas o formato e o modelo de
movimento usado nas simulacoes. O cenario SC1 e o mesmo usado em (GROENEVELT,
2005), enquanto o cenario SC2 teve varios parametros alterados.
Parametro SC1 SC2
Formato do terreno quadrado quadrado
Medida lateral do terreno 2km 6km
Raio de Cobertura 30m 100m
Modelo de Movimento RWP RWP
Numero de Nos 40 140
Velocidades 4-10km/h 5-50km/h
TAB. 4.1: Definicao dos ambientes simulados SC1 e SC2
As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam a variacao dos nos D ao longo do tempo durante o
processo epidemico de uma mensagem. Pode ser visto que a curva teorica obtida pelo
modelo da equacao (3.13) e muito proxima da curva obtida nas simulacoes a partir da
media dos resultados obtidos em 100 simulacoes diferentes para cada um dos dois cenarios.
O coeficiente de determinacao obtido pelo metodo dos mınimos quadrados, R2 = 0.99561,
indica a boa aproximacao do modelo em relacao a media dos resultados simulados.
45
0
10
20
30
40
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Desvio PadrãoValores Esperados (Modelo)
Tempo (s)
Média dos Resultados
FIG. 4.1: SC1 Nos Disponıveis - Modelo x Media de 100 Simulacoes
0102030405060708090
100110120130140
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Média das SimulaçõesDesvio Padrão
Valores Esperados (Modelo)
Tempo (s)
FIG. 4.2: SC2 Nos Disponıveis - Modelo x Media de 100 Simulacoes
Apesar de as simulacoes apresentarem resultados muito bons quando comparados os
46
valores do caso medio, tanto para SC1, quanto para SC2 e para todos os outros cenarios
estudados, e importante observar que esse comportamento e valido apenas se a comparacao
for feita para o caso medio. Para certos cenarios particulares o afastamento entre os valores
obtidos pela simulacao e os valores do caso medio, ou os resultados do modelo, se mostra
muito grande, como fica evidente pelo desvio padrao indicado nas figuras 4.1 e 4.2. Em
SC1 e SC2, o desvio padrao e maior que o valor esperado depois de 3.000 segundos de
simulacao, para SC1, e depois de 900 segundos, para SC2.
A Figura 4.3 mostra dois exemplos extremos desse afastamento, um muito abaixo do
valor medio, e outro muito acima.
0
10
20
30
40
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Tempo(s)
SC1comseed=90SC1comseed=53
ValoresdoModelo
FIG. 4.3: Nos Disponıveis - Simulacao (seed=53) x Modelo x Simulacao (seed=90)
Com base nas curvas das Figuras 4.1, 4.2 e 4.3, pode-se concluir que o modelo apre-
senta grande precisao quando seus resultados sao comparados com os esperados pelo caso
medio, no entanto, apresenta grandes afastamentos em certos casos particulares. Esses
desvios, evidenciados pelo grande desvio padrao, como sera posteriormente comprovado
no Capıtulo 5, tem grande influencia do tempo inicial necessario para a comunicacao efe-
tivamente se tornar epidemica, porque, em certos casos particulares, o no de origem da
mensagem (o primeiro a recebe-la), demora muito para ter seu primeiro contato com outro
no e entao transmitir a mensagem. Em outros cenarios, o no de origem pode estar muito
47
perto de varios outros nos, e a comunicacao, nesse caso, comeca rapidamente. Durante
essa fase inicial, enquanto ainda nao aconteceu nenhum contato, nao ha comportamento
epidemico, e o resultado obtido afasta-se daquele previsto pelo modelo.
48
5 LIDANDO COM OS AFASTAMENTOS DO MODELO
Os grandes desvios padrao observados em todos os cenarios foram obtidos exclusiva-
mente atraves do processamento dos valores obtidos nas simulacoes para cada intervalo
de tempo determinado. Sendo assim, esses altos desvios padrao podem ser considera-
dos como um efeito intrınseco a propagacao epidemica de mensagens. Esses altos desvios
padrao podem tornar inviavel a utilizacao de modelos matematicos que nao sejam capazes
de fornecer meios para prever e minimizar esses grandes afastamentos relativos ao caso
medio, porque os afastamentos possıveis devem ser levados em conta tanto no projeto
quanto ao se tentar fazer qualquer tipo previsao a respeito do funcionamento de uma
DTN. Alem disso, uma DTN com desvio padrao menor produzira menos desperdıcio de
recursos, porque as mensagens precisarao ficar menos tempo em propagacao ate que seu
processo difusao possa ser considerado terminado.
Pode ser observado nas Figuras 4.1 e 4.2 que o desvio padrao, indicado pela linha verde
e muito grande. Esse comportamento foi observado por (SPYROPOULOS, 2006), mas nao
foi nem observado e nem tratado por outros trabalhos anteriores, como (GROENEVELT,
2005) e (SHARMA, 2007).
Esses trabalhos consideram que o tempo esperado entre encontros pode ser obtido por
simulacao com ajuste das curvas (curve fitting), com base nos valores esperados. Desse
modo, as curvas obtidas sempre coincidem com os valores esperados, pois sao conside-
rados apenas os valores medios nos resultados, e nunca seus afastamentos. Com base
nesse estudo, pode-se concluir que os trabalhos citados produzem modelos que se afastam
bastante do resultado obtido em determinados cenarios.
Em um cenario onde todos os nos tem parametros de movimento imprevisıveis, cada
no i tem sua propria taxa de contatos, βi(t), que nao e constante e que, provavelmente,
e muito difıcil ou inviavel de se prever ao longo do tempo. Enquanto um no pode estar
movendo-se lentamente e longe dos outros (baixa taxa de contatos), outro pode estar
movendo-se rapidamente e proximo de muitos outros nos (alta taxa de contatos). Se o no
de origem da mensagem estiver no primeiro caso (lento e isolado), o processo epidemico
sera atrasado ate que a mensagem seja finalmente transferida para outro no. Ja se o no
de origem estiver no segundo caso (rapido e proximo de outros nos), o processo epidemico
49
comecara rapidamente. Esse problema e mais relevante no inıcio, quando apenas alguns
nos estao propagando a mensagem, e no final, quando apenas alguns nos ainda nao rece-
beram a mensagem.
A Figura 5.1 ilustra o comportamento descrito acima. Assumindo que o no A seja a
origem da mensagem, o processo de comunicacao da DTN sera atrasado ate que o no A
eventualmente encontre outro no e transmita a mensagem para ele. Por outro lado, se o
no B for o no de origem, o processo epidemico comecara rapidamente, com poucos atrasos
na fase inicial. Nesse momento, a probabilidade de encontro e a taxa de contatos do no
A e muito menor do que a do no B.
Simetricamente, se o processo epidemico estiver perto do fim, isto e, se quase todos os
nos ja tiverem recebido a mensagem (ja tiverem sido infectados), a mesma analise pode
ser feita. Se o no A nao tem uma copia da mensagem (ainda nao foi infectado), levara
algum tempo ate que um no infectado o encontre e lhe transmita a mensagem, uma vez
que e assumido que o no A esta se movendo devagar em uma regiao livre de outros nos,
como mostrado na figura. Por outro lado, a probabilidade do no B ser infectado nessa
mesma situacao e muito maior, porque ele esta cercado por outros nos ja infectados.
FIG. 5.1: Cenario Hipotetico
50
Usando argumento similar, pode ser verificado que o processo epidemico e simetrico.
Um sistema com P nos Propagando e D nos Disponıveis tem o mesmo comportamento
que um sistema com D nos Propagando e P nos Disponıveis, em relacao a transmissao de
mensagens.
No inıcio e no fim do um processo de comunicacao de uma DTN epidemica, o efeito
de borda descrito pela Figura 5.1 parece ser mais importante. Nesses pontos, a taxa de
mudanca de D e menor que nos pontos intermediarios, como pode ser visto nos graficos
das Figuras 4.1, 4.2, 4.3. A maior taxa de reducao de D e obtida quando D′ e maximo, ou
seja, quando D′′ = 0, o que pode ser resolvido olhando novamente para a equacao (3.9),
e observando que D′′ = 2βD − βN e fazendo D′′ = 0:
2βD − βN = 0⇒ D =N
2
Assim, a maior velocidade de difusao da mensagem, e obtida quando D = N2
, e a menor
no inıcio e no final do processo epidemico. Observando-se tambem que se o processo for
atrasado por um no de origem lento, todas as transmissoes posteriores serao afetadas.
Aproveitando a potencial simetria observada no processo, uma analise sera feita entre
o tempo de primeiro contato e o tempo do contato medio, quando D = N2
. Todos os
contatos iniciais e medios das diferentes simulacoes feitas para os cenarios SC1 e SC2
(cada uma com uma semente de numeros aleatorios diferentes), foram ordenados usando
o primeiro contato como chave de ordenacao, e foram plotados nas Figuras 5.2 e 5.3, onde
pode ser visto que o tempo de contato medio tem forma parecida com o tempo de primeiro
contato com pequenas variacoes.
A diferenca esperada entre o tempo de primeiro contato (t1) e o tempo do contato
medio (tN2
) pode ser calculada diretamente a partir do modelo usando (3.28):
tN2− t1 =
1
βNln
[(N − 1)(N
2+ 1)
(N − (N2
+ 1))
]− 1
βNln
[2(N − 1)
N − 2
]=
=1
βNln
(N + 2
2(N − 1)(N − 2)
)(5.1)
A diferenca obtida pela equacao (5.1) foi plotada nos dois cenarios nas Figuras 5.2 e 5.3
como “Diferenca Media”. Pode ser observado que os resultados das simulacoes, dados pela
curva “Diferenca entre Contrato Medio e Primeiro” seguem aproximadamente os valores
esperados obtidos pelo modelo.
51
0
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600
4000
4400
4800
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tem
po
Ordem
Primeiro ContatoContato Médio
Diferença entre Contato Médio e PrimeiroDiferença Média
FIG. 5.2: SC1: Primeiro Contato x Contato Medio ordenado por Primeiro Contato
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tem
po
Primeiro ContatoContato Médio
Diferença entre Contato Médio e Primeiro
Diferença Média
Ordem
FIG. 5.3: SC2: Primeiro Contato x Contato Medio ordenado por Primeiro Contato
De fato, a principal conclusao e de que ∆t = tN2− t1 e aproximadamente constante,
com pequenas variacoes que nao afetam o comportamento global dos cenarios estudados.
Esse resultado pode ter importantes implicacoes de ordem pratica, pois ele evidencia que
52
o tempo de primeiro contato tem a maior influencia na operacao global de uma DTN,
como sera mostrado a seguir, na Figura 5.4. Todas as trocas de mensagens subsequentes
sao afetadas pelo tempo de primeiro contato de maneira significativa, o mesmo ocorrendo
com o desempenho geral da DTN, tambem afetada por esses primeiros contatos.
Para avaliar a influencia da variancia do tempo de primeiro contato, t1, na variancia
total do cenario, o tempo inicial da simulacao, ou seja, o ponto onde t = 0 foi atribuıdo
ao momento do primeiro contato em todas as simulacoes de cada cenario. Dessa forma,
o desvio padrao, ou a variancia, devida ao primeiro contato foi “retirada” de todas as
simulacoes e, por consequencia, nao teve influencia nesse novo cenario. A partir daı, foi
repetido o processo descrito na secao 4.2 para gerar o novo caso medio para essa situacao,
sem o primeiro contato, e a variancia obtida foi plotada na Figura 5.4, onde a curva
“Desvio Padrao para N-1” considera o desvio padrao obtido para os contatos depois do
primeiro contato (simulacao com o novo tempo inicial, t = 0, colocado no tempo de
primeiro contato), “Desvio Padrao para N-2” para a origem colocada sob o tempo de
segundo contato e assim por diante. Assim, qualquer possıvel efeito do primeiro contato
foi eliminado, e a variancia resultante passa a ser devida somente ao encontros seguintes,
o mesmo valendo para as curvas N −2 e N −3, onde a influencia dos dois e tres primeiros
contatos foi retirada, respectivamente.
Pode ser observado, pelos resultados das simulacoes, que a variancia do tempo de
primeiro contato e a mais influente na variancia do processo global da DTN. De fato, foi
observado empiricamente em todos os cenarios simulados, que a variancia do tempo do
primeiro contato contribuiu, aproximadamente, com 13
da variancia total. A Figura 5.4
mostra a influencia dos tempos de primeiro, segundo e terceiro contato no desvio padrao
do cenario SC1.
53
0
10
20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Desvio Padrão para NDesvio Padrão para N-1Desvio Padrão para N-2Desvio Padrão para N-3
Tempo (s)
FIG. 5.4: Influencia dos primeiros contatos em SC1
Dada a importancia do tempo de primeiro contato na dinamica da transmissao de
mensagens em uma DTN epidemica, o modelo dado por (3.13) foi reescrito como funcao
do tempo de primeiro contato t1, como se segue. Da equacao (3.34) βN = 1t1
ln(2N−2N−2
),
assim, aplicando esse resultado em (3.13), obtem-se:
D(t) =N(N − 1)
(N − 1) +(2N−2N−2
) tt1
(5.2)
Assumindo que o tempo de primeiro contato e exponencialmente distribuıdo, com
media t1 (GROENEVELT, 2005), e possıvel, a partir de (5.2), se obter um metodo de
Monte Carlo simples para estimar os resultados medios e o desvio padrao sem a necessidade
de recorrer a simulacoes complexas.
Seja τ1, τ2, · · · , τm uma sequencia de m valores aleatorios de uma variavel aleatoria
exponencial de media t1, que sera usada para representar os primeiros contatos de uma
DTN. Para um determinado τk, (5.2) pode ser expressa como:
D(t)k =N(N − 1)
(N − 1) +(2N−2N−2
) t+t1−τkt1
(5.3)
54
A equacao que fornece o numero de nos Disponıveis como funcao do tempo, assumindo
que o primeiro contato ocorreu em τk. Dessa forma, repetindo o processo para todos os
τi, i = 1, 2, · · · ,m, foi possıvel plotar as estimativas para os valores medios e para o desvio
padrao, como pode ser visto nas Figuras 5.5 (para SC1) e 5.6 (para SC2).
0
10
20
30
40
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Média dos ResultadosDesvio Padrão - Modelo
Desvio Padrão - Simulação
Tempo (s)
FIG. 5.5: Resultado do metodo estatıstico para o Desvio Padrao para SC1
0102030405060708090
100110120130140
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Tempo
Média dos ResultadosDesvio Padrão - Modelo
Desvio Padrão - Simulação
FIG. 5.6: Resultado do metodo estatıstico para o Desvio Padrao para SC2
55
Pode ser observado que os valores de variancia obtidos diretamente do modelo (usando
um metodo de Monte Carlo simples) 1, e os obtidos nas simulacoes (usando o simulador
The One), sao muito proximos. Com o metodo de Monte Carlo, foram obtidos resultados
proximos aos obtidos em simulacoes, porem muito mais rapidamente, inclusive para o
desvio padrao, e sem a necessidade de recorrer a simulacoes.
Desse modo, a equacao apresentada em (5.3) mostrou-se uma ferramenta de facil
aplicacao para a previsao do comportamento de uma DTN epidemica com N nos e com
tempo de primeiro contato esperado t1.
Tambem e muito importante que seja possıvel estimar o tempo total necessario para
que uma mensagem seja entregue em uma DTN epidemica. Quando N e suficientemente
grande, N(N − 1) ≈ N2 e 2N−2N−2 ≈ 2, e assim, de (5.2):
D(t) ≈ N2
N + 2tt1
(5.4)
Como o modelo e contınuo, o ultimo no recebe a mensagem em algum instante de
tempo, quando 1 > D(t) > 0. Dessa forma, sera arbitrado que todos os nos recebem a
mensagem quando t = te e D = 1k, 1 > 1
k> 0 em (5.4). Logo:
kN2 = N + 2tet1 ⇒ 2
tet1 = kN2 −N ≈ kN2 ⇒
⇒ tet1
= log2 kN2 ≈ log2 k + 2 log2N ⇒
⇒ te ≈ t1 (log2 k + 2 log2N) (5.5)
Em todas as simulacoes feitas, os melhores resultados para te foram obtidos fazendo-se
k = 2. Dessa forma, (5.5) pode ser reduzida a:
te ≈ t1(1 + 2 log2N) (5.6)
Assim, por exemplo, em uma DTN com 40 nos, o tempo pode ser calculado como
funcao de t1 como te ≈ 11t1. Para 90 nos, te ≈ 12t1, e assim por diante. Esse resultado foi
confirmado em todos os cenarios simulados nesse trabalho. Em SC1 e SC2, por exemplo,
1O programa usado para implementar esse procedimento foi o dvar2.py, que esta disponıvel em
http://cabreu.vialink.com.br/mestrado /dtn/simulacoes
56
os tempos totais aproximados por (5.6), sao 5.006 segundos e 1.484 segundos, respectiva-
mente, que sao identicos aos tempos obtidos nas simulacoes para que todos os nos tenham
recebido as mensagens nesses cenarios.
Observando (5.6), pode-se concluir que o tempo total para entregar uma mensagem e
muito mais sensıvel ao tempo de primeiro contato (proporcional a t1), do que ao numero
de nos (proporcional a log2N). Isso significa que, alem de ter grande influencia no fun-
cionamento global de uma DTN, o primeiro contato tambem tem influencia fundamental
no tempo total para entregar a mensagem (tempo para infectar todos os nos de uma DTN
epidemica).
Com essa analise, pode-se concluir que todas as acoes que anteciparem o primeiro con-
tato trarao melhorias ao processo epidemico como um todo, e reduzirao os afastamentos.
E importante notar que, em uma DTN epidemica, ao contrario do que se busca em estu-
dos de propagacao epidemica de doencas, o objetivo e aumentar a velocidade de difusao
da mensagem (do vırus), visando infectar todos os nos no menor tempo possıvel. Assim,
alguns procedimentos emergem como acoes para reduzir os efeitos de borda, a variancia
e o tempo total de entrega de uma mensagem em uma DTN:
• Comecar o processo da DTN com um no rapido inicial, porque ele encontrara mais
nos em menos tempo, antecipando os primeiros contatos;
• Comecar o processo da DTN com um grupo de k nos Propagando a mensagem,
porque isso e o mesmo que uma DTN depois que k nos recebem a mensagem;
• Comecar o processo da DTN com um grupo de k nos rapidos, pelas mesmas razoes
descritas acima.
Esses procedimentos foram avaliados atraves de simulacoes para verificar sua eficacia.
Primeiro, o cenario SC1 foi simulado com um no inicial rapido, com velocidades de 15, 20
e 30 km/h. A Figura 5.7 mostra o desvio padrao dos tres casos, onde pode ser observado
uma reducao significativa a medida que a velocidade foi aumentada. A reducao total
chegou a 35% no melhor caso, em relacao ao mesmo cenario sem nos rapidos.
57
0
2
4
6
8
10
12
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Nó Inicial a 15 km/hSem Nó Inicial Rápido
Tempo (s)
Nó Inicial a 20 km/hNó Inicial a 30 km/h
FIG. 5.7: Desvio Padrao x Velocidade com 1 no inicial rapido
Na Figura 5.8, a mesma simulacao foi feita com dois nos iniciais rapidos, e o comporta-
mento foi o mesmo, mas foi observada uma reducao de mais de 60% no desvio padrao em
relacao ao desvio padrao do mesmo cenario sem nos rapidos. Esses resultados confirmam
as expectativas a respeito do que deve ser feito para aumentar a performance de uma
DTN epidemica.
0
2
4
6
8
10
12
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Nós D
isponív
eis
(D
)
Sem Nó Inicial RápidoNós Iniciais a 15 km/hNós Iniciais a 20 km/hNós Iniciais a 30 km/h
Tempo (s)
FIG. 5.8: Desvio Padrao x Velocidade com 2 nos iniciais rapidos
58
6 CONCLUSOES E TRABALHOS FUTUROS
Esse trabalho tratou da modelagem e analise de DTNs epidemicas. Como relatado
por (KHABBAZ, 2012), a modelagem analıtica de desempenho de DTN e um dos maiores
desafios nas pesquisas dessa area.
Alguns modelos determinısticos de DTN mais recentes e promissores, sao derivados do
modelo SIR, bem conhecido para modelagem de difusao epidemica de doencas, devido a
similaridade entre a transmissao de mensagens em uma DTN e a difusao de doencas em
populacoes discutida na secao 3.1. Esse trabalho tambem seguiu essa linha de estudo, e
iniciou fazendo uma revisao do modelo SIR, que sofreu adaptacoes necessarias para que
fosse obtido um modelo que melhor representasse o comportamento de uma DTN. Em
seguida, o simulador The One sofreu algumas modificacoes que tornaram possıvel seu
uso em DTNs com TTL Relativo, e tornaram possıvel a construcao de um ambiente de
testes onde grande quantidade de cenarios pudesse ser simulado de maneira automatica.
No Capıtulo 3, o modelo baseado no modelo SIR foi desenvolvido para DTNs com TTL
Absoluto, obtendo resultados semelhantes aos de outros trabalhos relacionados da area, e
foi estendido para DTNs com TTL Relativo, obtendo resultados aparentemente ineditos
para esse tipo de DTN. A partir do Capıtulo 4 algumas solucoes especıficas, conclusoes e
descobertas foram reportadas.
A maior descoberta desse trabalho foi que os modelos baseados no modelo SIR sao
bastante acurados para o caso medio de uma DTN epidemica, descrito na secao 4.2, mas
grandes afastamentos, indicados por grandes desvios padrao, podem ser observados em
alguns casos especıficos. Como mostrado no Capıtulo 4, as simulacoes fornecem um bom
resultado, quando os valores medios sao comparados com os valores esperados, dados pelo
modelo. No entanto, foi mostrado que em certos pontos no tempo durante a simulacao,
os desvios padrao do numero de nos disponıveis podem ser muito diferentes dos valores
medios esperados.
No Capıtulo 5, esses afastamentos foram estudados, e foi observado que eles sao in-
trınsecos a dinamica das DTNs epidemicas, devido a sua grande dependencia dos tempos
de primeiro contato. O modelo entao foi re-escrito em funcao do tempo de primeiro
contato, o que permitiu que um metodo de Monte Carlo simples fosse proposto para com-
59
putar os desvios padrao sem que seja necessario recorrer a simulacoes de cenarios de DTN
complexos. Essa abordagem produziu resultados muito bons, e se mostrou uma excelente
solucao para se obter o desvio padrao dos nos Disponıveis em funcao do tempo, sem que
seja necessario se recorrer a simulacoes. Essa abordagem tambem produziu uma equacao
simples que relacionou o tempo total de propagacao de uma DTN com TTL Absoluto,
com o tempo de primeiro contato e com o numero total de nos da rede, e tornou pos-
sıvel, a partir dessa relacao, se propor maneiras mais eficazes para minimizar os efeitos
dos afastamentos e de acelerar o processo epidemico. Estes processos foram testados e
validados por simulacoes que confirmaram as expectativas. Este resultado tem impacto
importante em cenarios praticos, porque ajuda a escolher, se possıvel, o melhor no, ou
nos, que devem receber a mensagem primeiro.
Este trabalho foi baseado em algumas restricoes, sendo que a mais importante e que o
numero de nos N deve ser suficientemente grande para permitir que a dinamica de uma
DTN possa ser aproximada pelo comportamento de uma epidemia de doenca atraves de
um modelo contınuo de equacoes diferenciais. No caso de uma DTN com poucos nos,
outro modelo deve ser aplicado, possivelmente um modelo Markoviano.
Os resultados desse trabalho geram oportunidade para o desenvolvimento futuro de
varios estudos, a saber:
• Aplicacao e validacao do modelo em outros cenarios e para outros modelos de movi-
mento;
• Tratamento do tempo necessario para que as mensagens sejam transferidas de um
no para o outro durante um contato;
• Modelagem matematica para a reducao no tempo de propagacao da mensagem com
o inıcio da DTN com um ou mais nos rapidos;
• Determinacao dos limites otimos de aumento de velocidade dos primeiros nos rapi-
dos;
• Tratar a perda de nos (por exaustao da bateria, por exemplo), e a agregacao de
novos nos durante o processo;
• Desenvolvimento de modelo discreto para aplicacao em DTNs epidemicas com poucos
nos;
60
• Criacao de modelo para propagacao simultanea de varias mensagens diferentes na
DTN;
• Estender o modelo para cenarios mais praticos, onde problemas de propagacao de
sinal, cobertura de Radio Frequencia e multipath, dentre outros, sejam considerados,
assim como o consumo de memoria e energia.
61
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