Frequency-based transit assignment considering seat capacities
Modelling seat congestion in transit assignment
-
Upload
khangminh22 -
Category
Documents
-
view
5 -
download
0
Transcript of Modelling seat congestion in transit assignment
HAL Id: hal-00348409https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00348409
Preprint submitted on 18 Dec 2008
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.
Modelling seat congestion in transit assignmentFabien Leurent
To cite this version:
Fabien Leurent. Modelling seat congestion in transit assignment. 2008. �hal-00348409�
�������������� ��������� � �������������
� � ��������������������� ������!�����
�"�#��$������#���������������%&���'����������������##������#��'���������
()���*#+���$���#��%��'�,��"������%&� �����������--.//������#����##'��%'��0������*$%��
��#�1��2�(��.�((��(�((3���0�1��2�(��.�(/��(�.�3�� ��#�+�����3#����4���"3+��
Modelling seat congestion in transit assignment
Abstract
������5����������5� �6��������"����7������������+������������������#���5����������"��
���"� +��� "������8��&���������#� ��+#��"����� ���� "&��"����� �&�� ����������8�63��&��
��������������� ���#� +�������"��5�������� +� ���� ���������������"���"��9�� ����#�
��&����� ���� �����9� #���� �� ����� �##�"������ ��"���� ��� ���"������ ��#���5� ��� �&��
��������+�����"�� �����+�����������#�5�� �6��5��&��#�5�"���������� ������#�3�
*���&��#����#���#�� #�����#5���& ��+��+#�8�#�����5�����#�5�"�����5�������������8&�"&�
��� �++�"����3� *�� �&�� ���8�6� #���#�� �� &9�����&� +� #������ ��� �������� +�� ���#97
�� ���� �:�#��� �� 8��&� ���&7���������� ��5 ���� "����� ����5� ���� �#5���& � ���� ��
�����9��+��0�����"�3�;������&�8���&��� #���#���:�#����� �9�����3�
����#� �0��������� �9� �����5� ���"� +��� +�"������� ������ ��++������������ �� ���"����
"&��"�����"� �����������+��5�����5��������� �5&�����"����:�����3�
Keywords
������� ����5� ���3� ����� "&��"�3� ������5� ��&����3� ������� "���"��93� %���"��9�
�������������5� ���3������9�#��3�������#5���& �3�$��8�6��:�#��� 3�
1. Introduction
��� �������
%��5�������� ��5��� ����� �����#�"� �������� ��� ��� � ������� ����� ��� ����"���+����&�
�&�� #���� "���"��9� ���� �&�� :�#��9� �+� ����"��� ��� ��� ������� ���� �##������� ��� �&�� �������
%���"��9�����<�#��9��+�����"������#�1��=������23�
;���9�� �"� ���#���+������������5� �������#9�����"��5��������++�"��&�������� ���##���
���+����&����+��������;��>������?��#��������5��&��������5��+#�8�������9��""����������
������������#������&���8�������������9����5�����@��5�1()))2�����$59���������1���(23�
A�8�������������"�����8��� �������8����������5������������53�
?��#9����5&���&���&��������� ���"�������������� ���#�"��5�����������&��"����0��
�+� �����"� ������� ����5� ���� �&��� ��� �&��� �+� �9�� �"� ������� ����5� ���3� %������ ��� ���
1����2� "#����+���� �&�� �����"� "��5������� ���#�� ��� �8�� "���5����� �&��� �9� ��� "�##���
��5 ����"��5����������������"��5��������"��5������������#������5 ������� ���##����9�
����"�����5� �� ���"� +��� +�"����� 8��&� ��"&� ��5 ���� �+� �� ������� #���� 1������� ����
�#������()!)2B�8&�����"��5�������������������� ���##����9�#��6��5��&��#����+�:��"9�
����&��+#�8��������5���#�5&���5���5���5��&�5&������5�������������������������"�����5�
8�9������,��%��������������C�1())�2�����%� �����������%����1���(23�*#��������#9��
��"����� ���� $59��� 1())!2� �55������ ��� #� ��� �&�� ������5� +#�8� ��� �&�� "���"��9�
����#��#�� ��� �&��� ����B� �&��� #���� 8��� "�������� �9� �&� � ���� ��� ��� 1���/2� 8&��
"����������&��������#��9��+��""�����5��&�������������"�������"&�����3�
D������"������������&�����������������&��������+�5�����5���������8&�"&� �9����"�##���
�����"��5����������� ������+���������"���5�9� ���� ����9����8������5 ����"��5�������
���������"��5����������"������&����5 ����#���#��������5����������5� �6��������"���������
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���E�-� (!E(�E���!�
+���&���������#���5������������"��"����B�8&������&��������+����������#���#��9���������
����&�������#���#3�
�� �� �������
�&�� ����� &��� �� "��� ��F�"����� ���� �� "� ������� ��F�"����3� �&�� "��� ��F�"����� ��� ���
������� �� ����"� ���#� ��� �&�� #���� #���#� +�� ����� "��5�������� ��� 8&�"&� ����� "���"��9��
"� +��������������"������������5���&��������������9�#������"�������������0�#�"���
8�93��&��"��� ���#�������������������#��������8���������+������&�����#� ��+�#����#�5�
"�����5�9��#����&������5��"�����9��������#�5���3�3��9�#������"�����+� ��""��������5����
�������B���"������&�����#� ��+�#����+#�8�#�����5�"���������������5���5��&���""���7�5����
���� ���0�����&����&�"#��������&�������3��&��#����#�5�"�����5����#� �� ����������"���7
+#�8��#������&�������&��#����#���#��8&������&��#����+#�8�#�����5����#� ��������"�##9����
����5� ������7 ���#3�
�&�� "� ������� ��F�"����� ��� ��� � ���� �&�� #���� ���#� ��� �&�� +� �8�6� �+� ��++�"�
����5� �������������������8�6���&���������5��"� +���"��������6��������"������������
��� ���� "&��"�3� �����"� ����5� ���� ��� ��������� ��� ���� ��� �� �������� �&��� �&�� #����
���� �����������������+���8��&��&�����#� ��+�"� ���#����3�
��� �����������
;�� �&�� #���� ���#� +�� ����� "��5�������� �&�� �����"&� ��� ��� ������+9� �&�� �����#� �����
"���"��9� ��� ��9� ���5�� �#��5� �&�� #����� ���� ��� �&��� ��� � ��5��� �������5� ����� ����
�����9�#��3��8�������9�#��������� �������&������"�"�����+������&����������5������
8��&��� ��#���#��+������9�&�����:�#�"&��"���+�5�����5�����"��������B�������"������&���
�������5�������5���5���5� �&�5&��� ��������������������""���� �����"�������������� ���
�����������5���� �&��� ����3��&�� �8�������9� #��� ���"�� �&��������#��9� ��� ���� ���&��
+� ��&�����������5 ���������������5������9��""���������5 ������#��5��&���������
#�5�1���������"����2���������#��9���#���+����"&�G����"�� ���H� �������+�����:��"��
�+�����5 ���������������5�+�##�8����9� � − ���5 ��������������5������#�5��+����5 ����3�
*���&��#�5�#���#�� �&������"�� ����������������������� �8&������� �8�9�1������#��
(2������9��#����� ���� �#�5�"�����8��&������������"&��"���C����9����&� �&����5 ���7
������"����������&������"�� ����������#�����3�����&��#�5������&��#�5�5����#�C���"�������
�� ���� ������#�� �&��� ��� �� +� � �&�� "���� �+� �&�� ����"�� ����8&�"&� ��� ��������� ���
���� 3�
�++�"����� G#�����#5���& �H������������ ��� "� ���� �&�� +#�8� #�����5��9� ��5 ���� ����
��������&��������������+��&������"�� ����������#����������"��������8�##������������ �#��
���� ��� �++�"����� 8�9�� �&�� ���� ���� �����"�� �+� �&�� #�5� "���3� �&�� �#5���& �� ���
����"������8��&� ��&� ���"�#�+�"�������&���#��6������"����#9��
• �&��������5�������#������+� ���7����������������5��9����������#��5��&��#���������&��+#�8���9������+����97�0��������3�
• �&��#����+#�8���9���5 �������������������&��+#�8���9������+����97�0��������3�
• �&������"�� ����������#�����������&��������5�������#�����3�
• �&������"�� ����"������������&��&��"������9���5 ��������������������&��������5�������#�����3�
• �&�� �������������"���+�#�5�"�����������&��&��"������9���5 ��������������������&��������5�������#�����3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���E�-� (!E(�E���!�
�&���� +�"������ +�� #�����5� �� "�����5� �9� ��� ��"#���� ����� �� �"��"���"� �������
����5� ���� ���#�������"����9�� �"3�
�&����"#������+��&��#���� ���#�����������8�6���++�"�����5� ���� ���#�8��&�"� ���
#������������������&���������+����&������ �#������������ �#������5����1&9�����&�2��
���8�6�������#��5��&��+�##�8��5��������
7 �&����������������+����������#��������� ���+����8�6������������"�3�
7 �&��#�5�"�����5����#� ������#��������������8�6�"�����5��9�����7������������
����� �&�� ���8�6� ������������� �+� �&�� #���� ����#��� ���� ��� ��+� � ���8�6�
"�����5� ��� �� ���+� �"������������� ��� ��� �&������ �#� �����59� ���#��+��������
�����#�����1()!)23�
7 �&���� �����#����������8�6�#�����5�+� ��##���5���������5�������������������&��
������5� ������#������ ��� ���� ������ ��� �&��� ���5��� ��� �&��� "������� ��� �&�� #����
"&��"��������#����������������+�#����"&��"�3�
7 �&�� �++�"��� �+� ������5�� "��5������� ���� "� +��� ��� ���� "&��"�� ���"�� ���
�:�#��� � ���#� �� �&��� ��� "���� ����� �� ���������#� ���:�#��9� ���#� � �+� �&��
&9�����&�6�����������$59���������##������1()!!23� ���� �#����� ����������
�:�#��� �����������&�8������0���3�
7 *� �������� ��&��� �+� �""������� ����5��� ��� �������� +�� ��#����3� *� �� �#��
��&��������������������#�����&����#��9�5���������� �#�� �������&��9��#���5�
���5����"�������+��"����5��"�3�
7 ;�� 5����#� ��:������ ����� ���� &�#�B� �&��� ��� �&�8�� ��� �&�� ������ �+� �� "�+����
������"�3�
��� ��������������
�&�����9��+��&�����������5���C����������0���"�����3���"���������������&��"��� ���#��+�
��#�����8��&���� ����������"� +���������������#���&��������������9�#��B��&����&��
����"�� ����� ��� ��+����� ���� �&�� #�5� "���� ����� ��� ��������3� ��"����� �� ��������
�++�"����� #�����#5���& �� ��� ������� ����"����#9�� �&�� ������5� ������#������ ��� #���� �������
�&�� ����"�� ����������#������ ����"������ ���8�##� ��� �&�� �������������"���+� �&�� #�5�
"���B����&����0� �#������������������ ��"�#��##�������3�
;����"�����.���&��#���� ���#��������5���������������8�6�����5� ���� ���#����"&�#�������
���������� �9� ��� ��9� ���8�6� �"�� ��� �&��� ��� #�5�� �#��5� �&�� #���3� �&�� "���7+#�8�
�#������&��������+�����+��������&���"�#���#�+�����7��������"����&�������&����5 ����#���#�
�#��5� �&�� ������� #����� +�� �&�� ��5 ����"������+� ������5����� �������5�� #���#9� ��� �&�� #����
#���#�+���&���������#�5�3�
�&�� ��&� ���"�#����#9�����+���++�"��:�#��� �����&��������� ���#�8��&������"� +���
�����������������"�����/3��&��+� #��+��&9�����&�"��������������������"#����&��#�5�
"����>� �����&��8���� �&��"���7+#�8� �#������&������ �&�����8�6� #���#3��&��� �&�� ��++�"�
�:�#��� �� ������� ��� �&�� ��#����� �+� �� ���#����� "� �#� ������9� ���#� �� ���
"&��"���C��� ��� �&�� ��#����� ��� �� ���������#� ���:�#��9� ���#� 3� ���� �#��
��� ������� ��� ��� �&�8�� �&��� ��� �:�#��� � ������ ��� �0���3� �&�� �� �#�� ��&��� ���
���#��������#��9�5����������������+���������5��&�� ��&����+��""�����������5��3�
;�� ��"����� �� �� "#����� � �0� �#�� ����#���5� ����� "��5������� ���� ���&� "&��"�� ���
������������� ��"�#��##��������������#�������� ���������&��� #���#���:�#����� �9�
����3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��.E�-� (!E(�E���!�
����#9�� ��"�����-�"��"#��������������� �����������#�����#�� ������������"������+� ���
"� +���������B�����"��������+������"� +���+�"����������"&�"� +��������B���"#������+�
G�����"����H�"�������"�����+��++������5���������B���"#������+�"������&���������#�����
8��&� ����"�� ��� � ��� �+� ��5 ����� ��� #�5� �� ��� #�5� ����#� �� �B� ������ ��++�����������
� ��5����B�#���#9�����"����"&��"�����"� �����+��"� +�����������8&�"&�8�#������#��
������� ���#���&�5&���&���+��#��5�#�5���&���+���&���#�5�3�
2. The line model: assumptions and basic notions
A��� �&�� +�"�� ��� ��� �� 5����� ������� #���3�$�� ��&�� ���8�6� ����� ��� "��������� �� ���
��"�����.3�
?� ���##��5���� �����������������"� +���������������&���"����1����"������3(2������
�#��� ����#���&����� ���������9� #��� �"�������� 1����"������3�23��&�9� #������ ���
��+�����&����������+�������"�� ����1����"������3�2��8&�"&������8�9���������#����G#�5H�
+� ��""����������������5�����������3�*���&������"� �����+���&�������#������"���"��9��
�&��� ��� ���� ����� ��� 5�����5� �� ������ 8&�"&� �6��� �&�� #�5� "���� �� ���� � �����#��
1����"������3.23����� �����&���������+��&��#���� ���#�"����������������5�������#������
����#�5�"����3�
�� �������������������������
;������#�"�������������"������+�:���#9��""���&��������#�"���5������+��#�"���8��&�
������"��������������������������&�����3�;��������������9������� �� ������������
�&��������"��������8����������5������������5��������"#�#9���5��+�"���������������������
#������"��������"����9��&����&�"#�I���""�#�������������"�#������������9��&���#���������
"���� ��� �&����&�"#�I�� ��F�"��9B�&�� �9� �������&��� ����#� �� �� �������"� �#� ����9�
�"�����9��"&���������5��#�������5���� ��"���#�0��5���8�6��5B� �������&����� "&�
#������ ���������"�8���53�
�� � ����������� �+� ��++�"� ��� ��#�"� �������� ��� ������� �&��� ����� +���� �&�� ������5�
������ ���� �&�� �������5� ������ ��� �� #�5�� �0������ 8&��� �� "�8���� ��&�"#�� ������ ��� ��
��������� �&���� ����� �&��� ������ ���� ���9� ��7����� �9� ��� 5��� �� ����� 5����� �8�9� �9� ���
��5���5�������5�3�*���&��������#����������+���"�8���� ����#������� ��������+�����
8���� +�� �&�� ��0�� ��&�"#�� ��� ������ ��&�� �&��� ��� �����8&��� �&��� ��� ��� ��"���� ����3�
��&� ��������� ����5��7���������������������"����9��#��������� ����#������ ��9�
������5�����+���������&��#����8��&�#����"��5��������������+��&������#��� �����&�5&�3�
������ ��� �� �&�������� ������� #���� ��5 ���� +� ��� �������� ��� �&����0��� �&������ �8��
����5� ��������� �#9� ������5����� �������5��8��&�����"������"����� �&��� �+#�"�� �&�����I�
��+���"�����&����������3�
���� �� ������� �� #���� ��5 ����� �� � ���� ���"� +��� "���� ��� �� ���� ��� ������5�� ���� �� � ����
���"� +���"�����������������������5���&������"���� ����������&��� �� �� ≤ �8&�������&��
��++�"�#���3�
� ������������������������!�����
;�������� ����&������9����������"���7 ��� �C��5���������#���"�����7 �6���������5����
��"��&��� ����#� "���3��&����� ����8&�� ��� �������5� ����� ���5��� �� ����� ��� ������������
��"� �������#��#�3�*���&��������#� ������ ����+�����#��#�����������9�κ�+��"���"��9��
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��/E�-� (!E(�E���!�
�����#������ ����� �+� ����� �&���8�#�� #�6�� ��� ����� ��� �9���� �&��"����8&��� �<κ ��
�����5��&���"���"��9����#�����&����� ���3�
;���&���"������#9������������ �Eκ ��+������ �9����3��&��������+�8&�"&������8�#��
5���������� ������������&��� ������� �#��8�9����� ��5� �&����##��+� �&� �&��������:�#�
������#��9� ��� ����� �3�3� ��5#�"���5� �&�� ��������#� ��������� �+� �5�� ���� �&9��"�#� �������
��5�����7��7������#�������5��������������"3�
�&���� �����8&�"&���������"� ������#��#������"� ����������""������ ���������������5�
������&������9���������&��������������5�������&����"� ��5�������8&�"&���� ���##����9� ��� ��5� �8�� �""������� "� ����������� �&�� +���� ���� � ��5� G�&�5&H� ������ �&��
��&������� ��5���"� ��5�����3�
�&��� ���������"� ���#��+������"��5�������� �8�������9� #��������� ���� +����� �&���
�������5������8��&��� ��#���#��+������9�&�����:�#�"&��"���+�5�����5�����"��������B�
������"������&����������5�������5���5���5��&�5&�����������������������""���������"����
������������������������5�����&�������3�
�� ��������������������������
?����G#�5H� +� �����""���� �������� �������5���� ���������#��5��� ������� #����� �&����� ���
������������"�����������"#��8�9����������5����8&�"&�"� +����������&��5���������"&�
#������5 ��������&��#�53�
��������+������G����"�� ���H�����&����:��"���+���5 ����"� +�����������#��5��&��#�53�
;�� �� #�5� ���� �� �+��� ��5 ������ �+� �&��� ��� �8�� "� +��� ������� ����"������ ��� ��"&�
��5 ������&���"�#�������� "&���� �� �����"�� ���������"����������&��#�5��������+�"��
�&�� ���I� ��&����� ��"��� �&�� � ��� �+� �#��������� ����"�� ����� ��� (+� �� �+���
5�����5������������������� �����������#�����������#�����#����&����5�����������3�
�&��������"�� �������+##9����"������9��&���������� �� + ����8&�"&��&�����5������������
8��&� ����0� J33��(K�� ��∈ �� �9� "����������� 5�����5� �� ����� ��� �0����5� ��� �� + � �����
�������5��##������&��#�53�
�&��"�����+�����"�� ������+� ��""������������������5������������ ��� += �����
� LMLM(
2(�1(
2(�1 ��−
+= +≈−+
= +≈ += �
��� �����
�� ������ ��� � 1(2�
�� "�����������������������
�&�������������+���5���������"�� ����������������������#�#9�����&��������"����&���
��+���"�� ��� ��� ������5� ��&�� �&��� ��� ������ �9� 5��� ����� "� ��������� 8��&� ��&��I�
��+���"���� ��#���5� ��� �� "�##�"����� �##�"������ ��"���� �+� ������ ��&�� �&��� ��� ���
��������#�"&��"���+�������"�� ���3�
�� � �&�� ���##��5� ��� ������� ��� ����#� ��&����� ���� �����9� #���� �&�� �����
�##�"������ ��"���� ��� ��"&� ��������"��� ��� � ��C��� �9� �8�� ������5� ������#������� �&��
+����������9� ��� �+���&�5&������������&����&��������9�
+�� �+����"� ��5�����3�A���
�&�� ������5� ������#������ ��� ��6��� ��� �0�5������ ��� ��� ��� ������ �&�� ����������� �+�
����"�� ���������"����3�
�&��������#��9��+�6�����5��������5�+� ������ �� + ����
� L2(1M32(1(
(� ∏−
= ++
+ −−=π �
�
����
���� �� � 1��2�
�&��������#��9��+�������5������������ �� + �����
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���E�-� (!E(�E���!�
� ++ =π ���� ��� �+�� �=� � 1��2�
� ���
�
�
����
���� ��� +
−= +
++ ∏ −−=π 3L2(1M32(1
(
(� �+�� J(33��(K −∈ �� � 1�"2�
�&��������#������ ���
��� 33�� 21 =+π ��������"������8��&��&������"�� ������������"�����&��
���� ���"�����+�5�����5�������"�� ���3�����"�� ������&���������#��9� ���� +π � ��������
���1�2�����"���� ����� +� �����������1(23�
�&�������&������&��#�5�"������������� ������#�� ���� +� ����������5����8&�"&�����"��
���������������3��&�� ����#�5�"��������
� � = ++++ π=≡ �
��
����
��������� ��� � ���� 3L�M�
� 1��2�
�&�������"���+��&��#�5�"��������
� � = +++++ −π=≡ �
� ����
����
��������� ���� ��
����� 213L��M�
� 1��2�
�&��"���������"�� �9������6���������""��������&��5����#�C���"�����+�����#��#��5��&��
#�53� A�8����� ��� �&�� ��:�#� �+� �&�� ����� �&�� +�"�� ��� ��� ���� "���� ��#9�� ���"�� "����
������#��9� ���&9�����&�����5� ���� ���##� �6����������� �����8&�"&��������� ���"�+�"�
����"&��++���3�
3. Statement of line problems and algorithms
A����5� �������� �&�� ��� ������� ���� ������� �&�� +� #��� +�� �&�� �F�� �����
�����#�������&��#���� ���#��#�������8���������++�"������#5���& �������#����&��+� #���
>� ���� ��� ��� ��"#���� ��� ����5� ���� ��"����3� �&�� �#5���& �� &���� ��� �#�
"� �#�0��9� 8��&� ����"�� ��� �&�� � ��� �+� ������"�� �����#��� �&��� ��� �������B� �&���
�++�"���"9�����"&�������&�5&�����"&��:���+��0�#��9������#�3�
�&����"�������� ���������+�##�8���+������� �#��+� #�����������#��&���+���&��������5�
������#�������#��5��&���������#����1����"������3(23��&������#����+#�8�#�����5��#5���& �
����������� ��� #��������""���7�5���� ���� ���0������ �&�� #�����""����5� ��� �&�������9�
#��� ���� 9��#�� �##� ������5� ��������B� #�����5� � ������� �&�� � ��� �+� ������ �#��5� �&��
������� #����� �&���#5���& �&���"� �#�0��9� N21 � � &��"�� ��� ��� �++�"����� 1����"������3�23�
$�0��� �"����� +� #������ �����#��&��� +�� �&�� ����"�� ���� ������#������ ����"������
�&��� ���#�"������ �6��� ��� �++�"����� �#5���& ��+� "� �#�0��9� 21 � � � 1����"����� �3�23�
����#9����#����"�����5��#5���& ���������������"� �����&�� �������������"���+��&��#�5�
"������#��5��&��#�����9��#���5�����"���"� ��������#�"� �#�0��9� N21 � �8&�"&� �6���
����++�"�����+��������"���������1����"������3.23�
��� ����������������������
?�� �&�� #���� ��5 ��������� ��+� �������� ��� #��������"���� �&�� #���� ��++�"��9� �8�� +#�8�
��"���� ����0��� �9� �5���� �������� ��� �� � 1���3� �� 2� ��� �&�� � ��� �+� ������5� 1���3�
�������52������8��&��5��������3������#��� � ≥≥ = �� �� �� ����� � ≥≥ = �� �� �� 3�
�&�������������5������������"������9���+#�8���"��� ����� � >= LM ��# 3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��-E�-� (!E(�E���!�
���� −−κ (� � ��� �&�� �����#� ����� "���"��9� +� � �&�� ������� ��������� �+� �≠≥�� � �&���
�( =κ−−� 3� ���9� ������5� ���� 8&�� �0���� ��� �� �#������ �&��� ������ 8&�"&� ��"������ �&��
�����#������"���"��9�����
� ���� �+κ=κ −
−( � 1.�2�
�&��� "���"��9� �9� ��� ���� �9� �&�� �������5� �����8&�� "������� �+��� ��� ��� � ��� �+�
� >= �� ��� �� 3��&���������#��9��������� ���������
� JE�(K �� ��
��
�� �� κ= � 1.�2�
*+����&���������#�������5���&�������#�"���"��9������"����������
� ��
��
��� �� 3−κ=κ+ � 1."2�
;�� ��� ����#��#�� ��� �&�� ��"� ��5� ����� ��� � ��� �+� � >+ = �� ��� �� � �� 8&�� ���� 8��&� �&��
+�##�8��5�������#��9��
� JE�(K �� +++ κ= ��� �� � 1.�2�
*+����&���������#�������5���&�������#�"���"��9������"����������
� +++− −κ=κ ���� �� 3 � 1.�2�
�&�� +� #��� 1.�7�2� ����#�� ���� ��� ������ �&�� �����#� "���"������ ���� �&�� ������5�
������#�����������5��������������+����������&���&�5&�����"� ��5�����+�"�������+��&��
��"���� �+� ������5� ���� �������5� +#�8�� 8��&� ����"�� ��� �5���� �������� ���� �&�� �""���7
�5�������� ���03�
�� "������$��������������������������
�&�� ���� ���$ ������� �������� ��� ��� ����5�� �� #���� �""���7�5���� ���� ���0� ��� �&��
������5������������5���������#��5��&��#������5 ����3��&��������"�����������"�##9�����&��
������5�������#�������9�����������������������9������B��&��#��6�+#�8���9�"� +���������
�����0�����������"����#�������������3�
*� ��#����� ��&��� +�� �&�� #���� #�����5� ���#� �&��� ����� �������� ������ +�� �� 5�����
��������� �&�� #���� #�����5� �#5���& � "�������� ��� ���#9��5� �&��� ��&��� ��� ���9� ��������
�#��5��&��#�����������+� ��&��������#�������������&��+���#����3�*�����+� ����#9��5�1.2��
�&�� ��������������� ���������&����"���� � ����� � ��+�������5������������5�+#�8�������"&�
���5���#��5��&��#���3�
�&�� ���� ������� ���������� ��������� �� #���� � �8��&� � � ��������� ���� ����� "���"��9�κ3�
;���������#����#�����"#����&���""���7�5�������� ���0� ��
∈< ����� LM 3��&������������#���
����"�##9�"�����������&��������5�������#������ �∈+��� LM ����� �∈�
��� LM B���&����+� �������"&�
��� ��5 ���� +#�8��9� "� +��� ������ ���� �5���� �������� �9� ��� ��������� ���3�@�6��5�
�����#����#�����"#����&�� � ����� � �+#�8���"������5��&��8��&��&���� �� � ����� � �����
���������������"&����5�3�
�&���#5���& ����"� �������+��&��+�##�8��5��������
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��!E�-� (!E(�E���!�
������������3����� ��=� B�#��� ��=�� ����� ��=�� � �∈∀� B�#��� ��=� ����� ��=� 3�
��������������3�;+� �� = ��&����� �������#���#��� (� += �� �����"������3�
����������3�*�������������
7�#���+���� ��� �� +−κ=κ � B��&��� �
�� ��� −=� ������ JE�(K ��� �
���
�� �� κ= 3�
7�#��� ����� ���� 3� += ����� �
��� ��� 32(1� −= � �� >∀ 3�
7�#��� ��
��� ����� 3� +−= ����� �
��� ��� 32(1� −= 3�
7�#��� ��
��
��� �� 3� −κ=κ+ ���&��� � >
+ = �� ��� �� �� ����� JE(�K ��� +++ κ= ��� �� 3�
7�#��� ������ ���� 3� ++= ����� �
����� ���� 32(1� +−+= � �� >∀ 3�
7�#��� +++= �� ���� 3� ����� ++−+= �� ���� 32(1� 3�
7�O�������������������3�
�&��� �#5���& � �5&�� ��� ���� #����� �� �8&��� +�&�3� ;�� ���� "���� +� �� �&��
���� ���� �+� �� "���� �������� �:���� �� � ��� �+� ���������� ���������#� ��� � −� ��
8&�"&����"�����"� ��������#�"� �#�0��9��+� 21 ��� �7������##� ������� ���+���9��"�#�
�������#����3��&��"� �#�0��9���� ��� �#�8��&�����"������&��� ����+�������"�������#���
�&��� "��� ��� ��������� ���"�� �&��� ��� 21 ��� � #��6� +#�8�� �9� "� +��� ������ ���� �5����
�������3�
��5��(�����"����&��"� +�����������#��5����������#��������������������� �9��""�+����
����+� ��������5���� (−� �������&��������5������8��&�������#��9� ��� ����������5������8��&�
������#��9� ���−( ���� +� ���"� ��5���� �� ������&��������5���� ��8��&�������#��9� +
�� ���
�������5������8��&�������#��9� +− ��( 3�
�
�������������� ��� ����� �� ����������
%������� �3� ��5�� �� ����"��� �� ������� #���� 8��&� .� ��������� ���� �&�� +�##�8��5� �""���7
�5��������+#�8���
• *�� (=� � �&��� ��� (��( =+� � ����� ������5�� � ��5� 8&� � /�(� =� � ��������� ���
����������� ��(� =� ��������������������������� .�(. =� ���������������������.3�
• *�� �=� ��&������ )�� =+� ������������5��� ��5�8&� � ���� =� ����� ���. =� 3�
• *�� �=� ��&������ �.� /� �� ==+ �������5�����3�
����������"���"��9��+� (��=κ ���&��#����#�����5��#5���& �9��#����&��+�##�8��5���#����
�����������
����������
��� ��
������
������������������ 7(
+��
+− ��(
���
���−(
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��)E�-� (!E(�E���!�
• *�� (=� �� +κ==κ (( (��� �� (( =�� �� (��( =+� �&��"���/
( =+� �� (��=� ����� ��=� ��
-3.(� =� �� �/� =� �� �3��. =� �8&����� �3!� =� �� /� =� �� -3�. =� 3�
• *�� �=� �� -3.(� =κ� �� (� =�� �&��"���##��������5�������&���5���&�5&�5�����������
��� =κ+ �� )�� =+� �&��"���(
� =+� �� (��=� ����� ��=� ��
/�� =� �� /�. =� �8&����� .�� =� �� ��. =� 3�
• *�� �=� �� /�� =κ� �� (� =�� �&��"���##��������5�������&���5���&�5&�5�����������
��� =κ+ �� /�� =+� �&��"��/
�� =+� �� (��=� ����� ��=� �� (��. =� ����� ��. =� 3�
• *�� .=� ���##������"� ����3�
%������� 3 ���� �� ������ �&�� ���� ���0� �9� ��#�"��5� ���� +���� #���� 8��&�
L(.���(/�M( =•� 3��&��#����#�����5��#5���& �9��#���������5�������#���������+�##�8���
L����(�/3M=+�� ����� L���(�.��3�.�(��)/3(M=�
�� 3�
�
����������������� ���� ��������������������������� ��
��� ����������$�������������������
�&��+#�8��&�������"�����+���"&�����"�� ������������������1(2�����1�2�� �9��������#9�
���#���������&���������+��&��������5�������#������1��6���&�����������23�
������+���������������#5���& �������#�����&��+#�8��&����+��##�����"�� ������#��5�
#�5��8��&��5��������������� � ���9����#��5�8��&� �&���""������������� � � �����"68�������
+� � ��8����� � ��� ����� 3� @�� �&�##� ��� �� ��:��"�� �+� �0�#��9� �����#���
L�333(����M ������� −=≤ρ ��������������������"� ��������#��++��3�
�&���#5���& ���� �������+��&��+�##�8��5��������
������������3����� (�� =ρ � ����� �� =� 3�
����������3����� (� −= �� 3�;+� �=� ��&����� ��������#��������
7�#��� ��� �=ρ �� 3�
7�#��� ((32(1� −
+ρ−=ρ ��
��
�� � �+�� J�333��(K ��� −∈ 3�
7�O���������������3�
�&��� +=π ���� � ��+� �=� ���� (
(32(1 −+
+ ρ− ���� ��+� (≥� 3�
�&��"� ���������+�����"�� ����"�����������##������������&���������+��
�Seat capacity κ = 100 Standing Seating
3
4
5
6
7
8
Egress � � �
� �� �� ��
� � �� ��
� � ��Access
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�
�����
������
������
�����
���
<+=
<≥+=
++
−++
��+��
�(+����
��((�
��
(�((��
�
�&��"� ��������#�"� �#�0��9��+����&��#5���& �� ��� ��� 21 ��� � ���"�� ��� ��������"���+�
�&��� ����+��5���������������� ����&��� ����+��""���������������� ����&��� ����+�
����"�� �����+� ��""��������5���3��&���"� �#�0��9���� ��� �#����"���&������ 21 ��� �
����������#��� ���π ���&���&������"�� �����#5���& �����++�"����3�
%�������&���������'3���������#���� �&��"��������+#�8��&����+� �&������"�� �����
+���&���������������������������.3�=9����9��������� � ���������"�� ����� ���&��"���������
+#�8��&������������"����#9��
���
�
�
���
�
�
=
!/
(/(�)
�((!(/(�
LM .�� �����
���
�
�
���
�
�
=π
(�
-)!-3��(�3�
��!)3�!�)3�-/-3�(�/3
LM .�� �
��� "����������������������
������������� ������"� ��������#��++����#�������8������������#5���& �������#����
�&�� �������������"���+�#�5�"���3�*0�#��9������#���������##���+#��������5���&��"����
�+��&����8����� ���7���&�"���������#�����&������� ��������+�"� +��3�
�����������&�� ����#�5�"���� �����+� ��""������������������5���������������#���������"�����
�8��"���������&���#�5���� �#9��
7 �&��������5�"���� �−= +≈= (
2(�1� �
�� ����� �� ��
7 ��� �0�#��9� ���� "���� ��γ � 8&�"&� ��� �� ���� "���� +� � �� ��� �� "���������#� ���
�������5������5 ���� 2(�1 +�� 3�
�&����"����������+9��&��+�##�8��5��"������:���������������&��#�8��+�����#�������#��9��
� ��(2(�1
�� ������� ��� ++≈ += � 1/�2�
� ������
������� ���� �((
��((2(�1� 32(13 +++++≈ γ−++=γ � 1/�2�
� �������� ���� ���� 32(13 γ−+= ++�
� 1/"2�
�&�� #����"�����5��#5���& ������������5������5������������ � ���9����#��5�8��&��""����
��������� �� ≤ � �����"68������� +� ���8����� � �������� 3��&�� ������#� "����������
��� ��� =��� � ���� �� =γ �� � ��� �� = 3�*�� �&�� ���� ���� �+� � � ��� �""���� ��������� ����� ���
"� ����5���0���������������+�����"�����&�� ����"�����5��+��##�#�5��8��&��5���������
&�����"� ��������#�"� �#�0��9��+� 21 �� �� �6��5��&�� ����"�����5��+��##�#�5���#��5��&��
#������ 21 ��� � ����3��&�� �&�� ���� #�5� "�����5� �#5���& � ��� �+� ���� �#� "� �#�0��9��
���"���&������ 21 ��� �����������#��� ���
�3�
�&�� �����"�� �+� �&�� #�5� "���� "��� ��� ��������� ��� �� �� �#�� 8�9�� ��� �&�� ������ �+� ���
�0�#��9� �����"�� ���ϖ � ��+�������� �&�� �����"�� �+� #�5� "���� +� � �� ��� �� "���������#� ���
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��((E�-� (!E(�E���!�
�������5������5 ���� 2(�1 +�� 3��&��"���������#������"�� ���ϖ ������&�������"�� ��� ������+9�
�&��+�##�8��5��"�����+� #����
� L231M32(1 ���(�((�((� ����
����
���� ��� +++++ −γ+ϖ−=ϖ � 1��2�
� L231M32(1 ����� ���������� ���� −γ+ϖ−= ++ � 1��2�
�:�� 1��2� ��� �� +� � �&�� �&��� � �+� ����#� �����"��� �� #�5� +� � �� ��� �� ��� ���&�� �� #�5�
��5�����5�����������5�������##7������5� #�5��8��&�����"�����������#������ �−( ����� � 3�
�&������"#���������"���+��&��#�5�"����� ��������
�2231(13 �� ∆− �
8��&� �� −γ=∆ � �&����++���"�� ���"#����"����3�@��&��� �&��"#�����+��##7������5� ����� �&��
"���������"�����C��3�@��&����&��"#�����+�#�5���&�����5�������������5���&��"���������"�����
���ϖ ��9���+�������3����� �����&������"#���������"��� �������� ��� �32(1 ϖ− 3�
*� �� �#�� ���+� ���#���� ��� 1��2� �9� "��������5� �&��� �� #�5� +� � �� ��� �� �&��� ��5���� ���
�������5�&���������"������5 �������&������������5������������53�
%��������&���������'3���������#9��&��#����"�����5��#5���& ������������.�����5�����
������ ��5� �&��+�##�8��5���5 ����"������ �(� =� �� �(� =� �� .�� =� �� -�� =� �� /�. =� ��
!�. =� ���
*�� .=� �� ....�.. � ��
�==γ= ����� �.... =ϖ=� 3�
*�� �=� �� /��. =� �� !�. =γ �� �3��. =�
��� ��. =ϖ �� (�3��. =� 3�
*�� �=� �� )��. =� �� (��. =γ �� ((�. =�
��� ��. =ϖ �1�##��������������2�� ��. =� 3�
*�� (=� �� (��(. =� �� (/(. =γ �� /3(�(. =�
��� �(. =ϖ �1�##��������������2�� �/3((. =� 3�
;���&����0� �#����&��"���������"����6������ ���������#��B������"������8��&�����"�����
�&��#�5�� ����+���5 ����������#�����&������������#�8�9����"���&�� �����5 ����������
#�5���&�� ������������������5���������3�
%������� &���������'3���� �� ���#9� �&�� #���� "�����5� �#5���& � ��� �&�� ���+���� ����
���0��&��"����� �&�� ���+����������5�������#�����3�=9����9� �������� � � +� �(� ���������
�0����������� � �+� ������.���&�� ����"���������"���������"�����������"����#9��
���
�
�
���
�
�
=
!
�)�3(.-
�!.3(��)!3(����/3/
LM �� �
�����
���
�
�
���
�
�
=
�
..-�3(�
-.-)3(�.�)-3�����3(
LM ��� �
������"���������97�0���+#�8�������������&����&��"���������"�� �9���6�� "&�#�5��
��#��3�
�
�
�
�
�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�
4. Network representation and cost-flow relationship
?���F�"�����&��� ��� ���� ���� �&��#���� ���#��+������"��5���������� �&��+� �8�6��+�
��++�"� ����5� ���� ��� �� ������� ���8�6�� �&�� ������5�� "� +��� "��� ��� ��6��� �����
"������������ ��� ���� "&��"�3� �����"� ����5� ���� ��� ��������� ��� ���� ��� �� ��������
�&����&��#�������� �����������������+���8��&��&�����#� ��+�"� ���#����3�
�&����������"�##9��8�������"� ���#��+�������������5� ��������7��������3�&9�����&7
�����3�;�������7������ ���#�1�� ������A������()-���,��%��������������C��()!)2��
������"���������������:��"���+��""����������+� ���5�������������������+����������"&�
�""�������������5�#��6�������&����0�������9�������������&��������#���+����##�#��������
#�5�3�;����&9�����&7������ ���#�1��������()!/B�$59���������##�������()!!B������������
�#������()!)2����&9�����&���������"������"9"#�"���75��&��&���"����"�����5������������
�� 5����� ������������� ��5��&�� 8��&� ����5� ���������� ��� ��"&� ����� �&��� ����"���� �&��
#�"�#� �&��� �+� +#�8� ���8���� �&�� �"�� �&��� "� �� ��� �+� �&�� ����� ���� ��#��5� ��� �&��
&9�����&3� A���+��� 8�� �&�##� +�"�� ��� �&�� &9�����&� ���#�� +�� �&�� +�##�8��5� �8��
�������� +�����8�� �9�"������� �&�������+� �����������������+�&9�����&������ �&��� �&��
��&� ���"�#� +� #������+��&9�����&��"�#���������#9� ����"���� ��� ����3���"�����
��������7������ ���#��&�� ����������������"� �����&��#�5�"���������"� ������&��#�5��
�����#�5����#����������������&�����#��"������#��5���5���������������#�����#5���& ��
������� �&�� #�5�"������ ��� ��� �#��� ����5&�+�8��� ��� ��"#��� �����"��5������� ��� �&�� ����
+� #������5������9�,��%��������������C�1())�23�
�&������5�������+��&�������"��5������� ���#����������������8�6�����5� ���� ���#������
�8�+�#������3�?������&������&��#�5�"������&������ �+� ��&�������"��5������� ���#� ���
�����6���������""����8��&����&�����I�����5�"&��"�������&��������������3�?���&����&��
&������&�����8�6�+#�8���&������ �+� ��&������5� ���� ���#�8�##����"���&��#��������
���"�������&�������"��5������� ���#3�
�����"6#���&���������8���&�##�+����������������8�6���������������+��&���������#�������
�&���������+������"����#�53��&���8���&�##���+�����&�� ���#������#��������&��"���7+#�8�
�#������&�������&�����8�6�#���#3�
��� (��$��)��������������
;�� �� ��++�"� ����5� ���� ���#�� �&�����8�6� ������������� ���������� ������"���� �&��
����� �&��� ��� ����#��#�� ��� �&�� ���8�6� ���� ��� �� �� �+� ���&�� ���� �+� �&9��"�#� ����
�"��� �"������������"#���5�����#��� ������ ���9�"���3� ;�� ����#���������� ���#��&��
���I�����"&��"�����������55�5�����&����#���5�"&��������&����������&�+#�8������#��6�
+#�8���&��"���&����++�"�#����3�
�&���������8�9����������������"��5�����������������"������������8�6��"������"&�#�5�
�+� �� ������� #����� ���#��� ��� �&�� �""���� �������� ���� &������ ��� �&�� �5���� �������3� ��� ���
���������������#���� � �8��&� � ���������� � �� ��������+�8�������+� �(���� � ���&���
��� (−= �� � � #������5 ����� 2(�1 +�� 3��&�������+����8�6��������:������� ���#��&��
#���� ��� −+= ��� � ��� � 8��&� (J7(33��K � ��� �� � == ++ � �&�� ������ �+� ������ +�� �""���� ���
�������� � ����� J�33��K � ��� �� � == −− �+���5���������3��&��#������5 �����5���������������
J(�2��1�K �� ���� ���! �� ≤<≤≈= −+ ��+�#����#�5��"������� ����+� 2�21(1PP�( −−= ��� ! 3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�
*�#�5��"�&���������#�"����8&�"&�������������&��#�����""���7�5�������� ���0��8&�"&����
����"����������&�������+�#�5��"��+���&���#���3�
;��#�5�����8�6���&�����������������+��&��#�5��9��#�������9�#�5������5� �������8�6B�
&�8���������&�����8�6��������������8�#���������� �&��"� ����"����� ���"�� ��� ���
�:���� ��� ������+9� �&�� #���� ���� ���0�8&�"&� ��� ���#�5��� ��� �&�� #���� ����"��� �+� ��
���8�6�+#�83�
�&��#�57��7�"������������������#�������� ���������� ���������������"&��"������
��� ��&������ �&��� ��"&� ���� 8&�� "&������ �� #�5� 8�##� ����#� �#��5� ��� �� ��� ���� �0���
���������8&�������&������"�� ����&��5���3�D��������&������"������������5� ���� ���#��+�
���� �#������59���&������������ ���������"���7 ��� �C��5������9�� �"���+� ������
#� ����� ��� &��� ��"������3� ;������ �� ���� 8&�� ���� ���� 5��� �� ����� ��"������ �&��� &�� ���
�������5��������B�������##9�&��8�#��"�������8&��&�����6������������������0������
�&�� ��0�� ����3� �"&� #�5� �7����5� ��&����� ��� ��&������� ���� �&�� #�57��7�"�
������������3�
�
������������� ��������� ���������������� ���������������
�� ��������������
�&�����8�6� L�M !�" = ����"� �������+�������� ��+������� ����������� ! ��+��"��� �8��&�
���#������ +�� �����&��������� −
�� ���� � 3�*�9���������"���#��5�������� ���������������
#���� ∈� ������+�#����3�*"���&������������#��5�������������#�������"�##���G���7������H�
�"������"�������������&��������������� ������"&�����9�+���3�* ��5����7�������
�"����&����&�������������""��������� +���� ��#��5����������#���� � ����"�##����""�����"�����
�&���#���3�
*"� � �&�������5��������#�"���� ��Q ������������"��+�:��"9� �# �8&�"&��������������&��
#����+�:��"9� �# �8&������������""�����"����#����� ������+����9���&�8���3�
�&�� ���� �+� ������������� ��� �������� �9� � >� +�� ���6� �����3� ��� �� ������������ � � ���
����"������������ �$ ��+���5��7������������1?,2������ 2�1 ��% = �8��&�?,�+#�8��+� ��� 3����
�&������ � � $$ ∈= � ��������"�������&����"����+�?,�+#�8�� $%%� ∈= LM# 3�
*���&���"�#���#��#��� ��� ����������+#�8��+���������"�� ������������� � 3�
*� ��"��� �+� �"7������������ +#�8�� L��M �!����! ∈∈=* � ��� "�##��� �� ���$ �����3� ;���
����"���������&��#�5���+����������#����� ��������������� L��M �!���� ∈∈= ��* 3��
�
�
�
−���
+���
+���
+� ��
−� ��
−+(���
++(���
− ��
−���
+(��
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(.E�-� (!E(�E���!�
��� ����+���$������������
�&���"�"����������� �����������������&�����8�6�+#�8�������� ! * ������&���������+��&��
+�##�8��5�"���7+#�8�+�"������
� L�21M"21 !�! �! !! ∈= **�* � � 1-2�
�&���+� �8�6���"� �����������5���+�"��5��������++�"����
7 ��"�#� "��5������� ���"��� �9� �&�� #�"�#� �"� +#�8� � ∈= � ��� �� �� �9� ����"���5�
21"21" ��! � �=* 3�
7 ����� "��5������� �#��5� �� ������� #�5� �!�∈ �� �9� ����"���5� 21"21" �** �! � = � ���
8&�"&� L�M �� !��� ∈=* 3�
������"���#9���&���++�"���+��&�������"��5������� ���#�����&��#�5�"����"����������������
�&��������3��������&��#����#�����5��#5���& �� ���������������+�+�"�������
� 21 ��� *���� = � 1!�2�
� 21 ��� *��++ = � 1!�2�
+���&��������5�������#�������#��5��&��#�����������������&��+� ���7�������������9��8��&�
����"������&��#�������� ���0� �* 3�
��"������&��#������5 ����"����� (� +��� ����������5����� (� +��� �����������5�"������ ���##������
+�"�������+��&��#�������� ���0��
� 21% (�(� �*++ = ����� � 1)�2�
� 21% (�(� �*++ = ����� � 1)�2�
�&���� �&�� #���� #�5� "�����5� �#5���& � ������� �&�� ���� #�5� "����� +� � �&�� ������5�
������#������ ��� �� �����
+�� �� ���5��&��8��&��&����5 ����"����� (� +��� ����� (� +��� ��
� 2LM�LM��1%QQ (�(��� ���� ∈+∈++= ������
����� ��� �� � 1(�2�
�&����9��&��"� ����������+�+�"�������#�5� 2�1 ��� ≈ ��#��5�#����� ��������"������8��&�
� 22L1%M�2L1%M2�12�11%Q (�(�� �������� ∈+∈++= ������
����� ***�*� �� 1((2�
8&�"&������������&���+����9� 21" ! ��� *= ��6��8��5��&���� ������#�5��"3�
�
�
�
�
�
�
�
�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(/E�-� (!E(�E���!�
��� ,!�������������
*�&9�����&� 2Q�1 && �= �8��&������������������ � � ����������+�����"����� � �����������5�
+��#�� &Q 3��&��&9�����&��"����� � �����"&��&�����"&��"� �∈� ���#��5�������������������&�
8��&��� � � ��8���� � �� ���� �&��� ��� "�������� ��� �������� "9"#�3��&�� ����5� +��#�� &Q � ��� ��
�����5��+� ! ������ L(��M ��"&��&��� �Q =�& ��+� �∉� �� (Q =� +∈ �!� �& �+���##�������� �#9��5�
���8���� ����� � ��#��5�� �1�0"����+�� � 2�� +�! �����5��&�������+��"���&���5������+�� 3�
�� ���5���������� ����������������������� � ��#��� �' ���������&�������+�&9�����&��"�
����� � � +� � � ��� � � ���� �&�� ���8�6�� ������##9� �� ������ ��� �� �� ��� ����"������
1�353����������������7������ ���#�����&���������+�,��%����������()!!23��
;�������������5� ������&������5�+��#�� &Q �����"������������&9�����&��"������ ����+�&��
"�����������9� JK(Q
�∈= ��& ��+��"� � ������������������""�����"�����+� � ��������������""����
�"� 8��&� ���#� ����� � �� �9� �� ���� �#& E(3QJK ∈= � 8&��� � +∈ ∈=
�!� ��� #� JK(3 �� � �������� �&��
"� ������+�:��"9��+��&���"�����#������&���"�������""������+� ��&�������3��&�������&��
��:�#���&9�����&� 2Q�1 && �= �������� �#�������������"������ ��+� �8&�"&��&������5�+��#��
��������������5&�+�8��#93�
O�����+#�8������� ! * �����&9�����&��"����� �'&∈ ���&��������&9�����&�����5�+��#��
&Q ��&������������&�� ��� �&9�����&�"�����#��5�&������������
� � ��∈ ∈∈
+=21
L21"22181M3Q2�1%&(� ��
! ���
! &��! �
�
&& *** �� 1(�2�
���8&�"&��
7 21&(� �����&�������+��#� ����9����&���#��5�&�+� ��������
7 ∏ ∈=�� �� && QQ �����&�����&�+#�8�����������
7 21 ! �� * �����&������#�"�����+��"���"���������#����+#�8������� ! * ��
7 &��
&� �E8 α= ��������+���&����#�9����������3�
�&����������"9��+� �����"�"����������&�����&����##�8��+���#����5�����������"�"�������
����#����#�5�8��&����&�����&3�
�&��8�����5�8��5&���5�+�"��� �α � ����:�#���������+��&���������#������""�����#��+� ���
��� ����"��� �9� ��&�"#��� 8��&� ��������#� �� ��� �&��� ���9� ��� �� ��5������ �0��������#�
����������B�������&������"����� ���������� �9���6������++�������#�������&��� &�8 �
8�#�� ��� �##�8�9� ������ +�� �&������5��8�����5� �� ������� ���#� �&�� ����#��+� �&����0��
��&�"#��+� �� ��5��&���������#������&�������""�����#��1�3�3��&����""�����"� &�∈ 23�
�
�
�
�
�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�
5. Equilibrium analysis
?���&���������+��&�����������+����������8�������8����9������+��������++�"��:�#��� �
�������"�9�����&���#������ ��&� ���"�#����#9���3�@���&�##�+�����������&��+�����#������
�+� +#�8� ������� ���� �&��� &9�����&� ������������3� �&��� �� ��++�"� �:�#��� � 8�##� ���
��+���������&��+� ��+���$��#�����%� �#� ������9����#� �1$%�23�*+����������5����
�:���#����"&��"���C������ ��� �&�� +� ��+� �����������#� ;��:�#��9����#� � 1�;�2�� �&��
�0�����"���+�����:�#��� �������8�##������ ��������3�����#9���� ��&����+��""�������
����5��� 8�##� ��� ��� +�8��� ��� "� ���� ��� �:�#��� �� ���� "����5��"�� "��� ���
�������������&���������+�����#��9�5���8&�"&� �6��������5����"������3�
-�� �������������$����������!���������������������
.����������/0����������$��)���$�����)�!���%����#��%������� �!���! � ∈∈= �LM* ����
#�������� �#� ��� ��� �� �������� �*� �#� ��� �����#���� �&�� �*�� ����������� �#� #��%� ���
*��������+�
� �≥��� � �!� ∈∈∀ � � 1(��2�
� �� −+ ∈∈ +=�� !� ����!� �� ��� �� ���� � ≠∈∈∀ �� �� 1(��2�
��%&��&� +�! �,����)� −
�! -�*�������&����������#�������&����������,����)�������-��*�� � �
�*� ��� ����������������.*���������#��%�#�����*��� ����*����������*�� � )�
���� *1 �����&�������+�+�����#�����8�6�+#�8�������3�
��"�##��5� �&�� ����� �' � �+� &9�����&�� +� � � ��� � �� ���!������� ���$ ������ � 2 � ���
��+����� ��� �� #����� "� ��������� �+� �#� ����9� +#�8�� �#��5� &9�����&�� & � 8��&�
"��++�"������ &�� ��
� L�JKR��M �&�� '&�� �� ∈∈∈=2 � 1(.2�
.���������/0��������!����������$�����)�"�����&�������.*��������� ������������
���� � ∈∈= �LM# /���&�������&�#��%������� � 2 ����#���������#������������������*����
�����#�����&��������������#�#��%���������.*�������������+�
� �≥&�� � �'&�� � ∈∈∈∀ �JKR� � 1(/�2�
� �'&&� ��
�=� ∈ � �� � ≠∈∈∀ �� 3� 1(/�2�
*� &9�����&� +#�8� ������ � 2 � ���"��� �� ���8�6� +#�8� ������ 21 � ! 23* = � ��� �&��
+�##�8��5�8�9��
� � � �∈ ∈ ∈
∈=� '& &(�
���&���
� �
&��21
JK(Q �� 1(�2�
���8&�"&� 21&(� ��������� �&�������+��#� ����9����&��8��&��� & � +� � � ��� � � 1���������
���&�� 8��&� ��� ����� ���������2�� JK( ��∈ � ��� �:�#� ��� (� �+� ��∈ � �� �� ��&�8����� ����
∏ ∈= �� �� && QQ �����&������������+�+#�8�"��������+� � ���� � �����& ��9����� � 3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(-E�-� (!E(�E���!�
�� � �&�� ����"� ��������� �+� &9�����&�� 1$59��� ���� ��##������� ()!!2�� �� +�����#��
&9�����&�+#�8����������"�����+�����#�����8�6�+#�8�����3�$��7��5������9�1(��2�"� ���
+� � 1(/�2�� 1(�2� ���� �&�� ���7��5������9� �+� �&Q � &��"�� �+� �&
Q 3� �&�� "����������� �+� �&��
������������+#�8���������� ����1(��2��������������+�##�8���
� � ��� ∈ ∈ ∈∈∈ ∆=− −+ � '& &(� ���&�!� ��!� ��
� ���&��� 21Q ��
���8&�"&� �� −+ ∈ ∈∈ ∈ −=∆�� !� ��!� ���� JKJK (( 3�$�8�� �+� � � ������� ��"������ ��� � � �&����##�
�&���� ������&��� ����C����9��#���5� �=∆ �� 3��&�����+�� ������"��������� � �����������
�������������� +�� ��� � ���&��� �=∆ �� ����"������������#9������"���� +
�! �&��� (( JK =∈�� �
�����&���� �����#������� −�! 3�����#9���+� += �� � ��&��� (=∆ �� ����"�� �( JK =∈�� �+���##� � �
��� −�! 3��&��
��
'&&��
'& &(� �&��!� ��!� ��
�
�
&���
��
�� ����
=
=
=−
�
� ���
∈
∈ ∈∈∈ −+ 21Q
�
+� ��&����� ��������� � 2 3�
-� .�������������������#����������������(��
.��������� �/ ������1#���������)�"���� �&���0� ������������ ���� � ∈∈= �LM# /� ��
&�������&� #��%� ������ L�JKR��M �&�� '&�� �� ∈∈∈=2 �%��&� 21 � ! 23* = � ��� ��
���##����������������#��&�������������������� LJKR��M �� ��� ∈∈µ=4 ����&��&��/�#���
���� JKR� �� � ∈∈ +�
� �≥&�� �� �'&∈∀ � 1(-�2�
� �'&&� ��
�=� ∈ � 1(-�2�
� �2�1% ≥µ− �! � & * �� �'&∈∀ � 1(-"2�
� �L2�1M%3 =µ− �! �&� &� * �� �'&∈∀ � 1(-�2�
�&���������������������+�##�8��������"&������������� � ��+� ���"&������ ���##�&9�����&�
"����� 2�1% ! � & * � ��� ��� #���� �&��� �µ � ���� ��#9� �&�� &9�����&�� 8��&� "����
�! � & µ=2�1% * �1&��"�� ��� �#2� �9�"�9������������+#�8� &�� 3��&���"���"�����8��&�
�&�� ��+�������� �+� ��� �:�#��� � ��� ��++�"� ����5� ���� ���"�� @����� ��� ()/���
�""����5����8&�"&���"&���� �6���&�������5�"&��"����������� ��� �C��&����8������#�
"���3�
�&�� ���� �+� "���������� 1(-2� ��� �� ���7#����� "� �#� ������9� ���#� � 1$%�2� ��� �&��
�����#�� 2�1 � � 42 ��8��&�����"������"����+�"��������+�##�8���
L�JKR��221�1M%2�1 ��� �� � '&�� �& ∈∈∈µ−2342 � 3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��(!E�-� (!E(�E���!�
-�� 1#�������������������5�����������6%�
������ �/ ����������5����� �� ������ 1#���������)� !� &�������&� #��%� ������
L�JKR��M �&�� '&�� �� ∈∈∈=2 � �&��� ��� #�������� #��� �&�� �0� ����� �������
���� � ∈∈= �LM# � ����� ���##��� ������������ �#��*����� �#/� #������ #��������&�������&�
#��%������� L�JKR��M �&�� '&�� � ∈∈∈η=7 /����&��*���&��+�
� �21321 ≥− � � � 2728 �� 1(!2�
��%&��&� L�JKR��221�1M%21 �� �� '&�� �& ∈∈∈= 2328 )�
�����3� *�� �� +���� �&��� � 2 � ��� ����:�#��� � �����3� ������5� � 4 � ��� �&������"������
���0��+���#������#�������+�1(-2��+����9� LM &�� η=7 ������� ��+� �1(-"2��&���
� �L2�1M%3 ≥µ−η �! �&� & * �� �'&∈∀ �
� ���������� �'&∈ �9��#����&��� ��'& �&�'&
&�
&� �
��µ=µη≥η �� ∈∈ % 3�
�� �1(-�2�8��5����&��� ��'& �&�'&
&�
&� ��
��µ=µη=�� ∈∈ % ��&��"��
�21% ≥−η� ∈ �'&&�
&�
&� � 3�
�&���9��#���1(!2��+���� ��5����� �∈ ����� �∈ 3�
%������#9����� ���&���1(!2�&�#������ � 2 �������6�� LM &�� η=7 ��:�#���� � 2 ��0"����
��&�����������7���������������� 2�1 � �� �+� �&��� �����#9�����&9�����&� & � ��� �' � �&���
#�����5� 2�1% ! �� & *=µ � ������#9� �����+���� 1(-"��23� ;+� �&��� ��� �8�� �� ���
&9�����&�� ��� �' �� +�� ��9� & � 8��&� �>&�� � #��� �� ��+���� ε−=η &
�&� � � ����
ε+=η ′′ &�
&� � ���&���1(!2�9��#����&���
�2%1% ≥ε−′ &�
&� ��
8&�"&� � �#���� �&��� �&�� "���� �+� ��9� &9�����&� & � 8��&� ��������� +#�8� &�� � ��� � 2 � ���
��� �#���� �' �������+����5� 2�1% �� ! �'&� &�
*∈=µ ��1(-"��2�+�##�8�3�
-�� 1#�������������������
������/1*�����������������#���������3�!��������&����&�������#������� �% �����
��������/� �&����������� �� ������������ ������ #��� �&����*��� �#� ������� ���������%��&�
�������������)�
�����3� ���5� �&�� �;�� +� #������� �&�� ��� ������ ������ �&��� �&�� "���� +�"������
2�1% ! �! & ** � ����"��������8��&�����"������&�����8�6�+#�8������� ! * 3�@&���
�&��� ������ ��� �� "�������� +�"����� 3 � �+� �����#�� � 2 � 1�� "� ��������� �+� &9�����&�
+#�8�2�� �&�� "� ������ +�"����� 221�1% � �� & 232 � � ��� "��������� ��� ��� +�"�����
21 � � 282 � 3� *�� �&�� �� ���� ���� 21 � �+� +�����#�� &9�����&� +#�8�� ��� "����0� ����
"� ��"����&����������&����&�����������#����:�#��9��� �������#�����������#����3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5��()E�-� (!E(�E���!�
�&�� ��:������ �+� ��� �:�#��� � ����� ���� &�#�� ��� 5����#�� ��� ��� �&�8�� ��� �&�� ��0��
��"����3�
-�- 3�����������������!��������������������#���������
�&���;��+� #�����������+#���������#��&��&���0�����"���+�����:�#��� ������������#���
�������5������:�#���������#5���& 3�*���� ���#������+�����&����� ����������@�������
1()).2�������&�� �����5��+��"�"�������&���8�� ��&�����&����&������&����&�8���������
5#���##9� "����5���� ��� ���#�"��#�� ��� ���"&� +�� �:�#��� �� �� �#9� �&�� #�����C���
��"���� ��&��������&����F�"����� ��&��3�A�8�����+���&����6���+��� �#�"��9�8����+��
������ �&��8�##76��8�����&����+��""�������*���5���1��*2���#�&�5&�8��&��������
�� ��������� �&��� ��&��� ��� ��� 5#���##9� "����5���� ��� �&�����"�#� 5������ ��� ���
������#����������������"����5��"�������9����#�"�������9����#����5��&����#��9�5�������&��
"����+#�8������3�;�������8&����&����#��9�5���"� ���"#�������C���������5���������&���
�&��"����+#�8����������"#�����������++�"��:�#��� �����"���&����#��9�5������"��������
8&����&���;��+�"����� 8 ����"�������3�
�&����&��� �����5���������������#�����&����#��9�5��������"&�"����+#�8��������#��5�
�&����������������&����*3�;��8�#����� ����" ���� �����"� �����&����#��9�5��������
����5&�+�8���8�9�����"���&���8�#���:���������#9����������##��&������&9�����&�����
�&�� "� ���� � �9�� ��� �#��� ��� ���� �� &9�����&� "�����5� �#��5� ��"&� �+� �&� � ���
���#���� �&��� "���� ���� �&�� "���� ��++�"� "���������3� A���+��� �� �� �#�� ��&��� ���
���������8&�"&���#9��:���� �&��������5��+�������#������#���#��5� �&������������ ���
�&����*3�;��������#�"��#�������9�&9�����&7�����������������5� ���� ���#����8&�"&��&��
&9�����&�"����������������&��+#�8���������#9��&�5&��&���"�"�����������&�������"�����
1�&���&��#����+�:��"9�"����������#���������&����++�"�+#�8�23�
���� �� "������� &9�����&� +#�8� ������ � 2 � M���3� � 9 L�8��&� ����"������ ���8�6� +#�8�
������ ! * �M���3� ! 5 L�����"��������� &�� �M���3� &
�η L����&9�����&� & �+� ������ ����
������������ � 3�?��� ����������#�����&��"����������������&��+#�8� � 9 ������&������#�
"��������������"��������� � 2 ����+��������
� � � �∈ ∈ ∈ η= � � '& ! �&�� �
�& 2�1%213 *289 3� 1()2�
��������#����&���"�������������"7��������������������7���������3��&���"7�������������
�
� � � � �
� � � � �
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈ ∈ ∈
η=
η=
!� � � '& &(� ���&�! �
� � '& &(� �� ! ��&�� � !
� �
� �
&
&
21 JK
21
(Q21"
21"Q2�1
*
*298�
&��"��
� � ∈= !� �! �� � ! 121"2�1 *298 �� 1��2�
8&�"&�������9�������#����8&�������&�� � 9 ������3�
*�����&������7�����������
� � � � �∈ ∈ ∈ ∈ ∈η= � � '& &(� �� ! &��
&�� � �
� �&21 218Q2�1 *298 �
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�
#���������"���&��� &�8 �������������������� ! * �18&������"��5��������++�"���������#�������
#���� +�:��"92� ���� �&��� ��9� �� � � �∈ ∈21 8Q&(� ��
&��
�& � ��� �� +�"����� �+� � �� & � ����
21&(� ���#9��+� �&�������������� &�ρ 3��&��
� � � �∈ ∈ ∈ ρη= � � '&&�
&�� �
�2198 �� 1�(2�
8&�"&������#�����+�"������+� � 9 ��&�5&��&�� &�η 3�
%���������8�����0�#��9�&9�����&�+#�8�������21�
� 7 ��&�������������&��67�&�������������
��� ��*� ���#�"������ 8��&� ��:��"�� �+� ����� ��C��� �21 ≥ζ �� � �"&� �&��� (� =ζ 3� �&��
��������"���� 213 2121 ��
�� 287 ��+� �&����0�#��9� ���������� �&�� ��++�"�"���������� ���"���
�9��&��"����+#�8������� 21�� 2 ���� ��#9�
� �∈ ∈= � ����
��
�� �� 212121
213 287 ��
���8&�"&� 21��� � ��� �&�� ���� ����#� "���� +� � ����� � ��� ������������ � � ���� +#�8� ������
21�� 2 ���&������ ��+� ��&����+���������+��&���0�#��9��������9�����5� �����+��##��&��?,�
+#�8�����&��&9�����&��+� ��� �#�"���������&��"������++�"�"���������3�?���&��������
�+�1��2������������5&�+�8�������"����
�
�� � ∈∈ ∈ −=
−=
!� �! � � ����
��
�� !
��
��
�� �
1�� 21"LM
2�121321
21
2121212121
*
27828778� 1��2�
�������������������������&��"����������21�
� 2 ��8&�"&����"����"��������&��8��5&����
����5�� �+� �&�� ������� �0�#��9� �������21 �
� 7 �� �� < �� 8��&� 8��5&�� "��++�"������
���� Γζ=ζ E21
� 8&��� � −= ζ=Γ (�
�� �� 3� �&�� �"7������ �������� "���� ��� ���#�����
����5&�+�8��#93�=���5���#�����+�"�������&������7��������������"����"�������������
+� ��&��#�������"� ����������+�21�
� 2 ��
� �� −=
−= ζ=ζ= (
�2121(
�212121
212121 ��
�� �
��
��
��
���
�� � 787828 3� 1��2�
����#9��#�������+��������:��"�� �β �����&��+�##�8��5�8�9�� 212�1
�� � � 78ζ=β �����
� 2121
(�� ���� 78ζ+β=β + 3� 1�.2�
�&��� �&������� �� Γβ E �� ����� ��� �&�� ��������"�����+� �&��"���� +#�8����������� ����
�8����++�"�"�����������
� ���� � Γβ= E2121
28 3� 1�/2�
���� ����������������� �����&����*��#5���& ��&����#��9�5������
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���(E�-� (!E(�E���!�
�LML21"M
21231,O
212121
212121
� �� ∈ ∈∈ −+Γ
β=
−=
� ����!�
��
�! �
�
�
��
��
�� �
���*
2872
� 1��2�
-�: 3������������������;����3
��++�"�����5� �������������������8�6�8��&������"��5�������"��������+� ����9� �����
�+� �&��+�##�8��5��:�#���������#5���& ��8&�"&� �6�������+� �8�����8�6�+#�8��������
! * � +�� �� "���� ������ ���� ! ! � +�� ��� �0�#��9� ������� �8�� �#����� ����##� �"� +#�8�
��"���� !* � ���� !! �� ���� ���� �+� ����� ��������#�� �� ∈= LM� �� ��� ��������� "����� � ��
�����#��� β �� Γ �2 ��$ ����� 3 3�;���������#���"����������" �� ���"�"����� !��� ∈= LM� �
���� !��� ∈= LM� �� # ∈= �� LM� �� ∈κ= �� LM< �� �&�� ?,� ���� ���0� ����� �� ∈∈= �LM# �� ��
��#���"�� ε ���� �&��"����5��"�� #���#����������:��"���+���"�����5����������� ����
�21 ≥ζ �� �8��&� (� =ζ 3�
�&���:�#���������#5���& ���� �������+�+�����������
�������1����3����� ��=! * ����� ��=!* 3����� ��=� �� ��=β ����� ��=Γ 3�
���.���%� (�������&��3� ���#���� �&�� �"� "����� 21% ! ��� *= � +�� �##� !�∈ � ��� ���
����"�����.3�3�
���%���� �������*����%���*��3����� ��=2 ����� ��=!! 3�������9�������������
����� �∈ ��
7 ������&������ �#�&9�����&������������� � ������&��"�����"�"������9��#���5�
�������������#�� � 3�
7 ������&��?,�+#�8�� L�M ��� ∈ �����&��"���#9����� �#�&9�����&����� � ��
9��#���5��"�+#�8�� ��� 3�
7 ���� � ∈+= � ����22 � 3����� ���� ��� +=� �+���##� !�∈ 3�
���%�2�*���3����� � ∈−= !� �� ��2$ � 3����� �ζ+Γ=Γ � ����� $�ζ+β=β � 3�����
� ∈Γ
β+−= !� ����2�S 3��&���#��� 21� ! ! �! ! *!** −ζ+= �����
21� !!�!! *!** −ζ+= 3�
�������������3�;+� ε≤3 ��&����� ��������#���#��� (� += �� �����5���������� �������%�
(�������&��3�
�&�������� ��� ��&����+��""�����������5�������8&�"&��&���0�#��9�+#�8������� ! ! ������
��7���� �C�������5� �����+��##��&��?,�+#�8������&���������+��&��"��������"����9��&��
"����+#�8������� ! * 3��&��"����5��"��"������� 3 �����&����#��9�5����+��&���������
����"����3�
�
�
�
�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�
6. A simple case of hyperpath choice
��� �##������ �&�� ����� "��5������� �++�"�� ��� "��F�"����� 8��&� &9�����&� "&��"�� ��� �&��
"����0�� �+� ��++�"� ����5� ����� #��� �� "������� �� �� �#�� "���� �������� +� � �&�� �������
���8�6�����&����������3�*���&�� ����5����6���������&�� ����"�8�����������#�������
����������&���9� ����#����"�##���#����*��+�����1�&���'�����0������'5����#�����+�"����
�5����#� ����� 8��&� ��9� &�5&� +�:��"92�� ����"#�#9� ��� ��� �&�� 8�������� ���"�����
��"���� �&��� ��� �� �F�� =������� %����� ��� �������� ��� ,'+������ ���� ��� �&�� %&T��#���
�������� 8&�"&� �##�8�� +�� ����+�� ���8���� �&��� ���� #����� ���� /� ���� #����3� ���7
�6���8�##��5���������#����*����%&T��#���������,'+�����&�������8����+���&����"������
�&�����������"� �����"�����+���:��3��&��������&�5	�#�6�#9��&�����7������&�9�8�##�
������8��&���&�5&�"�8���53�
��� ������ �&�� "��5�������� �� �� ���7 �6��� ������##9� ������ ��� ��� �#��������� �����
�&����"� ��5�+� ��&��=�##���##�� ������������ �9������#����*����&�����%&T��#����+���
���5�#����((���������������$�������+������5�#�����3�=�����5�#����*����$���������������
����&���������:��3�
:�� �������������������������
��5�� .� �##������� �&�� ���8�6� ���� �������� ����� +�� �� ���� +� � =�##���##�� ��� ���
,'+����3�?��#����*���&��#�5�+� �%&T��#���������,'+�����"��������&��((� ������������5�
����� �������������5������&���������+����������+���"�������1,����"��������������23��&��
#�5�+� �$������ ���%&T��#���"������� ���8&�����������8&�"&� ������ ���&��3��&�� #�5�
+� �=�##���##�����%&T��#�������#����((���6���(/� �����"#���5�����+��������6����&��#�5�
+� �=�##���##�����$����������#�������#�����"#���5�����+�3�
����"��+�:��"�����������������&E&����#����((�������&E&����#���������������&E&����
#����*3��&��8�����5�8��5&���5�+�"�����������:�#����(3�
�&����++�"�+#�8������"���"��9�������"���������&���������+��&������ ��������ξ�����κ���� ��� �&�� ?,� +#�8� +� � =�##���##�� ��� ��� ,'+����B� ξ� ��� �&�� +#�8� +� � ��&�� ��5����������5� #����*� ��� %&T��#��B�κ� ��� �&�� ����� "���"��9� ����#��#�� ��� #����*� ��� �&��$�������������3�
�
�������� �������������� ��!����"�� �#$���������
�
���,'+���� %&T��#�� $�����
=�##���##�
�����*
�� ��
���
(/� ��
+�U���E&
��((
(/� ��
+�U���E&
!� ��
�����*
((V����������5
��V�����������5
�����*���+�U���E&
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�
:� �������/�!����������������
���&�(�8��&��""�������#����*����%&T��#����������&���8��&��""�������#����*����$������ �6��
���&���&9�����&���&9�����&�(� �������+����&�(��#���B�&9�����&��� �������+����&�
�� �#���B� ���� &9�����&� �� ���� �� �&�� "� ��������� �+� ���&� (� ���� ���&� ��� 8��&� #����
"� �������������&��=�##���##���������3�
�&������"�����&9�����&�"���������&��+�##�8��5�+�"�������+��&��������#��9�������������
������5�����&��%&T��#������������
���� )�-(/2(1��((��
�� ��( −=++−+= �
���#
).�2((#���1
��(( −=+= α�
�
�.(/�((���� ��
� =+++=� �
��2�#���1
���� =+= α
#��
��
�##
�#�#� �3�.3��
33
�((
����
��(((
� −=+
++α=
��
:�� 1#�������������!���������+���#������
������+������������&���� ����8&������&�(�&���"����#�����&������&����
).
�( ≥⇔≤ �����
�
�&��� #������������ �&���� ����8&��� �&��"� ����������&9�����&���� ��������� �&�����9�
���5#�����&���&��"��������������&���
L�M��
)(
( ���
� ��( ∈⇔
�
≤
≤�
��
���
�
�
�&�� �&�� ���#97�� ���� �:�#��� � ��6��� ��� �&�� +�##�8��5� �������� ��������5� ��� �&��
��#���+���� �������
)(<� ����#9����&���������3�
)(=� �����&����&�������&9�����&��� �9�������3�
M�L��
)(∈� ����#9�&9�����&�������++�"�������������&�(������&���������������##93�
��=� �����&����&�(�����&9�����&��� �9�������3�
��>� ����#9����&�(�������3�
W��8��5�8&�"&�&9�����&����������8�� �9��#������������ �������������
@&������&�(��#�������������&��� J�(K ���
�+ξκ= ������&���:�� �����&���
��>� �9��#���
�&��� ξ−κ<��� 3�
@&������&����#�������������&��� J��K �0ξ
−κ=
�� ������&���:�� �����&���
)(<� �9��#���
�&��� )Eξ−κ>� 3�
;+�&9�����&����#�������������&���
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���.E�-� (!E(�E���!�
��
��
3
3
(
�
π+ξ
π−κ= �
8&��� 2E1 ((��� ### +=π ����� �( ( π−=π ���&���:�� �����&�����
)( << � �9��#����&���
��E�
�E�
)E
)E
(�(� π+π
ξ−κ>>
π+π
ξ−κ� 3�
*���������8&��������#�&9�����&�����������&��?,�+#�8�����#���������&9�����&�+#�8��
�� �����&���(�(
���
��
���
+π+ξ
−π−κ= ��8&�"&�9��#���
� ξ−κ=π+π++ ������ ��(�( 21 3�
*����=� �� �� =� � ��� ξ−κ=π+π+
��
�(��
�(�� 21 �� �� �&�� � �##���� �� "� �#9��5� ��� �&���
�:�� ������� 2E121 (��
��� π+πξ−κ ��+��##�?,�+#�8����"������9� �� �����������9� (� ������
�&��#�5������� ξ−κ�� ��##�"������9� (� 3�
*��)(=� �� �( =� � ��� ξ−κ=π+π+
)(
�()(
�� 21 �� �� �&�� � �##���� �� "� �#9��5� ��� �&���
�:�� ������� ξ−κ)( ��+��##�?,�+#�8����"������9� �� �����������9� �� �������&��#�5�������
2E121 ()(
�)( π+πξ−κ ��##�"������9� �� 3�
*����5�����?,�+#�8����+� ����������+������++�"��:�#����� �9��0�����
7 ��� L��M�E�
�E�
(� π+π
ξ−κ��&�����������:�#��� �������8��&�
��>� B�
7 ��� L�M�
�
�E�
�E�
(�ξ−κ
π+π
ξ−κ� �&��� ��� �&��� �:�#������ +���� 8��&�
��>� �� ��"���� 8��&�
��=� �����#����8��&� M�L
��
)(∈� B�
7 ��� L�M)(
�� ξ−κξ−κ � �&��� ��� ���� �:�#��� �8��&� M�L
��
)(∈� � 1��� ��5� �� ���7
� ��9�������#��3�3� ξ<κ (�) 2B�
7 ��� L�M)E
)E
)(
(� π+π
ξ−κξ−κ ��&�������8���:�#�����8��&����&�� M�L
��
)(∈� ���
)(=� B�
7 ��� L�M)E
)E
(�κ
π+π
ξ−κ� ���� �:�#��� � ������ 8��&�
)(<� � 1��� ��5� �� ���7� ��9�
������#2B�
7 �&�� "���� 8&��� ∅≠ξ−κξ−κπ+π
ξ−κ
π+π
ξ−κL�ML�M)E
)E
)(
�
�
�E�
�E�
(�(�� � �5&�� �#��� ������
#�����5����+�����:�#����������9���#���+���8��&����&��������"����3�
��� κ>� ������9��&�#����� ���+���������6��������""�����&�������"��5�����������&��
$������>�%&T��#�����5 ���3�
��5��/�����"����&��&9�����&�"�����8��&�����"�����?,�+#�8����+����� ������#����+�
κ� U� (������ ���� ξ� U� !����3� *�� .3( =π � ���� �3� =π �� κ>π+π
ξ−κ
)E
)E
(�� ��� �&�� �5� �� 8��&�
)(<� �+�##������+��&����5�� L��M κ �+���3��� ������
�E�
�E�
(� π+π
ξ−κ���#9����&�(�������3��� �
�E�
�E�
(� π+π
ξ−κ� ��� ξ−κ
�� �� ���&�� ���&� (� �#����� �� &9�����&� �� �#����� �� ���&� "��� ������
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���/E�-� (!E(�E���!�
�:�#��� 3� �� � ξ−κ�� � ��� )Eξ−κ � ��#9� &9�����&� �� ��� ���3� �� � )Eξ−κ � ��� κ��
���&�����&����#�������&9�����&����#����������&�"����������:�#��� 3�
30
31
32
33
34
35
36
37
38
0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
OD Flow
Hyp
erp
ath
co
st
Path 1
Path 2
Hyperpath 3
3 equilibria
1 equilibrium 1 equilibrium
3 equilibria
Hyperpaths 1 and 3 at p =2/3
Hyperpaths 2 and 3 at p =1/9
�
�����%��&'(�����(���� ������ ������"�������� � ��
�
7. Conclusion
�&�� "���������� �+� �&�� ����� ��� � ��C��� ��� �&�� �����"��� +� � "� +��� ������
���������������� �&�� #���#��+� �&�� #�5���5 �������� �&��&9�����&�+� #�������+����#97
�� �����:�#��� ��������5��9��&�����������+�����"�� ��������#�5�"������������� �
�����#�3�
�&�����8�6�����5� �����#5���& �8��� � �#� ���������"����������8��&� �&���*���>�
����� ���� �������� 8��&� �� �� �+��� ����� �&��� ������� ��� �&�� ������ �+� #���� ��7
����"��� ���� �+� 5����#�C��� "���� ��"#���5� ���� ���� �����"�� �+� #�5� "����� ��#��� ���
����#��#�� ��� �8�� �#����� ������ 1������ ��� ���� ���-�� ���!23� ;�� �&���� �&�� �:�#��� �
��#�������������������#������� ���+��"�+#�8�������#� ����9�"�����1��"#���5��""���7
�5���� "����� �9� ����"�� ���2�� �&�5&� �����#�� ��� �� �� �+� ��#�"���� &9�����&�3� �&��
"� ������� ���8���� �&�� ����7"��5������� ���#� ���� �&�� ������� ���#�� �� ��������
&9�����&������������5� ���� ���#���&�8����&�������&�� ����5����6��&���������+#�8��
"�#����9��9���� "&������X��#��5� �&�� ���� #����� �&���"�9������/����� ����������
������5������&������������"����3�*#��5��&���5����#������#������&���#������"&��5��
���#� ����������� �##���"����5�����"�����&������+�8��#��������������������������&���
�����+#�8�������&�5&���������������������������5������&������������"����3�
��&��8�6�����&�������"��5������� ���#� �5&��+�"������&��+�##�8��5��������
• ;�����+�"������ �+� ��� "� +��� �������� �353� �����#� �9���� �+� ������ �� "� +���"#�����3�
• ��7����"&��"���+��5��������������������5�����&��"������I��"� +��������3�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�
• *����"� +��� +�"����� �9��������"������ ��� ��"&�"� +��� �����3��������� �&���������5�������##� �����#��#���&����������5���&��#�����5��#5���& �����"&��5���
���� ��� �&��"�����5��#5���& � ��� ��� �:���� ��� ���#���� �&�����"� +��� +�"�����
��#9���"��+����"&���5 �������������3�
• ;�"#������+� G�����"����H�"�������"�����+� �++��� ���5��� �� ����B� ��� "��F�"�����8��&� ���##��5� ��&�� "��5������� �++�"��� ��� ������� �"&� ��� �""���7�5����
"��5������3�
• ;�"#������+�"�����8&�"&�������#�����+�"�������+��&��� ����+���5 ��������#�5����&��#�5�����#��� �3�
• ��������++������������"�����&����������������� ���#������������7�++�����8�������������"� +��������#��� �������#����&��+��3�
• ,��"����"&��"�� ���#����"� �����������+��������������&����&��������5�������#��9� �5&������������ ��5�"���������3��&���8�#������#����� ���#���&�5&���&���
+��#��5�#�5���&���+���&���#�5�3�
• ,��"����"&��"�� ���#��+��&����I��8�##��5�����������������5�����"� +����������9�����"�����5���G"&��"�H�������#��9������"&�"� +��������3�
• �����9�#���+����"��#���"� �"��#������3�
;���&����&�I������������&�����"� +���+�"��������������++������������������"����"&��"��
�0���������"�#��9��#���� ������������+��:�#��� ���:�����3�
3�)��$�����������&��6��5�����W���&��5����+����+#�"� �����������&�����8�6�
�#5���& �3��&���������#��55���������+��'�'�"��������������"�����3�
�
�2�(4! '+�����������������5��#��������������������*��/�67�#���������##����
8. References
%���������%� ������� ��� �#������� 1����2� *� +�:��"97������ ����5� ���� ���#� +��
"��5������ ������� ���8�6�� 8��&� ���"�� "���"��9� "����������� "&��"���C������ ����
"� ���������+��:�#����3��������������(������&������8��=��.�-7./)3�
%� ������� ��� %���� �� 1���(2� %� ��7#����� ���� ������5�� ����5� ���� ��� "��5������
����������8�6�3�������������� �������-���/�7��-3�
,��%�������#�1()!!2����##���4���������*� �����3�
�
,��%�������������C���1()!)2������������5� ���� ��� ��� �#� ����������++�"�������8�
�#5���& 3����##���4���������*� �������=��.)(7.).3�
,�� %��� ��� �������C� �� 1())�2� ������� ����5� ���� +�� "��5������ ��#�"� ��������
�9��� �������:�#��� � ���#3�������������� ������>��(��7(.-3�
,����"������O�#���5����,"&�����A��W�������W�8��&�8�����1����2���#���������
��� #�� '5#���'� ���� ����#��� +�'��� ��� ;#�� ��� ���"�3� ������*���� �#� �&�� !�4 �
�������� 0�(����*����3�*��%�����������"�3�
���5� O� ���� W���� ��� �#�� ��F�� ��� ������� �� 1���.2� �&�� ��#�� �+� �#����#��93�
������*���� �#� �&�� 4������� ��������� �#������ 4� 9:;�� ������5� 1%,� �� �
�������23�
������������ �������������������������������
��������������� ������!� ��5���-E�-� (!E(�E���!�
�� ��O���A�����O�1()-�2�;����"����������������������#�����53������������ ����
�+����8�6�3����##���4���*� ����������.!�7.!)3�����/��*���5�� ���������������3�
���##���4���*� �����������7�-3�
��������1����2� ����������*���<����������*=����*���&�������3��������������������
"�##�"�������"����,�"3�����������%�"&�������"�3�
������ �� 1����2� %��+��� ��� :�#��'� ��� ����"�� ��� �������� "�##�"��+� ����� ���
��9�5����� *��#9���� ��'#�������� ��� '��#�����)� ������*���� �#� �&��!�4 � ��������
0�(����*����3�*��%�����������"�3�
������������W����C�#�%�������9�=�1���-2�; ��������7�������&�"&��"�� ���#��+��
��������������8�63�;��������*�����#��&��$���*� �#�����������������(������&/�
1@%��2��+����%,��� ����������=�6�#�9��F������-��/��3�
���������������W�1���!23��� ���� �������/���������� ��#�����*�(����� &�����
��2����������+������%����4�����������!��������>�*���%��&�!������������������)�
@�6��5�������� ����������&����=I�)�����#� �����53�
��"��������$59�����1())!2�A9�����&�+� #��������+� ��++�"�����5� �������#� �3�
;����"����� ���$59����� 1���2�4������������*�!*����*��������������>�*�������
(-/7���3�W#8���=�����3�
$59��� ��� ��##������ �� 1()!!2� �:�#��� � ��++�"� ����5� ���� ��� #�5�� �"�#�� �������
���8�6�3�4�������?�������#������������(������&��>��(-�7(!�3�
$59��� ��� ��##������� ��� ��#"�##�� �� 1���(2� *� ����#��5� �� �8�6� +�� ������5��
*���5� �����������������$��8�6�8��&��� ����#��3�������������� �������-����!>
�.)3�
�&� � ����A��W�"&�����;����D��=�##��OA���"& Y"6���,�1���/2����#����5���#�"�
�������"��5������� ���5������ ���������5���������5������5� ���� ���#3�?�������#�
�&�� 4������ !���� ������� #��� ������������� ��*���� :�� ��-�7��)(�� ���/3� *���#��#��
��#�������&����EE8883�����3��+�E��7#���EF���#Z��E��-�3��+3�
�������A�1()!/2� �����������@�����&<�������������������*������#�������*���(<������
*�����������2����3���#�"��������%����������"&�"&����#������������� �������'�
�������'�#3�
������� A�� �#����� �� 1()!)2� ?��� �#� �����5����� �� ��8� ����5� ���� ���#� +�� �������
���8�6�3��������������(������&�8����!�7(��3�
���5� %?��@��5� �%� 1()))2� *� ���"&����"� ������� ����5� ���� ���#� ���5� �� �9�� �"�
�"&��#�7���������8�63��������������(������&�8�����(�-7(�(3�
��=�1����2�������� ���������*�A��������#� �������>����3�?�7#����������������
+���&���������%���������������"&���5� ������#��#����7#��������&��+�##�8��5�
8���������������&����EE5##���3��3�5E��#�"������E�"�E�"�Z8����"Z�7�3��+3������
��������()))3�
@��A����#�������������"�������1()).2���������:�#��� �*���5� �����*�����#�
������#�����*#5���& �3�������������� ������?��()�7���3�
�