La sección áurea

Índice

Sinopsis 1Breve reseña histórica 1El número de oro 2Algunas propiedades algebraicas 6Rectángulo áureo 7En el arte 9La sucesión de Fibonacci 10Mujeres matemáticas 13Autoevaluación 14Ejercicios 14Actividades 14

Conceptos clave

Razón áurea

Número áureo

Números de Fibonacci

Objetivo

Analizar diferentes contextos en los queaparece el número áureo.

Algunas creaciones humanas, que se destacan por su singular be-lleza tienen proporciones aproximadas al número áureo; lo mismoque objetos de uso diario como nuestra cédula de identidad, nues-tra tarjeta de débito o, también, muchos libros. Pero este númeroaparece también en varias de las manifestaciones de la naturalezacomo algunas flores y frutas.

Sinopsis

Ciertos números, curvas y figuras geométricas se hacen presentes, a veces incluso demanera inesperada, en los más diversos contextos en los que aparecen las Matemáticas ysus aplicaciones.

Por ejemplo, el número π, que aparece originalmente como la razón de la medida delperímetro de un círculo y la medida de su radio, juega un papel importante en muchosotros temas. Algo análogo sucede con el número llamado e que aparece en variedad decontextos.

Nos interesa aquí destacar un número, que tiene que ver con el arte y con la naturalezay, aunque presente en elementos que tenemos a menudo a la vista, por lo general pasadesapercibido.

Breve reseña histórica

Usualmente nuestros sentidos se inclinan hacia lo que podríamos considerar bello. Sinembargo, ¿qué es lo bello? Esta pregunta tiene respuestas que dependen de diversas cir-cunstancias, tales como el entorno cultural. Una idea muy extendida es que la belleza po-dría consistir de, por ejemplo, las proporciones en las dimensiones. En ese sentido, es posi-ble que los constructores y decoradores egipcios utilizaran algún tipo de teoría matemáticade proporciones.

Los griegos, en la búsqueda de proporciones que conformaran un canon de belleza,encontraron la razón áurea o número áureo. ésta es una relación que se establece cuan-do se divide un segmento en dos partes que guardan cierta relación, según se verá másadelante. En el Libro II, Teorema 11 de Los Elementos de Euclides aparece una construcciónque divide un segmento en la proporción áurea. Además proporciona aplicaciones, comola construcción de un pentágono regular, un icosaedro y un dodecaedro. Sin embargo, loshistoriadores creen que en Los Elementos se cubre material estudiado originalmente porTeodoro de Cyrene o por el mismo Pitágoras.

Alrededor de 150 antes de nuestra era, Hipsicles escribió sobre los poliedros regulares;la razón áurea aparece entre sus construcciones. Hasta este momento la razón áurea parececonsiderarse solo como una propiedad geométrica y no hay evidencias de un interés enasignarle un número.

Tanto Al-Khwarizmi como Abu Kamil proporcionan problemas sobre la división deuna línea de longitud 10 en 2 partes; particularmente aparece la ecuación cuadrática parala longitud de la parte menor de la línea de longitud 10 dividida en la proporción áurea.No está claro, sin embargo, que ellos estuvieran pensando en este problema en particular.Posteriormente, Fibonacci escribió el Liber Abaci y usó fuentes de origen árabe; en parti-cular los problemas de Abu Kamil. Fibonacci (1170-1240) aclara la conexión entre dos delos problemas de Abu Kamil y la razón áurea. Además, establece que si un segmento delongitud 10 se divide en razón áurea, entonces los segmentos resultantes miden

√125− 15

y 15−√

125.

1

2

En 1509 Luca Pacioli publicó un libro denominado Divina proportione (Divina proporción)que es el nombre que le da a la razón áurea. En este libro se recopila resultados de variasfuentes relacionados con la razón áurea.

Figura 1. El hombre de Vitruvio. Canon de las proporciones hu-manas según Vitruvio, dibujo de Leonardo Da Vinci.Fuente: http://personal.telefonica.terra.es/web/auladefilosofia

Muchas veces se ha utilizado esta razón en un sentido místico y, también, en relacióncon lo estético.

El número de oro

Tenemos a la vista una serie de libros de diversos formatos. Un pequeñísimo tomomide, sin considerar el grosor, 7,8 cm por 11,8 cm; el más grande mide 22,7 cm por 34,4 cm,etc. Consignamos las medidas de varios de ellos en una tabla (en la siguiente página). Losvalores de la última columna se obtienen al dividir el alto entre el ancho -es la razón deesas medidas- del libro correspondiente.

Si obtenemos el promedio de las razones, es decir, las sumamos todas y dividimos entreseis, obtenemos como resultado 1,610 468 91.

Aunque el concepto de lo armonioso es subjetivo y no necesariamente es el mismopara todas las personas, existe cierta tendencia subconsciente a considerar una forma rec-

3

Libro Ancho en centímetros Alto en centímetros RazónA 7,8 11,8 1,512 820 51B 11,7 21 1,794 871 80C 15,3 23,4 1,529 411 77D 22,7 34,4 1,515 418 50E 12,9 21,4 1,658 914 73F 10,9 18 1,573 913 04

tangular como armoniosa cuando sus dimensiones guardan una razón especial. Por estemotivo, usualmente los libros y otros objetos de forma rectangular tienen dimensiones quese aproximan a dicha razón. Esta razón entre la altura y la anchura de un libro difiere po-co de los valores dados en la tabla, en particular de su valor promedio. Si la diferencia esrelativamente grande, el formato, en términos generales parece poco atractivo.

Observemos, reducidos en la misma escala, los rectángulos que representan los for-matos de los libros cuyos datos se consignan en la tabla. La razón que difiere más delpromedio es la del libro B; éste parece un poco alargado.

AB C

D

E F

Figura 2. Rectángulos que representan el formato de diversos libros.

Ahora tomamos otro libro G que mide 21,5 cm por 27,9 cm; la razón correspondientees 1,297 674 42. Usando la misma escala de antes representamos su formato. La razón sealeja, por abajo, bastante del promedio; el libro parece algo achatado.

4

G

Figura 3. Rectángulo que representa el formato de un libro.

El valor promedio 1,61 que obtuvimos de las razones en el formato de los libros esuna buena aproximación de un número que, aunque menos conocido por el público queotros números famosos tales como π, posee una serie de propiedades que lo hacen bas-tante interesante. Parece un número extraño y, sin embargo, surge en los contextos másinesperados.

Para conocer ese número realicemos una actividad. Tracemos un segmento de extremosA y B que mida 6 cm.

A B Figura 4. Segmento AB.

Ahora tracemos un segmento BC de manera que sea perpendicular a AB y que mida3 cm. Obtenemos un triángulo rectángulo ABC.

A B

C

rrr

Figura 5. Triángulo ABC. Es rectángulo en B.

Utilizando un compás, trazamos un arco de círculo con centro en C y radio 3 cm. Estearco corta a la hipotenusa del triángulo en un punto que llamaremos D.

A B

C

DFigura 6. El arco BD

_tiene centro en C.

Finalmente, trazamos un arco de círculo con centro en A y radio igual a AD. Este arcocorta a AB en un punto que llamaremos F.

5

A B

C

D Figura 7. El arco FD_

tiene centro en A y radioigual a AD.

¿Cuánto miden AF y FB?; veamos. Según el teorema de Pitágoras, la hipotenusa ACmide

AC =√

62 + 32 =√

36 + 9 =√

45 = 3√

5.

Dado que CD es radio del círculo de C, entonces CD = 3.

Por lo tanto, AD = 3√

5− 3 = 3(√

5− 1).

Luego AF = 3(√

5− 1) pues AF es radio del círculo de centro A; entonces:

FB = 6− 3(√

5− 1) = 6− 3√

5 + 3

= 9− 3√

5 = 3(3−√

5).

Lo que obtuvimos antes solo son medidas que en principio no dicen nada, pero veamos ladistancia del punto F a los puntos A y B. Consideremos la razón de AB y AF:

ABAF

=6

3(√

5− 1)=

2√5− 1

.

Ahora la razón de AF y FB:

AFFB

=3(√

5− 1)3(3−

√5)

=

√5− 1

3−√

5.

Todavía no parece que esto lleve a ninguna parte. Pero hagamos un poquito más, usandouna calculadora encontramos que

2√5− 1

= 1, 61803399

y que √5− 1

3−√

5= 1, 61803399.

Ahora sí vemos algo interesante; en primer lugar ambas razones son iguales y, en segundolugar, son muy aproximadas al valor promedio del formato de los libros. Escribimos laigualdad entre las razones así:

ABAF

=AFFB

.

Usted puede realizar un procedimiento parecido para segmentos de diferentes medidas;recuerde que AC tiene que ser perpendicular a AB y medir la mitad de éste. Siempreencontrará que se cumple la igualdad anterior.

6

Si un segmento AB se divide por un punto F de modo que

ABAF

=AFFB

;

es decirsegmento total

segmento mayor=

segmento mayorsegmento menor

,

se dice que está dividido en proporción áurea. Además, esta razón común recibe el nombrede razón áurea o número áureo. Este número se denota por φ (se lee fi).

segmento total

segmento mayor

segmento menor

A F B

Figura 8. El punto F divide al segmento ABen proporción áurea.

El valor 1,618 033 99 que encontramos antes es una aproximación de dicho número. Elnúmero exacto es, desde luego,

2√5− 1

,

que también se puede escribir como √5 + 12

.

Es decir,

φ =

√5 + 12

.

o, aproximándolo con tres decimales, φ = 1, 618.

Algunas propiedades algebraicas

Regresemos al segmento AB y las relaciones determinadas en él.

Si un segmento AB es dividido por un punto F en proporción áurea, como lo muestra

el dibujo, entoncesABAF

=AFFB

.

AF

BFigura 9. El punto F divide al segmento ABen proporción áurea.

Pero como el segmento AB se puede ver como dos segmentos colineales AF y FB,entonces AB = AF + FB, por lo tanto

AF + FBAF

=AFFB

.

7

Esto es lo mismo que escribir

1 +FBAF

=AFFB

.

Dado queAFFB

= φ, entoncesFBAF

=1φ

; si se sustituyen estos valores en la ecuación

anterior se obtiene lo siguiente:

1 +1φ= φ

y esto es lo mismo que

φ− 1 =1φ

.

En otras palabras, si al número áureo le restamos 1 obtenemos su recíproco.

Ahora multipliquemos ambos lados de la igualdad anterior por φ, obtenemos φ2 −1 = φ, que es lo mismo que φ + 1 = φ2.

Esto significa que si al número áureo le sumamos 1, obtenemos su cuadrado.

La última igualdad también se puede escribir como φ2 − φ− 1 = 0, lo cual dice queel número áureo es una solución de la ecuación de segundo grado x2 − x− 1 = 0.

Rectángulo áureo

Los rectángulos que esquematizan el formato de los libros de los que hablábamos al co-mienzo, son aproximadamente áureos. Con esto queremos decir que la razón del lado máslargo al lado más corto del rectángulo es un valor cercano a φ. En general, un rectángulo

cuyo lado mayor mide a y cuyo lado menor mide b es áureo siab= φ.

a

b Figura 10. La razón entre los lados del rectán-gulo es áurea.

Por ejemplo, un rectángulo que tiene lados de medidas 5 cm y 8 cm, es bastante próxi-

mo a un rectángulo áureo puesto que85= 1, 6, es cercano a φ.

Utilizando un procedimiento similar al que se empleó para dividir un segmento enproporción áurea se puede construir un rectángulo áureo. Se comienza con un segmentoAF, se construye el segmento FE del mismo tamaño que AF y perpendicular a éste. Se

8

marca el punto medio de AF, llamémoslo M. Luego, con centro en M y radio ME, se trazaun arco de circunferencia que corte a la prolongación de AF en un punto que llamamos D.A partir de ahí se completa el rectángulo áureo ABCD que aparece en la siguiente figura;usted puede justificar que dicho rectángulo es áureo.

A

B C

D

E

FM

Figura 11. Los rectángulos ABCD y FECDson áureos.

Observamos, de la construcción anterior, que AFEB es un cuadrado. Aún más, el rec-tángulo FECD también es áureo.

Si en los lados FE y DC marcamos los puntos G y H que los dividen en proporciónáurea y trazamos el segmento GH, obtenemos nuevamente un cuadrado FGHD y un rec-tángulo áureo GECH.

A

B C

D

E

F

G H Figura 12. Los rectángulos ABCD, FECD yGECH son áureos.

Podemos partir también GECH en un cuadrado y un rectángulo áureo y continuar esteproceso indefinidamente:

A

B C

D

E

F

G H

A

B C

D

E

F

G H

Figura 13. Se puede continuar la secuencia de rectángulos áureos.

9

En el arte

El estilo clásico griego refleja una búsqueda de un or-den natural puesto que los griegos pensaban que sila naturaleza seguía ciertas leyes, entonces los artis-tas deberían imitarla. Esto los llevó a la búsqueda delorden y la proporción en sus manifestaciones artísti-cas. Los arquitectos y escultores utilizaron un canon,es decir, un sistema de proporciones que dirigía la for-ma de realizar su arte. Una de las fuentes que mejorexpresa el estilo clásico practicado por los griegos esla obra Diez libros sobre arquitectura, del romano Vi-trubio del siglo I antes de nuestra era, en la que seexponen muchos de los principios estéticos y técni-cas estructurales usadas por los antiguos griegos. Deacuerdo con Vitrubio, la construcción de un temploo cualquier otra estructura y las relaciones entre suspartes deben seguir las proporciones del cuerpo hu-mano. Leonardo da Vinci dice:

“Vitrubio, el arquitecto, dice en su obra dearquitectura que las medidas del cuerpohumano están distribuidas por la natura-leza de la manera siguiente: cuatro dedoshacen un palmo; cuatro palmos hacen unpie; seis palmos hacen un codo; cuatro co-dos hacen la altura de un hombre; cuatrocodos hacen un paso, y veinticuatro pal-mos hacen un hombre. Estas medidas lasusó él en los edificios. Si abrimos las pier-nas, hasta disminuir la altura en un cuar-to, y extendemos los brazos, levantándo-los de tal modo que los dedos medios es-tén al nivel de la cabeza, debemos saberque el ombligo será el centro de un círcu-lo del que los miembros extendidos tocansu circunferencia... (Da Vinci, L. Cuadernode Notas. Edimat Libros, Madrid, 2003, pp.92–93)

¿Sabía que...... el nautilus es un molusco cuyaconcha tiene la forma de una espiralde Durero y que esta espiral pue-de construirse utilizando rectángu-los áureos?

Nautilus

1 1

23

5

8

Espiral de Durero

Dentro de las proporciones del cuerpo humano, Zeysing, en 1855, encontró que el om-bligo lo divide en sección áurea. De hecho, los griegos utilizaron la razón áurea en muchasde sus obras de arte; por ejemplo, la fachada del Partenón de Atenas, incluyendo su pórti-co, puede enmarcarse en un rectángulo áureo, lo mismo que muchas de las partes de estaobra arquitectónica.

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Figura 14. El Partenón de Atenas. Varias desus medidas guardan la razón área.

Varios siglos después, en las catedrales góticas se utilizaron las proporciones del rec-tángulo áureo. Lo mismo hicieron otros como Leonardo da Vinci y Le Corbusier en susmanifestaciones artísticas; este último en la Arquitectura.

La sucesión de Fibonacci

Tomemos un cuadrado de lado 1:

Ahora unámosle otro cuadrado idéntico para formar un rectángulo de lado menor 1 ylado mayor 2:

Peguemos a lo anterior un cuadrado de lado dos, según lo muestra la figura siguiente:

El nuevo rectángulo que se obtiene es un rectángulo de lado mayor 3 y lado menor 2.Ahora agreguemos un cuadrado de lado 3; obtenemos un rectángulo de lado mayor 5 ylado menor 3:

Se puede seguir la secuencia adjuntando cuadrados de lado igual al lado mayor delrectángulo previo; usted puede ver que el siguiente dibujo es:

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Este proceso puede continuar indefinidamente, pero pararemos aquí con los dibujos yharemos una tabla que indique las etapas realizadas y algunas más. Se procurará que a lavez nos enseñe algunos patrones que podemos obtener de aquí.

La columna A indica el lado del cuadrado que se va agregando.

La columna B indica la longitud del lado mayor del rectángulo que se obtiene.

La columna C señala la longitud del lado menor de ese rectángulo.

La columna D produce el resultado del cociente del lado mayor entre el lado menordel rectángulo.

A B C D1 1 1 11 2 1 22 3 2 1,53 5 3 1,6665 8 5 1,68 13 8 1,62513 21 13 1,61521 34 21 1,61934 55 34 1,617

Podemos observar algunas regularidades en esta tabla que le permitirán extenderlahasta donde usted quiera, mediante consideraciones únicamente aritméticas muy simples.Observe la sucesión de números que se forma en la columna A:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Inicia con dos unos, el lado del cuadro inicial y el lado del primer cuadrado que seadjunta. El siguiente número es 2 que se obtiene al sumar 1+ 1. Luego sigue 3 que es iguala 1 + 2; después 2 + 3 = 5 y 3 + 5 = 8, y así sucesivamente. Nos damos cuenta de que, apartir del tercer número, cada uno de ellos se obtiene al sumar los dos números anteriores.

La columna B funciona como la A, es decir, el tercer valor se obtiene de sumar los dosanteriores y así sucesivamente, solo que, en este caso, los dos primeros valores son 1 y 2;produce la siguiente sucesión:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Observamos, además, que esta columna se obtiene de la sucesión anterior si quitamosde ella el primer término.

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La columna C es idéntica a la A. Ahora, ¿qué observa en los valores de la columna D?,¿hay algo que le suene conocido? Efectivamente, a medida que vamos agregando cuadra-dos en la forma indicada, los rectángulos que se obtienen son cada vez más cercanos a unrectángulo áureo; de hecho, las razones oscilan alrededor de dicho número.

Cualquier sucesión en la que cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando losdos anteriores se llama sucesión de Fibonacci. Así, las sucesiones producidas por las dosprimeras columnas de la tabla anterior son sucesiones de Fibonacci.

Si usted observa con cuidado, se dará cuenta que la columna D corresponde a las razo-nes de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci y, entonces, los términos dela sucesión

1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,617; ...

se acercan al número áureo.

El nombre de Fibonacci que recibe esta sucesión se debe a Leonardo de Pisa, conocidocomo Fibonacci. En su obra Liber abaci, Fibonacci propone el siguiente problema:

Una pareja de conejos se hace productiva al cabo de dos meses de vida y, apartir de entonces produce una nueva pareja cada mes, comenzando con unapareja de conejos recién nacidos. Si no muere ningún conejo, ¿cuántas parejasexisten al final de un año?

Podemos ver la solución del problema, para los primeros meses, mediante un dibujocomo el siguiente.

Iniciodel mes

1

2

3

4

5

6

7

Número deparejas

1

1

2

3

5

8

13

Figura zz. Los conejos de Fibonacci. El esquema muestra el nú-mero de parejas de conejos al inicio de cada mes, según la secuen-cia de Fibonacci.

Observamos que al comenzar el primer mes tenemos 1 pareja, al comenzar el segundoseguimos con la misma pareja, al comenzar el tercero esa pareja tuvo otra, ya son 2 parejas.

13

Al comenzar el cuarto mes la primera pareja tiene otra pareja y la segunda todavía no, asíque tenemos 3 parejas. Al iniciar el quinto mes la primera y la segunda pareja tienen cadauna otra pareja, entonces sumamos dos y obtenemos 5. Se continúa de modo parecido.Usted puede completar la tabla hasta el número de mes que desee. Observe que los datosde la columna del número de parejas corresponden, otra vez, a la sucesión de Fibonacci.

Esta sucesión aparece en diversos contextos. Por ejemplo, en los girasoles, el número deespirales hacia la izquierda y el número de espirales hacia la derecha son, por lo general,números de Fibonacci sucesivos.

Mujeres Matemáticas

Grace Chisholm Young

Nació en Inglaterra dentro de una familia de situación acomodada y buena educación.Su padre tenía un alto cargo en el Departamento de Pesas y Medidas y su madre era pia-nista. De pequeña, su madre le enseñaba solo lo que quería aprender: música y cálculomental. Cuando cumplió 17 años ganó los exámenes de Cambridge; sin embargo, por sucondición de mujer no le permitieron seguir estudiando. A los veintiún años decidió con-tinuar estudiando y escribió un libro de Geometría en el que opinaba sobre el interés quetenía enseñar geometría mediante el uso de cuerpos geométricos en tres dimensiones. Conel apoyo de su padre comenzó a estudiar matemáticas en la universidad de Cambridgedonde obtuvo su licenciatura.

Para proseguir su carrera como matemática tuvo que trasladarse a Gotinga en Alema-nia, donde consiguió doctorarse en matemáticas. Se considera como la primera mujer quelogró obtener un doctorado en matemáticas siguiendo los procedimientos normalmenteestablecidos para los hombres. Escribió una serie de textos, e hizo aportes a la Integral deLebesque y al estudio de las derivadas de las Funciones Reales.

Figura 14. Grace Chisholm Young (1868-1944). Fuente:http://www.agnesscott.edu/LRIDDLE/WOMEN/younggot.jpg

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Autoevaluación

1. ¿Qué es la razón áurea?

2. ¿Qué es un rectángulo áureo?

3. ¿Qué es una sucesión de Fibonacci?

Ejercicios

1. La medida del lado más largo de cierto rectángulo áureo es 15 cm, ¿cuál es la medidadel lado más corto?

2. Verifique que φ3 = φ + φ2, φ4 = φ2 + φ3, y, en general, φn = φn−2 + φn−1.

3. Con respecto al problema de los conejos de Fibonacci y con las condiciones dadaspor él, ¿cuántas parejas de conejos habrá al iniciar el décimo mes?

Actividades

1. El número áureo en la arquitectura

Le Corbusier fue un arquitecto que utilizó la sección áurea en sus trabajos. Investiguede qué manera utilizó este arquitecto dicho número y escriba un ensayo sobre él y su obra.

2. Una propiedad de la suceción de Fibonacci

Escriba dos números cualesquiera y construya, empezando con esos dos números,una sucesión de Fibonacci, es decir en la que cada término sea la suma de los dosanteriores.

Sume los diez primeros términos de la sucesión que construyó.

Compare la suma anterior con el séptimo término de la sucesión, ¿qué relación en-cuentra?.

Piense en otros dosn números y proceda como en los pasos anteriores, ¿encuentra lamisma relación?

Intente probar por qué se da dicha relación.