Meck. Mack. Theory Vol. 28. No. 3. pp. 283-299. 1993 0094-114X/93 $6.00 + 0.OO Printed in Great Britain. All rights reserved Copyright ,~ 1993 Pergamon Press LM

M O D E L I S A T I O N D Y N A M I Q U E D E S S Y S T E M E S

H O L O N O M E S P A R L A M E T H O D E D E S

R E S E A U X V E C T O R I E L S

MARC J. RICHARD, ISAAC BINDZI et CLEMENT M. GOSSELIN D~partement de g~nie m,~'canique. Universit~ Laval. Sainte-Foy, Quebec. Canada GIK 7P4

(Refu 27 Avril 1992: refu pour publication 23 Juin 1992)

Rtmm~-Dans cet article, nous pr~,entons une m~thode d'analyse dynamique des syst~mes m~'caniques, bas~-e sur les th~'or~mes fondamentaux de la dynamique. Nous consid~rons des syst~mes m,:'caniques de corps rigides interconnect~ par des joints holon6mes quelconques et ne contenant pas un corps dont le mouvement par rapport i un r~f~rentiel inertiel est une fonction connue du temps, dans deux situations: le syst~me m~.anique est libre de tout mouvement dans I'espace, et le syst~me m~..anique est reli~/t un corps ext~rieur (mouvement par rapport :i un r~f~rentie| inertiel connu ou non, et qui n'est pas consid~r~ dans I'analyse dynamique) par des joints non cin~matiques (ex.: syst~mes ressort/amortisseur), La m~thode du r~seau vectoriel est utilis~'e pour la mod~lisation dynamique. A la fin de cet article, nous incluons un exemple simple qui montre la proc~lure d'application de la m~thode du r~seau vectoriel de m~me qu'il la justifie.

N O M E N C L A T U R E

{a }--matrice-colonne vectorielle n x I, et dont lea ~l&nents sont lea vecteurs a,

[{a }]--matrice vectori¢lle quasi-diagonalc dont les ~l~ments (diagonaux) sont lea matrices colonnes {a,}

a°--matrice scalaire de dimension 3 x 3 symbolisant le produit vectoriel par Ic vectcur a,

a,, d,---d~signent le m~:me vecteur, exprim~ respectivement dans le r~f~rentiel inertiel et dans le r~ft~rentiel mobile G,X, Y,Z,

a--(a 6tant une grandeur scalaite) repr~'sente la matrice a. E~ (E~ matrice-unit~ dans I'espace li 3 dimensions)

{a}.--matrice-colonne, de dimension n x !, dont les /fl6ments sont tous 6gaux :i •

[a}--matrice quasi-diagonale dont les t~l~ments (diagon- aux) sont ItS a,

a,, a;--d~riw~es premi6re et seconde, respectivement, par rapport au temps dans le rff~rentiel inertiel, du Vecleur a~

,';,. ~,--d~riv~'s premic~re et seconde, respectivement, par rapport au temps dans le ~fc~rentiel mobile G, Xo ¥,Z,. du vecteur a0

[C]--matrice quasi-diagonale dont les ¢H~ments (diagon- aux) sont les (7,

6a,.,~a,--variations virtuelles de la grandeur vectorieile a,, dans les r~f~rentiels inertiel OXYZ et mobile G,X, Y,Z,, resl'cctivcmcnt

F--reprc~nte Ic vectcur-force T--rcpr~scnte le vecteur-moment

II a, I[--repr~'sente la norme de la grandeur vectorielle a, ~--reprc~sente le vecteur unitaire dans la direction du

vectcur e (')T--indique la transpos,~e de la matrice consid~r~'e

y---vitesse angulaire absolue, exprim~e dans le rff&entiel inertiel

(ml),--vitesse angulaire absolue, exprim~e dans le rfferentiel mobile G,X, }.,7.,

(~,),--vites.,¢ angulaire absolue du corps rigide i, exprim~e dans le r~f~rcntiel (G~No,G,Z,,G,Z,) associ~ aux. angles d'Euler 0,, ~,,. ~,. A,.msi (a,) , = {0,, ~,,, $,}T

l,--tenseur d'inertie associ6 au corps rigide i, par rapport ~i son centre de masse G, et par rapport aux axes G,X,, G, Y~, G,Z, ii~s ~ ce corps rigide

E.--matrice quasi-diagonale, dont lea ¢~l~ments (diagon- aux) sont tous ~gaux i E3

I N T R O D U C T I O N

La simulation num~rique du comportement dynamique de syst~mes m~caniques quelconques est un probl~me qui a retenu l'attention de plusieurs groupes de chercheurs dans ies deux derni~res d6cennies. Une con~quence en a/:t~ ie d~veloppement de plusieurs programmes informatiques qui sont actuellement utilis~s dans les domaines deta robotique, de i'a~ronautique, des v~hicules terrestres, etc. Un pr~requis essentiel ~, route simulation num~rique eat I'analyse dynamique du syst~me m~canique qui permet une meiileure comprehension des processus de mouvement et de transmission d'efforts.

On observe une croissance soutenue de I'int&~:t pour les programmes d'ordinateur qui permettent de simuler une large gamme de syst~mes m~aniques tout en r~duisant au minimum la masse d'informations que doit fournir I'analyste[I,2]; I'avantage de teis programmes d'ordinateur

283

284 MARC J. RICHARO et al.

• st qu'ils 6pargneraient au concepteur la t;iche monotone et r~pdtitive de ranalyse dynamique au cours de la conception du systdme m6canique, et lui permettraient de se concentrer sur les aspects cr~atifs de sa conception.

Le raffinement des m6thodes de moddlisation dynamique a conduit a la cr6ation de programmes d'ordinateur d. usage g6n6ral: Chace et Orlandea (DRAM et ADAMS) [3-7], Paul (DYMAC) [8], Wittenburg et Roberson[9, 10], Haug et Nikravesh (DADS)[II, 12], Schiechlen et Kreuzer (NEWELL) [13], et 6videmment les aigorithmes bas6s sur la m~thode du r~seau vectoriel [14]. II en existe sfirement beaucoup d'autres et ieur nombre va en grandissant.

Dans cet article, nous pr6sentons un moddle dynamique, bas6 sur ia m6thode du r6seau vectoriel, pour la d6rivation des 6quations de mouvement d'un systdme mdcanique de corps rigides interconnectSs par des joints holonomes quelconques, mSthode de laquelle d6coule raigorithme de simulation numdrique RESTRI [!]. La m6thode du r6seau vectoriel est un outil math~matique utilisant la th(~orie des graphes comme structure de mod(~lisation. Le r~seau vectoriel se compose de noeuds (repr6sentant des points sp6cifiques du syst~me m6canique: centres de masse des corps rigides et points d'interconnexion des corps rigides entre eux) et d'arcs orient6s (repr6sentant les grandeurs dynamiques et cin6matiques associ6es au systdme m6canique). L'ensemble de noeuds et d'arcs orient(~s constitue le diagramme sch6matique du r6seau vectoriel. Pour r6aliser le mod61e dynamique du syst(~me mi.'canique, la mdthode du r6seau vectoriel utilise la th6ori¢ des graphes pour construire un ensemble d'6quations appcl6 6quations constitutives du r6seau vectoriel et d6river un principe fondamentai associ(~ aux arcs du r6seau vectoriel, appcl6 principe d'orthogonalit~. Le module dynamique est compl6t6 par un ensemble d'6quations appel6es 6quations terminales qui d6crivent essentiellemcnt les caract6ristiques dynamiques et cin6matiques des 61(~ments du systdme m~canique (arcs du diagramme sch~matique). Cet article pr6sente ainsi la mani6re par laquelle un mod61e math(~matique pour la simulation dynamique des syst6mes m6caniques de corps rigides peut 6tr¢ obtenu ~i partir des concepts du r(~seau vectoriel. La m6thode pr6sent6¢ ici se veut trds m6thodique et syst6matique, etest bicn adaptSe pour une implantation sur ordinateur.

DIAGRAMME SCHEMATIQUE DU RESEAU VECTORIEL

Pour ~tre en mesure d'extraire les propri6t~s cin6tiques d'un syst~me m6canique donn~, le mod61e du r6seau vectoriel r6alise une discr6tisation de celui-ci d travers un diagramme sch6matique. Dans le cas le plus g6n6ral, un syst6me m6canique tridimensionnel peut contenir les sept (7) groupes d'616ments suivants:

Nj--El6ment repr6sentant un corps rigide (corps poss6dant une inertie en translation et en rotation) et/ou un point mat6riel.

N2--EI6ment repr6sentant un "bras de levier". Cet 616ment permet de localiser le point de connexion d'un corps rigide avec le reste du syst6me m6canique (par i'interm6diaire d'un joint cin6matique ou non) par rapport au centre de masse de ce corps.

N~--El6ment repr6sentant un point du syst6me m6canique dont le mouvement par rapport au r6f6rentiel inertiel est une fonction connue du temps; le point consid6r6 appartient donc au corps meneur.

N4--El6ment repr6sentant le moment, par rapport au centre de masse du corps rigide consid6r6, des forces (internes) exerc6es ~i un point de connexion de ce corps avec le reste du syst6me m6canique.

Ns--El6ment repr6sentant les forces et/ou moments externes s'exer¢ant sur un corps rigide donn6. (Le point d'application de la force externe devra toujours ?:tre ramen6 au centre de masse du corps rigide.)

N6--EI6ment repr6sentant un syst6me ressort (de tension-compression ou torsion)/ amortisseur.

Nr--EI6ment repr6sentant un joint cin6matique.

Cet ensemble d'616ments couvre ainsi tous les 616ments qu'on peut rencontrer dans un syst6me m6canique tridimensionnei queiconque.

Une m~thode d'analyse dynamique des systbne~ mb:anique~ 285

Les noeuds du diagramme sch~matique porteront chacun un num~ro, dont la procedure d'obtention est la suivante:

• Les plus grands num~ros (n, n - ! . . . . ) sont assign~s arbitrairement aux nocuds repr~sentant les centres de masse des corps rigides p~riph~riques (ceux qui sont reli~s par un joint cin~matique ~i un seul autre corps du syst~me m~canique), sans tenir ~videmment compte du corps meneur.

• Les corps d~j:i num~rot~s sont ~limin~s et on r~p~te la m~me procedure pour le sous-syst~me restant. La procedure est r~p~t~¢ jusqu':i ce qu'on air attribu~ un num~ro :~ chaque corps rigide. Le corps meneur portera le num~ro "0".

Pour un syst~me m~canique ne contenant pas de corps meneur, la procedure de num~rotation des corps rigides (plus pr~cis~ment des nocuds repr~sentant leurs centres de masse) est la suivante:

• attribuer fi un corps rigide arbitraire le num~ro " ! " ; • suivre la m~me procedure de num6rotation que ci-dessus.

Un joint cin~matique portera un num~ro ~gal au plus grand des num~ros assign~s aux 2 corps rigides qu'il relie. Aussi, chacun des noeuds symbolisant le joint cin~matique sera dL-sign~ par io, avec i num~ro assign~ au centre de masse du corps rigide et a, celui du joint. II est fi noter que la procedure ci-dessus est valable seulement dans le cas d'un syst~me m~canique ~i structure d'arbre.

Dans le cas off un ressort et un amortisseur relient 2 corps rigides, le montage pratique consiste :i attacher ces 2 ~l~ments au m~me point sur chacun des corps rigides; ainsi nous consid~rerons des syst~mes ressort/amortisseur plut6t que chacun de ces ~l~ments pris s~par~ment. Tout noeud repr~sentant le point d'attache d'un tel syst~me sera d~sign~ par is, avcc b, num~ro attribu~ au syst~me ressort amortisseur (b = n + I, n + 2 . . . . ).

Les arcs du diagramme sch~matique du r~seau vectoriel (repr~sentant les ~l~ments Ni fi NT) sont subdivis~s en branches (de I'arbre) ct cordes (du co-arbre). Nous avons adopt~ les L'critures suivantcs:

(r l) ,--arc repr~sentant le centre de masse du corps rigide i; (r2)~((r2),s)--arc repr~sentant la position relative du centre de masse du corps rigide

i par rapport au centre du joint cin~matique a (ou du point d'attache du syst~m¢ ressort/amortisseur),

(r~),~--arc repr~sentant un point sp~ifiquc du corps meneur; (r, ),,--arc qui permet de tenir compte du moment, par rapport au centre de

masse du corps rigidc i, des forces (internes) au joint a; ( rs)c-arc repr~sentant rensemble des actions externes sur le corps rigide i; (r6),F-arc repr~sentant un syst~me ressort/amortisseur reliant les corps rigides

i et j ; (rT)w--arc repr~sentant le joint cin~matique a.

A chacun des arcs ci-dessus sont associ~s des grandeurs dynamiques et/ou cin~matiques. Tous les arcs (rT)~ devraient ~:tre orient,s de ia m~me fa~;on; ceci pcrmet en effet une interpretation physique simple des ~quations de mouvement g~n~r~s par la m~thode du r~seau vectoriel. La procedure ci-dessus permet de simplifier le probl~me dynamique et procure par la m~me occasion une m~thode syst~matique de construction du diagramme sch~matique.

Ainsi, pour le syst~me m~canique repr~sent~ fi ia Fig. I, nous avons le diagramme sch~matique repr~sent~ fi la Fig. 2. (II est fi noter que tousles arcs n'y sont pas repr~sent~s afin d'all~ger la figure).

Trois matrices peuvent ~tre extraites du diagramme sch~matique du r~seau vectoriel: le diagramme sch~matique du r~seau vectoriei peut ~tre repr~sent~ par une matrice incidente spL'cifiant rordre d'interconnexion des noeuds du syst~me m~anique. Les lignes de cette matrice sont tous les noeuds du diagramme sch~matique et les colonnes t ous l e s arcs du m~:me diagramme. A rinterscction d'une ligne et d'une colonne, on aura un " l " , un " - I" ou un "0" suivant que rare consid~r~ a pour extremitY, pour origine, ou ne passe pas par le noeud, respectivement. Pour la

286 MARC J. RlCtiARD et aL

! I Fig. I . Syst6me m~'canique tridimcnsionnel.

construction de cette matrice il n'y a, en principe, aucune restriction quant ~ I 'ordonnancement des colonnes. II serait cependant avantageux d 'ordonner ceux-ci en ordre croissant, des ~l~ments associt~s au groupe Ni ~ ceux associt~s au groupe NT. De plus, pour chaque group<: d'~i~ments N, (i = I ~ 7), les arcs devraient ~:tre ordonn~s en ordre croissant en commenCant par ceux associ~s au corps rigide ~ plus petit numt~ro; I'interprt~tation physique des ~quations obtenues s'en trouve alors facilitt~e.

Ensuite, la matrice dynamique [,4] est construite :~ partir de la matrice incidente; ses lignes sont toutes les branches du diagramme scht~matique et ses coionnes tousles arc de ce m~:me diagramme. Les ~lt~ments d'une ligne de cette matrice sont obtenus, :~ partir du diagramme sch~matique, en "effa~ant" la branche consid&t~e et en faisant la somme des lignes de la matrice incidente qui

/ ® ~-*.~,+, / , _ + ~. t / ' - ~ :~.~+)+"1 (+>. I.(r')a+++.~

/ :.,+. / ~ ',,- +-+ ?

I / / I , . " / "k~)"-. / / / ~ '~"" ",

, / (r3) ----', Ot x

Fig. 2. R~seau vecloriel du systc~m© m~'canique de la Fig. I.

Une m~'thode d'analy~e dynamique des syst~'mes m~caniques 287

correspondent aux noeuds du diagramme qui restent reli~ au reste du syst6me m~:anique par des cordes. Cette matrice est mieux repr~'sent~e sous la forme:

[A]= U2 A2,. A z T . ( l ) 0 U3 A~. A3~

La matrice U~ est une matrice (vectorielle) unitaire d'ordre n~ (n~ ~tant le nornbre d'~l~ments du groupe N~ dans le syst~me m~canique; i - 1, 2, 3). Les matrices (vcctorieUes) A# sent des matrices de dimension n~ × n s (i = i, 2, 3 et j = 4, 5, 6, 7) et repr~sentent les relations entre les groupes d'~i~ments N~ et N; (en supprimant la branche associ~e au groupe N~, la corde associ~¢ au group¢ N s permet de relier le sous-syst~me au reste du syst~me m~canique).

Finalement, en appliquant le principe d'orthogonalit~ [2] on obtient directement la matrice cin~matique qui est mieux repr~sent~e sous la forme suivante:

|#s,. r B'' B,: B,3 U, 0 1 Bs: Bs3 Us , (2 )

[B] ~"~ / B6, B62 B63 U6 LB~I Bn B73 0 U~

By = -A~(i = I, 2, 3, j = 4 . . . . . 7). (2a)

ENSEMBLES D'EQUATIONS ASSOCIEES AU MODELE DU RESEAU VECTORIEL

Ces ~quations constituent une formulation des lois dynamiques d'~quilibre ou du principe de D'Alembert, qui postulent que la somme des forces et/ou des moments sur n'importe quel corps rigide, y compris les forces inertielles g~n&alis~es, dolt ~:tre ~gale fi z~ro. La strategic dynamique de la m~thode du r~seau vectoriel consiste/t ~liminer, au fur et fi mesure, toutes les branches reli~es fi un ~l~ment inertiel et files remplacer par les cordes adjacentes, fi travers les forces et/ou moments que celles-ci exercent sur le syst~me r~duit obtenu. Ainsi, nous obtenons, sous forme matricielle, I'~quation dynamique associ~e au mod~le du r~seau vectoriel suivante:

[(rv,)l i /={o}.

t(TV,)J La matrice-colonne {TV~} est une matrice vectorielle de dimensions n~ x !, et repr~sente les variables dynamiques associ~es fi l'~l~ment du group¢ N, et symbolise une force et/ou un moment exerc~s par i'interm6diaire de cet ~l~ment. Nous pouvons subdiviser les ~quations dynamiques en 2 classes d'&quations: les ~quations dynamiques en translation et celles en rotation et, en consid~rant les propri~t~s physiques li~es fi chaque groupe d'gl~ments, prendre comme nulles les grandeurs dynamiques qui n'ont aucun sens physique (elles seront ainsi ignor~es dans I'~criture des ~quations). Nous obtenons ies 2 ensembles d'gquations suivants:

Equations dynamiques en translation

IUI Al~ Ai6 U 2 A 25 A 26

U3 A. A36

Equations dynamiques en rotation

I UI A,4

U3 A~

AI5 AI6 A35 A36

(F,)

A,, I l(r )l / ( r , J ={0} A,,j/(r')l k( r , )J

r(T,)l

A,,J t.(--)JT, -- {0}.

(4)

(4a )

288 MARC J. RICHARD et al.

Pour une &'riture correcte des 6quations ci-dessus, ies matrices-colonnes {F~} et { T~} devraient 6tre ordonn6es de la m6me mani6re que les arcs correspondants Font 6td pour la construction de la matrice incidente.

Un postulat directeur du r6seau vectoriel est le postulat de boucle qui 6tablit que la somme al#brique des variables cin6matiques associ6es :i des ~16ments formant une boucle ferm6e est 6gale ~i z6ro. Ce postulat fournit les relations #om6triques et/ou cin6matiques qui gouvernent les mouvements des corps rigides composant le syst6me m6canique. Sous forme matricielle, ies 6quations cin6matiques sont repr6sent6es sous la forme:

t{Av,}J = { o } . ( 5 )

La matricc-colonne {A V~ } (i = I . . . . . 7) symbolise les variables cin6matiques associ6es fi 1'616ment du groupc N . pour l'enscmble du systdme m~canique. D'une mani6re analogue aux 6quations dynamiques, nous pouvons subdiviser les gquations cin6matiques en 6quations cin6matiques en translation et 6quations cin6matiques en rotation (en prenant 6gales fi z6ro les variables cin6matiques qui n'ont aucun sens physique). Nous obtenons ainsi:

Equations cinbmatiques en translation

[ Bs, Bs2 B. U5 O j B6: B62 B63 U6 B7| B72 B73 0 U7

Equations cinbmatiques en rotation

I Bsl B. B6, B63 BTI B7.~

{r,} OU {it} OU {/:'}1 { r , } - - - - / { r ; } - - - -

{r,} - - - - / {r~} - - - - J { r , } - - - -

]{ {~,} o u {f i }" u, o {¢~} - -

u, {~,} - -

0 U , { ~ } - -

{~,}

={0}. (6)

= {0}. (6a)

Nous pouvons aussi consid&er des ~quations cin~matiques en fonction des variations virtuelles des variables cin~matiques. Nous rappelons qu'une variation virtuelle est une variation possible dans la mesure oft eile ne viole pas les contraintes impos~es au syst6me m~canique. Nous disposons donc aussi des 2 ensembles d'6quations suivants:

I Bsi Bs2 B~3 U 5 0 ] B~, & : B.3 U~

B~I BTZ B73 0 U~

r {6r: } 1 / {ar2} /

/ {arS} /

l {ar6} / L {arT} J

= {o}. ( 7 )

[Bs~ B. U~ B6, B~3 BTi B. 0 U7

{ a n , }

{a,,,} j

= {0}. (7a)

Une m~qhod¢ d'analyse dynamique des syst~nnes n~aniques 289

Les matrices-colonnes {&,} et {6n,} repr~sentent, respectivement, les dE'placements virtueis et les rotations infinitEsimales associEes aux ~l~ments du groupe N~, pour l'ensemble du syst~me mE~:anique.

Finalement, les Equations terminales expriment les caract~ristiques physiques des ~l~ments du rEseau vectoriel et sont bas t~ sur les diverses lois de la dynamique. Les Equations terminales des Elements les plus rencontres dans les syst~mes mEcaniques sont

Elements du groupe Nt. (F,)i = -m(F; ),, (8)

(:~,)1 = - 1i" ( v : , , ) , - [ ( , , , , ) , 1 ( I i . (~),), ( S a )

a v ~ (~,),---d~riv~e absolue par rapport au temps du moment angulair¢ absolu, exprim~

dans le r~f~rentiel mobile G~XI YtZi, l~--tenseur d'inertie du corps rigide i par rapport/ t son centre de masse, dans

le rff~rentiel mobile G~X~ YiZ~; (col),----vitesse angulaire absolue du corps rigide i, ¢xprim~e dans GiXi YiZ~.

Elements du groupe Nz. Pour rensemble du syst~me mEcanique nous avons:

{i2} = [{r2}T A,,T{Y, }, (9)

{i:2 } = [{rz }TA, T{~, } + [{r2 }] TA,4T{?' }. (9a) Elements du groupe Nj.

(r~),~ =A(t) , (9b)

(73)o = g, (t). (9c)

Elbments du groupe N4. Pour I'ensemble du syst~me m~canique, nous avons:

A,4{T4} = [Xzl{F,} + A,[{rz}]A~{F,}, (101

avec [X:] ffi A,4[{r 2 }]A27 - [{r 7 }]. (10a)

ElJments de type N6.

(F6)# = --K6(li(r6)• II- U(P~s)il)(f6),s - i ~ 6 [ ( i ' 6 ) i j ' ( r 6 ) i j ] ( r 6 ) i j (11)

II 0'~/)II--longueur du rcssort A l'instant initial; u6---constante de raideur en tension/compression du rcssort; ~/6--co¢fficicnt d'amortissemcnt;

(T6),j = -{6(7,)¢ (12)

{6---constante de raideur du ressort de torsion.

Suite ~ ces trois syst~mes d'Equation, nous devons dEfinir le princip¢ d'orthogonalit~ qui, sous sa forme la plus gEn~rale, s'Enonce de la maniEre suivante: <Si on fair la somme, pour tous les arcs du graphe du diagramme schEmatique du r~seau vectori¢l, des produits scalaires des variables dynamiques avec les variables cin~matiques correspondantes, alors cette somme est nulle> [2].

Ce princip¢ d~coule principalement de I'orthogonalitE des matrices dynamique et cin~matique associEes ~i un systEm¢ m~canique quelconque comme on pent facilement le d~montrer (voir [2]). ConsidErons done un systEme m~caniqu¢ !¢ plus g~n~ral possible, contenant tous les groupes d'~l~ments N I A NT.

En appliquant le principe d'orthogonalit~ aux variables en translation et en choisissant comme variables cin~matiques les dEplacements virtuels des noeuds du diagramme sch~matique, nous obtenons rEquation suivante:

{6r, }T{F, } -I- {6r2 }T {F2} 4" {6r, }T {F3 } -I- {6rs}T{F, } -t- {6r,}T{F,} -t- {6,, }T {F, } = 0; (13)

en d~veloppant cette Equation et en la simplifiant, nous obtenons:

{6r, }T(A,,{F, } + {F, })+ {6r, }TA,s{F,} + {6r,}T{F~} = O. (13a)

290 MARc J. R ~ c ~ et al.

Nous avons pris:

a v e c

{FT} = {F~} + {F,} (13b)

{F~}--matrice-colonne des forces de contraintes aux joints pour I'ensemble du syst6me m6zanique;

{F~ }--matrice-colonne des forces exerc6es (actives) aux joints s'il y en a (par exemple par des actionneurs).

D'une mani6re analogue, en appliquant ie principe d'orthogonalit6 aux variables en rotation, et en choisissant comme variables cin6matiques les rotations virtuelles associ6es aux 616ments du diagramme sch6matique, nous obtenons i'6quation:

{6~, }T([D]A~,{Ts} + {2 ~, }) + {6/T, }T(D]A,6{T6} + {6n,}T{T~} = 0. (14)

Nous avons aussi pris: {r ,} -- + 0 5 )

En faisant la somme des 6quations (13) et (14), nous obtenons 1'6quation:

{br, }t(A[~ {F~} - [ml{F, }) + {6iT, }t([Dla,~ {r~} - [l){~b, } - ({w, }][I]{oa, }) + 6W -- 0, (16)

avec

6W = {~r, }+A,,{F,} + {6~, }+[DIA,,{T,} + {Gr? }+{F~} + {Gn?}T{T~}. (17)

L'6quation (16) est 6quivalente :i 1'6criture du principe de D'Alembert pour le syst6me m6canique. Le principe d'orthogonalit6 pourrait aussi ~tre exploit~ pour d6river le principe de Jourdain sur les puissances virtuelles, en consid6rant comme variables cin6matiques les variations virtuelles des vitesses des noeuds du diagramme sch~matique associ6 au syst~me mbcanique.

ANALYSE DYNAMIQUE DU SYSTEME MECANIQUE

De mani6re g6n~rale, nous allons consid6rer 2 types de r~f~rentiel:

• un r6f~rentiel inertiel, orthonorm~ direct, d'origine 0 quelconque; • un rff~rentiel mobile !i6 ~ chaque corps rigide, d'origine le centre de masse du corps

rigide et dont les axes sont orient6s de preference suivant les directions principales d'inertie de celui-ci.

De plus dans le cas off le syst6me est parfaitement libre de toute interaction physique avec un corps ext~rieur (exemple d'un satellite), c'est-d-dire pour la situation dans laquelle I'information relative au centre de gravit~ du syst~me est pertinente, nous allons consid~rer un rff6rentiel li~ ~i ce centre de gravit~ (r6f~rentiel dynamique). Le mouvement de ce r~f~rentiel par rapport au r~f~rentiei inertiel est inconnu :i priori mais sera d6termin6 d partir d'~quations dynamiques et de consid6rations pratiques.

Pour la situation dans laquelle le syst~me est libre dans I'espace, les coordonn~es g6n6ralis6es sont:

• les (3) coordonn6es du centre de gravit6 du syst6me m6canique; • les (3) angles d'Euler d6terminant l'orientation relative d'un corps du syst~me

m~canique choisi arbitrairement, par rapport au rff6rentiel inertiel; et • les amplitudes des mouvements relatifs aux joints du syst~me m6canique.

Pour la situation darts laquelle le systdme est tell6 ~ u n corps ext~rieur par des joints non cin6matiques (par exemple des systdmes ressort/amortisseur), les coordonn6es g~n6ralis6es sont:

• les (3) coordonn6es du centre de masse et les (3) angles d'Euler, d6finissant compl~tement 1"6tat d'un corps rigide du syst~me m6canique choisi arbitrairement; et

• les amplitudes des mouvements relatifs aux joints du syst~me m~canique.

Une n~thode d'analyse dynamklUe des ~tC-mes m6cauiques 291

Pour un systhne m6canique avec joints holonomes, ies 6quations terminales associ6es aux joints cin6matiques sont:

avc¢

{~,} = [{~'.}l{q} +~ {~,} - , ..

= t{~.}l{q.} + s , .

{~F, } = [{#'_ }){6q. },

{,z,,} = tko.}l{~ ' .} + ~ , .

{a~,} = [{.O.}l{~q.},

(18) (18a) (18b) (18,:)

(18d)

[{#.}l = [ o " {i .} 'J

{e.'} = ~'r

0(~,).

(a = ! . . . . . n),

(19)

(19a)

(19b)

~ 02(~,), ] 02(~')" (~7). = £ £ Oe(rT)° il,~il.j+20~otq.k + Ot 2 k. I , , - , Oq~ Oq,j

, - , , - ,~7~ . , " ~ - + a . ~ . . , J + '

= { a , } = : .

{#'} t (a ; ) . J t ( i , ) . J Les vecteurs (rT). et (oJT). sont exprim6s dans le r6f6rentiel

Des 6quations (6), (6a), (7) et (7a), nous tirons ies 6quations cin6matiques:

A;,{~', } + A I , { 6 } - t~ , {~ , } = {0} .

A; ,b , } - U ,b ,} = {0},

A~.{,S,, } + A T,{~.d - v,{~.,} = {0},

A~,{,5,~,}- t ~ , { 6 ~ , } = {o} .

(20)

(21)

(22)

mobile G,X~Y~Zi avcc i - a.

(23)

(23a)

(23b)

(23c)

Consid~rons le premier cas 06 le syst~me m~canique est libre darts respace. Introduisons les matrices suivantes:

[D'] = ".. , (24)

D,

et B~I: matrice d~duite ~ partir du diagramme schEmatique du r~cau vectoriel et d6finic par:

!, si i = a , (25) (B;i)~= O, sinon.

La matrice B~t peut ~:tre dEduite de la matrice BTt en rempla~ant dans c~ttc dcrniEr¢ les " - I " par des "0", h condition d'avoir orient~ tous ies arcs (rO, des corps ~ grand num~ro vers ceux ~ petit

292 MARC J. RtOtA~ et al.

num6ro; si les arcs sont (tous) orient,s dans i'autre sens, la proc&lure ci-dessus devrait ~tre appliqu6e fi la matrice - Bn. La matrice B;t permct ainsi de s~lectionner, entre les corps que relie un joint donn~, celui dans le r~f~rentiel duquel ies vecteurs associ6s au joint, (rT)a et (wT)a, sont exprim~s. De la relation (24) et (25), nous avons aussi la relation suivante:

[D'] = B;, [D]B;~, (26) 0] [D] = ".. . (26a)

D.

Pour un syst6me sans corps meneur, la matrice A~7 est rectangulaire. Consid6rons ia matrice carrie A~v, obtenue en ajoutant une colonne fi la gauche de la matrice AmT. Nous avons done:

A~, = [am i a,,]. (27)

Pour une orientation des arcs (rT)o des corps fi grand num6ro vers ceux fi petit num6ro, nous avons:

a, = ( - I, 0 . . . . . 0) T, (28)

ia matrice-colonne am est 6videmment de dimension n x I. La matrice A 77 6tant carrie, elle admet un inverse que nous pouvons ~crire sous la forme:

(A~7)- ' : [ 67 ] 6 7 . , (29)

pour I'orientation des arcs (rTL ci-dessus, nous avons:

aT = [ - i . . . . . - I] ( 3 0 )

c'est fi dire: 67 = - {I}~. (30a)

La matrice (A~7)-m sera toujours triangulaire sup~rieure et ia premi6re coionne de la matrice 6 n scra identiquement nulle. Done, ..i partir des relations:

a -m a a a - I (At7) AtT= AtT(AmT) : E,, (31)

nous tirons les relations suivantes:

Am767m : E , - - a | 6 7, (32)

37am = 1, (32a)

6,A,7 : {0}T_ m, (32b)

aTm am = {0}~_,, (32c)

67, Am7 = E._ m. (32d)

La matrice rectangulaire 6n (de dimension n~ x nm) est donc rinverse fi gauche de la matrice .4~7 (de dimension n~ x nT). Donc, r~quation (23c) peut aussi ¢:tre ~r i te sous la forme:

A I, [D] T {6~m } - U7 [D-;}T {6~7 } = {0}, (33)

en multipliant l'~quation (33) fi gauche par 6~m et en y substituant ensuite r~quation (32a) nous obtenons:

{6,~, } = [ n l ( { l L n T {6,~, }, + 6,~m [{p,,}]{6q,, }), (34)

avec [{p. }1 = B;m [D] T BIm [{/~. }]. (34a)

En plus, nous devons satisfaire les relations d'Euler:

{6~m }, = c , ( 6 n , ) , , (35)

Un© m6thod.¢ d'analyse dymunique des systg'mes m6caniques 293

avec I c°s~, sin01sin~t 00 1 C,= -sin~t sin01sin~ ! 0 cos 0,_]

(35a)

et

Nous pouvons donc 6crire:

{a,~, } = [o][Rl{aq},

[R] = [{I},D~rC, " diTrl[{p=}]]

a v ~

r 501 t {6q} ffi / 6,, • (36b)

L {~q.}

De mani6re analogue, nous tirons de 1"6quation (23a): {d~, } = [Ol[r]{~'} + [D]6I,({ ~, } + B'ntD]T[{m, }]B;t r {o,, }) + [DI{I}.DTCI(f2¿ ). (37) {0}

{q} = ~" (37a) 4h '

{q.}

{/z, } = B;, [Olr B; r { tit }. (37b)

De 1'6quation (4). nous tirons:

u, {F, } + A,,{F,} + A,,{F,} + a¿,{F,} = 0. (38)

De me:me, en multipliant r6quation (23) =i gauche par 6Ti et en y substituant ensuite 1'6quation (32) nous obtenons:

{i:t } = {1 }.(~, ), - (Av 57, )r {f2} + ~i7 r, {/"7 }. (39)

En multipliant l'6quation (38)/k gauche par 67 ffi -{1} . r , en y rempla~;ant eFt } par son 6quation terminale (8) (6crite pour l'ensemble du syst6me m6canique) et en y substituant l'6quation (32b) nous obtenons:

{l}rtml{fl } = { I } ~ A , , { F s } . (40)

L'6quation peut aussi 6tre 6crit¢ sous la forme:

M(f'l )a = (Fs)s, (41 )

M qui repr6sente la masse totale du syst6me m6canique, (Fs), qui repr6sente ia somme des forces ext6rieures ¢t (P',)~ qui repr6sente racc616ration du centre de gravit6 du syst6me m6canique.

L'6quation (41) permet de d6terminer le mouvement de translation du centre de gravit6 du syst6me m6canique (origine du r6f6rentiel dynamique).

(36)

(36a)

avec

et (6fl,), = ~6~, ~, (35b)

L&/,,/ et 01. ¢6, ~1 sont les 3 angles d'Euler d6crivant rorientation du corps rigide # i. par rapport aux axes inertiels.

294 MArC J. R l ~ et al.

En substituant r~quation (39) dans r~quation (40). nous tirons de cette derni~re une expression de (r t)l qui. ~ son tour. est substitute dans r~quation (39) pour donner:

(fl) = - A T [(A27 ~7, )T {I72 } -- 6 711 (~"7)] "1- (1). { 1 }r ~ {Fs } (42)

a v e c

.. [m] A. = z~. - ~ {I}.{I}T. (42a)

En tenant compte de r6quation (41). nous pouvons aussi ~rire:

(171) {1},(171)~- T T T -- = A. ~,1 (A z, {rz } - {/"7 }). (43) T T (a2,{172 I..¢ terme A.6n } - {~7}) repr~scnte les d6riv~es secondes par rapport au temps dans le

r~f~rcntiel inertiel des vccteurs-positions des ccntres de masse des corps rigides par rapport au centre de gravit~ du syst~me m~anique. Nous pouvons ~crire:

{r I} {l}.{r, T T _ = }o - -A .~ , , (A~ , { r z } { r , } ) (44) ¢t

{~r, } T T T = - a. a,i (A =, {~rz } - {6r7 }). (44a)

Nous avons aussi:

(~'2) = - [{ r}21 T A ,r , [Xl{q } + [{ e}2l T A T, a T, ((~,, } + B;, [O ) T [ {= }, ]e;T {~ , })

+ [{r}z l tAr4{ t} .O[C,( f~ , ) , + [{/'}z]TAT.[DIT{Ca;}. (45)

{/:7} = [D' IT{L} -- B;,[DITB;[ [{i',}ln;, {~, } + 2[O'lt{ca; } {]',} + [O']r[{ca; }1[{¢~; }1{17,}. (45a)

en substituant les ~quations (45) et (45a) dans r~quation (42). nous obtenons:

B;, [{ca, } In; T = [{ca; }1 (46a) et

{/:, } = - & T 6[, [/~]{q'} - AT6[, {[X~]'611 ({/z, } + B;l[D]W[{ca, }B;, {ca7 })

+ [ x i l ' { q , o [ c , ( ~ , ) , + A I,[{~, }]A ;,JOLT {ca, } -- { f , , }

A15 -2[O'lT[{ca; }1{]', } -(D']T[{ca; }][ca; }117} + { I } . { I } . T ~ {F,}. (47)

a v e c

e t

[X~l = Al4({r~ }1A27 - B; r [{r. }] (47a)

avcc [W] = (/~]T(M'][/~] + [RIT[D)T[t][DI[R], (M'] 67, r r = A. [m]a. 6 7,.

{ p } = [~ ]T[ - - [M] {[X;IT6 I, ({ •, } + e; , [DIT[{W, }]Bg {ca, }) + [X;IT{ q .D, rC, (fZ,),

+ a I, [{ r2 }IT a T, [o1T {,o, } - { ~,, } - 2[D']T [{co; }]{i, } - [O ,]T [{ca ; }1 [{ca ; }1 {~, } }

- 6 . , &.(A,s {F.} + A.6 {F.})I + [RIT[A, ,{T,} + A,6{T.} -- [DlTtll[D][6rn({l~,}

+ B;, i t ) ] T [{ca, )B'T {co, }, ) + { I }. OT C, (O,), ] -- (Z)] T [{ca, }] [rl{ca, })

(49)

(50)

(50a)

(5l)

[~] = [ [X~IT{ t } .D[C, " [{X};] T 61, [{P.}] -- [{e'. }]]. (47b)

De m~me, nous avons: {6r, } -- - A T. 6 r [/zl{6q }. (48)

Finalement, en substituant les ~quations (36), (37), (47) et (48) dans r~quation (16), nous obtenons-

{6q}T{--[W]{~} + {p} + {Q}} =0 ,

Une m~thode d'analyse dynamique des syst~'mes m~caniques 295

{Q } = [{e'-}IT{F~} + [{p.}P ~ . 0 2 )

Le syst~me ~tant :~ structure arborescente et contenant uniquement des joints holonomes, les variations 6q~ sont ind~pendantes (a = 2 . . . . . n; ~, = I . . . . . p°). Nous avons donc n~essairement:

[W] {~'} = {p} + {Q}. (53)

L'~quation (53) est un syst~me de N - - 3 + ZZ.zpo (po: hombre de degr~s de libert~ du joint a) ~luat ions diff~rentieiles non lin~aires du second ordre, en autant d ' inconnues q . . La r~'solution de ce syst~me donne les orientations relatives des corps du syst~me m~canique, et en plus rorientat ion d 'un des corps rigides, pris arbitrairement, par rapport attx axes inertiels. L'orientation de tout corps du syst~me m~canique par rapport aux axes inertiels est donc connue fi tout instant fi partir de r~quation (53). Pour une solution complete du syst~me m~canique, r~quation (53) sera r~solue (num~riquement) en rni':me temps que i '~quation (41). (Ces 2 ~quations sont ind~pendantes si ies forces ext~rieures (Fs)~ ne d~pendent pas de la configuration du syst~me m~canique.)

Pour d~terminer ies forces de contraintes aux joints cin~matiques, il suffit de multiplier rSquation (38) fi gauche par 671 et nous avons:

{r~} = 6,, [m] {~, } - s,, A, ,{F,} - S,, A, , {F,} - {r~}, (54)

et on proc~de de mani~re analogue pour d~terminer {T~}. Pour le cas o5 le syst~me m~canique n'est pas libre dans I'espace, nous avons les relations:

{6ff, } = [D][R °] {6q°}, (55)

{¢b~ } = [D][R °] {4"} + JOIST,({#, } + B;, [D]'r[{¢o, }]B-;T {¢o~ }) + [D]{I},,D~ ~'~(fl,),, (56)

{/.', } = [~o]{4 o} - s , T, {[x~ITS~, ({ ~,} + B;,[D]~[{~o, }1~;,~ {~o, }) + [X~]~ {~}.D,~ C,(n , ) ,

+ A]',[{i'~}]T,~,ID]T{,-, } -- {~} -- 2[D'p[{,o; }]{f',} - [D'p[{,,,; }][{,o;}l{~,} (57)

{,~, } = [u°l{Sq~'}, (58)

JR"] = [{0}. i [RI], (59) [~o1 = [{~}, • -s,~,[~,]], (6o)

"1 Y~ z!

{qO} = 0. . (61) ¢,

{qo}~

Finalement, et de mani~re analogue au cas precedent, nous obtenons r~quation suivante, d~crivant le mouvement du syst~me mgcanique:

[w°]{4 °} = {p°} + {Q}, (62)

[w °] ---- [R°]T[D]T[I][D][R °] -i- [$°]X[m] [p °], (63)

{ p °} = [#°1 {.4,s {rs } + A,, {F, } + [mIST, [[X~]V ST, ({ ~, }

+ ~;, [n]~[{,,,, }]B;T {o~,}) + [x'.,l~ {~}.D,~ ¢ , ( ~ , ), + ~ ~,[{i', }1~ A ,~,[n]~ {,o, }

- { p , } - - 2[D']T [{m; }] {~, } _ [n']'r [{¢0; }] [{m; }] {5 }]} + [R o]T {A , , { Ts}

+ A,~{T,} - [D]Z[l][D][S~({p,} + B;~ [D]'r[{w, }]B-;~ {oJ~ }) + {I},,D~C~(fZ,)~]

- [D]~[{~, }][~] {co, }}. (~)

{QO} = [{e:}IT{F~} + [{p.}lr{T~}" (65)

296 MAgC J. RICHARD et aL

L'expression (62) repr6sente un syst6me de N O = 6 + Y-~" = z Po 6quations diff6rentielles non iin6aires du second ordre en autant d'inconnues q~_. La r6solution de ce systdme permet de d&erminer compl6tement r6tat du syst6me.

A P P L I C A T I O N T H E O R I Q U E

Nous pr~sentons ci-dessous un exemple trait6 analytiquement avec la m6thode du r~eau vectoriel, afin d'illustrer la procedure d'application. Dans cec exempl¢, nous &ablissons les 6quations de mouvement d'un syst6me m~anique, compos~ de 2 corps rigides reli~s entre eux par un joint rotoTde, libre de se d6placer dans respace sous Faction de forces ext6rieures connues (autres que les forces de gravitation), forces qui pourraient &re exerc~es par des syst6mes ressort/ amortisseur reliant le syst6me fi un corps ext&ieur. Nous avons done le sch6ma represent6 par la Fig. 3 (avec Gt Gz = I). II est fi noter que les composantes des forces F~ et les coordonn~s de leurs points d'application Pi (i = I, 2) sont donn~es dans les r6f&entiels mobiles correspondants.

Dans le module du r~seau vectoriel, toutes les forces ext&ieures ont leur point d'application au centre de masse du corps rigide consid&E Ainsi toute force ne satisfaisant pasce p~alable sera remplac6e par la m~me force, consid6r6e comme ayant le centre masse pour point d'application (tout en gardant les m~mes sens, direction et intensit6), et par un couple qui exprime le moment de cette force par rapport au centre de masse. Ainsi, pour l'exemple ci-dessus, nous devons consid6rer les couples externes:

F.,;,,[.

Les coordonn6cs g6n6ralis6es sont les coordonn6es x~, y~, z~, de G, dans Ic r6f6rentid incrticl, les angles d'euler 0,, ¢,t, Ol d6finissant l°orientation du corps rigide #1 par rapport au r6f6rentiel inertiei OXYZ, et I'angle a de rotation relative des 2 corps rigides. Les syst6me m6canique de la figure 3 possdde done 7 degr6s de libert6 et les 6quations terminales des 616ments de type Ns et N7 sont:

fs,,,] f o ) ) °rts,,l'- t 0 t/,,<<+,,+, l

lf.-,J lm,gJ lf,,sO,s~, +k, sO, e¢, +./'..,cO,-m,g

F,

Fig. 3. Diagramme sch6matiqu¢ d© deux solidcs dans l'¢space.

Une m~'thode d'analyse dymunique des syst~-mes m~caniques 29"/

( £ 4 t , . . g J [ / ~ , s # : + £ ~ , c # ~ + f ~ : a ~ , - , . . g

avec ~2 : 4), + ~, variable interm~diaire (ce n'est pas une coordonn~e g~n~ralis~-e). Le diagramme du r~eau vectoriel est repr6sent~ ¢tla Fig. 4 ci-dessous. Nous avons donc les

matrices suivantes, associ~-s au syst~me mt:'canique:

! ~,.:[,o o,]..,,:[,o o]. ~,.__,o,. ~,~=[-]. ~,.=,o,. ~,.=[,o o,]. ~o:,o,. [-:] A~, = [o1, ,4~, = , A~, = [o1, .4~j = [o], j = 4 . . . . . g; B,, = [0. l]; ,~,, : [0 l].

L'~quation ~ appliquer ~ cet exemple est r~quation (62), que nous reprenons ici:

avec

[WOl{~ o1 = {po}

[ '~' l

, ' t ' l I £1 {#°} = ) ~', ,

| ~ . , I °

L~,J

[W °] et { p°} sont donn~-s par les ~quations (63) et (64) respectivement,

Z

I Za " " , , I • I %1 t t

, ~ / / / 0 ~4),2 (r l )~

J (rS) T

I I I I

s

• %

• I / 0

• t

p•'•j O j O ° J

J

X

Y

Fig. 4. R~seau ~ctoriel du systole de deux solides en Fig. 3.

MMI" "~1 ~l--I

298 Mmtc J. RICHARD et a t.

av~::

et

[R °] =

[#°] =

0 0 0 cO, 0 sO, sO, 0 0 0 sol 0 -sO, CO, 0 0 0 0 I cO~

0 0 0 cot 0 sO, sO, 0 0 0 sot 0 sO, sOt 0 0 0 0 1 cO,

0 0 0

sO,~, "

-sO, sOt cO,

I 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 -IcO, sO, -IsO, cO, 0 0 0 I 0 IcO, cO, -lsO, sO, 0 0 0 0 I lsO, 0 0 0

= [R ° ] r [ l l [R °] + [p °]r [m] [p °]. [ w o]

De m~me, nous pouvons ~crire les forces externes en terme du r~seau vectoriel:

{ p °} = [~ °1 {A,, {F, } + A,6 {F6 } + [rap,, [[x~]',~ T, × ({/~7 } -t'- B.~ T [D ]T [ {w , }]B.~ T {(07 }) + [x~] T { I } . D T C, (£"Z,),

+ A T,[{/'~ } ]"A ,~,[oP{~,, } - {u , } - 2[D']q{,, , i } ] { L }

-[D']"[{.,,; }][{~;)] {~,}]} + [R °] {~ , , { r , } + A.~{r.} - [Olq,,][Ol[,~T, { u, } + {I}. oT¢, ( n , ) , ] - [ o ] q { o , , }][ll {o,, }}.

Finalement, si on substitue toutes les variables par leurs valeurs matricieiles, nous obtenons ies ~quations diff~rentielles du mouvement qui sont (d titre d'exemple pour les 3 premieres coordonn~-s #n~ralis~es):

(mr + m2).~ , + m21cO, sOt ~, + mzlsO, cO, ~/'l = f d (cOl cOt -- sO, sO, cO, )

- L , (sO, cO, + cO, sO, cO, ) + f . sO, sOt +Z2(c02CO, - sO,sO, cO, )

- fn(s02cO, + c02sO, c0, ) + f..2sO, sO, - raft(-O~sOtsO, + 20, ~, cOt c O , - ~sO, sO, ),

(m, + m2)Y, + m21cO, cOt~, + m, isO, cOt~', ---f~,(cO,sO, - sO,cOtcOt)

- f , (sO, sO, - cO, cO, cot ) - f . . , sot cO, + f.2 (cO,sO, + sO2 cO, cot )

- f~2(sO2sOt - c02cO, cO, ) + f~,sO, cO, - mfl(O~sO, cot + 20, (6 cO,sO, + (t ~sO, cO, ),

(mr + ml)£, - mz lsOt g, = f , , sO, sot + L , sot cot + f..i cO,

+Z~sO, sO~ + f.,sO, cO~ + f:, cO, - (m, + m~)g + m~ i0~ cO,.

IIest ~vident que cette approche syst~matique est beaucoup plus simple ¢t attrayante Iorsqu'elle est expioit~e par un ordinateur. Actuellement, nous avons un programme d'ordinateur, con~;u/~ par'it de cette th~orie, appel~ RESTRI (pour RESeau TRIdimensionnel), don, ies applications possibles de simulation son, largement r~pandues dans tous les domaines de la m~canique.

C O N C L U S I O N

Cet article pr~sente une amelioration des fondements analytiques de la mod~lisation dynamique bas~'e sur la m~thode du r~seau vectoriel. Les ~quations dynamiques d'~tat d'un syst~me m~canique de corps rigides interconnect~s par des joints holonomes quelconques (sans corps dont le mouve- ment par rapport au r~f~rentiel inertiel est connu) ont ~t~ d~velopp~s suivant une proc&lure tr~s syst~matique. Une caract~ristique de ia mod~iisation dynamique lanc~e sur la m~thode du r~seau

Une m~thode d'analyse dynamique des syst~nnes m~caniques 299

vectoriel est que les corps rigides ne sont pas analysL's individuellement, mais en groupe constituant des corps rigides globaux, ceci permettant de comprendre les influences mutuelles des corps let um sur les autres. L'algorithme du r~seau vectoriel permet aussi de calculer, i tout moment, let forces et couples de contraintes aux diff~rents joints du syst~me m~.anique. Le programme de simulation nurn~rique associ~ au module pr~sent~ dans cet article est actuellement implant~ sur ordinateur et nous permet d'analyser des syst~mes m~caniques tridimensionnels.

B I B L I O G R A P H I E

1. M. J. Richard, Ph.D. thesis, Queen's University, Kingston, Ontario (1985). 2. G. C. Andrews. Course lecture-notes, Department of Mechanical Engineering, University of Waterloo, Waterloo,

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Brigham Young University. p. 33 (1983). 4. D. A. Smith. M. A. Chace et A. C. Rubens, Trans. ASME JI Engng Ind. 95, 629 0973). 5. N. Orlandca, Ph.D. thesis, University of Michigan, Ann Arbor, Mich. (1973). 6. N. Orlandea, M. A. Chace et D, A. Calahan, Trat~. ASME J! Engng Ind. 99, 773 0977). 7. N. Orlandea and M. A. Chace, Society of Automotive Engineers. Paper No. 770053 0977). 8. B. Paul. Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall. Engiewood Cliffs, N.J. 0979). 9. J. Wittenburg. Dynamics of Systems of Rigid Bodies. Teubner, Stuttgart (1977),

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Analysis of Mechanical System Dynamics, University of Iowa 0983). 12. R. A, Wehage et E. J. Haug. J. Mech. Des. 104, 247 0982). 13. W. Schiechlen et E. J. Kreuzer, IUTUM Syrup, Dynamics of Multibody Systems (Ed. K. Magnus). Springer, lkdin

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VECTOR NETWORK FORMULATION FOR THE ANALYSIS OF RIGID BODY SYSTEMS WITH HOLONOMIC CONSTRAINTS

Abstract--This paper describes a method for the dynamic analysis of mechanical systems based on the application of fundamental theorems of dynamics. It considers rigid body mechanical systems intercon. nected by any type of holonomic constraint which do not contain a body whose motion relative to an inertial reference frame is a known function of time. These systems are evaluated for two different ~_,e~__: the mechanical system moving freely in space, and the mechanical system connected to an external body by non-kinematic constraints (e.g. spring/damper systems). Finally, a simple example is provided to demonstrate the validity and applicability of this new method.