MATEMÁTICA - ESCOLA PADRE REUS
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Escola de Ensino Médio Padre Reus – 1º ano MATEMÁTICA PRIMEIRO ANO CONTEÚDOS: ➢ CONJUNTOS ➢ NOÇÃO DE FUNÇÕES ➢ FUNÇÃO DO 1 GRAU e CONSTANTE ➢ FUNÇÃO DO 2 GRAU ➢ FUNÇÃO E EQUAÇÃO EXPONECIAL ➢ FUNÇÃO LOGARITMICA NOME COMPLETO:______________________________________________Nº______ TURMA:_______________ TURNO:_______________ ANO:_____________ PROFESSORA:______________________________________________________
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Escola de Ensino Médio Padre Reus – 1º ano
1
MATEMÁTICA
PRIMEIRO ANO
CONTEÚDOS:
➢ CONJUNTOS
➢ NOÇÃO DE FUNÇÕES
➢ FUNÇÃO DO 1 GRAU e CONSTANTE
➢ FUNÇÃO DO 2 GRAU
➢ FUNÇÃO E EQUAÇÃO EXPONECIAL
➢ FUNÇÃO LOGARITMICA
1. Noção básica de conjuntos numéricos
NOME COMPLETO:______________________________________________Nº______
TURMA:_______________ TURNO:_______________ ANO:_____________
PROFESSORA:______________________________________________________
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1.1 Conceito de Conjunto
Segundo Medeiros (2009) não existe uma definição especifica para conjunto, podendo ser
considerado uma coleção de objetos. Os objetos que fazem parte de uma coleção são os elementos
do conjunto.
Ex.: um ponto é um elemento de um conjunto de pontos. Um planeta é um elemento do conjunto
de astros.
Relação de Pertinência
Para dizer que x é um elemento de um conjunto A, escreve-se:
x є A (leitura: x pertence ao A)
Para dizer que x não é um elemento do conjunto A, escreve-se:
x A (leitura x não pertence ao A) (MEDEIROS, 2009)
Relação de inclusão
Medeiros (2009) menciona “que se todo elemento de um conjunto A também for um elemento
de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B.”
Para indicar que A é um subconjunto de B, escreve-se:
A B (A está contido em B) A B (A contém B)
Se o conjunto de A não for subconjunto de B, escreve-se A B (A não está contido em B)
1.2 Tipos de Números
a) Números naturais (N)
Para Medeiros (2009), o conjunto dos números naturais é importante pelo seu uso na contagem,
ou seja, é uma classe de números usados no processo de contagem de objetos (concretos ou
abstratos).
Notação é N = {0, 1, 2, 3, 4...}
3
A sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando- uma unidade
(+1) ao número anterior. (Giovanni e Giovanni Jr, 2010).
Não existe o maior número natural, a sucessão é infinita.
Existindo uma sucessão de números (14, 15 e 16) são chamados números consecutivos.
Sucessão dos números naturais pares = 0, 2, 4, 6, 8 ...
Sucessão dos números naturais ímpares = 1, 3, 5, 7...
b) Números inteiros (Z)
Conforme Medeiros (2009) “o conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos
números naturais acrescidos de seus simétricos.”
Notação Z = {...- 2, -1, 0, 1, 2,...}
Conjunto de números inteiros positivos (equivalente ao conjunto dos números naturais).
Ex.: + 14, + 22, + 13
Conjunto de números inteiros negativos
Ex.:- 8, - 6, - 1
c) Números Racionais ou fracionários (Q)
Números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração de números inteiros. Tem representação
decimal finita ou periódica. Para Giovanni e Giovanni Jr (2010) “todo número racional é o resultado de uma
divisão de números inteiros, sendo o segundo número diferente de zero”.
Todo número racional relativo pode ser escrito da seguinte forma: 𝑎𝑏
, com a e b inteiros e b ≠ 0.
Ex.:
+ 4 e – 4 são números racionais inteiros.
4
1 = 4 ÷ 1 = 4 (número racional escrito na forma fracionária) ou 4 (número inteiro)
+5
7 e −
57
(números racionais na forma de fração)
+ 2,8 e – 2,8 (números racionais na forma decimal exato)
2,3333 e -2,232323 (números racionais decimal periódico)
√4 = -2 e +2 ( raízes exatas – racionais e também números inteiros)
4
d) Números Irracionais (I)
São números cuja representação decimal é sempre infinita (não é exata), nem periódica, consequentemente, não
podem ser escritos sob a forma de fração.
Um número irracional nunca pode ser escrito da seguinte forma: 𝑎
𝑏 , sendo a e b números inteiros e b ≠ 0
ex.:
√2 = 1,4142135...
√10= 3,1622776...
𝜋 “pi” = 3,14159265.... para efeito de cálculo usa-se 3,14 ( porem é importante lembrar que é um número
irracional, isto é um decimal periódico e infinito )
e) Números Reais (R)
É a reunião ou união de todos os números acima apresentados.
Logo podemos pensar em: N U Z U Q U I= R ou ainda Q U I= R pois Q = N U Z
Atenção: U significa união
Lembre-se:
Para relacionar conjuntos e subconjuntos utilizamos está contido, ao está contido ou contem
( ⊂ , ⊄ e ⊃ ) e para relacionar elemento com um conjunto ou subconjunto usa-se pertence ou não
pertence : ( ∈ e ∉).
Representação de um conjunto
1) Extensão
Quando está entre chaves, e separados por vírgulas representam os elementos formadores de um conjunto.
Ex.:
A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
5
2) Compreensão
Medeiros (2009) diz “Quando escrevemos entre chaves, uma característica comum a todos os elementos
formadores do conjunto”.
Ex.:
A = {x | x é vogal} = {a, e, i, o, u}
B={xN*-1< x <4} = {1,2,3}
C={xN/ 0≤ x ≤ 4}={0,1,2,3,4}
3) Por figuras
Através de linhas simples fechadas conhecidas como diagramas de Venn.
C .3 .4
.5 . 7
Exemplos:
Conjunto unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento.
Ex.: A = {x|x é par compreendido entre 9 e 11} = {10}
Conjunto vazio
É aquele que não possui elementos, sendo representado da seguinte forma: { } ou
A = {x|x = x² = 9 e x é par} = { }
Obs: O conjunto vazio está contido dentro de qualquer conjunto.
A resposta está escrito por extensão {a, e, i,
o, u}, agora quando olhamos para
{xR/0<x<4}, dizemos que está escrito por
compreensão
6
Exercícios para fazer:
1. Marque V ou F, caso seja falsa justifique:
a)( )O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números racionais.
b)( )O subconjunto de números que podem ser expressos através de uma fração está contido no conjunto dos
números racionais que contem também o conjunto de todas às raízes.
c)( )Um decimal periódico pertence ao conjunto dos números irracionais.
d)( )O zero pertence somente ao conjunto dos números naturais.
e)( )O conjunto dos números reais é dado pela união do conjunto dos números racionais e irracionais.
f)( )O conjunto dos naturais contém o conjunto dos inteiros.
g)( )O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números reais.
2. Analise as afirmações abaixo:
I) {√𝟒, 2𝝅} ⊂ N.
II) { √𝟕, 𝟎, 𝟑𝟑𝟑. . . , 𝟏, 𝟐𝟑𝟗𝟖𝟐𝟒𝟖. . . . , 2𝝅} ⊂ I.
III) { √𝟒 − 𝟖, - 𝟗}⊂ Z.
IV) {𝟏
𝟗, −
𝟕
𝟐, 𝟎, 𝟑𝟑𝟑. . . , 𝟏, 𝟐𝟑𝟗𝟖𝟐𝟒𝟖. . .. } ⊂ Q.
V) {𝟏
𝟗, √𝟕, √𝟒, −
𝟕
𝟐, − 𝟖, - 𝟗, 𝟎, 𝟑𝟑𝟑. . . , 𝟏, 𝟐𝟑𝟗𝟖𝟐𝟒𝟖. . . . , 2𝝅}⊂ R.
Posso afirmar que:
a)( ) a I e a V estão corretas.
b)( ) todas estão corretas.
c)( )somente a V está correta.
d)( ) a III e V estão corretas.
e)( )todas estão incorretas.
7
3. A partir do diagrama abaixo marque V ou F
4. Dados os conjuntos A={0,1,2,3} B= {2,4,6} C= {1,3,6,9} e D={1} . Assinale com V ou F:
a) ( ) A ⊄ B b) ( )D ⊂ C c) ( ) 𝜑 ⊂ A
d) ( )2 ∈ B e) ( )1 ∉A f) ( ) 2 ⊂ B
g) ( )D ⊃ A h) ( ) 3 ⊂ C i) ( ) D ∈ B
5. Sendo os conjuntos numéricos N= naturais, Z= inteiros, Q= racionais, I= irracionais e R= reais. Assinale
com V ou F:
a) ( ) I ⊄ Q b) ( )N ⊂ I c) ( ) 𝜑 ⊂ R
d) ( )N ∈ Z e) ( )Q ∉R f) ( ) Z ⊂ Q
g) ( )Z ⊃ Q h) ( ) N ⊂ Q i) ( ) Z ∈ R
Operações entre conjuntos
Reunião ou união
Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, podemos escrever um conjunto C formados com os
elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C={0,10,20,30,40,50}. O conjunto C é
chamado reunião ou união de a e B é indicado por A∪B(lê-se: A união com B ou A reunião com B).
A∪B={x /xA ou xB}
10
30
0 40
20 50
R
Q a)( ) QIZN
b)( ) IQR
c)( ) NI
d)( ) RQ
Z N I
B A
8
Intersecção
Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, podemos escrever um conjunto C formados com os
elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a aA e a B. Assim,
C={0,20}. O conjunto C é chamado intersecção de a e B e é indicado por A∩B(lê-se: A intersecção b ou,
simplesmente, a interB}
A∩B={x /xA e xB}
Diferença
Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50} junto C formado pelos elementos pertencentes a A mas
que não pertencem a B. Assim, C={10,30}. O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A-
B{lê-se: A menos B}
A-B={ x /xA e x B}
Alguns exemplos resolvidos “vamos pensar juntos”:
Cuidado com os sinais: > maior ≤ menor e igual
2 ≤ x ≤ 4 a resposta são números maiores e igual a 2 e menores e igual a 4
2 < x < 4 a resposta são números maiores que a 2 e menores que 4
I) Escreva por extensão os elementos abaixo:
a) K= { x N / x >0} = {1,2,3,...}
b) R= { x N / x ≤ 3}= {0,1,2,3}
c) T={x Z*/-1≤ 𝑥 ≤ 2} = {-1,1,2} * significa exclusão do zero da resposta
d) W={x Z/0≤ 𝑥 < 2}= {0,1}
10
30
0 40
20 50
0 40
20 50
10
30
A B
A B
9
II) Pinte a resposta correspondente nos diagramas abaixo:
a) (A∩B) ∪ (A∩C) ∪ (C∩B)
b) (A∪B) – C
Exercícios para fazer no caderno:
1. O conjunto A tem 20 elementos, A B tem 12 elementos e A B tem 60 elementos. O número de elementos
do conjunto B é: a) 28 b)36 c)40 d)48 e)52 R:e
2. Dados os conjuntos A={0,1,2,3} B= {2,4,6} e C= {1,3,6,9} . Determine:
a) (A∩B)∪C= b) A∩B∩C)=
c) (C∩B) ∪A = d) A– B=
e) B – C= f)C- (A ∩ 𝐵)=
3. Pinte a resposta:
a) (A∩B) ∪ (C∩B)
b) (B∩C) – A
A
A B
B
C
C
A
A B
B
C
C
10
c) (A ∩B∩C)
d) (A ∩B∩C) ∪A
III) Resolução de problemas:
Antes de resolver monte sempre o diagrama isso vai lhe ajudar.
1) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a três marcas de salgadinhos. O resultado foi o seguinte: 250
delas gostam do salgadinho A, 150 gostam do salgadinho B e 50 gostam somente do salgadinho C, e ainda 10
gostam do A e B, 15 do B e C , 5 do A e C e 2 dizem gostar do A, B e C.
Vamos preencher os dados no diagrama:
a) Quantos gostam apenas do salgadinho A?
b) Quantos gostam do salgadinho A ou B e não gostam de C?
c) Quantos gostam dos três?
d) Quantos gostam do C?
e) Quantas pessoas foram entrevistadas?
A
A B
B
C
C
A B
C
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2) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N)
e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três
programas é:
(A)200
(B)300 E N
(C)600 nenhum
(D)900
(E) 1000 H
3) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei
e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas
que jogam tênis.
V X
T
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
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4) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das
questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira
questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Nenhuma
5) Numa cidade de 20 000 habitantes, destes 80% possuem internet em suas residências, 70% possuem TV por
assinatura em suas residências. Se todos foram entrevistados, qual o percentual de habitantes que possuem
TV por assinatura e internet? .
Exercícios para resolver no caderno:
1. Pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam A; 80 o jornal B e 30
assinavam A e B. Qual o total de assinantes? R:100
2. Numa escola 150 alunos estudavam Matemática, 20 estudavam Português e Matemática e os 30 restantes
estudavam outra disciplina. Pergunta-se: Qual o total de alunos dessa escola? R: 180
3. Num clube de 1000 sócios exatamente 80% dos sócios praticam futebol, 60% vôlei. Se todos os sócios
praticam pelo menos um dos dois esportes.
a) Qual é o percentual de praticantes dos dois esportes?
b) Qual o número de sócios que praticam futebol?
R:40% 400 sócios praticam futebol
Q2 Q1
13
4. Os dados abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos:
A=30 B=50 C=70 AeB=10 AeC=5 BeC=6 A,BeC=1 NENHUM= 10 000
Com base nos dados responda:
a) Quantas pessoas foram pesquisadas?
b) Quantas consomem apenas um dos produtos?
c) Quantos não consomem o produto C?
d) Quantas pessoas consomem só dois produtos?
R: 10 130, 111, 10 080 e 18
5. Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem
carro nem TV. Pergunta-se:
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?
R: 418, 137 e 178
6. Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado
foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 o jornal B e 60, os jornais A e B.
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?
b) Quantas lêem o jornal B?
c) Quantas lêem jornais?
d) Quantas não lêem jornais?
R:190, 180, 370 e 100
7. Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas 110 liam o jornal A 150 liam o jornal B, 20 liam
os dois (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas forma consultadas?
R: 350
8. Uma prova está constituída de dois problemas. 330 alunos acertaram somente um dos problemas, 260
acertaram o segundo 100 acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
R: 350
14
9. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm
casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa
própria nem automóvel?
R: 69%
10. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles
apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos
tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é:
(A) 4 000 (B) 3 700(C) 3 500 (D) 2 800 (E) 2 500
R: b
11. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha.
Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A
Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha
e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:
O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
R: 460, 130 e 410
12. Numa cidade, constatou-se que todas as pessoas que gostam de música clássica, não gostam de música
sertaneja. Verificou se ainda, que 5% da população gostam de música clássica e de rock, que 10% gostam de
rock e de música sertaneja, que 35% gostam de rock, que 40% gostam de música sertaneja e que 30% gostam
de música clássica. Determine o percentual de habitantes da cidade que não curtem nenhum dos gêneros musicais
citados.
R:10%
13. Na comunidade universitária de 10 000 alunos são lidos dois jornais A e B. Verificou-se que exatamente
75% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos
jornais, determine quantos alunos leem ambos os jornais.
R:3500
15
14. Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-
se os resultados tabelados abaixo:
Marca A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhum
Número de consumidores Somente
100 200 160 25 40 25 5 120
Determine o número de pessoas consultadas.
R: 540
EXERCÍCIOS DE RETOMADA – REVISÃO DE CONJUNTOS:
1) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum esporte.
O número total de alunos é: a) 230 b) 300 c) 340 d) 380
2) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251
a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas
inglesa e francesa é: a) 778 b) 120 c) 658 d) 131
3) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou
que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60
os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3?
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3?
4) Em uma prova de aptidão 80 candidatos acertaram pelo menos um entre dois testes. Sabe-se que 70
candidatos acertaram o primeiro teste e 50 acertaram o segundo teste. Qual o número de candidatos que
acertaram os dois testes?
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5) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado
por 800 pessoas, e 320pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?
6) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a
vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra o sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças
receberam as duas vacinas? a) 11 b) 18 c) 22 d) 23 e) 46
7) Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3}, C = {0;1;2;3} e D={0;1;2;3;4;5}, classifique em verdadeiro (V)
ou falso (F) cada afirmação abaixo:
a) ( ) A ⊂ B b) ( ) 1 ⊂ A c) ( ) A ⊂ C
d) ( ) B ⊃ 0 e) ( ) B ⊂ C f) ( ) {0;2} ∈ B
g) ( ) B ⊄ D h) ( ) C ⊄ A i) ( ) 2 ∉ A
8) Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:
a) A∪B b) A∩B c) A – B d) B – A
9) Observe o diagrama ao lado e responda:
Quais os elementos dos conjuntos abaixo:
a) A =
b) B =
c) C =
d) (A∩B) ∪ (B∩C) =
e) (A∩C)∪ B=
10) Use V ou F conforme o caso:
a) 3,1 ∈ Q ( ) g) 3,555 = 3,555... ( )
b) 2 ∈ Q ( ) h) 0,777... = 7
100 ( )
c) √−83
∈ Z ( ) i) 0,222... = 2
9 ∈ I ( )
d) √25 ∈ N ( ) j) 0,85 ∈ R ( )
e) -√9 ∈ N ( ) k) √7 ∈ I ( )
f) −√273
∉ Z ( ) l) 12
5 ∉I ( )
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11) Pinte a resposta final conforme o solicitado:
a) (A∩B) ∪ (B∩C)= c) A∪B – C=
b) (B – A) - C = d) C∪B – A=
12) Se A∩B= 20 elementos, B= 50 elementos e A∪B= 100. Logo complete o diagrama e resposta o que é
solicitado abaixo:
a) Quantos elementos tem dentro do conjunto A:
b) Quantos elementos tem somente no conjunto B:
c) Quantos elementos tem dentro do conjunto A que não estão no conjunto B:
18
.... Atenção ....
Alguns conjuntos podem ser representador por extensão outros não, pois sua resposta contempla uma grande
quantidade de números que não conseguimos escrever.
Veja os dois exemplos abaixo:
A= { x Z / 2≤x<5 }= {2,3,4}
B= { x R / 2≤x<5 }= há infinitos números reais maiores e iguais a 2 e menores que 5, logo não é possível
escrevê-los todos entre chaves separados por vírgula.
Então foi necessário criar uma maneira de representar estes conjuntos. Nasce ai a notação de intervalos.
Então como podemos representar o exemplo dado acima através desta nova notação.
{ x R / 2≤x<5 }
Na reta real: Por notação de intervalos: [2,5[ ou [2,5)
2.Noção de Intervalos
A notação de intervalos surgiu para que pesquisadores pudessem expressar uma grande quantidade de números
que não podem ser escritas por extensão. Para tal se faz uso da reta real para representar estes números.
Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais (um intervalo infinitos elementos). Assim,
dados dois números reais a e b, com a < b, temos:
a) intervalo aberto
A bolinha vazia “” indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos
os números reais compreendidos entre a e b, exclusive.
Representação algébrica: bxa|Rx ou (a, b) ou ]a, b[
19
b) intervalo fechado
A bolinha cheia “•” indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os
números reais compreendidos entre a e b, inclusive.
c) intervalo semi-aberto à direita
d) intervalo semi-aberto à esquerda
Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características:
{𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 > 𝒂} ou (a, + ) {𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≥ 𝒂} ou [a, + )
{𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 < 𝒂} ou (-, a) {𝒙 ∈ 𝑹|𝒙 ≤ 𝒂} ou (-, a]
Representação algébrica: bxa|Rx ou [a, b]
Representação algébrica: bxa|Rx ou [a, b) ou [a, b[
Representação algébrica: bxa|Rx ou (a, b] ou ]a, b]
20
Exercícios:
1. Escreva através de notação de intervalos e por compreensão os intervalos representados na reta real
(representação gráfica).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
-3 8 2
-3
1
5 -2
21
2. Represente na reta real:
a)(-6,8]
b)(-1,3)
c) [2,6]
d) (-∞ ,5]
e) (-∞,3)
f){ x R / x 0}
g){xR/1<x<4}
h){ x R / -1 < x < 4}
i) {𝑥 ∈ 𝑅/−2 ≤ 𝑥 ≤ 0}
j) {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 5}
k) {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 4}
3. Analise as afirmações abaixo e marque a resposta correta:
𝐼){𝑥 ∈ 𝑁/3 < 𝑥 < 5} =] 3,5 [ 𝐼𝐼){𝑥 ∈ 𝑅/2 < 𝑥 < 4} = {3}
𝐼𝐼𝐼){𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 2} = (2,∞+) 𝐼𝑉){𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 < 2} = (−∞, 2]
a) ( ) a I e II estão corretas b) ( )a II e III estão corretas c)( )a III e IV estão corretas
d)( )todas são falsas exceto a II e) ( )todas são falsas exceto a III
4. Sejam as retas, analise e marque a resposta correta é:
I) = 𝐼) (-2,5)
II) = 𝐼𝐼){𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 ≤ −2}
= 𝐼𝐼𝐼){-1,0,1,2,3,...} III)
a) ( ) somente a I é falsa b) ( ) somente a II é falsa c) ( ) somente a III é falsa
d) ( )nenhuma é falsa e) ( ) todas são falsas
-2 5
-2
22
EXERCÍCIOS DE RETOMADA DE INTERVALOS:
1. Complete a tabela abaixo:
2. Escreva por compreensão e na forma de intervalos as representações gráficas abaixo:
3. Analise a reta e marque a sentença correta que melhor representa a resposta.
a) ( ) {x ∈ R / 10 ≤ 𝑥 ≤ 14} b) ( ) {x ∈ R / 10 < 𝑥 < 14} c) ( ) {x ∈ R / x ≤ 10} ∪ {𝑥 ∈ R/12 ≤ 𝑥 ≤ 14}
d) ( ) {x ∈ R / x < 10} ∪ {𝑥 ∈ R/12 < 𝑥 < 14}
e) ( ) {x ∈ R / 12 < 𝑥 < 14} ∪ {10}
23
4. Função
Função é uma relação entre duas grandezas (A e B) que variam a partir de uma relação de dependência,
onde cada elemento de (A) possui um único correspondente em (B), sendo 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ B.
Nesta relação de dependência as grandezas são denominadas: (x) independentes e (y) ou f(x) dependente e esta
relação de dependência que torna as funções importantes para administradores, contadores, gestores ambientais
etc.
Ex; de situações do dia a dia:
a) O que se paga por mês de água depende do consumo da mesma.
Variáveis: consumo de água e valor a pagar
Quem depende de quem: valor a pagar depende do consumo de água
b) O que você gasta por mês depende do que você compra.
Variáveis: compras e gasto total
Quem depende de quem: o gasto de mês depende das compra realizadas
Outra forma de representar a dependência entre as variáveis é através das sentenças matemáticas,
observe:
y = 2.x+1 variável dependente é y a independente é x
(cada valor de y será igual a duas vezes o valor de x mais um)
v = t-2 variável dependente é v e a variável independente é t
(cada valor de v será igual a t menos dois)
f(x) = x +4 variável dependente f(x) e a variável independente é x
(cada valor de f(x) será igual a x mais quatro)
24
Representação gráfica de uma função
Graficamente é importante lembrar que representamos no eixo x a variável independente e no eixo y a
dependente.
Relembrando: Função é uma relação entre duas grandezas (A e B) que variam a partir de uma relação de
dependência, onde cada elemento de (A) possui um único correspondente em (B), sendo 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ B.
Exemplos: Noção de função no gráfico descontextualizado:
Gráficos descontínuos Sendo: A={1,2,3} e B={1,2,3}, onde: 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ B
Observações:____________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
___________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_____________________
25
Gráficos contínuos Quais gráficos são funções, sendo A e B ∈R, onde: 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ B
Dica: Traçar retas paralelas ao eixo y em cima do gráfico se alguma destas retas tiver passando pelo gráfico em
mais de um ponto significa que este gráfico não representa uma função.
Observações:________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
______________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
_______________________________________________
26
Exercícios: ( cuidado com o enunciados)
1) Sendo a f(x)= R em R, analise os gráficos abaixo e identifique os que são funções e os que não justifique de
maneira breve:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j) k) l)
27
2) Os gráficos abaixo representam uma relação R de A={1,2,3,4} em B={5,6,7,8}, quais deles não são funções,
justifique:
a y) b) y
x x
c) d)
y
x x
y
e) f )
x x
1 2 3 4
8
7
6
1 2 4
8
7
5
y
8
7
5
5
1 2 3 4 1 2 3 4
1 4
8
5
1 4
5
28
3) Dados os gráficos I, II e III analise e marque a resposta correta:
( ) somente a I é relação ( ) I e II são relações
( ) I e III são relações ( )II e III são relações
4) Assinale quais representam funções de R em R, onde x e y são reais.
29
Outras análises: domínio, imagem crescente, decrescente e constante
Num gráfico podem ser analisadas muitas coisas como: domínio e imagem:
Primeiro alguns conceito iniciais:
O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x)
Imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).
− − − −
−
−
−
−
Imag
em
Domínio
D(f) ={x ∈ ℜ / 0 ≤ x ≤ 3} Ou D(f) = [ 0 , 3 ]
Im(f) ={y ∈ ℜ / -2≤ y ≤ 4} Ou Im(f) = [ -2 , 4 ]
30
..... Cuidados especiais ....
I) Quando a função não é contínua.
− − − −
−
−
−
−
x
y
Imag
em
Domínio
D(f) ={x ∈ ℜ / -2 < x <2} Ou D(f) = ( -2 , 2)
Im(f) ={y ∈ ℜ / -3≤ y <3} Ou Im(f) = [ -3 , 3)
D={-1,1,2}
Im={-2,3}
31
II) Quando a função vai para o infinito
III) Quando a imagem é somente um número
Analise do intervalo de x onde a função é: crescente, decrescente ou constante.
Uma função é dita crescente se para x1 > x2 f(x1) > f(x2), isto é, se à medida que x aumentar o y também
aumentar. Se x1 > x2 f(x1) < f(x2), a função é dita decrescente e constante quando para todo x tem-se o mesmo
y, isto é uma única imagem.
Função crescente Função decrescente Função é constante
x
y
x
y
x
y
D=R ou D= (-∞,∞+)
Im=R ou Im=(-∞,∞+)
D=R ou D= (-∞,∞+)
Im={1}
32
Aplicando os conceitos num exemplo físico:
O exemplo abaixo mostra um gráfico (f ) de velocidade em função do tempo, analise e responda:
a) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade diminuiu? (decrescente)
b) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade aumentou? (crescente)
c) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade não se alterou? (constante)
d) Qual a velocidade que o carro está 1 hora e 30 minutos?
Matematicamente pode ser perguntado:
f(1,5)
Isto significa: qual o valor de y para x=1,5
e)Há que horas o carro estava com uma velocidade de 130km/h?
Matematicamente pode ser perguntado:
f(x)=130
Isto significa qual o valor de x para y=130
33
Exemplo: Responda o que se pede abaixo:
F(0)=
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
Qual o valor de x para y= -1
F(−2𝜋)=
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
34
Exercícios para fazer:
1. Analise os gráficos abaixo. Determine domínio e imagem e a seguir indique para quais valores de x a função
é crescente, decrescente ou constante e se houver alguma pergunta responda:
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
35
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
F(0)=
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
x para f(x)= -2
x para f(x)= 5
36
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
x para f(x)= 1
F(-4)=
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
x para f(x)=6
F(-3)=
37
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
x para f(x)= -2
F(-3)=
D=
Im=
Intervalo de x:
Cre
De
Con
x para f(x)= -3
F(0)=
38
2. Analise o gráfico e responda:
a) O que está acontecendo com a velocidade do carro após 12 km?
b) Qual a velocidade do carro em 10 km do percurso?
c)Qual a velocidade máxima que o carro atingiu?
d) Qual o intervalo do percurso que a velocidade aumentou?
3. O gráfico mostra variação da velocidade, em metros por segundo, de um objeto em função do tempo.
a) O que podemos dizer sobre a velocidade, durante o intervalo de tempo de 2 à 6s?
b) Qual a velocidade do carro em 2 segundos?
c)O que se pode dizer sobre a velocidade do carro após 6segundos?
2 6
10
20
30
40
v
t
39
4. O gráfico mostra a trajetória de uma bala de canhão, no gráfico: altura (H) e tempo (t). Qual altura da bala em
4segundos?
5. O gráfico mostra a trajetória de uma bola de tênis jogada de certa altura.
a) Em que instante de tempo a bola atinge o solo?
b) Após atingir o solo qual a altura máxima da bola?
6. O gráfico abaixo mostra o deslocamento de duas bicicletas, sabe-se que ambos estão numa velocidade
constante.
a) Quem estava na frente nos 5 primeiros segundo de prova?
b) Em que momento os dois estão lado a lado?
40
5) Dados os gráficos analise:
I) o domínio e a imagem:
II) o intervalo de x que a função é crescente, decrescente e constante:
6) Analise o gráfico e classifique em V ou F.
7) Qual os gráficos abaixo é uma função onde o D={-3,0,3}.
( ) f(0)≠0 ( )f(3)=0 ( )f(2)<0
( ) f(0).f(4)=28 ( )f(7/2)≤0 ( ) f(0)=7
( )Para 0≤x≤3, tem-se y>0
( )Para 3<x<4, tem-se y<0
41
8) Dado o gráfico, analise e marque a opção correta:
a) O intervalo que x que a função é crescente:( ) [ -4, -1) ( ) {-4, -1} ( ) [-4,0) ( ) [-4,0]
b) O intervalo de x que a função é decrescente:( ) [ 2, 3] ( ) {2, 3} ( ) [2,4] ( ) [2,3)
c) O intervalo de x que a função é constante:( ) [ 0, 2] ( ) {2, 2} ( ) (2,4) ( ) [2,2]
d) A imagem da função:( ) [-3,1) ∪ [2,3 ] ( ){-3,3}( ) [ -3, 3] ( ) [-3,1) ∪ [1,3]
e) Domínio da função é: ( ) [ -4, 4] ( ) (-4,4) ( ) {-4,4} ( ) [-4,0) ∪ (0,4]
9) O gráfico traz o preço em reais por quilograma de um determinado produto em função das quantidades
vendidas. Analise e responda:
a) Qual o custo máximo do quilograma
do produto?
b) Qual o preço por quilograma na
compra de 20 kg?
42
10) O gráfico abaixo mostra o desempenho de um ciclista num intervalo de tempo de 14 segundos.
Durante o percurso quanto tempo o ciclista permaneceu com a velocidade constante?
6. Função linear ou função polinomial do primeiro grau e função constante
Algumas considerações sobre função do primeiro grau:
I.Toda a função do tipo: f(x)= a.x+b é linear sendo a≠0 onde a é chamado coeficiente de inclinação ou angular
e b chamado coeficiente linear.
Não esqueça:
Por exemplo:
y= 1 -5x a= -5 b=1
f(x)= 3x a=3 b=0
43
II.Calculando valores:
Exemplo: Dada a função f(x)= -2x+4 e g(x)= x-1 Determine:
a) O valor de f(3)
b) Qual o valor de x para f(x)= -4
c)Resolva: f(2) – g (3)
III.Identificando uma função:
Crescente Decrescente
Exemplos:
y= -5x+1 a= -5 função decrescente
f(x)= 3x a=3 função crescente
44
IV. Informações relevantes:
➢ O coeficiente angular (a) é responsável pela inclinação da reta em relação ao eixo x.
➢ O coeficiente linear (b) é responsável pelo deslocamento no eixo y.
➢ Raiz de uma função ou zero da função é o valor fica marcado em cima do eixo x, isto é o valor de x
quando y=0.
V.Para traçar o gráfico
Para traçar o gráfico de uma função do 1 grau, basta calcular a raiz da função e marcar no eixo y o valor de b.
Exemplo: f(x)= - 𝒙
𝟒 - 5
a) A função que temos é: ( )crescente ou ( )decrescente: justifique;_____________________
b) Encontre a raiz da função e faça a representação gráfica utilizando os pontos de interseção.
b)Faça agora a representação gráfica utilizando os pontos de intercecção.
45
Algumas considerações sobre função constante:
I.Toda a função do tipo: f(x)= b é constante pois a=0
II.Toda função constante é uma reta, paralela ao eixo x, pois sua imagem é sempre um mesmo valor.
III.Não existe raiz função ou zero da função, pois a reta não cruza o eixo x.
IV. Para traçar o gráfico de uma função constante basta conhecer o coeficiente linear e assim traçar uma reta
paralela ao eixo x passando por este ponto.
Exemplo:
Represente graficamente a função f(x) = -5
Quando se desconhece o valor de a e b, mas se conhece as características é possível simular o gráfico.
Simular o gráfico das funções de primeiro grau de acordo com as características dadas:
Exemplos:
a) a>0 e b> 0
b>0 ( 0nde corta o no eixo y - marca acima
do eixo x, pois é maior que zero)
a>0 significa que reta deve ser crescente
46
b) a<0 e b=0
RESUMO “função linear e constante”:
a) Como sabemos se uma função é crescente, decrescente ou constante?
b) Quem é o valor que sempre corta o eixo y no gráfico?
c) Como se encontra a raiz ou zeros da função?
d) Sempre haverá raiz da função?
Exercícios para fazer no caderno:
1. Dada as funções abaixo as classifique em crescente, decrescente ou constante, encontre sua raiz (se existir),
e faça a representação gráfica, utilizando os pontos de intersecção dos eixos.
a)f(x)= 2x+1 b)f(x)= -x+2 c) f(x)=4
d)f(x)= - 6 +4x e)f(x)= 𝑥
4+2 f) f(x)=1-
𝑥
2
g)f(x)= -7 h) f(x)= 2𝑥
3+1 i) (x)= -
3𝑥
4+2
47
2. Dada f: ℝ → ℝ tal que f(x) = 5x –9. Verifique se os pares ordenados (0, –9) e (1, 4) pertencem ao gráfico da
função e justifique tua resposta.
Atenção: lembre par ordenado (x , y)
3. Represente graficamente a função linear e/ou constante a partir das características dadas:
a) a<0 e b<0 d) a<0 e b>0
b) a=0 e b<0 e) a>0 e b<0
c) a=0 e b>0 f) a>0 e b=0
4. Dada a função f(x)= -3x-9, determine o que se pede:
a) Calcule f(3)-f(-1)
b) Calcule f(-1)+f(4)
c) Calcule x para f(x)=5
d) Calcule x para f(x)=10
5. Dada a função f(x)=6+2x e g(x)= -x-1; determine o que se pede:
a) Calcule g(x)=5
b) Calcule f(0)-f(3) . g(-1)
c) Calcule x para f(x)= -10
d) d) Calcule f(2) : g(1) + f(0)
6. Dada a função f(x)= 3x- 2, analise afirmações e marque a resposta incorreta.
I) a função é crescente
II) a raiz da função é um número positivo
III) é interceptada no eixo y no menos dois
IV) intercepta o x no mais três
a) A I está errada c) A II está errada e) A III está errada
b) A IV está errada d)A III e IV estão erradas
48
7. Dados os gráficos analise se a>0, a<0 ou a=0 e b>0, b<0 ou b=0
Encontrando leis de função do primeiro grau a partir de tabelas ou gráficos:
Exemplo:
Escolha dois valores e vamos analisar o que acontece com eles (cuidado!!!) Se preferir monte uma tabela
para organizar os dados.
Espaço para o desenvolvimento:
𝒂 =𝜟𝒚
𝜟𝒙=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
49
Fazer os exercícios no caderno:
1. Retire dois pares ordenados do gráfico e encontre a lei de formação:
a)
b)
c)
50
d)
e)
2) A partir das tabelas abaixo, retire dois pares ordenados e determine a lei da função;
a) x y b) x y c) x y d) x y
-2 1 -1 -1/3 -1 -2/3 -1 -5/3
-1 3/2 0 0 0 0 0 -1
0 2 1 1/3 1 2/3 1 -1/3
1 5/2 2 2/3 2 4/3 2 1/3
2 3 3 1 3 2 3 1
3 7/2 4 4/3 4 8/3 4 5/3
51
Traçando gráficos num mesmo plano:
Exemplo: Represente num mesmo plano as funções y=x+1 (1) e y= -x+3 (2) .
Para tal faremos os passos abaixo:
1) Encontre o ponto de encontro das duas retas:
Para isso devemos igualar as duas funções vejamos:
y (1) = y (2)
2) Marcando no gráfico:
Primeiro momento: vamos marcar o ponto onde as duas retas se encontram: que é:____________ isto é
por onde elas passam ao mesmo tempo.
Segundo momento: vamos marcar no eixo y os valores de cada uma das funções
Terceiro momento: traçar o gráfico a partir do ponto que está marcado no eixo y passando pelo ponto de
encontro.
52
Exercícios para fazer no caderno:
1. Encontre o ponto de nivelamento e represente graficamente:
Lembre-se; ponto de nivelamento é o ponto de encontro das retas no gráfico
a) y=2x+4 e y= -3x -14 d) y=3x+2 e y=-x+6
b) y=4x+2 e y= 2x+4 e) y=40-x e y=20+x
c) y=2x+3 e y= -4x +15 f) y=3x+1 e y=-2x+15
Exercícios de revisão:
1) Sendo f(x) = -x+2; g(x)= 4-2x e h(x)= 2x-5. Determine:
a) f(2) – g(3) . h(0)= d) x para h(x)= -3
b) g(0) - h(5) : f(7) = e) x para f(x)=5
c) 𝒉(𝟏𝟎)− 𝒈(𝟐)
𝒇(𝟓)− 𝒈(𝟑)= f) x para g(x)= -1
2) A partir dos gráficos determine se: a>0; a<0 ; a=0; b=0; b>0 e b<0.
3) Dada as funções abaixo encontre a raiz se existir, classifique a função em crescente, decrescente ou constante e
faça a representação gráfica utilizando os pontos de interseção de x e y.
a)f(x)= 15 c) f(x)= 3 −4𝑥
5 e) f(x)= - 5 +2x
b) f(x)= 7 −𝑥
2 d)f(x)=
5𝑥
2− 3 f)f(x)=
3𝑥
2− 4
4) Dada as funções abaixo encontre o ponto de nivelamento e trace o gráfico:
a) f(x)= -2x+10 e f(x) 3x+8 c) f(x)= x+5 e f(x)= -x+10
b) f(x)= 3x+2 e f(x)= 6x+8 d) f(x)= -2x+3 e f(x)= -x+6
53
5) Encontre a lei das funções abaixo:
Aplicações de funções do primeiro grau
I) O salário mensal (sem os descontos legais) de um operário é composto por $ 1500,00 fixo mais $15,00 por
hora extra, sabe-se que o salário dele varia de acordo com as horas extras que faz. Responda:
a) Quais as variáveis do problema e quem depende de quem?
b) Represente matematicamente a situação através de uma equação que expresse essa dependência, isto é,
escreva matematicamente como é calculado o salário.
54
c) Qual será seu salário, se o operário trabalha 5 horas extras no mês?
d) Se o operário recebeu bruto no final do mês $ 1800,00, quantas horas extras ele fez no mês?
e) Represente graficamente como fica o salário bruto do funcionário em função do número de horas extras
trabalhados Para organizar o raciocínio montei uma tabela, vamos usar para o número de horas extras (0,2,4)
Horas extra Cálculo do salário bruto
0
2
4
55
II) Márcia foi viajar e precisou contratar um plano de internet. Para fazer uso dessa rede, ela paga uma
mensalidade fixa de R$ 30,00, que lhe dá direito a 1000 min mensais e mais 5 centavos de real
(R$0,05) a cada minuto de uso excedente ao plano. O valor a ser pago por Márcia ao final do mês
depende, então do tempo que ela gasta acessando a INTERNET.
a) Quais as variáveis do problema:
b) Represente através de uma lei a relação de dependência:
c) Complete a tabela representando a situação acima, registrando o tempo de uso e o valor a pagar:
Tempo de acesso
500
1000
1500
2000
Valor pago
d) Se Márcia pagou R$100, quanto tempo excedente ficou na internet.
e) Agora se a pergunta fosse, quanto tempo Márcia ficou conectada ao pagar 100 reais no mês?
Justifique sua resposta:
f) Se Márcia pagou R$ 90,00 quanto tempo ela ficou conectada
56
g) Represente graficamente essa situação incluindo os minutos de direito.
Vamos usar os dados calculado na tabela do item c.
III) Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensal que consiste de duas partes:
salário fixo de R$ 1400,00 e 3% de comissão, calculada sobre o valor total dos itens que ele vende
no mês.
a) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor total (v) dos itens
vendidos.
b) Quanto ganhou de comissão um funcionário que vendeu R$ 5000,00 no mês? Qual foi seu salário
mensal?
c) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 1 850,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu?
57
d) Complete a tabela e faça a representação gráfica da relação entre o valor das vendas e o salário bruto
recebido.
R$ em venda 0 1 000 2 000 3 000 4 000
R$ salário
IV) Um operário ganha um salário variável de acordo com as horas extras que trabalha no mês.
No gráfico abaixo está descrito como fica seu salário (bruto) em função das horas extras que
trabalha, sabe-se ainda, que o salário inicial é de 800 reais. A partir dos dados do gráfico
abaixo descubra:
a) Quanto ele ganha por uma hora extra trabalhada.
b) Escreva a sentença que relaciona o salário em função do número de horas extras trabalhado.
58
Exercícios (FAZER NO CADERNO)
1. O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 1 500,00, mais uma parte
variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 45 000,00,
calcule o valor de seu salário.
2. Em certa cidade, ao entrar num táxi, você já deve o valor da bandeirada (1): R$ 15,50. Partindo daí, você
pagará 50 centavos por quilômetro rodado.
a) Complete a tabela abaixo, baseando-se no enunciado:
b) Represente a situação acima através de uma lei:
c) Quanto percorreu um passageiro que pagou R$ 20,50
d) Quanto pagou um passageiro que andou 20 quilômetros
3. Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensal que consiste de duas partes: salário
fixo de R$ 1500,00 e 5% de comissão, calculada sobre o valor total dos itens que ele vende no mês.
a) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor total (v) dos itens
vendidos.
b) Quanto ganhou de comissão um funcionário que vendeu R$ 1000,00 no mês?
c) Qual foi seu salário mensal, de acordo com o que você fez na letra b?
d) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 2000,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu?
4. Na tabela temos a evolução do preço de uma conta de telefone em função do tempo de ligação.
Determine o preço por minuto? E escreva a expressão que relaciona valor em função dos
minutos.
a)
Tempo (min) 200 220 240 280
Valor (V) 50 55 60 70
x (Km) 1 2,5 3 4,5
R (reais)
59
b)
Tempo (min) 100 200 300 400
Valor (V) 20 25 30 35
c)
Tempo (min) 200 250 300 350
Valor (V) 60 75 90 105
5. Um estacionamento cobra R$ 9,00 até duas horas no local e cada 1 hora decorrida após cobra R$ 0,50 de
cada carro que permanece no local.
a) Complete abaixo, a tabela que representa esse fato.
b) Determine a lei que expressa o fato do preço ser dado em função do número de horas que um carro fica
nesse estacionamento.
c) Pedro deixou seu carro durante todo o período em que o estacionamento fica aberto, ou seja, das 8h às 18h.
Quanto ele pagou?
d) Faça um gráfico desta situação (conforme dados da tabela):
6. Cláudia trabalha com vendas, seu salário bruto mensal é composto por duas partes: fixo de R$ 2000 e 7%
em comissão a partir do montante em reais que vende na loja. Sabe-se então que o salário bruto de Cláudia
depende do quanto à mesma vende num mês.
a) Descreva uma equação que representa como se calcula o salário da vendedora.
b) Qual o salário bruto se a mesma vendeu neste mês R$ 20 000 reais?
c) Qual a comissão dela se seu salário bruto foi de R$ 5000?
d) Quantos reais a vendedora vendeu se seu salário bruto foi de R$ 5500reais?
Tempo em horas (t) 1 2 3 4 5
Valor em reais (p)
60
7. A quantia que uma pessoa desembolsa para abastecer seu carro depende quantos litros de combustível
são colocados. O preço por litro é 4,45.
a) Represente através de uma sentença matemática como se calcula o preço a pagar em função da quantidade
de litros
b) Quantos litros foram colocados no tanque se a pessoa que pagou R$ 89?
c) Quanto pagou a pessoa que encheu o tanque, sabe-se que a capacidade do mesmo é de 40 litros?
d) Construa o gráfico relacionando o preço a pagar e a quantidade de comprada de acordo com a tabela:
Q(L) 0 5 10 15
R$
8. O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro
corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz
de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro
obtido na venda de 500 livros. Sabe-se que o lucro líquido é preço de venda menos preço de
custo.
a) Escreva a sentença matemática que calcula o lucro líquido em função da quantidade de livros
vendidos.
b) Qual o lucro líquido obtido na venda de 500 livros.
c) Se o lucro líquido foi de 1896 reais, quantas unidades foram vendidas.
9. Os quadros abaixo representam o valor final para produzir a mesma camiseta em duas confecções
diferentes. Este valor varia de acordo com a quantidade produzida.
A B
Quantidade 0 100 1000
Custo total 10 210 2010
a) Encontre como se calcula o preço em relação a quantidade em cada uma das confecções.
b) Se for comprada 100 camisetas, é mais econômico comprar na confecção A ou B?
Quantidade 0 100 1000
Custo total 22 102 822
61
7.Função Quadrática
Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 (completa)
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 (incompleta)
3. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 (incompleta)
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada
parábola, observe o desenho e seus termos:
➢ O que está localizado no eixo x é chamado raízes ou zeros da função (x’ e x”), valores de x para
y=0
➢ O valor de c (termo independente), valor que intercepta o eixo y, valor de y para x=0
➢ Vértice (V) está localizado no eixo de simetria da parábola, ou pode perceber que o vértice está
localizado no ponto onde a parábola muda de sentido.
62
Observações relevantes:
I) Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
Atenção: quando a>0 dizemos que temos ponto de mínimo e quando a<0 dizemos que temos ponto
de máximo.
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o ∆:
63
Analisando o b:
Analisando c
Analisando gráficos de função quadrática, de um modo geral:
Podemos perceber que o a é responsável pela abertura da parábola
➢ Quanto menor o valor de a maior é a abertura da parábola
➢ O valor de c é o valor que intercepta o eixo y
➢ Quando b muda observa-se que o gráfico se desloca no eixo x
64
Exemplos:
1) Vejamos: Observe o gráfico e responda as questões abaixo:
a) a ____0 complete com o sinal de: > ou <
Justifique:___________________________________________________________
b) b____0 complete com o sinal de >,< ou =
Justifique:___________________________________________________________
c) ∆___0 complete com o sinal de >,< ou =
Justifique:___________________________________________________________
d) quem é o valor de c?_________e onde ele está marcado no
gráfico?___________________________________________
e) quem são as raízes da função?_____________________________ e onde elas estão marcadas no
gráfico?_____________________________________________________ e como se encontra as raízes
da função?___________________________________________
__________________________________________________________________________
f) quem é o vértice?_____________________________________ele está localizado no ponto de
máximo ou de mínimo?____________________________________________
65
Fazendo o esboço gráfico de uma função quadrática a partir da analise de a, b,c e ∆ :
Exemplo 2
Faça a representação gráfica a partir das características: a>0 , ∆>0 b>0 e c<0
1) Vamos relembrar:
c<0 significa que toca o eixo y num ponto negativo, isto é abaixo de x
∆>0 significa que o eixo x é tocado em dois pontos diferentes
b>0 significa que corta o eixo no ramo que está crescendo
a>0 significa que a concavidade é voltada para cima
Dica: 1º Comece marcando o c, pois este ponto é fixo no eixo y
2º Pense onde a partir das características deve cortar no eixo x
3º Faça o desenho da parábola ou para baixo ou para cima a partir do que você precisa.
Exemplo 3: Dado o gráfico analise os sinais:
Exemplo 4:
Calculando: Dada a função f(x)= -x² -2.x +1 , determine: f(3)- f(2)
a____0 b ____0
c ____0 ∆ ____0
66
Exercícios para fazer, quando não tiver espaço faça no caderno:
1. Analise os gráficos, diga se tem ponto de máximo ou de mínimo, qual o vértice, as raízes se existirem
o valor de c e o que você pode afirmar sobre os sinais de a e b.
a)
b)
Máximo ( ) Mínimo ( )
Vértice x=_______y=________
O valor de c é:________
Raízes são (se existir):____________
a>0 ( ) a<0 ( )
b>0 ( ) b,<0 ( ) b=0 ( )
Máximo ( ) Mínimo ( )
Vértice x=_______y=________
O valor de c é:________
Raízes são (se existir):____________
a>0 ( ) a<0 ( )
b>0 ( ) b,<0 ( ) b=0 ( )
67
2. A partir dos gráficos identifique para cada um dos casos se:
a>0 ou a<0, ∆>0, ∆<0 ∆=0 e c<0 , c>0 ou c=0 , b>0, b<0 ou b=0
3. Dada a função y= - x²-x+8, calcule: Repostas: 4 ; 12 ; 5,5 e 64
a) f(-1) : f(2)= c) f(-2)+f(1) : f(4)=
b) f(0) - (-4)= d) f(-1). f(0)=
4. Faça o esboço gráfico de uma função quadrática para as situações abaixo:
a) a<0, ∆>0 ,b<0 e c>0 e) a>0 e ∆<0, b=0 e c>0
b)a<0, b<0, ∆>0 e c<0 f)a>0, ∆=0 , b=0 e c=0
c) a<0, ∆>0,b>0 e c=0 g)b>0, tem vértice (-2,-1) e c>0
d)tem vértice (0,-3),b=0 e c<0 h)tem ponto de máximo e vértice (3,0)
5. Dada a função y= - x²-1 marque a alternativa incorreta:
( ) corta o eixo y no ramo decrescente ( ) a concavidade é voltada para baixo.
( )intercepta o eixo y no -1 ( )possui ponto de máximo
( )n.d.a
68
6.Sendo: y= 2x -1 - x², marque a afirmação correta:
( )a= -1 b= -1 c= 2, tem ponto de máximo e corta o y no vértice da parábola.
( )a= 2 b= -1 c= -1, tem ponto de mínimo e corta o y no ramo decrescente da parábola.
( )a= 2 b= -1 c= -1,tem ponto de mínimo e corta o y no ramo crescente da parábola.
( )a= -1 b= 2 c= -1, tem ponto de máximo e corta o y no ramo decrescente da parábola.
( ) a= -1 b= 2 c= -1, tem ponto de máximo e corta o y no ramo crescente da parábola.
II) Zero ou raízes da função Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , onde a 0, os números
reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau, para tal substituir
f(x) por zero, e resolver utilizando a fórmula de Bháskara:
Temos:
𝑥 =−𝑏 ± √𝛥
2𝑎, onde Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 ou x =
-b ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
2𝑎
Exemplo:
Isto é graficamente os valores que cortam o eixo x são 4 e 5
69
III) Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0,
a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de vértice são: 𝑥𝑣 =−𝑏
2.𝑎 e y𝑣 =
−𝛥
4.𝑎.
Considerando o mesmo exemplo:
y= x² -9x+20
𝑥𝑣 =−𝑏
2. 𝑎 =
−(-9)
2.1=
9
2= 4,5
Ou x do vértice é ponto médio entre as raízes, sendo assim 4+5= 9/2=4,5
1) Calculando ∆
y𝑣 =−𝛥
4. 𝑎=
−1
4.1=
−1
4= −0,25
Ou como x o vértice é 4,5, pode-se substituir na função e encontrar o y do vértice.
y= x² -9x+20 (4,5)²-9.(4,5)+20 = 20,25 -40,5 +20= 40,25-40,5 = -0,25
logo o vértice é (4,5; -0,25)
70
Traçando o gráfico:
1) Vamos marcar o vértice
2) Marque no x o valor das raízes (resultados da bháskara )
3) No y marque o valor de c
4) Trace o gráfico a partir do vértice, passando pelas raízes.
Outros exemplos: (Faça no caderno)
a) f(x)= x²-1 b) f(x)=-x²+2x-3 c) f(x)=x²+4x+4
Exercícios para fazer no caderno:
1.Das funções quadráticas encontre: As raízes se existirem e o vértice faça o esboço gráfico.
Questões: Resultados ao lado para conferir Raízes Vértice (x,y)
a)f(x)= x²-6x+8 2 e 4 (3,-1)
b)y= x²-5x+6 2 e 3 (2,5 ;-,025)
c)f(x)= -x²-4x+12 -6 e 2 (-2,16)
d)y= -x²+6x 0 e 6 (3,9)
e)f(x)= x²-6x+9 3 e 3 (3,0)
f)y= -x²+6x-9 3 e 3 (3,0)
g)f(x)= -x²-4x-4 -2 e -2 (-2,0)
h)f(x)= x²+4 não existe (0,4)
i)y= -x²+3x-4 não existe (1,5;-1,75)
71
Exercícios extras:
72
73
Aplicações de função quadrática
Exemplos:
1) O custo de um edifício de 62 apartamentos foi de 600 mil dólares. O construtor espera que a receita
R, em milhares de dólares, apurada pelas vendas dos apartamentos cresça de acordo com a função
R= -x²+62x, em que x é o número de apartamentos vendidos.
a) Quais as receitas se foram vendidos 15 apartamentos?
x= quantidade de apartamentos logo x=15 substituindo na função temos:
R= -x²+62.x R= - (15)² + 62.15= -225+930=705 mil dólares
b) Qual o lucro na venda destes 15 apartamentos?
Receita= 705 mil dólares e o Custo é 600 mil dólares Lucro é o que sobra logo: 105 mil dólares
2) O lucro L é obtido na venda de um determinado produto é dado por L(x): x² -14x+40 onde x representa
a quantidade de produtos vendidos. Construa o gráfico, analise e responda:
a) Em que dias o lucro é zero?
b) Em que dias o lucro é mínimo?
c) Em que período o lucro é negativo?
74
3) Suponha que o consumo de um carro, para percorrer 100 km com velocidade de x km/h, seja dado
por C(x)= 0,06x²-6x+50. Para qual velocidade esse consumo é mínimo? Resp: 50
4) Os cangurus vivem na Austrália, sabe-se que eles conseguem saltar muito mais do que nós humanos.
Considere que um canguru possa ser descrito na função: y= −𝑥²
8+ 𝑥, em que x é a distância e y a
altura do salto, em metros.
a) Qual a altura máxima atingida pelo canguru?
b) Determine a distância alcançada pelo canguru nesse salto.
75
Exercícios para fazer no caderno:
1. Um comerciante de roupas compra ternos e camisetas para revenda e tem um orçamento limitado
para compra. A quantidade de ternos é representada por x, a de camisetas por y, e a equação que dá a
restrição orçamentária é 10 x² + 10y = 1000.
a) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetas é possível comprar?
b) Se forem compradas 19 camisetas, quantos ternos é possível comprar?
c) Se não forem comprados ternos, qual a quantidade de camisetas compradas?
d) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetas, tal compra ultrapassará o orçamento?
2. Um avião lança medicamentos para desabrigados vítimas de enchentes. A distância d do avião em
relação ao solo é dada pela expressão d = – 40t2 + 160, onde t representa o tempo, em segundos, após
o lançamento. Determine quantos segundos os medicamentos levam para atingir o solo.
3. Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por
y = – 2x2 + 12x, em que y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola é de?
4. Uma bola de canhão é atirada por um tanque de guerra como mostra o gráfico onde o lançamento
está no ponto (0,0) e descreve uma trajetória em forma de parábola de equação y= -3x²+60x sendo x e
y em metros.
a)Qual a altura máxima atingida pela bala?
b)Qual o alcance do disparo?
5. Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem uma altura h(metros) expressa
pela função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei: h(t)= 40.t-5t². A altura
que a bola se encontra 1 segundo após o lançamento é?
6. Sabe-se que o custo de produção de um produto depende de muitos fatores entre eles a quantidade
que irá ser produzida. Considere uma função custo dada por C(x)= x²+10x-1000 onde x é expressa a
quantidade do produto. Qual o custo para produzir 100 unidades?
76
7. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja
h= -t² +4t +6. Determine:
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
b) a altura máxima atingida peal bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo
8. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação
y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento.
Use os conhecimentos adquiridos até aqui para encontrar:
a) A altura máxima atingida pelo projétil
b) Em que instante de tempo ele atingir a altura máxima
9. Sabendo que este custo de é calculado por: C(x)= x²+50x-100 onde x é expressa a quantidade do
produto. Qual o custo para produzir:
a) 50 unidades de um produto
b) 10 unidades do produto
10. Suponha que a receita de uma fábrica é dada pela função R(x)= -x²+300.x. e x é quantidade vendida.
Responda:
a) Qual a receita máxima.
b) Se forem vendidas 10 unidades a receita é:
Respostas:
1 36, 9, 100 e não 6 10 000
2 2 7 2 e 10
3 18 8 250 e 2,5
4 300 e 20 9 4 900 e 400
5 35 10 22 500 e 2 900
77
11. O gráfico abaixo descreve a receita obtida a partir do preço de venda do produto:
Analise e responda:
a) Qual o preço de venda do produto para que a receita obtida seja máxima?
b) O que acontece com a receita quando o preço do produto está entre 5 e 10 reais?
c) Qual o percentual de aumento em relação a receita quando o preço do produto vai de 3,50 para
5,00?
12. (UFS Car–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol,
teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥0) , onde t é o tempo medido em segundo
e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura máxima atingida pela bola.
13. (VUNESP-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em
função o tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t – 3t², onde h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
14. O saldo de uma conta bancária é dado por S = t2 – 11t + 24 , onde S é o saldo em reais e t é o tempo
em dias . Determine:
a) em que dias o saldo é zero;
b) em que dia o saldo é mínimo;
c) o saldo mínimo, em reais.
78
15. O lucro de uma empresa que vende peças raras é dado pela função: L(x) = x2 − 10x + 16, onde x
representa a quantidade de peças vendidas em um mês. Através dos relatórios financeiros desta
empresa, observa-se que dependendo da quantidade de peças vendidas a empresa tem prejuízo
devido ao que foi gasto na compra de material para a manufatura das peças. Sendo assim, o intervalo
que compreende a quantidade de peças vendida pela empresa quando esta tem prejuízo é:
(A) (0, 2) (B) (2, 8) (C) (0, 10) (D) (0, 16)
16. Uma doença se espalha de acordo com a função: P(x)=-2t2+100t, onde P representa o número de
pessoas infectadas e t é expresso em dias e t=0 é o dia anterior a primeira infecção. A respeito disso
responda:
a) Qual o dia em que mais pessoas estão infectadas pela doença?
b) Quantas pessoas estão infectadas no 20º dia?
c) Em qual dia não há mais pessoas doentes?
17. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por 𝑪(𝒙) =𝒙𝟐
𝟐− 𝟖𝟎𝒙 +
𝟒𝟎𝟎𝟎. Nessas condições, calcule:
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;
b) o valor mínimo de custo.
18. ( PUC – Campinas –SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua
altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h= -25t² +625.
Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? (A) 2,5 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E)25
19. (UFRGS- RS) Uma bola é colocado no chão e chutada para o alto, percorrendo uma trajetória
descrita por y= -2x²+12x, em que y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola
é de: (A) 36 (B) 18 (C) 12 (D) 6 (E) 3
20. (Estácio – RJ) Devido ao déficit de moedas circulantes no marcado, um comerciante vende cada
uma de suas mercadorias por um número inteiro de reais. O lucro L obtido com a venda de um
determinado produto é dado por L= - (p - 5) . (p + 2). Qual o lucro máximo, em reais, que o
comerciante pode obter na venda desse produto? (A) 10 (B) 12 (C) 10,50 (D) 12,25 (E) 11,40
79
8. Definição de Função Exponencial:
Dado um número real a (a > 0 e a 1), denomina-se a função exponencial de base a a uma função
f de IR em 𝐼𝑅+∗ por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑎𝑥.
Exemplos:
f(x) = 3𝑥 g(x) = 0,4𝑥 ℎ(𝑥) = (2
5)
𝑥
A função exponencial será crescente quando a>1 , e decrescente 0<a < 1.
Seu gráfico terá sempre um dos seguintes aspectos:
a > 1, f é crescente 0<a < 1, f é decrescente
Exemplos de gráficos:
80
Introdução
A função exponencial é uma ferramenta matemática presente na descrição e análise de muitos
fenômenos da vida real, tais como cálculos financeiros, datação de materiais arqueológicos por meio de
técnicas que utilizam a radioatividade, estudo do crescimento ou decrescimento de uma população, etc.
Questão problema – exemplo um:
Um biólogo acompanhou o crescimento de uma planta aquática de forma circular. Durante suas
observações, percebeu que a cada três meses o diâmetro da planta triplicava no tanque de pesquisa, no
início de suas observações o biólogo mediu a planta e ela estava com 1cm de diâmetro, qual será o
diâmetro que essa planta terá ao final de um ano que é seu prazo máximo de sobrevivência?
Para resolver este problema vamos construir uma tabela que mostre o aumento do diâmetro da planta em
função do tempo.
Observação Tamanho Relação obtida
inicial (0) 1cm 30 = 1
Após 3 meses (1 obs) 3 31 = 3
Após 6 meses (2 obs) 9 32 = 9
Após 9 meses (3 obs) 27 33 = 27
Após 12 meses (4 obs) 81 34 = 81
Logo o crescimento desta planta pode ser representado pela função f(x)= 3𝑥 ou f(x)= 1. 3𝑥 , onde x é
observação e f(x) é o tamanho da planta.
81
Hipoteticamente:
Se a planta do exemplo um estivesse com 2 cm da observação inicial, qual o tamanho dela ao final da
quarta observação?
x= 4 f(x)=?
f(x)= 2. 3𝑥 f(x)= 2. 34 = 2. 81=162 cm
Questão problema – exemplo dois:
Um criador de gado triplicava sua criação a cada ano. Se quando começo tinha 100 cabeças de gado, ao
final de 3 anos terá?
a) Vamos calcular intuitivamente usando uma tabela
Tempo 0 (inicial) 1 2 3
Volume 100 300 900 2700
b) Monte uma função para representar a situação e resolva.
f(x)= 100. 3𝑥 f(x)= 100. 33 = 100. 27= 2700 cabeças de gado
Questão problema – exemplo três:
Uma caixa d’água com 1000L é esvaziada pela metade a cada hora. Depois de 4 horas com quantos litros
estará, complete a tabela e encontre o resultado?
a)
Tempo 0 (inicial) 1 2 3 4
Volume 1000 500 250 125 62,5
b) Monte uma função que representa a situação e resolva:
f(x)= 1000. (1
2)
𝑥
= 1000. (1
2)
4
= 1000. 1
16 =
1000
16= 62,5 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
ou
f(x)= 1000. (0,5)𝑥 = 1000. (0,5)4 = 1000. 0,0625 = 62,5 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
82
Questão problema – exemplo quatro:
Devido ao declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se que, durante os próximos quatro anos,
um imóvel desvalorize em 10% ao ano, hoje o valor do imóvel é 200 000, assim a equação que calcula o
valor do imóvel é: V=200 000. (0,9)𝑡. Qual o valor deste imóvel daqui a dois anos?
V=200 000. (0,9)𝑡 = 200 000. (0,9)² = 200 000 . 0,81= 162 000
Se preferi construa uma tabela:
T 0 1 (desvaloriza 10%) 2 (desvaloriza 10%)
V 200 000 20 000 = 200 000 – 20 000 = 180 000 18 000 = 180 000 – 18 000 =162 000
Questão problema - exemplo cinco:
Um bairro tem seu imóveis valorizado devido a construção de um shopping localizado a 2 km do bairro. A
imobiliária que realiza o estudo prevê uma valorização de 10% ao ano sobre todos os imóveis da região. Se um
terreno atualmente tem valor de 150 000. Qual o seu valor daqui a dois anos? Logo: 10%=0,10
V=150 000. (1,1)𝑡 = 150 000. (1,1)² = 150 000 . 1,21= 181 500
Se preferi construa uma tabela:
T 0 1 (valoriza 10%) 2 (valoriza 10%)
V 150 000 15 000 = 150 000 + 15 000 = 165 000 16 500 = 165 000 + 16 500 =181 500
Observação:
Quando há uma desvalorização dizemos que 1 - taxa (representada de forma numérica)
Quando há uma valorização dizemos que 1 + taxa (representada de forma numérica)
83
Exercícios para fazer no caderno:
1) Certo investimento financeiro de longo prazo oferece um rendimento de 2% ao mês. Qual será a função
V(t) que determinará o valor total acrescido dos juros ao longo de t meses para um investimento inicial
de R$ 10.000?
a) V(t) = 10.000 · (0,02)t b)V(t) = 10.000 + (0,02)t c)V(t) = 10.000 · (1,2)t
d)V(t) = 10.000 · (1,02)t e) V(t) = 10.000 + (1.02)t
2) Construa o gráfico das funções abaixo e classifique as em crescente ou decrescente.
Para todos os itens abaixo utilizar x= {-2,-1,0,1,2}
𝑎)𝑓(𝑥) = 5𝑥 b) f(𝑥) = 2𝑥+1 c)𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 d)𝑓(𝑥) = (1
3)
𝑥
e)𝑓(𝑥) = (1
2)
𝑥+1
3) Imagine a mesma planta que falamos anteriormente, isto é triplica a cada observação, porem agora seu tamanho
inicial é 2cm de diâmetro. Complete a tabela e construa o gráfico de seu crescimento.
4) Uma piscina com 10 000 litros é esvaziada pela metade a cada hora. Depois de 3 horas com quantos litros terá?
Complete a tabela e faça a representação gráfica?
Horas 0 1 2 3
Volume
5) Um estudo em laboratório mostrou que a bactéria pesquisada crescia de acordo com a função
Q(t) =100 . 5t, na qual Q(t) é a quantidade de bactérias em t horas. Assim, após quantas horas a
população será de 12.500 bactérias?
6) Uma piscina será esvaziada para reforma. Esse processo é descrito pela função Q(t) = 1.000.000 – 10t,
na qual t é o tempo (em horas) e Q a quantidade de água (em litros) presente na piscina. Essa piscina
estará totalmente vazia após quantas horas?
7) Um criador de peixes quadriplicava sua criação a cada ano. Se quando começo tinha 5 peixes no tanque, ao
final de 10 terá?
Observação 0 1 2 3
Tamanho
84
8) Uma pesquisadora acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na primeira semana de
observação constatou um total de 1500 bactérias. Observações subsequentes revelam que a colônia dobrava
sempre em relação à imediatamente inferior. Em que observação a colônia alcançou 96000 bactérias?
9) Devido ao declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se que, durante os próximos quatro anos,
um imóvel desvalorização de 20%, hoje o valor do imóvel é 50 000, assim a equação que calcula o bem do
imóvel é V=50 000. (0,8)𝑡. Qual o valor deste imóvel daqui a três anos?
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes.
Veja alguns exemplos:
𝑎)4𝑋 = 32 b)3x-1 = 81 c)0,75𝑥 =9
16
d)3.4𝑥+1 = 96 e)√82
= 64𝑥−3 f) (1
3)
𝑥+2
= 81-x
85
g)4𝑥+1 = 1 h)2𝑥+4 .2 = 16
Exercícios para fazer no caderno:
1) Encontre o valor de x nas equações:
1)22𝑥+8 = 128 2)32x = 243 3)53x-1 =1
125
4)103x =1
10000 5)0,01𝑥 = 1000 6)2x-2 = 8
7)2x-3 =1
8 8)23x+2 =
1
4 9)3x²-5 = 81
10)42x+2 = 512 11) (1
2)
𝑥²−3
= 4 12)83x+9 =1
16
13)252x = √52
14)√3𝑥
=1
9 15) 4𝑥+8 = √32
3
16)9𝑥+3 = 27𝑥 17)2𝑥+2 = 16𝑥 18)64𝑥 = 2𝑥+4 19)10𝑥+8 = 1000𝑥+2 20)8𝑥+4 = 512𝑥 21)125𝑥 + 2 = 1
22)1 = 3432x+3 23)512x-1 = 1 24)√4𝑥3= 1
86
25)√2x-25= 1 26)3.5x-1 = 75 27)2.3x-2 = 162
28)5.2 x² - 4 = 160 29)10.22x+6 = 10 30)25.5 4x+6 = 125
31)2.4 x+1 = 32 32) 5 x-3 =125
25 33)10. 0,01 2x+1 = 1000
Respostas finais
1)-1/2 2)5/2 3)-2/3 4)-4/3 5)-3/2 6)5 7)0
8)-4/3 9)±3 10)5/4 11)±1 12)-31/9 13)1/8 14)-1/2
15)-43/6 16)6 17)2/3 18)4/5 19)1 20)2 21)-2
22)-3/2 23)1 24)0 25)2 26)3 27)6 28)±3
29)-3 30)-5/4 31)1 32)4 33)-1
9. LOGARITMO
Dizemos que o logaritmo de um número positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o expoente
x ao qual se deve elevar a para se obter b .
log a b = x ax = b
Condição de existência ( C.E.): b > o, a > 0 e a 1
Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omiti-la na sua representação.
O conjunto dos logaritmos na base 10 de todos os números reais positivos é chamado de sistema de logaritmo
decimal. São empregados para realizar cálculos numéricos.
Há, ainda, o sistema de logaritmos neperianos. A base desses logaritmos é o número irracional e = 2,71828... e
tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
87
Exemplos:
Aplicando a definição, calcula o valor dos logaritmos:
a. log6 36 b. log10 0,01 c. 𝑙𝑜𝑔1
4
2 √2
log6 36 = x log10 0,01 = x 𝑙𝑜𝑔1
4
2 √2 = x
6x = 36 10x = 0,01 (1
22)𝑥
= 21 . 21
2
6x = 62 10x = 10– 2 2−2𝑥 = 23
2
x = 2 x = – 2 -2x = 3
2
x =3
2. (−
1
2) = −
3
4
CONSEQÜÊNCIA DA DEFINIÇÃO
➢ loga 1 = 0
➢ loga a = 1
➢ loga am = m
➢ alogab = b
1) y=log2 x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o
gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4
y -2 -1 0 1 2
88
2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o
gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4
y 2 1 0 -1 -2
Exercícios
1. Calcula o valor dos logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔√8 4
b) Log 25 0,2
c) Log 2 √643
d) log16 32
e) log 5 0,000064
f) log 49 √73
g) log 3 81
h) log 2 √648
i) 𝑙𝑜𝑔4 2 √2
j) Log 2 0,25
k) 𝑙𝑜𝑔√25 1 28
l) log 625√5
2. Qual o valor da soma S = log10 0,001 + 𝑙𝑜𝑔3 3 √3 + log 8 16
3. Qual o valor da expressão 𝐸 =𝑙𝑜𝑔3 1+𝑙𝑜𝑔10 0,01
𝑙𝑜𝑔21
64.𝑙𝑜𝑔4 √8
