Le soluzioni di Girolamo Saccheri e Giovanni Ceva al ‘Geometram quaero’ di Ruggero Ventimiglia:...

Le soluzioni di Girolamo Saccheri e Giovanni Ceva al 'Geometram quaero' di Ruggero Ventimiglia: Geometria proiettiva italiana nel tardo seicento

ALDO BRIGAGLIA & PIETRO NASTASI

Memoria presentata da D. T. WHITESIDE

Abstract

GIROLAMO SACCHERI'S first printed work, his Quaesita Geometrica of 1693, has always been considered a minor one. It is not our intention wholly to reverse this judgement, but it is our considered opinion that it is something a deal more than a mere student's exercise. Above all, the solutions of its first two problems gave SACCHERI, helped by his friend and colleague GIOVANNI CEVA, the opportunity to rediscover, by a systematic employment of the properties of harmonic and anharmonic ratio, many important theorems of DESARGUES, LA H~RE, and others. We accordingly stress that this work is an extension of CEVA'S most famous book, his De lineis rectis, written fifteen years earlier.

The recent edition, moreover, of NEWTON'S manuscript work on "Geometria", and WHITEStDE'S careful notes upon it have given us a new slant on the "refound" interest in classical geometry during the latter seventeenth century. We have com- pared SACCHERI'S book with standard contemporary equivalent works, in Italy itsef (especially ones by BORELLt and VIVIANI) and elsewhere in Europe (notably ones by LA HIRE and NEWTON). w e have now verified to our satisfaction not only that the development of CEVA'S and SACCHERI'S mathematical thinking derived in an organic way from the study of the pole-polar properties of conics in the Italian tradition, but that they were also greatly influenced (in their search for unifying theoretical principles) by the ideas of REN~ DESCARTES even while refusing to follow his preference for algebraic technicalities.

We give, finally, a brief sketch of RUGGERO VENT~MIGLIA, a man now all but forgotten, but who is shown by his Enodationes duodecim problematum of 1690 to have been following a program of projective study of "Analysis Geometrica", one which his premature death (at the age of 28) made impossible to pursue to completion.

§ 1. Nel 1693 usciva a Milano la prima pubblicazione matematica del gesuita GIROLAMO SACCHERI: i Quaesita Geometriea a eomite Rugerio de Vigintimilliis omnibus proposita [29]. Si tratta di un opuscolo di sole 37 pagine, ma ricco di

8 A. BRIGAGLIA & P. NASTASI

contenuti. D o p o la dedica al vicer6 spagnolo di Milano, in cui l 'autore dichiara di aver risolto i Quesiti nello spazio di due giorni (in realtor non 6 propr io cosi), segue il consueto Appello al lettore (Geometra perb, per sottolineare la natura specialistica dell 'opuscolo). Noi eviteremo di trascrivere, perch6 facilmente reperibile in t raduzione francese ([5]), questa parte dello opuscolo saccheriano che pure r i teniamo documento insostituibile per attestare l 'a tmosfera culturale in cui lavorava il g ruppo milanese della fine del '600 (i fratelli GIOVANN~ e ToM- MASO CEVA, 10 stesso SACCHERI e PIETRO PAOLO CARAVAGGIO l) e soprat tut to l ' i t inerario culturale del SACC~ERI che si concluder~ col ben noto Euclides ab omni naevo vindicatus (Milano, 1733). N o n ci pare infatti che sia stata prestata mol ta attenzione alia genesi delle idee che il SACCHERI andrh sviluppando dalla Logica demonstrativa 2 al gi~t r icordato Euclides. Ci pare invece che nel citato appeUo al Lettore, il matemat ico gesuita abbia espresso con molta chiarezza la comprensione del fat to che attraverso lo studio per esempio del rappor to a rmonico si poteva creare una dottr ina uniforme e abbastanza generale. Quanto in tale dire- zione il g ruppo milanese possa essere stato influenzato da PHILIPPE DE LA HIRE 6 cosa sulla quale r i torneremo pi/a in lh attesi i legami che il parigino (dopo la

1 SuU'ambiente scientifico italiano a cavallo t ra i l XVII e il XVIII secolo cf. UGO BALDINI, 'L'attivith scientifica nel primo Settecento' ([23] pp. 467-529). Sui fratelli GIOVANNI (1648--1734) e TOMMASO (1648--1737) CEVA vide [19], 2, pp. 460-62 e [20], pp. 758-59. Su GiovanNI CEVA cf. anche la biografia curata recentemente da BALDINI per il Dizionario Biografico degli ltaliani (vol. 24): la sua opera pifl originale 6 certamente De Lineis Reetis [6] sulla quale cf. soprattutto [9]. PIETRO PAOLO CARAVAGGIO (1659--1723) ~ figlio di un altro matematico di ugual nome al quale succedette come insegnante di matematica nelle "Scuole Palatine" di Milano. I1 LORIA ([19], 2, p. 461) lo cita solo per una sua dimostrazione puramente geometrica del teorema di CEVA. Mai l CARAVAGGIO ~, Ira i matematici minori della seconda meth del XVII secolo, figura tutta da studiare anche per gli stretti legami che intrattenne con CWVA e SACCHERI e con l'ambiente fiorentino gravitante attorno a VlVlANL In una sua lettera a quest'ultimo, del 12 gennaio 1694 (cf. Bibl. Nazionale di Firenze, mss. Gal. 257, cc. 136-37), il CARA- VAGGIO testimonia come in quel torno di tempo il gruppo milanese studiasse a fondu le opere matematiche di DESCARTES ("Non di menu vado ordinando certe piccole consi- derazioni fatte supra i Luoghi piani, e solidi di Renato des Cartes per darle fuori ..."), cosa che andrebbe meglio studiata anche per stabilire l'influenza di questo filone sullo sviluppo del pensiero di SACCHERI che GUIDO GRANDI definirh "per 7/8 cartesiano" (cf. L. TENCA, 'Relazioni fra Gerolamo Saccheri e il suo allievo Guido Grandi', Studia Ghislerianct, (4) 1, 1952, p. 23). Su CARAVAGGIO, soprattutto dal punto di vista biobiblio- grafico, ancora utile 6 [2]; in attesa di studi specifici, pub utilmente consultarsi anche [20] pp. 755-56. Aggiungiamo infine che il VENTIMIGLIA pub aver conosciuto le opere del CARAVAGGIO, che egli cita in [32] p. 16, e cio6 quando non lo aveva ancora conosciuto personalmente, perch6 esse erano note nell'ambiente meridionale tramite l 'opera di diffnsione del bibliotecario del granduca di Toscana (ef. AMEDEO QUONDAM & MICHELE RAK, Lettere dal Regno ad Antonio Magliabechi, Napoli, 1978, p. 792 dove perb i curatori scambiano il CARAVAG6IO per il pi/a noto pittore MICHELANGELO MERIS0.

2 Un'analisi dettagliata di quest'opera 6 stata fatta da A. I. ERNCH in Scripta Mate- matica, 3, •935. L'ERNCH dedica perb solo una nora all'opera da noi esaminata.

Geometria proiettiva italiana nel '600 9

sua giovanile presenza nel nostro paese del 1660-64) mantenne con gli ambienti matematici italiani e segnatamente col VIVIANI 3.

Rinviando all'Appendice per il testo completo dei Problemi di RU~GERO VENTIMIGLIA, occorre dire che il loro carattere organico non sfuggl al SACCHERI che dichiara fin dalle prime battute di essersi dedicato allo stesso scopo a cui il proponente sembrava aver destinato i suoi Quesiti, "turn qubd eiusdem fere aetatis sumus, tum quod in eundem scopum, in quem puto ipsum inventa sua destinasse, ego pariter multum operae studijque posuerim" ([29], A d Lectorem). Non si tratta quindi di problemi dati a caso, ma di problemi articolati ad un fine preciso, che sottintendono un programma preciso, un programma su cui in quegli anni SACCm~RI andava studiando accanitamente. E' quindi scopo di questo lavoro cercare di chiarire tale programma che BOSMAYS non ci pare abbia colto appieno.

Gih il testo stesso dei sei problemi del Geometram Quaero 4 pub darci qualche indicazione in questo senso: essi sono organicamente divisi in tre settori. I1 primo gruppo (formato dai primi due problemi) si riferisce alle proprietor polari delle coniche: tradotti in linguaggio moderno essi costituiscono infatti due ben noti teoremi che occupano un posto di rilievo in qualunque trattazione recente del- l 'argomento. Si tratta infatti dell 'appartenenza del punto d'incontro delle diagonali di un quadrilatero iscritto in una conica alia polare del punto d'incontro di due lati opposti (Prob. 2) e del caso limite del teorema di PASCAL per due coppie di punti consecutivi (Prob. 1). I1 secondo gruppo (Prob. 3 e 4) si riferisce a costruzioni di coniche (loci solidi) con metodi proiettivi. A parte alcune complicazioni tecniche, si tratta di determinare: (Prob. 3) dati un cerchio, un punto a su di esso, una tetra perpendicolare al diametro per a, al variare del punto g sulla retta, il luogo dei quarti armonici tra a, il punto c di intersezione tra a g e d il cerchio, e g stesso (il risultato ~ una iperbole); (Prob. 4) date due rette ( r e d s), un angolo ~ ed un punto D fuori di esse, il luogo del terzo vertice M di un triangolo che ha due vertici (A, N) che scorrono su s ed r rispettivamente in modo da essere allineati con C, N = z~--o¢ ed M determinato dalla proporzione AM : AC = AC : CN, con N punto d'intersezione tra AC e la retta r (il luogo richiesto 6 in genere una parabola). Infine i problemi 5 e 6 sono entrambi problemi di inserzioni: il 5 °, dati due cerchi condurre una tetra secante il primo e tangente il secondo in modo che chiamati A, B, C i punti d'intersezione, siano in rapporto dato AB con BC; il 6 °, date due rette e un punto P, trovare il cerchio passante per P, tangente la prima retta e secante la seconda in modo c h e l a corda sia di lunghezza data.

3 Cf., presso la Bibl. Nazionale di Firenze (ross. Gal. 256, cc. 100 e 197), le due lettere di LA HIRE a VIVIANI datate rispettivamente Parigi 9/9/1692 e 30/11/1702. La prima di esse si riferisce in particolare al noto problema di VlVIANI sulla quadratura delle volte ed 6 riprodotta in L. TENCA, 'Sulla risoluzione dell'Enigma di Vincenzo Viviani in lettere sue e di suoi contemporanei', Rendiconti dell'lstituto Lombardo di Scienze e Lettere, (3) 86, 1953, p. 120.

4 I1 VENTIMIGLIA propose i problemi risolti poi da SACCHERI con un opuscoletto di tal nome (cf. ([33]) che a noi 6 riuscito impossibilefinora ritrovare. L'unica traccia di esso si ha in [30] cib che pu6 spiegare come i locali biobibliografi l'abbiano talvolta indicato con altri titoli.

I0 A. BRIGAGLIA 8~; P. NASTASI

Esaminati i problemi non ~ difficile rendersi conto dello scopo che anima il proponente: si tratta di trovare le proprietor (di tipo proiettivo) pih generali rela- tive al rapporto armonico per applicarle allo studio sistematico delle coniche, e quelle delle inserzioni per applicarle alla soluzione dei problemi di 3 ° e 4 ° grado. Si tratta cio6 di una ricostruzione, attraverso PAPPO, del "luogo risoluto" o della "Analysis Geometrica". Di questo carattere sistematico si accorse immediatamente SACCI~ER~ che commenta cosl ([29], Ad Leetorem):

Illud etiam non rarb contingit ut eadem via plurima proferantur in lucem scitu dignissima; quod evenisse etiam in his solutionibus censeo, in quibus nonnulla Deliaco problemati finitima resolvuntur, & circa rationes harmonicas (quod egregi6 in primis praestitit Ioannes Ceva) long6 plura reperta sint quam huc usque ab antiquis et recentioribus factum fuerit.

Crediamo sia soprattutto da notare la sottolineatura entusiastica circa l'uso del rapporto armonico e la convinzione che in tale lavoro si trovino molte pica sue proprieth di quanto finora fatto. SACCHER~ non conosce probabilmente i lavori di DESARGUES e PASCAL, m a i l tono entusiastico (cosl raro in un uomo tanto schivo e restio a pubblicare) non ammette dubbi: egli ~ convinto di aver trovato qualcosa di portata assai generale e non soltanto di aver risolto qualche problema interessante. E per tale motivo che egli pubblica con gran fret ta-- come gi~ rilevato da BoSMANs--un'opera tutt 'altro che perfetta (ben due problemi su sei sono incompiuti). In effetti egli ritiene che basterebbero i primi tre problemi (che sono trattati in modo di gran lunga migliore degli altri ed occupano ben 19 pagine su 34) a dare significato universale alle sue soluzioni.

Prima di entrare con qualche dettaglio nel merito delle soluzioni di SACCHERI, ci sembra utile riprendere l'esame dei problemi per coglierne piia a fondo il filo logico alla luce di quel pochissimo che sappiamo sulla personalitS~ del proponente. Esamineremo un pb pifi da vicino la prima delle coppie dei problemi proposti da VENTIMIGLIA.

Che i primi due problemi diano luogo a metodologie di grande significato per Io studio polare delle coniche non ~ difficile a vedersi e pub essere interessante notare come nel XIX secolo un matematico napoletano, NICOLA TRUDI, abbia mostrato che un suo teorema--sostanzialmente coincidente col primo problema-- possa assolvere al ruolo di Teoremafondamentale in una sua trattazione organica delle coniche [31], cio~ contenga come conseguenze immediate un gran numero di proprietg polari delle coniche. D'altra parte quel teorema si ritrova hell'Al- gebra (pubblicata nel 1748) di MACLAURIN cui CREMONA 10 attribuisce ([10], p. 97) ed 6 in effetti uno dei pi~ significativi di tutta la teoria.

Che cib non sia un risultato occasionale, ma frutto di uno studio sistematico della questione, si pu6 vedere confrontando con quanto scritto da VENTIMIGLIA nella sua sola altra opera matematica rimasta. Una volta infatti si citano degli "Scholii nostri" all 'opera di PAPPO ([32], p. 6) e pi~ avanti si afferma "ut ostendam Deo favente in Pappo Alexandrino ad geometricum candorem redacto" ([32], p. 12). Ed ~ proprio questo l'obiettivo che SACCF~ERI dichiara di voler condividere con VENTINIGLTA e che a ragione considera di importanza particolare: ritornare sull'opera di PAPPO (e quindi sulle opere smarrite di APOLLONIO e sulla cosiddetta


'Analysis Geometr ica" dei greci) per dargli quel rigore e quella organicit~t che mancavano nell 'opera arrivata mutila, tronca e tradotta in modo non perfetto dal COMMANDINO e che tuttavia nelle sue indicazione, che FERMAT trovava "verbis tamen aut obscuris aut sane interpretis minus perspectis", sembrava contenere una gran massa di risultati preziosi.

Poich6 non basta un programma enunciato a parole per dare contenuto e supporto alia nostra interpretazione, ci fermeremo brevemente sulle Enodationes [32] di VENTIMIGLIA. Esse riguardano dei problemi, noti in letteratura come "problemi dell 'olandese" ([1]), proposti 16 anni prima. A differenza dei precedenti solutori, VENTIMIGLIA, allora ventenne, li risolve con un uso sistematico del rapporto armonico e della "Sectio determinata" di APOLLONIO 5. II nesso profondo che problemi del genere hanno con 1' "Analysis geometrica" pu6 essere colto dal posto che ad essi assegna NEWTON nella sua "Geometr ia" inedita. Subito dopo avere esposto la Sectio spatii, NEWTON introduce infatti un paragrafo ("De triangulis datis") in cui cos] si esprime ([24], 7, p. 362)

Si in triangulo aliquo ABC demisso perpendiculo CD, dentur ex his omnibus, nimirum lineis AC, BC, AB, AD, BD, DC, AC 4- BC, AC 4- AB, AD -- BD, AC + BC -t- AB, angulis A, B, C, areis ABC, ADC, BDC, tria quaevis quorum duo sola non dant tertium; ex datis illis tribus datur triangulum.

Daft questi problemi, ed analoghi per i quadrilateri, cosi conclude NEWTON (p. 366) : "Haec sunt fer~ Geometriae principia rectilinea. Quorum usus e praecep- tis sequentibus magis elucescet". I1 genere di problemi delle Enodationes rappre- sentava quindi il banco di prova della raggiunta padronanza dei "rectilinea principia" della Geometria ed un ponte di passaggio verso l 'uso di tali principi nella teoria delle coniche. Non c'6 alcuna soluzione di continuit~t tra le Enodationes e i problemi del Geometram Quaero. D'al t ra parte 6 significativo che anche LEIBNIZ abbia (nel 1676) espresso un punto di vista analogo a quello di NEWTON sulla "Analysis Geometrica" proprio scrivendo a MAGLIABECHI sui problemi dell 'olandese 6.

s CHASLES ([7], p. 42) cita VENTIMIGLIA come uno dei "restitutori" di questa opera di AVOLLONIO. Non ci sembra per6 che egli abbia letto direttamente le Enodationes n~ i Quaesita. Circa le fonti indirette che potrebbero averlo guidato non siamo riusciti ad avere informazioni sufficienti. VENTIMIGLIA viene citato soltanto dalle seguenti fonti coeve: L'HoSWTAL ([17], p. 259), NICOLAS ([25], a proposito di un problema posto da SACCHERI), de OMERIQIJE ([26], p. 257 dove pubblica la soluzione di VENTIMICLIA ad tin suo problema) e G. GRANDI ([14], p. 208 dove gli piace chiamare VIVIAyI "Verus Geo- metra" proprio seguendo l'esempio di VENTIMIGLIA). Comunque queste fugaci citazioni non sembrano spiegare il giudizio di CHASLES.

6 La lettera si trova in [16]. Significativamente, WmTESIDE cita la parte rilevante di questa lettera (ef. [24], 5, p. 30 n.) a proposito delle analogie di punto di vista tra LzmylZ e NEWTON. La posizione di L~mNIZ sulle soluzioni del problema "dell'olandese" potrebbe aver influito sul giovane V~NTINIGLIA (nel 1689 il filosofo tedesco viaggiava per l'Italia) anche attraverso GIOROANO VITALE nel cui piano di lavoro (esposto nel suo Euelide restituto del 1680) si legge (per il tomo IV) la chiara intenzione di "dilucidare la determinata settione, la settione della proporzione, e la settione dello spatio di Snellio, ... la settione de' piani rettilinei, ... le ir~clinationi di M. Ghetaldi, con le tattioni di F. Vieta . . .".


Esaminiamo ora brevemente come nelle Enodationes VENTIMIGLIA risolve il problema I dell'olandese e contemporaneamente il IV, VI e VII (del suo ordine), ci6 che era stato gi/t in parte notato da LEmNIZ e da VIVIANI; sembra anzi al VENTIM[6LIA (cf. Scholion, p. 9) che il problema VI sia "immerito in casu parti- culari propositum". I1 problema I 6 il seguente:

Data differentia segmentorum baseos, una cum ratione, quam habet alterutrum laterum circa verticem ad differentiam eorumdem, datoque alterutro angulorum ad basim, reperire triangulum.

A E B F D

Fig. 1

Ovviamente, occorre distinguere se l 'angolo alia base sia quello col lato minore

o maggiore. Supponiamo per esempio che sia dato l 'angolo [Af)C] compreso

t r a i l lato minore [CD] e la base [AD], e sia A/3C il suo supplementare; divisa AB in E, le si aggiunga il segmento BF in modo che AF : FB = AE : EB = AC : (CD = ) CB (in modo cio6 che AF, F E e FB formino una progressione armonica). Costruito sul diametro EF il semicerchio che interseca in C la semiretta BC e abbassato da C il segmento CD = CB, VENT~MIGLIA osserva che AO, OE ( = OC) e OB formano una progressione geometrica 7 ("continu6 proportionales in geometrica analogia"), cio6 AO : OE = OE : OB, da cui, p o i c h 6 0 E = OC, segue la similitudine dei triangoli AOC, BOC e quindi AO : OC = OC : OB = CA : CB. Si pub dunque concludere che il triangolo richiesto sia ACD nel quale una verifica banale porta a vedere che l a "differenza delle patti della base" 6 proprio AB (essendo per costruzione CD = CB e quindi il triangolo BCD isoscele). Sostan-

7 Infatti 6 facile dimostrare chela met/~ AM di un segmento AC ~ media proporzionale tra le distanze del punto medio M da due punti B,O che dividono AC armonicamente: AM 2 = MO ×MB. Nel nostro caso 6 ovviamente OE 2 = OA x OB e inoltre da A C : C B = A F : F B = A E : E B segue A C : C B = ( A F - - A E ) : ( F B - - E B ) = 2 O E : 2OB. La semplice proprieth indicata (che coincide tra l'altro con la 2 a Prop. del Libro I di [15]) ~ data dal VENTIMIGLIA en passant comeuno scolio a PAPeO e noi pensiamo che si tratti del Lemma XXXIV che il geometra alessandrino fa seguire ai 3 libri dei Porismi (cf. [8], p. 261). Si pub osservare, infine, chela dimostrazione di VgNTIMIOLIA 6 del tutto simile a quella che ARISTOTZLE fa nei Meteorologica, III, 5.

A M B C 0

Fig. N1


zialmente la dimostrazione di VENTIMIGLIA si riduce a questo: se B e d A dividono armonicamente il diametro EF, allora il rapporto delle distanze di un punto C della circonferenza dai due punti coniugati 6 costante e in particolare CB : CA = EB : AE.

Qui 6 rilevante, ai fini del nostro discorso, non solo il fatto che, a differenza di tutti gli altri risolutori del problema, il VENTIMIGLIA usi eleganti metodi basati sul rapporto armonico (si confronti la sua agile dimostrazione con quella assai pesante di VIVIANI), ma 6 anche significativo che egli usi delle proprietor ("scholii nostri") non evidenti n6 completamente dimostrate in PAPPO (qui la Proposizione 160 del Libro VII). Analoghe osservazioni si t rovano di frequente in LA HIRE [15] e un tale lavoro verrh condotto quasi a termine da SIMSON 8.

Abbiamo inserito questa piccola parte deUe soluzioni di VENTIMIGLIA ai "problemi dell 'olandese" perch6 ci sembra che esse chiarifichino almeno in parte l ' intendimento del Geometram Quaero. Anche se non sappiamo molto sulle fonti a cui il VENTIMIGLIA ha attinto per la sua formazione matematica, possiamo certamente riconoscere nella sua impostazione il filo di una tradizione profonda- mente radicata, una tradizione che 6 nel contempo sia locale (soprattutto MAURO- LIco-BORELL 0 che nazionale (soprattutto VIVIANI).

Per quanto riguarda la tradizione isolana, basti qui ricordare la lunga presenza messinese (circa 20 anni) di BORELLI che opera una vera e propria sintesi tra il galileismo, filtrato attraverso il suo maestro romano BENEOETTO CASTELLI, e la tradizione matematica locale impersonata da FRANCESCO MAUROLICO. Non deve quindi sembrare strano associate l 'Apollonius restitutus di MAUROLICO alla con- sumata perizia scientifica e filologica del BORELLI 9 che, in epoca di poco successiva (1661), divenne curatore di una pi/a celebre e completa edizione di APOLLONIO.

del resto ormai indubitabile la cura che il BORELU aveva messo per l'edizione degli Archimedis Monumenta Omnia Mathematica ... ex traditione Maurolyci uscita poi a Palermo nel 1685. BORELLI era quindi non solo interessato alla risco- perta di questa tradizione, ma anche in grado di trattare, in modo corretto, i diversi aspetti dell 'elaborazione mauroliciana di una delle pifa complesse tratta- zioni della matematica greca.

Dell'interesse di BORELLI per i fondamenti logici si 6 recentemente occupato CESARE VASOLI e al suo lavoro r inviamol°; quello che qui vogliamo aggiungere 6 che tale interesse ci pare retrodatabile almeno sino agli '40 quando BORELLI cominicib l ' insegnamento di matematica a Messina. Si potrebbe a questo proposito esaminare la polemica su un problema, analogo a quelli "dell 'olandese", proposto da ANTONIO SANTINI. La polemica in realtor 6 piuttosto uno scontro di scuole, tra nuovo e vecchio: da un lato il pomposo e superficiale PIETRO EMANUELE (tm sacerdote palermitano che scrive anche di alchimia) e dall 'altro DANIELE SPINOLA (che risolve il problema del padre SANTINI utilizzando una proprietfi

a I1 Prof. WHITESIDE ci ha fatto gentilmente osservare che girl THOMAS HARRIOT aveva dato una dimostrazione completa di quella proposizione.

o Su questo aspetto cf. R. MOSCHEO, 'Scienza e cultura a Messina fra 500 e 600: vicende e dispersione finale dei manoscritti autografi di Francesco Maurolico (1494- 1575)', Archivio Storico Messinese, 28, 1977, p. 40.

1 o C. VASOLI, 'Fondamento e metodo logico della Geometria nell'Euclides Restitutus del Borelli', Physis, 11, 1969, pp. 571-598.


geometrica 11 entmciata da GALILEO nella pr ima giornata di [13]) e ALFONSO BORELLI che interviene a fianco dello SPINOLA soprattutto circa gli aspetti logici e metodologici della polemica, sulla quale basti poi ricordare che in sostanza riguarda la corretta posizione di un problema geometrico, della sua discussione diremmo oggi, e del corretto rapporto da porsi tra daft e quesiti. Per molti versi essa si innesta con precisione (corroborata anche da precise citazioni) nel quadro della problematica dell' "Analysis Geometr ica" come sviluppata dalla scuola di VIETE ed in primo luogo da GHETALDI.

D 'a l t ra parte 6 proprio il compendio [4] di APOLLONIO scritto da BORELLI ad aver dato al giovane VENTIMIGLIA (che lo cita esplicitamente) un metodo che doveva rivelarsi assai fruttuoso. Gli Elementa borelliani del 1679 sono particolarmente importanti perch6 introducono una notevole uniter e sistematicit~t nello studio delle coniche. BORELLI infatti non si limita a commentare e suntare il testo di APOLLONIA, mane fa un'esposizione del tutto nuova sia per l 'ordine dato ad essa sia per la coerenza logica dello schema. Come dice egli stesso nella dedica:

Hisce rationibus motus decrevi non textum Apollonij, & Archimedis novis commentarijs explanare (quod alij egregi~ fec~re) nec paraphrasim eorumdem operum construere, sed res ipsas, nemp6 propositiones admirabiles eorum nova methodo breviori, & clariori demonstrare.

In questa linea BORELLI, che cita pih volte come sue fonti primarie CLAUDE MYDORGE e GREGORIUS ~ Sancto Vincentio, riafferma chiaramente di seguire la tradizione mauroliciana:

Post Arabes Fr. Maurolicus Messanensis primo nitidissim6 libros 4. conicorum Apollonij exposuit, quintum & sextum libros proprio marte adinuentos adiunxit anno 1547, deinde lib. 2. de lineis horarijs anno 1553 breviarium conicorum composuit, in quo egregias demonstrationes excogitavit l inearum tangentium sectiones conicas & asymptotarum ...

Questo programma, in cui consiste il filo che abbiamo chiamato di MAUROLICO- BORELLI, 6 basato su brevit~t e rigore, i due capisaldi in cui consiste la eleganza del metodo matematico:

Ne tamen putes erudite lector in hac brevitate me rigorem geometricum nempe demonstrat ionum neglexisse. Nefas enim est nitorem, & prestantiam scientia- rum mathematicarum deturpare, & obtenebrare, adducendo probabiles, & coniecturales rationes loco demonstrationum.

11 La proposizione che lo SPINOLA assume come Lemma per la risoluzione del problema ~ quella secondo cui se quattro punti si separano armonicamente fra loro sopra un retta, il luogo del 4 °, al variare del 3 ° e fissi restando i primi due, 6 una circonferenza. La polemica di cui nel testo 6 tutta contenuta in un volumetto della Bibl. Co- munale di Palermo ai segni 2LI.G.71.


Questo ideale di chiarezza e rigore viene conseguito da BORELLI attraverso la introduzione e l'uso sistematico di quella che egli chiama "conterminalis analogia" (e cio6 il rapporto armonico) e di "effettrices" (cio~ il fascio armonico).

Esaminando le proposizioni del libro di BORELLI si vede subito come esse abbiano potuto costituire la fonte principale d'ispirazione del VENTIMIGLIA. Diamo, a titolo d'esempio, l 'enunciato della Proposizione V per sottolineare la sua somiglianza con i primi due problemi di VENTIMIGLIA:

Propos. V. (est Pars 38. lib. 3. Apo.) Si in Circulo 5. quolibet puncto A ducatur tangens AC; & AE sit perpendicularis ad diametrum FD, occurrentem tan- tenti in C. Dico quamlibet rectam ex puncto C ductam 5- circulo secari conterminali proportione in punctis C, D, E, F.

8

Fig. 2

Abbiamo sottolineato il ruolo avuto da GIOVANNI ALFONSO BORELLI, sulla scia di FRANCESCO MAUROLICO, nel determinare il modo di porsi della tradizione matematica italiana sul problema dello studio delle coniche, anche perch6 pensiamo che allo stesso filone si possa ricollegare la formazione di GIOVANNI CEVA e, per suo tramite, di GIROLAMO SACCHERI. In effetti, l 'opera in esame pub certo considerarsi come il seguito piCa maturo della famosa opera del CEVA [6], quasi contemporanea allo scritto di BORELLI. Che il De Lineis debba ricollegarsi alla tradizione borelliana ~ dichiarato dallo stesso autore sin dall'inizio quando confessa lo stretto legame con il suo maestro DONATO ROSSETTI (a sua volta allievo diretto di BORELLI) "cuius primis institutionibus, si quid in me est bonarum artium, debeo". Gli studi di CREMONA e di CHASLES ci permettono di tralasciare l'esame tecnico dell'opera, la cui importanza 6 stata gis- molto sottolineata. Cib che invece qui conta di rilevare 6 la assoluta continuits- tra lo scritto del 1678 e quello del 1693. Nei Quaesita Geometrica, CEVA e SACCHERI dimostrano con chiarezza che quello del 1678 non 6 stato un episodio isolato: l 'opera piCa recente prover5- che un gran numero di risultati circa lo studio delle coniche si pub ottenere attraverso l'uso delle tecniche proiettive tanto proficuamente escogitate 15 anni prima. In effetti si potrebbe dire che i Quaesita costituiscono il logico coronamento del De Lineis. Esattamente come in ogni moderno testo di geometria proiettiva, le propriets- segmentarie della retta e dei triangoli costituiscono il fondamento su cui costruire l'edificio dello studio sistematico delle propriets- polari delle coniche. Infatti CEVA e SACCHERI non solo risolveranno le questioni generalissime poste

16 A. BRIGAGLIA ,~ P. NASTASI

dal VENTIMIGLIA, ma produrranno anche, nel corso delle dimostrazioni, una serie di risultati fondamentali e oggi notissimi su quelle propriet/~.

Un esame anche sommario delle soluzioni al 1 ° e 2 ° problema del Geome t ram

Quaero dimostra subito come CEVA e SACCrIERI fossero andati ben avanti e cib cite era ancora abbozzato nel 1678 avesse trovato compiuta realizzazione. Inizie- remo dal Problema 2 che 6 appunto uno di quelli risolti anche da CEVA il quale premette alia soluzione il seguente Lemma ([29], p. 4):

In angulo abc sint lineae ce, gd, a f se intersecantes in puncto h. Dico, si cb

fuerit secta in f , g, ita ut cb ad bfs i t ut cg ad gf, scilicet divisa sit in illis duobus punctis harmonic6; etiam ab fore ut secta sit harmonic6 in e, d.

b

t t l

Fig. 3

CEVA darer di questo lemma la dimostrazione col suo noto metodo della costruzione statica, mentre SACCHERI (Scholium, p. 5) ne d~t una geometrica che pub essere cosl sintetizzata:

Condotte le kel , m c n parallele ad af, si ha ab : be = el : ah, ad : de = k e : ah

e quindi anche a b x d e : b e x a d - - - - e l : ke. D'al t ra parte, 6 anche b c : b f =

m c : hf, cg : g f = cn : h f e quindi anche bc x g f : b f × cg = m c : cn; ma per Hp. 6 cb : b f = cg : g f (cio6 cb x g f = b f x cg) per cui m c = cn. Dalla similitudine, poi, dei triangoli (khl, hmn), (elh, hmc) & (ekh, hcn) si vede subito che el : k e = m c : cn 006 el = k e e quindi ab : be = ad : de.

Premesso il lemma suddetto, CEVA cosi risolve il Problema:

Si costruisca il 4 ° armonico g dopo e, d, c, cio6 si faccia eg : gd ---- ec : cd; congiunta g con f la si prolunghi in modo che incontri ab in h. La ab, per il citato lemma, sar/t incontrata in modo che a c : c b = a h : h b ; se si prolunga nei due sensi la gh in maniera di incontrare la sezione conica in m ed i, saranno

Geometr ia proiettiva i tal iana nel '600 17

ques t i i p u n t i di c o n t a t t o delle t a n g e n t i 12 cm, ci. M a la re t ta c l f k 6 i n c o n t r a t a i n f d a l l a c o n g i u n g e n t e i p u n t i di t a n g e n z a m, i, e d u n q u e sarh 13 k c : cl ---- k f : f l .

c

a

k

Fig. 4

2 CEVA si riferisce esplicitamente al metodo di APOLLONIO per tirare due tangenti ad una conica da u n punto esterno T: si t ir ino le secanti TSR e T S ' R ' e siano rispettivamente O e O ' i quarti armonici a T su SR e S 'R ' (cio6 per esempio TS : T R = OS : OR). Se si congiunge O con O', allora P e P ' sono i punt i di tangenza. Cf. [34] pp. 287-88.

T

Fig. N2

t3 I~ la no ta proprieth arrnonica di polo e polare rispetto ad una conica: cio~ se TP e TP ' sono tangenti ad u n a conica e se TSR 6 una secante qualunque che incontr i la conica in R, S, e la PP ' in I, allora TS : T R = IS : IR. C~VA cita esplicitamente la Proposizione 37 del Libro IV deUe Coniche di AVOLLONIO (cf. [34]).

P

R I

T

Fig. N3

18 A. BRIGAGLIA • P. NASTASI

Come si vede; non si pub essere pi~ espliciti nella determinazione delle propriet/~ armoniche di polo e polare, n6 questo 6 un caso isolato: basta scorrere i numerosi lemmi che CEVA premetterh alla soluzione del Problema 1 per vedere applicati ripetutamente, sia in forma diretta che in quella reciproca, quelle proprietY. Purtroppo, motivi di spazio non ci consentono di esporre qui i vari metodi riso- lutivi di CEVA e SACCHERI SU questo Problema 1 che lo stesso SACGHERI definirh "bellissimo sebbene difficilissimo" (p. 14). E tale giudizio del gesuita ligure 6 certamente ben fondato e non esagerato anche perch6, come abbiamo gi~t accennato, esso 6 il ben noto caso limite del teorema di PASCAL.

Esaminiamo allora quei Lemmi di CEVA:

Lemma 1: Si /~ tribus rectis in unum puncture sibi occurrentibus, aliae duae ab uno alio derivantes secentur, sitque earum una harmonic6 secta, altera item harmonic6 dividetur.

A

0 O O"

Fig. 5

Lemma 2: Si recta quaedam secet quatuor rectas in unum concurrentes, & quaecunque alia easdem utcumque intersecet; si earum una h quatuor rectis harmonic6 secta fuerit, altera item harmonic6 divisa erit.

Lemma 3: Secent rectae (ut exhibet figura) hce, cib, ebf, ckf, bkh, hlf. Dico, semper eikl dividi harmonic6, ita ut lk ad ki semper sit ut el ad el.

e

h e b

Fig. 6

Lemma 4: Iisdem positis, non sint cb, h f parallelae, sed productae conveniant in d. Dico utramque cibd, hlfd divisam esse harmonic6.


Lemma 5: Sint harmonic6 sectae fgha, dcba concurrentes in a, iunctisque df, cg, bh; & productis, dico eas (dummodo non sint parallelae) convenire in unicum puncture.

o~

ix c

k f d

Fig. 7

Lemma 6: Si tres lineae fd, cb, eg secuerint harmonic6 duas fegb, ebdh con- venientes in h; dico tres illas se invicem secare omnes in uno eodemque puncto.

Lemma 7: Si sint quatuor rectae tangentes circulum, conicamque sectionem, aut oppositas, ut ca, ab, he, ef; & iuncta cb transeat per occursum e duarum contingentium he, re: dico etiam ah transituram per reliquum contactum f Sed oportet in oppositis sectionibus tangentes ca, ab esse ad partes oppositas tangentibus eh, el, alias fieri non posset. 1~

c

1

Fig. 8

Con l'aiuto di questi 7 lemmi, CEVA perviene alla dimostrazione del teorema di VENTIMIGLIA. SACCHERI si limiter~t a fare alcune precisazioni alla dimostrazione di CEVA: "Huc usque eximius Geometra. Antequam verb alios casus aggrediar,

1, I1 lemma 1 non 6 altro che la Proposizione 145 di PAP1,o ed ~ leggermente pi~ largo di quello gift esaminato a proposito del Problema precedente. Cib ~ naturalmente ben noto al CEVA, il quale perb ne dg una dimostrazione nuova col suo metodo. I1 Lemma 4 ~ sostanzialmente il suo reciproco. I! lettore potr~t vedere facilmente la traduzione in linguaggio moderno di tutti questi Lemmi. Diamo, solo a titolo d'esempio, quella del Lemma 7: se un punto descrive una retta, allora la polare del punto ruota attorno al polo di questa retta.


libuit minuta quaedam, quae ad plenissimam demonstrationem desiderari possent, ulteri/as explicare" (Schol ium, p. 12). Aggiungerh cosi un L e m m a nonum che gli permette, riconfermando ancora (in un caso) la vatidith della sua reductio ad

impossibi lem (p. 14), di arrivare "ad completam demonstrationem". Ma SACCR~RI preferisce affiancare alle dimostrazioni statiche del CEVA dimostrazioni geometri- che. Cosi per esempio affronta la dimostrazione del Lemma 1:

Occorre intanto distinguere il caso in cui gli angoli nab, iam, sono opposti al vertice (come in Fig. 9) da quello in cui essi formano lo stesso angolo (come in Fig. 10). II primo caso 6 risolto facilmente perch6 coincide col lemma precedente, mentre per il secondo caso ragiona cosi: si conduca la retta k lor

in modo che gli angoli nah, lar siano opposti al vertice; sar& k lor divisa armonicamente e dunque anche la k i e m lo sarh.

k k

i I h

h m r ~ " f a m ~ n

Fig. 9 Fig. 10

SACCHE~t che ha colto bene l'importanza che gioca questo lemma (e quelli, tra gli altri, che ad esso si ricollegano per proiezione e sezione), fa a questo punto una osservazione particolarmente interessante per illuminare sul grado di penetrazione raggiunto dal gruppo milanese degli "elementi proiettivi" contenuti nei classici greci. Egli afferma infatti esplicitamente che "Hoc idem express6 demonstratur

Pappo 1.7 Coll. M,~th. prop. 145; quod etiam inferri potest ex eodem Pap. prop. 129. eiusdem lib.". Infatti, continua, PArPO dimostra (comunque sia scelto il punto k) che

kh x nb : kn x hb = k m × ic : k i x inc.

Ma, se per ipotesi, la knbh 6 divisa armonicamente, allora 6: k h : k n = b h : b n , cio6 kh x nb = kn × hb, il che implica che il primo rapporto deve essere uguale ad uno e quindi anche k m x ie = k i x m e cio6 k m : k i = me : ie. Si tratta di un'osservazione particolarmente importante 15 perch6, come 6 stato poi riconosciuto

~s L'importanza, ma soprattutto l'unitariet/t dei problemi 6 ad esempio sfuggita aI BOSMANS ([5]) che pure sottolinea, oltre la difficolth dei Problemi, alcuni elementi di novit~t che essi contenevano come per esempio il Problema 2 ° (del Proponente) "6vi- demment connu des Grecs, mais le souvenir s'en 6tait perdu", che lo stesso BOSMANS riporta in linguaggio moderno:


dalla storiografia sull 'argomento (p.es. CHASLES e PONCELET [27], p. 12), la proposizione 129 del libro VII di PAPPO (e le 136, 137, 140, 142 e 145 che ne sono casi particolari o reciproci) 5, come dice CHASLES ([7], p. 53), alla base "della teoria delle traversali" esprimendo essa la costanza del birapporto. CHASLES, ricercando quali matematici moderni ne abbiano fatto uso, osserva ([7], p. 54):

Pascal l 'a mise, dans son Essai pour les eoniques, au nombre des th6or6mes principaux dont il se servait dans son Trait~ de ces courbes; que Desargues fit, d 'un de ces cas particuliers (qui est pr&is6ment la 137 ~ proposition de Pappus), la base d'une de ses Pratiques de la perspective (6dition de Bosse, 1648, p. 336), e que R. Simson l 'a d6montr6e comme lemme de Pappus, et s'en est servi pour la d6monstration d'une proposition de son Traitd des Po- rismes.

Negli ultimi anni (1822), continua CHASLES, sia BRIANCHON che PONCELET l 'hanno enunciata, ma senza farne molto uso limitandosi al caso particolare in cui le quattro rette formano un fascio armonico.

Che l ' importanza di questa proprietor sia stata riconosciuta anche da SACCHERI ci sembra particolarmente significativo nell 'ambito del nostro discorso. Oltre tutto, l'esplicito collegamento che SACCHERI pone tra i lemmi di CEVA e le proposizioni 129 e 145 di PAVPO evidenzia come il gesuita ligure abbia ben colto il carattere "porismatico" di quei lemmi. Cib rende ancora pifa esplicita la forte somiglianza tra questi lemmi e la ricostruzione fatta da NEWTON dei porismi di EUCLIDE nel 1 ° Libro della sua "Geometr ia" [24]. Un confronto tra le due pre- sentazioni 6 qui fuori luogo e ci limitiamo solo a rilevare come NEWTON si imbatte anche su un teorema analogo a quello di Ceva ad ulteriore riprova dell 'intima connessione tra i due lavori del lombardo.

Prima di passare, perb, all,esame degli altri due gruppi di problemi, preferiamo soffermarci ancora su questo per sottolineare gli stretti legami che possono stabi- lirsi tra le soluzioni di CEVA e SACCHERI ed il trattato di LA HIRE [15] in cui, ovviamente con maggiore organicit~t e sistematicith, viene svolta una esposizione delle coniche estendendo ad esse tutte le propriet/~ del cerchio ricavabili da quelle del rapporto armonico e di polo e polare. Basta scorrere gi~t le prime pagine per rendersene conto: cosi ad esempio il Libro 1 °, che 6 "Ad Sectiones Conicas Lemmaticus", 6 diviso in 3 parti:

Prima Pars rectam harmonic6 divisam definit, & hujus divisionis praecipuas ostendit proprietates.

"Etant donn6 un quadrilat6re inscrit dans une conique, si l'on joint le point de con- cours des diagonales ~t celui des c6t6s oppos6s, le segment de droite ainsi d6termin6 est divis6 harmoniquement par la conique" (loc. cit., p. 412).

Ci sembra particolarmente strana, inoltre, l'osservazione che lo stesso BOSMANS fa a proposito dell'enunciato dei problemi ("il 6tait alors 616gant de faire de l'6nonc6 une 6nigme", p. 413): ci pare invece, a parte qualche inevitabile complicazione nell'enunciato dei luoghi (Problemi 3 ° e 4°), che il testo dei problemi sia di lettura immediata una volta che si sia colta l'intenzione del Proponente.

22 A. BRIGAGLIA ~l; P. NASTASI

Secunda Pars agit de divisionibus rectarum factis ab occursibus aliarum rectarum quae per divisiones rectae ducuntur 16.

Tertia Pars ejusdem rectae cure circulo concursus symptomata varia pate, facit.

Vedremo tra poco come l ' impostazione di LA HIRE coincida anctte nella sostanza con quella di CEvA-SACCHERI, premendoci per il momento affrontare il problema se e quanto il gruppo milanese possa essere stato influenzato dal geometra francese. I motivi gis. esposti, e principalmente la fretta nella pubblicazione di un 'opera tutt 'al tro che compiuta, ci inducono a ritenere che i matematici milanesi non conoscessero l 'opera del parigino, ch~ altrimenti non ci sarebbe stato motivo di nascondere la fonte d'ispirazione quando si pensi che, con molta modestia, SACCHERI riconoscers. (a proposito di un caso del Problema 6, [29], p. 35) il suo debito verso il medico tedesco GIORGIO STEIGERTHAL allora in viaggio per l 'Italia. E probabile, al contrario, una certa influenza dei matematici italiani sul francese (che in Italia aveva passato alcuni anni) al quale, in ogni caso, non mancava nella sua terra, con le opere di DESARGUES e PASCAL e--sul rapporto a rmonico--d i DE BILLY, una ricca tradizione cui attingere idee e metodi, l~ lo stesso LA HIRE a riconoscere solo a due matematici, sull 'argomento delle sezioni coniche, il massimo di lode : uno ~ il gesuita belga GREGORIUS 5. Sancto Vincentio e l 'altro VINCENZO VIVIAN~

qui in argumentum Libri quinti Apollonii, quem nondum viderat, duos libros conscripsit, quibus hunc titulum praefixit De Minimis & Maximis Geometrica Divinatio. Quod si ejus lucubrationes cum Apollonii Libro quinto conferantur, facile perficiemus quantam ille laudem mereatur, & reipsa hunc Apollonii l ibrum ab eo visum n o n fuisse.

E qualche anno dopo, nel 1692, LA HIRE scrivendo al VIVIANI si presenters. proprio ricordandogli questa lode pubblica. D'a l t ra parte non si fa qui problema di priorits, che sarebbero fuori luogo, quanto piuttosto di una somiglianza d'impostazione che va ben al di 15. di un fatto episodico e che immerge il gruppo di matematici di cui parl iamo in un 'atmosfera culturale che negli stessi anni era stata fatta propria anche dai matematici inglesi.

II fatto che il libro I del LA HIRE serva d'introduzione generale per una trattazione uniforme delle coniche ci induce a condurre il confronto con l 'analoga impostazione di CEVA e SACCHERr proprio sulla base di esso. Cosi per esempio il Lemma II di CEVA non 6 che una forma diversa della Proposizione XV della Parte 2 a del libro di LA HIRE che 6 formulata in questo modo:

Si harmonicales, VA, VF, VE, VD secentur 5- recta A D utcumque ducta respectu recta 5. qua formantur: Dico rectam AD harmonic6 dividi ab har- monicalibus in punctis A, F, E, D.

16 LA HIRE chiamer~ "harmonicales" le rette che BORELLI chiama "effettrici", cio~ le rette di un fascio condotte per i punti di divisione di un'altra in parti armoniche.

Geometria proiettiva italiana nel '600

D V

Fig. 11

23

Analogamente, il Lemma 5 di CEVA coincide con la Proposizone XVIII di LA HIRE, cio6

Rectis BE, BH divisis harmonic6, BE scilicet in punctis BCDE, & BH in punctis BFGH; sitque quodlibet B punctum divisionis utrique rectae com- mune, coniunganturque 5. rectis EH, DG, CF caetera utriusque rectae divisionis puncta ~t puncta communi B ordinatim sumpta, id est, primum cum primo ~t puncto B in utraque recta connectatur, secundum cum secundo, & tertium cum tertio, vel reciproc6 quomodocumque, haec puncta sumantur: Dico EH, DG, CF rectas conjungentes puncta convenire in unum & idem punctum V, vel esse inter se parallelas.

V

E O C B

Fig. 12

M a i l confronto pifi interessante riguarda la parte 3 a di questo libro primo. La Proposizione XXI con cui esso si apre e che, come ha notato CHASLES ([7], p. 124), gioca un ruolo fondamentale "dont presque toutes les autres se ddduisent", non figura giustamente nella trattazione del matematico milanese perch6 essa 6 la 37 a del Libro III di APOLLONIO e come tale viene abilmente usata, sulla scorta del Lemma 1, nella risoluzione del Problema 2 di Ventimiglia (essa coincide inoltre con la Proposizione 154--Lemma XXVI--del 7 ° Libro di PAPPO). I1 Lemma 7, invece, coincide mutatis mutandis con la Proposizione XXVIII di LA HIRE:

Esto recta BFGB in plano circuli FHGI occurrens circulo in punctis F, G, ductis FA, GA contingentibus circulum in F & G; si ~ quolibet punctis B rectae FG extra circulum sumptis ducantur contingentes BH, BI: Dico rectas omnes HI conjungentes tactus coire in punctum A in quod contingentes in F & G concurrunt, si recta FG non transeat per centrum circuti, alioquin


contingentes in F & G erunt inter se aequidistantes & perpendiculares rectae FG, & in tali casu rectae HI erunt etiam perpendiculares rectae FG, & ideo inter se parallelae.

8 F

Fig. 13

Ora, secondo l 'ormai da noi abusato giudizio di CHASLES ([7], p. 123), le proposizioni XXI e XXVIII (assieme alle 22, 23, 26 e 27) costituiscono la base della "th6orie des p61es" interamente sistematizzata da LA HIRE. Ed 6 noto che tall propriet~ sono tutte comprese nel teorema di PASCAL sullo esagono iscritto in una conica o da esso deducibili per mezzo della Propositione 131 del Libro VII di PAPPO. E poich6 il lavoro di PASCAL non era conosciuto, spetta a LA HIRE il merito della scoperta di queste belle propriet~ e, aggiungiamo, anche ai geometri italiani che, per vie del tutto indipendenti come noi crediamo, erano pervenuti se non alla stessa generalit~t per lo meno ad un grado di comprensione assai elevato.

A completamento di questa parte riteniamo importante notare come CEVA e SACCHERI ottengano risultati pi/a ampi di quelli strettamente necessari per la risoluzione del problema e che essi inseriscono sotto forma di Corollari e Propo- sizioni. Citiamo per brevit~ solo una Proposizione nel corso della quale dimostrano en passant un bel teorema dovuto a DESARGUES. La Proposizione 6 quella di pag. 8 :

In circulo, conicave sectione, & oppositis sint tangentes db, ab; & ~t contactibus d, a ducantur ad duo perimetri puncta i, h rectae di, dh, ah, ai, quae se intersecent extra curvam in duobus punctis g, k, quae jungantur recta: Dico gk transituram per b, adebque gkb unicam esse rectam; sin autem tangentes parallelae fuerint, esse gk utrisque parallelam.

Di essa, particolarmente interessante 6 il caso in cui (p. 9) i punti b, e, g cadano da parti opposte rispetto alla conica. Usando il Lemma 7, CEVA e SACCHERI pervengono immediatamente al seguente ben noto ed importante teorema di DESARGUES che riportiamo nella formulatione datane da FREGUGUA ([12], pp. 132--33) :


Quando in qualunque conica, per quattro punti a, d, h, i come vertici di un quadrilatero, passano tre coppie di rette aig, dhg; ade, ihe; hka, dki che si intersecano rispettivamente nei punti g, e, k e per due tali punti (p. es. k, g) passa una retta, questa retta rispetto alia conica 6 la polare del terzo punto e.

e

m

"~o a,

Fig. 14

§ 2. Se dai primi due problemi di VENTIMIGLIA passiamo alia seconda coppia, vediamo che essa tratta un altro gruppo di questioni, quelle che sono note come "loci solidi" (allo stesso genere di problemi si riferisce l'Unum ad Omnes). Esa- minando questo secondo gruppo di problemi ci si accorge che essi corrispondono a belle costruzioni dell'iperbole (a partire da un punto e da una retta--i l cerchio accessorio 6 ricavato a sua volta come luogo dalle condizioni del problema--) e della parabola (a partire da due rette, un punto e un angolo). I problemi deter- minano tutti corrispondenze biunivoche tra una retta e la eonica e si possono quindi ben porre in analogia con le costruzioni organiche di NEWTON (Lemmi XX e XXI dei Principia).

Le soluzioni di SACCHERI non sono del tutto soddisfacenti. Per il problema 3 egli determina il cerchio e poi, data l'iperbole, che probabilmente ha determinato algebricamente, dimostra che essa 6 il luogo cercato. Daremo qui di sfuggita la costruzione sintetica di una caso particolare (quando cio6 il segmento assegnato k sia uguale alla distanza t ra i l punto dato e la retta data), per mostrare come essa si riduca al Lemma XXI di NEWTON:

Nel caso da noi accennato prima, la circonferenza risulta tangente alia retta data nel punto A' diametralmente opposto a quello dato. Sia t u n a retta per A e C la sua intersezione col cerchio; sia poi s la retta A'C ep ' la sua simmetrica rispetto ad r. II punto del luogo cercato 6 quello di incontro t r a p ' e t. Infatti le rette per A' (s, p' , r, h) costituiscono un fascio armonico che 6 secato da t in una quaterna armonica (ABCD). Inoltre la corrispondenza tra le rette del fascio A e quelle di A', determinata associando ad una retta su A la simmetrica

26 A. BRIGAGLIA ,~ P. NASTASI

di quella che interseca il cerchio nello stesso punto, 6 tale che i punti del luogo sono intersezioni di rette proiettivamente corrispondenti, e quindi stanno su una conica, che essa sia un'iperbole segue poi facilmente.

p

A

Fig. 15

Per il problerna 4, SACCHERI confessa il suo fallimento ([29], p. 34):

Hucusque persecutus sum hanc feram sua per vestigia, eamque indagine septam teneo. Verhm, quem poscis locurn, Auctor ingeniosissirne, hoc est intirnnurn ipsius latibulurn, scrutari nondurn licuit, neque ulteriCas investigandi facultas datur in studijs long8 dissimillirnis occupato. Habes utique in hoc qualicunque progressu nostro irnaginern illius fabulosi fluminis vestrorum poetarum carminibus celeberrirni, cuius pars quidem patente alveo, pars altera sub terris fluit, ac denique iuxta Syracusas ~ suis latebris exit. Quamo- brern huius ego reconditi problematis, cuius & primarn scaturiginem, & partem itineris non exiguarn in lucern dedi, reliquum cursurn, & postremum exitum ex Sicilia tua, irnrno /t te, unde emanat, enix6 rogo. Sic te novis in diem inventis fortunent sydera; sic insulam istarn non minfls frugum ornni- genfirn qu~trn ingeniorum feracissimam superi irnposterum quietam atque inconcussam servent.

L'incapacit~ di SACCHERI a risolvere completamente il problema, diede occasione al rnarchese DE L'HosPITAL di intervenire sullo stesso. Cosi il DE L'HosPITAL mander/t al Giornale dei Letterati del 1696 (p. 299 et seq.) una lettera annunciante la sua soluzione, rna priva della dimostrazione "perch6 ella ~ alquanto lunga, e per altro i Geornetri versati nelle Coniche facilrnente la troveranno". In effetti il DE L'HoSPITAL darer la dimostrazione cornpleta, rna soltanto per via analitica (cib che non corrisponde n6 al problema del Proponente n8 alle difficolt/~ di SACCHERI), in [17], pp. 254-59 (Exernple IV). A ben guardare perb, l'incapacit~t di SACCHERI a dare una soluzione sintetica al problema 8 relativa. Infatti egli risolve cornpletarnente il caso banale di degenerazione (quando le rette date sono parallele ed il luogo 6 una retta) e successivarnente dimostra: 1 ° che il luogo non


pub avere pifi di due punti in comune con una qualunque retta; 2 ° che se il luogo una conica, questa 5 una parabola, avvicinandosi quindi abbastanza ad una

soluzione sintetica. Interessanti ci sembrano, infine, le due appendici di SACCHER~ e CEVA al

Problema 3, in cui si affrontano i due tipi di problemi inversi. La prima Appendice, dovuta a SACCHERt, db, il modo di costruire, data l'iperbole, il cerchio e la retta del problema di VE~qTIMIGLIA, il che completa la generazione dell'iperbole attraverso questo elegante procedimento; la seconda, di CEVA, ~ molto interessante perch6 d~t il modo, dato un punto P ed una retta r, di costruire al variare di un parametro k (che altro non 6 che la media geometrica tra PA e PB, dove A e B sono i punti d'intersezione tra la generica retta per P e il cerchio) la famiglia dei cerchi C tali che punto e retta siano polo e polare rispetto a C. Questa Appendice, di deriva- zione immediata, dimostra ampiamente la maestria di CEVA nell'uso delle propriefft polari e la sua propensione a ridurre ad esse la visione di ogni problema.

Per quanto riguarda questo secondo gruppo di problemi, non v'6 dubbio che la principale fonte d'ispirazione di VENTIMIGLIA fossero i Loci solidi di VINCENZO VIVlANr, che contengono moltissime generazioni analoghe di coniche e che erano ben not i - -pur nella quasi sconosciuta edizione del 1674--al giovane patrizio palermitano che ne fa ampio uso nelle sue Enodationes. Esamineremo brevemente i rapporti tra i problemi di VENTIMIGLIA e quest'opera del geometra fiorentino perch6 essa rappresenta, senza alcun dubbio, un punto di collegamento non indifferente t r a i l siciliano e il gruppo milanese che, sia attraverso i fratelli CEVA che attraverso PIETRO PAOLO CARAVAGGIO, era in stretto collegamento con VIVIAN[.

L'entusiasmo di VENTIMIGLIA per VIVIANI 5 notevole: dopo averlo pifi volte citato qualificandolo col nome di "Verus Geometra" cosl ad esempio egli si riferisce ad una proposizione desunta dai Loci solidi "ex iis, quae accuratiori methode e postremis Pappi inventis ademit Verus Geometra". Come si vede il giovane siciliano ha colto appieno l'essenziale del programma che non 5 solo di VIVlANI, ma anche dei migliori geometri italiani, BORELLI e CEVA soprattutto, e cio5 rimettere alla luce tutto ci5 che si trovava quasi occultato all'interno dei mille risvolti nascosti nell'opera di PAPeO; questo 5 il programma in cui egli stesso 5 impegnato, il programma che d~t un senso preciso ai problemi da lui proposti.

D'altra parte, il De Locis Solidis di VIVtA~I si prestava, sotto molti punti di vista, a tale programma perch5 esso altro non era che un ampio trattato sulle coniche e soprattutto sulla loro generazione, come luoghi, direttamente nel piano. I1 trattato di VIVlANI contiene moltissime proposizioni che potrebbero aver ispirato VENTIMIGLIA, come ad esempio la Prop. X del 1 ° Libro che afferma che se P indica un punto esterno ad una conica, A, B le intersezioni tra una trasversale per P e la conica, L il punto in cui la trasversale interseca la polare di P e d M il punto medio del segmento PL, si ha B L : L A = P M : M A , proposizione che giocherh un ruolo essenziale in tutto lo svolgimento del primo libro.

Come abbiamo gi~t 4etto i Loci Solidi prendono la forma della "divinatio" del testo smarrito di ARISTEO come puro pretesto per una trattazione nuova delle coniche, trattazione che, pur non possedendo l'eleganza e la sintetica efficacia di quella di LA HIRE, 5 pur sempre assai ricca di nuovi spunti. Si veda p. es. la


sistematica estensione alia coppia di rette di tutte le proprietor delia iperbole di cui sono considerate casi limite ([35], p. 155):

Angulus rectlineus quicumque haberi potest tamquam hyperbola omnium similium et concentricarum angustissima, seu tamquam prima ac minima earum, quibus communis sit Angulus Asymptotalis, et cuius semiaxis trans- versus abit in puncture, in ipsum nempe verticem anguli eiusdem; hunc itaque angulum huc quoque veluti sectionem conicam considerabimus ...

stato, a nostro avviso, proprio la convinzione pervicace che le "restituzioni'" seicentsche fossero mere opere di ricostruzioni filologiche da parte di nostalgici del "vecchio", mentre il "nuovo" si sviluppava ed affermava, a rendere confuse e quasi incomprensibili alcune interpretazioni dell 'opera di VWIANI. Cosi LORIA ([19], 2, p. 268), a proposito dei Loci solidi, si esprime:

Riguardo alia sostanza nulla assicura che quanto 6 ivi esposto rispecchi la teoria delle sezioni coniche nella sua prime fase di sviluppo; e, riguardo allo stile . . . . nulla prova che esso fosse gi~t stato adottato da un matematico vissuto molto prima di Apollonio. Ma se si prescinde dallo scopo che si prefisse il Viviani . . . . si 6 indotti a riconoscere che esso prova esserne l 'autore dotato di preziose qualit~t inventive, onde sorge spontaneo il rimpianto che egli non le abbia applicate ad elaborare i prodotti spontanei della propria fantasia geometrica, piuttosto che sforzarsi a ricostruire edifici di cui non restava che un pugno di cenere.

Ora, 6 proprio qui l 'errore del LORIA: come molti divinatori e ricostitutori delle opere greche perdute, VIVlANI non cercava affatto di ricostruire in modo filolo- gicamente esatto cib che essi contenevano. Dopo aver correttamente collocato ARISTEO molti secoli prima di APOLLONtO, egli utilizza continuamente le Coniche e le sue proprie Divinazioni del V Libro per dimostrare le proposizioni dei Loci Solidi! Non di filologia dunque si tratta, ma di matematica. La forma della "divinazione" 6 legata alia diffusa convinzione, condivisa da FERMAT, LEIBNIZ e NEWTON, che il complesso dei libri smarriti, 1' "Analysis Geometrica", costituisse un tutt 'unico coerente ed uniforme, capace di risolvere in modo sistematico i pi~ svariati problemi geometrici 17.

I1 movimento di pensiero in cui vanno inquadrati VIVIANI, BORELLI, CEVA e la tradizione italiana 6 dunque quello della "restituzione" e della "divinazione" dei classici greci mutili, oscuri o scomparsi, movimento che 6 errato considerare di puro eruditismo e che costituisce uno dei filoni fondamentali della ricerca del secolo. Infatti un pb tutte le concezioni semi-proiettive del XVII secolo riconosce- vano come loro matrice comune lo studio delle coniche di APOLLONIO e soprattutto del VII Libro delle Collezioni di PAPPO. Coloro che avevano pifa approfondito

17 Sull'Analysis Geometrica e sulle sue interpretazioni nel '600, cf. CHASLES ([7], pp. 42, 46) e, ora, anche le articolate note di WrIITESIDE ([24], 7, pp. 200--201 e p. 220 et seq.) ai testi manoscritti di NEWTON SU questo argomento,


tale studio avevano maturato la convinzione che tali opere costituissero soltanto un frammento di una costruzione altrettanto mirabile e completa degli Elernenti euclidei, quella che CnASLES chiama efficacemente la "G6ometrie Sup6rieure" degli antichi e che consisteva nei Dati, nei Porismi e nei Luoghi su di una Superficie di EUCLIDE; nelle Sezioni di Ragione, la Sezione di Spazio, le Tazioni, le Inclina- zioni, i Luoghi Piani, le Coniche e le Sezioni determinate di APOLLONIO ; nei Luoghi Solidi di ARISTEO; e nelle Medie Ragioni di ERATOSTENE.

Ma di tutte queste opere erano pervenute soltanto i Dati di EUCLIDE, le Sezioni di Ragione e le Coniche di APOLLONIO (male Sezioni vennero pubblicate solo nel 1706--posteriormente dunque al periodo considerato--nella traduzione dall 'arabo di HALLEY, mentre per le Coniche ~ noto che il V, V I e VII libro erano stati pubblicati da BORELLI nel 1661 e 1'VIII rester~t smarrito18); per il resto esi- stevano solo le indicazioni contenute in PAPPO. E facile vedere quindi che chi cercava di ritrovare il filo "chiaro e distinto" che unificasse in una metodologia precisa i disparati problemi trattati dai classici greci, era spinto a porre la propria personale elaborazione sotto l'etichetta delle "restituzioni" dei classici smarriti. Non si trattava secondo alcuni di trovare, ma di ritrovare ci6 che era stato ampiamente conosciuto nell'antichith. In ogni caso, ripetiamo, l 'operazione non va riguardata come piatta operazione filologica, ma come una precisa operazione di rilevanza matematica, una operazione che risente in pieno delle concezioni dei moderni ed in particolare di CARTESIO, di cui si condivideva la concezione della geometria come un tutto organico e coerente derivabile attraverso precisi procedimenti logici da un numero assai ristretto di principL Non 6 affatto un caso che alcuni dei moderni fondatori della geometria proiettiva abbiano sentito un legame cosi profondo con le opere classiche (in particolare coi Porismi, di cui CHASLES tenter~t una "restituzione" ancora a meter del XIX secolo !). E comunque un errore considerare le "divinazioni" come un'operazione di nostalgici sempre e comunque in contrapposizione con il "nuovo" rappresentato da CARTESIO: i due punti di vista si intrecciano, invece, molto spesso.

Naturalmente non tutte le "divinazioni" n6 tutto l'interesse per la geometria classica pub ricondursi a quest'ampia prospettiva teorica. Alcune ricostruzioni, in effetti, hanno un sapore quasi esclusivamente filologico e presentano il fascino della singola " t rovata" ingegnosa piuttosto che sviluppi sistematici. Altri autori si sono limitati a ritrovare questa generalit~t e sistematicit~t nell'individuare "lemmi generali" capaci di risolvere un gran numero di problemi diversi, ma senza arrivare ad una visione d'insieme. Un preciso apprezzamento del contributo di ciascun geometra sintetico al ritrovamento di questo filo razionale nascosto nella geometria degli antichi, richiederebbe un esame attento delle singole "divinazioni", esame che non ci risulta sia mai stato fatto (anche per il diffuso pregiudizio di considerarle semplici esercitazioni) e che comunque esula dagli scopi e dall'ampiezza di questo lavoro; in questo momento, perb, ci sembra poter concludere che il programma matematico impostato da DESARGUES e PASCAL, se non fu compreso in tutta la sua profondit~t, era un programma molto sentito dai matematici del XVII secolo e rispondeva ad esigenze largamente condivise.

~a I1 Prof. WI~ITr_Slr~ ci comunica perb che esiste una versione araba di gran parte di questo libro che sarh presto pubblicata.

30 A. BRIGAGLIA 8~; P. NASTASI

Tutti i grandi matematici del secolo hanno pi/J e pi~ volte manifestato il lorD profondo interessamento a questo filone di ricerca. Ad esempio LEIBNIZ ha espresso pill volte punti di vista simili. Nel recensire l'Aritmetica Universalis cosl infatti si esprime (Acta Eruditorum, Nov. 1708, p. 525 cit. in [24], 5, p. 31):

Leibnitianam a Newtoniana hac in re non discrepantem sententiam aliquoties attigimus, quae methodum veterum conservandam judicat, et primaria theo- remata problemataque a recentioribus per novas artes inventas secundum earn a viris doctis Archimedeo exemplo demonstrari vellet, etsi ipsi pariter ac Newtono hoc agere non vacaverit.

Altrove 19 LEIBNIZ sottolinea come lo scopo dell'Analysis geometrica sia proprio quello di ritrovare le certas et constantes regulas tanto della geometria sintetica che di quella analitica, un programma, ripetiamo, di intonazione cartesiana (al- menD sul piano dell'impostazione) e comunque pienamente interno alla visione ideologica del mondo del XVI1 secolo.

I1 filo principale dello sviluppo delle divinazioni 6 indicato con grande efficacia da FERMAT che nel 1658, nel pieno quindi della sua maturith scientifica, cosi scriveva ([11], p. 408):

Monemus tantum Viros Clarissimos ut, sepositis tantispere speciebus Ana- lyseos, problemata geometrica via Euclidea et Apolloniana exequantur, ne pereat paulatim elegantia et construendi et demonstrandi, cui praecipue operam dedisse veteres innuunt satis et Data Euclidis et alii a Pappo enumerati Ana- lyseos libri, quos omni ex parte jam olim supplevimus dum operibus Vietae, Ghetaldi, Snellii.

Sono appunto VIETE, SNELL, GHETALDI ("APOLLONIUS GALLUS", "BATAVUS", "ILLIRtCUS"), FERMAT stesso e poi MAUROLtCO, VIVIANI et alii, a costituire un vero filo d'Arianna attorno a cui si sviluppa to studio delle curve nel XVH secolo alia ricerca di un metodo generale di soluzione dei vari problemi, metodo che diventer& anche quello dello studio dei rapporti intercorrenti tra algebra e geometria. La pubblicazione nel 1660 dell'edizione riveduta da MANOLESSI dell'opera di COMMANDINO [8] aveva gih dato notevole impulso alia ripressa di questi studi. Verso gli anni 1690, poi, quando scrivono CEVA, SACCHERI e VENTIMIGLIA, sembra verificarsi un certo ritorno dell'interesse dei principali rnatematici europei verso i metodi sintetici, proprio perch6 essi sembrano offrire delle metodologie talvolta confrontabili con quelle analitiche. E' proprio degli anni 1690 l'interessamento di NEWTON e DAVID GREGORY per 1' "Analysis Geometrica" e NEWTON progettava e portava quasi a compimento la realizzazione di un testo completo di geometria scritto nel linguaggio classico. Cosi egli infatti si esprime ([24], 7, p. 250, 258):

Sed et Problemata innumera sunt quae per Algebram juxta methodum usita- turn aegerrime perducantur ad aequationem, innumera quae perduci nequeunt, et quorum tamen solutio si quis recte procedat, satis facile e s t . . , Reliquum

\

~9 Nella gi~t citata (cf n. 6) lettera a MAGLIABECHL


est ut scopo et usu horum librorum patefacto restituatur artificium loci resoluti quoad solutionem problematum. Consistit autem artificium illud in prompta cognitione earum quae ex habitus et cognitis dentur vel colligi possit per Poris- mata, et maxim6 locorum.

Non 6 quindi una circostanza fortuita che proprio negli anni '90 VIVIANI ricevesse i suoi pica alti riconoscimenti internazionali quali l'ammissione nella Royal Society e la proposta di DAVIt) GREGORY di ristampare le sue opere. Anzi, crediamo che tali ricononoscimenti siano stati il frutto preciso di un rapporto, sia pur indiretto, che tramite GRmORV, V~WANI ebbe con l'ambiente inglese. La stessa pubblicazione, nel 1701, dei Loci solidi, tanto a lungo tenuti nel cassetto, potrebbe essere il frutto di un sentire come questo genere di studi fosse apprezzato negli ambienti internazionali.

I1 caso piCa significativo, dal nostro punto di vista, ~ quello di LA HIRE che, dopo l'intermezzo dei suoi trattati analitici del 1679, ritorn6 ai metodi sintetici pubblicando nel 1685 il gi~ citato trattato di coniche. Anche SACCHERr sembra avere avuto un itinerario culturale analogo: che egli fosse abituato a trattare i problemi in termini analitici e poi trasferirli in ragionamenti sintetici ~ piCa che un'impressione. Lo afferma egli stesso a proposito del 4 ° e 6 ° problema, ma ci6

evidente anche nel 3 ° dove manca qualsiasi cenno ad una costruzione sintetica e l'iperbole in questione viene prima data a priori, verificando sinteticamente a posteriori che soddisfa le propriefft richieste. Ma cib ~ ancor piCa evidente dalla corrispondenza, in cui SACCHERI ad esempio studia in modo del tutto analitico una sestica non banale 2°. Le testimonianze in nostro possesso, d'altra parte, con- ferrnano che in molti collegi gesuiti, in particolare spagnoli (e Pavia era allora spagnola), la geometria veniva insegnata secondo metodi analitici. Afferma infatti de OMERIQUE ([26], p. 312):

Cum ego in hanc novam methodum incidessim in collegio Gadicensi Societatis Jesu Mathematum Professor Regius erat R. P. Josephus de Canas, ... qui speciosam Algebram qua plene imbutus erat, unicam viam analyticam ad Matheseos penetralia pertingenda esse credebat.

In un certo senso, quindi, negli anni '90, il metodo sintetico rappresenta la "nova methodus" (e il metodo algebrico cartesiano 6, per NEWTON, quello "usitatum"). D'altra parte, gli anni '90 sono anche gli anni dei pi~ grandi successi del calcolo differenziale, ed 6 certamente il problema sollevato dai fondamenti del nuovo calcolo a dare nuovo impulso allo studio dei metodi classici. Crediamo sia probabile che la speranza di NEWTON e LEmNtZ fosse quella di trovare, esaminando piCa a fondo i metodi classici, la possibilit~ di dare piena giustificazione all'uso dei nuovi algoritmi, un pb come la Analysis geometrica di GHETALDI ed OUGHTRED e gli studi di DESCARTES e NEWTON erano riusciti a chiarire in modo soddisfacente i rapporti tra algebra e geometria. In ogni caso, non 6 sorprendente che il lavoro

20 Cf. A. AGOSTINI, 'Due lettere inedite di Girolamo Saccheri', Memorie della Reale Accademia d'ltalia, 2, 1931, pp. 31-48.


di SACCHERI sia strettamente collegato ai suoi interessi circa i fondamenti della geometria che si svilupperanno subito dopo con la Logica demonstrativa e, molto pi/J tardi, con l 'Euclides Vindicatus.

§ 3. Restano da esaminare i problemi 5 e 6 di VENTIMIGLIA, che sono po! quelli in cui pifa netta ~ la cesura t ra i l proponente e i l solutore. Come si vede immediatamente, si tratta di problemi di inserzioni la cui principale caratteristica 6 quella di dar vita o soluzioni piane nel caso del 5 ° e solide nel caso del 6 °. Anche questo tipo di problemi si inserisce perfettamente in un dibattito vivo e serio nel mo- rnento considerato, quello cio~ della costruzione dei problemi di 3 ° e 4 ° grado e quello del significato della esistenza e semplicit~t di una curva.

Cominciamo ad esaminare la posizione di SACCHERL Risolto con facilit/t il 5 ° problema, egli affronta il 6 ° e, dopo averne considerati i casi pi/a semplici, cosl conclude:

Iam dico me non videre quomodo in hoc casu per solam regulam et circinum universaliter solvi possit problema ... Cert~ ego casum hunc calculo analytico saepius expendens, semper in aequationem solidam incidi; quare a Propo- nente ipso Geometricam solutionem desidero atque expecto.

La concezione di SACCHERI ~ quindi quella classica: un problema 6 geometrico nei limiti in cui 6 risolubile per riga e compasso. Comunque SACCHERI sbaglia nell'attribuire al proponente lo stesso suo punto di vista; non 6 infatti strano che VENTIMIGLIA abbia dato un problema "solido" tra quelli proposti. Per chi in effetti si proponeva di ricondurre, attraverso uno studio attento, PAPPO "ad geometricum candorem", i problemi de inclinationibus erano fondamentali. Infatti, hello studio geometrico dei problemi di 3 ° e 4 ° grado, la via fondamentale per distinguere i casi riducibili (e quindi piani) da quelli solidi, era appunto quella di ridurli ad una inserzione nota, di cui si conoscesse la natura. Era ben noto, per esempio, sin dall'antichith che il problema di inserire tra due rette un segmento di lunghezza data il cui prolungamento passi per un punto dato, era equivalente ai problemi classici di terzo grado, mentre quello di inserire tra un lato di un dato rombo ed il prolungamento del lato adiacente un segmento di lunghezza data il cui prolungamento passi per il vertice opposto ai lati prescelti, era un problema piano.

I problemi delle inclinazioni erano pertanto un terreno ideale di studio dei rapporti tra algebra e geometria. Una delle parti pi/~ interessanti del lavoro algebrico di DESCARTES e NEWTON verteva per l 'appunto nel dimostrare la ridu- cibilith ad una inserzione di tutti i problemi di 3 ° e 4 ° grado (cosa questa che VIETE aveva enunciato senza dimosttazione), mentre il "problema del rombo" aveva assunto un valore quasi emblematico nella sua lunga e ricca storia in quanto esso permetteva bene di valutare la laboriosith del procedimento algebrico [che consisteva nel determinare la natura delle radici dell'equazione (x 2 -- k 2) (x + a) 2 -= (2(a + x) cos ~ - - a) ax 2] almeno quando non si facciano gli opportuni

Geometria proiettiva italiana nel %00 33

cambiamenti di variabili 21. Ma alia maggiore eleganza e semplicit~t del metodo geometrico, si contrapponeva la maggiore uniformit~t di quello algebrico. Ripor- tare nei metodi geometrici la stessa uniformit~t di quello algebrico era appunto l'aspirazione di tutti i cultori dell'Analysis geometrica. Ci sia consentito ancora una volta, per chiarire il nostro punto di vista, fare ricorso alla descrizione data da NEWTON dei problemi di inserzione all'inizio del 2 ° Libro della Geometria ([241, 7, p. 382):

Veteres in Geometriam lineas solas receperunt quae per Postulata Geometrica describi possunt, quorum tria Euclides in Elementis posuit, quartum quod est Datum conum dato Piano secare, addiderunt qui de Conicis scripserunt sectionibus. Hin t rectas, circulos et Conicas sectiones in Geometriam receperunt, caeteras curvas eo quod non nisi per instrumenta describuntur appel- larunt mechanicas. Nam curvarum per instrumenta quaevis, etiam circuli ipsius per circinum, et rectae lineae per regulam descriptio mechanica est. Et ideo postularunt earum descriptiones quae in Geometriam receperunt. Non quod hae ab hominibus quatenus geometricae sunt describi possint (quis enim vidit lineam sine latitudine ?) sed quod ex concessa earum descrip- tione, caetera omnia quae Geometrae inde derivant accurat~ consequentur. Quoniam tamen Geometria in usus humanos condita est, ideo linearum quae omnium facillim~ et accuratissim6 per instrumenta describi possunt, rectae nimirum et circuli descriptiones primo loco postularunt. Attamen qui postea postulatum addiderunt de generatione lineae per sectionem Coni haud usibus humanis consulerunt. Nam sectio ilia ob difficilem praxin mechanicam nuda est speculatio, nihil habens cum usibus humanis conjuncture. Qua de causa non male de Geometria forte mereatur qui ejus vice aliud Postulatum sub- stituat cujus effectio mechanica facilior sit quodque ad descriptionem plurium curvarum extendat.

Dopo aver ulteriormente discusso il concetto di semplicit~t e di utilith nella scelta dei postulati, NEW/ON COSl conclude ([24], 7, p. 394):

Fateor tamen hujusmodi postulata fieri posse: "A dato puncto ad datam positione lineam ducere rectam quae datae erit longitudinis: Et a dato puncto rectam ducere cujus pars inter duas positione datas lineas datae erit longitudinis". Atque haec ad omnium planorum et solidorum problematum solutionem sufficiunt.

21 L'equazione 6 ricavata da M. CANTOR in Geschichte der Mathematik, 2, Leipzig, 11892, p. 739, Teubner, 21899, p. 811. Sulla lunga e ricca storia del problema del rombo cf. [34], p. 34 e [24], 1, pp. 509 n. e 510 n. In particolare, l'interesse di NEWTON per il problerna 6 testimoniato dal suo continuo ritornarvi, prima nel caso pig semplice del quadrato (e per via algebrica), e poi (per via sintetica) nel caso generale. Per via algebrica, la riducibilit~t dell'equazione pub essere dimostrata rapidamente ponendo cos c~

oc 1 x c¢

- - - - C O S E C - . 1 --2 sin z --~ e successivamente y 2 x + a 2

34 ~A. BRIGAGLIA & P. NASTASI

Come si vede, questo punto di vista di NEWTON fa delle inserzioni lo strumento fondamentale d i soluzione dei problemi solidi. Risolvere "geometricamente" un tale problema significa appunto "costruirlo" mediante una inserzione. VEN- TIMIGLIA aveva gih dimostrato, su tale argomento, di avere una concezione molto simile riguardo ai problemi solidi. Nelle gi~t citate Enodationes egli infatti risolve con grande sicurezza i problemi "solidi" usando sia inserzioni che intersezioni di ellissi. A tale proposito vogliamo dare un rapidissimo cenno della soluzione data da VENTIMIGLIA ad un easo particolare dell'VIII problema "dell'olandese", perch~ pub dare qualche luce sia sul significato dei suoi problemi sia sulla discussione da lui avviata col gruppo milanese. I1 problema era il seguente:

Data differentia segmentorum baseos, una cum ratione, quam habet quadrature lateris alterutrius circa verticem ad rectangulum sub aggregato ex differentia praedicta, & latere minori, & sub eadem quoque differentia, datoque alterutro angulorum ad basim, reperire triangulum.

C

K A D

Fig. 16

Supponiamo dapprima che il dato angolo (di CBD) sia quello compreso tra la base (BD) e il lato maggiore (BC) e the il quadrato del lato maggiore (BC) stia al rettangolo formato dalla somma di ABe del lato minore con la stessa AB in un rapporto assegnato. Supposto allora che il rapporto del quadrato OB ( ~ BE) al quadrato AB sia assegnato (uguale a quello prima considerato) e descritto il cerchio per i punti A, O, E, tra tutte le linee passanti per A si prenda quella (CF) per cui un estremo (F) 6 sulla circonferenza e l'altro (C) sulla corda EO e che sia uguale a BK, terza proporzionale dopo AB e BO (cio~ BK:BO = BO:AB). Se si tira CF = CA, il triangolo richiesto 6 BCD come si verifica facilmente.

Tutto il problema si riduce quindi all'inserzione di un segmento di lunghezza data ( = BK), tra una retta (CE) e la circonferenza (AEO) passante per A. Ovvia- mente non ~ sfuggita a VENTIMIGLIA la possibilit~ di poter prendere su CE anche un altro punto interno, oltre la soluzione banale rappresentata da B, soddisfa-

Geoemetria proiettiva italiana nel '600 35

cente la condizione richiesta. Egli si affretta quindi a precisare che questo eventuale punto non serve per la risoluzione del problema ([32], p. 12):

C~m a puncto A plures aliquando lineae (quamvis perrarb) aptari queant aequales: ut ostendam Deo favente in Pappo Alexandrino ad geometriae candorem redacto; ubi de duarum medio loco proport ionalium inventione, ac aequa anguli trisectione per Conchilem agitur: atque interim videri potest in Veri Geometrae [cio6 V~VIANI] Enodatione problematum Gallicorum, at tamen si quae semisubtensam BO secarent intra circulum: problema non solvent: nam, licet aliquando esset AB differentia segmentorum baseos, non erit quadratum maioris lateris ad rectangulum sub aggregato ex minori crure, & praedicta AB differentia, et sub hac eadem; verfim ad rectangulum, quod sub aggregato ex minori latere, & excessu praedictae AB differentiae supra minus idem latus, ac sub ipso excessu continetur, ut ratio data.

Si ha l 'altro caso quando, ferme restando le ipotesi di prima, si supponga che venga assegnato il rapporto del quadrato del lato minore al rettangolo formato da A B e dalla somma di AB col lato maggiore. Noi non ci soffermiamo per6 su questo 2 ° caso se non per sottolineare che ~ proprio uno studio attento del 4 ° libro di PAVVO che gli avr~t suggerito, per la sua risoluzione, l 'uso ripetuto del noto teorema che se dal vertice A del triangolo isoscele BAC s'inclina la retta AD alia base BC di esso, il quadrato di un lato AB sara uguale alia somma del quadrato dell'incidente AD e del rettangolo dei segmenti della base, se AD 6 interna ed esso sara uguale alia differenza del quadrato AD e del rettangolo BdC, e Bd ~ esterna 22. A parte l 'uso ripetuto di questo teorema che non viene perb dimostrato, questo 2 ° caso non presenta cose rimarchevoli. Ci preme del resto ritornare su quanto gih notato a proposito della pagina 12, perch~ nello Scholion finale (pp. 15-16) VE~T~MIGL~A conclude il problema osservando c h e l a sua riso- lubilit~t implica un metodo di trisezone che mostra chiaramente la sua natura "solida" :

Coeterum ex demonstratis apparet, non esse Problema cuiusvis hypothesis absolut6 planum; cfim ex solido Nicomedis Porismate celeberrimo ob duarum

22 Infatti, condotta la normale AP alia base, sar/t AB 2 = AP 2 ~- B P 2 e A D 2 =

AP 2 -~ PD 2 e dunque AB 2 ----- BP 2 -- PD 2 e ci06 (per EUCLIDE II, 5) AB 2 -- AD 2 BD × CD. La proposizione si trova in PAPPO ( 4 , Prop. 34) chela usa per la trisezione di un angol0 "sine inclinatione per solidum locum".

A

13 P D C d

Fig. N4


medio loco proport ionalium inventionem; nimirum a dato puncto extra dati anguli latera rectam ducere, ut ab his intercaepta alteri datae sit aequalis: eius solutio ex parte dependeat; quo etiam obtinetur anguli aequa trisectio: quam sequi tamen hac Methodo ita immediat6 demonstrare liceat.

Sia infatfi At~C il supplementare di Ct~D. Si conduca, per esempio in base alla pr ima parte del problema, la retta AC in modo che BC 2 = AB × (AB + AC);

facile vedere che il dato angolo CI3D 6 triplo di ACB. Infatti, se si tira

AE = AC, sar~t AB x EB = BC 2 e quindi ACB = CLUB. Ma, essendo (per

costruzione) EAC isoscele, sara ClUB = AGE e quindi ECB = 2CI~B; essendo

perb CBD angolo esterno del triangolo ECB, sar~t C13D ----- BlOC + ECB =

Bt~C -k 2Ct~B = 3CEB ---- 3CAB.

C

E A B I]

Fig. 17

VENTIMIGLIA conclude dicendo:

Suspicari ergo quoque liceat casum primo loco expositum analytico calculo non expendisse haud vulgarem Analyticum Petrum Paulum Caravaggia solidum esse negantem.

A parte il dimostrare che i problemi del Geometram Quaero nascevano da un preciso confronto con il gruppo milanese (anche se forse non con SACCHERI personalmente) che durava gi~t da qualche anno 2a, la soluzione di questo p r o b l e m a dimostr.a con quanta eleganza VENTIMIGL1A usasse le inserzioni (la dimostrazione che data l'inserzione si pub ottenere la trisezione dell 'angolo 6 comparabile, per sintesi ed eleganza, a quella di NEWTON 24) e di quanto egli fosse superiore al livello medio della cultura matematica siciliana dell 'epoca 25.

23 Dei contatti del VENTIMIGLIA con gli ambienti milanesi, oltre a quanto gi& detto, cf. ar.che il manoscritto (della cui segnalazione siamo grati all'amico UGO BALDINI) della Bibl. Nazionale di Roma, Fondo gesuidco 1387 n ° 35, che ha per titolo Magnesiae Chaos/ Cabalum opus mathematicum ... I1 ms, di 29 cc. scritte solo al recto, ~ sostanzialmente un oroscopo scritto probabilmente in occasione di una causa di successione che oppose il VENTIMIGLIA ai suoi parenti per il possesso dei titoli e dei beni. L'autore dell'oroscopo 6 il milanese CARLO BOSSI.

24 Cf. a tal proposito l'ultima parte dell'Arithmetica Universalis di NEWTON. 2s Per quanto riguarda questo aspetto va segnalata la posizione molto arretrata del

matematico palermitano N1coLb COPPOLA (motto nel 1697 a Madrid, dove insegnb a lungo) sul quale resta il giudizio molto pesante di VIVIAN~ e CARAVAGGIO a proposito


Pub a questo punto essere utile tornare brevernente al punto di vista di SAC- CHERI. Di fronte ai problemi posti dalle continue trasforrnazioni del concerto di "geometrico", NEWTON si pone soprattutto il problerna di salvare, pur nell'al- largarnento di quel concetto, il carattere deduttivo della matematica. Si tratta quindi di allargare il nurnero dei postulati euclidei di costruibilit~ (e quindi di esistenza) degli enti geometrici, in rnodo da realizzare un sistema capace di adeguarsi alle nuove esigenze della maternatica. Questo 6 esattamente il punto di vista di VI~XE gi~t espresso circa un secolo prima 26 e penetrato, crediamo, nel bagaglio culturale di VENTIMIGLIA via BORELLI.

SACCHERI esprime un punto di vista diverso: per lui il problema 6 quello di approfondire il significato ed il rigore della struttura logica della geornetria euclidea e della "logica demonstrativa" che perrnette di concatenate con rigore assoluto le verit~ matematiche ai postulati. L 'uso frequente e sistematico della "reductio ad impossibilern" nei procedirnenti dirnostrativi usati nei Quaesita Geometrica rnostra che il rnatematico gesuita gih nel 1693 era soprattutto interessato a rnettere alla prova quegli strurnenti logici che user~t con tanta rnaestria successivarnente. Ma soprattutto si confronti il taglio della prefazione di SAC- CHERI, da noi gi~t citata, con questa farnosa frase della Logica Demonstrativa: "severa illa methodo quae primis principiis vix facit nihilve non clarurn, non evi- dens, non indubitaturn admitti t ''27. Non crediarno che vi sia bisogno di ulteriori cornrnenti per rnettere in evidenza che con "severa rnethodo" SACCHERI gi~t procedeva nella sua opera giovanile, teso verso la costruzione di una geornetria salda nei suoi assiomi e certa helle sue conclusioni.

Un'ultirna osservazione prima di concludere. Put continuando personalrnente ad impegnarsi lungo una direttrice "classica" hello studio della geornetria, VIVIANI e SACCHERI avevano, crediamo, ormai colto che la linea di tendenza della matematica de1 nuovo secolo portava verso direzioni diverse. C'6, a nostro parere, una precisa connessione tra la "svol ta" che si opera nei giudizi di merito nella Prefazione di VIVIANI ai Loci solidi, in cui si indicano LEIBNIZ ("Ingeniorum

della pretesa del COPPOLA di "correggere ed emendare" l'opera di VIVIANI sulla Forma- zione e misura di tutti i cieli... (Firenze, 1692). Per tale giudizio cf. in particolare la lettera gi~t citata alla n. 1 e quella di VIVIANI al CARAVAGGIO del 22/6/1693 (Bibl. Nazionale di Firenze, Mss. Gal. 253, cc. 151-52). I1 COPPOLA, proprio negli anni 1690-4, aveva scritto diverse opere sulla quadratura del cerchio e sui due classici problemi dell'inserzione di 2 medie proporzionali e della trisezione dell'angolo, argomenti che saranno cari alla trat- tatistica meridionale fino agli anni '10 de1 Settecento come testimonia la ben nota polemica suscitata dal matematico napoletano laAOLO MATTIA DORIA circa la sua pretesa di risolvere con metodo elementare il problema della duplicazione del cubo (cf. F. AMC- DEO, Vita matematica napoletana, Napoli, 1905, 1, p. 52 et seq.). I1 tono conciso ed elegante del giovanissimo VENTIMIGLIA, allora anch'egli residente a Madrid, potrebbe essere il riflesso di una polemica col suo conterraneo che occupava una posizione accademica di grande prestigio.

26 "'POSTULATUM. Ad supplendum Geometriae defectum, concedatur A quovis puncto ad duas quasvis lineas, rectam ducere, interceptam ab iis praefinito possibili quocumque intersegmento . . ." (VI~TE, Opera Mathematica, Leiden, 1646, p. 240).

27 Citata in W. KNEALE & M. KNEALE, The Development o f Logic, Oxford, 1962; trad. italiana, Storia della logica, Torino, 1972, p. 394.

38 A. BR1GAGLIA 8~; P. NASTASI

Phaenicem, & quoniam mea quidem sententia ... gloriosius dici nequit inter Philosophos & Mathematicos, Galileum alterum") e i BERNOULLI ("perspica- cissimos Europae Lynceos") come i veri protagonisti dela metamatica (e tale giudizio deve essere costato un grande sacrificio all 'orgoglio dell' "ult imo allievo di Galilei"), e l'indirizzo nuovo preso dall'allievo di VIVIANI e SACCHERI, GUIDO GRANDI. Se i Loci solidi ed il Geometram Quaero (con le debite differenze almeno di ampiezza) chiudono un 'epoca della matematica italiana, il de Quadratura Circuli et Hyperbolae del Grandi ne apre un'altra, ma tra le due non c'6 un abisso incolmabile I

Acknowledgements. The authors thank Professor A. GUERRAGGIO who has kindly made available a copy of [25]. They are also indebted to Professors U. BALDINI and F. MAISANO and especially to Dr. D. T. WHITESIDE for their helpful suggestions and for reviewing the manuscript.

Appendice

Diamo qui di seguito il testo dei problemi proposti da RUGGERO VENTIMIGLIA COSi come si leggono nel testo di SACCHERI.

Problema " U N U M AD O M N E S " Si super datam positione rectam ita anguli dati vertex feratur, ut alterutrum 6 cruribus semper transeat per datum punctum extra lineam datam; ac in reliquo latere punctum concipiatur ea conditione, ut ad crus inter hoc punc- t u m , & verticem interpositum, crus quod inter verticem & punctum datum est interceptum, rat ionem obtineat eandem, quam habet inclinata ~t dato puncto ad da tam positione lineam in angulo ei super ipsam lato aequali, ad interiectam verticem inter, atque hac inclinatam: describetur utique linea, quam determinare oportet cuius sit generis iuxta Carthesium.

Sia r la retta data di posizione su cui scorra il vertice V dell 'angolo dato MVX, un cui lato passi sempre per M non appartenente ad r; occorre determinate X (e il luogo da esso descritto al variare di V su r) con la condizione che

MV : XV = MS : SV, essendo MSV = M~X.

t

Fig. A1

I sei altri problemi, dal titolo GEOMETRAM QUAERO, sono i seguenti:

1. Duabus rectis contingentibus circulum, conicamve sectionem, aut oppositas; & ~ contactibus per bina perimetri puncta ductis quatuor rectis sese


decussantibus extra perimetrum in alijs duobus punctis, quae jungantur recta: dico hanc transituram esse per punctum, ubi contingentes occurrunt, vel, si non occurrant, ijsdem fore parallelam.

Sia ABCD la sezione conica (cerchio in figura) con A, B punti di contatto delle tangenti ad essa condotte da K, e da essi si conducano le 4 rette AD, AC, BD, DC che si intersecano in S, H. Si tratta di provare che K, S, H sono allineati.

Fig. A2

2. Ab assumpto quovis puncto extra circulum, conicamve sectionem ducantur duae rectae perimetrum secantes in quatuor punctis, quorum opposita connectantur rectis, quae sese decussabunt in puncto intra circulum, vel sectionem conicam, quod cum assumpto puncto jungatur recta; quam dico fore ut sit media harmonica inter eiusdem productae interceptas ~t perimetri concava, & convexa, & puncto extra assumpto.

Sia ABCD il cerchio dato (0 la sezione conica con esclusione dell'iperbole) e si congiunga A con C e B con D che s'incontrino in T, allora PT 6 media armonica tra PK e PH, ci06 P K : P H = K T : TH.

P

Fig. A3


. Investigare locum puncti assumpti in recta transeunte per datum punctum, ac secante rectam positione datam, ut inventfi tertifi harmonicfi ad interiectam inter punctum datum & assumptum, & interiectam inter punctum datum, & rectam positione datam, sit inter hanc, & tertiam ipsam harmonicam media geometrica recta quaedam magnitudine data.

Sia z x la retta data, a il punto dato e k un segmento assegnato; si conducano da a rette come ag secanti z x in g e sia ac la terza armonica dopo af, ag (cio~ af: ac = g f : gc); sei l rettangolo di lati ag, ac ~ uguale al quadrato k, allora f appartiene al luogo richesito. "Ego tamen", dice SACCHERt (p. 16), "ad pleniorem & clariorem solutionem admirabilis problematis deter- minabo etiam locum punctorum c". Si verifica facilmente, ed era noto ai lettori di PAPPO, che il luogo dei punti c ~ un cerchio che, una volta determinato, giustifica la formulazione da noi data nel testo.

.

k

a

Fig. A~

Anguli dati vertex feratur per rectam positione datam, ut crus unum transiens per punctum datum extra rectam, secet alteram rectam positione datam, & in reliquo crure punctum assumatur, ut quadratum interiectae inter punctum datum, & verticem anguli ad rectangulum sub interiecta inter punctum datum, & rectam, supra quam vertex anguli non fertur, in interiectam inter verticem dati anguli, & punctum assumptum, sit in ratione data, vel (quod idem hic est) in ratione aequalitatis: investigandus igitur esto locus puncti assumpti.

Sia s la retta su cui scorre il vertice A dell'angolo CAM, e sia C il punto dato fuori dalle rette r, s entrambe date di posizione; sia N i l punto d'incontro del lato AC con r, e sia M il punto corrente sull'altro lato dell'angolo; a l l o r a C A 2 " CN × AM = rapporto assegnato (se ----- 1, C A 2 = CN × AM e CA ~ media proporzionale dopo CN, AM). Si chiede il luogo del punto M.

$ A

Fig. As


5. Duobus circulis positione & magnitudine datis rectam ducere contingentem unum circulorum; secantem verb alterum, ut & peripherijs dividatur in ratione data.

Se AB 6 la corda sottesa nel cerchio di centro O' dalla tangente AC al cerchio di centro O, dovr~ essere AB : AC ---- h : k, dove il rapporto h/k assegnato.

A ~ B C

Fig. A6

6. Datis positione duabus rectis, & puncto, describere circulum, cuius peri- pheria transeat per datum puncture, tangat unam rectarum; alteram verb secet, ut subtensa sit magnitudine data.

Siano r, s le rette date di posizione, P il punto dato e k un segmento assegnato. I1 cerchio di centro O, tangente alla r, passante per P e secante in S, T la s, dovr~ essere tale the ST ----- k.

P r

k

Fig. A7

A conclusione delle sue soluzioni, SACCHERI contropropone poi (p. 37) un suo Problema cosl esprimendosi:

AD AUCTOREM PROBLEMATUM.

Haec sunt, nobilissime Iuvenis, quae pro angustijs temporis speculari licuit. Mihi verb non est quaerendus Geometra, chin in te habeam Syracusium illum senem principem geometriae, iterum, ut reor, in Sicili~t redivivum. Quando- quidem verb ad amoeboeum carmen provocasti, imitabor pastorem illum

42 A. BRIGAGLIA ~; P. NASTASI

apud Virgilium, qui proposito sibi arduo aenigmate aliud adversario solven- dum, iuxta legem alterni carminis, reposuit. Itaque invicem ambo decertabi- mus, si non ingenio, quantum ad me attinet, at saltem (uti cecinit Theocritus vester) Ambo aetate pares, & respondere parati. Esto igitur

PROBLEMA

Si recta linea in plano ducta, manente altero eius termino aequ6 velociter circumferatur, quousque rursfis in eum locum restituatur, 5. quo moved coeperat: eodemque tempore punctum aliquod incipiens 5- termino manente, in dicta linea its- feratur, ut duo quaevis spatia percursa, sumpta utraque 5- termino manente, sint in subduplicata ratione temporum; puncture hoc lineam in plano describet, quam circumspiralem appello. Quaecunque igitur de sua spirali ostendit Archimedes, eadem ego proportionem accomodft de hac mea circumspirali quaero.

Non sappiamo se questo Problema di SACCHERI sia mai pervenuto al VENa'~- MIGLIA (allora e fino alla morte impegnato in una vertenza giudiziaria contro altri suoi familiari circa il possesso del titolo nobiliare e dei relativi beni), di certo esso raise in agitazione l'ambiente matematico italiano (o quanto meno quello gesuitico) se dobbiamo prestar fede alle parole del Padre NICOLAS il quale, nella operatta [25], nella cui prima parte risolve il problema, cosi scrive (p. 3):

TRANSMISIT ad nos Problema illud R. P. Franciscus Perrin ... in literis Genuft datis initio Octobris proxim6 elapsi [cio6 1693], quae mihi Tolosae redditae sunt sub finem ejusdem mensis. Simul hortatur me R. Pater ut quoniam Problema illud celebre jam apud Italos evasit, atque in eo se Geo- metrarum ingenia exercent, si mihi ejus solutio brevi occurrat, & typis earn mandem, & qu5-m pdmum ad se Romam mittam.

In sostanza, SACCHERI chiede di estendere i problemi metrici (tracciamento della tangente, quadratura e rettificazione) della spirale di ARCmMEDE alle sue immediate generalizzazioni, cio6 alle curve (cf [18], 2, p. 43) che, in coordinate polari (¢, ~0), sono rappresentate da un'equazione del tipo

~ k = a k q0 (k, intero positivo)

cio6 a quelle che LORIA chiama "spirali di grado superiore". Come subito s'accorse il NICOLAS, la circumspirale di SACCHERI ~ una spirale di questo tipo (per k = 2) di cui s'era gis- occupato FERMAT (segnalandone una propriet5- mirabilis, senza perb dame la dimostrazione) nella nota lettera a MERSENNE del 3/6/1636 ([11], 2, pp. 12-14) e che NICOLAS riporta per esteso. E probabile che il problema sia venuto in mente al SACCHERI nel corso dei suoi studi sulle curve (cui, sebbene indirettamente, accenna pifi volte nei Quaesita), perch6 si pub dimostrare ([18], p. 36) c h e l a spirale di ordine k ---= 21- si ottiene cercando il luogo degli estremi delle sottotangenti polari di una spirale archimedea e che ([18], p. 36) i punti di


contatto delle tangenti condotte da un punto ad una spirale archimedea apparten- gono ad una sestica di cui quello ~ punto doppio. E, come abbiamo gi~t detto, SACCHERI si stava occupando in quegli anni anche delle sestiche. D'a l t ra parte, lo studio delle spirali faceva parte della tradizione italiana perch~ di esse si erano occupati CAVALIERI, STEFANO DEGLI ANGELI e, durante la sua permanenza a Pa- dova, JAMES GREGORY.

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44 A. BRIGAGLIA 8¢ P. NASTASI

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33. VENTIMIGLIA, RUGGERO, Geometram Quaero, Palermo, 1692. ]~ anch'essa contenuta in [30]. Quest'opera, sostanzialmente il testo dei problemi di [29], 6 spesso ripor- tata in modo erroneo: per esempio ANTONIO MONGITORE (nella sua Bibliotheca Sicula, Palermo, 1714; ristampa anastatica Bologna: Forni, 1971) la riporta come Dubia geometrica.

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amissos Aristaei, Firenze, 1701.

Istituto di Matematica Via Archirafi 34

Palermo e

Istituto di Geodesia Via Archirafi 34

Palermo

(Pervenuto in redazione il 22 giugno 1983)

Le soluzioni di Girolamo Saccheri e Giovanni Ceva al ‘Geometram quaero’ di Ruggero Ventimiglia:...

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