Modelling seat congestion in transit assignment

28
HAL Id: hal-00348409 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00348409 Preprint submitted on 18 Dec 2008 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Modelling seat congestion in transit assignment Fabien Leurent To cite this version: Fabien Leurent. Modelling seat congestion in transit assignment. 2008. hal-00348409

Transcript of Modelling seat congestion in transit assignment

HAL Id: hal-00348409https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00348409

Preprint submitted on 18 Dec 2008

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Modelling seat congestion in transit assignmentFabien Leurent

To cite this version:

Fabien Leurent. Modelling seat congestion in transit assignment. 2008. �hal-00348409�

�������������� ��������� � �������������

� � ��������������������� ������!�����

�"�#��$������#���������������%&���'����������������##������#��'���������

()���*#+���$���#��%��'�,��"������%&� �����������--.//������#����##'��%'��0������*$%��

��#�1��2�(��.�((��(�((3���0�1��2�(��.�(/��(�.�3�� ��#�+�����3#����4���"3+��

Modelling seat congestion in transit assignment

Abstract

������5����������5� �6��������"����7������������+������������������#���5����������"��

���"� +��� "������8��&���������#� ��+#��"����� ���� "&��"����� �&�� ����������8�63��&��

��������������� ���#� +�������"��5�������� +� ���� ���������������"���"��9�� ����#�

��&����� ���� �����9� #���� �� ����� �##�"������ ��"���� ��� ���"������ ��#���5� ��� �&��

��������+�����"�� �����+�����������#�5�� �6��5��&��#�5�"���������� ������#�3�

*���&��#����#���#�� #�����#5���& ��+��+#�8�#�����5�����#�5�"�����5�������������8&�"&�

��� �++�"����3� *�� �&�� ���8�6� #���#�� �� &9�����&� +� #������ ��� �������� +�� ���#97

�� ���� �:�#��� �� 8��&� ���&7���������� ��5 ���� "����� ����5� ���� �#5���& � ���� ��

�����9��+��0�����"�3�;������&�8���&��� #���#���:�#����� �9�����3�

����#� �0��������� �9� �����5� ���"� +��� +�"������� ������ ��++������������ �� ���"����

"&��"�����"� �����������+��5�����5��������� �5&�����"����:�����3�

Keywords

������� ����5� ���3� ����� "&��"�3� ������5� ��&����3� ������� "���"��93� %���"��9�

�������������5� ���3������9�#��3�������#5���& �3�$��8�6��:�#��� 3�

1. Introduction

��� �������

%��5�������� ��5��� ����� �����#�"� �������� ��� ��� � ������� ����� ��� ����"���+����&�

�&�� #���� "���"��9� ���� �&�� :�#��9� �+� ����"��� ��� ��� ������� ���� �##������� ��� �&�� �������

%���"��9�����<�#��9��+�����"������#�1��=������23�

;���9�� �"� ���#���+������������5� �������#9�����"��5��������++�"��&�������� ���##���

���+����&����+��������;��>������?��#��������5��&��������5��+#�8�������9��""����������

������������#������&���8�������������9����5�����@��5�1()))2�����$59���������1���(23�

A�8�������������"�����8��� �������8����������5������������53�

?��#9����5&���&���&��������� ���"�������������� ���#�"��5�����������&��"����0��

�+� �����"� ������� ����5� ���� �&��� ��� �&��� �+� �9�� �"� ������� ����5� ���3� %������ ��� ���

1����2� "#����+���� �&�� �����"� "��5������� ���#�� ��� �8�� "���5����� �&��� �9� ��� "�##���

��5 ����"��5����������������"��5��������"��5������������#������5 ������� ���##����9�

����"�����5� �� ���"� +��� +�"����� 8��&� ��"&� ��5 ���� �+� �� ������� #���� 1������� ����

�#������()!)2B�8&�����"��5�������������������� ���##����9�#��6��5��&��#����+�:��"9�

����&��+#�8��������5���#�5&���5���5���5��&�5&������5�������������������������"�����5�

8�9������,��%��������������C�1())�2�����%� �����������%����1���(23�*#��������#9��

��"����� ���� $59��� 1())!2� �55������ ��� #� ��� �&�� ������5� +#�8� ��� �&�� "���"��9�

����#��#�� ��� �&��� ����B� �&��� #���� 8��� "�������� �9� �&� � ���� ��� ��� 1���/2� 8&��

"����������&��������#��9��+��""�����5��&�������������"�������"&�����3�

D������"������������&�����������������&��������+�5�����5���������8&�"&� �9����"�##���

�����"��5����������� ������+���������"���5�9� ���� ����9����8������5 ����"��5�������

���������"��5����������"������&����5 ����#���#��������5����������5� �6��������"���������

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���E�-� (!E(�E���!�

+���&���������#���5������������"��"����B�8&������&��������+����������#���#��9���������

����&�������#���#3�

�� �� �������

�&�� ����� &��� �� "��� ��F�"����� ���� �� "� ������� ��F�"����3� �&�� "��� ��F�"����� ��� ���

������� �� ����"� ���#� ��� �&�� #���� #���#� +�� ����� "��5�������� ��� 8&�"&� ����� "���"��9��

"� +��������������"������������5���&��������������9�#������"�������������0�#�"���

8�93��&��"��� ���#�������������������#��������8���������+������&�����#� ��+�#����#�5�

"�����5�9��#����&������5��"�����9��������#�5���3�3��9�#������"�����+� ��""��������5����

�������B���"������&�����#� ��+�#����+#�8�#�����5�"���������������5���5��&���""���7�5����

���� ���0�����&����&�"#��������&�������3��&��#����#�5�"�����5����#� �� ����������"���7

+#�8��#������&�������&��#����#���#��8&������&��#����+#�8�#�����5����#� ��������"�##9����

����5� ������7 ���#3�

�&�� "� ������� ��F�"����� ��� ��� � ���� �&�� #���� ���#� ��� �&�� +� �8�6� �+� ��++�"�

����5� �������������������8�6���&���������5��"� +���"��������6��������"������������

��� ���� "&��"�3� �����"� ����5� ���� ��� ��������� ��� ���� ��� �� �������� �&��� �&�� #����

���� �����������������+���8��&��&�����#� ��+�"� ���#����3�

��� �����������

;�� �&�� #���� ���#� +�� ����� "��5�������� �&�� �����"&� ��� ��� ������+9� �&�� �����#� �����

"���"��9� ��� ��9� ���5�� �#��5� �&�� #����� ���� ��� �&��� ��� � ��5��� �������5� ����� ����

�����9�#��3��8�������9�#��������� �������&������"�"�����+������&����������5������

8��&��� ��#���#��+������9�&�����:�#�"&��"���+�5�����5�����"��������B�������"������&���

�������5�������5���5���5� �&�5&��� ��������������������""���� �����"�������������� ���

�����������5���� �&��� ����3��&�� �8�������9� #��� ���"�� �&��������#��9� ��� ���� ���&��

+� ��&�����������5 ���������������5������9��""���������5 ������#��5��&���������

#�5�1���������"����2���������#��9���#���+����"&�G����"�� ���H� �������+�����:��"��

�+�����5 ���������������5�+�##�8����9� � − ���5 ��������������5������#�5��+����5 ����3�

*���&��#�5�#���#�� �&������"�� ����������������������� �8&������� �8�9�1������#��

(2������9��#����� ���� �#�5�"�����8��&������������"&��"���C����9����&� �&����5 ���7

������"����������&������"�� ����������#�����3�����&��#�5������&��#�5�5����#�C���"�������

�� ���� ������#�� �&��� ��� �� +� � �&�� "���� �+� �&�� ����"�� ����8&�"&� ��� ��������� ���

���� 3�

�++�"����� G#�����#5���& �H������������ ��� "� ���� �&�� +#�8� #�����5��9� ��5 ���� ����

��������&��������������+��&������"�� ����������#����������"��������8�##������������ �#��

���� ��� �++�"����� 8�9�� �&�� ���� ���� �����"�� �+� �&�� #�5� "���3� �&�� �#5���& �� ���

����"������8��&� ��&� ���"�#�+�"�������&���#��6������"����#9��

• �&��������5�������#������+� ���7����������������5��9����������#��5��&��#���������&��+#�8���9������+����97�0��������3�

• �&��#����+#�8���9���5 �������������������&��+#�8���9������+����97�0��������3�

• �&������"�� ����������#�����������&��������5�������#�����3�

• �&������"�� ����"������������&��&��"������9���5 ��������������������&��������5�������#�����3�

• �&�� �������������"���+�#�5�"�����������&��&��"������9���5 ��������������������&��������5�������#�����3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���E�-� (!E(�E���!�

�&���� +�"������ +�� #�����5� �� "�����5� �9� ��� ��"#���� ����� �� �"��"���"� �������

����5� ���� ���#�������"����9�� �"3�

�&����"#������+��&��#���� ���#�����������8�6���++�"�����5� ���� ���#�8��&�"� ���

#������������������&���������+����&������ �#������������ �#������5����1&9�����&�2��

���8�6�������#��5��&��+�##�8��5��������

7 �&����������������+����������#��������� ���+����8�6������������"�3�

7 �&��#�5�"�����5����#� ������#��������������8�6�"�����5��9�����7������������

����� �&�� ���8�6� ������������� �+� �&�� #���� ����#��� ���� ��� ��+� � ���8�6�

"�����5� ��� �� ���+� �"������������� ��� ��� �&������ �#� �����59� ���#��+��������

�����#�����1()!)23�

7 �&���� �����#����������8�6�#�����5�+� ��##���5���������5�������������������&��

������5� ������#������ ��� ���� ������ ��� �&��� ���5��� ��� �&��� "������� ��� �&�� #����

"&��"��������#����������������+�#����"&��"�3�

7 �&�� �++�"��� �+� ������5�� "��5������� ���� "� +��� ��� ���� "&��"�� ���"�� ���

�:�#��� � ���#� �� �&��� ��� "���� ����� �� ���������#� ���:�#��9� ���#� � �+� �&��

&9�����&�6�����������$59���������##������1()!!23� ���� �#����� ����������

�:�#��� �����������&�8������0���3�

7 *� �������� ��&��� �+� �""������� ����5��� ��� �������� +�� ��#����3� *� �� �#��

��&��������������������#�����&����#��9�5���������� �#�� �������&��9��#���5�

���5����"�������+��"����5��"�3�

7 ;�� 5����#� ��:������ ����� ���� &�#�B� �&��� ��� �&�8�� ��� �&�� ������ �+� �� "�+����

������"�3�

��� ��������������

�&�����9��+��&�����������5���C����������0���"�����3���"���������������&��"��� ���#��+�

��#�����8��&���� ����������"� +���������������#���&��������������9�#��B��&����&��

����"�� ����� ��� ��+����� ���� �&�� #�5� "���� ����� ��� ��������3� ��"����� �� ��������

�++�"����� #�����#5���& �� ��� ������� ����"����#9�� �&�� ������5� ������#������ ��� #���� �������

�&�� ����"�� ����������#������ ����"������ ���8�##� ��� �&�� �������������"���+� �&�� #�5�

"���B����&����0� �#������������������ ��"�#��##�������3�

;����"�����.���&��#���� ���#��������5���������������8�6�����5� ���� ���#����"&�#�������

���������� �9� ��� ��9� ���8�6� �"�� ��� �&��� ��� #�5�� �#��5� �&�� #���3� �&�� "���7+#�8�

�#������&��������+�����+��������&���"�#���#�+�����7��������"����&�������&����5 ����#���#�

�#��5� �&�� ������� #����� +�� �&�� ��5 ����"������+� ������5����� �������5�� #���#9� ��� �&�� #����

#���#�+���&���������#�5�3�

�&�� ��&� ���"�#����#9�����+���++�"��:�#��� �����&��������� ���#�8��&������"� +���

�����������������"�����/3��&��+� #��+��&9�����&�"��������������������"#����&��#�5�

"����>� �����&��8���� �&��"���7+#�8� �#������&������ �&�����8�6� #���#3��&��� �&�� ��++�"�

�:�#��� �� ������� ��� �&�� ��#����� �+� �� ���#����� "� �#� ������9� ���#� �� ���

"&��"���C��� ��� �&�� ��#����� ��� �� ���������#� ���:�#��9� ���#� 3� ���� �#��

��� ������� ��� ��� �&�8�� �&��� ��� �:�#��� � ������ ��� �0���3� �&�� �� �#�� ��&��� ���

���#��������#��9�5����������������+���������5��&�� ��&����+��""�����������5��3�

;�� ��"����� �� �� "#����� � �0� �#�� ����#���5� ����� "��5������� ���� ���&� "&��"�� ���

������������� ��"�#��##��������������#�������� ���������&��� #���#���:�#����� �9�

����3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��.E�-� (!E(�E���!�

����#9�� ��"�����-�"��"#��������������� �����������#�����#�� ������������"������+� ���

"� +���������B�����"��������+������"� +���+�"����������"&�"� +��������B���"#������+�

G�����"����H�"�������"�����+��++������5���������B���"#������+�"������&���������#�����

8��&� ����"�� ��� � ��� �+� ��5 ����� ��� #�5� �� ��� #�5� ����#� �� �B� ������ ��++�����������

� ��5����B�#���#9�����"����"&��"�����"� �����+��"� +�����������8&�"&�8�#������#��

������� ���#���&�5&���&���+��#��5�#�5���&���+���&���#�5�3�

2. The line model: assumptions and basic notions

A��� �&�� +�"�� ��� ��� �� 5����� ������� #���3�$�� ��&�� ���8�6� ����� ��� "��������� �� ���

��"�����.3�

?� ���##��5���� �����������������"� +���������������&���"����1����"������3(2������

�#��� ����#���&����� ���������9� #��� �"�������� 1����"������3�23��&�9� #������ ���

��+�����&����������+�������"�� ����1����"������3�2��8&�"&������8�9���������#����G#�5H�

+� ��""����������������5�����������3�*���&������"� �����+���&�������#������"���"��9��

�&��� ��� ���� ����� ��� 5�����5� �� ������ 8&�"&� �6��� �&�� #�5� "���� �� ���� � �����#��

1����"������3.23����� �����&���������+��&��#���� ���#�"����������������5�������#������

����#�5�"����3�

�� �������������������������

;������#�"�������������"������+�:���#9��""���&��������#�"���5������+��#�"���8��&�

������"��������������������������&�����3�;��������������9������� �� ������������

�&��������"��������8����������5������������5��������"#�#9���5��+�"���������������������

#������"��������"����9��&����&�"#�I���""�#�������������"�#������������9��&���#���������

"���� ��� �&����&�"#�I�� ��F�"��9B�&�� �9� �������&��� ����#� �� �� �������"� �#� ����9�

�"�����9��"&���������5��#�������5���� ��"���#�0��5���8�6��5B� �������&����� "&�

#������ ���������"�8���53�

�� � ����������� �+� ��++�"� ��� ��#�"� �������� ��� ������� �&��� ����� +���� �&�� ������5�

������ ���� �&�� �������5� ������ ��� �� #�5�� �0������ 8&��� �� "�8���� ��&�"#�� ������ ��� ��

��������� �&���� ����� �&��� ������ ���� ���9� ��7����� �9� ��� 5��� �� ����� 5����� �8�9� �9� ���

��5���5�������5�3�*���&��������#����������+���"�8���� ����#������� ��������+�����

8���� +�� �&�� ��0�� ��&�"#�� ��� ������ ��&�� �&��� ��� �����8&��� �&��� ��� ��� ��"���� ����3�

��&� ��������� ����5��7���������������������"����9��#��������� ����#������ ��9�

������5�����+���������&��#����8��&�#����"��5��������������+��&������#��� �����&�5&�3�

������ ��� �� �&�������� ������� #���� ��5 ���� +� ��� �������� ��� �&����0��� �&������ �8��

����5� ��������� �#9� ������5����� �������5��8��&�����"������"����� �&��� �+#�"�� �&�����I�

��+���"�����&����������3�

���� �� ������� �� #���� ��5 ����� �� � ���� ���"� +��� "���� ��� �� ���� ��� ������5�� ���� �� � ����

���"� +���"�����������������������5���&������"���� ����������&��� �� �� ≤ �8&�������&��

��++�"�#���3�

� ������������������������!�����

;�������� ����&������9����������"���7 ��� �C��5���������#���"�����7 �6���������5����

��"��&��� ����#� "���3��&����� ����8&�� ��� �������5� ����� ���5��� �� ����� ��� ������������

��"� �������#��#�3�*���&��������#� ������ ����+�����#��#�����������9�κ�+��"���"��9��

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��/E�-� (!E(�E���!�

�����#������ ����� �+� ����� �&���8�#�� #�6�� ��� ����� ��� �9���� �&��"����8&��� �<κ ��

�����5��&���"���"��9����#�����&����� ���3�

;���&���"������#9������������ �Eκ ��+������ �9����3��&��������+�8&�"&������8�#��

5���������� ������������&��� ������� �#��8�9����� ��5� �&����##��+� �&� �&��������:�#�

������#��9� ��� ����� �3�3� ��5#�"���5� �&�� ��������#� ��������� �+� �5�� ���� �&9��"�#� �������

��5�����7��7������#�������5��������������"3�

�&���� �����8&�"&���������"� ������#��#������"� ����������""������ ���������������5�

������&������9���������&��������������5�������&����"� ��5�������8&�"&���� ���##����9� ��� ��5� �8�� �""������� "� ����������� �&�� +���� ���� � ��5� G�&�5&H� ������ �&��

��&������� ��5���"� ��5�����3�

�&��� ���������"� ���#��+������"��5�������� �8�������9� #��������� ���� +����� �&���

�������5������8��&��� ��#���#��+������9�&�����:�#�"&��"���+�5�����5�����"��������B�

������"������&����������5�������5���5���5��&�5&�����������������������""���������"����

������������������������5�����&�������3�

�� ��������������������������

?����G#�5H� +� �����""���� �������� �������5���� ���������#��5��� ������� #����� �&����� ���

������������"�����������"#��8�9����������5����8&�"&�"� +����������&��5���������"&�

#������5 ��������&��#�53�

��������+������G����"�� ���H�����&����:��"���+���5 ����"� +�����������#��5��&��#�53�

;�� �� #�5� ���� �� �+��� ��5 ������ �+� �&��� ��� �8�� "� +��� ������� ����"������ ��� ��"&�

��5 ������&���"�#�������� "&���� �� �����"�� ���������"����������&��#�5��������+�"��

�&�� ���I� ��&����� ��"��� �&�� � ��� �+� �#��������� ����"�� ����� ��� (+� �� �+���

5�����5������������������� �����������#�����������#�����#����&����5�����������3�

�&��������"�� �������+##9����"������9��&���������� �� + ����8&�"&��&�����5������������

8��&� ����0� J33��(K�� ��∈ �� �9� "����������� 5�����5� �� ����� ��� �0����5� ��� �� + � �����

�������5��##������&��#�53�

�&��"�����+�����"�� ������+� ��""������������������5������������ ��� += �����

� LMLM(

2(�1(

2(�1 ��−

+= +≈−+

= +≈ += �

��� �����

�� ������ ��� � 1(2�

�� "�����������������������

�&�������������+���5���������"�� ����������������������#�#9�����&��������"����&���

��+���"�� ��� ��� ������5� ��&�� �&��� ��� ������ �9� 5��� ����� "� ��������� 8��&� ��&��I�

��+���"���� ��#���5� ��� �� "�##�"����� �##�"������ ��"���� �+� ������ ��&�� �&��� ��� ���

��������#�"&��"���+�������"�� ���3�

�� � �&�� ���##��5� ��� ������� ��� ����#� ��&����� ���� �����9� #���� �&�� �����

�##�"������ ��"���� ��� ��"&� ��������"��� ��� � ��C��� �9� �8�� ������5� ������#������� �&��

+����������9� ��� �+���&�5&������������&����&��������9�

+�� �+����"� ��5�����3�A���

�&�� ������5� ������#������ ��� ��6��� ��� �0�5������ ��� ��� ��� ������ �&�� ����������� �+�

����"�� ���������"����3�

�&��������#��9��+�6�����5��������5�+� ������ �� + ����

� L2(1M32(1(

(� ∏−

= ++

+ −−=π �

����

���� �� � 1��2�

�&��������#��9��+�������5������������ �� + �����

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���E�-� (!E(�E���!�

� ++ =π ���� ��� �+�� �=� � 1��2�

� ���

����

���� ��� +

−= +

++ ∏ −−=π 3L2(1M32(1

(

(� �+�� J(33��(K −∈ �� � 1�"2�

�&��������#������ ���

��� 33�� 21 =+π ��������"������8��&��&������"�� ������������"�����&��

���� ���"�����+�5�����5�������"�� ���3�����"�� ������&���������#��9� ���� +π � ��������

���1�2�����"���� ����� +� �����������1(23�

�&�������&������&��#�5�"������������� ������#�� ���� +� ����������5����8&�"&�����"��

���������������3��&�� ����#�5�"��������

� � = ++++ π=≡ �

��

����

��������� ��� � ���� 3L�M�

� 1��2�

�&�������"���+��&��#�5�"��������

� � = +++++ −π=≡ �

� ����

����

��������� ���� ��

����� 213L��M�

� 1��2�

�&��"���������"�� �9������6���������""��������&��5����#�C���"�����+�����#��#��5��&��

#�53� A�8����� ��� �&�� ��:�#� �+� �&�� ����� �&�� +�"�� ��� ��� ���� "���� ��#9�� ���"�� "����

������#��9� ���&9�����&�����5� ���� ���##� �6����������� �����8&�"&��������� ���"�+�"�

����"&��++���3�

3. Statement of line problems and algorithms

A����5� �������� �&�� ��� ������� ���� ������� �&�� +� #��� +�� �&�� �F�� �����

�����#�������&��#���� ���#��#�������8���������++�"������#5���& �������#����&��+� #���

>� ���� ��� ��� ��"#���� ��� ����5� ���� ��"����3� �&�� �#5���& �� &���� ��� �#�

"� �#�0��9� 8��&� ����"�� ��� �&�� � ��� �+� ������"�� �����#��� �&��� ��� �������B� �&���

�++�"���"9�����"&�������&�5&�����"&��:���+��0�#��9������#�3�

�&����"�������� ���������+�##�8���+������� �#��+� #�����������#��&���+���&��������5�

������#�������#��5��&���������#����1����"������3(23��&������#����+#�8�#�����5��#5���& �

����������� ��� #��������""���7�5���� ���� ���0������ �&�� #�����""����5� ��� �&�������9�

#��� ���� 9��#�� �##� ������5� ��������B� #�����5� � ������� �&�� � ��� �+� ������ �#��5� �&��

������� #����� �&���#5���& �&���"� �#�0��9� N21 � � &��"�� ��� ��� �++�"����� 1����"������3�23�

$�0��� �"����� +� #������ �����#��&��� +�� �&�� ����"�� ���� ������#������ ����"������

�&��� ���#�"������ �6��� ��� �++�"����� �#5���& ��+� "� �#�0��9� 21 � � � 1����"����� �3�23�

����#9����#����"�����5��#5���& ���������������"� �����&�� �������������"���+��&��#�5�

"������#��5��&��#�����9��#���5�����"���"� ��������#�"� �#�0��9� N21 � �8&�"&� �6���

����++�"�����+��������"���������1����"������3.23�

��� ����������������������

?�� �&�� #���� ��5 ��������� ��+� �������� ��� #��������"���� �&�� #���� ��++�"��9� �8�� +#�8�

��"���� ����0��� �9� �5���� �������� ��� �� � 1���3� �� 2� ��� �&�� � ��� �+� ������5� 1���3�

�������52������8��&��5��������3������#��� � ≥≥ = �� �� �� ����� � ≥≥ = �� �� �� 3�

�&�������������5������������"������9���+#�8���"��� ����� � >= LM ��# 3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��-E�-� (!E(�E���!�

���� −−κ (� � ��� �&�� �����#� ����� "���"��9� +� � �&�� ������� ��������� �+� �≠≥�� � �&���

�( =κ−−� 3� ���9� ������5� ���� 8&�� �0���� ��� �� �#������ �&��� ������ 8&�"&� ��"������ �&��

�����#������"���"��9�����

� ���� �+κ=κ −

−( � 1.�2�

�&��� "���"��9� �9� ��� ���� �9� �&�� �������5� �����8&�� "������� �+��� ��� ��� � ��� �+�

� >= �� ��� �� 3��&���������#��9��������� ���������

� JE�(K �� ��

��

�� �� κ= � 1.�2�

*+����&���������#�������5���&�������#�"���"��9������"����������

� ��

��

��� �� 3−κ=κ+ � 1."2�

;�� ��� ����#��#�� ��� �&�� ��"� ��5� ����� ��� � ��� �+� � >+ = �� ��� �� � �� 8&�� ���� 8��&� �&��

+�##�8��5�������#��9��

� JE�(K �� +++ κ= ��� �� � 1.�2�

*+����&���������#�������5���&�������#�"���"��9������"����������

� +++− −κ=κ ���� �� 3 � 1.�2�

�&�� +� #��� 1.�7�2� ����#�� ���� ��� ������ �&�� �����#� "���"������ ���� �&�� ������5�

������#�����������5��������������+����������&���&�5&�����"� ��5�����+�"�������+��&��

��"���� �+� ������5� ���� �������5� +#�8�� 8��&� ����"�� ��� �5���� �������� ���� �&�� �""���7

�5�������� ���03�

�� "������$��������������������������

�&�� ���� ���$ ������� �������� ��� ��� ����5�� �� #���� �""���7�5���� ���� ���0� ��� �&��

������5������������5���������#��5��&��#������5 ����3��&��������"�����������"�##9�����&��

������5�������#�������9�����������������������9������B��&��#��6�+#�8���9�"� +���������

�����0�����������"����#�������������3�

*� ��#����� ��&��� +�� �&�� #���� #�����5� ���#� �&��� ����� �������� ������ +�� �� 5�����

��������� �&�� #���� #�����5� �#5���& � "�������� ��� ���#9��5� �&��� ��&��� ��� ���9� ��������

�#��5��&��#�����������+� ��&��������#�������������&��+���#����3�*�����+� ����#9��5�1.2��

�&�� ��������������� ���������&����"���� � ����� � ��+�������5������������5�+#�8�������"&�

���5���#��5��&��#���3�

�&�� ���� ������� ���������� ��������� �� #���� � �8��&� � � ��������� ���� ����� "���"��9�κ3�

;���������#����#�����"#����&���""���7�5�������� ���0� ��

∈< ����� LM 3��&������������#���

����"�##9�"�����������&��������5�������#������ �∈+��� LM ����� �∈�

��� LM B���&����+� �������"&�

��� ��5 ���� +#�8��9� "� +��� ������ ���� �5���� �������� �9� ��� ��������� ���3�@�6��5�

�����#����#�����"#����&�� � ����� � �+#�8���"������5��&��8��&��&���� �� � ����� � �����

���������������"&����5�3�

�&���#5���& ����"� �������+��&��+�##�8��5��������

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��!E�-� (!E(�E���!�

������������3����� ��=� B�#��� ��=�� ����� ��=�� � �∈∀� B�#��� ��=� ����� ��=� 3�

��������������3�;+� �� = ��&����� �������#���#��� (� += �� �����"������3�

����������3�*�������������

7�#���+���� ��� �� +−κ=κ � B��&��� �

�� ��� −=� ������ JE�(K ��� �

���

�� �� κ= 3�

7�#��� ����� ���� 3� += ����� �

��� ��� 32(1� −= � �� >∀ 3�

7�#��� ��

��� ����� 3� +−= ����� �

��� ��� 32(1� −= 3�

7�#��� ��

��

��� �� 3� −κ=κ+ ���&��� � >

+ = �� ��� �� �� ����� JE(�K ��� +++ κ= ��� �� 3�

7�#��� ������ ���� 3� ++= ����� �

����� ���� 32(1� +−+= � �� >∀ 3�

7�#��� +++= �� ���� 3� ����� ++−+= �� ���� 32(1� 3�

7�O�������������������3�

�&��� �#5���& � �5&�� ��� ���� #����� �� �8&��� +�&�3� ;�� ���� "���� +� �� �&��

���� ���� �+� �� "���� �������� �:���� �� � ��� �+� ���������� ���������#� ��� � −� ��

8&�"&����"�����"� ��������#�"� �#�0��9��+� 21 ��� �7������##� ������� ���+���9��"�#�

�������#����3��&��"� �#�0��9���� ��� �#�8��&�����"������&��� ����+�������"�������#���

�&��� "��� ��� ��������� ���"�� �&��� ��� 21 ��� � #��6� +#�8�� �9� "� +��� ������ ���� �5����

�������3�

��5��(�����"����&��"� +�����������#��5����������#��������������������� �9��""�+����

����+� ��������5���� (−� �������&��������5������8��&�������#��9� ��� ����������5������8��&�

������#��9� ���−( ���� +� ���"� ��5���� �� ������&��������5���� ��8��&�������#��9� +

�� ���

�������5������8��&�������#��9� +− ��( 3�

�������������� ��� ����� �� ����������

%������� �3� ��5�� �� ����"��� �� ������� #���� 8��&� .� ��������� ���� �&�� +�##�8��5� �""���7

�5��������+#�8���

• *�� (=� � �&��� ��� (��( =+� � ����� ������5�� � ��5� 8&� � /�(� =� � ��������� ���

����������� ��(� =� ��������������������������� .�(. =� ���������������������.3�

• *�� �=� ��&������ )�� =+� ������������5��� ��5�8&� � ���� =� ����� ���. =� 3�

• *�� �=� ��&������ �.� /� �� ==+ �������5�����3�

����������"���"��9��+� (��=κ ���&��#����#�����5��#5���& �9��#����&��+�##�8��5���#����

�����������

����������

��� ��

������

������������������ 7(

+��

+− ��(

���

���−(

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��)E�-� (!E(�E���!�

• *�� (=� �� +κ==κ (( (��� �� (( =�� �� (��( =+� �&��"���/

( =+� �� (��=� ����� ��=� ��

-3.(� =� �� �/� =� �� �3��. =� �8&����� �3!� =� �� /� =� �� -3�. =� 3�

• *�� �=� �� -3.(� =κ� �� (� =�� �&��"���##��������5�������&���5���&�5&�5�����������

��� =κ+ �� )�� =+� �&��"���(

� =+� �� (��=� ����� ��=� ��

/�� =� �� /�. =� �8&����� .�� =� �� ��. =� 3�

• *�� �=� �� /�� =κ� �� (� =�� �&��"���##��������5�������&���5���&�5&�5�����������

��� =κ+ �� /�� =+� �&��"��/

�� =+� �� (��=� ����� ��=� �� (��. =� ����� ��. =� 3�

• *�� .=� ���##������"� ����3�

%������� 3 ���� �� ������ �&�� ���� ���0� �9� ��#�"��5� ���� +���� #���� 8��&�

L(.���(/�M( =•� 3��&��#����#�����5��#5���& �9��#���������5�������#���������+�##�8���

L����(�/3M=+�� ����� L���(�.��3�.�(��)/3(M=�

�� 3�

����������������� ���� ��������������������������� ��

��� ����������$�������������������

�&��+#�8��&�������"�����+���"&�����"�� ������������������1(2�����1�2�� �9��������#9�

���#���������&���������+��&��������5�������#������1��6���&�����������23�

������+���������������#5���& �������#�����&��+#�8��&����+��##�����"�� ������#��5�

#�5��8��&��5��������������� � ���9����#��5�8��&� �&���""������������� � � �����"68�������

+� � ��8����� � ��� ����� 3� @�� �&�##� ��� �� ��:��"�� �+� �0�#��9� �����#���

L�333(����M ������� −=≤ρ ��������������������"� ��������#��++��3�

�&���#5���& ���� �������+��&��+�##�8��5��������

������������3����� (�� =ρ � ����� �� =� 3�

����������3����� (� −= �� 3�;+� �=� ��&����� ��������#��������

7�#��� ��� �=ρ �� 3�

7�#��� ((32(1� −

+ρ−=ρ ��

��

�� � �+�� J�333��(K ��� −∈ 3�

7�O���������������3�

�&��� +=π ���� � ��+� �=� ���� (

(32(1 −+

+ ρ− ���� ��+� (≥� 3�

�&��"� ���������+�����"�� ����"�����������##������������&���������+��

�Seat capacity κ = 100 Standing Seating

3

4

5

6

7

8

Egress � � �

� �� �� ��

� � �� ��

� � ��Access

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�

�����

������

������

�����

���

<+=

<≥+=

++

−++

��+��

�(+����

��((�

��

(�((��

�&��"� ��������#�"� �#�0��9��+����&��#5���& �� ��� ��� 21 ��� � ���"�� ��� ��������"���+�

�&��� ����+��5���������������� ����&��� ����+��""���������������� ����&��� ����+�

����"�� �����+� ��""��������5���3��&���"� �#�0��9���� ��� �#����"���&������ 21 ��� �

����������#��� ���π ���&���&������"�� �����#5���& �����++�"����3�

%�������&���������'3���������#���� �&��"��������+#�8��&����+� �&������"�� �����

+���&���������������������������.3�=9����9��������� � ���������"�� ����� ���&��"���������

+#�8��&������������"����#9��

���

���

=

!/

(/(�)

�((!(/(�

LM .�� �����

���

���

(�

-)!-3��(�3�

��!)3�!�)3�-/-3�(�/3

LM .�� �

��� "����������������������

������������� ������"� ��������#��++����#�������8������������#5���& �������#����

�&�� �������������"���+�#�5�"���3�*0�#��9������#���������##���+#��������5���&��"����

�+��&����8����� ���7���&�"���������#�����&������� ��������+�"� +��3�

�����������&�� ����#�5�"���� �����+� ��""������������������5���������������#���������"�����

�8��"���������&���#�5���� �#9��

7 �&��������5�"���� �−= +≈= (

2(�1� �

�� ����� �� ��

7 ��� �0�#��9� ���� "���� ��γ � 8&�"&� ��� �� ���� "���� +� � �� ��� �� "���������#� ���

�������5������5 ���� 2(�1 +�� 3�

�&����"����������+9��&��+�##�8��5��"������:���������������&��#�8��+�����#�������#��9��

� ��(2(�1

�� ������� ��� ++≈ += � 1/�2�

� ������

������� ���� �((

��((2(�1� 32(13 +++++≈ γ−++=γ � 1/�2�

� �������� ���� ���� 32(13 γ−+= ++�

� 1/"2�

�&�� #����"�����5��#5���& ������������5������5������������ � ���9����#��5�8��&��""����

��������� �� ≤ � �����"68������� +� ���8����� � �������� 3��&�� ������#� "����������

��� ��� =��� � ���� �� =γ �� � ��� �� = 3�*�� �&�� ���� ���� �+� � � ��� �""���� ��������� ����� ���

"� ����5���0���������������+�����"�����&�� ����"�����5��+��##�#�5��8��&��5���������

&�����"� ��������#�"� �#�0��9��+� 21 �� �� �6��5��&�� ����"�����5��+��##�#�5���#��5��&��

#������ 21 ��� � ����3��&�� �&�� ���� #�5� "�����5� �#5���& � ��� �+� ���� �#� "� �#�0��9��

���"���&������ 21 ��� �����������#��� ���

�3�

�&�� �����"�� �+� �&�� #�5� "���� "��� ��� ��������� ��� �� �� �#�� 8�9�� ��� �&�� ������ �+� ���

�0�#��9� �����"�� ���ϖ � ��+�������� �&�� �����"�� �+� #�5� "���� +� � �� ��� �� "���������#� ���

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��((E�-� (!E(�E���!�

�������5������5 ���� 2(�1 +�� 3��&��"���������#������"�� ���ϖ ������&�������"�� ��� ������+9�

�&��+�##�8��5��"�����+� #����

� L231M32(1 ���(�((�((� ����

����

���� ��� +++++ −γ+ϖ−=ϖ � 1��2�

� L231M32(1 ����� ���������� ���� −γ+ϖ−= ++ � 1��2�

�:�� 1��2� ��� �� +� � �&�� �&��� � �+� ����#� �����"��� �� #�5� +� � �� ��� �� ��� ���&�� �� #�5�

��5�����5�����������5�������##7������5� #�5��8��&�����"�����������#������ �−( ����� � 3�

�&������"#���������"���+��&��#�5�"����� ��������

�2231(13 �� ∆− �

8��&� �� −γ=∆ � �&����++���"�� ���"#����"����3�@��&��� �&��"#�����+��##7������5� ����� �&��

"���������"�����C��3�@��&����&��"#�����+�#�5���&�����5�������������5���&��"���������"�����

���ϖ ��9���+�������3����� �����&������"#���������"��� �������� ��� �32(1 ϖ− 3�

*� �� �#�� ���+� ���#���� ��� 1��2� �9� "��������5� �&��� �� #�5� +� � �� ��� �� �&��� ��5���� ���

�������5�&���������"������5 �������&������������5������������53�

%��������&���������'3���������#9��&��#����"�����5��#5���& ������������.�����5�����

������ ��5� �&��+�##�8��5���5 ����"������ �(� =� �� �(� =� �� .�� =� �� -�� =� �� /�. =� ��

!�. =� ���

*�� .=� �� ....�.. � ��

�==γ= ����� �.... =ϖ=� 3�

*�� �=� �� /��. =� �� !�. =γ �� �3��. =�

��� ��. =ϖ �� (�3��. =� 3�

*�� �=� �� )��. =� �� (��. =γ �� ((�. =�

��� ��. =ϖ �1�##��������������2�� ��. =� 3�

*�� (=� �� (��(. =� �� (/(. =γ �� /3(�(. =�

��� �(. =ϖ �1�##��������������2�� �/3((. =� 3�

;���&����0� �#����&��"���������"����6������ ���������#��B������"������8��&�����"�����

�&��#�5�� ����+���5 ����������#�����&������������#�8�9����"���&�� �����5 ����������

#�5���&�� ������������������5���������3�

%������� &���������'3���� �� ���#9� �&�� #���� "�����5� �#5���& � ��� �&�� ���+���� ����

���0��&��"����� �&�� ���+����������5�������#�����3�=9����9� �������� � � +� �(� ���������

�0����������� � �+� ������.���&�� ����"���������"���������"�����������"����#9��

���

���

=

!

�)�3(.-

�!.3(��)!3(����/3/

LM �� �

�����

���

���

=

..-�3(�

-.-)3(�.�)-3�����3(

LM ��� �

������"���������97�0���+#�8�������������&����&��"���������"�� �9���6�� "&�#�5��

��#��3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�

4. Network representation and cost-flow relationship

?���F�"�����&��� ��� ���� ���� �&��#���� ���#��+������"��5���������� �&��+� �8�6��+�

��++�"� ����5� ���� ��� �� ������� ���8�6�� �&�� ������5�� "� +��� "��� ��� ��6��� �����

"������������ ��� ���� "&��"�3� �����"� ����5� ���� ��� ��������� ��� ���� ��� �� ��������

�&����&��#�������� �����������������+���8��&��&�����#� ��+�"� ���#����3�

�&����������"�##9��8�������"� ���#��+�������������5� ��������7��������3�&9�����&7

�����3�;�������7������ ���#�1�� ������A������()-���,��%��������������C��()!)2��

������"���������������:��"���+��""����������+� ���5�������������������+����������"&�

�""�������������5�#��6�������&����0�������9�������������&��������#���+����##�#��������

#�5�3�;����&9�����&7������ ���#�1��������()!/B�$59���������##�������()!!B������������

�#������()!)2����&9�����&���������"������"9"#�"���75��&��&���"����"�����5������������

�� 5����� ������������� ��5��&�� 8��&� ����5� ���������� ��� ��"&� ����� �&��� ����"���� �&��

#�"�#� �&��� �+� +#�8� ���8���� �&�� �"�� �&��� "� �� ��� �+� �&�� ����� ���� ��#��5� ��� �&��

&9�����&3� A���+��� 8�� �&�##� +�"�� ��� �&�� &9�����&� ���#�� +�� �&�� +�##�8��5� �8��

�������� +�����8�� �9�"������� �&�������+� �����������������+�&9�����&������ �&��� �&��

��&� ���"�#� +� #������+��&9�����&��"�#���������#9� ����"���� ��� ����3���"�����

��������7������ ���#��&�� ����������������"� �����&��#�5�"���������"� ������&��#�5��

�����#�5����#����������������&�����#��"������#��5���5���������������#�����#5���& ��

������� �&�� #�5�"������ ��� ��� �#��� ����5&�+�8��� ��� ��"#��� �����"��5������� ��� �&�� ����

+� #������5������9�,��%��������������C�1())�23�

�&������5�������+��&�������"��5������� ���#����������������8�6�����5� ���� ���#������

�8�+�#������3�?������&������&��#�5�"������&������ �+� ��&�������"��5������� ���#� ���

�����6���������""����8��&����&�����I�����5�"&��"�������&��������������3�?���&����&��

&������&�����8�6�+#�8���&������ �+� ��&������5� ���� ���#�8�##����"���&��#��������

���"�������&�������"��5������� ���#3�

�����"6#���&���������8���&�##�+����������������8�6���������������+��&���������#�������

�&���������+������"����#�53��&���8���&�##���+�����&�� ���#������#��������&��"���7+#�8�

�#������&�������&�����8�6�#���#3�

��� (��$��)��������������

;�� �� ��++�"� ����5� ���� ���#�� �&�����8�6� ������������� ���������� ������"���� �&��

����� �&��� ��� ����#��#�� ��� �&�� ���8�6� ���� ��� �� �� �+� ���&�� ���� �+� �&9��"�#� ����

�"��� �"������������"#���5�����#��� ������ ���9�"���3� ;�� ����#���������� ���#��&��

���I�����"&��"�����������55�5�����&����#���5�"&��������&����������&�+#�8������#��6�

+#�8���&��"���&����++�"�#����3�

�&���������8�9����������������"��5�����������������"������������8�6��"������"&�#�5�

�+� �� ������� #����� ���#��� ��� �&�� �""���� �������� ���� &������ ��� �&�� �5���� �������3� ��� ���

���������������#���� � �8��&� � ���������� � �� ��������+�8�������+� �(���� � ���&���

��� (−= �� � � #������5 ����� 2(�1 +�� 3��&�������+����8�6��������:������� ���#��&��

#���� ��� −+= ��� � ��� � 8��&� (J7(33��K � ��� �� � == ++ � �&�� ������ �+� ������ +�� �""���� ���

�������� � ����� J�33��K � ��� �� � == −− �+���5���������3��&��#������5 �����5���������������

J(�2��1�K �� ���� ���! �� ≤<≤≈= −+ ��+�#����#�5��"������� ����+� 2�21(1PP�( −−= ��� ! 3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�

*�#�5��"�&���������#�"����8&�"&�������������&��#�����""���7�5�������� ���0��8&�"&����

����"����������&�������+�#�5��"��+���&���#���3�

;��#�5�����8�6���&�����������������+��&��#�5��9��#�������9�#�5������5� �������8�6B�

&�8���������&�����8�6��������������8�#���������� �&��"� ����"����� ���"�� ��� ���

�:���� ��� ������+9� �&�� #���� ���� ���0�8&�"&� ��� ���#�5��� ��� �&�� #���� ����"��� �+� ��

���8�6�+#�83�

�&��#�57��7�"������������������#�������� ���������� ���������������"&��"������

��� ��&������ �&��� ��"&� ���� 8&�� "&������ �� #�5� 8�##� ����#� �#��5� ��� �� ��� ���� �0���

���������8&�������&������"�� ����&��5���3�D��������&������"������������5� ���� ���#��+�

���� �#������59���&������������ ���������"���7 ��� �C��5������9�� �"���+� ������

#� ����� ��� &��� ��"������3� ;������ �� ���� 8&�� ���� ���� 5��� �� ����� ��"������ �&��� &�� ���

�������5��������B�������##9�&��8�#��"�������8&��&�����6������������������0������

�&�� ��0�� ����3� �"&� #�5� �7����5� ��&����� ��� ��&������� ���� �&�� #�57��7�"�

������������3�

������������� ��������� ���������������� ���������������

�� ��������������

�&�����8�6� L�M !�" = ����"� �������+�������� ��+������� ����������� ! ��+��"��� �8��&�

���#������ +�� �����&��������� −

�� ���� � 3�*�9���������"���#��5�������� ���������������

#���� ∈� ������+�#����3�*"���&������������#��5�������������#�������"�##���G���7������H�

�"������"�������������&��������������� ������"&�����9�+���3�* ��5����7�������

�"����&����&�������������""��������� +���� ��#��5����������#���� � ����"�##����""�����"�����

�&���#���3�

*"� � �&�������5��������#�"���� ��Q ������������"��+�:��"9� �# �8&�"&��������������&��

#����+�:��"9� �# �8&������������""�����"����#����� ������+����9���&�8���3�

�&�� ���� �+� ������������� ��� �������� �9� � >� +�� ���6� �����3� ��� �� ������������ � � ���

����"������������ �$ ��+���5��7������������1?,2������ 2�1 ��% = �8��&�?,�+#�8��+� ��� 3����

�&������ � � $$ ∈= � ��������"�������&����"����+�?,�+#�8�� $%%� ∈= LM# 3�

*���&���"�#���#��#��� ��� ����������+#�8��+���������"�� ������������� � 3�

*� ��"��� �+� �"7������������ +#�8�� L��M �!����! ∈∈=* � ��� "�##��� �� ���$ �����3� ;���

����"���������&��#�5���+����������#����� ��������������� L��M �!���� ∈∈= ��* 3��

−���

+���

+���

+� ��

−� ��

−+(���

++(���

− ��

−���

+(��

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(.E�-� (!E(�E���!�

��� ����+���$������������

�&���"�"����������� �����������������&�����8�6�+#�8�������� ! * ������&���������+��&��

+�##�8��5�"���7+#�8�+�"������

� L�21M"21 !�! �! !! ∈= **�* � � 1-2�

�&���+� �8�6���"� �����������5���+�"��5��������++�"����

7 ��"�#� "��5������� ���"��� �9� �&�� #�"�#� �"� +#�8� � ∈= � ��� �� �� �9� ����"���5�

21"21" ��! � �=* 3�

7 ����� "��5������� �#��5� �� ������� #�5� �!�∈ �� �9� ����"���5� 21"21" �** �! � = � ���

8&�"&� L�M �� !��� ∈=* 3�

������"���#9���&���++�"���+��&�������"��5������� ���#�����&��#�5�"����"����������������

�&��������3��������&��#����#�����5��#5���& �� ���������������+�+�"�������

� 21 ��� *���� = � 1!�2�

� 21 ��� *��++ = � 1!�2�

+���&��������5�������#�������#��5��&��#�����������������&��+� ���7�������������9��8��&�

����"������&��#�������� ���0� �* 3�

��"������&��#������5 ����"����� (� +��� ����������5����� (� +��� �����������5�"������ ���##������

+�"�������+��&��#�������� ���0��

� 21% (�(� �*++ = ����� � 1)�2�

� 21% (�(� �*++ = ����� � 1)�2�

�&���� �&�� #���� #�5� "�����5� �#5���& � ������� �&�� ���� #�5� "����� +� � �&�� ������5�

������#������ ��� �� �����

+�� �� ���5��&��8��&��&����5 ����"����� (� +��� ����� (� +��� ��

� 2LM�LM��1%QQ (�(��� ���� ∈+∈++= ������

����� ��� �� � 1(�2�

�&����9��&��"� ����������+�+�"�������#�5� 2�1 ��� ≈ ��#��5�#����� ��������"������8��&�

� 22L1%M�2L1%M2�12�11%Q (�(�� �������� ∈+∈++= ������

����� ***�*� �� 1((2�

8&�"&������������&���+����9� 21" ! ��� *= ��6��8��5��&���� ������#�5��"3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(/E�-� (!E(�E���!�

��� ,!�������������

*�&9�����&� 2Q�1 && �= �8��&������������������ � � ����������+�����"����� � �����������5�

+��#�� &Q 3��&��&9�����&��"����� � �����"&��&�����"&��"� �∈� ���#��5�������������������&�

8��&��� � � ��8���� � �� ���� �&��� ��� "�������� ��� �������� "9"#�3��&�� ����5� +��#�� &Q � ��� ��

�����5��+� ! ������ L(��M ��"&��&��� �Q =�& ��+� �∉� �� (Q =� +∈ �!� �& �+���##�������� �#9��5�

���8���� ����� � ��#��5�� �1�0"����+�� � 2�� +�! �����5��&�������+��"���&���5������+�� 3�

�� ���5���������� ����������������������� � ��#��� �' ���������&�������+�&9�����&��"�

����� � � +� � � ��� � � ���� �&�� ���8�6�� ������##9� �� ������ ��� �� �� ��� ����"������

1�353����������������7������ ���#�����&���������+�,��%����������()!!23��

;�������������5� ������&������5�+��#�� &Q �����"������������&9�����&��"������ ����+�&��

"�����������9� JK(Q

�∈= ��& ��+��"� � ������������������""�����"�����+� � ��������������""����

�"� 8��&� ���#� ����� � �� �9� �� ���� �#& E(3QJK ∈= � 8&��� � +∈ ∈=

�!� ��� #� JK(3 �� � �������� �&��

"� ������+�:��"9��+��&���"�����#������&���"�������""������+� ��&�������3��&�������&��

��:�#���&9�����&� 2Q�1 && �= �������� �#�������������"������ ��+� �8&�"&��&������5�+��#��

��������������5&�+�8��#93�

O�����+#�8������� ! * �����&9�����&��"����� �'&∈ ���&��������&9�����&�����5�+��#��

&Q ��&������������&�� ��� �&9�����&�"�����#��5�&������������

� � ��∈ ∈∈

+=21

L21"22181M3Q2�1%&(� ��

! ���

! &��! �

&& *** �� 1(�2�

���8&�"&��

7 21&(� �����&�������+��#� ����9����&���#��5�&�+� ��������

7 ∏ ∈=�� �� && QQ �����&�����&�+#�8�����������

7 21 ! �� * �����&������#�"�����+��"���"���������#����+#�8������� ! * ��

7 &��

&� �E8 α= ��������+���&����#�9����������3�

�&����������"9��+� �����"�"����������&�����&����##�8��+���#����5�����������"�"�������

����#����#�5�8��&����&�����&3�

�&��8�����5�8��5&���5�+�"��� �α � ����:�#���������+��&���������#������""�����#��+� ���

��� ����"��� �9� ��&�"#��� 8��&� ��������#� �� ��� �&��� ���9� ��� �� ��5������ �0��������#�

����������B�������&������"����� ���������� �9���6������++�������#�������&��� &�8 �

8�#�� ��� �##�8�9� ������ +�� �&������5��8�����5� �� ������� ���#� �&�� ����#��+� �&����0��

��&�"#��+� �� ��5��&���������#������&�������""�����#��1�3�3��&����""�����"� &�∈ 23�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(�E�-� (!E(�E���!�

5. Equilibrium analysis

?���&���������+��&�����������+����������8�������8����9������+��������++�"��:�#��� �

�������"�9�����&���#������ ��&� ���"�#����#9���3�@���&�##�+�����������&��+�����#������

�+� +#�8� ������� ���� �&��� &9�����&� ������������3� �&��� �� ��++�"� �:�#��� � 8�##� ���

��+���������&��+� ��+���$��#�����%� �#� ������9����#� �1$%�23�*+����������5����

�:���#����"&��"���C������ ��� �&�� +� ��+� �����������#� ;��:�#��9����#� � 1�;�2�� �&��

�0�����"���+�����:�#��� �������8�##������ ��������3�����#9���� ��&����+��""�������

����5��� 8�##� ��� ��� +�8��� ��� "� ���� ��� �:�#��� �� ���� "����5��"�� "��� ���

�������������&���������+�����#��9�5���8&�"&� �6��������5����"������3�

-�� �������������$����������!���������������������

.����������/0����������$��)���$�����)�!���%����#��%������� �!���! � ∈∈= �LM* ����

#�������� �#� ��� ��� �� �������� �*� �#� ��� �����#���� �&�� �*�� ����������� �#� #��%� ���

*��������+�

� �≥��� � �!� ∈∈∀ � � 1(��2�

� �� −+ ∈∈ +=�� !� ����!� �� ��� �� ���� � ≠∈∈∀ �� �� 1(��2�

��%&��&� +�! �,����)� −

�! -�*�������&����������#�������&����������,����)�������-��*�� � �

�*� ��� ����������������.*���������#��%�#�����*��� ����*����������*�� � )�

���� *1 �����&�������+�+�����#�����8�6�+#�8�������3�

��"�##��5� �&�� ����� �' � �+� &9�����&�� +� � � ��� � �� ���!������� ���$ ������ � 2 � ���

��+����� ��� �� #����� "� ��������� �+� �#� ����9� +#�8�� �#��5� &9�����&�� & � 8��&�

"��++�"������ &�� ��

� L�JKR��M �&�� '&�� �� ∈∈∈=2 � 1(.2�

.���������/0��������!����������$�����)�"�����&�������.*��������� ������������

���� � ∈∈= �LM# /���&�������&�#��%������� � 2 ����#���������#������������������*����

�����#�����&��������������#�#��%���������.*�������������+�

� �≥&�� � �'&�� � ∈∈∈∀ �JKR� � 1(/�2�

� �'&&� ��

�=� ∈ � �� � ≠∈∈∀ �� 3� 1(/�2�

*� &9�����&� +#�8� ������ � 2 � ���"��� �� ���8�6� +#�8� ������ 21 � ! 23* = � ��� �&��

+�##�8��5�8�9��

� � � �∈ ∈ ∈

∈=� '& &(�

���&���

� �

&��21

JK(Q �� 1(�2�

���8&�"&� 21&(� ��������� �&�������+��#� ����9����&��8��&��� & � +� � � ��� � � 1���������

���&�� 8��&� ��� ����� ���������2�� JK( ��∈ � ��� �:�#� ��� (� �+� ��∈ � �� �� ��&�8����� ����

∏ ∈= �� �� && QQ �����&������������+�+#�8�"��������+� � ���� � �����& ��9����� � 3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(-E�-� (!E(�E���!�

�� � �&�� ����"� ��������� �+� &9�����&�� 1$59��� ���� ��##������� ()!!2�� �� +�����#��

&9�����&�+#�8����������"�����+�����#�����8�6�+#�8�����3�$��7��5������9�1(��2�"� ���

+� � 1(/�2�� 1(�2� ���� �&�� ���7��5������9� �+� �&Q � &��"�� �+� �&

Q 3� �&�� "����������� �+� �&��

������������+#�8���������� ����1(��2��������������+�##�8���

� � ��� ∈ ∈ ∈∈∈ ∆=− −+ � '& &(� ���&�!� ��!� ��

� ���&��� 21Q ��

���8&�"&� �� −+ ∈ ∈∈ ∈ −=∆�� !� ��!� ���� JKJK (( 3�$�8�� �+� � � ������� ��"������ ��� � � �&����##�

�&���� ������&��� ����C����9��#���5� �=∆ �� 3��&�����+�� ������"��������� � �����������

�������������� +�� ��� � ���&��� �=∆ �� ����"������������#9������"���� +

�! �&��� (( JK =∈�� �

�����&���� �����#������� −�! 3�����#9���+� += �� � ��&��� (=∆ �� ����"�� �( JK =∈�� �+���##� � �

��� −�! 3��&��

��

'&&��

'& &(� �&��!� ��!� ��

&���

��

�� ����

=

=

=−

� ���

∈ ∈∈∈ −+ 21Q

+� ��&����� ��������� � 2 3�

-� .�������������������#����������������(��

.��������� �/ ������1#���������)�"���� �&���0� ������������ ���� � ∈∈= �LM# /� ��

&�������&� #��%� ������ L�JKR��M �&�� '&�� �� ∈∈∈=2 �%��&� 21 � ! 23* = � ��� ��

���##����������������#��&�������������������� LJKR��M �� ��� ∈∈µ=4 ����&��&��/�#���

���� JKR� �� � ∈∈ +�

� �≥&�� �� �'&∈∀ � 1(-�2�

� �'&&� ��

�=� ∈ � 1(-�2�

� �2�1% ≥µ− �! � & * �� �'&∈∀ � 1(-"2�

� �L2�1M%3 =µ− �! �&� &� * �� �'&∈∀ � 1(-�2�

�&���������������������+�##�8��������"&������������� � ��+� ���"&������ ���##�&9�����&�

"����� 2�1% ! � & * � ��� ��� #���� �&��� �µ � ���� ��#9� �&�� &9�����&�� 8��&� "����

�! � & µ=2�1% * �1&��"�� ��� �#2� �9�"�9������������+#�8� &�� 3��&���"���"�����8��&�

�&�� ��+�������� �+� ��� �:�#��� � ��� ��++�"� ����5� ���� ���"�� @����� ��� ()/���

�""����5����8&�"&���"&���� �6���&�������5�"&��"����������� ��� �C��&����8������#�

"���3�

�&�� ���� �+� "���������� 1(-2� ��� �� ���7#����� "� �#� ������9� ���#� � 1$%�2� ��� �&��

�����#�� 2�1 � � 42 ��8��&�����"������"����+�"��������+�##�8���

L�JKR��221�1M%2�1 ��� �� � '&�� �& ∈∈∈µ−2342 � 3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��(!E�-� (!E(�E���!�

-�� 1#�������������������5�����������6%�

������ �/ ����������5����� �� ������ 1#���������)� !� &�������&� #��%� ������

L�JKR��M �&�� '&�� �� ∈∈∈=2 � �&��� ��� #�������� #��� �&�� �0� ����� �������

���� � ∈∈= �LM# � ����� ���##��� ������������ �#��*����� �#/� #������ #��������&�������&�

#��%������� L�JKR��M �&�� '&�� � ∈∈∈η=7 /����&��*���&��+�

� �21321 ≥− � � � 2728 �� 1(!2�

��%&��&� L�JKR��221�1M%21 �� �� '&�� �& ∈∈∈= 2328 )�

�����3� *�� �� +���� �&��� � 2 � ��� ����:�#��� � �����3� ������5� � 4 � ��� �&������"������

���0��+���#������#�������+�1(-2��+����9� LM &�� η=7 ������� ��+� �1(-"2��&���

� �L2�1M%3 ≥µ−η �! �&� & * �� �'&∈∀ �

� ���������� �'&∈ �9��#����&��� ��'& �&�'&

&�

&� �

��µ=µη≥η �� ∈∈ % 3�

�� �1(-�2�8��5����&��� ��'& �&�'&

&�

&� ��

��µ=µη=�� ∈∈ % ��&��"��

�21% ≥−η� ∈ �'&&�

&�

&� � 3�

�&���9��#���1(!2��+���� ��5����� �∈ ����� �∈ 3�

%������#9����� ���&���1(!2�&�#������ � 2 �������6�� LM &�� η=7 ��:�#���� � 2 ��0"����

��&�����������7���������������� 2�1 � �� �+� �&��� �����#9�����&9�����&� & � ��� �' � �&���

#�����5� 2�1% ! �� & *=µ � ������#9� �����+���� 1(-"��23� ;+� �&��� ��� �8�� �� ���

&9�����&�� ��� �' �� +�� ��9� & � 8��&� �>&�� � #��� �� ��+���� ε−=η &

�&� � � ����

ε+=η ′′ &�

&� � ���&���1(!2�9��#����&���

�2%1% ≥ε−′ &�

&� ��

8&�"&� � �#���� �&��� �&�� "���� �+� ��9� &9�����&� & � 8��&� ��������� +#�8� &�� � ��� � 2 � ���

��� �#���� �' �������+����5� 2�1% �� ! �'&� &�

*∈=µ ��1(-"��2�+�##�8�3�

-�� 1#�������������������

������/1*�����������������#���������3�!��������&����&�������#������� �% �����

��������/� �&����������� �� ������������ ������ #��� �&����*��� �#� ������� ���������%��&�

�������������)�

�����3� ���5� �&�� �;�� +� #������� �&�� ��� ������ ������ �&��� �&�� "���� +�"������

2�1% ! �! & ** � ����"��������8��&�����"������&�����8�6�+#�8������� ! * 3�@&���

�&��� ������ ��� �� "�������� +�"����� 3 � �+� �����#�� � 2 � 1�� "� ��������� �+� &9�����&�

+#�8�2�� �&�� "� ������ +�"����� 221�1% � �� & 232 � � ��� "��������� ��� ��� +�"�����

21 � � 282 � 3� *�� �&�� �� ���� ���� 21 � �+� +�����#�� &9�����&� +#�8�� ��� "����0� ����

"� ��"����&����������&����&�����������#����:�#��9��� �������#�����������#����3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5��()E�-� (!E(�E���!�

�&�� ��:������ �+� ��� �:�#��� � ����� ���� &�#�� ��� 5����#�� ��� ��� �&�8�� ��� �&�� ��0��

��"����3�

-�- 3�����������������!��������������������#���������

�&���;��+� #�����������+#���������#��&��&���0�����"���+�����:�#��� ������������#���

�������5������:�#���������#5���& 3�*���� ���#������+�����&����� ����������@�������

1()).2�������&�� �����5��+��"�"�������&���8�� ��&�����&����&������&����&�8���������

5#���##9� "����5���� ��� ���#�"��#�� ��� ���"&� +�� �:�#��� �� �� �#9� �&�� #�����C���

��"���� ��&��������&����F�"����� ��&��3�A�8�����+���&����6���+��� �#�"��9�8����+��

������ �&��8�##76��8�����&����+��""�������*���5���1��*2���#�&�5&�8��&��������

�� ��������� �&��� ��&��� ��� ��� 5#���##9� "����5���� ��� �&�����"�#� 5������ ��� ���

������#����������������"����5��"�������9����#�"�������9����#����5��&����#��9�5�������&��

"����+#�8������3�;�������8&����&����#��9�5���"� ���"#�������C���������5���������&���

�&��"����+#�8����������"#�����������++�"��:�#��� �����"���&����#��9�5������"��������

8&����&���;��+�"����� 8 ����"�������3�

�&����&��� �����5���������������#�����&����#��9�5��������"&�"����+#�8��������#��5�

�&����������������&����*3�;��8�#����� ����" ���� �����"� �����&����#��9�5��������

����5&�+�8���8�9�����"���&���8�#���:���������#9����������##��&������&9�����&�����

�&�� "� ���� � �9�� ��� �#��� ��� ���� �� &9�����&� "�����5� �#��5� ��"&� �+� �&� � ���

���#���� �&��� "���� ���� �&�� "���� ��++�"� "���������3� A���+��� �� �� �#�� ��&��� ���

���������8&�"&���#9��:���� �&��������5��+�������#������#���#��5� �&������������ ���

�&����*3�;��������#�"��#�������9�&9�����&7�����������������5� ���� ���#����8&�"&��&��

&9�����&�"����������������&��+#�8���������#9��&�5&��&���"�"�����������&�������"�����

1�&���&��#����+�:��"9�"����������#���������&����++�"�+#�8�23�

���� �� "������� &9�����&� +#�8� ������ � 2 � M���3� � 9 L�8��&� ����"������ ���8�6� +#�8�

������ ! * �M���3� ! 5 L�����"��������� &�� �M���3� &

�η L����&9�����&� & �+� ������ ����

������������ � 3�?��� ����������#�����&��"����������������&��+#�8� � 9 ������&������#�

"��������������"��������� � 2 ����+��������

� � � �∈ ∈ ∈ η= � � '& ! �&�� �

�& 2�1%213 *289 3� 1()2�

��������#����&���"�������������"7��������������������7���������3��&���"7�������������

� � � � �

� � � � �

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

η=

η=

!� � � '& &(� ���&�! �

� � '& &(� �� ! ��&�� � !

� �

� �

&

&

21 JK

21

(Q21"

21"Q2�1

*

*298�

&��"��

� � ∈= !� �! �� � ! 121"2�1 *298 �� 1��2�

8&�"&�������9�������#����8&�������&�� � 9 ������3�

*�����&������7�����������

� � � � �∈ ∈ ∈ ∈ ∈η= � � '& &(� �� ! &��

&�� � �

� �&21 218Q2�1 *298 �

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�

#���������"���&��� &�8 �������������������� ! * �18&������"��5��������++�"���������#�������

#���� +�:��"92� ���� �&��� ��9� �� � � �∈ ∈21 8Q&(� ��

&��

�& � ��� �� +�"����� �+� � �� & � ����

21&(� ���#9��+� �&�������������� &�ρ 3��&��

� � � �∈ ∈ ∈ ρη= � � '&&�

&�� �

�2198 �� 1�(2�

8&�"&������#�����+�"������+� � 9 ��&�5&��&�� &�η 3�

%���������8�����0�#��9�&9�����&�+#�8�������21�

� 7 ��&�������������&��67�&�������������

��� ��*� ���#�"������ 8��&� ��:��"�� �+� ����� ��C��� �21 ≥ζ �� � �"&� �&��� (� =ζ 3� �&��

��������"���� 213 2121 ��

�� 287 ��+� �&����0�#��9� ���������� �&�� ��++�"�"���������� ���"���

�9��&��"����+#�8������� 21�� 2 ���� ��#9�

� �∈ ∈= � ����

��

�� �� 212121

213 287 ��

���8&�"&� 21��� � ��� �&�� ���� ����#� "���� +� � ����� � ��� ������������ � � ���� +#�8� ������

21�� 2 ���&������ ��+� ��&����+���������+��&���0�#��9��������9�����5� �����+��##��&��?,�

+#�8�����&��&9�����&��+� ��� �#�"���������&��"������++�"�"���������3�?���&��������

�+�1��2������������5&�+�8�������"����

�� � ∈∈ ∈ −=

−=

!� �! � � ����

��

�� !

��

��

�� �

1�� 21"LM

2�121321

21

2121212121

*

27828778� 1��2�

�������������������������&��"����������21�

� 2 ��8&�"&����"����"��������&��8��5&����

����5�� �+� �&�� ������� �0�#��9� �������21 �

� 7 �� �� < �� 8��&� 8��5&�� "��++�"������

���� Γζ=ζ E21

� 8&��� � −= ζ=Γ (�

�� �� 3� �&�� �"7������ �������� "���� ��� ���#�����

����5&�+�8��#93�=���5���#�����+�"�������&������7��������������"����"�������������

+� ��&��#�������"� ����������+�21�

� 2 ��

� �� −=

−= ζ=ζ= (

�2121(

�212121

212121 ��

�� �

��

��

��

���

�� � 787828 3� 1��2�

����#9��#�������+��������:��"�� �β �����&��+�##�8��5�8�9�� 212�1

�� � � 78ζ=β �����

� 2121

(�� ���� 78ζ+β=β + 3� 1�.2�

�&��� �&������� �� Γβ E �� ����� ��� �&�� ��������"�����+� �&��"���� +#�8����������� ����

�8����++�"�"�����������

� ���� � Γβ= E2121

28 3� 1�/2�

���� ����������������� �����&����*��#5���& ��&����#��9�5������

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���(E�-� (!E(�E���!�

�LML21"M

21231,O

212121

212121

� �� ∈ ∈∈ −+Γ

β=

−=

� ����!�

��

�! �

��

��

�� �

���*

2872

� 1��2�

-�: 3������������������;����3

��++�"�����5� �������������������8�6�8��&������"��5�������"��������+� ����9� �����

�+� �&��+�##�8��5��:�#���������#5���& ��8&�"&� �6�������+� �8�����8�6�+#�8��������

! * � +�� �� "���� ������ ���� ! ! � +�� ��� �0�#��9� ������� �8�� �#����� ����##� �"� +#�8�

��"���� !* � ���� !! �� ���� ���� �+� ����� ��������#�� �� ∈= LM� �� ��� ��������� "����� � ��

�����#��� β �� Γ �2 ��$ ����� 3 3�;���������#���"����������" �� ���"�"����� !��� ∈= LM� �

���� !��� ∈= LM� �� # ∈= �� LM� �� ∈κ= �� LM< �� �&�� ?,� ���� ���0� ����� �� ∈∈= �LM# �� ��

��#���"�� ε ���� �&��"����5��"�� #���#����������:��"���+���"�����5����������� ����

�21 ≥ζ �� �8��&� (� =ζ 3�

�&���:�#���������#5���& ���� �������+�+�����������

�������1����3����� ��=! * ����� ��=!* 3����� ��=� �� ��=β ����� ��=Γ 3�

���.���%� (�������&��3� ���#���� �&�� �"� "����� 21% ! ��� *= � +�� �##� !�∈ � ��� ���

����"�����.3�3�

���%���� �������*����%���*��3����� ��=2 ����� ��=!! 3�������9�������������

����� �∈ ��

7 ������&������ �#�&9�����&������������� � ������&��"�����"�"������9��#���5�

�������������#�� � 3�

7 ������&��?,�+#�8�� L�M ��� ∈ �����&��"���#9����� �#�&9�����&����� � ��

9��#���5��"�+#�8�� ��� 3�

7 ���� � ∈+= � ����22 � 3����� ���� ��� +=� �+���##� !�∈ 3�

���%�2�*���3����� � ∈−= !� �� ��2$ � 3����� �ζ+Γ=Γ � ����� $�ζ+β=β � 3�����

� ∈Γ

β+−= !� ����2�S 3��&���#��� 21� ! ! �! ! *!** −ζ+= �����

21� !!�!! *!** −ζ+= 3�

�������������3�;+� ε≤3 ��&����� ��������#���#��� (� += �� �����5���������� �������%�

(�������&��3�

�&�������� ��� ��&����+��""�����������5�������8&�"&��&���0�#��9�+#�8������� ! ! ������

��7���� �C�������5� �����+��##��&��?,�+#�8������&���������+��&��"��������"����9��&��

"����+#�8������� ! * 3��&��"����5��"��"������� 3 �����&����#��9�5����+��&���������

����"����3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�

6. A simple case of hyperpath choice

��� �##������ �&�� ����� "��5������� �++�"�� ��� "��F�"����� 8��&� &9�����&� "&��"�� ��� �&��

"����0�� �+� ��++�"� ����5� ����� #��� �� "������� �� �� �#�� "���� �������� +� � �&�� �������

���8�6�����&����������3�*���&�� ����5����6���������&�� ����"�8�����������#�������

����������&���9� ����#����"�##���#����*��+�����1�&���'�����0������'5����#�����+�"����

�5����#� ����� 8��&� ��9� &�5&� +�:��"92�� ����"#�#9� ��� ��� �&�� 8�������� ���"�����

��"���� �&��� ��� �� �F�� =������� %����� ��� �������� ��� ,'+������ ���� ��� �&�� %&T��#���

�������� 8&�"&� �##�8�� +�� ����+�� ���8���� �&��� ���� #����� ���� /� ���� #����3� ���7

�6���8�##��5���������#����*����%&T��#���������,'+�����&�������8����+���&����"������

�&�����������"� �����"�����+���:��3��&��������&�5&#9�#�6�#9��&�����7������&�9�8�##�

������8��&���&�5&�"�8���53�

��� ������ �&�� "��5�������� �� �� ���7 �6��� ������##9� ������ ��� ��� �#��������� �����

�&����"� ��5�+� ��&��=�##���##�� ������������ �9������#����*����&�����%&T��#����+���

���5�#����((���������������$�������+������5�#�����3�=�����5�#����*����$���������������

����&���������:��3�

:�� �������������������������

��5�� .� �##������� �&�� ���8�6� ���� �������� ����� +�� �� ���� +� � =�##���##�� ��� ���

,'+����3�?��#����*���&��#�5�+� �%&T��#���������,'+�����"��������&��((� ������������5�

����� �������������5������&���������+����������+���"�������1,����"��������������23��&��

#�5�+� �$������ ���%&T��#���"������� ���8&�����������8&�"&� ������ ���&��3��&�� #�5�

+� �=�##���##�����%&T��#�������#����((���6���(/� �����"#���5�����+��������6����&��#�5�

+� �=�##���##�����$����������#�������#�����"#���5�����+�3�

����"��+�:��"�����������������&E&����#����((�������&E&����#���������������&E&����

#����*3��&��8�����5�8��5&���5�+�"�����������:�#����(3�

�&����++�"�+#�8������"���"��9�������"���������&���������+��&������ ��������ξ�����κ���� ��� �&�� ?,� +#�8� +� � =�##���##�� ��� ��� ,'+����B� ξ� ��� �&�� +#�8� +� � ��&�� ��5����������5� #����*� ��� %&T��#��B�κ� ��� �&�� ����� "���"��9� ����#��#�� ��� #����*� ��� �&��$�������������3�

�������� �������������� ��!����"�� �#$���������

���,'+���� %&T��#�� $�����

=�##���##�

�����*

�� ��

���

(/� ��

+�U���E&

��((

(/� ��

+�U���E&

!� ��

�����*

((V����������5

��V�����������5

�����*���+�U���E&

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�

:� �������/�!����������������

���&�(�8��&��""�������#����*����%&T��#����������&���8��&��""�������#����*����$������ �6��

���&���&9�����&���&9�����&�(� �������+����&�(��#���B�&9�����&��� �������+����&�

�� �#���B� ���� &9�����&� �� ���� �� �&�� "� ��������� �+� ���&� (� ���� ���&� ��� 8��&� #����

"� �������������&��=�##���##���������3�

�&������"�����&9�����&�"���������&��+�##�8��5�+�"�������+��&��������#��9�������������

������5�����&��%&T��#������������

���� )�-(/2(1��((��

�� ��( −=++−+= �

���#

).�2((#���1

��(( −=+= α�

�.(/�((���� ��

� =+++=� �

��2�#���1

���� =+= α

#��

��

�##

�#�#� �3�.3��

33

�((

����

��(((

� −=+

++α=

��

:�� 1#�������������!���������+���#������

������+������������&���� ����8&������&�(�&���"����#�����&������&����

).

�( ≥⇔≤ �����

�&��� #������������ �&���� ����8&��� �&��"� ����������&9�����&���� ��������� �&�����9�

���5#�����&���&��"��������������&���

L�M��

)(

( ���

� ��( ∈⇔

≤�

��

���

�&�� �&�� ���#97�� ���� �:�#��� � ��6��� ��� �&�� +�##�8��5� �������� ��������5� ��� �&��

��#���+���� �������

)(<� ����#9����&���������3�

)(=� �����&����&�������&9�����&��� �9�������3�

M�L��

)(∈� ����#9�&9�����&�������++�"�������������&�(������&���������������##93�

��=� �����&����&�(�����&9�����&��� �9�������3�

��>� ����#9����&�(�������3�

W��8��5�8&�"&�&9�����&����������8�� �9��#������������ �������������

@&������&�(��#�������������&��� J�(K ���

�+ξκ= ������&���:�� �����&���

��>� �9��#���

�&��� ξ−κ<��� 3�

@&������&����#�������������&��� J��K �0ξ

−κ=

�� ������&���:�� �����&���

)(<� �9��#���

�&��� )Eξ−κ>� 3�

;+�&9�����&����#�������������&���

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���.E�-� (!E(�E���!�

��

��

3

3

(

π+ξ

π−κ= �

8&��� 2E1 ((��� ### +=π ����� �( ( π−=π ���&���:�� �����&�����

)( << � �9��#����&���

��E�

�E�

)E

)E

(�(� π+π

ξ−κ>>

π+π

ξ−κ� 3�

*���������8&��������#�&9�����&�����������&��?,�+#�8�����#���������&9�����&�+#�8��

�� �����&���(�(

���

��

���

+π+ξ

−π−κ= ��8&�"&�9��#���

� ξ−κ=π+π++ ������ ��(�( 21 3�

*����=� �� �� =� � ��� ξ−κ=π+π+

��

�(��

�(�� 21 �� �� �&�� � �##���� �� "� �#9��5� ��� �&���

�:�� ������� 2E121 (��

��� π+πξ−κ ��+��##�?,�+#�8����"������9� �� �����������9� (� ������

�&��#�5������� ξ−κ�� ��##�"������9� (� 3�

*��)(=� �� �( =� � ��� ξ−κ=π+π+

)(

�()(

�� 21 �� �� �&�� � �##���� �� "� �#9��5� ��� �&���

�:�� ������� ξ−κ)( ��+��##�?,�+#�8����"������9� �� �����������9� �� �������&��#�5�������

2E121 ()(

�)( π+πξ−κ ��##�"������9� �� 3�

*����5�����?,�+#�8����+� ����������+������++�"��:�#����� �9��0�����

7 ��� L��M�E�

�E�

(� π+π

ξ−κ��&�����������:�#��� �������8��&�

��>� B�

7 ��� L�M�

�E�

�E�

(�ξ−κ

π+π

ξ−κ� �&��� ��� �&��� �:�#������ +���� 8��&�

��>� �� ��"���� 8��&�

��=� �����#����8��&� M�L

��

)(∈� B�

7 ��� L�M)(

�� ξ−κξ−κ � �&��� ��� ���� �:�#��� �8��&� M�L

��

)(∈� � 1��� ��5� �� ���7

� ��9�������#��3�3� ξ<κ (�) 2B�

7 ��� L�M)E

)E

)(

(� π+π

ξ−κξ−κ ��&�������8���:�#�����8��&����&�� M�L

��

)(∈� ���

)(=� B�

7 ��� L�M)E

)E

(�κ

π+π

ξ−κ� ���� �:�#��� � ������ 8��&�

)(<� � 1��� ��5� �� ���7� ��9�

������#2B�

7 �&�� "���� 8&��� ∅≠ξ−κξ−κπ+π

ξ−κ

π+π

ξ−κL�ML�M)E

)E

)(

�E�

�E�

(�(�� � �5&�� �#��� ������

#�����5����+�����:�#����������9���#���+���8��&����&��������"����3�

��� κ>� ������9��&�#����� ���+���������6��������""�����&�������"��5�����������&��

$������>�%&T��#�����5 ���3�

��5��/�����"����&��&9�����&�"�����8��&�����"�����?,�+#�8����+����� ������#����+�

κ� U� (������ ���� ξ� U� !����3� *�� .3( =π � ���� �3� =π �� κ>π+π

ξ−κ

)E

)E

(�� ��� �&�� �5� �� 8��&�

)(<� �+�##������+��&����5�� L��M κ �+���3��� ������

�E�

�E�

(� π+π

ξ−κ���#9����&�(�������3��� �

�E�

�E�

(� π+π

ξ−κ� ��� ξ−κ

�� �� ���&�� ���&� (� �#����� �� &9�����&� �� �#����� �� ���&� "��� ������

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���/E�-� (!E(�E���!�

�:�#��� 3� �� � ξ−κ�� � ��� )Eξ−κ � ��#9� &9�����&� �� ��� ���3� �� � )Eξ−κ � ��� κ��

���&�����&����#�������&9�����&����#����������&�"����������:�#��� 3�

30

31

32

33

34

35

36

37

38

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000

OD Flow

Hyp

erp

ath

co

st

Path 1

Path 2

Hyperpath 3

3 equilibria

1 equilibrium 1 equilibrium

3 equilibria

Hyperpaths 1 and 3 at p =2/3

Hyperpaths 2 and 3 at p =1/9

�����%��&'(�����(���� ������ ������"�������� � ��

7. Conclusion

�&�� "���������� �+� �&�� ����� ��� � ��C��� ��� �&�� �����"��� +� � "� +��� ������

���������������� �&�� #���#��+� �&�� #�5���5 �������� �&��&9�����&�+� #�������+����#97

�� �����:�#��� ��������5��9��&�����������+�����"�� ��������#�5�"������������� �

�����#�3�

�&�����8�6�����5� �����#5���& �8��� � �#� ���������"����������8��&� �&���*���>�

����� ���� �������� 8��&� �� �� �+��� ����� �&��� ������� ��� �&�� ������ �+� #���� ��7

����"��� ���� �+� 5����#�C��� "���� ��"#���5� ���� ���� �����"�� �+� #�5� "����� ��#��� ���

����#��#�� ��� �8�� �#����� ������ 1������ ��� ���� ���-�� ���!23� ;�� �&���� �&�� �:�#��� �

��#�������������������#������� ���+��"�+#�8�������#� ����9�"�����1��"#���5��""���7

�5���� "����� �9� ����"�� ���2�� �&�5&� �����#�� ��� �� �� �+� ��#�"���� &9�����&�3� �&��

"� ������� ���8���� �&�� ����7"��5������� ���#� ���� �&�� ������� ���#�� �� ��������

&9�����&������������5� ���� ���#���&�8����&�������&�� ����5����6��&���������+#�8��

"�#����9��9���� "&������X��#��5� �&�� ���� #����� �&���"�9������/����� ����������

������5������&������������"����3�*#��5��&���5����#������#������&���#������"&��5��

���#� ����������� �##���"����5�����"�����&������+�8��#��������������������������&���

�����+#�8�������&�5&���������������������������5������&������������"����3�

��&��8�6�����&�������"��5������� ���#� �5&��+�"������&��+�##�8��5��������

• ;�����+�"������ �+� ��� "� +��� �������� �353� �����#� �9���� �+� ������ �� "� +���"#�����3�

• ��7����"&��"���+��5��������������������5�����&��"������I��"� +��������3�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5����E�-� (!E(�E���!�

• *����"� +��� +�"����� �9��������"������ ��� ��"&�"� +��� �����3��������� �&���������5�������##� �����#��#���&����������5���&��#�����5��#5���& �����"&��5���

���� ��� �&��"�����5��#5���& � ��� ��� �:���� ��� ���#���� �&�����"� +��� +�"�����

��#9���"��+����"&���5 �������������3�

• ;�"#������+� G�����"����H�"�������"�����+� �++��� ���5��� �� ����B� ��� "��F�"�����8��&� ���##��5� ��&�� "��5������� �++�"��� ��� ������� �"&� ��� �""���7�5����

"��5������3�

• ;�"#������+�"�����8&�"&�������#�����+�"�������+��&��� ����+���5 ��������#�5����&��#�5�����#��� �3�

• ��������++������������"�����&����������������� ���#������������7�++�����8�������������"� +��������#��� �������#����&��+��3�

• ,��"����"&��"�� ���#����"� �����������+��������������&����&��������5�������#��9� �5&������������ ��5�"���������3��&���8�#������#����� ���#���&�5&���&���

+��#��5�#�5���&���+���&���#�5�3�

• ,��"����"&��"�� ���#��+��&����I��8�##��5�����������������5�����"� +����������9�����"�����5���G"&��"�H�������#��9������"&�"� +��������3�

• �����9�#���+����"��#���"� �"��#������3�

;���&����&�I������������&�����"� +���+�"��������������++������������������"����"&��"��

�0���������"�#��9��#���� ������������+��:�#��� ���:�����3�

3�)��$�����������&��6��5�����W���&��5����+����+#�"� �����������&�����8�6�

�#5���& �3��&���������#��55���������+��'�'�"��������������"�����3�

�2�(4! '+�����������������5��#��������������������*��/�67�#���������##����

8. References

%���������%� ������� ��� �#������� 1����2� *� +�:��"97������ ����5� ���� ���#� +��

"��5������ ������� ���8�6�� 8��&� ���"�� "���"��9� "����������� "&��"���C������ ����

"� ���������+��:�#����3��������������(������&������8��=��.�-7./)3�

%� ������� ��� %���� �� 1���(2� %� ��7#����� ���� ������5�� ����5� ���� ��� "��5������

����������8�6�3�������������� �������-���/�7��-3�

,��%�������#�1()!!2����##���4���������*� �����3�

,��%�������������C���1()!)2������������5� ���� ��� ��� �#� ����������++�"�������8�

�#5���& 3����##���4���������*� �������=��.)(7.).3�

,�� %��� ��� �������C� �� 1())�2� ������� ����5� ���� +�� "��5������ ��#�"� ��������

�9��� �������:�#��� � ���#3�������������� ������>��(��7(.-3�

,����"������O�#���5����,"&�����A��W�������W�8��&�8�����1����2���#���������

��� #�� '5#���'� ���� ����#��� +�'��� ��� ;#�� ��� ���"�3� ������*���� �#� �&�� !�4 �

�������� 0�(����*����3�*��%�����������"�3�

���5� O� ���� W���� ��� �#�� ��F�� ��� ������� �� 1���.2� �&�� ��#�� �+� �#����#��93�

������*���� �#� �&�� 4������� ��������� �#������ 4� 9:;�� ������5� 1%,� �� �

�������23�

������������ �������������������������������

��������������� ������!� ��5���-E�-� (!E(�E���!�

�� ��O���A�����O�1()-�2�;����"����������������������#�����53������������ ����

�+����8�6�3����##���4���*� ����������.!�7.!)3�����/��*���5�� ���������������3�

���##���4���*� �����������7�-3�

��������1����2� ����������*���<����������*=����*���&�������3��������������������

"�##�"�������"����,�"3�����������%�"&�������"�3�

������ �� 1����2� %��+��� ��� :�#��'� ��� ����"�� ��� �������� "�##�"��+� ����� ���

��9�5����� *��#9���� ��'#�������� ��� '��#�����)� ������*���� �#� �&��!�4 � ��������

0�(����*����3�*��%�����������"�3�

������������W����C�#�%�������9�=�1���-2�; ��������7�������&�"&��"�� ���#��+��

��������������8�63�;��������*�����#��&��$���*� �#�����������������(������&/�

1@%��2��+����%,��� ����������=�6�#�9��F������-��/��3�

���������������W�1���!23��� ���� �������/���������� ��#�����*�(����� &�����

��2����������+������%����4�����������!��������>�*���%��&�!������������������)�

@�6��5�������� ����������&����=I�)�����#� �����53�

��"��������$59�����1())!2�A9�����&�+� #��������+� ��++�"�����5� �������#� �3�

;����"����� ���$59����� 1���2�4������������*�!*����*��������������>�*�������

(-/7���3�W#8���=�����3�

$59��� ��� ��##������ �� 1()!!2� �:�#��� � ��++�"� ����5� ���� ��� #�5�� �"�#�� �������

���8�6�3�4�������?�������#������������(������&��>��(-�7(!�3�

$59��� ��� ��##������� ��� ��#"�##�� �� 1���(2� *� ����#��5� �� �8�6� +�� ������5��

*���5� �����������������$��8�6�8��&��� ����#��3�������������� �������-����!>

�.)3�

�&� � ����A��W�"&�����;����D��=�##��OA���"& Y"6���,�1���/2����#����5���#�"�

�������"��5������� ���5������ ���������5���������5������5� ���� ���#3�?�������#�

�&�� 4������ !���� ������� #��� ������������� ��*���� :�� ��-�7��)(�� ���/3� *���#��#��

��#�������&����EE8883�����3��+�E��7#���EF���#Z��E��-�3��+3�

�������A�1()!/2� �����������@�����&<�������������������*������#�������*���(<������

*�����������2����3���#�"��������%����������"&�"&����#������������� �������'�

�������'�#3�

������� A�� �#����� �� 1()!)2� ?��� �#� �����5����� �� ��8� ����5� ���� ���#� +�� �������

���8�6�3��������������(������&�8����!�7(��3�

���5� %?��@��5� �%� 1()))2� *� ���"&����"� ������� ����5� ���� ���#� ���5� �� �9�� �"�

�"&��#�7���������8�63��������������(������&�8�����(�-7(�(3�

��=�1����2�������� ���������*�A��������#� �������>����3�?�7#����������������

+���&���������%���������������"&���5� ������#��#����7#��������&��+�##�8��5�

8���������������&����EE5##���3��3�5E��#�"������E�"�E�"�Z8����"Z�7�3��+3������

��������()))3�

@��A����#�������������"�������1()).2���������:�#��� �*���5� �����*�����#�

������#�����*#5���& �3�������������� ������?��()�7���3�