MODELADO Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS

TALLER DE GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

JOSÉ LEONARDO COLOMO RODELO

EMERSON ANDREIS ROJAS FERIS

Estudiantes de Maestría

Presentado al Profesor:

Dr. JUAN CARLOS VELEZ DIAZ

División de Ingenierías

UNIVERSIDAD DEL NORTE

BARRANQUILLA

AGOSTO 18 DE 2015

INTRODUCCIÓN

El presente informe contiene los detalles de experimentar con

dos problemas relacionados con las variables aleatorias, el

primer problema consiste en la realización de un tests de

correlación grafico a un algoritmo de congruencia

caracterizado como ξ j +1 = (ξ j + c) mod(m) desarrollado en la

herramienta MATLAB capaz de servir como generador de números

aleatorios enteros (RG) al cual inicialmente se le asignan

números arbitrarios para comparados con el mismo algoritmo

asignándole números prestablecidos. El segundo problema

consiste en la simulación en MATLAB de un sistema cuya

entrada es una variable aleatoria gaussiana a cuya salida se

le calcularon características como la PDF.

OBJETIVO GENERAL

Simular variables aleatorias para analizar experimentalmente

sus características típicas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Construir Algoritmo de congruencia generador de números

aleatorios enteros en MATLAB

Aplicar test de correlación grafico a algoritmo de

congruencia generador de números aleatorios

Establecer conclusiones a partir del análisis a test de

correlación de modelado de variables aleatorias

Caracterizar a partir de la PDF la salida de un sistema

el cual recibe como entrada una variable aleatoria.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1. Realizar un RG en Matlab con la expresión:

ξ j +1 = (ξ j + c) mod(m)

Asignar valores enteros arbitrarios a las constantes a,

c y m. Asumir que ξ j=1. Aplicando el test de correlación

diga que tan bueno es el RG que se ha realizado. Se debe

tratar de mejorar cambiando los valores de las

constantes. Muestre los resultados para los nueve

valores. Finalmente pruebe con los valores a=65, c=1 y

m=2048.

El test de correlación es una gráfica ξ j +1 en función de

ξ j.

2. Realizar en MATLAB la simulación del sistema mostrado en

la figura. La entrada X es una variable aleatoria

Gaussiana de media Cero y varianza σ2, a es un valor

constante| mayor que Cero.

Encontrar a través de la simulación de variables

aleatorias, la PDF fy(y) y asociarla con alguna PDF

conocida. Será posible encontrar alguna relación entre

los parámetros entrantes y salientes de las

distribuciones? Intentar a través de experimentos

realizados sobre el sistema.

Entregar el código fuente del simulador, los resultados

obtenidos y las conclusiones pertinentes.

DESARROLLO

TEST DE CORRELACION PARA EL RG

Distribución realizada para valores a = 45 y m = 1777

Distribución realizada para valores a = 65 y m = 2048

CARGANDO LOS DATOS A LA HERRAMIENTA

Grafica para la función de densidad obtenida a través de los datosgenerados aleatoriamente.

Lista de distribuciones posibles que contiene la herramienta paraajustar a la gráfica de la pdf.

PRUEBA DE OTRAS DISTRIBUCIONES.

Aplicando la distribución normal se observa que no es acorde a lapdf.

Aplicando la distribución rayleght tampoco se ajustaría a la pdf.

PRUEBA DE ALEATORIEDAD CAMBIANDO LOS PARAMETROS

Exponencial para a = 1

Exponencial para a = 2

Exponencial para a = 3

Exponencial para a = 10

OBTENCIÓN DEL POLINOMIO

Valor de los coeficientes calculados por la herramienta para la expresión algebraica.

Expresión algebraica que mejor se ajusta a la curva de la función de densidad.

CONCLUSIONES

Para el primer punto se realiza el experimento de una serie dedonde se proyecta gráficamente la distribución de los datostomados en bloques de 2 y se observa que es posible obtener unadistribución uniforme y poco correlacionado para 2D. Seguido elexperimento se proyecta gráficamente la toma de datos en bloquesde 3 generando como resultado la distribución de los datos, porconsiguiente se prosigue a inspeccionar de manera visual al cambiode la perspectiva de los ejes x, y, z con fines de encontrar unaposible correlación entre las agrupaciones de datos, de donde sededuce que al cambio de los parámetros en la ecuación dealeatoriedad, se refleja en mayor o menor parte algún tipo decorrelación. Como mejor criterio a lo anterior descrito se deduceque existe un mayor grado de satisfacción cuando los datos seencuentran distribuidos a mayor cantidad de grupos

correlacionados, dado a que es posible tener una probabilidad deobtener mayor cantidad de valores aleatorios

Para el segundo punto se realiza el experimento de donde se generauna variable aleatoria normalmente distribuida, de donde serealiza una transformación del tipo a.X ^2 , seguido se procede acalcular la pdf con la ayuda de la herramienta dfittool de dondenos permite ajustar gráficamente las diferentes distribuciones(Anexos, otras distribuciones ), de donde se decidió por lafunción exponencial dado a que es una de las funciones que mejorla describe. Del anterior paso se prosigue a manipular losparámetros de la ecuación base, con fines en observar losdiferentes resultados en cuanto a la media y la varianza, por elcual se decidió por a = 1 utilizando el criterio de menorvarianza.

Del experimento se prosigue a calcular la expresión algebraica quedescribe a la función de densidad, aplicando la herramienta básicfit, incluidas en el menú tools después de haberse graficado lapdf el cual provee como resultado los coeficientes de la funciónpolinomial que mejor se ajusta a la función de densidad y por endea la descripción de los datos que fueron tomados aleatoriamente.

De la gráfica se puede concluir que los datos se encuentranmayormente condensados para valores cercanos a cero de donde ladensidad probabilística es mayor y tiende a disminuirexponencialmente cuando los valores d estos datos tienden a +inf.