به نام خدا

Maple 9.5 آموزش

تخصصي كامپيوتر–انجمن علمي پيام نور قم جامع دانشگاه

1386مرداد ماه

با آب نمي ميريم آب مايه ي مرگ نيست،!! بلكه بي آب مي ميريم

اساس حيات است !البته هستند كساني كه در آب و با آب مرده اند

ولي مقصر كيست؟ آب ؟ يا آنكه مي ميرد؟ !و زندگي آب است

!بلكه بي زندگي مي ميرد! و هيچكس با زندگي نمي ميرد نيست! زندگي مايه ي مردگي

!!زندگي ، خود زندگي است !!ندني كه در زندگي و با زندگي مي ميرالبته هستند كسا

ولي مقصر كيست ؟ زندگي؟ زندگي و در زندگي مي ميرد؟ يا آنكه با

!راستي چرا بعضي ها در زندگي مي ميرند؟ فقط بخاطر آنكه هنر زندگي را نمي شناسند

!!والسالم

1

Maple 9.5 نرم افزار

:فهرست

2................................................................................................................................................................ با نرم افزارييآشناMaple 4................................................................................................................................... حسابني ماشكي به عنوان

5...................................................................................................................................................................يمحاسبات جبر 8................................................................................................................................................................................معادالت

9...........................................................................................................................................................حي با اعداد صححيتفر 11................................................................................................................................................................................ثاتمثل

12..............................................................................................................................................................................دنباله ها 13......................................................................................................................................................................... تابعفيتعر

15.....................................................................................................................................................................جمع و ضرب 16......................................................................................................................................................................................حد

16..................................................................................................................................................................................مشتق 17................................................................................................................................................................................انتگرال 18...........................................................................................................................................................................يجبر خط

22...............................................................................................................................................................................كيگراف

2

آشنايي با نرم افزارمسايل يكي از دستاورد هاي مهم علوم رايانه در سال هاي اخير ، ارائه نرم افزار هاي هوشمند ، و قدرتمند در محاسبات و حل

.به گونه اي كه كمتر مسئله اي را مي توان يافت كه رايانه ها قدرت پردازش و تحليل آن را نداشته باشند. پيچيده استمانند نرم افزار هاي آماري ، . اصوال نرم افزار ها برخي كامال تخصصي و فقط در زمينه هاي خاصي مورد استفاده قرار مي گيرند

برخي ديگر از نرم افزار ها به صورت عام تر بوده و موضوعات . صادي ، بهينه سازي ، و غيرهمهندسي ، پزشكي ، علوم اقت . استMapleيكي از اين نرم افزار ها در زمينه ي عمومي رياضيات نرم افزار . بيشتري را در بر مي گيرند

Mapleروال ، طيف گسترده اي 3500 بيش از با كه نرم افزار رياضي ايده آلي براي پژوهشگران ، معلمان و دانشجويان است .از مفاهيم ابتدايي تا سطح پيشرفته حساب ديفرانسيل و انتگرال جبر را پوشش مي دهد

. اجرا كردStart >> All Program >> Maple 9.5 مي توان پس از نصب آن را از مسير Mapleبراي كار با برنامه Maple 9.5و قبل 8مينه ي قرمز رنگ كه برنامه را با آرايشي جديد تر نسبت به نسخه يك آيكون با ز. داراي سه آيكون است

از آن ظاهر مي كند ، يك آيكون با زمينه زرد رنگ كه به برنامه ظاهر نسخه هاي اوليه را مي دهد و ديگري آيكوني با زمينه . اجرا مي كندDOSسياه رنگ كه نسخه خط دستور برنامه را تحت

: نكات زير را به خاطر داشته باشيدMapleهنگام كار با

يه مي و اوليادي و شامل دستورات بنMaple سيستمه و اساس يفقط هسته كه پا ) گرددياجرا م( شود ي بار مMaple يوقت - را در بر Mapleستم ي درصد كل س10با ي شده كه تقرتشكيل "C" به زبان ييها هسته از كد. كنديباشد را به حافظه منتقل م

نوشته شده Mapleه به زبان ينود درصد بق. شتر هسته كوچك نگه داشته شده استي بكاراييبه منظور سرعت و . ردي گيم . قرار داردMaple ي هاكتابخانهاست كه در

: ر بار كرد ين دستورات را به روش زي اير بسته حاويا زي بسته يستين دستورات ابتدا باي استفاده از اي براwith ) ر بستهيا زيبسته نام ( ;

. كنيد دستورات ساده استفاده ي از يك سرهستيد تنها قادر كنيد ي را اجرا مMaple شما وقتي توان گفت ي ساده ميليبطور خن ي ايد بسته حاوي حتما قبال باكنيده اعداد استفاده يا نظريشرفته تر مانند هندسه يد از دستورات پياز داشته باشي اگر نآنكهحال .ديورات را بار كرده و به حافظه انتقال دهدست

. وارد مي شوندprompt در سمت راست Maple استفاده مي شود و دستورات < از نماد prompt براي Mapleدر -

زير برنامه خروجيشده و وارد مي كنيد ، ورودي ها با رنگ قرمز نوشته Mapleوقتي اطالعات را در قسمت خط دستور . باشند... ها و دفرا پيونصفحات مي توانند شامل بخش ها ، ناحيه متن عادي ، . رنگ آبي نمايش داده مي شوندورودي ها با

. و پالت هاي برنامه نيز روش هاي ديگري را براي ورود اطالعات به برنامه در اختيار مي گذارندمتنمنو هاي حساس به استفاده كنيم ، دستور اجرا مي شود ولي خروجي چاپ نمي شود :اگر از نماد . درسان به آخر : يا ;نماد يد با هر دستور را با -

. خروجي نيز چاپ مي شود;اما در هنگام استفاده از . است كه البته برنامه به صورت خودكار آن را اضافه كرده و فقط به شما اخطار مي دهد: يا ;يكي از رايج ترين خطاها حذف

> 105/25 Warning, inserted missing semicolon at end of statement, 105/25;

3

215

براي ادامه ي دستور در Shift + Enter و نمايش نتيجه ، و از كليد هاي Maple براي فرستادن دستور به Enter از كليد -

.خط بعد استفاده مي كنيم .دستورات متفاوتي هستند diff و Diff. نسبت به حروف بزرگ و كوچك حساس استMaple دقت كنيد كه - براي نتيجه %%% و %%به صورت مشابه از . براي ارجاع به نتيجه محاسبات قبلي استفاده مي كنيم(ditto) % از نماد -

.دو و سه محاسبه ي قبل استفاده مي شود ا مي توانند براي ورود پالت ه. مي توان براي ساخت عبارات در ورودي يا ناحيه متن استفاده كردMaple از پالت هاي -

گزينه ي Viewبراي كنترل پالت ها از منوي . يا استاندارد رياضي مورد استفاده قرار گيرندMapleاطالعات با نماد گذاري Palettesو سپس يكي از زير مجموعه هاي آن را انتخاب كنيد .

براي اين . دستورات بدون وارد كردن كد استفاده كرد همچنين از منو هاي حساس به متن مي توان براي فراخواني بسياري از -

. ، نمودارها و ديگر اشيا براي ديدن مجموعه اي از فرامين ممكن كليك راست كنيدMapleكار روي خروجي هاي فرماني را كه با حروف تايپ شده همخوانيtool tipدر يك ، هنگام ورود يك فرمان نيز Maple تكميل كننده فرمان هاي -

. را براي تكميل خودكار فرمان فشار داد تا از تايپ كامل آن جلوگيري شودEnterدارد نمايش مي دهد و مي توان كليد مي ... تعريف اصطالحات رياضي و ، صفحات نمونه ، Maple شامل اطالعاتي در مورد دستورات برنامه Helpسيستم -

.باشد و ارتباط با صفحات مرتبط را مثال شده ، توضيحاتي در مورد روال ، چندين با توجه به دستور فراخوانيhelpهر صفحه

. از طريق خط دستور و يا روش هاي مختلف ديگر دسترسي داشته باشيدhelp به دشما مي تواني. شامل مي شود .topic_name مربوط به موضوع help در خط دستور براي باز شدن صفحه ي topic_name?وارد كردن -1الفبايي نمايش مي به ترتيب را ليستي از موضوعات همخوان با حروف وارد شده توسط شما ،جستجوي موضوعي -2

كليك topic با فعال بودن سر برگ help رهدايت گ براي اجراي help را از منوي Topic index گزينه ي. دهد .كنيد

شما مي توانيد روي . فراواني كلمات كليدي نمايش مي دهد ليستي از موضوعات را بر پايه ي ، يك جستجوي عمومي -3هر چند نتايج ممكن است شامل صفحاتي باشد كه فقط يكي از آن كلمات را دارا . بيشتر از يك كلمه جستجو كنيد

و help را براي باز شدن قسمت Search گزينه ي helpاز منوي . باشد كه در ليست قرار دارد نه همه ي آن ها . انتخاب كنيدsearchسر برگ

از منوي . اصطالح رياضي است كه به صورت الفبايي ليست شده اند5000 فرهنگ رياضي شامل تعريف بيش از -4help گزينه ي Math dictionaryرا براي باز شدن فرهنگ رياضي انتخاب كنيد .

5- helpبراي استفاده از . ند حساس به متن ، صفحه ي كمك رساني مربوط به يك موضوع را باز مي كhelp حساس به help on گزينه ي help را فشار دهيد يا از منوي F1متن نشانگر ماوس را روي كلمه مورد نظر گذاشته كليد

“word”) wordرا انتخاب كنيد) همان كلمه اي است كه نشانگر روي آن است.

4

با Mapleصفحات . ذخيره كردFile در منوي …Save As پس از اتمام كار مي توان صفحات را با استفاده از گزينه ي - Exit گزينه ي File مي توان از منوي Mapleبراي خروج از . در مسير مشخص شده ذخيره مي شوندmws يا mwپسوند

ده استفاMapleدر نسخه خط دستور آسان ترين روش براي خروج از يك فايل . استفاده كردAlt + F4و يا كليد هاي تركيبي . مي باشدquitاز دستور

Mapleبه عنوان يك ماشين حساب Maple روش استاندارد فراخواني عمليات رياضي براي انجام محاسبات ابتدايي را رعايت كرده و همه ي محاسباتي را كه

.توسط ماشين حساب هاي علمي انجام مي شود ، با همان نحوه نوشتن گرامر اجرا مي كند :د از عبارتنMapleپايه در هاي حساب رعمل گ

توان^يا ** تقسيم / ضرب * تفريق - جمع +ن بدان يا. تدارا س را اولويت باالترين كه پرانتز بدانيدالزم است . باشدي م" پرانتز " ، عمل بين اين مهم در نكات از يكي

عمل ساير دهد و سپس به سراغ يات درون پرانتز را انجام مي با مواجه شدن با پرانتز ، ابتدا عملكامپيوتري سيستممعناست كه ترين داخلي محاسبات از هميشه يعني . را دارداولويت باالترين پرانتز ، ترين داخلي هميشه هم گذاريدر پرانتز . رودي ها مرگ

. گردديپرانتز آغاز م : كنند ير مطلب را روشنتر مي زمثال هاي

> x+y/a+b; x + y

a + b

> (x+y)/a+b;

x + ya

+ b

> (x+y)/(a+b);

x + ya + b

Maple داراي توابع رياضي پايه كه در يك ماشين حساب علمي يافت مي شود و حتي بيشتر نيز هست كه براي بدست آوردن

. استفاده كنيدindex[functions]?يك فهرست كامل از توابع مي توانيد از دستور

Mapleاما مي تواند حساب مميز شناور را نيز تا هر دقت . د محاسبات را در حالت پيش فرض به صورت دقيق انجام مي ده . انجام مي دهيمevalfاين كار را با دستور . مورد نياز بدست آورد

> tan(Pi/5);

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

51tan

> evalf(%); 0.7265425281

راي تغيير پيش دو روش ب. رقم اعشار كه دقت پيش فرض است محاسبه كرد10 را تا tan( π/5 ) مقدار evalfتوجه كنيد كه

.فرض و افزايش تعداد مكان هاي اعشاري موجود است> E := exp(1);

5

E := e

> evalf(E,20); 2.7182818284590452354

> Digits := 30;

Digits := 30

> evalf(E); 2.71828182845904523536028747135

روش ديگر استفاده از متغير كلي . رقم اعشار بدست آورد20 را تا e مي توان مقدار evalf (E,20)با استفاده از دستور

Digits قدار دهي بعد از م. استDigits := 30 به سادگي مي توان با فراخواني evalf (E) مقدار e رقم اعشار 30 را تا .محاسبه كرد

است ، E := exp (1) كه خروجي تابع eروي . بدست آورد حساس به متن نيز مي توان يك تقريب منو هايبا استفاده از . و سپس دقت مورد نظر را انتخاب كنيدApproximateكليك راست كنيد و از منوي باز شده گزينه ي

: نكته دوبه حروف بزرگ و . (نمايش مي دهيم exp (1)را با ) عدد نپر (e و ثابت رياضي Pi را با π نماد Mapleتوجه كنيد كه در -

)كوچك دقت كنيد . استفاده مي كنيم=: براي مقدار دهي به يك متغير يا عبارت از نماد Maple در -

سبات جبريمحااين نرم افزار مي تواند به آساني روي چند جمله اي ها و توابع گويا با . مي توان محاسبات جبري را نيز انجام دادMapleبا

:يك يا چند متغير كار كند جمله اي براي سادگي كار بهتر است ابتدا چند. استفاده مي كنيمfactorبراي تجزيه يك چند جمله اي يا تابع گويا از دستور

. نسبت دهيم تا در محاسبات بعدي مجبور به وارد كردن عبارت كامل در دستورات نباشيمركاراكترا به يك > factor (x^2+5*x+6);

x + 3( ) x + 2( )

> p := 6*x^2+9*x+3; p := 6 x 2 + 9 x + 3

> factor (p);

3 x + 1( ) 2 x + 1( )

. استفاده مي كنيمexpandهمچنين براي بسط يك چند جمله اي از دستور

> (1-q^8)*(1-q^7)*(1-q^6); 1 - q 8( ) 1 - q 7( ) 1 - q 6( )

> expand(%);

1 - q 6 - q 7 + q 13 - q 8 + q 14 + q 15 - q 21

6

بر حسب يكي از collectهنگام كار با يك چند جمله اي با بيش از يك متغير نيز مي توان به سادگي با استفاده از دستور .متغير ها فاكتور گيري كرد

> restart; > (x+y+1)*(x-y+1)*(x-y-1);

x + y + 1( ) x - y + 1( ) x - y - 1( )

> p := expand(%); p := x 3 - x 2 y + x 2 - 2 x y - x - y 2 x + y 3 + y 2 - y - 1

> collect(p,x);

x 3 + 1 - y( ) x 2 + -1 - y 2 - 2 y( ) x - y - 1 + y 3 + y 2

بودند از تابع y با ضرايبي كه خود چند جمله اي هايي بر حسب x چند جمله اي بر حسب به صورت يكpبراي نوشتن

collect ( p,x )به طور مشابه ، با استفاده از . استفاده كرديمcollect ( p,y ) مي توان به يك چند جمله اي بر حسب y .رسيدراي آزاد سازي يك متغير و استفاده مجدد از آن از دستور ب. داده بوديم ( 6x2 + 9x + 3 ) مقدارp به در قسمت قبل :نكته

restart ;استفاده مي كنيم .

، از دستور ) يعني يك تابع كه بتوان آن را به صورت يك كسر از دو چند جمله اي نوشت(براي ساده كردن يك تابع گويا normal استكار اين دستور حذف عوامل مشترك بين صورت و مخرج. مي شود استفاده .

> a := (x-y-z)*(x+y+z); a := x - y - z( ) x + y + z( )

> b := (x^2-2*x*y-2*x*z+y^2+2*y*z+z^2)*(x^2-x*y+x*z-y*z);

b := x 2 - 2 x y - 2 x z + y 2 + 2 y z + z 2( ) x 2 - x y + x z - y z( )

> c := a/b; c := x - y - z( ) x + y + z( )

x 2 - 2 x y - 2 x z + y 2 + 2 y z + z 2( ) x 2 - x y + x z - y z( )

> normal(c); - x + y + z

x 2 - x y + x z - y z( ) -x + y + z( )

: مفيد ديگر براي كار روي توابع گويا عبارتند از دستوراتبعضي . به ترتيب صورت و مخرج يك تابع گويا را انتخاب مي كنندdenom و numerتوابع

> numer(c); - -x + y + z( ) x + y + z( )

> denom(c);

x 2 - 2 x y - 2 x z + y 2 + 2 y z + z 2( ) x 2 - x y + x z - y z( )

. كنيم ير استفاده مي بصورت زdivideگر از دستور يك عبارت بر عبارت دي تقسيم يبراdivide ( expr1 , expr2 );

7

ي كند كه عبارت اول بر دومي كه مشخص مكلمهك يصورت ه جه را بيكند و نت يم ميتقس expr2 را بر expr1ن دستور يا . دهدي نشان م)false (ا نهي )true (ر بودهيبخش پذ

ك عالمت كاما قرار داده و يم ي هر دو عبارت را آورداينكه پس از كافيستم يز داشته باشيم خارج قسمت را ني بتواناينكه يبراجه يم دو عبارت بر هم ، نتي شود تا پس از تقسين كار باعث ميا. دهيم ، قرار كوتيشنن عالمت ، تك ي را در بيريسپس متغ

.مي خارج قسمت را داشته باشيعنيات آن يم محتوي توانير مين متغي ايبا فراخوان. ره گرددير ذخيرج قسمت در آن متغخا> divide(x^2-y^2 , x-y);

true

> divide(x^2-y^2 , x-y , 'q'); true

> q;

x + y

.دانند به ترتيب خارج قسمت و باقيمانده را در تقسيم دو چند جمله اي بر مي گرrem و queتوابع > a:='a': b:='b': q:='q': > a := 2*x^3+x^2+12;

a := 2 x 3 + x 2 + 12

> b := x^2-4; b := x 2 - 4

> q := quo(a,b,x);

q := 2 x + 1

> r := rem(a,b,x); r := 16 + 8 x

> expand( a - (b*q + r) );

0

هستند، بر مي گردانند x را كه همه بر حسب b بر a خارج قسمت و باقيمانده تقسيم چند جمله اي rem و quoدستورات a = bq + r: كه به طوري

. خط اول مثال هاي باال نيز مي توان يك متغير را بازيابي كرد در با روش استفاده شدهrestart غير از دستور :نكته

ي رود كه عبارت جبري مبكار يشتر هنگامين دستور بيا. كند ين مييك عبارت تعير را در يك متغيب ي ضرcoeffدستور .كنيمدا ي را پيريب متغي ضريم براحتي كه نتواني باشد بطور داشتهياديتعداد جمالت ز

> p := 2*x^3+3*y*x^2+4*x-5; p := 2 x 3 + 3 y x 2 + 4 x - 5

> coeff(p,x^2);

3 y

> coeff(p,x,2); 3 y

8

ldegree( p بر مي گرداند و دستور x را به عنوان يك چند جمله اي برحسب p درجه ي degree( p , x )همچنين دستور

, x ) درجه ي كمترين توان xدر چند جمله اي را pبر مي گرداند كه صفر است . > degree(p,x);

3

> ldegree(p,x); 0

از دستور زير p در y = 2 و x = 1براي جايگذاري . مي توان يك عبارت را مقدار دهي كردsubsبا استفاده از دستور

:استفاده مي كنيم > subs(x=1,p);

1 + 3 y

> subs(x=1 , y=2 , p);7

: است pكار مقدار دهي تك تك متغير ها قبل از فراخواني ن روش ديگر اي > x := 1:> y := 2:> p;

7

دو عبارت را بر مي ) م.م.ك( كوچكترين مضرب مشترك lcmو دستور ) م.م.ب( بزرگترين مقسوم عليه مشترك gcdدستور :گرداند

> gcd(x^2-y^2 , x-y);x - y

> lcm(x^2-y^2 , x-y);x + y( ) x - y( )

ن دستور جمالت را از يا. استفاده كردsort توان از دستور ير ميك متغيك عبارت بر حسب ي جمالت ي مرتب سازيبرا م جمالت ي كه قصد داريريد متغي عبارت بايز پس از معرفين دستور نيدر ا. كندي آنها مرتب مكوچكترينن درجه به يبزرگتر

.مياوري را بشوندنسبت به آن مرتب > sort(1+x*y+2*x^4+y^2*x^3,x);

2 x 4 + y 2 x 3 + y x + 1

معادالت

داراي يك مفهوم متفاوت است و براي معادالت =نماد . استفاده مي كرديم =: براي نسبت دادن يك مقدار به يك متغير ، از .استفاده مي شود

يور من دستي استفاده از ايبرا. ر استي پذامكان solve و با استفاده از دستور ي براحتMapleحل معادالت و نامعادالت در .توان به دو صورت عمل كرد

> solve( sqrt(x)-sqrt(x-1) = 1 , x ); 1

> A := 4*x^2+5*x+1 = 2: > solve(A,x);

9

- 58

+ 18

41 , - 58

- 18

41

> solve(A);

- 58

+ 18

41 , - 58

- 18

41

رش حل گشته و ي متغذكر با يكبار يگري حل شده و سپس معادله دsolveم توسط دستور يك معادله اصم بطور مستقيابتدا . استز حل شدهير ني آن متغذكرر داشته ، بدون يك متغي گر از آنجا كه تنهايبار د

. شوديم كه گفته شد استفادهشكلن دستور و به همان يز از همي حل نامعادالت نيبرا

> solve((x-1)*(x-2)*(x-3)<0 , x); RealRange -¥ , Open 1( )( ), RealRange Open 2( ), Open 3( )( )

: شود ير خوانده مي آن به صورت زيخروج

. هستند يقي حقيي بازه هاي ، كه همگ3 تا 2 باز ي و بازه1 باز يت تا بازهي نهاي بياز منها

از معادالت است كه يد دستگاه معادالت مجموعه اي دانيهمانطور كه م. رندي گيحل دستگاه معادالت از حل معادالت نشات مها و در انتكنيم يف مي، دستگاه معادالت را هم تعركرديمف ي هم همانطور كه معادالت را تعرMapleدر . د با هم حل شونديبا .م كه همه معادالت با هم حل شوندي خواهيم

> a := 4*x+y-z=1:> b := x+y+z=0:> c := x+y-2*z=-1:> solve({a,b,c},{x,y,z});

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

===95y,

31z,

92x

تفريح با اعداد صحيح . تجزيه يك عدد صحيح به عوامل اول را بر مي گرداندifactorدستور

> 2^(2^5)+1; 4294967297

> ifactor(%);

641( ) 6700417( )

> ifactor(5003266235067621177579); 3( )2 13( ) 31( )3 67( ) 139( ) 320057( ) 481577( )

. براي اعداد صحيح استفاده مي كنيمirem و iquo براي چند جمله اي ها ، از توابع rem و quoمشابه توابع > a:=23 ; b:=5;

a := 23

b := 5

> q := iquo(a,b) ; r := irem(a,b);

10

q := 4

r := 3

ك مجموعه از اعداد را مي توان با استفاده از دستورات همچنين بزرگترين مقسوم عليه مشترك و كوچكترين مضرب مشترك يigcd و ilcmبدست آورد .

> igcd(28743 , 552805); 11

> ilcm(21 , 35 , 99);

3465

ه ي مقسوم علdivisorsدستور . كنندي را عاد مn باشند كه عدد ي مk مانند يحي اعداد صحnح ي عدد صحيه هايمقسوم عل . كندين مييك عدد را تعي يها

> divisors(100); 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100{ }

> divisors(-15);

1, 3, 5, 15{ }

. دهديجه مي مجموع آنها را نتsigma ه ها و دستوري تعداد مقسوم علtauدستور > tau(15) , sigma(15);

4, 24

در مثال . دهدين كار را انجام مي اnthpowاز باشد دستور ي از عوامل نيكيك عدد تنها به توان يه ي كه در تجزيدر صورت : مورد نظر است96ه عدد ي در تجز5 ر توانيز

> nthpow(96,5); 2( )5

؟ مي آزمايد كه آيا عدد داده شده اول است ، يا مركبisprimeتابع . بدست آوردithprime ام را مي توان با iعدد اول

> ithprime(100); 541

> isprime(2^101-1);

false

> isprime(413353); true

بزرگترين prevprime را بر مي گرداند و n عدد اول بزرگتر مساوي نوچكتريك nextprime دستور nبراي عدد صحيح

. را بر مي گرداندnعدد اول كوچكتر از > nextprime(1000);

1009

> prevprime(1000); 997

. قابل محاسبه هستندphi اول هستند توسط دستور n كه نسبت به n از كمترح مثبت يتعداد اعداد صح

> phi(100);

11

40

بنابراين قبل از استفاده از آنها بايد اين بسته را . قرار گرفته اند numtheoryاكثر دستورات بخش نظريه اعداد در بسته :نكته از اين قبيل دستورات كه در باال گفته شد sigma و tau , phi , nthpow , divisorsدستورات . به حافظه منتقل كنيد

.هستند > with(numtheory); [GIgcd, bigomega, cfrac, cfracpol, cyclotomic, divisors , factorEQ, factorset, fermat, imagunit, index,

integral_basis, invcfrac, invphi, issqrfree, jacobi, kronecker , l , legendre, mcombine, mersenne, migcdex,

minkowski , mipolys, mlog, mobius, mroot, msqrt, nearestp, nthconver, nthdenom, nthnumer, nthpow,

order, pdexpand, f , p, pprimroot, primroot, quadres, rootsunity, safeprime, s , sq2factor, sum2sqr , t , thue

]

ح باال ياز است كه به مقدار جزء صحي اوقات نيگاه. كنيم ي استفاده مfloorك عدد از تابع يح ي محاسبه جزء صحيبرا .دهديجه مي عدد را نتكسري قسمت frac بنام يگري تابع د. استف شدهي تعر ceil ن منظور تابعي ايبرا .كنيمدا ي پيدسترس

> floor(2.83); 2

> ceil(2.83);

3

> frac(3/2); 12

مثلثات . استفاده مي كنيمconvertبراي تبديل درجه و راديان به هم از دستور

> convert(72*degrees , radians);

π52

> convert(2/5*Pi , degrees); 72 degrees

استفاده مي π براي Piز به ياد داشته باشيد كه ا. به راديان تبديل كردπ/180به صورت ديگر مي توان درجه را با ضرب در

.كنيم> 72*Pi/180;

π52

آرگومان ها براي همه ي توابع مثلثاتي به راديان . csc و sec , cot , tan , cos , sin توابع مثلثاتي عبارتند از Mapleدر .هستند

> sin(0); 0

> cos(Pi);

12

-1

> tan(Pi/2); Error, (in tan) numeric exception: division by zero

.arccsc , arcsec , arccot , arctan , arcsin , arcos: توابع معكوس مثلثاتي عبارتند از

> arcsec(-2);

π32

> arcsin(sin(Pi/2));

π21

:؟ دستورات زير را بررسي كنيد مشكل شده ايدآيا تا بحال در بياد آوردن فرمول هاي جمع براي توابع مثلثاتي دچار> expand(sin(x+y));

sin x( ) cos y( ) + cos x( ) sin y( )

> expand(tan(x+y)); tan x( ) + tan y( )

1 - tan x( ) tan y( )

. استفاده مي كنيمsimplifyبراي ساده كردن يك عبارت مثلثاتي از دستور > y := (1+sin(x)+cos(x))/(1+sin(x)-cos(x));

y := 1 + sin x( ) + cos x( )1 + sin x( ) - cos x( )

> simplify(y);

1 + cos x( )sin x( )

. شودي استفاده مconvert از دستور -ر باشنديل پذي كه تبدي در صورت- مختلف به هم يل توابع مثلثاتي تبديبرا

> convert(tan(x) , sin); 2 sin x( )2

sin 2 x( )

دنباله ها دنباله ها به شكل زير هستندMapleدر

expr1 , expr2 , expr3 , … , exprn > restart; > x := 1,2,3;

x := 1, 2, 3

> y := 4,5,6; y := 4, 5, 6

> x,y;

1, 2, 3, 4, 5, 6

13

توليد مي n دنباله اي به طول x$n همچنين . دنباله را از روي جمله عمومي آن تعريف كرد مي توانseqبا استفاده از دستور .كند

> f:='f': seq(f(i) , i=1..6); f 1( ), f 2( ), f 3( ), f 4( ), f 5( ), f 6( )

> seq(i^2 , i=1..5);

1, 4, 9, 16, 25

> x:='x' : x$4; x, x, x, x

باله همگرا و در دن, كند موجود باشديل ميت مينهاير آن به سمت بي كه متغي دنباله هنگاميف اگر حد جمله عموميبنابر تعر

آن ي از جمله عموميستي دنباله بايك وا گراييا ي هم گرايي ي بررسيف براين تعريبنا بر ا. ن صورت واگرا خواهد بودير ايغ .حد گرفت

> limit((-1)^n/n , n=infinity); 0

> limit((-1)^n , n=infinity);

-1 .. 1

( )

حد دنباله ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎩

⎧ −n

n1⎪⎪) دنباله. دنباله همگرا مي باشداين است پس 0ا برابر ببينهايت در ⎨ ){ }n1−

53: 2 +−→= xxxf

.استواگرا

تعريف تابعتابع هاي . مي باشدx عبارتي شامل exprاست كه در آن ) f := x - > expr( نحوه تعريف يك تابع به صورت Mapleدر

.با بيش از يك متغير را نيز به روش مشابه تعريف مي كنيم> f := x -> x^2 - 3*x + 5;

> f(3); 5

> g := (x,y) -> x*y/(1+x^2+y^2);

221),(:

yxxyyxg++

→=

. استفاده مي كنيمunapplyبراي تبديل يك عبارت جبري به يك تابع از دستور > q := z^5+3*z^4-12*z^3-35*z^2+42*z+119: > h := unapply(q,z);

1194235123: 2345 ++−−+→= zzzxzzh

ز به ي ني توابع چند ضابطه اي معرفيبرا. باشدي موجود مpiecewise دستور Maple در يف توابع چند ضابطه اي تعريبرا و قبل از ضابطه < را پس از عالمت piecewiseن تفاوت كه عبارت ي با اكنيم يعمل مكه در باال آمده است همان صورت

. مي آوري تابع ميها

14

ي تمامياگر برا. كنيم ي كه ابتدا دامنه و سپس ضابطه را وارد مكنيم ين صورت عمل مي تابع، به ايف ضابطه هاي تعريبرامانده را به آن ير باقير مقادي ساMapleن ضابطه ها بدون دامنه باشد، خود ي از ايكي و تنها كنيمن يي را تعيضابطه ها، دامنه از محاسبه شده يف شده، مقدار آن در سه نقطه ني تعري تابع چند ضابطه ايك اينكهز ر پس ايدر نمونه ز. دهديضابطه نسبت م

.است> f:='f': > f := x -> piecewise(x<-1,x^2 , x>-1 and x<1,(x-1)*abs(x), k);

),)1(,11,,1(: 2 kxxxandxxxpiecewisexf −<<−−<→=

> f(-2) , f(0) , f(4); 4, 0, k

fog(x) يعني g و fو تابع باشند ، در آن صورت تركيب توابع دg و fاگر . تركيب توابع استرعمل گ @ ، نماد Mapleدر

. است(x)(f@g)به صورت > f := x -> x^2: > g := x -> sqrt(1-x): > (f@g)(x);

1 - x

> (g@f)(x);

1 - x 2

و f(f(x)) نشان دهنده (x)(f@@2)بنابراين . مي توان تركيبات تكراري را به دست آورد@@با به كار بردن نماد

(f@@3)(x) مقدار f(f(f(x)))را بدست مي دهد . محاسبه يبرا . را بر مي گرداندf -1(x) تابع معكوس f@@(-1)(x) شناخته شده هستند ، Maple براي توابع خاصي كه در

همچنين مي توان براي بدست آوردن .)ك تابعي ام n معكوس( شودي استفاده مn يك از منفي ي منفي بجامعكوس تابع nتوان . استفاده كردinvfuncيك تابع از دستور معكوس

> sin@@(-1); arcsin

> invfunc[sin];

arcsin

> sin@@(-5);

arcsin 5( )

هم به همان Maple روند در ي مبكارات ياضي، درست به همان صورت كه در ري مانند چهار عمل اصلياضير اعمال ريسام را به يق، ضرب و تقسي جمع، تفريهار عمل اصلم چي توانيف توابع مي پس از تعريعني. رندي گيصورت مورد استفاده قرار م

.يم بربكارز ي نMapleف شده در يات معمول است در مورد توابع تعرياضي كه در رشكليهمان > restart; > f:= x->x^2-1 : g:= x->x+1: > f(x)*g(x);

x 2 - 1( ) x + 1( )

> f(1)*g(2);

15

0

> f(x)/g(x); x 2 - 1x + 1

> f(x)+g(x);

x 2 + x

جمع و ضرب∑ : زير است به صورت f(1) + f(2) + … + f(n) =حاصل جمع يكد گذار نحوه Mapleدر

=

n

i

)i(f1

Sum( f(i) , i=1..n ) و sum( f(i) , i=1..n ) > Sum(i^2,i=1..10);

∑=

10

1

2

ii

> sum(i^2,i=1..10); 385

∑=

10

1

2

ii

اين كار را انجام Sum كند در حاليكه جمع را محاسبه ميsum در اين است كه sum و Sumتوجه مي كنيد كه تفاوت

براي محاسبه value استفاده كرده و سپس از دستور Sumمي توان براي جلوگيري از اشتباهات حرفي ابتدا از . نمي دهدsumاستفاده كنيم .

> Sum(i^2,i=1..10);

> value(%); 385

> sum(i^2, i=1..n);

13

n + 1( )3 - 12

n + 1( )2 + 16

n + 16

> factor(%);

16

n n + 1( ) 2 n + 1( )

.مانند . بعضي فرمول هاي جمع بندي خاص را مي شناسدMapleوجه كنيد كه ت

6121 )n)(n(n ++

= ∑=

n

i

i1

2

∏

. استProduct( f(i) , i=1..n )به صورت f(1).f(2)…f(n) = حاصل ضربكد گذاري نحوه Mapleدر −

n

)i(fi 1

> Product(1-q^i , i=1..5);

16

∏=

−5

1

)1(i

iq

> value(%); 1 - q( ) 1 - q 2( ) 1 - q 3( ) 1 - q 4( ) 1 - q 5( )

> product(1-q^i , i=1..5);

1 - q( ) 1 - q 2( ) 1 - q 3( ) 1 - q 4( ) 1 - q 5( )

. اين كار را انجام نمي دهدProduct نيز حاصل ضرب را محاسبه مي كند در حاليكه product تابع sum و Sumمانند

حدنحوه كد گذاري حد تابع . ت كه تفاوت آنها مشابه حاالت قبل اس ،limit و Limit: براي تعريف حد موجود استدو روش

f(x)مي كه هنگاx a به صورت Limit ( f(x) , x=a ) است. > Limit((x^2-4)/(x-2) , x=2); value(%);

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

→ 2x4xlim

2

2x

4

مقدار حد را value حد را به گونه اي نمايش مي دهد كه بتوان حروف را چك كرد و سپس دستور Limitابتدا دستور .مي كندمحاسبه

.حد هاي چپ و راست و نيز حد در بي نهايت را نيز مي توان به آساني محاسبه كرد> f := (x^2-4)/(x^2-5*x+6): > Limit(f , x=3 , right); value(%);

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

+→ 6x5x4xlim 2

2

3x

∞ > Limit(f , x=infinity); value(%);

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

∞→ 6x5x4xlim 2

2

x

1

. استفاده مي كنيمinfinity از عبارت ∞ براي نشان دادن Maple در :نكته

مشتقMapleنحوه كد گذاري مشتق . به آساني مي تواند مشتق توابع يك يا چند متغيره را محاسبه كندf(x) به صورت

diff(f(x),x)است . > g := sqrt(1-x^2);

17

g := 1 - x 2

> Diff(g,x);

d dx

1 - x 2( )

> diff(g,x);

- x

1 - x 2

. استفاده مي كنيمdiff( f(x) , x$n ) ام از دستور nبراي بدست آوردن مشتق . داده مي شودdiff دستور مشتق دوم با

Maple1: (سه روش ممكن وجود دارد . مي تواند مقادير ماكزيمم و مينيمم يك تابع خاص يك يا چند متغيره را بيابد (

استفاده از بسته ي ) 3( و extremaاستفاده از تابع ) minimize) . 2 و maximizeاستفاده از توابع از پيش طراحي شده simplex) 2(را شرح مي دهيم ، براي روش) 1(در اينجا روش ). براي توابع خطي ( دستور?extrema روش و براي) 3 (

. را اجرا كنيدsimplex?دستور با استفاده از دستور . يا چند متغيره را بيابند مقدار ماكزيمم و مينيمم يك تابع يك مي توانندminimize و maximizeتوابع

maximize( f(x) ) مي توان ماكزيمم تابع f(x)دستور . را پيدا كردmaximize( f(x) , x=a..b ) ماكزيمم تابع را با توجه . محدود شده باشد ، بر مي گرداند[a,b] به بازه ي xبه اينكه

> maximize(sin(x)); 1

> maximize(sin(x)+cos(x));

maximize sin x( ) + cos x( )( )

> maximize(sin(x)+cos(x) , x=0..1); 2

> maximize(x^2-5*x+1 , x=0..3);

1

. استmaximize استفاده مي كنيم كه نحوه به كار بردن آن مشابه minimizeبراي يافتن مينيمم مقدار يك تابع از دستور > minimize(x^2+y^2);

0

> minimize(x^2+y^2 , x); y 2

انتگرالبراي . استint ( f , x=a..b )به صورت باشد ، در آن صورت كد الزم براي تعريفx يك تابع بر حسب fاگر

نيز هستند كه انتگرال را نمايش Int ( f , x ) و Int ( f , x=a..b )فرم هاي . استفاده مي كنيمint( f , x ) از ننا معيانتگرال . نمي كنندمي دهند ولي محاسبه

∫b

a)x(f

18

> int(x^2/sqrt(1-x^3) , x); - 2

3 1 - x 3

> Int(1/x/sqrt(x^2-1) , x=1..2/sqrt(3));

dxxx∫

−

332

1 2 1

1

> value(%);

π61

. استفاده كنيدevalf مقدار انتگرال معين را نشناخت از Mapleاگر > Int(sqrt(1+x^6) , x=0..1);

dxx∫ +1

0

61

> value(%);

∫ +1

0

61 dxx

> evalf(%); 1.064088379

اين تكنيك ها . برخي از تكنيك هاي استاندارد انتگرال گيري از جمله تغيير متغير و جز به جز نيز تعريف شده اندMapleدر

. بار گذاري مي شوندwith( student ) قرار گرفته و با دستور studentدر بسته ي

جبر خطي: دو بسته براي جبر خطي موجود است . مي توان محاسبات جبر خطي و محاسبات مميز شناور ماتريسي را انجام دادMapleبا

براي . بر ماتريسي كاربر پسند تر استج براي محاسبات LinearAlgebraبسته ي . LinearAlgebra و بسته linalgبسته LinearAlgebraما در اين بخش روي بسته ي . تر استمحاسبات عددي و مخصوصا ماتريس هاي بزرگ نيز كار آمد

.متمركز مي شويمMatrix , Array و Vector مهمترين نوع داده اي هستند كه در بسته ي LinearAlgebraتوجه كنيد كه . استفاده مي شوند

M , A و Vاز موارد . را با حروف بزرگ نوشته ايمmatrix , array و vector در بسته ي linalg مي شود استفاده. > Matrix(3);

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000

000

000

> Matrix(2,3,[[a,b,c],[d,e,f]]);

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

fed

cba

19

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

V :

),(),(: jixjif →=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

42

2

:xx

xxA

مشاهده مي كنيد كه درايه هاي ماتريس نيز با ليستي از . از صفر بر مي گرداندm × n يك ماتريس Matrix ( m,n )فراخواني .رديف ها نشان داده مي شوند

درايه هاي برداري را مي توان با استفاده از يك . از صفر ها بر مي گرداندm × 1 ، يك بردار ستوني Vector ( m )واني فراخ .ليست نشان داد

> W := Vector(4);

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

0

0

0

:W

> V := Vector([x,y,z]);

m × n يك ماتريس Matrix ( m,n,f )تابع . استf ( x,y )ع دو متغيره ي يك روش جالب ايجاد ماتريس ، استفاده از تاب . استf ( i,j ) ام آن ( i,j )بر مي گرداند كه درايه ي

> f := (i,j) -> x^(i*j);

> A := Matrix(2,2,f);

گزينه View >> Paletteبراي فعال شدن اين پالت از منوي . س جديد ايجاد كرداز طريق پالت ماتريس ها هم مي توان ماتريMatrixبه همين صورت مي توان از پالت بردار ها استفاده كرد. را انتخاب كنيد.

.به آساني مي توان درايه ها را به يك ماتريس نسبت داد و آن ها را دوباره تغيير داد

> B := Matrix(2,3,[[1,2,3],[5,10,16]]);

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

16105

321:B

> B[2,3]; 16

. تغيير دهيم15حال مي خواهيم آن را به . است16درايه رديف دوم و ستون سوم برابر

> B[2,3] := 15; B2, 3 := 15

> B;

20

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8765

7654

6543

5432

:C

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

765

654

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

15105

321

. استB ام ماتريس ij درايه ي B [i,j]در حالت كلي منظور از و ستون هاي b تا a سطر هاي C [ a..b , c..d ]در حالت كلي منظور از . يز مي توان وارد كرددرايه ها را به صورت بلوكي ن

c تا dاست . > C := Matrix(4 , (i,j) -> (i+j));

> C[2..3 , 2..4];

Mapleرا انجام دهدهترا نهادب اسكالر ، معكوس و مي تواند عمليات ماتريسي معمولي مانند جمع ، ضرب ، ضر .

عمل ماتريسي عالمت رياضي Mapleعالمت گذاري A+B A + B جمع A-B A - B تفريق 5*A cA ضرب اسكالر A.B يا

Multiply(A) AB ضرب ماتريسي

A^3 A nتوان ماتريس A^(-1) 1 يا/A يا

MatrixInverse(A)A -1معكوس

Transpose(A) ATهترا نهاد Determinant(A) det (A) دترمينان

> A := Matrix(2 ,[[1,2],[3,4]]);

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

43

21:A

> B := Matrix(2 ,[[-2,3],[-5,1]]);

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

15

32:B

> A+B;

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

1326

512

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

11881

5437

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

52

51

> A-B;

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

38

13

> 5*A;

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

2015

105

> A.B;

> A^3;

> 1/A;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

21

23

12

براي . قرار دارندLinearAlgebraدر بسته ي Determinantو , Multiply , MatrixInverse Transposeتوابع . را اجرا كنيد;with( LinearAlgebra )ديدن فهرستي از توابع موجود در اين بسته دستور

> with(LinearAlgebra): > Multiply(Multiply(A,A),A);

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

11881

5437

> AI := MatrixInverse(A);

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

21

23

12:AI

> Transpose(A);

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

42

31

> Determinant(A); -2

22

از اولين 50 × 20براي نمونه ، يك ماتريس . حه نمايش دادفقط ماتريس ها و بردار هاي نسبتا كوچك را مي توان روي صف . عدد اول ، براي نمايش در صفحه بسيار بزرگ است1000

> M := Matrix(50,20, (i,j) -> ithprime(20*i+j-20));

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

derFortran_or :Orderrrectangula :Storage

anything :Type Data Matrix20 x 50

M :

آن ماتريسي شامل اطالعاتي از آن همانطور كه مشاهده مي كنيد اين ماتريس روي صفحه نمايش داده نمي شود و به جاي ين كه روي آن دوبار كليك كنيد براي ديدن درايه هاي اين ماتريس مي توان از منوي موضوعي استفاده كرد يا ا. نمايش داده شد

.تا محتويات آن را در يك صفحه گسترده ببينيد

گرافيكMapleاين نرم افزار مي . تغيره و رويه هاي سه بعدي را رسم كند مي تواند توابع يك متغيره ، منحني هاي مسطح ، توابع دو م

دو تابع مهم كه براي رسم نمودار ها به . تواند نمودار هاي پارامتري را رسم كند و توانايي هاي انيميشن سازي را به كار گيرد . هستندplot3d و plotكار مي روند ، توابع

: به صورت زير استxبر حسب ) تابعيا (نحوه نوشتن دستور الزم براي رسم يك عبارت plot ( f(x) , x=a..b )

. بايد به صورت زير عمل كنيم2π ≤ x ≤ 2π- كه در بازه ي y = sin xبه عنوان مثال براي رسم تابع > plot(sin(x) , x=-2*Pi..2*Pi);

يك مستطيل نمودار را . ليك چپ كنيدروي نمودار ك. نمودار در فايل جاري ظاهر مي شودMapleهمانطور كه مي بينيد ، در

توجه كنيد كه . حال هشت نقطه مالحظه مي كنيد ، با استفاده از اين نقاط مي توان اندازه ي نمودار را تغيير داد. احاطه مي كندمي توان ظاهر نمودار به طور كامل تغيير مي كند كه با استفاده از كليد هاي آن نوار ابزار. نيز تغيير مي كنندنوار ابزارمنو بار و

.را به صورت دلخواه تغيير دادحال اگر روي نمودار كليك راست كنيد ، يك منوي موضوعي جديد ظاهر مي شود كه با استفاده از گزينه هاي موجود در آن

مودار حاصل ن. را انتخاب كنيدPoint گزينه ي Styleبه عنوان مثال از زير منوي . مي توان نمودار را دقيق تر كنترل كرد .مجموعه اي از نقاط است كه نمودار را نمايش مي دهند

23

در π3 ، 2/π ، 2/π - = x/2 ها در نقاط نا پيوستگيبه . را رسم كنيدplot ( sec(x) , x=-Pi..2*Pi )سعي كنيد دستور

:ر بدست آوريمحال در نمودار ديگري برد تابع را محدود مي كنيم تا نموداري واضح ت. نمودار خود توجه كنيد> plot(sec(x) , x=-Pi..2*Pi , y=-5..5);

y = f(x) كه a ≤ x ≤ b و c ≤ y ≤ d در ، Maple لذا براي رسم : ، از دستور زير استفاده مي كنيم

plot ( f(x) , x=a..b , y=c..d ) نمودار نقاط

, … , plot ( [x1,y1] , [x2,y2] استفاده از دستور را با(xn , yn) , … , (x2 , y2) , (x1 , y1) مي توان نقاط Mapleدر

[xn,yn] ) رسم كرد : > L := [[0,0],[1,1],[2,3],[3,2],[4,-2]]: (1) > plot(L);

24

1 2 > plot(L , style=point); (2)

به شكل براي رسم نقاط بدون خط خا دستور را. بطور پيش فرض خطوط را بين نقاط رسم مي كندMapleتوجه كنيد كه .دوم تايپ كنيد

نمودار هاي چند گانه

x در صفحه نمايش هر نمودار با رنگ متفاوت رسم مي . دستور زير را وارد كنيد= y و y = 3log(x)براي رسم دو تابع .شود

> plot([sqrt(x) , 3*log(x)] , x=0..400);

و شكسته پله اي توابعنمودار به Mapleبه اين نكته توجه كنيد كه . به همان شكل استفاده كردplotرسم توابع پله اي نيز مي توان از دستور براي رسم

.صورت پيش فرض سعي در پوشاندن نقاط نا پيوستگي و رسم تابع به صورت پيوسته دارد> plot(floor(x) , x=-5..5); (1)

25

1 2 > plot(floor(x) , x=-5..5 , discont=true); (2)

در اين حالت . وارد كرد دومبراي رسم تابع به صورت واقعي و با احتساب نقاط نا پيوستگي مي توان دستور را به صورت

را فراخواني مي كند تا نا پيوستگي هاي ورودي مشخص شوند و سپس محور افقي را در نقاطي كه discontنمودار ابتدا تابع .ست ، به بازه هاي مناسب تقسيم مي كندعبارت ناپيوسته ا

[ ]xx y = به عنوان نمونه اي ديگر نمودار تابع :را در دو حالت ممكن مي بينيد

> plot(floor(x)/x , x=-5..5 , y=-2..5 ); (1)

1 2 > plot(floor(x)/x , x=-5..5 , y=-2..5 , discont=true); (2)

ار هاي قطبينمود

:داريم r = f(θ)براي رسم منحني . استفاده مي كنيمplots در بسته ي polarplotبراي رسم منحني هاي قطبي از دستور polarplot ( f(t) , t=a..b )

> with(plots): > polarplot(cos(5*t) , t=0..2*Pi);

26

رسم سه بعدي

:مثال داريم براي . استplot3d ( f(x,y) , x=a..b , y=c..d )نحوه رسم يك عبارت دو متغيره به صورت > plot3d(exp(-(x^2+y^2-1)^2) , x=-2..2 , y=-2..2);