Les similitudes

Les similitudes

1. Les similitudesplanes

2. Classificationdes similitudes

3. Les similitudesdirectes

4. Les similitudes indirectes

5. Similitudes et configurations

2

CH

AP

ITR

E

p049-chap02.fm Page 49 Jeudi, 18. mai 2006 4:17 16

le c

ou

rs

Les

sim

ilitu

des

50

Définitions générales

Notation :

La transformation réciproque de la transformation

T

est notée .

Autrement dit, quels que soient les points

M

et

N

d’images respectives et , on a :

.

k

est appelé le

rapport de la similitude

.

Exemple :

Une homothétie de rapport

k

est une similitude de rapport .

Exemple :

L’identité, les translations, les rotations et les réflexions sont des isométries.

Propriétés des similitudes planes

Démonstration :

Soit

A

,

B

et

C

trois points distincts d’images respectives , et parune similitude de rapport

k

. On a : , et .

Par suite , d’où les triangles

ABC

et sont semblables.

L’image d’un triangle par une isométrie est un triangle isométrique.

1. Les similitudes planes1.

Par une transformation, deux points distincts A et B ont donc des images et distinctes.

A ′ B ′

DéfinitionUne transformation du plan P est une bijection du plan P dans lui-même.Si on note T une transformation du plan P , alors T vérifie :• à tout point M du plan est associé un unique point noté ;• pour tout point N du plan il existe un unique point M tel que .

T M( )T M( ) N=

T 1–

DéfinitionSoit k un réel strictement positif. On appelle similitude de rapport k toute transformation duplan qui multiplie les distances par k .

On a aussi :

,

avec .

k M ′N ′MN

--------------=

M N≠

M′ N′M′N′ kMN=

Conséquence Toute similitude f de rapport k multiplie les distances par k et les aires par k2 .

k

Les isométries sont des transformations qui conservent les distances.

DéfinitionUne similitude de rapport 1 est une isométrie.

2.

PropriétéL’image d’un triangle par une similitude est un triangle semblable.

A′ B′ C′A′B′ kAB= A′C′ kAC= B′C′ kBC=

A′B′AB

----------- A′C′AC

------------ B′C′BC

----------- k= = = A′B′C′

Conséquence Comme les triangles ABC et sont semblables, leurs angles géométriques ont mêmemesure.

A′B′C′

PropriétéLes similitudes conservent les mesures d’angles géométriques.

En général, la composition des similitudes n’est pas commutative :

.s ′os sos ′≠

Démonstration p. 60 c PropriétésSoit k et deux réels strictement positifs.• La transformation réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rapport .• La composée de deux similitudes de rapport k et est une similitude de rapport .

k′ 1k---

k′ kk′

p050-cours.fm Page 50 Vendredi, 19. mai 2006 9:18 09

2

51

app

licat

ion

s

Les similitudes

Montrer que les transformations

s

et d’écriturecomplexe respective :

et sont des similitudes dont on précisera le rapport.

Solution

Soit et deux points distincts et et leurs images par

s

.On a et , d’où :

.On en déduit que .Par suite .

s

est une similitude de rapport 2.

•

Soit et deux points distincts, et et leurs images par . On a :

et ,

d’où

On en déduit que

car , d’où .

Par suite .Donc est une similitude de rapport .

ABC

est un triangle de sorte quel’angle soit aigu. Les points

et sont les pieds des hau-teurs issues de

B

et

C

dans letriangle

ABC

.

1.

Montrer que les triangles et sont semblables.

2.

Sachant que , et ,déterminer le rapport de similitude qui transforme letriangle en . En déduire la longueur

.

Solution

1.

(angle commun)

et .Donc les triangles et ont des angles demême mesure. Par suite, les triangles et sont semblables.

2.

Les correspondances sont :

Le rapport de similitude est .

Comme , alors , d’où .

1.

Déterminer l’écriture complexe de la transforma-tion réciproque de la similitude

s

d’écriturecomplexe .

2.

Déterminer l’écriture complexe de avec

s

et d’écriture complexe respective :

et .

Solution

1.

On a déjà montré que

s

est une similitude de rapport

2 donc est une similitude de rapport .

Comme , alors soit :

.

Donc l’écriture complexe de est :

.

2.

On a déjà montré que

s

est une similitude de rapport 2et

une similitude de rapport ; donc est unesimilitude en tant que composée de deux similitudes de rap-port .

.

D’où

Reconnaître une similitude en utilisant la définition

•s′

z′ 2iz 3–= z′ 1 i+( )z 2– 3i+=

A a( ) B b( ) A′ a′( )B′ b′( )

a′ 2ia 3–= b′ 2ib 3–=b′ a′– 2ib 3– 2ia 3–( )– 2i b a–( )= =

b′ a′– 2i b a– 2 b a–= =A′B′ 2AB=

A a( ) B b( ) A′ a′( )B′ b′( ) s′a′ 1 i+( )a 2– 3i+= b′ 1 i+( )b 2– 3i+=

b′ a′– 1 i+( )b 2– 3i 1 i+( )a 2– 3i+( )–+= 1 i+( ) b a–( ) 1 i+( )b a .– = =

b′ a′– 1 i+( )b a– 1 i+ b a– , = =z z 2 b a–= = b′ a′– 2 b a–=

A′B′ 2AB=s′ 2

c Exercice 1 p. 66

�Reconnaître des triangles semblables

•A

BB’

C

C’

AB′ C′

ABB′ ACC′AB 5= AC 10= AC′ 8=

ABB′ ACC′AB′

Deux triangles sont semblables :• s’ils ont deux mesures d’angles égales ;• ou s’ils ont des côtés de longueurs proportionnelles ;• ou s’ils ont une mesure d’angle égale compris entre deux longueurs de côtés proportionnelles.

BAB′ C′AC=

AB′B AC′C 90°= =ABB′ ACC′

ABB′ ACC′

A B

A C

B′

C′

CC′BB′---------- AC′

AB′---------- AC

AB-------- 10

5------ 2= = = =

AC′AB′---------- 2= 8

AB′--------- 2= AB′ 4=

c Exercice 2 p. 66

�Déterminer l’écriture complexe d’une transformation

•

z′ 2iz 3–=s′′′′ s�

s′′′′z′ 2iz 3–= z′ 1 i+( )z 2– 3i+=

s 1– 12---

z′ 2iz 3–= 2iz z′ 3+=

zz′ 3+

2i------------- i z′ 3+( )–

2------------------------

12--- iz′–

32--- i–= = =

s 1–

z′ 12--- iz–

32--- i–=

s′ 2 s′ s�

2 2

z 2iz 3 1 i+( ) 2iz 3–( ) 2– 3i+�–�

z′ 1 i+( ) 2iz– 3–( ) 2– 3i+= 2i 2+– ( )z 3– 3i– 2– 3i+= 2 2i–( )z 5 .– =

c Exercices 3 et 4 p. 66

�

p051-applications.fm Page 51 Vendredi, 19. mai 2006 9:36 09

le c

ou

rs

Les

sim

ilitu

des

52

Étude des points invariants

Démonstration :

Soit

A

,

B

et

C

trois points distincts non alignés tels que :

, et , avec

S

une similitude plane.

Le rapport de la similitude est , donc

S

est une isométrie.

On suppose que

M

est un point du plan tel que , avec .Comme

S

est une isométrie ,

S

conserve les distances, donc :

; et .Les points

A

,

B

et

C

sont équidistants des points

M

et ; par suite

A

,

B

et

C

sont sur lamédiatrice de . Ceci contredit l’hypothèse que

A

,

B

et

C

ne sont pas alignés. Donc l’hypothèse estfausse. Pour tout point

M

du plan, on a , donc .

Démonstration :

Soit

A

et

B

deux points distincts tels que et où

S

est une

ne similitude plane. Le rapport de la similitude est , donc

S

est une isométrie.

On considère un point tel que .• Si , alors

S

fixe trois points non alignés, donc .• Si , et comme

S

est une isométrie, alors et .Donc la droite est la médiatrice du segment .On considère la réflexion d’axe que l’on note

s

.On constate que la similitude (on peut même dire l’isométrie) vérifie :• , car ;• , car ;• , car est la médiatrice de .Par suite, est une similitude qui fixe trois points distincts non alignés, donc .Comme , on a qui conduit à .

Par les angles

2. Classification des similitudes1.

Propriété : Toute similitude plane qui fixe trois points distincts non alignés est l’identité.

S A( ) A= S B( ) B= S C( ) C=ABAB-------- 1=

S M( ) M′= M M′≠

AM AM′= BM BM′= CM CM′=M′

MM′[ ]M M′≠

S M( ) M= S Id=

Propriété : Toute similitude plane qui fixe deux points A et B distincts est soit l’identité,soit une réflexion d’axe .AB( )

S A( ) A= S B( ) B=ABAB-------- 1=

C AB( )∉ S C( ) C′=

A

B

C’C

C′ C= S Id=C′ C≠ AC′ AC= BC′ BC=

AB( ) CC′[ ]AB( )

s S�s S� A( ) s A( ) A= = A AB( )∈s S B( )� s B( ) B= = B AB( )∈s S C( )� s C′( ) C= = AB( ) CC′[ ]

La réflexion d’axe s’appelle

aussi symétrie orthogonale d’axe

.

AB( )

AB( )

s S� s S� Id=s s� Id= s s S�� s Id�= S s=

2.

L’identité, les translations, les homothéties et les rotations sont des similitudes directes et les réflexions sont des isométries indirectes.

DéfinitionUne similitude plane directe conserve les angles orientés.Une similitude plane indirecte transforme un angle orienté en son opposé.

Propriétés• La composée des deux similitudes planes directes ou de deux similitudes planes indirectes estune similitude directe.• La composée d’une similitude plane directe et d’une similitude indirecte est une similitudeindirecte.• La réciproque d’une similitude plane directe (respectivement indirecte) est une similitudeplane directe (respectivement indirecte).

Définition• L’image d’un triangle par une similitude directe est un triangle directement semblable.• L’image d’un triangle par une similitude indirecte est un triangle indirectement semblable.


2

53

app

licat

ion

s

Les similitudes

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect . On considère la transformation

s

d’écriture complexe :

,

et les points

I

et

J

d’affixes respectives 2i et .

1.

Montrer que

s

est une similitude dont on détermi-nera un rapport.

2.

Déterminer les images des points

I

et

J

par

s

.Que peut-on en déduire ?

Solution

1.

Soit et deux points quelconques dis-tincts et et leurs images par

s

:

et ,

d’où .

.

Par suite .Donc

s

est une similitude de rapport 1 :

s

est uneisométrie.

2.

L’affixe du point image du point

I

par

s

est :

L’affixe du point image du point

J

par

s

est :

Donc et ;

s

admet deux points distinctsinvariants

I

et

J

et (car par exemple ).D’où

s

est la réflexion d’axe .

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect .On considère la transformation

T

qui à tout point

M

de coordonnées associe le point decoordonnées vérifiant :

1.

Montrer que

T

est une similitude dont on détermi-nera un rapport.

2.

T

est-elle une similitude directe ou indirecte ?

3.

Déterminer l’ensemble des points invariants par

T

. Que peut-on en déduire quant à la nature de

T

?

Solution

1.

Soit

M

et deux points d’affixes respectives :

et ,

avec

x

,

y

, et réels.

Soit , et , trois points quelconques dis-

tincts d’images respectives , et .

Donc

T

est une similitude de rapport 1 ;

T

est une isométrie.

2.

On doit comparer et .

T

est une similitude indirecte de rapport 1.

3.

Un point est invariant par

T

si et seulementsi et , d’où :

soit

Donc

T

admet une droite invariante

�

d’équation .

Par suite

T

est la réflexion d’axe

�

.

Reconnaître une similitude en utilisant l’ensemblede ces points invariants

A

O ; u v , ( )

z′ 15--- 4– 3i–( )z 6 2i+ +[ ]=

1 i–

A a( ) B b( )A′ a′( ) B′ b′( )

a′ 15--- 4– 3i–( )a 6 2i+ +[ ]=

b′ 15--- 4– 3i–( )b 6 2i+ +[ ]=

b′ a′–15--- 4– 3i–( ) b a–( ) 4– 3i–

5------------------ b a–= =

b′ a′– 4– 3i–5

------------------ b a– b a–= =

A′B′ AB=

z′ 15--- 4– 3i–( )2i 6 2i+ +[ ]=

15--- 8i 6– 6 2i+ +( )=

2i . =

z′ 15--- 4– 3i–( ) 1 i–( ) 6 2i+ +[ ]=

15--- 4– 3i–( ) 1 i+( ) 6 2i+ +[ ]=

15--- 4– 4i– 3i– 3 6 2i+ + +( )=

15--- 5 5i–( ) 1 i .– = =

s I( ) I= s J( ) J=s Id≠ s O( ) O≠

IJ( )

c Exercices 6 et 7 p. 66

B

O ; u v , ( )

x ; y ( ) M′x′ ; y ′( )

x′ y 2–=y′ x 2 . +=

M′z x iy+= z′ x′ iy′+=

x′ y′

z′ x′ iy′+ y 2– i x 2+( )+= =ix y 2– 2i+ + iz 2– 2i .+ = =

A a( ) B b( ) C c( )A′ a′( ) B′ b′( ) C′ c′( )

A′B′ b′ a′– i b a–( ) b a– AB=( ) . = = =

AB ; A C ( ) A′B′ ; A ′ C ′( )

A′B′ ; A ′ C ′( ) c ′ a ′ – b

′

a

′

–

---------------- 2 � [ ] arg =

i

c

2– 2i i

a

2– 2i+

( )

–+

i

b

2– 2i i

a

2– 2i+

( )

–+--------------------------------------------------------------

2

�

[ ]

arg

=

i

c a

–

( )

i

b a

–

( )

------------------

arg

c a

–

b a

–------------

arg

=

2

�

[ ]=

c a

–

b a

–------------

2

�

[ ]

arg–

=

A

B ; A C ( ) 2 � [ ] .– = car z ( ) arg z ( ) arg– =

M x ; y ( )x′ x= y′ y=

x y 2–=y x 2 ,+ =

y x 2+=

y x 2 .+ =

y x 2+=

c Exercice 8 p. 66

�

p053-applications.fm 3 Vendredi, 19. mai 2006 9:44 09

le c

ou

rs

Les

sim

ilitu

des

54

L’angle est appelé l’

angle de similitude

.

Démonstration :

�

Soit

s

une similitude directe de rapport

k

. Les points

O

,

I

et

M

d’affixes respectives 0, 1 et

z

ont pour image respective , et par une similitude directe

s

.

Comme , on en déduit

d’où , soit . On pose et .

De plus , donc et par suite . On obtient :

, avec et .

De plus, le rapport de

s

est et l’angle de

s

est :

.

�

Réciproquement, soit une transformation

s

d’écriture complexe , où et . Les points et d’images respectives et par

s

.

• .

Donc

s


• On montre alors que

s

est une similitude directe.Soit les quatre points distincts , , et d’images respectives

, , et par

s

.

s

conserve les angles orientés, donc

s

est une similitude directe. De plus :

Finalement,

s

est une similitude directe de rapport et d’angle .

3. Les similitudes directesDémonstration p. 60 c Propriété

Considérons une similitude directe s et A et B deux points distincts d’images respectives et .

Pour tout point M d’image par s , on a .A′ B′

M′ AM ; A ′ M ′( ) A B ; A ′ B ′( )=

AB ; A ′ B ′( )

Propriété caractéristiqueUne transformation s est une similitude directe si, et seulement si, son écriture complexe est dela forme , où et .Le rapport de la similitude est et son angle est .

z′ az b+= a �*∈ b �∈a a( )arg

O′ o′( ) I′ p( ) M′ z′( )

O′M′OM

------------- O′I′OI

----------=

OM ; O ′ M ′( ) O I ; O ′ I ′( )= z′ o′–

z 0–--------------- p o′–

1 0–--------------=

z′ o′–z 0–

--------------- arg

p o′–1 0–--------------

2�[ ]arg=

z′ o′–z

--------------- p o′–= z′ p o′–( )z o′+= a p o′–= b o′=

O I≠ O′ I′≠ a 0≠z′ az b+= a �*∈ b �∈O′I′OI

---------- p o′– a= =

OI ; O ′ I ′( ) p o ′ – ( ) arg a ( ) 2 � [ ] arg = =

z′ az b+= a �*∈b �∈ M zM( ) N zN( ) M′ zM ′( ) N′ zN ′( )

M′N′ zN ′ zM ′– azN b azM b+( )–+ a zN zM–( ) a zN zM– a MN= = = = =a

M zM( ) N zN( ) P zP( ) Q zQ( )M′ zM ′( ) N′ zN ′( ) P′ zP ′( ) Q′ zQ ′( )

M′N′ ; P ′ Q ′( ) z

Q

′

z

P

′ –

z

N

′

z

M

′

–

--------------------- arg

az

Q b az

P

–

b

–+

az

N

b az

M

–

b

–+-------------------------------------------

2 � [ ] arg = =

z

Q

z

P

–

z

N

z

M

–------------------

arg

M

N ; P Q ( ) 2 � [ ] . = =

MN ; M ′ N ′( ) z

N

′

z

M

′ –

z

N

z

M

–

--------------------- arg

az

N b az

M

–

b

–+

z

N

z

M

–-------------------------------------------

2 � [ ] arg = =

a z

N

z

M

–

( )

z

N

z

M

–--------------------------

arg

a

( )

2

�

[ ] .arg = =

a a( )arg

PropriétéLa composée de deux similitudes d’angle � et est une similitude d’angle .�′ � �′+


2

55

app

licat

ion

s

Les similitudes

Le plan complexe est muni d’un repère orthonor-mal direct . On considère la transfor-mation

S


.

1.

Déterminer la nature de

S

et déterminer sonrapport et son angle.

2.

Déterminer l’affixe du point

C

image par

S

du point .

3.

Calculer l’affixe du point

B

tel que .

4.

Quelle est l’affixe du point image par

S

du

point ?

Solution

1.

L’écriture complexe de

S

est de la forme :

, avec ,donc

S

est une similitude directe de rapport etd’angle .

Or, et ,

d’où .

S

est une similitude directe de rapport 2 et d’angle .

2.

L’affixe de l’image du point

A

est :

L’image du point

A

par

S

est le point

C

d’affixe .

3.

L’affixe

z

B

du point

B

vérifie ,d’où :

.

4.


D

par

S

est :

L’image du point

D

par

S

est

D

.

On considère les points

A

et

B

d’affixes res-pectives et ;

h

est l’homothétie de centre

A

et de rapport ,

r

est la rotation de centre

B

et d’angle

et

t

est la translation de vecteur .

1.

Déterminer les écritures complexes de

h

,

r

et

t

.

2.

Déterminer la nature de la transformation et son rapport.

Quelle est l’image de

A

par ?

3.

Déterminer l’écriture complexe de eten déduire l’angle de la similitude.

Solution

1.

L’écriture complexe de l’homothétie

h

est :

.D’où l’écriture complexe de l’homothétie

h

est :

.L’écriture complexe de la rotation

r

est :

.

D’où l’écriture complexe de la rotation

r

est :

.L’écriture complexe de la translation

t

est :

.

2.

est une similitude directe comme composée detrois similitudes directes de rapport . Donc

est une similitude directe de rapport 2.

•

car

A

est le centre de l’homothétie

h .

•

car

t

est la translation de vecteur

A

B

.

•

car

B

est le centre de la rotation

r

.L’image de

A

par est le point

B

.

3.

.

D’où l’écriture complexe de est :

soit .

Utiliser l’écriture complexe d’une similitude directe

•

O ; u v , ( )

z′ 1 i 3–( )z 2+=

A 2 i 3–( )

S B( ) O=

D2 3

3---------- i–

z′ az b+= a 0≠a

a( ) 2�[ ]arg

a 1 i 3– 2= = 1 i 3– 2ei

�3----–

=

a( )arg�3---- 2�[ ]– =

�3----–

z′ 1 i 3–( ) 2 i 3–( ) 2+=2 i 3– 2i 3– 3– 2+=1 3i 3 .–=

1 3i 3–

0 1 i 3–( )zB 2+=

zB2–

1 i 3–------------------ 2 1 i 3+( )–

1 i 3–( ) 1 i 3+( )----------------------------------------------

12---–

32

------- i–= = =

z′ 1 i 3–( ) 2 33

---------- i– 2+=

2 33

---------- i– 2– 2+2 3

3---------- i .– = =

c Exercice 9 p. 66

�

Déterminer l’écriture complexe de composées

•

4– i+ 1 i–2–

�2----–

AB

r t h��r t h��

r t h��

z′ 2 z 4– i+( )–[ ]– 4– i+( )+=

z′ 2z– 12– 3i+=

z′ i z 1 i–( )–( )– 1 i–+=

z′ iz– 2+=

z′ z 5 2i–+=r t h��

2 1 1×× 2=r t h��

r t h A( )�� r t A( )�=

r t h A( )�� r B( )=

r t h A( )�� B=

r t h��

z 2z 12– 3i 2z 12– 3i 5 2i–++– �+– �

i 2z 7– i+– ( ) 2+– �

r t h��z′ 2iz 7i 1 2+ + += z′ 2iz 3 7i+ +=

c Exercice 10 p. 66

�


le c

ou

rs

Les

sim

ilitu

des

56

●

Détermination d’une similitude directe – Forme réduite

Démonstration :

On note , , et les affixes respectives des points

A

,

B

, et dans le plan complexe. On considère la similitude directe

s

d’écriture complexe .Si , alors , et si , alors .Il faut maintenant prouver l’existence et l’unicité des complexes

a

et

b

.

Comme alors d’où

Comme , alors et par suite .

D’où . De plus, , donc et par suite .

Et . Les complexes

a

et

b

existent et sont uniques.

Conséquence :

Cette similitude a pour rapport et l’angle est .

On dit que

�

est le

centre de la similitude

directe.

●

Caractérisation d’une similitude directe

Démonstration :

Ce résultat découle immédiatement de l’écriture complexe de la forme réduite.

Propriété : Soit les points A , B , et tels que et .Il existe une unique similitude s plane directe telle que et .

A′ B′ A B≠ A′ B′≠s A( ) A′= s B( ) B′=

zA zB zA ′ zB ′ A′B′ z′ az b+=

s A( ) A′= zA ′ azA b+= s B( ) B′= zB ′ azB b+=

zA ′ azA b+=

zB ′ azB b ,+ = b zA ′ azA–=

zB ′ azB z A ′ az A ,–+ = b zA ′ azA–=

a zB zA – ( ) z B ′ z A ′ .– =

A B≠ zA zB≠ zB zA– 0≠

azB ′ zA ′–

zB zA–-------------------= A′ B′≠ zB ′ zA ′– 0≠ a 0≠

b zA ′zB ′ zA ′–

zB zA–-------------------

zA–=

A′B′AB

----------- AB ; A ′ B ′( )

Un point � est un point invariant par une transformation T si, et seulement si,

.T �( ) �=

La translation est une similitude d’angle nul.

Démonstration p. 60 c PropriétésForme réduite d’un similitude directeSoit s une similitude directe d’écriture complexe , où et .1. Si , alors s est une translation de vecteur d’affixe b .

2. Si , alors s admet un unique point invariant � d’affixe et s est la com-posée dans un ordre indifférent de :• l’homothétie de centre � et de rapport ;• et la rotation de centre � et d’angle .L’écriture complexe de s est alors .

z′ az b+= a �*∈ b �∈a 1= u

a 1≠ �b

1 a–------------=

a a( ) 2�[ ]arg

z′ a ei a( )arg z �–( ) �+=

On peut noter s par et la

similitude réciproque est .

S � ; k ; � ( )

S� ;

1 k --- ; � –

1–

PropriétésDans le plan orienté, on considère une similitude directe decentre � de rapport k et d’angle � .• .• Pour tout point , on a équivaut à :

M

M’

s �( ) �=M �≠ s M( ) M′=�M′ k�M=�M ; � M ′( ) � 2 � [ ] .=

Propriété caractéristiquePour tous points A et B d’images respectives et par , on a :A′ B′ S k ; � ( )

A′B′ kAB=AB ; A ′ B ′( ) � 2 � [ ] . =

Définition : Toute similitude directe de rapport 1 est appelée déplacement.

Démonstration p. 60 c Propriété : Tout déplacement est soit une translation soit une rotation.


2

57

app

licat

ion

s

Les similitudes

Dans le plan complexe, on considère les points

A

,

B

, et d’affixes :

, , et .Démontrer qu’il existe une unique similitude directetransformant

A

en et

B

en . Donner sonécriture complexe et en déduire ses éléments carac-téristiques.

Solution

Comme et , il existe une unique simi-litude directe

s

transformant

A

en et

B

en .L’écriture complexe d’une similitude directe est de laforme , avec .

soit

d’où

Ainsi

s

a pour écriture complexe :

.

De plus, et . On détermine l’affixe du centre :

d’où .

Donc

s

est la similitude de centre , de

rapport et d’angle .

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect . On considère la transformation

T

qui à tout point

M

associe le point decoordonnées vérifiant :

Montrer que

T

est une similitude directe dont ondéterminera les éléments caractéristiques.

Solution

On note

z

et les affixes respectives des points

M

et , avec et .

Donc : on reconnaît l’écriture d’une simi-litude directe.

De plus, et .

Par suite,

T


rapport 3 et d’angle

�

ou encore

T

est l’homothétie decentre

�

et de rapport .

Dans le plan orienté, on considère lecarré

ABCD

direct de centre

O

.

1.

Déterminer les éléments caracté-ristiques de la similitude directe

S

decentre

A

qui transforme

B

en

O

.

2.

Déterminer le rapport et l’angle de la similitudedirecte qui transforme

B

en

O

et

A

en

D

.

Solution

1.

Rapport de

S

: .

Angle de

S

: .

D’où

S

est la similitude directe de centre

A

de rapport

et d’angle .

2.

Rapport de : .

Angle de : .

D’où est la similitude directe de rapport et

d’angle .

Déterminer l’écriture complexe d’une similitude directe

AA′ B′A 1 i+( ) B 3– 2i+( ) A′ 5 i–( ) B′ 1– 9i+( )

A′ B′

A B≠ A′ B′≠A′ B′

z′ az b+= a 0≠

s A( ) A′=s B( ) B′=

a 1 i+( ) b+ 5 i–=

a 3– 2i+( ) b+ 1– 9i .+ =

⇔

b 5 i a 1 i+( )––=a 4 i–( ) 6 10i–=

a6 10i–

4 i–----------------- 2 2i–= =

b 5 i 2 2i–( ) 1 i+( )–– 1 i .– = =

z′ 2 2i–( )z 1 i–+=

a 2 2i– 2 2= = a 2 2ei

�4----–

=

�1 i–

1 2 2i–( )–---------------------------= �

1 i–1– 2i+

------------------35---–

15--- i–= =

�35---–

15--- i–

2 2�4----–

c Exercice 11 p. 66

B

O ; u v , ( )x ; y ( ) M′

x′ ; y ′( )

x′ 3x– 1+=y′ 3y– 1 . +=

z′M′ z x iy+= z′ x′ iy′+=

z′ x′ iy′+ 3x– 1+( ) i 3y– 1+( )+= =3 x iy+( ) 1 i+ +– 3z– 1 i .+ + = =z′ 3z– 1 i+ +=

3– 3ei�= �1 i+1 3+------------

14--- 1 i+( )= =

�14---

14--- i+

3–

c Exercice 12 p. 66

�

Reconnaître une similitude directe liée à une configuration plane

•D C

A B

O

S′

Dans un carré de côté a , la diagonale a pour longueur .a 2

AOAB--------

12--- AC

AB--------× 1

2--- AB 2

AB---------------× 2

2-------= = =

AB ; A O ( ) �

4---- =

22

------- �4----

S′ ODAB---------

12--- BD

AB--------× 1

2--- AB 2

AB---------------× 2

2-------= = =

S′ BA ; O D ( ) B A ; B D ( ) �

4----– = =

S′ 22

-------�4----–

c Exercice 13 p. 66

�


le c

ou

rs

Les

sim

ilitu

des

58

Démonstration :

On considère une similitude indirecte

s

et

s

�

la réflexion d’axe

�

. On pose .• est une similitude directe comme composée de deux similitudes indirectes.• Comme , on a . Or , donc .

Démonstration :

�

On considère une similitude indirecte

s

. D’après la propriété précédente, on peut décomposer

s

sous la forme , avec réflexion d’axe

�

quelconque.On choisit pour

�

l’axe des abscisses. L’écriture complexe de la réflexion d’axe

�

est .L’écriture complexe de la similitude directe est de la forme , avec et .Par composition des écritures complexes, l’écriture complexe d’une similitude indirecte est :

, où et .

�

Réciproquement, on considère une transformation

s

d’écriture complexe , où et .

Et soit les points et d’images respectives et par

s

.

•

car . Donc

s


•

Soit les quatre points distincts , , et d’images respectives , , et par

s

:

s

transforme un angle orienté en son opposé, donc

s

est une similitude indirecte.

Toute similitude plane directe est soit une translation, soit la composée d’une homothétie et d’unerotation. Toute similitude plane indirecte est la composée d’une similitude directe et d’une réflexion. Enutilisant les propriétés des homothéties, des translations, des rotations et des réflexions, on obtientles propriétés suivantes.

4. Les similitudes indirectesPropriétéToute similitude plane indirecte est la composée d’une similitude directe et d’une réflexion.

s′ s s��=s′

s′ s s��= s′ s�� s s� s��= s� s�� Id= s s′ s��=

1. La décomposition d’une similitude indirecte n’est pas unique.2. Lorsqu’une transformation f vérifie , on dit que f est une involution.

f f� Id=

Propriété caractéristiqueUne transformation s est une similitude indirecte si, et seulement si, son écriture complexe estde la forme , où et . Le rapport de la similitude est .z′ az b+= a �*∈ b �∈ a

s s′ s��= s�z z�

z az b+� a �*∈ b �∈

z′ az b+= a �*∈ b �∈z′ az b+=

a �*∈ b �∈M zM( ) N zN( ) M′ zM ′( ) N′ zN ′( )

M′N′ zN ′ zM ′– azN b azM b+( )–+ a zN zM–( ) a zN zM– a zN zM– a MN= = = = = =z z= a

M zM( ) N zN( ) P zP( ) Q zQ( )M′ zM ′( ) N′ zN ′( ) P′ zP ′( ) Q′ zQ ′( )

M′N′ ; P ′ Q ′( ) z

Q

′

z

P

′ –

z

N

′

z

M

′

–

--------------------- arg

a

z

Q b a

z

P

–

b

–+

a

z

N

b a

z

M

–

b

–+-------------------------------------------

arg = =

z

Q

z

P

–

z

N

z

M

–------------------

arg

z

Q

z

P

–

z

N

z

M

–------------------

arg–

M

N ; P Q ( ) 2 � [ ] – = = =Les réflexions sont des antidéplacements, mais ce ne sont pas les seules… Définition : Toute similitude indirecte de rapport 1 est appelée antidéplacement.

5. Similitudes et configurations

Propriétés• Toute similitude f conserve l’alignement, l’orthogonalité, le parallélisme, les intersections etle barycentre.• Toute similitude f transforme une droite en une droite, un segment en un segment, un cerclede centre O et de rayon r en un cercle de centre et de rayon kr où k est le rapport dela similitude.

f O( )


2

59

app

licat

ion

s

Les similitudes

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormaldirect , on considère une similitude indi-recte

s

d’écriture complexe .

1.

Démontrer que où

s

�

est la réflexiond’axe et

s

une similitude directe dont ondonnera les éléments caractéristiques.

2.

Déterminer l’image de la droite où

A

et

B

sont les points d’affixe respective et .

Solution

1.

Au point

M

d’affixe

z

on associe le point

M

1

d’affixe

z

par la réflexion d’axe , puis en utili-sant la similitude directe d’écriture complexe :

,on obtient le point d’affixe .

Or et .Donc où

s

�

est la réflexion d’axe et

s


O

, de rapport 2 et

d’angle .

2.


A

par

S

est :

.

On note .L’affixe de l’image du point

B

par

S

est :

.On note .L’image de la droite par

S

est la droite .

Dans le plan orienté, on considère deux pointsdistincts

A

et

B

.On considère la rotation

R

1

de centre

A

et d’angle

et la rotation

R

2

de centre

B

et d’angle .

On note l’image du point

M

par .

1.

Déterminer l’écriture complexe de et endéduire la nature et les éléments caractéristiques de

.

2.

Déterminer et construire l’ensemble

�

décrit parle point quand

M

décrit le cercle de diamètre .

3.

Que peut-on conclure pour si lesrotations

R

1

et

R

2

sont des rotations d’anglesrespectifs

�

et ?

Solution

1.

On se place dans le repère orthonormal .On note 0 et

b

les affixes respectives des points

A

et

B

. L’écriture complexe de

R

1

est :

, soit .


R

2

est :

, soit .

L’écriture complexe de est :

, soit .Donc est la translation de vecteur

u

d’affixe .

2.

Si

M

décrit le cercle de diamètre , alors décrit le cercle de diamètre .En notant et , décrit le cercle de diamètre .

Donc

�

est le cercle de diamètre .

3.


R

1

est alors :

.L’écriture complexe de

R

2

est :

.L’écriture complexe de est :

.Donc est une translation.

Décomposer une similitude indirecte

•

O ; u v , ( )z′ 3 i+( )z=

S s s��=O ; u ( )

AB( )3 i+ i–

O ; u ( )

Z 3 i+( )z=M′ z′

3 i+ 2= 3 i+ 2ei

�6----

=S s s��= O ; u ( )

�6----

3 i+( ) 3 i+( ) 3 i+( ) 3 i–( ) 4= =A′ 4( )

3 i+( ) i– ( ) 3 i+( )i 1– i 3+= =B′ 1– i 3+( )

AB( ) A′B′( )

c Exercice 14 p. 66

�

Utiliser une similitude pour déterminer un lieu géométrique

•

�2---- �

2----–

M′ R2 R1�R2 R1�

R2 R1�

M′AB[ ]

R2 R1�

�– � 0≠( )

A ; u v ,( )

z′ ei

�2----

= z′ iz=

z′ ei

�2----–

z b–( ) b+= z′ iz– ib b+ +=R2 R1�

z′ i– iz( ) ib b+ += z′ z ib b+ +=R2 R1�

b ib+

La partie réelle de n’est pas nécessairement b . En effet, : ce n’est donc pas nécessairement un réel.

b ib+b �∈

En se plaçant dans le repère , si et , alors est la translation de vecteur d’affixe :

.

O ; u v , ( ) A zA( )B zB( ) R2 R1�

zB zA– i zB zA–( )+

AB[ ] M′R2 R1 A( )� ; R 2 R 1 B ( ) � [ ]

R2 R1 A( )� A′= R2 R1 B( )� B′= M′A′B′[ ]

A’

B’B

B1

A

A′B′[ ]

z′ ei�z=

z′ e i�– z be i�– – b+=R2 R1�

z′ e i�– ei�z( ) be i�– – b+=

ei � �–( )z be i�– – b+=z′ z be i�– – b+=

R2 R1� c Exercice 15 p. 67

�


Les

sim

ilitu

des

60

les

dém

onst

rati

ons

LES QUESTIONS DE COURS

■

Démonstration

Soit

s

une similitude de rapport

k

et sa simili-tude réciproque.Pour tout couple du plan, en notant et :

, donc .

Donc est une similitude de rapport .

En considérant les similitudes

s

et de rapports respectifs

k

et (

k

et étant des réels strictement positifs), montrerque est une similitude de rapport .

Montrer que :

•

la composée des deux similitudes planes directes (res-pectivement indirectes) est une similitude directe ;

•

la composée d’une similitude plane directe et d’unesimilitude indirecte est une similitude indirecte ;

•

la réciproque d’une similitude plane directe (respecti-vement indirecte) est une similitude plane directe (res-pectivement indirecte).

■

Démonstration

s

étant une similitude directe, .

PropriétéSoit k et deux réels strictement positifs.

• La transformation réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude

de rapport .

• La composée de deux similitudes de rapport k et est une similitude de rapport .

k′

1k---

k′kk′

k 0>( ) s 1–

M′ ; N ′( ) M s 1– M′( )=N s 1– N′( )=

M′N′ kMN= MN1k--- M′N′=

s 1– 1k---

●1s′ k′

k′s s′� kk′

●2

PropriétéOn considère une similitude directe s et A et B deux points distincts d’images respectives et .

Pour tout point M d’image par s , on a .

A′ B′

M′AM ; A ′ M ′( ) A B ; A ′ B ′( )=

AM ; A ′ M ′( ) A M ; A B ( ) A B ; A ′ B ′( ) A ′ B ′ ; A ′ M ′( ) .+ + =

A′B′ ; A ′ M ′( ) A B ; A M ( )=

AM ; A ′ M ′( ) A M ; A B ( ) A B ; A ′ B ′( ) A B ; A M ( ) + + =

A

B ; A ′ B ′( ) 2 � [ ] . =

■

Démonstration

Soit le point d’image par la similitude

s

.

(1)

Si , alors , soit . Donc est l’image de

M

par la translation de vecteur d’affixe

b

.

(2)

Si , alors les affixes des éventuels points invariants véri-

fient

Le point est l’unique point invariant de la similitude

s

.

.D’où .• L’écriture complexe de l’homothétie

h

de centre

�

et derapport est .• L’écriture complexe de la rotation

r

de centre

�

et d’angle est .

• L’écriture complexe de la composée est :

• L’écriture complexe de la composée est :

.D’où .Donc .

■

Démonstration

Dans le plan complexe, l’écriture complexe d’un déplacementest de la forme , avec car un déplacementest une isométrie.Comme , alors il existe un réel

�

tel que : .

• Si , alors ; par suite ,donc

f

est une translation.

• Si , alors f est une rotation d’angle � .

PropriétéSoit s une similitude directe d’écriture complexe .

Si , alors s est la translation de vecteur d’affixe b .

Si , alors s admet un unique

point invariant � d’affixe et s

est la composée dans un ordre indifférent de

l’homothétie de centre � et de rapport et de la rotation de centre � et d’angle

.

L’écriture complexe de s est alors :

.

z′ az b+= a C*∈ b C∈,( )1( ) a 1=

u

2( ) a 1≠

�b

1 a–------------=

a

a( ) 2�[ ]arg

z′ a ei a( )arg z �–( ) �+=

M z( ) M′ z′( )a 1= z′ z b+= z′ z– b= M′

u

a 1≠

� a� b , soit 1 a – ( ) � b = . a 1 ≠ , donc � b 1

a

–

------------ = .+ =� �( )

z′ �– az b a� b+( )–+ a z �–( )= =z′ a ei a( )arg z �–( ) � 1( )+=

a z′ a z �–( ) �+=

a( )arg z′ ei a( )arg z �–( ) �+=h r�

z′ a ei a( )arg z �–( ) �+( ) �–( ) � .+ = a ei a( )arg z �–( ) � .+ =

r h�z′ ei a( )arg a z �–( ) � �–+( ) �+=

z′ a ei a( )arg z �–( ) �+= h r� r h� s= =

PropriétéTout déplacement est soit une translation, soit une rotation.

z′ az b+= a 1=

a 1= a ei�=z′ ei�z b+=

� 0 2�[ ]= ei� 1= z′ z b+=

� 0 2�[ ]≠

p060-demonstration.fm Page 60 Vendredi, 19. mai 2006 10:26 10

61

2

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les similitudes

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct .On considère la transformation

S

d’écriture complexe , et les points

A

et

B

d’affixes respectives et .

1

Déterminer la nature de

S

et déterminer ses éléments caractéristiques.

2

Déterminer l’image de la droite par une similitude

S

.

Dans le plan orienté, on considère un carré direct

ABCD

.

1

Construire l’image de

ABCD

par la transformation , où

S


A

, de rapport 2, d’angle et est la réflexion d’axe .

2

Quel est l’ensemble des points

M

du plan tels que le triangle

MAC

soit rectangle en

M

? Quelle estl’image par

S

de l’ensemble ?

Reconnaître une similitude directe

SOLUTION

1.


S

est de la forme :

, avec ,donc

S

est une similitude directe de rapport etd’angle .Or et , d’où :

.

S

est une similitude directe de rapport et d’angle

. L’affixe du centre est .

Donc

S


A

, de


2.

L’image de la droite par la similitude

S

est la droite , c’est-à-dire avec .L’affixe de l’image du point

B

d’affixe est :

.

Construire des images par une composée

SOLUTION

1.

est une similitude indirecte donc l’imagedu carré direct est un carré indirect.De plus, et .L’image du carré direct

ABCD

par est lecarré indirect

ABC

1

D

1

.

S

est une similitude directe, l’image d’un carré indi-rect est un carré indirect.L’image du carré indirect

ABC

1

D

1

par

S

est lecarré indirect car et :

2.

M

décrit le cercle de diamètre privé despoints

A

et

C

. L’image d’un cercle par une simili-tude est un cercle, par suite décrit le cercle dediamètre privé des points

A

et .

1O ; u v , ( )

z′ 1 i+( )z 4 2i–+=2 4i+ 1 i–

AB( )

z′ az b+= a 0≠a

a( ) 2�[ ]arga 1 i+ 2= = 1 i+ 2e

i �4----

=

a( )arg�4---- 2�[ ]=

2�4---- �

4 2i–1 1 i+( )–------------------------ 2 4i+= =

2�4----

AB( )S A( )S B( )( ) AB′( )

B′ S B( )=1 i–

z′ 1 i+( ) 1 i–( ) 4 2i–+ 6 2i–= =

c Exercices 33 à 36 p. 68

2

S s AB( )��4---- s AB( ) AB( )

E( )E( )

s AB( )

s AB( ) A( ) A= s AB( ) B( ) B=s AB( )

AB′C′D′ S A( ) A=

AB′ 2AB=

AB ; A B ′( ) �

4---- ; =

AC′ 2AC1=

A C 1 ; A C ′( ) �

4---- ; =

AD′ 2AD1=

AD1 ; A D ′( ) �

4---- . =

A(AB )

B

CD

D1

D’

B’

C’

C1

AC[ ]

M′AC′[ ] C′


p061-065-exos-resolus.fm Page 61 Mercredi, 24. mai 2006 12:36 12

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les

sim

ilitu

des

62

Soit

OAB

et

OCD

deux triangles rectangles directs et isocèles en

O

et

I

le milieu de .

On considère la rotation

r

de centre

O

et d’angle et l’homothétie

h

de centre

B

et de rapport 2.

En utilisant la transformation , montrer que et .

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé , d’unité graphique 1 cm, on considèreles points

A

0

,

A

1

et

A

2

d’affixes respectives : , et .

1

a)

Justifier l’existence d’une unique similitude directe

S

telle que et .

b)

Établir que l’écriture complexe de

S

est :

.

c)

En déduire le rapport, l’angle et l’affixe

�

du centre

�

de la similitude

S

.

d)

On considère un point

M

, d’affixe

z

avec , et son image , d’affixe .Vérifier la relation et en déduire la nature du triangle .

2

Pour tout entier naturel

n

, le point est défini par et on pose .

a)

Placer les points

A

0

,

A

1

,

A

2

et construire géométriquement les points

A

3

,

A

4

,

A

5

,

A

6

.

b)

Démontrer que la suite est géométrique.

3

La suite est définie sur

N

par .

a)

Exprimer

v

n

en fonction de

n

.

b)

La suite est-elle convergente ?

4

a)

Calculer, en fonction de

n

, le rayon

r

n du cercle circonscrit au triangle .

b) Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n , si , alors .

Utiliser une similitude pour démontrer des propriétés d’une configuration

SOLUTION

•

,

car .

,

car ,

et

•

,

avec , , car est un triangle direct

isocèle et rectangle en

O

.

D’où

r

est une similitude directe de rapport 1 et d’angle ;

h

est une similitude directe de rapport 2 et d’angle 0 ;donc est une similitude directe de rapport

et d’angle .

La composée est une similitude directe

de rapport 2 et d’angle .

Comme , alors

Construction de suites en utilisant les similitudes

3

BC[ ]�2----

r h� AD 2OI= AD( ) OI( )⊥

B

A

DC

OI

r h I( )� r C( )=BC 2BI=

r h I( )� D=OC OD=

OC ; O D ( ) �

2---- . =

r h O( )� r O′( )=BO′ 2BO=

r h O( )� A= AOO′

OA OO′=

OO′ ; O A ( ) � 2---- . =

�2----

r h�1 2× �

2---- 0+

s r h�=�2----

s O( ) A=s I( ) D=

AD 2OI=

AD ; O I ( ) � 2---- . =


4O ; u v , ( )

z0 5 4i–= z1 1– 4i–= z2 4– i–=

S A0( ) A1= S A1( ) A2=

z′ 1 i–2

---------- z 3– i+2

---------------+=

z �≠ M′ z′� z′– i z z′–( )= �MM′

An 1+ An 1+ S An( )= un AnAn 1+=

un( )

vn( ) vn u0 u1 … u n + + + u k

k

0

=

n

∑ = =

vn( )

�AnAn 1+n p>

rn 10 2– <


61

2

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les similitudes

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct .On considère la transformation S d’écriture complexe , et les points A et Bd’affixes respectives et .

1 Déterminer la nature de S et déterminer ses éléments caractéristiques.

2 Déterminer l’image de la droite par une similitude S .

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD .

1 Construire l’image de ABCD par la transformation , où S est la similitude directe de centre

A , de rapport 2, d’angle et est la réflexion d’axe .

2 Quel est l’ensemble des points M du plan tels que le triangle MAC soit rectangle en M ? Quelle estl’image par S de l’ensemble ?

Reconnaître une similitude directe

SOLUTION

1. L’écriture complexe de S est de la forme :

, avec ,donc S est une similitude directe de rapport etd’angle .Or et , d’où :

.

S est une similitude directe de rapport et d’angle

. L’affixe du centre est .

Donc S est la similitude directe de centre A , de


2. L’image de la droite par la similitude Sest la droite , c’est-à-dire avec .L’affixe de l’image du point B d’affixe est :

.

Construire des images par une composée

SOLUTION

1. est une similitude indirecte donc l’imagedu carré direct est un carré indirect.De plus, et .L’image du carré direct ABCD par est lecarré indirect ABC1D1 .S est une similitude directe, l’image d’un carré indi-rect est un carré indirect.L’image du carré indirect ABC1D1 par S est lecarré indirect car et :

2. M décrit le cercle de diamètre privé despoints A et C . L’image d’un cercle par une simili-tude est un cercle, par suite décrit le cercle dediamètre privé des points A et .

1O ; u v , ( )

z′ 1 i+( )z 4 2i–+=2 4i+ 1 i–

AB( )

z′ az b+= a 0≠a

a( ) 2�[ ]arga 1 i+ 2= = 1 i+ 2e

i �4----

=

a( )arg�4---- 2�[ ]=

2�4---- �

4 2i–1 1 i+( )–------------------------ 2 4i+= =

2�4----

AB( )S A( )S B( )( ) AB′( )

B′ S B( )=1 i–

z′ 1 i+( ) 1 i–( ) 4 2i–+ 6 2i–= =


2

S s AB( )��4---- s AB( ) AB( )

E( )E( )

s AB( )

s AB( ) A( ) A= s AB( ) B( ) B=s AB( )

AB′C′D′ S A( ) A=

AB′ 2AB=

AB ; A B ′( ) �

4---- ; =

AC′ 2AC1=

A C 1 ; A C ′( ) �

4---- ; =

AD′ 2AD1=

AD1 ; A D ′( ) �

4---- . =

A(AB )

B

CD

D1

D’

B’

C’

C1

AC[ ]

M′AC′[ ] C′


p061-065-exos-resolus.fm Page 61 Vendredi, 19. mai 2006 9:33 09

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les

sim

ilitu

des

62

Soit

OAB

et

OCD

deux triangles rectangles directs et isocèles en

O

et

I

le milieu de .

On considère la rotation

r

de centre

O

et d’angle et l’homothétie

h

de centre

B

et de rapport 2.

En utilisant la transformation , montrer que et .

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé , d’unité graphique 1 cm, on considèreles points

A

0

,

A

1

et

A

2

d’affixes respectives : , et .

1

a)

Justifier l’existence d’une unique similitude directe

S

telle que et .

b)

Établir que l’écriture complexe de

S

est :

.

c)

En déduire le rapport, l’angle et l’affixe

�

du centre

�

de la similitude

S

.

d)

On considère un point

M

, d’affixe

z

avec , et son image , d’affixe .Vérifier la relation et en déduire la nature du triangle .

2


n

, le point est défini par et on pose .

a)

Placer les points

A

0

,

A

1

,

A

2

et construire géométriquement les points

A

3

,

A

4

,

A

5

,

A

6

.

b)

Démontrer que la suite est géométrique.

3

La suite est définie sur

N

par .

a)

Exprimer

v

n

en fonction de

n

.

b)

La suite est-elle convergente ?

4

a)

Calculer, en fonction de

n

, le rayon

r

n du cercle circonscrit au triangle .

b) Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n , si , alors .

Utiliser une similitude pour démontrer des propriétés d’une configuration

SOLUTION

•

,

car .

,

car ,

et

•

,

avec , , car est un triangle direct

isocèle et rectangle en

O

.

D’où

r

est une similitude directe de rapport 1 et d’angle ;

h

est une similitude directe de rapport 2 et d’angle 0 ;donc est une similitude directe de rapport

et d’angle .

La composée est une similitude directe

de rapport 2 et d’angle .

Comme , alors

Construction de suites en utilisant les similitudes

3

BC[ ]�2----

r h� AD 2OI= AD( ) OI( )⊥

B

A

DC

OI

r h I( )� r C( )=BC 2BI=

r h I( )� D=OC OD=

OC ; O D ( ) �

2---- . =

r h O( )� r O′( )=BO′ 2BO=

r h O( )� A= AOO′

OA OO′=

OO′ ; O A ( ) � 2---- . =

�2----

r h�1 2× �

2---- 0+

s r h�=�2----

s O( ) A=s I( ) D=

AD 2OI=

AD ; O I ( ) � 2---- . =


4O ; u v , ( )

z0 5 4i–= z1 1– 4i–= z2 4– i–=

S A0( ) A1= S A1( ) A2=

z′ 1 i–2

---------- z 3– i+2

---------------+=

z �≠ M′ z′� z′– i z z′–( )= �MM′

An 1+ An 1+ S An( )= un AnAn 1+=

un( )

vn( ) vn u0 u1 … u n + + + u k

k

0

=

n

∑ = =

vn( )

�AnAn 1+n p>

rn 10 2– <


63

2

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les similitudes

SOLUTION

1.

a)

et , donc et .

Donc il existe une unique similitude directe du planqui transforme

A

0

en

A

1

et

A

1

en

A

2

.

b)

L’expression complexe d’une similitude directeest de la forme :

avec et .

donc soit :

d’où


S

est :

.

c)

De plus

S

est une similitude directe de rapport ,

d’angle et le centre

�

a pouraffixe :

S



d)

On compare et :

Donc .

Étant donné que , alors , donc on peutdiviser par ; l’égalité précédente devient :

,

d’où

donc

Donc le triangle est rectangle isocèle en et direct.

2.

a)

b)

donc

Or , donc, pour tout :

.

Donc est une suite géométrique de raison .

3.

a)

v

n

est la somme de termes consécu-tifs d’une suite géométrique de premier terme :

et de raison . Donc, pour tout :

.

z0 z1≠ z1 z≠ 2 A0 A1≠A1 A2≠

z′ az b+= a b,( ) �2∈ a 0≠A1 S A0( )=

A2 S A1( ) , = z1 az0 b+=

z2 az1 b ,+ =

1– 4i– a 5 4i–( ) b+=4– i– a 1– 4i–( ) b+=

b 1– 4i– a 5 4i–( )–=6a 3 3i ,– =

a12---

12--- i–=

b32---–

12--- i .+ =

z′ 1 i–2

---------- z 3– i+2

---------------+=

a1 i–

2----------

22

------- 22

------- i 2

2-------–

= =

2

2------- e

i �4----–

, =

a2

2-------=

aarg�4----–

2�[ ]=

�b

1 a–------------

3– i+2

---------------

1 1 i–2

----------–-------------------

3– i+2

---------------

1 i+2

--------------------------= = =

3– i+1 i+

--------------- 3– i+( ) 1 i–( )1 i+( ) 1 i–( )

----------------------------------- 1– 2i .+ = = =

� 1– 2i+( )2

2------- �

4----–

� z′–( ) i z z′–( )

� z′– 1– 2i1 i–

2---------- z– 3– i+

2---------------–+=

1 i–2

---------- z– 1 3i+

2-------------- .+ =

i z z′–( ) i z1 i–

2---------- z– 3– i+

2---------------–

=

1 i+

2----------- iz 3i i2–

2---------------+

1– i+2

--------------- z1 3i+

2-------------- .+ = =

� z′– i z z′–( )=

z �≠ z z′≠z z′–

� z′–z z′–-------------- i=

� z′–z z′–--------------

arg i( )arg�2---- 2�( )= =

� z′–z z′–-------------- i 1= =

M′M ; M ′ � ( ) � 2---- 2 � ( )=

M

′

�

M

′

M . =

�M′MM′

O x

y

A1

A2

A3

A4 A5A6

A0

An 1+ S An( )=

An 2+ S An 1+( ) , =

An 2+ An 1+2

2------- An 1+ An=

An An 1+ ; A n 1+ A n 2+ ( ) � 4---- .– =

un An An 1+= n �∈

un 1+ An 2+ An 1+2

2------- un= =

un( ) 22

-------

n 1+( )

u0 A0 A1 z1 z0–= =1– 4i– 5 4i–( )–=6– 6 , = =

22

------- n �∈

vn 6 1

22

-------

n 1+

–

1 22

-------–

------------------------------- 12 1

22

-------

n 1+

–

2 2–-------------------------------= =


les

exe

rcic

es

réso

lus

Les

sim

ilitu

des

64

Dans le repère orthonormal direct du plan complexe, on considère les points

A

et

B

d’affixesrespectives :

et ,

et la droite

�

d’équation .

1

Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe notée .

2

Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe

�

notée

S

�

.

3

On considère l’application

f

qui, à tout point

M

d’affixe

z

, associe le point d’affixe telle que :

.

a)

Montrer que

f

est un antidéplacement. Déterminer l’ensemble des points invariants de

f

.

f

est-elle une réflexion ?

b)

Montrer que est un déplacement.

c)

Déterminer l’écriture complexe de et en déduire les éléments caractéristiques de .

d)

En déduire une décomposition simple de

f

.

Donc

b)

Comme , .

Par suite, .

4.

a)

D’après la question

1.

d)

, pour tout point

M

du plan tel que , le triangle estrectangle isocèle en .Donc, en particulier, le triangle estrectangle isocèle en .Par suite, est un diamètre du cercle circons-crit au triangle .

Donc .

De plus, d’après la question

4.

a)

, donc :

, d’où .

Or, on a vu au

2. b) que la suite est géomé-

trique de raison . Donc, pour tout :

.

D’où .

Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle

a pour rayon .

b) s’écrit ,

ce qui équivaut à :

car est strictement croissante sur

.

D’où ;

, car .

On obtient .

Or ; donc la valeur de p

cherchée est et, pour tout , , .

Étude d’une similitude indirecte

vn 6 2 2+( ) 12

2-------

n 1+

– . =

1– 2

2------- 1< <

22

-------

n 1+

n ∞+ →lim 0=

vnn ∞+ →

lim 6 2 2+( )=

M �≠ �MM′M′

�An An 1+An 1+

�An[ ]�An An 1+

rn12--- �An=

M′� M′M=

�An An An 1– un 1–= = rn12--- un 1–=

un( )2

2------- n �∈

un u02

2-------

n

62

2-------

n

= =

rn 32

2-------

n 1–

=

�An An 1+ rn 32

2-------

n 1–

=

rn 10 2– < 32

2-------

n 1–

10 2– <

22

-------

n 1–

ln10 2–

3-----------

ln<

x xln�

0 ; ∞[ + ]

n 1–( ) 22

------- ln

10 2–

3-----------

ln<

n 1–

10 2–

3-----------

ln

22

------- ln

------------------------> 22

------- ln 0<

n 1>

10 2–

3-----------

ln

22

------- ln

------------------------+

1

10 2–

3-----------

ln

22

------- ln

------------------------+ 17 46,�

p 17= n �∈n p> rn 10 2– <

c Exercices 58, 78 et 80 p. 72

5O ; u v , ( )

zA 3 i–= zB 1– i+=y 2x 3+– =

AB( ) S AB( )

M′ z′

z′ 35---–

45--- i–

z25---

265

------ i+ +=

f S��f S�� f S��


65

2

le

s e

xerc

ice

s ré

solu

s

Les similitudes

SOLUTION

1.

L’écriture complexe d’une similitude indirecte estde la forme :

, où et .

Comme , alors :

d’où

et donc


.

2.

On cherche deux points

C

et

D

de la droite

�

qui sont invariants par

S

�

.Par exemple et .

Comme , alors :

soit


S

�

est :

.

3.

a)


f

est de la forme :

, avec ,donc

f

est une similitude indirecte.De plus :

,

d’où

f

est une isométrie indirecte.On considère un complexe affixe d’unpoint

M

invariant par

f

; alors le couple vérifie :

.De l’unicité de la forme algébrique d’un complexe,on déduit : :

soit

Ce système n’admet aucune solution.Donc

f

est un antidéplacement sans point invariant.Par suite,

f

n’est pas une réflexion.

b)

est un déplacement comme composée dedeux antidéplacements.L’écriture complexe de est :

soit

.Donc est la translation

T

de vecteur .

c)

De , on en déduit :

,donc .

z′ az b+= a �*∈ b �∈S AB( ) A( ) A=

S AB( ) B( ) B=

a 3 i–( ) b+ 3 i–=a 1– i+( ) b+ 1– i+=

a 3 i+( ) b+ 3 i–=a 1– i–( ) b+ 1– i ;+ =

b 3 i– a 3 i+( )–=a 4– 2i–( ) 4– 2i+=

a35---

45--- i–=

b25---

45--- i .+ =

S AB( )

z′ 35---

45--- i–

z25---

45--- i+ +=

C 1 i+( ) D 3i( )S� C( ) C=

S� D( ) D=

a 1 i+( ) b+ 1 i+=a 3i( ) b+ 3i ; =

b 3i 3ia+=a 1 i–( ) 3i 3ia+ + 1 i ;+ =

b 3i 3ia+=a 1 2i+( ) 1 2i–=

a35---–

45--- i–=

b125

------65--- i .+ =

z′ 35---–

45--- i–

z125

------65--- i+ +=

z′ az b+= a 0≠

35---–

45--- i– 9

25------ 16

25------+ 1= =

z x iy+=x ; y ( )

x iy+35---–

45--- i–

x iy–( ) 25---

265

------ i+ +=

5 x iy+( ) 3– 4i–( ) x iy–( ) 2 26i+ +=5x 5iy+ 3x– 3iy 4ix– 4y– 2 26i+ + +=

5x 3x– 4y– 2+=5y 3y 4x– 26+=

8x 4y+ 2=4x 2y+ 26 . =

f S��

f S��

z35---–

45--- i–

z125

------65--- i+ +�

z35---–

45--- i–

35---–

45--- i–

z125

------65--- i+ + 2

5---

265

------ i+ +�

z′ 35---–

45--- i–

35---–

45--- i+

z=

35---–

45--- i–

125

------65--- i–

25---

265

------ i+ + +

z′ z 2– 4i+=f S��

u 2– 4i+( )

f S�� T=f S� S�� T S��=

f T S��=c Exercices 59 à 72 p. 72


63

2

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les similitudes

SOLUTION

1.

a)

et , donc et .

Donc il existe une unique similitude directe du planqui transforme

A

0

en

A

1

et

A

1

en

A

2

.

b)

L’expression complexe d’une similitude directeest de la forme :

avec et .

donc soit :

d’où


S

est :

.

c)

De plus

S

est une similitude directe de rapport ,

d’angle et le centre

�

a pouraffixe :

S



d)

On compare et :

Donc .

Étant donné que , alors , donc on peutdiviser par ; l’égalité précédente devient :

,

d’où

donc

Donc le triangle est rectangle isocèle en et direct.

2.

a)

b)

donc

Or , donc, pour tout :

.

Donc est une suite géométrique de raison .

3.

a)

v

n

est la somme de termes consécu-tifs d’une suite géométrique de premier terme :

et de raison . Donc, pour tout :

.

z0 z1≠ z1 z≠ 2 A0 A1≠A1 A2≠

z′ az b+= a b,( ) �2∈ a 0≠A1 S A0( )=

A2 S A1( ) , = z1 az0 b+=

z2 az1 b ,+ =

1– 4i– a 5 4i–( ) b+=4– i– a 1– 4i–( ) b+=

b 1– 4i– a 5 4i–( )–=6a 3 3i ,– =

a12---

12--- i–=

b32---–

12--- i .+ =

z′ 1 i–2

---------- z 3– i+2

---------------+=

a1 i–

2----------

22

------- 22

------- i 2

2-------–

= =

2

2------- e

i �4----–

, =

a2

2-------=

aarg�4----–

2�[ ]=

�b

1 a–------------

3– i+2

---------------

1 1 i–2

----------–-------------------

3– i+2

---------------

1 i+2

--------------------------= = =

3– i+1 i+

--------------- 3– i+( ) 1 i–( )1 i+( ) 1 i–( )

----------------------------------- 1– 2i .+ = = =

� 1– 2i+( )2

2------- �

4----–

� z′–( ) i z z′–( )

� z′– 1– 2i1 i–

2---------- z– 3– i+

2---------------–+=

1 i–2

---------- z– 1 3i+

2-------------- .+ =

i z z′–( ) i z1 i–

2---------- z– 3– i+

2---------------–

=

1 i+

2----------- iz 3i i2–

2---------------+

1– i+2

--------------- z1 3i+

2-------------- .+ = =

� z′– i z z′–( )=

z �≠ z z′≠z z′–

� z′–z z′–-------------- i=

� z′–z z′–--------------

arg i( )arg�2---- 2�( )= =

� z′–z z′–-------------- i 1= =

M′M ; M ′ � ( ) � 2---- 2 � ( )=

M

′

�

M

′

M . =

�M′MM′

O x

y

A1

A2

A3

A4 A5A6

A0

An 1+ S An( )=

An 2+ S An 1+( ) , =

An 2+ An 1+2

2------- An 1+ An=

An An 1+ ; A n 1+ A n 2+ ( ) � 4---- .– =

un An An 1+= n �∈

un 1+ An 2+ An 1+2

2------- un= =

un( ) 22

-------

n 1+( )

u0 A0 A1 z1 z0–= =1– 4i– 5 4i–( )–=6– 6 , = =

22

------- n �∈

vn 6 1

22

-------

n 1+

–

1 22

-------–

------------------------------- 12 1

22

-------

n 1+

–

2 2–-------------------------------= =


les

exe

rcic

es

réso

lus

Les

sim

ilitu

des

64

Dans le repère orthonormal direct du plan complexe, on considère les points

A

et

B

d’affixesrespectives :

et ,

et la droite

�

d’équation .

1


2

Donner l’écriture complexe de la réflexion d’axe

�

notée

S

�

.

3


f

qui, à tout point

M

d’affixe

z


.

a)

Montrer que

f

est un antidéplacement. Déterminer l’ensemble des points invariants de

f

.

f

est-elle une réflexion ?

b)

Montrer que est un déplacement.

c)

Déterminer l’écriture complexe de et en déduire les éléments caractéristiques de .

d)

En déduire une décomposition simple de

f

.

Donc

b)

Comme , .

Par suite, .

4.

a)

D’après la question

1.

d)

, pour tout point

M

du plan tel que , le triangle estrectangle isocèle en .Donc, en particulier, le triangle estrectangle isocèle en .Par suite, est un diamètre du cercle circons-crit au triangle .

Donc .

De plus, d’après la question 4. a), donc :

, d’où .

Or, on a vu au 2. b) que la suite est géomé-

trique de raison . Donc, pour tout :

.

D’où .

Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle

a pour rayon .

b) s’écrit ,

ce qui équivaut à :

car est strictement croissante sur

.

D’où ;

, car .

On obtient .

Or ; donc la valeur de p

cherchée est et, pour tout , , .

Étude d’une similitude indirecte

vn 6 2 2+( ) 12

2-------

n 1+

– . =

1– 2

2------- 1< <

22

-------

n 1+

n ∞+ →lim 0=

vnn ∞+ →

lim 6 2 2+( )=

M �≠ �MM′M′

�An An 1+An 1+

�An[ ]�An An 1+

rn12--- �An=

M′� M′M=

�An An An 1– un 1–= = rn12--- un 1–=

un( )2

2------- n �∈

un u02

2-------

n

62

2-------

n

= =

rn 32

2-------

n 1–

=

�An An 1+ rn 32

2-------

n 1–

=

rn 10 2– < 32

2-------

n 1–

10 2– <

22

-------

n 1–

ln10 2–

3-----------

ln<

x xln�

0 ; ∞[ + ]

n 1–( ) 22

------- ln

10 2–

3-----------

ln<

n 1–

10 2–

3-----------

ln

22

------- ln

------------------------> 22

------- ln 0<

n 1>

10 2–

3-----------

ln

22

------- ln

------------------------+

1

10 2–

3-----------

ln

22

------- ln

------------------------+ 17 46,�

p 17= n �∈n p> rn 10 2– <

c Exercices 58, 78 et 80 p. 72

5O ; u v , ( )

zA 3 i–= zB 1– i+=y 2x 3+– =

AB( ) S AB( )

M′ z′

z′ 35---–

45--- i–

z25---

265

------ i+ +=

f S��f S�� f S��


65

2

les

exe

rcic

es

réso

lus

Les similitudes

SOLUTION

1.

L’écriture complexe d’une similitude indirecte estde la forme :

, où et .

Comme , alors :

d’où

et donc


.

2.

On cherche deux points

C

et

D

de la droite

�

qui sont invariants par

S

�

.Par exemple et .

Comme , alors :

soit


S

�

est :

.

3.

a)


f

est de la forme :

, avec ,donc

f

est une similitude indirecte.De plus :

,

d’où

f

est une isométrie indirecte.On considère un complexe affixe d’unpoint

M

invariant par

f

; alors le couple vérifie :

.De l’unicité de la forme algébrique d’un complexe,on déduit : :

soit

Ce système n’admet aucune solution.Donc

f

est un antidéplacement sans point invariant.Par suite,

f

n’est pas une réflexion.

b)

est un déplacement comme composée dedeux antidéplacements.L’écriture complexe de est :

soit

.Donc est la translation

T

de vecteur .

c)

De , on en déduit :

,donc .

z′ az b+= a �*∈ b �∈S AB( ) A( ) A=

S AB( ) B( ) B=

a 3 i–( ) b+ 3 i–=a 1– i+( ) b+ 1– i+=

a 3 i+( ) b+ 3 i–=a 1– i–( ) b+ 1– i ;+ =

b 3 i– a 3 i+( )–=a 4– 2i–( ) 4– 2i+=

a35---

45--- i–=

b25---

45--- i .+ =

S AB( )

z′ 35---

45--- i–

z25---

45--- i+ +=

C 1 i+( ) D 3i( )S� C( ) C=

S� D( ) D=

a 1 i+( ) b+ 1 i+=a 3i( ) b+ 3i ; =

b 3i 3ia+=a 1 i–( ) 3i 3ia+ + 1 i ;+ =

b 3i 3ia+=a 1 2i+( ) 1 2i–=

a35---–

45--- i–=

b125

------65--- i .+ =

z′ 35---–

45--- i–

z125

------65--- i+ +=

z′ az b+= a 0≠

35---–

45--- i– 9

25------ 16

25------+ 1= =

z x iy+=x ; y ( )

x iy+35---–

45--- i–

x iy–( ) 25---

265

------ i+ +=

5 x iy+( ) 3– 4i–( ) x iy–( ) 2 26i+ +=5x 5iy+ 3x– 3iy 4ix– 4y– 2 26i+ + +=

5x 3x– 4y– 2+=5y 3y 4x– 26+=

8x 4y+ 2=4x 2y+ 26 . =

f S��

f S��

z35---–

45--- i–

z125

------65--- i+ +�

z35---–

45--- i–

35---–

45--- i–

z125

------65--- i+ + 2

5---

265

------ i+ +�

z′ 35---–

45--- i–

35---–

45--- i+

z=

35---–

45--- i–

125

------65--- i–

25---

265

------ i+ + +

z′ z 2– 4i+=f S��

u 2– 4i+( )

f S�� T=f S� S�� T S��=

f T S��=c Exercices 59 à 72 p. 72


les

exe

rcic

es

Les

sim

ilitu

des

66

Applications directes du cours

Montrer que les transformations s et d’écriturecomplexe :• s : ; • : ;sont des similitudes dont on précisera le rapport.

Soit � un cercle de centre O et de rayon R , est un diamètre de � et P un point de tel que :

.

Une droite � distincte de la droite , passe par P etcoupe � aux points M et N .1. Démontrer que les triangles APM et NPB sont semblables.2. En déduire que .

Déterminer l’écriture complexe de la transformationréciproque de S d’écriture complexe :

.

Déterminer l’écriture complexe de la transformationréciproque de S d’écriture complexe :

.

Quelle est la nature de la composée :a. f d’une homothétie de rapport k et d’une translation ?b. g d’une réflexion et d’une isométrie ?

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect .On considère la transformation s d’écriture complexe :

,et les points A et B d’affixes respectives 2i et .1. Montrer que s est une similitude dont on détermineraun rapport.2. Déterminer les images des points A et B par s .

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect .On considère la transformation s d’écriture complexe :

,et les points A et B d’affixes respectives et .1. Montrer que s est une similitude dont on détermineraun rapport.2. Déterminer les images des points A et B par s .

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect .On considère la transformation T qui à tout point M decoordonnées associe le point de coordon-nées vérifiant :

1. Montrer que T est une similitude dont on détermineraun rapport.2. T est-elle une similitude directe ou indirecte ?

3. Déterminer l’ensemble des points invariants par T . Quepeut-on en déduire quant à la nature de T ?

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect .On considère la transformation S d’écriture complexe :

.1. Déterminer la nature de S . Calculer le rapport de S etdéterminer son angle.2. Déterminer l’affixe de point C image par S du point

.3. Calculer l’affixe du point B tel que .4. Quelle est l’affixe du point image par S du point ?

On considère les points A et B d’affixes respectives et .

h est l’homothétie de centre A et de rapport ;

r est la rotation de centre B et d’angle ;et t est la translation de vecteur AB .1. Déterminer les écritures complexes de h , r et t .2. Déterminer la nature de la transformation .Quelle est l’image de A par ?3. Déterminer l’écriture complexe de et endéduire l’angle de la similitude.

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , et d’affixes respectives :

, 2i , et .Démontrer qu’il existe une unique similitude S directetransformant A en et B en .Donner son écriture complexe et en déduire ses élémentscaractéristiques.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect .On considère la transformation T qui à tout point M decoordonnées associe le point decoordonnées vérifiant :

Montrer que T est une similitude directe dont on détermi-nera les éléments caractéristiques.

Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD directde centre O .1. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitudedirecte S de centre O qui transforme B en D .2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe

qui transforme A en O et B en C .

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormaldirect , l’écriture complexe d’une similitudeindirecte S est :

.Démontrer que , où s� est une réflexion donton précisera l’axe � et s une similitude directe dont ondonnera les éléments caractéristiques.

1 s ′

z ′ 3 i–( )z 3 3i+ +=s ′ z ′ 2 i–( )z 1+=

2 AB[ ]AB[ ]

AP 25--- R=

AB( )

PM PN× 1625------ R2=

3

z ′ 1 i–( )z 2 i–+=

4

z ′ 3 4i–( )z 1 3i–+=

5

6O ; u v , ( )

z ′ 1– i 3–( )z=1 i–

7O ; u v , ( )

z ′ iz– 2– 2i–=2– 1 3i–

8O ; u v , ( )

x ; y ( ) M ′x ′ ; y ′( )

x ′ 125------ 7x– 24y 64–+( )=

y ′ 125------ 24x 7y 48+ +( ) . =

9O ; u v , ( )

z ′ 5– 5i–( )z 6 5i+ +=

A 2 i–( )S B( ) O=

D 1( )

104i– 1 2i+

3–

�2----

r t h��r t h��

r t h��

11A ′ B ′

3 i– 7– i+ 5 i+

A ′ B ′

12O ; u v , ( )

x ; y ( ) M ′x ′ ; y ′( )

x ′ 2y 1+=

y ′ 2x . =

13

S ′

14O ; u v , ( )

z ′ 3iz– 2– i+=S s s��=

p066-075-exos.fm Page 66 Vendredi, 19. mai 2006 11:53 11

67

2

les

exe

rcic

es

Les similitudes

Dans le plan orienté, on considère deux points distinctsA et B .On considère l’homothétie H de centre et de

rapport et la rotation R de centre et

d’angle .

On note l’image du point M par .

1. Déterminer l’écriture complexe de et en déduirela nature et les éléments caractéristiques de .

2. Déterminer et construire l’ensemble � décrit par lepoint quand M décrit le cercle de diamètre .

15

A 1 i+( )2– B 1– 2i+( )

�2----

M ′ H R�H R�

H R�

M ′ AB[ ]

Soit

ABC

un triangle isocèledirect et rectangle en

A

. Déterminerle rapport et l’angle de la similitudedirecte de centre

C

qui transforme

A

en

B

.

Soit

ABC

un triangle directet équilatéral et

H

le pied de lahauteur issue de

A

dans letriangle

ABC

.

1.

Déterminer le rapport etl’angle de la similitude directe decentre

A

qui transforme

B

en

H

.

2.

Déterminer le rapport etl’angle de la similitude directe de centre

B

qui transforme

A

en

H

.

3. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe quitransforme A en B et C en H .

Le B.A. BA… du bac !Soit ABC un triangle direct etéquilatéral et G le centre de gra-vité du triangle ABC .1. Déterminer le rapport etl’angle de la similitude directe decentre A qui transforme B enG .2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe decentre G qui transforme A en C .3. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe quitransforme A en B et C en G .

Soit ABCD un rectangledirect de centre I tel que

.1. Déterminer le rapport etl’angle de la similitude directe decentre A qui transforme B enD .2. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe quitransforme A en I et B en C .

c Corrigé p. 112

Définition géométrique des similitudes planes directes

1

C

A B

16

C

A B

H

17

C

A B

G

18

A B

D C

I

19

AB 3AD=

Soit un triangle équilatéral direct ABC , D le symétriquedu point A par rapport à la droite . On note S la simi-litude directe de centre A telle que .1. Faire une figure.2. Déterminer le rapport et l’angle de S .3. Déterminer et placer le point I tel que .

Soit ABCD un rectangle direct, on construit deux carrésdirects AEFB et ADGH . On pose et aveca réel positif et O est le milieu de .1. Faire une figure.On considère la similitude directe S qui transforme A en Bet D en A .2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S .3. Calculer .4. Déterminer l’image de la droite , puis l’image de ladroite par la similitude S .5. En déduire que le point d’intersection � des droites

et est le centre de la similitude S .

Construction de pointsSoit A et B deux points quelconques distincts. On consi-dère l’homothétie h de centre A et de rapport , la

translation t de vecteur et la rotation r de centre B

et d’angle .

On considère un point M quelconque du plan, construireson image par , , et .

Image d’un triangle par une similitudeSoit ABC un triangle quelconque, construire son image

par la similitude de centre A , de rapport et

d’angle . Quel est le rapport entre les aires des triangles

ABC et ?

Soit ABCD un carré quelconque de centre O , construireson image par :a. l’homothétie de centre A et de rapport 2 ;b. la similitude de centre O , de rapport 2 et d’angle ;

c. la similitude de centre B , de rapport et d’angle .

Soit A un point quelconque du plan. On considère unetransformation f qui à tout point M associe un point tel que .1. Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de f ?2. f est-elle une similitude directe ? Si oui donner son centre,son rapport et son angle.

20BC( )

S D( ) C=

S B( ) I=

21AB 1= AD a=

EH[ ]

AO BD⋅

BD( )AO( )

BD( ) AO( )

22

2–

2BA�2----

t h� t r� r h� r t h��

23

A ′B ′C ′ 12---

�3----

A ′B ′C ′

24

�4----

12--- �

2----–

25M ′

AM ′ 2AM– =


les

exe

rcic

es

Les

sim

ilitu

des

68

Dans le plan orienté, on donne un triangle ABC direct(ainsi l’angle orienté admet une mesure com-prise entre 0 et �).

ACDE est le carré tel que ; on désigne

son centre par O .

AFGB est le carré tel que ; on désigne

son centre par .I est le milieu de ; J le milieu de .

1. En utilisant la rotation de centre A et d’angle

démontrer que :

et .

2. En déduire que le triangle est un triangle rectangleen I et isocèle.3. Démontrer que est un carré.

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCDde centre O . Soit P un point du segment privé de B .On note Q l’intersection de et .La perpendiculaire � à passant par A coupe en R et en S ; N est le milieu de .

Soit r la rotation de centre A et d’angle .

1. a. Quelle est l’image de la droite par r ?b. En utilisant le fait que , déterminer l’imagede R par r .c. En déduire la nature des triangles RAQ et PAS .

2. Soit s la similitude directe de centre A , de rapport

et d’angle .

Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit lesegment privé de B ?

Avis de recherche !Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC équilaté-ral direct, I et J sont les milieux respectifs des segments

et et M est un point du segment .La parallèle à passant par M coupe la droite en P et en S .La parallèle à passant par M coupe la droite en Q et en T .On note O le milieu de .Quel est le lieu géométrique du point O lorsque M décrit lesegment ?

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCDde centre O .Soit I le milieu de et on construit le carré direct DIJK .1. Faire une figure en choisissant .2. On considère la similitude S de centre D qui transformeA en B .a. Déterminer les éléments caractéristiques de S .b. Déterminer l’image de I par S .3. a. Soit � le cercle circonscrit au carré ABCD et E lepoint d’intersection des droites et .Montrer que .b. Montrer que les droites et sont ortho-gonales.

26AB ; A C ( )

AC ; A E ( ) � 2 ---- 2 � ( )=

AF ; A B ( ) � 2

---- 2 � ( )=

O ′BC[ ] EF[ ]

�2----

FC ; B E ( ) � 2

---- 2 � ( )= FC BE=

OIO ′

JO ′IO

27BC[ ]

AP( ) CD( )AP( ) BC( )

CD( ) PS[ ]�2----

BC( )R � BC( )∩=

22

-------

�4----

BC[ ]

28

AB[ ] AC[ ] BC[ ]AC( ) AB( )

IJ( )AB( ) AC( )

IJ( )PQ[ ]

BC[ ]

29

CD[ ]AB 6=

AI( ) BJ( )E �∈

ED( ) BJ( )

Dans les exercices suivants, le plan complexe est rapporté aurepère .

Déterminer l’écriture complexe des similitudes directessuivantes :

•

S

1

de centre

O

de rapport 2 et d’angle ;

•

S

2

de centre de rapport 2 et d’angle ;

• S 3 de centre de rapport et d’angle

� .

Déterminer l’écriture complexe des similitudes directessuivantes :

•

S

1

de centre

O

de rapport 6 et d’angle ;

•

S

2

de centre de rapport et d’angle ;

•

S

3

de centre de rapport et d’angle .


A

et

B

d’affixes respectives 2et .Déterminerl’écriture complexe de la similitude directe

S

decentre telle que .

Déterminer les éléments caractéristiques des similitudesdirectes

S

d’écritures complexes :

a.

;

b.

;

c.

.

Déterminer les éléments caractéristiques des similitudes

S

directes d’écritures complexes :

a.

;

b.

;

c.

.

Déterminer l’écriture complexe de la transformation réci-

proque de

S

d’écriture complexe .

Composée de similitude

On considère deux similitudes

S

et d’écriturescomplexes respectives :

et .On considère les similitudes , , et

. Pour chacune de ces similitudes, déterminer :

a.

son écriture complexe ;

b.

sa nature et ses éléments caractéristiques.

Le B.A. BA… du bac !


ABCD

decentre

O

. On considère la translation

t

de vecteur

A

B

,l’homothétie

h

de centre

B

et de rapport 2 et le quart detour direct

r

de centre

A

.

1.

Montrer que est une similitude directe.Quelle est l’image de

A

par

f

?

2.

On se place dans le repère .Donner l’écriture complexe de

r

,

h

et

t

, puis celle de

f

.

3.

En déduire les éléments caractéristiques de

f

.

c

Corrigé p. 112

Caractérisation complexe d’une similitude directe

2

O ; u v , ( )

30

�4----

� 1 i+( ) 3�4

-------–

� 2i( ) 12---

31

�3----–

� i( ) 3 �6----

� 2( ) 12--- �

2----–

326 i+

� 3 4i–( ) S A( ) B=

33

z ′ z= z ′ 2iz– 3 i+ +=z ′ 2 2i 3–( )z 2 3 i+ +=

34

z ′ 2iz= z ′ 1 i+( )z 3 i+ +=z ′ 2 2 3–( )z 2 3 1–+=

35

z ′ 12--- i–

z 3 2i–+=

36S ′

z ′ iz 2 3–+= z ′ 1– i–( )z 2 3i–+=S S ′� S ′ S� S ′ 1–

S ′ 1– S�

37

f h t r��=

A ; A B A D ,( )


69

2

les

exe

rcic

es

Les similitudes

On considère la similitude directe

S

d’écriturecomplexe :

.

1.

Déterminer une équation de la droite image de

�

d’équation par

S

.

2.

Déterminer l’image par

S

du cercle

�

de centre et de rayon 3.

On considère la similitude directe

S

d’écriturecomplexe :

.Déterminer

a

pour que

S

soit :

a.

une translation dont on donnera un vecteur ;

b.

une rotation d’angle ;

c.

une homothétie de rapport ; quel est alors soncentre ?

d.

une similitude de rapport 2 et d’angle .

On considère les homothéties

h

et de centresrespectifs

O

et et de rapports respectifs non nuls

k

et . On notera

z

O

et les affixes respectives des points

O

et dans le repère .

1.

Donner les écritures complexes de

h

et de .

2.

En déduire l’écriture complexe de .

3.

Quelle est la nature de la transformation ?

Côté analytique

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal .

On désigne par

s

l’application qui à tout point duplan

�

associe le point vérifiant :

1.

Exprimer l’affixe de en fonction de l’affixe

z

de

M

.

2.

Quelle est la nature de

s ? Déterminer ses éléments carac-téristiques.

Le B.A. BA… du bac !L’unité graphique est de 4 cm. On considère les points A ,B , C et D d’affixes respectives :

, , et .

1. Placer les points A , B , C et D .2. Démontrer que OACB est un losange.3. Montrer que les points D , A et C sont alignés.4. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitudedirecte S de centre O qui transforme A en C .5. On note et .Montrer que les points F , C et G sont alignés. Placer lespoints F et G .6. Déterminer l’affixe du point F .

c Corrigé p. 112

38

z ′ 3– 3i–( )z 2i+=� ′

y 2x 1–=

� 1 2i–( )

39

z ′ az 2 i+ +=

�4----

3–

2�3

-------

40 h ′O ′

k ′ zO ′O ′ I ; u v , ( )

h ′h ′ h�

h ′ h�

Deux cas sont à distinguer.

41

O ; u v , ( )M x ; y ( )

M ′ x ′ ; y ′( )

x ′ x– y– 2+=

y ′ x y– 1 . – =

z ′ M ′

42

a 1= b ei �

3----

= c 32---

32

------- i+= d 32

------- e�6---- i–

=

S D( ) F= S C( ) G=

À la règle et au compas

On note

A

le point d’affixe 2. Soit

�

l’application de

�

vers

�

qui à tout point

M

d’affixe

z

associe le point d’affixe définie par :

.

1.

Déterminer :

a.

l’affixe de l’image du point

A

;

b.

l’affixe du point

P

tel que .

2.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

�

. On pourra utiliser les résultats de la question

1.3.

Le point

M

est distinct du point

A

.

a.

Démontrer que le triangle , où , estrectangle en .

b.

Le point

M

et le milieu du segment étant donnés,en déduire une construction au compas du point .

On donne les points

A

et

B

d’affixes respectives 12 et9i et l’application

f

de

�

dans

�

qui au point

M

d’affixe

z

associe le point d’affixe

Z

définie par :

(unité graphique : 1 cm).

1.

Démontrer que

f

admet un point invariant

�

de

coordonnées . Prouver que

f

est une simili-

tude directe dont on déterminera les éléments caractéristi-ques.

2.

Quelles sont les images par

f

des points

A

et

O

?Montrer que

�

est un point commun aux cercles

�

1

et

�

2

de diamètres respectifs et .Établir que

�

est le pied de la hauteur issue de

O

dans letriangle

AOB

et montrer que .Faire une figure comportant les points

A

,

B

et

�

ainsi queles cercles

�

1

et

�

2

.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (unité graphique : 5 cm).

A

,

B

,

C

désignent lespoints d’affixes respectives

a

, i et et

I

le milieu de .

On considère la rotation R de centre O et d’angle .

À tout point

M

d’affixe

z

, on associe le point d’affixe

z

1

.

1.

Exprimer

z

1

en fonction de

z

.

2.

On note l’isobarycentre des points

A

,

M

et

M

1

.Exprimer en fonction de

z

l’affixe du point .

3.

Montrer que

O

est l’isobarycentre des points

A

,

B

et si, et seulement si, .

Dans la suite, l’affixe du point

A

est .

4.

On note

f

l’application qui à tout point

M

du plan,d’affixe

z , associe le point d’affixe :

.

a. Prouver que f est une similitude directe dont on détermi-nera le centre � , le rapport et l’angle.b. Prouver que les points A , B , � sont alignés.c. Déterminer la mesure de l’angle . Montrer quel’image de la droite par f est la droite .d. Soit l’image de O par f . Montrer que la droite

est l’image par f de la droite .e. En déduire que les points I , O , , A sont alignés.5. Montrer que les points I et � appartiennent au cercle dediamètre .

43

M ′ � M( )= z ′

z ′ 3 3i+4

------------------- z 1 3i–2

-------------------+=

� A( )� P( ) O=

AMM ′ M ′ � M( )=M ′

AM[ ]M ′

44

M ′

Z 34--- iz– 9i+=

10825

---------- ; 14425

----------

OA[ ] OB[ ]

�A �B× �O2=

45O ; u v , ( )

1–

BC[ ]�2----

M1 R M( )=

M ′z ′ M ′

R B( ) a 1 i–=1 i–

M ′

z ′ 1 i– z iz+ +3

-------------------------------=

OB ; O I ( )OB( ) OI( )

O ′OO ′( ) BO( )

O ′

BO ′[ ]


les

exe

rcic

es

Les

sim

ilitu

des

70

Manque pas d’air(e) !

Soit

�

et deux droites distinctes et parallèles et

A

unpoint situé entre les droites

�

et . Soit

O

le projetéorthogonal de

A

sur la droite

�

. Le plan est rapporté aurepère orthonormal direct , où

u

est un vecteurdirecteur de la droite

�

et

v

est un vecteur normal auxdroites

�

et .

A

admet pour affixe

a

i avec

a

réel stric-tement positif. On note

�

la distance du point

A

à la droite . Soit

B

un point de

�

d’affixe

z

B

. Onappelle

z

C

l’affixe du point

C

image de

B

par la rotation R

de centre A et d’angle .

1. Donner l’écriture complexe de R .

2. En déduire que .

3. Montrer que si, et seulement si .

4. Sachant que , exprimer AB2 en fonc-

tion de a et � . En déduire l’aire S du triangle équilatéralABC .

D’après Bac


, et .Démontrer qu’il existe une unique similitude directetransformant A en et B en . Donner son écriturecomplexe et en déduire ses éléments caractéristiques.


, , et .Démontrer qu’il existe une unique similitude directetransformant A en et B en . Donner son écriturecomplexe et en déduire ses éléments caractéristiques.

Du côté des suitesLe plan complexe � est rapporté au repère orthonormal

, l’unité graphique étant 4 cm. On définit l’applica-tion f qui au point M d’affixe z associe le point d’affixe définie par :

, où .

1. Montrer que f admet exactement un point invariant � ,dont on donnera l’affixe. Caractériser géométriquement f .2. On définit dans � la suite par :

a. Construire � , M0 , M1 et M2 .b. Pour tout entier n , on note zn l’affixe de Mn , et l’onpose :

.Déterminer un nombre complexe a tel que, pour toutentier n :

.Mettre a sous la forme trigonométrique et déterminer unentier p strictement positif tel que .c. Calculer Zn , puis zn en fonction de n .Calculer Z2 007 et placer M2 007 sur la figure.

46� ′

� ′

O ; u v , ( )

� ′

� ′ zB �∈( )

�3----

zC12--- zB a 3+( ) i

2--- a zB 3+( )+=

C � ′( )∈ zB13

------- a 2�+( )=

zB13

------- a 2�+( )=

47A ′ B ′

1 i+ 3 18i+ 1– 6i+

A ′ B ′

48A ′ B ′

4 i– 1 i+ 3– 3i– 2 2i–

A ′ B ′

49

O ; u v , ( )M ′

z ′

z ′ jz– i+= j ei 2�

3-------

=

Mn( )n �∈

M0 O=

pour tout n � Mn 1+∈ f Mn( ) . =

Zn zn ei �

6----

–=

Zn 1+ aZn=

ap 1=

Des triangles isométriques

Dans le plan complexe

�

rapporté au repère orthonormaldirect d’unité graphique 1 cm, on donne lespoints

A

,

B

,

C

,

D

,

E

et

�

d’affixes respectives , , , , et .

1.

Soit

�

le cercle de centre

�

et de rayon 5. Montrer que et sont des diamètres de

�

.

2.

Montrer qu’il existe une unique similitude

f

directetransformant

O

en

B

et

E

en

A

.

3.

Déterminer l’écriture complexe de

f

.

4.

Quelle est l’image de

�

par

f

?

5.

En déduire que les triangles

OCE

et

ABD

sont isomé-triques.

Géométrie ou complexe ?

Le triangle

ABC

est quelconque,

M

est le milieu dusegment . On construit, à l’extérieur du triangle

ABC

,les triangles et rectangles et isocèles desommet

A

. Le but de l’exercice est de montrer que lesdroites et sont perpendiculaires et que :

.

1.

Méthode géométrique

a.

Soit

h

l’homothétie de centre

B

et de rapport 2.Déterminer les images des points

A

et

M

par

h

.Trouver une rotation

r

telle que transforme

A

en et

M

en .

b.

En déduire que les droites et sont per-pendiculaires et que .

2.

Utilisation des nombres complexes

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d’origine

A

dans lequel

B

et

C

ont pour affixes respectives

b

et

c

.Quelles sont les affixes

m

, , des points

M

, , ? Retrouver alors les résultats du

1.

b.

D’après Bac

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct

ABC

rectangle et isocèle en

A

.On note le symétrique de

A

par rapport à

C

.

1.

Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe

S

qui transforme en

C

et

C

en

B

.

2.

Quelle est l’image de la droite par

S

?

3.

On se place dans le repère . Donner l’écri-ture complexe de

S

et en déduire l’affixe du centre

�

.

4.

Montrer que le triangle

�

CB

est rectangle.


OABC

de centre

I

et

J

le milieu de .

1.

Montrer qu’il existe une unique similitude directe

f

transformant O en I et A en J .2. On se place dans le repère . Déterminerl’écriture complexe de f et en déduire l’affixe du centre �de f .

Dans le plan orienté, on considère un rectangle ABCD telque :

, et .

Les points E et F sont définis par :

et .

50

O ; u v ,( )8 4i+

2– 4i+ 3 i– 1– i+ 6 8i+ 3 4i+

AB[ ] OE[ ]

51

BC[ ]BAB ′ CAC ′

AM( ) B ′C ′( )B ′C ′ 2AM=

r h�B ′ C ′

AM( ) B ′C ′( )B ′C ′ 2AM=

b ′ c ′ B ′C ′

52

A ′

A ′AC( )

A ; A B A C ,( )

53OI[ ]

O ; O A , O C ( )

54

AB ; A D ( ) � 2

---- 2 � ( )= AD 3= AB 4=

AE14--- AB= BF

43--- BC=


71

2

les

exe

rcic

es

Les similitudes

1.

a.

Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesuredu déroulement de l’exercice.

b.

Montrer qu’il existe une unique similitude

r

telle que et .

c.

Montrer que

r

est une rotation. Déterminer l’angle decette rotation.

d.

Construire, en justifiant la réponse, le centre

�

de cetterotation.

2.

Le plan est muni du repère orthonormal de sens direct :

.

a.

Déterminer les affixes des points

A

,

B

,

C

,

D

,

E

et

F

.

b.

Soit

M

un point du plan d’affixe

z

et , d’affixe ,son image par

r

. Donner la relation permettant d’exprimer en fonction de

z

. Déterminer les coordonnées exactesde

�

.

3.

Quelle est l’image par

r

du cercle circonscrit au triangle

ADE

?

Avec des barycentres

Dans le plan complexe

�

rapporté au repère orthonormaldirect , unité graphique 1 cm, on considère lespoints

B

et

D

définis par : et ,

et le point

C

tel que

ABCD

soit un rectangle. On fera unefigure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1.

Soit

E

l’image de

B

par la translation de vecteur .Déterminer l’affixe

z

E

de

E

.

2.

Déterminer les nombres réels a , b tels que le point Fd’affixe soit le barycentre des points A , B , Caffectés des coefficients a , b , 1.3. On considère la similitude s qui transforme A en E etB en F . À tout point M d’affixe z , on associe le point d’affixe , image de M par s .a. Exprimer en fonction de z .b. Déterminer le centre I , l’angle et le rapport de la simili-tude.c. Déterminer les images de C et de D par s .d. Calculer l’aire de l’image par s du rectangle ABCD .4. a. Déterminer l’ensemble � des points M du plan telsque :

.b. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques,l’image de � par s .

Composée d’homothétiesSur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sensdirect, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1. Le but de cette première question est de démontrer queles droites , , sont concourantes. Pour

B r D( )= F r C( )=

A ; A E 13

--- A D ,

M ′ z ′

z ′

55

A ; u v , ( )

AB 2u= AD 3v=

DB

zF 6 i–=

M ′z ′

z ′

6MA 10MB– MC + 9=

56

G H

E

FC

D

B

A

AC( ) EG( ) FH( )

cela on note

I

le point d’intersection des droites et et on introduit l’homothétie

h

1

de centre

I

quitransforme

G

en

E

et l’homothétie

h

2

de centre

I

quitransforme

F

en

H

.

a.

Déterminer l’image de la droite par l’homothétie

h

1

, puis par la composée .

b.

Déterminer l’image de la droite par la composée .

c.

Justifier l’égalité : .En déduire que la droite passe aussi par le point

I

.

2.

On se propose ici de démontrer que la médiane issue dusommet

A

du triangle

AEH

est une hauteur du triangle

ABD

. On note

O

le milieu du segment .

a.

Exprimer le vecteur

A

O

en fonction des vecteurs et .

b.

Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .

c.

Calculer le produit scalaire et conclure.

3.

Dans cette question, on étudie la similitude directe

S

quitransforme

A

en

B

et

D

en

A

. On pose et .

a.

Déterminer l’angle et le rapport de la similitude

S

.

b. Déterminer l’image de la droite , puis l’image de ladroite , par cette similitude

S

.

En déduire que le point d’intersection

�

des droites et est le centre de la similitude

S

.

Composée de rotations de centres distincts

A

et

B

sont deux points du plan orienté dans le sens usuel,tels que .

On note

r

1

la rotation de centre

A

et d’angle de mesure

et

r

2

la rotation de centre

B

et d’angle de mesure .

Pour tout point

M

du plan, on note

M

1

et

M

2

les imagesrespectives de

M

par

r

1

et

r

2

.

1.

M

étant un point du plan, construire les points

M

1

et

M

2

.

2.

Le but de cette question est de démontrer que, pour toutpoint

M

du plan, le milieu du segment est unpoint fixe

I

. On pose , où désigne la trans-formation réciproque de

r

2

.

a.

Déterminer .

b.

Montrer que

f

est une symétrie centrale.

c.

En déduire que le milieu du segment est unpoint fixe

I

que l’on placera sur la figure.

3.

Dans cette question, le plan est muni d’un repère ortho-normal direct tel que

A

et

B

aient pour affixesrespectives et 3. On note

z

1

et

z

2

les affixes respec-tives de

M

1

et

M

2

.

M

est un point du plan, distinct de

A

et

B

, d’affixe

z

.

a.

Exprimer

z

1

et

z

2

en fonction de

z

. Montrer que :

.

b.

En déduire que :

•

;

•

.

c.

Déterminer, à l’aide de l’égalité , l’ensemble

�

despoints

M

du plan tels que

M

,

M

1

et

M

2

soient alignés.Construire

�

sur la figure de la question

1.

EG( )FH( )

CG( )h2 h1�

CF( )h1 h2�

h1 h2� h2 h1�=AC( )

EH[ ]AE

AHBD AB

ADAO BD.

AB 1=AD k= k 0>( )

BD( )AO( )

BD( )AO( )

57

AB 6 cm =�3----

2�3

-------–

M1M2[ ]f r1 r2

1– �= r21–

f M2( )

M1M2[ ]

O ; u v , ( )3–

z2 z–

z1 z–-------------- i 3 z 3–

z 3+------------=

MM1 ; M M 2 ( ) M A ; M B ( ) � 2

---- 2 k � + + = 1( )

MM2

MM1-------------- 3 MB

MA----------= 2( )

1( )


les

exe

rcic

es

Les

sim

ilitu

des

72

L’escargot

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct .On considère l’application

f

du plan, dans lui-même, qui àtout point

M

d’affixe

z

associe le point d’affixe :

.

1.

Montrer que

f

est une similitude directe dont on pré-cisera le centre

�

, le rapport

k

et l’angle

�

.

2.

Soit

M

0

le point d’affixe . Pour tout entiernaturel

n

, le point est défini par : .

a.

En utilisant la 1

re

question, calculer

�

M

n

en fonctionde

n

.

b.

Placer le point

M

0

et construire les points

M

1

,

M

2

,

M

3

et

M

4

.

c.

À partir de quel rang

n

0

a-t-on : « pour tout ,

M

n

appartient au disque de centre

�

et de rayon » ?

3.

a.

Calculer

M0M1 .b. Pour tout entier naturel n , on note . Mon-trer que est une suite géométrique dont on préciserale premier terme et la raison.c. On note .Calculer �n en fonction de n et en déduire la limite de �nen .4. Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l’isobary-centre des points M0 , M1 , M2 , … , Mn .

a. Montrer que pour tout , .

En déduire la position limite du point Gn lorsque n tendvers .

D’après Bac

On considère les points A et B d’affixes respectives et , déterminer l’écriture complexe de la

réflexion d’axe .

On considère la droite � d’équation , déter-miner l’écriture complexe de la réflexion d’axe � .

Déterminer l’écriture complexe de la transformation réci-proque de S d’écriture complexe :

.

On considère les points , et

. Soit r la rotation de centre B et d’angle ,

s la réflexion d’axe avec C l’image de A par r et tla translation de vecteur CA .On considère . Déterminer la forme complexe de :a. r ; b. t ; c. s ; d. f ;e. . En déduire la nature de g .

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct .

On considère f la transformation d’écriture complexe .

58O ; u v , ( )

M ′

z ′ 12--- iz 1 3i–

2--------------+=

1 4 3 3i+ +Mn 1+

Mn 1+ f Mn( )=

n n0�r 0 05,=

dn MnMn 1+=dn( )

�n d0 d1 d2 … d n + + + + =

∞+

n 0> �Gn16

n 1+-------------

∞+

Similitudes planes indirectes359

3 i– 5 2i–AB( )

60 y x 5+=

61

z ′ 1 i+( )z i–=

62 A 3– i+( ) B 2 2i–( )

C 1 3i–( ) �2----–

AC( )

f s t�=

g r t�=

63O ; u v , ( )

z ′ iz=

1.

Soit

M

un point de coordonnées dans le repère . Donner les coordonnées du point

image de

M

par

f

.

2.


f

. Endéduire la nature et les éléments caractéristiques de

f

.

Le B.A. BA… du bac !


A

,

B

, et d’affixes respectives :

, , et .

1.

Donner l’écriture complexe de la similitude indirecte

S

transformant

A

en et

B

en .

2.

Déterminer l’ensemble des points invariants de

S

. Endéduire les éléments caractéristiques de

S

.


A

,

B

et

C

d’affixes respectives : ; 3 et .

On considère la similitude indirecte

S

transformant

A

en

B

et

C

en

O

.

1.

Quel est le rapport de

S

?

2.

Donner son écriture complexe.

3.

Déterminer l’ensemble des points invariants de

S

. Endéduire la nature et les éléments caractéristiques de

S

.

4.

Déterminer l’écriture complexe de la similitude réci-proque de

S

.

Dans le plan complexe muni d’une repère orthonormaldirect , l’écriture complexe d’une similitudeindirecte

S

est : .

Démontrer que , où

s

�

est une réflexion dont onprécisera l’axe

�

et

s

une similitude directe dont on don-nera les éléments caractéristiques.

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct , on considère le point

A

d’affixe etl’application

f

qui, à tout point

M

d’affixe

z

, associe lepoint d’affixe tel que :

.

1.

Montrer que

f

est un antidéplacement.

2.

Montrer que, si , alors

f

est une réflexion d’axe

�

dont on déterminera une équation.

3.

On se place dans le cas où .Donner l’écriture complexe de et en déduire la natureet les éléments caractéristiques de .

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct , unité graphique : 1 cm.

1.

On note

A

,

B

et

C

les points d’affixes respectives 2i , et . On considère la translation

t

de vecteur

B

C

, la symétrie

S

d’axe et la transformation . On désigne par et les images respectives

de

A

et

B

par

f

.Calculer les affixes de et et placer les points

A

,

B

,

C

, et sur une figure.

2.

À tout point

M

d’affixe

z

,

f

associe le point d’affixe . Justifier que

f

est un antidéplacement et démontrer que :

. 3.


f

. La

transformation

f

est-elle une symétrie ?

c

Corrigé p. 112

x ; y ( )O ; u v , ( ) x ′ ; y ′( )

M ′

64A ′

B ′4 i– 1 i+ 2 i– 5 i+

A ′ B ′

65

2 i+ 2 2i–

66O ; u v , ( )

z ′ 4iz i+=S s s��=

67O ; u v , ( ) a ib+

M ′ z ′z ′ iz a ib+ +=

a b– =

a b– ≠f f�

f f�

68O ; u v , ( )

1– 4i+ 5 2i+AB( )

f t S�= A ′ B ′

A ′ B ′A ′ B ′

M ′z ′

z ′ 3– 4i–5

------------------ z 38 6i–6

------------------+=


73

2

les

exe

rcic

es

Les similitudes

4.

On appelle

D

le point d’affixe ,

�

la médiatricede et la symétrie d’axe

�

.

a.

Déterminer l’écriture complexe de . En déduire que est la translation de vecteur .

b.

Montrer que est la translation, notée , devecteur

D

C

.En déduire que .

D’après Bac

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct . On considère les points

A

et

B

d’affixes res-pectives 2i et .Soit

f

la transformation d’écriture complexe :

et

g

la transformation d’écriture complexe .

1.

Montrer que

f

et

g

sont des antidéplacements. Quepeut-on en déduire pour ?

2.

Déterminer l’écriture complexe de et en déduire sanature et ses éléments caractéristiques.

3.

Déterminer les images de

A

et de

B

par

f

. En déduire lanature et les éléments caractéristiques de

f

.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal , unité graphique : 2 cm.


s

du plan dans lui-même, qui, àtout point

M

d’affixe

z

, associe le point d’affixe : .

1.

Montrer que

s


�

dont on déter-minera une équation.

2.

Soit la droite d’équation , on appelle laréflexion d’axe .Déterminer une écriture complexe de .

3.

Déterminer une écriture complexe de .

4.

Donner les éléments caractéristiques de

r

.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct , on considère l’application

f

qui associe, aupoint

M

d’affixe

z

, le point d’affixe telle que :

.

1.

Donner l’écriture complexe de la réflexion

S

d’axe .

2. Montrer que , où R est une rotation dont onprécisera les éléments.3. Soit g l’application du plan dans lui-même qui a toutpoint M d’affixe z associe le point d’affixe telleque :

.a. Caractériser l’application g et donner ses éléments carac-téristiques.b. En déduire une construction géométrique, pour tout pointM du plan, du point , image de M par g .c. Montrer que pour tout point M du plan, le milieu dusegment appartient à une droite fixe.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal , unité graphique : 2 cm.

On fera une figure que l’on complétera avec les différents élé-ments intervenant dans l’exercice.1. Dans cette question on considère l’application s du plandans lui-même, qui à tout point M d’affixe z associe lepoint d’affixe .

3 6i+BD[ ] S ′

S ′S S ′� DB

f S ′� t ′

f t ′ S ′�=

69O ; u v , ( )

1 3i+

z ′ iz 2– 2i+=z ′ iz=

g f�g f�

70O ; u v , ( )

M ′z ′ iz– 1 i+ +=

� ′ y x 2–= s ′� ′

s ′r s ′ s�=

71O ; u v , ( )

M ′ z ′

z ′ 3–

2----------- i 1

2---+

z i+=

O ; u ( )f R S�=

M″ z ″

z ″ iz 1– i+=

M″

MM″[ ]

72O ; u v , ( )

M ′ z ′ iz– =

a.

Montrer que

s


�

dont on déter-minera une équation.

b.

Soit

�

la droite d’équation , on appelle laréflexion d’axe .Déterminer une écriture complexe de .

c.

Déterminer une écriture complexe de .

d.

Donner les éléments caractéristiques de

r

.

2.

Dans cette question on considère l’application

p

du plansur lui-même, qui a tout point

M

d’affixe

z

associe le point

M

1

d’affixe :

.

a.

Soit le point

A

d’affixe , déterminer l’affixe dupoint

A

1

, image du point

A

par

p

.

b.

Montrer que tout point

M

a son image

M

1

sur la droited’équation .

c.

Définir géométriquement, en utilisant les questions précé-dentes, l’application

p

.

3.


f

définie par .Construire l’image du point

A

par

f

.Montrer que et en déduire que . Montrerque tout point

M

du plan a son image par

f

sur une droite

�

, que l’on représentera sur la figure.D’après Bac

Deux décompositions d’une même similitude indi-

recte

Dans le plan orienté, on considère le losange

ABCD

tel que :

et .

On désigne par

I

,

J

,

K

,

L

et

O

les milieux respectifs dessegments , , , et .On note

�

et les médiatrices respectives des segments et .

On considère la similitude

f

vérifiant : , et .

1.

Quel est le rapport de la similitude

f

? Prouver que

f

estun antidéplacement.

2.

Montrer que si

M

est un point du plan vérifiant , alors

M

vérifie : .

En déduire que

f

n’admet pas de point invariant.

3.

On considère la réflexion

S

d’axe

�

et la rotation

R

de

centre

B

et d’angle .

Montrer que . A-t-on ?

4.

Soit

T

la translation de vecteur , on pose .

a.

Déterminer la nature de la transformation

g

.

b.

Déterminer , et .En déduire les éléments caractéristiques de latransformation

g

.

c.

Démontrer que .

On se place dans le plan, rapporté à un repèreorthonormal .

1.


f

qui, à tout point

M

d’affixe

z


.

a.

Exprimer en fonction de

z

.

b.

Montrer que , où

R

est une rotation et

S

unesymétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristi-ques de ces deux applications

R

et

S

).

y 1– = s ′� ′

s ′r s ′ s�=

z112--- z 1

2--- iz– z z ′+( )

2-------------------= =

z 2 i+=

y x– =

f s ′ p�=A″

s p� p= f r p�=

73

AB 5= AB ; A D ( ) � 3

---- =

AB[ ] BC[ ] CD[ ] DA[ ] BD[ ]� ′

AB[ ] CD[ ]

f A( ) B= f B( ) D= f D( ) C=

f M( ) M=AM BM CM DM= = =

�3----–

f R S�= f S R�=12--- DA

g T f�=

g D( ) g I( ) g O( )

f T 1– g�=

74O ; u v , ( )

M ′ z ′

z ′ 12--- i 3

2-------+

z=

f f�( ) z( )f R S�=


les

exe

rcic

es

Les

sim

ilitu

des

74

c.

Décomposer

R

à l’aide de deux symétries axiales et endéduire que

f

est une réflexion, dont on donnera l’axe

�

1

.Réaliser une figure, en y représentant l’axe

�

1

. (unitégraphique : 2 cm.)

2.


g

qui, à tout point

M

d’affixe

z


.

a.

Déterminer une équation de l’ensemble des points inva-riants de

g

.

b.

Montrer que , où

T

est une translation (on pré-cisera l’affixe du vecteur de la translation

T

).

c.

Décomposer la translation

T

à l’aide de deux symétriesaxiales et en déduire que

g

est une réflexion, d’axe noté

�

2

.

d.

Quelle est l’image par

g

du point

A

d’affixe ?

En déduire une construction de la droite

�

2

, qui n’utilise passon équation, et l’illustrer en complétant la figure précé-dente.

D’après Bac

Tangente commune à deux cercles

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ,unité graphique : 5 cm.On considère les points

A

,

B

et

�

d’affixes respectives :

, i et .

Soit

C

un point tel que

OACB

soit un rectangle. On note

I

le milieu du segment ,

J

le milieu du segment et

K

le milieu du segment .

1. Placer tous ces points sur une figure. 2.

On considère la transformation

S

du plan dans lui-même


.

a.

Quelle est la nature de

S

? Déterminer les éléments carac-téristiques de

S

.

b.

Déterminer les images par S des points O , A , B et C .3. a. Montrer que les points A , B et � sont alignés.

M″ z ″

z ″ 12--- i 3

2-------+

z12---– i 3

2-------+=

g T f�=

12--- i 3

2-------+

Les problèmes4

Problème à prise d’initiativesDans le plan orienté, on considère un triangle ABC directet rectangle en C . On note H le pied de la hauteur issuede C dans le triangle ABC . Soit S la similitude directetransformant C en A et B en C .En utilisant S , démontrer l’égalité :

.

75

HC2 HA HB×=

Problème à prise d’initiatives

Soit � et deux droites distinctes et parallèles et A unpoint n’appartenant ni à � ni à .Construire un triangle équilatéral direct tel que :

et .

76� ′

� ′MAM ′

M �∈ M ′ � ′∈

77O ; u v , ( )

2 2 23

-----------13--- i+

OA[ ] BC[ ]AI[ ]

z ′ i– 22

------- z 22

------- i+ +=

b.

Montrer que les points

I

,

C

et

�

sont alignés. Endéduire une construction de

�

et le placer.

4.

On désigne par

�

et les cercles de diamètresrespectifs et .

a.

Montrer que

�

appartient aux cercles

�

et .

b.

Démontrer que la droite est la tangente communeà

�

et . Achever la figure en construisant les cercles etleurs tangentes communes .

D’après Bac

L’arithmétique vole au secours d’un alignement

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (unité graphique : 1 cm).On considère la transformation

f

du plan qui à tout point

M

d’affixe

z

associe le point d’affixe telle que : ,

et l’on définit une suite de points de la façonsuivante :

M

0

a pour affixe

et, pour tout entier naturel

n

, .On appelle

z

n

l’affixe de

M

n

.

1.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

f

.

2.

Placer sur la figure les points

M

0

,

M

1

et

M

2

.

3.

Montrer que les triangles

OM

0

M

1

et

OM

1

M

2

sontsemblables.

4.

Montrer que, pour tout entier naturel

n

:

.

5.

Soit

n

et

p

deux entiers naturels, montrer que

O

,

M

n

et

M

p

sont alignés si, et seulement si, il existe un entierrelatif

k

tel que .

6.

On considère l’équation : ,

où

p

est un entier relatif.

a.

Justifier que l’équation admet des solutions.

b.

Déterminer une solution particulière de l’équation : .

c.

Résoudre dans

�

2

l’équation .

d.

En déduire l’ensemble des entiers naturels

n

tels que

O

,

M

n

et

M

p

soient alignés.

Soit le repère orthonormal direct du plancomplexe. Les points

A

,

B

et

C

sont définis par leursaffixes respectives :

; et .

1.

Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm.On placera l’origine sur la gauche de la feuille.

2.

Prouver que

OAB

est un triangle équilatéral direct. Soit

G

le centre de gravité du triangle

OAB

. Déterminer l’affixe

z

G

de

G

.Dans la suite de l’exercice, on étudie deux isométriestransformant en .

3. Soit a et b deux nombres complexes et R l’applicationqui au point M d’affixe z associe le point d’affixe telle que :

.a. Déterminer a et b pour que et .b. Prouver que R est une rotation dont on déterminera lecentre et l’angle.c. Prouver que les droites et sont perpendi-culaires.

� ′BC[ ] AI[ ]

� ′�O( )

� ′�O( )

78O ; u v , ( )

M ′ z ′z ′ 1– i 3–( )z=

Mn( )

z0i4---– =

Mn 1+ f Mn( )=

zn 2n 2– ei 4n�

3----------- �

2----–

=

4n 4p– 3k=

4x 3y– 4p= E( )

E( )

4x 3y– 4p=E( )

79 O ; u v , ( )

zA 3 i 3–= zB 3 i 3+= zC 2 3 3i+ +=

OA[ ] GC[ ]

M ′ z ′

z ′ az b+=R O( ) G= R A( ) C=

OA( ) GC( )


75

2

le

s e

xerc

ice

s

Les similitudes

Que peut-on dire des points

G

,

B

et

C ?d. Construire, en justifiant la construction, l’image dutriangle OAB par R .4. Soit et deux nombres complexes et f l’applica-tion qui au point M d’affixe z associe le point d’affixe

telle que : .

a. Déterminer et pour que et .b. Soit I le milieu du segment . Déterminer le point

. f est-elle une réflexion ?c. Construire, en justifiant la construction, l’image dutriangle OAB par f .

D’après Bac

Des similitudes et les suitesDans le plan complexe � rapporté au repère orthonormaldirect d’unité graphique 5 cm, on donne lespoints A , B et C d’affixes respectives i , et ;on appelle I , J et K les milieux respectifs des segments

, et et s la similitude directe quitransforme A en I et O en B .1. a. Déterminer le rapport et l’angle de s .b. Donner l’écriture complexe de s .c. En déduire l’affixe du centre � de s . Représenter �dans le plan � .d. Quelle est l’image par s du rectangle AOBC ?

2. On considère la transformation .a. Quelles sont les images des points O , B et A par s2 ?b. Montrer que s2 est une homothétie dont on précisera lecentre et le rapport.c. En déduire que les droites , et sontconcourantes.

3. On définit la suite de points An de la façon suivante : et, pour tout , .

a. Préciser les points A1 , A2 et A3 sur la figure du 1. c.

b. On note un la longueur du segment .Exprimer un en fonction de .Calculer u0 et en déduire un en fonction de n .

c. Calculer en fonction de n .

Quelle est la limite de Sn lorsque n tend vers ?

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct. Les constructions seront faites sur papier millimétré.

1. a. Le point E a pour affixe et le point F apour affixe . Placer dans P les points E et F .b. Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectan-gle isocèle direct de sommet H .c. On désigne par ZH l’affixe de H . Montrer que :

et que .

En déduire que .2. A , B , C et D sont quatre points du plan P .a. Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA ,AJD , DKC et CLB d’angles droits respectifs , ,

et .b. Conjecturer la position relative des droites et et le rapport des longueurs des segments et .3. a. On désigne par a , b et zI les affixes respectives despoints A , B et I .

Montrer que et .

a ′ b ′M ′

z ′z ′ az b+=

a ′ b ′ f O( ) G= f A( ) C=OG[ ]

f I( )

80

O ; u v , ( )2 2 i+

OB[ ] AC[ ] BC[ ]

s2 s s�=

OC( ) BJ( ) AK( )

A0 A= n �∈ An 1+ s An( )=

AnAn 1+[ ]un 1–

Sn ukk 1=

n

∑=

∞+

81O ; u v , ( )

ZE 3 i+=ZF 1 3i+=

3 i ZH–+

1 3i ZH–+---------------------------- 1= arg

3 i ZH–+

1 3i ZH–+----------------------------

�2---- 2�[ ]=

ZH 3 3i+=

BIA AJDDKC CLB

IK( ) LJ( )IK[ ] LJ[ ]

b zI–

a zI–------------- 1= arg

b zI–

a zI–-------------

�2---- 2�[ ]=

En déduire que .

b.

Avec les points

B

,

C

et

L

d’affixes respectives

b

,

c

et

z

L

, exprimer sans démonstration

z

L

en fonction de

b

et

c

.D’après Bac, Polynésie, juin 2003

Dans le plan, on considère deux segments et tels que :

et .

On désigne par

M

le milieu de et par

N

celui de . On appelle

�

1

,

�

2

,

�

3

et

�

4

les cercles de diamè-tres respectifs , , et . On pourras’aider d’une figure (la plus quelconque possible).

1.

a.

Soit

r

la rotation qui transforme

A

en

B

et

C

en

D

.Quel est l’angle de

r

? Montrer que le centre

I

de

r

appar-tient aux cercles

�

1

et

�

3

.

b.

Soit la rotation qui transforme

A

en

D

et

C

en

B

.Quel est l’angle de ? Montrer que le centre

J

de appartient aux cercles

�

2

et

�

4

.

c.

Quelle est la nature du quadrilatère

INJM

?On désigne par

P

et

R

les points diamétralement opposés à

I

sur, respectivement,

�

1

et

�

3

et par

Q

et

S

les points dia-métralement opposés à

J

sur, respectivement,

�

2

et

�

4

.

2.

Soit

s

la similitude directe de centre

I

, de rapport et

d’angle .

a.

Quelles sont les images par

s

des points

D

,

N

,

B

?

b.

En déduire que

J

est le milieu de .

D’après Bac, Antilles-Guyane, septembre 2002

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect d’unité graphique 2 cm.On donne les points

A

,

C

,

D

et

�

, d’affixes respectives

, 1, 3 et .

Partie A

1.

Soit

�

le cercle de centre

�

passant par

A

.

a.

Montrer que

�

passe par

C

et

D

.

b.

Montrer que le segment est un diamètre de

�

.

c.

Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure enplaçant les points

A

,

C

,

D

,

�

et tracer

�

. On note

B

laseconde intersection de � avec la droite . d.

Montrer que le point O est extérieur au segment .

2. Montrer par un raisonnement géométrique simple que lestriangles OAD et OCB sont semblables mais non isométri-ques.3. Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en letriangle OAD .a. Montrer que S est une similitude indirecte différented’une réflexion.b. Quel est le centre de S ?

Partie B

1. a. Déduire de la partie A. 2. que l’on a :

.b. En déduire le module de l’affixe zB du point B . Déte-rminer un argument de zB .2. Déterminer l’écriture complexe de S .3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

.D’après Bac, Polynésie, juin 2003

zIia b–i 1–

---------------=

82 AC[ ]BD[ ]

AC BD= AC BD,( ) �2----– =

AC[ ]BD[ ]

AB[ ] BC[ ] CD[ ] DA[ ]

r ′r ′ r ′

2�4----

PR[ ]

83O ; u v , ( )

1 i+ 2 12--- i+

AD[ ]

OA( )AB[ ]

OA OB× OC OD×=

S S�


76

LES Q.C.M.

co

mm

e (a

u) b

ac…

Les

sim

ilitu

de

s

FAU

XV

RA

I

FAUX VRAI

À chaque question, une ou plusieurs réponses sont possibles.QCM

On considère le triangle équilatéral direct ABC , on noteG le centre de gravité du triangle et I le milieu du segment

.1. La similitude directe S de centre G qui transforme Ben I admet :

pour rapport et pour angle .


pour rapport 2 et pour angle .

pour rapport 2 et pour angle .

2. La similitude directe qui transforme A en G et Cen B admet :





3. Quand M décrit la parallèle à passant par A ,alors décrit :

la droite .

la parallèle à passant par G .

la droite .

la parallèle à passant par le milieu du segment .

4. Quand M décrit le cercle de centre C et de rayon 3, alors décrit le cercle :

de centre A et de rayon .

de centre B et de rayon .

de centre I et de rayon .

de centre le milieu de et de rayon .

84

AB[ ]

a 12--- �

3----

b 12--- �

3----–

c �3----

d �3----–

S ′

a 3 �2----

b 3 �2----–

c 33

------- �2----

d 33

------- �2----–

BC( )S M( )

a AC( )b BC( )c GB( )d BC( )CI[ ]

S ′ M( )a 3

b 3

c 3

d AI[ ] 3

Dans le carré direct ABCD , on considère le repère .

1. L’écriture complexe de la similitude directe de centre D ,

de rapport 2 et d’angle est :

. .

. .

2. L’écriture complexe de la similitude directe de centre Cdont B est l’image de A est :

.

.

.

.

3. L’écriture complexe de la réflexion d’axe est :

. .

. .

Dans le plan complexe, on considère les points A , B , et d’affixes respectives 1, , et .

1. L’écriture complexe de la similitude indirecte quitransforme A en et B en est :

. .

. .2. L’écriture complexe de la similitude directe quitransforme A en B et en est :

. .

. .

85A ; A B A D , ( )

�2----–

a z ′ 1– 2i z 1–( )– = b z ′ 2iz 2 i+ +=

c z ′ 2iz– 2– i+= d 1 iz+1–

2------- z ′ i+( )=

a z ′ 12---

12--- i+

z 1+=

b z ′ 1 i+( )z 1 i–+=

c z ′ 1 i+( )–2

2------- e

�4---- i–

z 1 i+( )–( )=

d z ′ 1 i+( )–2

2------- e

�4---- i

z 1 i+( )–[ ]=

BD( )a z ′ z= b z ′ iz– 1 i+ +=c z ′ iz 1 i+ += d z ′ 2iz– 3 3i+ +=

86A ′ B ′ 1 i+ 3 i– 5 i–

A ′ B ′a z ′ 2iz 3 3i–+= b z ′ 2iz 3 i+ +– =c z ′ 2iz 3 i+ += d z ′ 2– iz 3 3i+ +=

A ′ B ′

a z ′ 2z 1– i+= b z ′ 145

------125

------ i– z 1

5---

75--- i+ +=

c z ′ 2– 8i–( )z 2i–= d z ′ 2iz– 3 i+ +=

Une similitude directe de rapport 1 est une rotation.Une symétrie centrale est une similitude indirecte.Une translation est un déplacement d’angle nul.Une translation est une similitude d’angle nul.Une homothétie de rapport est un antidéplacement.Une similitude d’angle nul est une translation.Une similitude directe autre que l’identité admet exactement un point invariant.Une similitude d’angle � est une homothétie.Une homothétie est un déplacement.

L’écriture complexe est celle d’une similitude directe.

87 1 �2 �3 �4 �5 � 1–

6 �7 �8 �9 �10 � z ′ az b+= a � et b � ∈ ∈( )

p076-079-QCM-sujets.fm Page 76 Vendredi, 19. mai 2006 9:47 09

77

2

co

mm

e

(au

)

bac…

Les similitudes

On considère une similitude

s

de rapport

k

et une

homothétie

h

de rapport .

1.

Quelle est la nature de la transformation ?

2.

En déduire que toute similitude de rapport

k

est la com-posée d’une homothétie de rapport

k

et d’une isométrie.

3.

Application

On considère la similitude

s

d’écriture complexe : ,

et l’homothétie

h

de centre

O

et de rapport 2 . Déterminerla nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie

f

telle que .

On considère l’homothétie

h

de centre et derapport

k

avec et l’homothétie de centre et de rapport avec .

1.

Donner l’écriture complexe des homothéties

h

et .

2.

Déterminer l’écriture complexe de la similitude .

3.

Discuter suivant la valeur de la nature et les élé-ments caractéristiques de .

4.

Application :

On considère les homothéties de centre et de

rapport 2 ,

h

2

de centre et de rapport et

h

3

de

centre et de rapport 2 .

a.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

b.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormaldirect , on considère les points

A

et

B

d’affixesrespectives

a

et

b

.

881k---

h s�

z ′ 2iz 1 2i+ +=

s f h�=

89 A a( )k 0> h ′ B b( )

k ′ k ′ 0>h ′

h ′ h�kk ′

h ′ h�

h1 A 1 i+( )

B 2i– ( ) 12---

C 1– 2i+( )

h2 h1�

h3 h1�

90O ; u v , ( )

1.


2.


3.

Montrer que l’écriture complexe de est :

.

et en déduire que est la rotation de centre

O

et d’angle .

4.

Application

Quelle est la nature de dans le cas où :

a.

et ?

b.

et ?

Dans le plan orienté, on donne le triangle

ABC

tel que :

, et .

1.

a. Démonstration de cours

Démontrer qu’il existe une seule similitude directe

S

transformant

B

en

A

et

A

en

C

.

b.

Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de

S

.

2.

On appelle

�

le centre de

S

. Montrer que

�

appartientau cercle de diamètre et à la droite . Construirele point

�

.

3.

On note

D

l’image du point

C

par la similitude

S

.

a.

Démontrer l’alignement des points

A

,

�

et

D

ainsi quele parallélisme des droites et . Construire lepoint

D

.

b.

Montrer que .

4.

Soit

E

le projeté orthogonal du point

B

sur .

a.

Expliquer la construction de l’image

F

du point

E

par

S

et placer

F

sur la figure.

b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?Bac, Amérique du Nord, 2005

OA( )S OA( )

OB( )S OB( )

S OA( ) S OB( )�

z ′ abab------- z=

S OA( ) S OB( )�

2 OB ; O A ( )

S OA( ) S OB( )�a 1 i–= b 1 i+=a 3= b 1 i+=

91

AB 2= AC 1 5+= AB ; A C ( ) � 2

---- =

AB[ ] BC( )

CD( ) AB( )

CD 3 5+=CD( )

Similitudes et suites

Le plan

�

est rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 3 cm.On considère les points

A

,

B

,

C

et

D

d’affixes respectives

a

,

b

,

c

et

d

telles que :

, , et .

1.

Représenter les points

A

,

B

,

C

et

D

.

2.

Déterminer l’angle

�

et le rapport

k

de la similitudedirecte

s

qui transforme

A

en

B

et

C

en

D

.

3.

Donner l’écriture complexe de

s . En déduire l’affixe ducentre I de s .4. Soit M le point de coordonnées et son image par s . Montrer que :

92O ; u v , ( )

a 3= b 1 23--- i+= c 3i= d 1

3--- i– =

x ; y ( ) M ′ x ′ ; y ′( )

x ′ 13--- y– 1+=

y ′ 13--- x 1

3--- . – =

5.

On construit une suite de points du plan enposant :

Pour tout entier naturel, on note

z

n

l’affixe du point

M

n

, eton pose :

et .

a.

Montrer que est une suite géométrique dont onprécisera le premier terme et la raison.

b.

Montrer que est une suite arithmétique dont onprécisera le premier terme et la raison.

c.

Déterminer le plus petit entier naturel

k

tel que :

,

et donner une mesure de l’angle orienté .

D’après Bac, Polynésie, 2004

Mn( )

M0 A=

pour tout entier naturel n Mn 1+, s Mn( ) . =

rn zn 1–= �n zn 1–( )arg=

rn( )

�n( )

IMk 10 3– �

u ; I M k ( )

LES SUJETS

LES RESTITUTIONS DE CONNAISSANCES (ROC)


78

co

mm

e

(au

)

bac

…

Les

sim

ilitu

de

s

Sujet corrigé

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct .Le quadrilatère

MNPQ

est un quadrilatère non croisé et desens direct. Les triangles

MRN

,

NSP

,

PTQ

et

QUM

sontdes triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère

MNPQ

et de sens direct, les sommets des angles droits étantrespectivement

R

,

S

,

T

et

U

.

Partie A

On désigne par

m

,

n

,

p

et

q

les affixes respectives despoints

M

,

N

,

P

et

Q

.

1.

Soit

f

la similitude directe de centre

M

qui transforme

N

en

R

.a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f .b. On désigne par r l’affixe du point R . Démontrer que

, où i désigne le nombre complexe de

module 1 et d’argument .

On admettra les résultats suivants :

,

et ,

où s , t et u désignent les affixes respectives des pointsS , T et U . 2. Démontrer que les quadruplets et

ont le même isobarycentre.

3. a. Démontrer l’égalité .b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments

et , d’une part, et pour les droites et , d’autre part ?

Partie B

1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans lapartie A, qu’il existe une unique rotation g qui transformeR en S et T en U .2. Décrire comment construire géométriquement le point� , centre de la rotation g .

Géométrie plane

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD decentre O . Soit P un point du segment distinct de B .On note Q l’intersection de avec . Laperpendiculaire � à passant par A coupe enR et en S .1. Faire une figure.2. Soit r la rotation de centre A et d’angle .

a. Préciser, en justifiant la réponse, l’image de la droite par la rotation r .

b. Déterminer les images de R et de P par r .c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ etAPS ?

3. On note N le milieu du segment et M celui dusegment . Soit s la similitude de centre A , d’angle

et de rapport .

a. Déterminer les images respectives de R et de P par s .b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décritle segment privé de B ?c. Démontrer que les points M , B , N et D sont alignés.

D’après Bac, Antilles, 2004

D’après Bac, Sujet national, 2005 c Corrigé p. 112

93O ; u v , ( )

r 1 i+2

----------- m 1 i–2

----------- n+=�2----

s 1 i+2

----------- n 1 i–2

----------- p+= t 1 i+2

----------- p 1 i–2

----------- q+=

u 1 i+2

----------- q 1 i–2

----------- m+=

M N P Q, , ,( )R S T U, , ,( )

u s– i t r–( )=

RT[ ] SU[ ] RT( )SU( )

94

BC[ ]AP( ) CD( )

AP( ) BC( )CD( )

�2----

BC( )

PS[ ]QR[ ]

�4---- 1

2-------

BC[ ]

Autour de similitudes indirectes

Soit le repère orthonormal direct du plancomplexe. Les points

A

, ,

B

et sont définis par

leurs affixes respectives :

; ; et .

1.

a.

Faire la figure en choisissant pour unité graphique1 cm.Montrer que est un rectangle.

b.

Soit

s

la réflexion telle que et . Onnote son axe. Donner une équation de la droite et latracer dans le plan complexe.

c.

On note l’affixe du point image par

s

de point

M

d’affixe

z

. Montrer que :

.

2.

Soit

g

l’application du plan dans lui-même qui à toutpoint

M

d’affixe

z

associe le point

P

d’affixe définiepar :

.

a.

On note

C

et

D

les images respectives de

A

et

B

par

g

; déterminer les affixes de

C et D et placer ces points dansle plan complexe.b. Soit � le point d’affixe et h l’homothétie decentre � et de rapport . Montrer que C et D sont lesimages respectives de et par h .c. Soit M1 , d’affixe z1 , l’image de h de M , d’affixe z .Donner les éléments caractéristiques de et exprimer zen fonction de z1 .

3. On pose .a. Déterminer l’expression complexe de f .b. Reconnaître f . En déduire une construction du point P ,image par g d’un point M quelconque donné du plan.

D’après Bac, Amérique du Nord, 2004

Avec des triangles semblables

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées defaçon indépendante.

Première partie

ABC est un triangle direct du plan orienté. On désignerespectivement par I , J et K les milieux de , et et soit � un réel.d1 est l’image de la droite par la rotation de centre Iet d’angle � .d2 est l’image de la droite par la rotation de centre Jet d’angle � .d3 est l’image de la droite par la rotation de centre Ket d’angle � .A1 est le point d’intersection de d1 et d3 , B1 celui de d1et d2 , et C1 celui de d2 et d3 .

1. On appelle H le point d’intersection de et d1.Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sontsemblables.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct .

A – Construction de la figure

1. Placer les points , , , , et .

95O ; u v , ( )

A ′ B ′

zA 1 2i–= zA ′ 2– 4i+= zB 3 i–= zB ′ 5i=

ABB ′A ′s A( ) A ′= s B( ) B ′=

� �

z ′ M ′

z ′ 35---

45--- i+

z 2i 1–+=

z ′

z ′ 65---–

85--- i–

z 5 i–+=

1 i+2–

A ′ B ′

h 1–

f h 1– g�=

96

AB[ ] BC[ ]CA[ ]

AB( )

BC( )

CA( )

BC( )

O ; u v , ( )

A 4– 6i–( ) B 14( ) C 4– 6i+( )A1 3 7i–( ) B1 9 5i+( ) C1 3– i–( )


79

2

co

mm

e

(au

)

bac…

Les similitudes

2.

Calculer les affixes des milieux

I

,

J

et

K

des segments , et . Placer ces points sur la figure.

3.

Montrer que

A

1

,

l

,

B

1

sont alignés.On admettra que

B

1

,

J

,

C

1

d’une part et

C

1

,

K

,

A

1

d’autre part sont alignés.

4.

Déterminer une mesure en radians de l’angle .On admettra que :

et .

5.

Quelle est l’image de la droite par la rotation de

centre

I

et d’angle ?

B – Recherche d’une similitude directe

s

transformant

ABC

en

A

1

B

1

C

1

On admet qu’il existe une similitude directe

s

transformantles points

A

,

B

et

C

respectivement en

A

1

,

B

1

et

C

1

.

1.

Monter que l’écriture complexe de

s

est :

,

où

z

et désignent respectivement les affixes d’un pointet de son image par

s

.

2.

a.

Déterminer le rapport et l’angle de

s

.

b. Déterminer l’affixe du centre � de s .

3. Que représente le point � pour le triangle ABC ?D’après Bac, Inde, 2003

Un alignement particulier

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ,unité graphique : 1 cm.On considère la transformation f du plan qui a tout point Md’affixe z associe le point d’affixe telle que :

.

1. Montrer que f est une similitude directe dont le centre �a pour affixe i . En déterminer le rapport et l’angle.

2. Soit M0 le point d’affixe :

.

Calculer �M0 et donner une mesure en radians de l’angle .

3. On considère une suite de points définie pour toutentier naturel n par . On appelle zn l’affixedu point Mn .a. Placer les points � , M0 , M1 , M2 , M3 et M4 .b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :

.c. Pour tout entier naturel n , calculer �Mn , puis déter-miner le plus petit entier naturel n tel que :

.

4. a. On considère l’équation :

où x et y sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié quele couple est solution, résoudre l’équation .b. Soit � l’ensemble des points M du plan d’affixe z telleque et . Caractériser géomé-triquement � et le représenter. Déterminer l’ensemble desentiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droited’origine � dirigée par le vecteur u . Préciser son plus petitélément.

D’après Bac, La Réunion, 2003

AB[ ] BC[ ] CA[ ]

IB ; I B 1 ( )

KA ; K A 1 ( ) � 4

---- = JC ; J C 1 ( ) � 4

---- =

AB( )�4----

z ′ 12---

12--- i+

z 2 2i–+=

z ′

97O ; u v , ( )

M ′ z ′z ′ 3 i+( )z– 1– i 1 3+( )+=

z03

4-------

34--- i+=

u ; � M 0 ( )Mn( )

Mn 1+ f Mn( )=

zn i– 2nei 7n�

6-----------

z0 i–( )=

�Mn 102�

7x 12y– 1= E( )

5 ; 3 – – ( ) E( )

Im z( ) 1= Re z( ) 0�

Similitudes et arithmétique

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect . On considère l’application

f

qui, à toutpoint

M

d’affixe

z

, fait correspondre le point d’affixe telle que :

.

1.

On note

x

et ,

y

et les parties réelles et lesparties imaginaires de

z

et .Démontrer que :

2.

a.


f

.

b.

Quelle est la nature de l’application

f

?

3.

Déterminer l’ensemble des points

D

des points

M

d’affixe

z

tels que soit réel.

4.

On cherche à déterminer les points

D

dont les coordon-nées sont entières.

a.

Donner une solution particulière appartenant à

�

2

de l’équation .

b.

Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à

�

2

del’équation .

5.


M

d’affixe tels que et . Le point a pour affixe .

Déterminer les entiers

y

tels que et soient entiers.

D’après Bac, Inde, 2005

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormaldirect . On prendra 5 cm pour unité graphique.Soit

f

la transformation qui, à tout point

M

d’affixe

z

, asso-cie le point d’affixe définie par :

.

1.

Justifier que

f

est une similitude directe dont on pré-cisera le centre

�

(d’affixe

�

), le rapport

k

et l’angle

�

.

2.

On note

A

0

le point

O

et, pour tout entier naturel

n

, onpose .

a.

Déterminer les affixes des points

A

1

,

A

2

et

A

3

puis pla-cer les points

A

0

,

A

1

,

A

2

et

A

3

.

b.


n

, on pose . Justifierque la suite est une suite géométrique puis établir que,

pour tout entier naturel

n

, .

c.

À partir de quel rang

n

0

tous les points

A

n

appartien-nent-ils au disque de centre

�

et de rayon 0,1 ?

3.

a.

Quelle est la nature du triangle

�

A

0

A

1

?

En déduire, pour tout entier naturel n , la nature du triangle .

b.


n

, on note

�

n

la longueur de laligne brisée .On a ainsi : .Exprimer

�

n

en fonction de

n

. Quelle est la limite de la suite ?

D’après Bac, Pondichéry, 2006

98

O ; u v , ( )M ′

z ′

z ′ 3 4i+5

--------------- z 1 2i–5

--------------+=

x ′ y ′z ′

x ′ 3x 4y 1+ +5

------------------------------=

y ′ 4x 3y– 2–5

----------------------------- . =

z ′

x0 ; y 0 ( )4x 3y– 2=

4x 3y– 2=z x iy+=

x 1= y �∈ M ′ f M( )= z ′Re z ′( ) Im z ′( )

Utiliser les congruences modulo 5.

99O ; u v , ( )

M ′ z ′

z ′ 12---

12--- i+

z 1+=

An 1+ f An( )=

un �An=un( )

un 2 12

------- n

=

�AnAn 1+

A0A1A2 … A n 1 – A n�n A0A1 A1A2 … A n 1 – A n + + + =

�n( )


80

Un a

utr

e r

egard

La stéréographie est un procédé qui consiste à recréer un relief à partir d’une image en deux dimensions.

Ce procédé est basé sur le fait que les yeux sont espacés de quelques centimètres et qu’ils donnent une imagelégèrement différente que le cerveau corrige aussitôt.

Fermez un œil et essayez de verser de l’eau dans un verre, il est peu probable que vous réussissiez.

Pour créer le relief, on utilise le principe de la vision double.

●

Regardons deux images identiques normalement (

O

1

et

O

2

repré-sentent les deux yeux).

L’homothétie de centre

O

1

qui transforme

A

en

A

1

, transforme

B

et

C

respectivement en

B

1

et

C

1

.

De plus, d’après les propriétés de l’homothétie, si on a :

, alors .

Le raisonnement est analogue pour l’œil

O

2

.

●

Regardons deux images identiques en louchant face à l’une de ces images. L’effet produit est, alors de déplacerla position du point

B

.

En louchant, on crée une vision en relief.

Pour créer un stéréogramme, on constitue uneimage composée d’une répétition très nombreused’une même séquence.

Art de voir en relief une image : la stéréographie

O1

O2

C1

A1

B1

A

B

C

A’

B’

C’

AB 13--- AC= A1B1

13--- A1C1=

O1

O2

C1

A1

B1

A

B

C

A’

B’C’

p080-regard.fm Page 80 Vendredi, 19. mai 2006 12:00 12

Les similitudes

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